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Rythmes et algorithmesLe génie mathématique indien

François Patte

Université Paris Descartes

ULB24 avril 2009

Paris Descartes Rythmes et algorithmes 24-04-09 1 / 36

L̄ılāvat̄ı Commentaire de Gaṅgādhara



laks.mı̄dvivahnyaṅgadigekakona-vim. śatyabhijñā drutas.at.kabandhah.

antyau yutau dvāv atha sāntarau dvautattadyuteh. syāt purato ’pi sam. khyā

1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 60, 106, 191, 340, 610, etc.



1 daśadrutāh.

1 0 navadrutāh.

1 0 9 as.t.adrutāh.

1 0 8 0 saptadrutāh.

1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.


Sources

Śārṅgadeva : Sam. ḡıtaratnākara (13e siècle)


Sources


Cinquième chapitre : Tālādhyaya


Sources


Cinquième chapitre : Tālādhyaya

Com. : Kalānidhi de Kallinātha (15e siècle)(ed. Ānandāśrama – 1896 et Adyar – 1951)

Sudhākara de Sim. habhūpāla (14e siècle)

(ed. Adyar – 1951)


Sources Notations

druta o mesure de référence � demi-brèvelaghu I = 2 druta ♩ brèveguru S = 2 laghu = 4 druta longuepluta S̀ = 3 laghu = 6 druta · protractée


Prastāra

PrastāraOu comment construire, de manière exhaustive, toutes lesvariations (bheda) d’une mesure ayant une durée donnée.


Prastāra

PrastāraOu comment construire, de manière exhaustive, toutes lesvariations (bheda) d’une mesure ayant une durée donnée.

Exemple :

oS (� ) I I o (♩ ♩ �) o Ioo (� ♩ � �) ooooo (� � � � �)

Quatre variations d’une durée de 5 demi-brèves (o, �)


Prastāra Règle

nyasyālpam ādyān mahato’dhastāc ches.am. yathopari

prāg ūne vāmasam. sthām. s tusam. bhave mahato likhet

alpān asam. bhave tāla-pūrtyai bhūyo ’py ayam. vidhih.

sarvadrutāvadhih. kāryah.prastāro ’yam. laghau gurau

plute vyaste samaste cana tu vyaste drute ’sti sah.

Après avoir posé une plus petite au-dessous de la premièreplus grande, le reste est comme au-dessus.S’il y a un manque au début, on écrira, si cela est possible, deplus grandes sur la gauche — en cas d’impossibilité despetites — pour compléter la mesure ; cette prescription, dontle terme est [une mesure composée] entièrement dedemi-brèves, doit être exécutée à plusieurs reprises.


o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

Prastāra Exemple pour 5 demi-brèves


o S 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o


Après avoir posé une plus petite au-dessous de la premièreplus grande, le reste est comme au-dessus.


o S 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o




o S 5I 2

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o


S’il y a un manque au début, on écrira, si cela est possible, deplus grandes sur la gauche — en cas d’impossibilité des petites— pour compléter la mesure


o S 5I 2

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o




o S 5o I I 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o


Cette prescription, dont le terme est [une mesure composée]entièrement de demi-brèves, doit être exécutée à plusieurs re-prises.


o S 5o I I 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o




o S 5o I I 5o 1

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o




o S 5o I I 5o I 3

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o




o S 5o I I 5I o I 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o


Cette prescription, dont le terme est [une mesure composée]entièrement de demi-brèves, doit être exécutée à plusieurs re-prises.


o S 5o I I 5I o I 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5o 1

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5o o I 4

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5o 1

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5I 2

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5I o 3

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o 1

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o I o 4

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5

o 1

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5

o o 2

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5o I o o 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5o I o o 5o 1

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5o I o o 5o o o 3

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5o 1

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5o o o o 4

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o



o S 5o I I 5I o I 5

o o o I 5S o 5

I I o 5o o I o 5o I o o 5I o o o 5

o o o o o 5

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o


Cette prescription, dont le terme est [une mesure composée]entièrement de demi-brèves...


o So I II o I

o o o IS o

I I oo o I oo I o oI o o o

o o o o o

o I = 2o S = 4o S̀ = 6o

Prastāra Prastāra de 1 à 7 demi-brèves

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5

S̀I S

o o SS I

I I Io o I Io I o II o o I

o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o

I I o oo o I o oo I o o oI o o o o

o o o o o o

6

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I

I I o Io o I o Io I o o II o o o I

o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o

I I I oo o I I oo I o I oI o o I o

o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o

I I o o oo o I o o oo I o o o oI o o o o o

o o o o o o o

7


Sam. khyā

Sam. khyāDénombrement

Ou comment dénombrer les variations produites par leprastāra


Sam. khyā Règle

ekadvyaṅkau kramān nyasyayuñj̄ıtāntyam. purātanaih.

dvit̄ıyaturyas.as.t.hāṅkairabhave turyas.as.t.hayoh.

tr.t̄ıyapañcamāṅkābhyām.kramāt tam. yogam agratah.

likhed daks.in. asam. sthaivamaṅkaśren. ı̄vidh̄ıyate

Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ; une suite de nombresplacés ensemble vers la droite est ainsi construite.


Sam. khyā Règle

Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ;

1 2


Sam. khyā Règle


1 2↑


Sam. khyā Règle


1 2↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3↑


Sam. khyā Règle


1 2 3↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10↑ ↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19↑ ↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19↑ ↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19 33↑ ↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19 33↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19 33↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19 33↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19 33↑ ↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle


1 2 3 6 10 19 33 60↑ ↑ ↑ ↑


Sam. khyā Règle

Ayant posé dans l’ordre les nombres un et deux, le dernierest, autant que possible, ajouté aux deuxième, quatrième etsixième nombres qui précèdent — en l’absence du quatrièmeet du sixième, aux troisième et cinquième nombres. On écriracette somme régulièrement au début ; une suite de nombresplacés ensemble vers la droite est ainsi construite.

1 2 3 6 10 19 33 60 ...


Sam. khyā Règle

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4 (6)

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5 (10)

S̀I S

o o SS I


o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o


o o o o o o

6 (19)

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o

7 (33)


Sam. khyā Explication

Un peu de mathématiques

Le problème : compter toutes les manières de décomposerune mesure d’une durée donnée (7druta) en une combinaisonde druta, laghu (=2d.), guru (=4d.) et pluta (=6d.).





Point de vue mathématique : compter toutes les manièresd’écrire un nombre donné (7) comme somme des nombres :1, 2, 4 et 6. (Partitions de l’entier 7)





Point de vue mathématique : compter toutes les manièresd’écrire un nombre donné (7) comme somme des nombres :1, 2, 4 et 6. (Partitions de l’entier 7)

7 = 1+ 2+ 4 = 6+ 1 = 1+ 1+ 1+ 2+ 1+ 1 = · · ·




Contrainte : l’ordre est signifiant.





Pour un mathématicien, les partitions : 1+ 2+ 4 2+ 4+ 14+ 1+ 2 sont identiques.





Pour un mathématicien, les partitions : 1+ 2+ 4 2+ 4+ 14+ 1+ 2 sont identiques.

Pour un musicien, les rythmes : o IS (� ♩ ) I So (♩ �)So I ( � ♩) sont différents.



o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5

S̀I S

o o SS I


o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o


o o o o o o

6

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o

7



o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

u7 = u6+

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5

S̀I S

o o SS I


o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o


o o o o o o

6

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o

7



o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

u7 = u6+ u5+

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5

S̀I S

o o SS I


o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o


o o o o o o

6

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o

7



o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

u7 = u6+ u5+ u3+

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5

S̀I S

o o SS I


o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o


o o o o o o

6

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o

7



o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

u7 = u6+ u5+ u3+ u1

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5

S̀I S

o o SS I


o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o


o o o o o o

6

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o

7



o = 1 I = 2 S = 4 S̀ = 6

u7 = u6+ u5+ u3+ u1

un = un−1 + un−2 + un−4 + un−6

o

1

Io o

2

o II o

o o o

3

SI I

o o Io I oI o o

o o o o

4

o So I II o I

o o o IS o


o o o o o

5

S̀I S

o o SS I


o o o o Io S o

o I I oI o I o

o o o I oS o o


o o o o o o

6

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o

7



yadaṅkayogād antyo ’ṅkolabdhas tair antatah. kramāt

bhedā drutāntalaghvanta-gurvantāś ca plutāntakāh.

sam. khyāyanta iti proktāh.sam. khyā nih. śaṅkasūrin. ā

À partir [des termes] de la somme des nombres dont onobtient le dernier nombre, on compte avec ceux-ci,successivement à partir de la fin, les variétés qui finissent parune demi-brève, une brève, une longue et une protractée. Telssont les dénombrements enseignés par le musicien.

1+ 3+ 10+ 19 = 33



yadaṅkayogād antyo ’ṅkolabdhas tair antatah. kramāt

bhedā drutāntalaghvanta-gurvantāś ca plutāntakāh.

sam. khyāyanta iti proktāh.sam. khyā nih. śaṅkasūrin. ā

iti sam. khyā

À partir [des termes] de la somme des nombres dont onobtient le dernier nombre, on compte avec ceux-ci,successivement à partir de la fin, les variétés qui finissent parune demi-brève, une brève, une longue et une protractée. Telssont les dénombrements enseignés par le musicien.

1+ 3+ 10+ 19 = 33


Sam. khyā La suite et la strophe mystérieuses



L’arrangement pour six demi-brèves se mémorise par : un(laks.mı̄), deux, trois (vahni : feu), six (aṅga : membres), dix(diś : directions), dix-neuf.

1, 2, 3, 6, 10, 19,


Sam. khyā La suite et la strophe mystérieuses



L’arrangement pour six demi-brèves se mémorise par : un(laks.mı̄), deux, trois (vahni : feu), six (aṅga : membres), dix(diś : directions), dix-neuf. Les deux derniers additionnés etaussi les deux [séparés] par un intervalle, on aura aussi le dé-nombrement avec la somme des uns et des autres.

1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 60, 106, 191, 340, 610, etc.


Nas.t.a

Nas.t.aDisparition

Ou comment retrouver une ligne effacée dans le prastāra


Nas.t.a

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o


o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o


Nas.t.a

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o

I I I o? ? ? ? ? ?o I o I oI o o I o

o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o


Nas.t.a

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o

I I I o20

o I o I oI o o I o

o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o


Nas.t.a

o S̀o I SI o S

o o o So S I

o I I II o I I

o o o I IS o I


o o o o o I

S̀ oI S o

o o S oS I o

I I I oo o I I o 20o I o I oI o o I o

o o o o I oo S o o

o I I o oI o I o o

o o o I o oS o o o


o o o o o o o


Le tableau énigmatique

1 daśadrutāh.

1 0 navadrutāh.

1 0 9 as.t.adrutāh.

1 0 8 0 saptadrutāh.

1 0 7 0 35 s.at.drutāh.

1 0 6 0 27 0 pañcadrutāh.

1 0 5 0 20 0 87 caturdrutāh.

1 0 4 0 14 0 44 0 tridrutāh.

1 0 3 0 9 0 25 0 63 dvidrutāh.

1 0 2 0 5 0 12 0 26 0 ekadrutāh.

0 1 0 2 0 4 0 7 0 13 adrutāh.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 avayavāh.

1 2 3 6 10 19 33 60 106 191 rūpasam. khyā

1 2 5 10 22 44 91 180 358 698 drutāh.

0 1 2 5 10 22 44 91 180 358 laghavah.

0 0 0 1 2 5 10 22 44 91 guravah.

0 0 0 0 0 1 2 5 10 22 plutāh.

1 3 7 16 34 72 [147] [297] [592] 1169 avayavāh.


La règle de Bhāskara

ekādyekottarā aṅkā...

chandaścityuttare chanda-sy upayogo hi tadvidām

mūs.āvahanabhedādaukhan.d. amerau ca śilpake

vaidyake rasabhed̄ıyetan noktam. vistr.ter bhāyāt

Les nombres s’accroissant de un à partir de un...(...) Cela sert en prosodie, pour ceux qui la connaissent, pourla suite des compositions des mètres et aussi en architecture,pour les montagnes de nombres, quand il y a des variationsde conduits d’aération etc. Et en médecine pour les mélangesde saveurs. Cela n’est pas exposé par crainte deprolixité.


Références

Sam. ḡıtaśiroman. ied. & trad. : Emmie te NijenhuisE.J. Brill – Leiden, 1992

The Chhandas ShâstraPiṅgalaTukârâm Jâvajî – Bombay, 1908

Vr.ttaratnākaraKedārabhat.t.aThe Nirn. aya-Sâgara Press – Bombay, 1890

generatingfunctionologyHerbert S. Wilf – University of PennsylvaniaAcademic Press, Inc. 1994

Recursion and Combinatorial Mathematics in Chandashāstra

Amba Kulkarni – Department of Sanskrit Studies, University of HyderabadHyderabad – 2008

Permutations with strongly restricted displacements

D. H. LehmerProc. Colloq., Balatonfured, 1969 (pp. 755-770)

Fast Algorithms For Generating Integer Partitions

Antoine Zoghbiu & Ivan Stojmenovicb’Computer Science Department, SITE, University of Ottawa, 1998


Līlāvatī

Sources

PrastāraPrastāra

Samkhyā

NastaNasta

La règle de BhāskaraThe Bhāskara's ruleRéférences

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