中国海及邻近区域碳库与通量综合分析 · 2019-07-03 · 中国海及邻近区域碳库与通量综合分析 焦念志1*,梁彦韬1,2,张永雨2,刘纪化3,张瑶1,张锐1,赵美训4,戴民汉1,翟惟东3,
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弹性力学基本方程的建立和表达
基本变量
位移：T T[ , , ] [ , , ]x y zu v w u u u u
应变：T[ , , , , , ]
x xy xz
yx y yz x y z xy yz xz
zx zy z
ε
应力：T[ , , , , , ]
x xy xz
yx y yz x y z xy yz xz
zx zy z
σ
平衡方程
x
平衡方程
0
0
0
xyx xzx
yx y yz
y
zyzx zz
bx y z
bx y z
bx y z
0 Aσ bT[ , , , , , ]x y z xy yz xz σ
T[ , , ]x y zb b bb
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x y z
y x z
z y x
A
几何方程
x
y
z
xy yx
yz zy
zx xz
u
x
v
y
w
z
u v
y x
v w
z y
u w
z x
ε Lu
T[ , , , , , ]x y z xy yz xz ε
T T[ , , ] [ , , ]x y zu v w u u u u
T
0 0
0 0
0 0
0
0
0
x
y
z
y x
z y
z x
AL
物理方程σ Dε
2 0 0 0
2 0 0 0
2 0 0 0
0 0
0
G
G
G
G
G
G
D对
称
,2(1 ) (1 )(1 2 )
E EvG
v v v
力（自然）边界条件
力（自然）边界： s
x x y xy z xz x
x yx y y z yz y
x zx x zy x z z
n n n t
n n n t
n n n t
nσ t
T[ , , ]x y zt t tt
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x y z
y x z
z y x
n n n
n n n
n n n
n
位移（本质）边界条件
位移（本质）边界： u
, ,u u v v w w u u
弹性力学基本方程向量表达
平衡方程
几何方程
物理方程
力（自然）边界条件
位移（本质）边界条件
0 Aσ b
ε Lu
σ Dε
nσ t
u u
in
in
in
on s
on u
张量表示
1 2 31, 2, z 3x x y x x
T T
1 2 3[ , , ] =[ , , ]x y zu u u u u uu ( 1,2,3)iu i
11 12 13
21 22 23
31 32 33
x xy xz xx xy xz
yx y yz yx yy yz
zx zy z zx zy zz
σ
( , 1,2,3)ij i j
张量表示
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
x xy xz
x xy xz
yx y yz yx y yz
zx zy z
zx zy z
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
ε
( , 1,2,3)ij i j
1 2 31, 2, z 3x x y x x
张量的性质
张量的乘积仍然是张量。
ji iju v w ij kl ijkl
张量对坐标的偏导数仍然是张量，用逗号下标表示。
,i ji
ij
j
uu
wx
2
2
, 2= iii iu u
y xu w
,
2
ij
ij
k l
k lj ki lx x
张量的性质
爱因斯坦求和约定：
在同一项内（单项式、乘积式、求导式等）重复一次且仅重复一次的指标，表示在指标的取值范围内求和。
3
11 22 33
1
=iiii
i
u u u uu
3
, 1,1 2,2 3,3
1
, =ij j i i ij
j
ij
平衡方程
0
0
0
xyx xzx
yx y yz
y
zyzx zz
bx y z
bx y z
bx y z
11,1 12,2 13,3 1
21,1 22,2 23,3 2
31,1 32,2 33,3 3
0
0
0
b
b
b
1 , 1
2 , 2
3 , 3
0
0
0
j j
j j
j j
b
b
b
, 0ij j ib
几何方程x
y
z
xy yx
yz zy
zx xz
u
x
v
y
w
z
u v
y x
v w
z y
u w
z x
1
2 2
1
2 2
1
2 2
xx
yy
zz
xy
xy
yz
yz
zxzx
u
x
v
y
w
z
u v
y x
v w
z y
u w
z x
11 1,1
22 2,2
33 3,3
12 1,2 2,1
23 2,3 3,2
31 1,3 3,1
1
2
1
2
1
2
u
u
u
u u
u u
u u
, ,
1
2ij i j j iu u
物理方程
ij ijkl klD
2ijkl ik jl ij klD G
0
1ij
i j
i j
ijklD具有对称性
各向同性材料
克罗内克δ函数
力（自然）边界条件
力（自然）边界： s
x x y xy z xz x
x yx y y z yz y
x zx x zy x z z
n n n t
n n n t
n n n t
1 11 2 12 3 13 1
1 21 2 22 3 23 2
1 31 2 32 3 33 3
n n n t
n n n t
n n n t
ij j in t
位移（本质）边界条件
位移（本质）边界： u
, ,u u v v w w i iu u
弹性力学基本方程张量表达
平衡方程
几何方程
物理方程
力（自然）边界条件
位移（本质）边界条件
, 0ij j ib
, , ,
1
2i j i j j iu u
ij ijkl klD
ij j in t
i iu u
in
in
in
on s
on u
弹性力学基本方程表达比较
, 0ij j ib
, , ,
1
2i j i j j iu u
ij ijkl klD
ij j in t
i iu u
0 Aσ b
ε Lu
σ Dε
nσ t
u u
弹性力学基本方程的弱形式
高斯散度定理与分部积分
d dyx z
x x y y z z
FF FF n F n F n
x y z
, d dj j j jF F n
, ,,j j j j jjGF GF G F
,, , ddd j jj j j jGF G FGF
, ,d d dj j j j j jGF GF n G F
多元函数分部积分公式！
平衡方程的弱形式
, 0ij j ib , d 0ii ij j bw
其中权函数w与位移解u属于同一个空间，且在位移（本质）边界条件Γu处有w=0.
, di ij jw
,d ds
i ijij j i jnw w
, ,d d dj j j j j jGF GF n G F
ij j in t , ,
1
2ij i j j ie w w
d d ds
ij ij i i i ie w t wb
i i
ij ij
w u
e
d d d
sij ij i i i iu t u b
加权残值法
虚功原理
平衡方程的弱形式
d d ds
ij ij i i i ie w t wb
T T Td d ds
e σ w t w b
张量形式
矩阵形式
T T Td d ds
e Dε w t w b考虑弹性本构关系
虚功原理表示
T T Td d ds
ε Dε u t u b
弹性力学有限元格式建立概略
单元划分
1
eln
e
e
, , 1,....,e f
ele f n
1
eln
e e
u s
e
整体到局部
T T Td d ds
e Dε w t w b
T T T
1 1 1d d d
el el el
e e es
n n n
e e e e Dε w t w bA A A
1
eln
e
e
, , 1,....,e f
ele f n
1
eln
e e
u s
e
单元插值
将单元区域内的状态量取值用节点状态量取值和给定的插值函数表示。
1 2
1 2
1
( ) ( ) ( ) ...... ( ) ( )p
p
p
nne e e e I
n I
I
u N d N d N d N d
x x x x x
1
2
1
3
( ) ( ) ( )p
I
n
e I e e
I
I I
d
N d
d
u x x N x d ( )= ( ) ( ) ( )e e e e ε x Lu x LN x d B x d
ˆ( ) ( )e ew x N x w ˆ( ) ( )e ee x B x w
单元格式
T T T
1 1 1d d d
el el el
e e es
n n n
e e e e Dε w t w bA A A
T T
T ˆd = de e
e e e e
e Dε w B DB d
T T
T ˆd = de es s
e e
w t w N t
T TT ˆd = d
e e
e e
w b w N b
( ) ( )e eu x N x d ( ) ( )e eε x B x d
ˆ( ) ( )e ew x N x w ˆ( ) ( )e ee x B x w
从单元到结构
T T
1
T T T T
1 1
ˆ d
ˆ ˆd d
el
e
el el
e es
n
e e e e
e
n n
e e e e
e e
w B DB d
w N t w N b
A
A A
T
T
T
1
T
1
T
1
ˆ d
d dˆ
el
e
el el
e es
n
e e
e
n n
e e
e e
B DB
N t N b
w d
w
A
A A
1=
eln
e
ed dA
1ˆ ˆ=
eln
e
ew wA
结构格式
T
1
TT
TT
1 1d dˆ ˆ d
el el el
e e es
n n n
e e e e
e e e
B DB d N t Nw w bA A A
T T T
1 1d d + d
el el
e e es
n n
e e e e
e e
B DB d N t N bA A
T
1,
el
e
n
e e e e
ed
K K K B DBA
T T
1, d + d
el
e es
n
e e e e
e P P P N t N bA
Kd = p
另外引入位移（本质）边界条件！
权函数的任意性！
公共邮箱
密码：youxiandanyuanfa
作业
王勖成《有限单元法》
P53-54——1.3，1.8
问题改为：建立相应微分方程的弱形式。
下节课交，抽样批改，计入总分，考试题型。
