TEORIA DE CONJUNTOS

CONJUNTO:

Es una colección de objetos de nuestra intuición o de nuestra mente distinguidos o

definidos que concebimos como un todo.

{ a, b, c, ..., x, y, z}

ELEMETOS DE CONJUNTOS:

A los objetos reunidos en un conjunto sean estos número, personas, cosas u objetos y

diremos que estos elementos pertenecen o son miembros de conjuntos, ejemplo.

El conjunto de las letras de idioma español. a, e.

El conjunto de N= {1, 2, 3, 4}

NOTACIÓN:

Vamos a usar para poder identificar los conjuntos van a ser letras mayúsculas, para

poder identificar los elementos van a ser con letras minúsculas.

B= { a, b, c, ..., x, y, z}

PERTENENCIA:

La vamos a identificar con el signo

PERTENECE Є

NO PERTENECE ∉

A= {1, 2, 3, 4} 1 Є A

2 Є A

5 ∉ A

Forma de determinar un conjunto:

ENUMERATIVA:

(Extensión, tabulación).

N= {1, 2, 3,……98, 99, 100}

DESCRIPTIVA:

Escribir los elementos de un conjunto en forma variable, ejemplo.

Conjunto de los meses del año.

N= {X / 6 < X < 20}

CONTENCIÓN DE CONJUNTOS:

Ejemplos:

A C B ó B C A

A= {1, 2, 3} B= {1, 2, 3, 4, 5}

DIAGRAMA DE VENN:

CONJUNTO POTENCIA:

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto.

Todos los subconjuntos

Si tenemos un conjunto {a,b,c}:

Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a,c}, o los demás

Y {a,b,c} también es un subconjunto de {a,b,c} (sí, es verdad, pero no es un

"subconjunto propio")

Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a,b,c}

De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás

el conjunto potencia de {a,b,c}:

P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

UNIÓN DE CONJUNTOS:

La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B que contiene todos los

elementos de A y de B.

La unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto,

cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjuntohttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:PolygonsSetUnion.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:PolygonsSetIntersection.svg

La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que

pertenecen tanto a A como a B.

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que

resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de

partida.

CONJUNTOS AJENOS:

Dos conjuntos ajenos A y B.

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binariahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:DisjointSets.svg

Dos conjuntos son ajenos si no tienen ningún elemento en común. Equivalentemente,

dos conjuntos son ajenos si su intersección es vacía. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6}

son conjuntos ajenos.

DIFERENCIA SIMETRICA:

La diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto

cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin

pertenecer a ambos a la vez.

CONJUNTO UNIVERSO Y COMPLEMENTO A:

Un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un

contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números

naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los

números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto

referencial, universo del discurso o clase universal, según el contexto, y se denota

habitualmente por U o V, ejemplo.

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES:

NUMEROS NATURALES

El número natural siempre va a tener otro número que le sigue.

PROPIEDAD DE CERRADURA:

La suma de dos números naturales nos dará siempre un número natural, ejemplo.

2 + 2= 4

4 x 2= 8

PROPIEDAD CONMUTATIVA:

Se intercambian los números cuando suma o cuando multiplica y la respuesta será la

misma.

a + b = b + a

a × b = b × a

Ejemplos:

Puedes intercambiarlos cuando sumas: 3 + 6 = 6 + 3

Puedes intercambiarlos cuando multiplicas: 2 × 4 = 4 × 2

PROPIEDAD ASOCIATIVA:

Quiere decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero)

cuando sumas o cuando multiplicas.

(a + b) + c = a + (b + c)

(a × b) × c = a × (b × c)

Ejemplos:

Esto: (2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11

da el mismo resultado que esto: 2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11

Esto: (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60

da el mismo resultado que esto: 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60

ELEMENTO NEUTRO:

Suma = Ø Producto = 1

12 + 0 = 12 12 x 1 = 12

0 + 12 = 12 1 x 12 = 12

DISTRIBUTIVIDAD:

Del producto respecto a la suma

a ( b + c) = ab + c

5 (4 + 3) = 5.4 + (5.3)

5 (7) = 20 + 15

35 = 35

LEY DE CANCELACIÓN DE LA SUMA:

Se cancela el número que tiene la misma función, ejemplo.

4 + 5 = 4 + (3 + 2)

5 = 5

CANCELACIÓN EN MULTIPLICACIÓN:

4 . 8 = 4 (2 . 4)

8 = 8

LEY DE LOS NÚMEROS ENTEROS:

Siempre que se suman 2 números negativos se coloca el signo menos, ejemplo.

-7 -7 = -14

Cuando se usan signos diferentes se coloca el signo del número mayor, ejemplo.

-16 + 4 = -12

16 – 4 = 12

ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS:

Ejemplo:

7 + x = 3

4 + 3 + x = 3

4 + x = 0

4 + x = 4 - 4

x = -4

NUMEROS RACIONALES

Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o

más precisamente un entero y un natural positivo es decir una fracción común.

SUMA Y PRODUCTO DE RACIONALES:

PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES:

Se puede simplificar fracciones cancelando los factores comunes del numerador y del

denominador, ejemplo.

_3_(4)_ = _3_

7 (4) 7

Caso especial de números racionales cuando tenemos el mismo denominador,

ejemplo.

_3_ + _6_ = _3_+_6_ = _9_

5 5 5 5

Los números racionales tienen las mismas propiedades que los números enteros y

números naturales.

12 + 0 = 12

SIMETRICO ADITIVO:

Ejemplo:

SIMETRICO MULTIPLICATIVO:

Ejemplo:

DIFERENCIA DE RACIONALES:

Es el resultado de sumar al minuendo el simétrico aditivo del sustraendo, ejemplo.

EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES:

Sea la expresión exponencial an,

se dice que a es la base y n es el exponente

e indica que la base a se debe multiplicar tantas veces como lo indica el exponente n

Ejemplo: La expresión exponencial 23,

nos dice que debemos multiplicar la base 2 tantas veces como lo indica el exponente 3;

es decir, 23 = 2 . 2 . 2 = 8

REGLAS DE LOS EXPONENTES:

Si los exponentes m, n pertenecen a los números naturales (N) y

las bases a, b pertenecen a los números reales (R)

Los números naturales son los números enteros positivos.

Los números reales son los números enteros positivos, negativos y fraccionarios.

Los exponentes negativos o ceros, pueden regirse por éstas normas, pero tiene que

tenerse cuidado.

Multiplicación de potencias con una misma base.

am . an = am+n a3 . a2 = a3+2 = a5

Potencia de potencia

(am)n = am.n (a3)5 = a3.5 = a15

(a5b2c)3 = a5.3 b2.3 c1.3 = a15b6c3

Potencia de un quebrado

(a / b)n = an / bn

siempre que b ≠ Ø (a5 / c2)8 = (a5.8/c2.8) = (a40/c16).

División de potencias de una misma base

am / an = am-n

siempre que a ≠ Ø

an / an = 1

an / an = an-n = a0 → a0 = 1 Esto demuestra que todo

número natural elevado a la potencia cero es 1.

m6 / m2 = m6-2 = m4

https://estudiantesfelices.wordpress.com/2010/07/19/exponentes/

RADICALES:

Sea la expresión radical n√x = a ⇔ an= x

Se lee: raíz enésima de x es igual a a, si y solo si, a con potencia n es igual a x.

se dice que n es el índice radical;

el signo √ es el signo radical,

x es el radicando o sub-radical,

a es la raíz, en este caso, la raíz enésima,

Indica que la raíz a multiplicada tantas veces como lo indica el índice radical n da como

resultado el radicando x

Ejemplo: La expresión radical 3√8 = 2,se lee: raíz cúbica de 8 es igual a 2

nos dice que la raíz 2 multiplicada tantas veces como lo indica el índice radical 3, nos

da el radicando 8;

es decir, 23 = 2.2.2 = 8

REGLAS DE LOS RADICALES

Si x,y,m,n pertenecen a los números reales (ℜ) y

m,n son diferentes a cero.

Los números reales son los números enteros positivos, enteros negativos y

fraccionarios.

EXPONENTE FRACCIONADO:

am/n = n√am =

(n√a)m

siempre que n ≠ Ø

a3 / 4 = 4√a3 = (4√a)3

POTENCIA NEGATIVA:

a -n = 1 / an

siempre que a ≠ Ø

a-3 = 1 / a3

1 / b-5 = b5

Leyes de signos para exponentes y radicales

(+)par = + Exponente par en base positiva, el resultado es positivo

(+)impar = + Exponente impar en base positiva, el resultado es positivo

(-)par = + Exponente par en base negativa, el resultado es positivo

(-)impar = + Exponente impar en base negativa, el resultado es negativo

ALGEBRA

Constituye una generalización de la aritmética ya que mediante la combinación de

números y letras podemos dar una solución a situaciones más complejas. Las

expresiones algebraicas se clasifican según la cantidad de términos.

MONOMIOS:

Son expresiones algebraicas que están compuestas por un solo término, ejemplo.

BINOMIOS:

Son expresiones algebraicas que tienen dos términos, ejemplo.

TRINOMIOS:

Son expresiones que están compuestas de tres partes, ejemplo.

POLINOMIO:

Son expresiones que tienen cuatro o más términos, ejemplo.

SUMA DE MONOMIOS:

Deben de tener los mismos términos y grado de exponente, ejemplo.

SUMA DE POLINOMIOS:

Se puede operar de forma horizontal o vertical, ejemplo.

RESTA ALGEBRAICA:

La resta es la operación inversa de la suma. y hay quienes van a afirmar que la resta

es el resultado de sumar a un polinomio dado llamado minuendo, el inverso aditivo de

otro polinomio que en tal caso se llamará sustraendo.

RESTA DE MONOMIOS:

RESTA DE POLINOMIOS:

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA:

PRODUCTO DE MONOMIOS PRODUCTO DE POLINOMIOS

DIVISIÓN ALGEBRAICA:

Los exponentes se restan, cualquier número elevado al exponente 0 siempre va a ser

igual a 1.

DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS:

FACTORIZACIÓN

CASOS DE FACTORIZACION

FACTOR COMÚN:

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

FACTOR COMÚN MONOMIO:

Ejemplo 1:

14x2 y

2 - 28x

3 + 56x

4

R: 14x2 (y

2 - 2x + 4x

2)

Ejemplo 2:

X3 + x5 – x7 = R: x3 (1 + x2 - x4

Ejemplo 3:

100a2 b3c –150ab2c2 + 50 ab3c3 - 200abc2=

R: 50abc (2ab2 – 3bc +b2c2 – 4c)

FACTOR COMÚN POLINOMIO:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)

R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

-z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1

R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)

( a2 + 1)(a + b - 1)-1

( a2 + 1)(a + b -1 -1)

( a2 + 1)(a + b -2)

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TÉRMINO:

Ejemplo 1:

a2 + ab + ax + bx

(a2 + ab) + (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:

4am3 – 12 amn – m2 + 3n

= (4am3 – 12amn) – (m2 + 3n)

=4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)

R: (m2 – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x

= (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x)

= (a2b3 + a2b3x2 – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)

= a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)

R: (1 + x2 – 3x) (a2b3 - n4 )

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

Ejemplo 1;

a2 – 2ab + b2

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de b2 = b

Doble producto sus raíces

(2 X a X b) 2ab (cumple)

R: (a – b) 2

Ejemplo 2:

49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4

Raíz cuadrada de 49m6 = 7m3

Raíz cuadrada de 25a2n4 = 5an2

Doble producto sus raíces

(2 X 7m3 X 5a2n2) = 70am3 n2 (cumple)

R: (7m – 5an2)

Ejemplo 3:

9b2 – 30 ab + 25a2

Raíz cuadrada de 9b2 = 3b

Raíz cuadrada de 25 a2= 5a

Doble producto sus raíces

(2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple)

R: (3b - 5a) 2

CASO ESPECIAL:

Ejemplo 1:

a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de (a – b) 2 = (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a X (a – b) = 2a(a – b) (cumple)

R: (a + (a – b)) 2

(a + a – b) = (2a –b) 2

Ejemplo 2:

(x + y) 2 – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2

Raíz cuadrada de (x + y)2 =(x + y)

Raíz cuadrada de (a + x) 2 = (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple)

R: ((x +y) – (a + x)) 2

(x + y – a – x) 2 = (y – a) 2

ECUACIONES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES:

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido,

llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de

dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con

incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se

deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los

que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de

ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el

coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del

operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el

siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=),

entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el

inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x,

entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos

el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½ = 56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS:

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las

cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada

una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:

Ax + By = C

donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del

conjunto de los naturales.

Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas

todas las propiedades ya anteriormete estudiadas.

Ejemplo #01

3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo

siguiente:

Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la

sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0

3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos

3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3

3X / 3 = 3 / 3

X = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el

valor de Y despejando:

3(1) + 6Y = 3

3 + 6Y = 3

-3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término

independiente y obtenemos:

http://deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/p/ecuacion-de-primer-grado-con-dos.html

6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal

manera que

Y = 0/ 6

Y = 0 y asi hallamos en valor de Y.

ECUACIONES CUADRÁTICAS:

FUNCIONES

FUNCIÓN LINEAL:

Las funciones lineales son funciones de dominio real y condominio real, cuya

expresión analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b cona y b números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes

perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la

ordenada en el origen es b.

El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos b,

ejemplo.

.

FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la

forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto

de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y

de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la

ecuación tiene todos los términos se dice que es unecuación completa, si a la

ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación

es incompleta.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función

cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html

Como contrapartida, diremos que

una parábola es la representación

gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas

características o elementos bien

definidos dependiendo de los valores

de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos

son:

Orientación o concavidad (ramas o

brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos

de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos

de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término

cuadrático (la ax2):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) =

2x2 − 3x − 5

Parábola del puente, una función cuadrática.

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) =

−3x2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.