RUSNI SAMSIR H111 13 002
Transcript of RUSNI SAMSIR H111 13 002
0
MODEL MATEMATIKA FERMENTASI BATCH ETANOL DAN
ESTIMASI PARAMETER MODEL MENGGUNAKAN METODE
MARKOV CHAIN MONTE CARLO
SKRIPSI
RUSNI SAMSIR
H111 13 002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2017
i
HALAMAN JUDUL
MODEL MATEMATIKA FERMENTASI BATCH ETANOL DAN
ESTIMASI PARAMETER MODEL MENGGUNAKAN METODE
MARKOV CHAIN MONTE CARLO
SKRIPSI
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Program Studi Matematika Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Hasanuddin
RUSNI SAMSIR
H111 13 002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2017
ii
LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN
iii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING
iv
HALAMAN PENGESAHAN
v
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas
segala limpahan rahmat, nikmat dan hidayah yang diberikan sehingga penulis dapat
menyelesaikan penulisan skripsi dengan judul “Model Matematika Fermentasi
Batch Etanol dan Estimasi Parameter Model Menggunakan Metode Markov
Chain Monte Carlo” sebagai salah satu syarat akademik untuk meraih gelar
sarjana pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Salawat dan salam semoga senantiasa
tercurah kepada baginda Rasulullah Nabiullah Muhammad SAW beserta
keluarga, sahabat dan para pengikutnya hingga akhir zaman.
Penulis menyadari bahwa penyelesaian tugas akhir ini tidak luput dari
bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ucapan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada kedua orang tua penulis, Ayahanda Samsir Taherong
dan Ibunda Nurhayati Stawa atas didikan, curahan limpahan kasih sayang,
dukungan, doa dan nasehat yang senantiasa diberikan sedari kecil sampai saat ini
kepada penulis. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada adik tersayang
Serni Adila Samsir dan Lidya Pratiwi Samsir atas dukungan dan doa, serta
kehadirannya yang selalu menghangatkan dan menghadirkan canda tawa ditengah-
tengah keluarga. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada keluarga besar
penulis atas doa, nasihat, dukungan, dan bantuannya baik moril maupun materil.
Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh keikhlasan
juga penulis ucapkan kepada :
1. Ibu Prof. Dr. Dwia Aries Tina Palubuhu, MA, selaku Rektor Universitas
Hasanuddin berserta seluruh jajarannya.
2. Bapak Dr. Eng. Amiruddin, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin beserta seluruh jajarannya.
3. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc, selaku Ketua Departemen
Matematika, Bapak Amran S.Si, M.Si selaku sekretaris Departemen
vi
Matematika dan selaku “pembimbing ketiga” penulis yang selalu memberikan
kritik dan saran yang membangun, segenap dosen pengajar dan staf
Departemen Matematika yang telah membekali ilmu dan kemudahan-
kemudahan kepada penulis dalam berbagai hal selama menjadi mahasiswa di
Departemen Matematika.
4. Seluruh Dosen Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Terima kasih atas ilmu dan
pengalaman yang diberikan kepada penulis selama menjalani pendidikan.
Semoga Allah SWT senantiasa membalas segala kebaikan beliau dengan
limpahan nikmat- Nya.
5. Ibu Dr. Kasbawati, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing utama atas nasehat,
dukungan, motivasi, doa dan dengan setulus hati telah meluangkan waktunya
ditengah berbagai kesibukan dan prioritasnya untuk membimbing penulis
menyelesaikan tugas akhir ini. Sesunguhnya dari beliau, penulis tak hanya
mendapat didikan tugas akhir semata, namun lebih dari pada itu. Dari beliau,
penulis belajar banyak hal tentang menjadi seorang peneliti yang professional,
berintegritas dan berdedikasi yang tinggi.
6. Bapak Andi Kresna Jaya, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing pertama dan
penasehat akademik yang telah memberikan perhatian, dukungan, motivasi dan
doa yang terbaik serta dengan penuh kesabaran senantiasa memberikan saran,
meluangkan waktu untuk berdiskusi dan dengan penuh kerendahan hati
bersedia meminjamkan ruangan beliau sebagai tempat belajar dan tempat
penyusunan tugas akhir ini.
7. Ibu Naimah Aris, S.Si., M.Math selaku Ketua Tim Penguji dengan segala
keramahan serta ketulusannya dalam memberikan koreksi dan saran dalam
penyusunan tugas akhir ini.
8. Bapak Andi Galsan Mahie, S.Si, M.Si selaku Sekretaris Tim Penguji yang
selama seminar telah memberikan kritikan yang membangun dan saran dalam
penyempurnaan penyusunan tugas akhir.
vii
9. Ibu Sri Astuti Thamrin, S.Si., M.Stat., Ph.D selaku anggota penguji yang
selama ini memberikan kritik membangun, saran, dan dukungan dalam dalam
penyempurnaan penyusunan tugas akhir.
10. Teman-teman PAKBAL yakni Pradika Mustafa, Sartika, Andi Daniah
Pahrany, Musdalifa Masdar, S.Psi, Siti Ardiyanty Badawi, Hartina Jalihu,
S.Si, I ketut Ari Wiguna, Muh. Ihsan Fatwa, Afif Budi Andy, Muflih
Mubrak Darmadi, S.Si, Erwin Sanjaya Yusuf, Muqtadir Haq, dan Yan
Partha Wikrama. Terima kasih atas bantuan, dukungan, pelajaran, dan
persaudaraan terindah yang terjalin selama perkuliahan ini. Ada banyak
kenangan dan kesan yang sulit untuk dilupakan.
11. Saudara seperjuangan di Departemen Matematika angkatan 2013, MIPA
2013 dan Binomial 2013, terkhusus Muh. Sudin Nur, Teguh Fajrin
Nugraha, Qurniatullah Hasan, Rahmat, Andi Hary Mulyadi, Puji Batari
Asis, Nuni Hardiyanti Nurdin, Nurhikmah dan Siti Surya Rahmi, S.Si,
terima kasih sudah menemani, berjuang bersama, motivasi, dan
kebersamaannya yang mewarnai hari-hari penulis selama perkuliahan.
12. Teman-teman sebapak seruangan yang menjadi saksi perjuangan penulis,
“B4P31235N4”, yaitu Mentari, Nuni, Puji, Eka, Ika, Daniah, Egi, Indah,
Mimi, Ade, Kak Ivan, Irfan, Syawal dan Aldi atas motivasi, semangat,
dukungan, serta bantuan yang diberikan dalam penyelesaian tugas akhir ini.
13. Kanda-kanda dan segenap keluarga besar Himatika FMIPA Unhas dan KM
FMIPA Unhas yang selalu memberikan semangat, pelajaran, dan pengalaman
berharga yang tidak bias didapatkan ditempat lain.
14. Adik-adik Transpose 2014, Simetris 2015 dan Algoritma 2016 yang telah
memberikan bantuan baik dalam akademik dan organisasi serta Kak Ashar dan
Kak Edi yang selalu memberikan masukan dan saran dalam penulisan tugas
akhir ini.
15. Kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu, semoga
segala dukungan dan partisipasi yang diberikan kepada penulis bernilai ibadah
disisi Allah SWT, Amiin.
viii
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu
dengan segala kerendahan hati penulis memohon maaf dan mengharapkan kritik
dan saran yang bersifat membangun yang akan penulis terima sebagai bahan
perbaikan di masa yang akan datang dengan harapan agar tulisan ini dapat
memberikan manfaat lebih bagi semua pihak.
Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah ilmu
pengetahuan bagi kita semua. Amiin Yaa Rabbal Alamin.
Makassar, 28 November 2017
Penulis
ix
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI UNTUK
KEPENTINGAN AKADEMIK
Sebagai civitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di
bawah ini :
Nama : Rusni Samsir
NIM : H111 13 002
Program Studi : Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jenis Karya : Skripsi
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada
Universitas Hasanuddin Hak Bebas royalti Non-eksklusif (Non-exclusive
Royalty Free Right) atas skripsi saya yang berjudul :
“Model Matematika Fermentasi Batch Etanol dan Estimasi Parameter Model
Mengggunkan Metode Markov Chain Monte Carlo”
beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka
pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola
dalam bentuk pangkalan data (database), merawat dan mempublikasikan skripsi
saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Makassar pada tanggal 28 November 2017
Yang menyatakan
Rusni Samsir
x
ABSTRAK
Dalam tugas akhir ini model matematika dikembangkan untuk menggambarkan
proses fermentasi pembentukan etanol secara batch dengan menggunakan
mikroorganisme Saccharomyces Cerevisiae dan alga Spirogyra Peipingensis
sebagai bahan baku. Dalam model tersebut terdapat tiga variabel eksperimen yang
ditinjau yaitu substrat (glukosa), sel, dan produk (etanol) serta terdapat sembilan
parameter kinetik yang digunakan untuk memodelkan proses fermentasi batch
tersebut. Perubahan konsentrasi glukosa, sel dan etanol di dalam media
pertumbuhan dimodelkan menggunakan persamaan diferensial biasa yang
diintegrasikan secara numerik menggunkan metode Runge-Kutta orde 4. Nilai
kinetik dari kesembilan parameter model diestimasi menggunakan metode Markov
Chain Monte Carlo dimana penyelesaian estimasi parameter tersebut melibatkan
proses optimasi berupa minimasi jarak antara solusi model dengan nilai data
eksperimen. Nilai parameter yang dihasilkan digunakan untuk mendapatkan solusi
model yang diharapkan dapat menggambarkan dinamika konsumsi glukosa, etanol
dan sel. Hasil tersebut menjadi alat validasi dari model yang dibangun. Kesesuaian
antara solusi model dan data hasil eksperimen menunjukkan bahwa model yang
dibangun dapat digunakan untuk memprediksi perilaku dinamis bioproses yang
dimodelkan.
Kata kunci : Fermentasi Etanol, Metode Batch, Model Kinetik, Metode Runge-
Kutta, Metode MCMC.
xi
ABSTRACT
In this study, a mathematical model was developed to describe a batch fermentation
process, a chemical conversion process by Saccharomyces Cerevisiae
microorganism using Spirogyra Peipingensis algae as the raw material. Three
experimental variables were considered, i.e. substrate (glucose), cell, and product
(ethanol), and nine kinetic parameters were included to model the batch
fermentation system. The rate of the change of glucose, cell and ethanol
concentrations in the culture medium were modeled by using a set of ordinary
differential system which were integrated numerically using the 4th-order Runge-
Kutta method. The kinetic values of the nine model parameters were estimated
using Markov Chain Monte Carlo (MCMC) method where the estimation process
involved an optimization procedure. The optimization problem was simply defined
as finding the optimal distance between the model solutions and the experimental
data values. The resulting parameter values were used to generate the solutions of
the model that are expected can imitate the trend of glucose consumption, ethanol
production and the growth of yeast cell. This estimation result was a tool to validate
the generated model. The suitability between model solution and experimental data
showed that the formulated model could be used to predict the dynamical behavior
of modeled bioprocesses.
Keywords : Ethanol Fermentation, Batch Method, Kinetic Modelling, Runge-
Kutta Method, MCMC Method.
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN ................................................... ii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
KATA PENGANTAR ........................................................................................... v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .............................................. ix
ABSTRAK ............................................................................................................. x
ABSTRACT .......................................................................................................... xi
DAFTAR ISI ........................................................................................................ xii
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiv
DAFTAR TABEL .............................................................................................. xvi
DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................... xvii
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ...................................................................... 3
1.3 Batasan Masalah......................................................................... 3
1.4 Tujuan Penulisan ........................................................................ 3
1.5 Manfaat Penulisan ...................................................................... 4
1.6 Sistematika Penulisan ................................................................ 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................... 5
2.1 Fermentasi................................................................................... 5
2.2. Model Kinetika Pertumbuhan Sel .............................................. 6
2.3. Titik Kesetimbangan Sistem ...................................................... 8
2.4. Kestabilan Titik Kesetimbangan ............................................... 8
2.5. Estimasi Parameter .................................................................... 9
2.5.1. Pendekatan Bayesian .................................................................................. 9
2.5.2. Fungsi Likelihood ......................................................................................... 9
2.5.3. Distribusi Prior ..........................................................................................10
2.5.4. Distribusi Posterior ...................................................................................11
2.6. Komputasi Bayesian ................................................................. 12
xiii
2.6.1. Markov Chain Monte Carlo .......................................................................12
2.6.2. Algoritma Metropolis-Hasting ..................................................................13
2.7. Data Fermentasi Etanol ........................................................... 13
BAB III MODEL KINETIKA FERMENTASI BATCH PADA PRODUKSI
BIOETANOL ....................................................................................... 16
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 20
4.1 Analisis Model ........................................................................... 20
4.2 Estimasi Parameter .................................................................. 22
4.2.1 Fungsi Likelihood .......................................................................................22
4.2.2 Distribusi Prior ..........................................................................................23
4.2.3 Distribusi Posterior ...................................................................................25
4.2.4 Algoritma Metropolis-Hastings ................................................................26
4.3 Estimasi Parameter menggunakan Algoritma Metropolis
Hasting ...................................................................................... 27
4.4 Validasi Model Dengan Data Hasil Eksperimen ..................... 34
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 51
5.1 Kesimpulan................................................................................ 51
5.2 Saran .......................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 53
LAMPIRAN ......................................................................................................... 56
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Ilustrasi dari : (a) Sistem fermentasi batch, (b) Sistem fermentasi
fed-batch, dan (c) Sistem fermentasi kontinu. ................................... 6
Gambar 2. 2 Data eksperimen fermentasi etanol dengan metode
batch……..………………………………………………………….14
Gambar 2. 3 Hasil interpolasi eksperimen fermentasi etanol ............................... 15
Gambar 3. 1 Hubungan antara laju pertumbuhan spesifik sel 𝜇 terhadap
konsentrasi substrat dan konsentrasi produk………………………...17
Gambar 4. 1 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 1000
iterasi…………………………………………………………….....28
Gambar 4. 2 Grafik posterior untuk 10.000 iterasi………………………………29
Gambar 4. 3 Grafik posterior untuk 100.000 iterasi. ............................................ 30
Gambar 4. 4 Grafik posterior untuk 1.000.000 iterasi. ......................................... 31
Gambar 4. 5 Grafik posterior untuk 2.000.000 iterasi. ......................................... 32
Gambar 4. 6 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk
1.000 iterasi. ..................................................................................... 35
Gambar 4. 7 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk
10.000 iterasi. ................................................................................... 35
Gambar 4. 8 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk
100.000 iterasi……………………………………………………….36
Gambar 4. 9 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk
1.000.000 iterasi. .............................................................................. 36
Gambar 4. 10 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk
2.000.000 iterasi. ............................................................................ 37
Gambar 4. 11 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000 iterasi. ... 37
Gambar 4. 12 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 10.000 iterasi. . 38
Gambar 4. 13 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 100.000 iterasi38
Gambar 4. 14 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000.000
iterasi. ............................................................................................. 39
xv
Gambar 4. 15 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 2.000.000
iterasi. ............................................................................................. 39
Gambar 4. 16 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 1.000
iterasi. ............................................................................................. 40
Gambar 4. 17 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 10.000
iterasi. ............................................................................................. 40
Gambar 4. 18 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk
100.000 iterasi. ............................................................................... 41
Gambar 4. 19 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk
1.000.000 iterasi. ............................................................................ 41
Gambar 4. 20 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk
2.000.000 iterasi. ............................................................................ 42
Gambar 4. 21 Nilai error glukosa untuk setiap iterasi. ......................................... 45
Gambar 4. 22 Nilai error sel untuk setiap iterasi. ................................................. 45
Gambar 4. 23 Nilai error etanol untuk setiap iterasi. ............................................ 46
Gambar 4. 24 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk
1000 iterasi. .................................................................................... 46
Gambar 4. 25 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk
10.000 iterasi. ................................................................................. 47
Gambar 4. 26 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk
100.000 iterasi. ............................................................................... 47
Gambar 4. 27 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk
1.000.000 iterasi. ............................................................................ 48
Gambar 4. 28 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk
1000 iterasi. .................................................................................... 48
Gambar 4. 29 Grafik standar deviasi untuk error untuk 1.000 iterasi. .................. 50
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel 2. 1 Konsentrasi glukosa, bimossa sel, dan etanol (Sari, 2017). ................. 14
Tabel 3. 1 Deskripsi variabel dan parameter model kinetik fermentasi etanol
dengan metode batch…….............……………....................................19
Tabel 4. 1 Nilai dari parameter-parameter yang digunakan pada
model…….............................................................................................33
Tabel 4. 2 Nilai Error untuk masing-masing variabel ........................................... 44
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Output dari Program untuk 1.000 Iterasi .......................................... 57
Lampiran 2 Data Hasil Eksperimen Pembuatan Etanol ........................................ 62
Lampiran 3 Solusi Model untuk 1.000 Iterasi...................................................... 64
Lampiran 4 Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 1.000 Iterasi ................ 74
Lampiran 5 Perbandingan Antara Data dan Model ............................................. 84
Lampiran 6 Tabel Standar Deviasi untuk Error untuk 1.000 Iterasi .................... 85
Lampiran 7 Main Program ................................................................................... 92
Lampiran 8 Fungsi Model .................................................................................... 96
Lampiran 9 Fungsi Error ...................................................................................... 97
Universitas Hasanuddin
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bioetanol telah diteliti dan direkomendasikan oleh banyak peneliti sebagai
sumber bahan bakar alternatif terbarukan dan berkelanjutan (Balat dkk., 2008;
Corro dkk., 2008; Sassner dkk., 2008). Produksi etanol sebagai bahan bakar
alternatif telah menjadi topik yang sangat diminati sejak krisis minyak dari tahun
1970an (Tao dkk., 2005).
Etanol diproduksi melalui proses fermentasi. Bahan baku untuk proses
fermentasi berupa bahan mentah seperti monosakarida atau disakarida (gula tebu,
tetes tebu), bahan berpati (padi, jagung, umbi), dan bahan selulosa (kayu, limbah
pertanian). Mikroorganisme yang dapat digunakan dalam proses fermentasi etanol
adalah Saccharomyces cerivisiae, Saccharomyces uvarum (Saccharomyces
carlsbergensis), Candida utilis, Saccharomyces anamensis, Schizosccharomyces
pombe. Saccharomyces cerevisiae merupakan mikroorganisme yang paling banyak
digunakan karena memiliki produktivitas etanol yang tinggi sehingga dapat
digunakan dalam skala besar untuk produksi bioetanol (Balat dkk., 2008; Liu dkk.,
2008). Proses produksi etanol dapat melalui beberapa metode produksi, salah
satunya yaitu metode fermentasi batch. Pada metode fermentasi batch dilakukan
dengan cara memasukkan media dan inkolum secara bersamaan ke dalam
bioreaktor dan pengambilan produk dilakukan pada akhir fermentasi (Rusmana,
2008). Metode ini banyak digunakan dalam skala laboratorium karena metode ini
relatif sederhana dan tidak memerlukan alat-alat khusus.
Model sederhana yang diformulasikan untuk menggambarkan proses
fermentasi batch adalah model tidak terstruktur. Hal tersebut dikarenakan model ini
tidak memperhitungkan perubahan intraselular, keadaan atau keseimbangan dalam
sel (diasumsikan bahwa proses metabolisme dalam keadaan seimbang) (Balat dkk.,
2008; Sassner dkk., 2008). Sedangkan pada model terstruktur, struktur biomassa
didefinisikan dengan menggunakan lebih dari satu variabel, yang mewakili
Universitas Hasanuddin
2
komponen sel, seperti kandungan RNA, enzim, reaktan dan produk
(Charalampopoulos dkk., 2009).
Salah satu kajian menarik dari model tidak terstruktur adalah estimasi nilai
parameter model kinetik. Penelitian tentang metode estimasi nilai parameter model
fermentasi etanol telah dikaji oleh beberapa peneliti, antara lain Skolkap dkk
(2004) yang melakukan penelitian tentang optimasi fermentasi fed-batch dengan
menggunakan metode estimasi parameter Markov Chain, Phisalaphong dkk (2006)
yang memodelkan pengaruh suhu pada proses fermentasi batch dengan
menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS), Kostov dkk (2012) yang
mebandingkan beberapa model fermentasi batch alkohol dengan menggunakan
metode kuadrat error terkecil dan Olievera dkk (2016) yang meneliti tentang model
kinetik proses fermentasi batch dengan menggunakan metode regresi non-linear.
Pada penelitian ini penulis tertarik untuk memodelkan proses fermentasi metode
batch dan memanfaatkan data fermentasi hasil eksperimen untuk mengestimasi
nilai parameter dari model yang dibangun menggunakan metode Markov Chain
Monte Carlo. Metode Markov Chain Monte Carlo merupakan metode simulasi
untuk mendapatkan data sampel dari suatu variabel acak dengan teknik sampling
yang menggunakan sifat rantai Markov. Metode Markov Chain Monte Carlo
(MCMC) memiliki kemampuan yang efektif untuk menentukan nilai estimasi
parameter suatu variabel acak yang berdimensi tinggi sehingga memerlukan sebuah
solusi alternatif dengan pendekatan numerik. Berdasarkan uraian tersebut maka
penulis melakukan sebuah penelitian yang dituliskan dalam bentuk skripsi yang
diberi judul :
Model Matematika Fermentasi Batch Etanol dan Estimasi Parameter Model
Menggunakan Metode Markov Chain Monte Carlo.
Universitas Hasanuddin
3
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah :
1. Bagaimana memodelkan proses pembentukan etanol dengan metode fermentasi
batch?
2. Bagaimana menganalisis kestabilan model matematika pada proses
pembentukan etanol dengan metode fermentasi batch?
3. Bagaimana mengestimasi nilai parameter model yang telah dibangun
menggunakan data eksperimen fermentasi etanol?
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah dalam penelitian ini diberikan dari beberapa
asumsi berikut, yaitu :
1. Proses fermentasi yang dimodelkan adalah proses fermentasi etanol dengan
metode batch.
2. Proses fermentasi etanol terjadi pada kondisi yang ideal.
3. Model yang dibangun merupakan model tidak terstruktur yang hanya
memperhatikan variabel glukosa sebagai substrat, etanol sebagai produk, dan
sel Saccharomyces Cerevisiae sebagai mikroorganisme pelaku fermentasi.
1.4 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Membangun model matematika dari proses fermentasi etanol dengan metode
fermentasi batch.
2. Menganalisis kestabilan titik kesetimbangan model matematika pada proses
pembentukan etanol dengan metode fermentasi batch.
3. Mengestimasi nilai parameter kinetik dari model menggunakan metode
Markov Chain Monte Carlo (MCMC).
Universitas Hasanuddin
4
1.5 Manfaat Penulisan
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Memberikan gambaran bagaimana proses fermentasi dapat direpresentasikan
dalam bahasa matematika (model matematika).
2. Memberikan pemahaman mengenai metode estimasi parameter yang dapat
digunakan untuk mengestimasi parameter model dengan menggunakan data
hasil eksperimen.
1.6 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan
masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan
sistematika penulisan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini membahas mengenai fermentasi, model kinetika fermentasi,
model kinetika pertumbuhan sel, titik kesetimbangan sistem, kestabilan
titik kesetimbangan, estimasi parameter, metode Markov Chain Monte
Carlo serta data fermentasi etanol.
BAB III MODEL KINETIKA FERMENTASI BATCH PADA PRODUKSI
BIOETANOL
Pada bab ini membahas tentang pengkonstruksian model kinetika
fermentasi batch.
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini membahas tentang analisis model, fungsi likelihood,
distribusi prior, distribusi posterior, algoritma Metropolis-Hastings,
estimasi parameter dengan algoritma Metropolis-Hastings, dan validasi
model dengan data hasil eksperimen.
BAB V PENUTUP
Memuat kesimpulan dan saran yang diperoleh dari pembahasan yang
telah dilakukan.
Universitas Hasanuddin
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fermentasi
Fermentasi adalah reaksi kimia yang melibatkan hidrolisis enzimatik
sukrosa menjadi glukosa dan fruktosa diikuti oleh produksi etanol dan karbon
dioksida dari gula sederhana (Demirbas., 2007). Ada tiga jenis mikroorganisme
yang bisa digunakan dalam fermentasi etanol, yaitu ragi, bakteri dan jamur (Naik
dkk., 2010). Enzim invertase mengkatalisis hidrolisis sukrosa menjadi glukosa dan
fruktosa, seperti yang ditunjukkan pada Persamaan 2.1,
𝐶12𝐻22𝑂11 𝐶6𝐻12𝑂2 + 𝐶6𝐻12𝑂6 ∙ (2.1)
Selanjutnya enzim zymase merubah glukosa menjadi fruktosa dan etanol
ditunjukkan oleh Persamaan 2.2,
𝐶6𝐻12𝑂6 2𝐶2𝐻5𝑂𝐻 + 2𝐶𝑂2. (2.2)
Fermentasi berasal dari kata fervere yang berarti mendidihkan. Seiring
perkembangan teknologi, definisi fermentasi meluas menjadi semua proses yang
melibatkan mikroorganisme untuk menghasilkan suatu produk primer dan produk
sekunder dalam suatu lingkungan yang dikendalikan. Pada mulanya istilah
fermentasi digunakan untuk menunjukkan proses perubahan glukosa menjadi
etanol yang berlangsung secara anaerob. Istilah tersebut kemudian berkembang
lagi menjadi seluruh perombakan senyawa organik yang dilakukan
mikroorgansme dengan melibatkan enzim yang dihasilkannya. Fermentasi adalah
perubahan struktur kimia dari bahan-bahan organik dengan memanfaatkan agen
biologis terutama enzim sebagai biokatalis (Nugraha., 2014).
Secara umum metode fermentasi terbagi atas 3 (tiga), yaitu metode
fermentasi batch, metode fermentasi fed-batch dan metode fermentasi kontinu.
Pada metode fermentasi batch dilakukan dengan cara memasukkan media dan
inkolum secara bersamaan ke dalam bioreaktor dan pengambilan produk
dilakukan pada akhir fermentasi. Pada metode fermentasi fed-batch dilakukan
dengan cara memasukkan sebagian sumber nutrisi ke dalam bioreaktor dengan
Universitas Hasanuddin
6
volume tertentu hingga diperoleh produk yang mendekati maksimal, akan tetapi
konsentrasi sumber nutrisi dibuat konstan. Pada metode ini, media baru
ditambahkan secara teratur tanpa mengeluarkan produk hasil fermentasi.
Sedangkan pada metode fermentasi kontinu, pengaliran subtrat dan pengambilan
produk dilakukan secara terus menerus (kontinu) setiap saat setelah diperoleh
konsentrasi produk maksimal atau subtrat pembatasnya mencapai konsentrasi
yang hampir tetap (Rusmana., 2008). Gambar 2.1. merupakan ilustrasi fermentasi
etanol dengan menggunakan metode batch, fed-batch dan kontinu.
Gambar 2. 1 . Ilustrasi dari : (a) Sistem fermentasi batch, (b) Sistem fermentasi
fed-batch, dan (c) Sistem fermentasi kontinu.
2.2. Model Kinetika Pertumbuhan Sel
Model kinetika fermentasi adalah sebuah model yang menggambarkan
pertumbuhan dan pembentukan produk oleh mikroorganisme. Bukan hanya
pertumbuhan sel aktif, akan tetapi juga kegiatan-kegiatan sel yang istirahat dan sel
yang telah mati (Didu., 2010). Model kinetika pertumbuhan yang paling terkenal
adalah model kinetik Monod. Model ini merepresentasikan pertumbuhan sel yang
diperkenalkan ke dunia pada tahun 1949 oleh Jacques Monod (Monod., 1949).
Universitas Hasanuddin
7
Misalkan 𝑋 menyatakan konsentrasi sel (g/l) dan 𝜇 adalah laju
pertumbuhan spesifik sel (h-1), maka laju perubahan konsentrasi sel terhadap waktu
dimodelkan sebagai berikut :
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝜇𝑋. (2.3)
Selama fermentasi batch, laju pertumbuhan spesifik sel dipengaruhi oleh
konsentrasi nutriennya. Hubungan antara laju pertumbuhan spesifik sel dengan
glukosa dapat dilihat pada persamaan berikut (Monod, 1949) :
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑠𝑥 + 𝑆 , (2.4)
dengan 𝑆 menyatakan konsentrasi glukosa (g/l), 𝜇𝑚𝑎𝑥 menyatakan laju maksimum
pertumbuhan spesifik sel (h-1), dan 𝐾𝑠𝑥 menyatakan konsentrasi glukosa yang
mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai setengah dari laju
maksimum.
Laju konsumsi substrat dan laju pembentukan produk oleh sel dapat
diperoleh melalui koefisien yield. Koefisien tersebut menyatakan rasio laju
produksi terhadap laju konsumsi untuk suatu pasangan substrat dan produk
(Kasbawati, 2015). Pertumbuhan dan pembentukan produk oleh mikroorganisme
merupakan proses biokonversi, dimana nutrient kimiawi dikonversi menjadi massa
sel dan metabolit-matabolit. Setiap konversi dapat dinyatakan sebagai koefisien
hasil (koefisein yield). Rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa
dan rasio laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa secara berturut-turut
dilihat pada Persamaan (2.5) dan Persamaan (2.6), (Kasbawati., 2015), yaitu :
𝑌𝑐𝑔 = −𝑑𝐶(𝑡)
𝑑𝐺(𝑡) , (2.5)
𝑌𝑒𝑔 = −𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝐺(𝑡) . (2.6)
dengan 𝑌𝑐𝑔 adalah rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa dan
𝑌𝑒𝑔 adalah rasio laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa.
Universitas Hasanuddin
8
2.3. Titik Kesetimbangan Sistem
Titik kesetimbangan menunjukkan suatu keadaan dari sistem yang tidak
berubah terhadap waktu. Suatu titik �̅� ∈ ℝ𝑛 dikatakan titik kesetimbangan
(equilibrium point) dari
�̇� = 𝒇(𝒙) untuk 𝒙 ∈ ℝ𝑛
(2.7)
jika memenuhi
𝒇(�̅�) = 𝟎,
Dengan
𝒇(𝒙) = (
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
⋮𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
).
2.4. Kestabilan Titik Kesetimbangan
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (2.7) dengan 𝒙 ̅ sebagai
titik kesetimbangan. Misalkan matriks Jacobi dari Persamaan (2.7) dititik
kesetimbangan �̅� adalah
𝐴 =
(
𝜕𝑓1(�̅�)
𝜕𝑥1…
𝜕𝑓1(�̅�)
𝜕𝑥𝑛⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑓𝑛(�̅�)
𝜕𝑥1…
𝜕𝑓𝑛(�̅�)
𝜕𝑥𝑛 )
.
Kestabilan titik kesetimbangan �̅� dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-
nilai eigen dari persamaan karakteristik matriks Jacobi 𝑨, yaitu 𝜆𝑖, 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛.
Nilai eigen (𝜆𝑖) merupakan solusi dari persamaan karakteristik dapat diperoleh dari
det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 0 dengan I adalah suatu matriks identitas berukuran 𝑛𝑥𝑛.
Secara umum kestabilan suatu titik kesetimbangan mempunyai perilaku
sebagai berikut:
1. Stabil, jika
a. 𝑅𝑒(𝜆𝑖) < 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dengan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) adalah bilangan real,
atau
b. Terdapat 𝑅𝑒(𝜆𝑗) = 0 untuk sebarang 𝑗 dan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) < 0 untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗.
Universitas Hasanuddin
9
2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dengan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) > 0.
dengan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) adalah bagian real dari nilai eigen 𝜆𝑖.
2.5. Estimasi Parameter
2.5.1. Pendekatan Bayesian
Dalam teori estimasi, dikenal dua pendekatan yaitu pendekatan statistika
klasik dan pendekatan statistika Bayesian. Statistika klasik sepenuhnya
mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil dari populasi.
Sedangkan statistika Bayesian, disamping memanfaatkan data sampel yang
diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut
prior. Inferensi statistik dengan pendekatan statistika Bayesian berbeda dengan
pendekatan statistika klasik. Pendekatan statistika klasik memandang parameter 𝜃
sebagai parameter yang bernilai tetap. Pendekatan statistika Bayesian memandang
parameter 𝜃 sebagai variabel acak yang memiliki distribusi, disebut distribusi prior.
Dari distribusi prior selanjutnya dapat ditentukan distribusi posterior sehingga
diperoleh estimator Bayesian yang merupakan mean atau modus dari distribusi
posterior (Hidayah, 2010).
2.5.2. Fungsi Likelihood
Fungsi likelihood merupakan fungsi kepadatan bersama 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; )
dari variabel-variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛. Misal terdapat n pengamatan
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 yang masing-masing mempunyai suatu fungsi kepadatan peluang
𝑓(𝑥, 𝜃). Fungsi likelihood dari fungsi yang bergantung terhadap 𝜃 dinotasikan
dengan 𝐿(𝜃), yakni 𝐿(𝜃) = 𝑓𝑥(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; ) atau :
𝑳(𝜽) =∏𝒇𝒙(𝒙𝒊; 𝜽)
𝒏
𝒊=𝟏
∙ (2.8)
Universitas Hasanuddin
10
2.5.3. Distribusi Prior
Distribusi Prior merupakan distribusi awal yang harus diketahui untuk
menentukan distribusi posterior suatu data. Jika dalam menentukan distribusi prior
tidak tepat, maka distribusi posterior juga tidak akan tepat. Sehingga dalam alur
kerja metode Bayesian sangatlah perlu untuk menentukan distribusi prior dengan
tepat. Permasalahan utama dalam metode Bayesian adalah bagaimana memilih
distribusi prior 𝜋(𝜃), dimana prior menunjukkan ketidakpastian tentang parameter
𝜃 yang tidak diketahui. Box dan Tiao (1973) membagi prior menjadi beberapa
kelompok berdasarkan fungsi likelihoodnya :
1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya
a. Distribusi prior konjugat (conjugate), mengacu pada acuan analisis model
terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam
penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola
distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi kepadatan
peluang pembangun likelihoodnya.
b. Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian prior
pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi
likelihoodnya.
2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi
prior tersebut.
a. Distribusi prior non-informatif, apabila pemilihan distribusi priornya tidak
didasarkan pada informasi yang ada sebelumnya. Apabila pengetahuan
tentang prior sangat lemah, maka dapat digunakan prior berdistribusi
normal dengan rata-rata nol dan variansi besar. Efek dari penggunaan prior
dengan rata-rata nol adalah estimasi parameternya dihaluskan menuju nol.
Tetapi, karena pemulusan ini dilakukan oleh varian, maka pemulusan
tersebut bisa diturunkan dengan meningkatkan varian.
b. Distribusi prior informatif, mengacu pada pemberian parameter dari
distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak.
Universitas Hasanuddin
11
2.5.4. Distribusi Posterior
Salah satu hal yang penting dalam tahapan estimasi dengan metode
bayesian adalah menentukan distribusi posterior. Distribusi Posterior dapat
diketahui dengan cara mengalikan distribusi prior dengan fungsi likelihood.
Distribusi posterior merupakan fungsi kepadatan bersyarat 𝜃 jika nilai observasi X
diketahui yang dituliskan pada persamaan (2.9):
𝑓(𝜃|𝑥𝑖) =𝑓(𝜃, 𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖) . (2.9)
Jika 𝜃 kontinu maka distribusi prior dan posterior 𝜃 dinyatakan dengan
fungsi kepadatan. Fungsi kepadatan bersyarat satu variabel acak jika diketahui nilai
variabel acak kedua adalah fungsi kepadatan bersama dua variabel acak itu dibagi
dengan fungsi kepadatan marginal variabel acak kedua. Tetapi, fungsi kepadatan
bersama 𝑓(𝜃, 𝑥𝑖) dan fungsi kepadatan marginal 𝑓(𝑥𝑖) pada umumnya tidak
diketahui, hanya distribusi prior dan fungsi likelihood yang biasanya dinyatakan
(Rahmi, 2016).
Reskianti (2013) menuliskan bahwa menurut Soejoeti dan Soebanar (1988)
fungsi kepadatan bersama yang diperlukan dapat ditulis dalam bentuk distribusi
prior dan fungsi likelihood diberikan pada persamaan (2.10):
𝑓(𝜃, 𝑥𝑖) = 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃) , (2.10)
𝑓(𝑥𝑖; 𝜃) merupakan fungsi likelihood dan 𝑓(𝜃) merupakan distribusi prior.
Selanjutnya diketahui fungsi marginal sebagai persamaan (2.11):
𝑓(𝑥𝑖) = ∫ 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)𝑑∞
0
𝜃, (2.11)
sehingga fungsi kepadatan posterior untuk variabel acak kontinu dapat ditulis
sebagai persamaan (2.12):
𝑓(𝜃|𝑥𝑖) = 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)
∫ 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)𝑑∞
0𝜃 , (2.12)
sedangkan untuk variabel acak diskrit, fungsi kepadatan posterior diberikan pada
persamaan (2.13):
𝑓(𝜃|𝑥𝑖) =𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)
∑ 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)Θ ∙
(2.13)
Universitas Hasanuddin
12
2.6. Komputasi Bayesian
2.6.1. Markov Chain Monte Carlo
Metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) merupakan metode simulasi
untuk mendapatkan data sampel dari suatu variabel acak dengan teknik sampling
yang menggunakan sifat rantai Markov. Menurut Walsh (2004). MCMC digunakan
untuk mendapatkan nilai estimasi parameter dengan mensimulasikan pengambilan
sampel secara langsung dari distribusi posterior yang kompleks. MCMC cukup
efektif untuk menentukan nilai estimasi parameter suatu variabel acak yang
berdimensi tinggi sehingga memerlukan sebuah solusi alternatif dengan pendekatan
numerik.
Ada beberapa teknik yang tersedia untuk integrasi numerik dan sebagian
besar metode yang ada sangat berhubungan dengan ide yang ada pada integral
Monte Carlo. Teknik integrasi dengan MCMC dilakukan untuk memperoleh sebuah
nilai harapan (expectation). Dalam bentuk yang sederhana dapat dituliskan seperti
pada persamaan (2.14):
∫ 𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ≅1
𝑛∑𝑓(𝑥𝑖) ,
𝑛
𝑖=1
𝑎
𝑏
(2.14)
dimana nilai 𝑥1, 𝑥2, ……𝑥𝑛 dapat diperoleh dari kepadatan 𝑝(𝑥) dalam interval
(𝑎, 𝑏). Dalam analisis paling sederhana dapat menggunakan distribusi uniform
(𝑎, 𝑏). Pada analisis Bayesian, penggunaan MCMC dapat mempermudah
analisisnya, sehingga keputusan yang diambil dari hasil analisis dapat dilakukan
dengan cepat dan tepat.
Menurut Iriawan (2001) terdapat dua kemudahan yang diperoleh dari
penggunaan metode MCMC pada analisis Bayesian. Pertama, metode MCMC
dapat menyederhanakan bentuk integral yang kompleks dengan dimensi besar
menjadi bentuk integral yang sederhana dengan satu dimensi. Kedua, dengan
menggunakan metode MCMC, estimasi densitas data dapat diketahui dengan cara
membangkitkan suatu rantai Markov yang berurutan sebanyak 𝑁 yang cukup besar.
dari distribusi marginal secara tidak langsung tanpa menghitung densitasnya.
Universitas Hasanuddin
13
2.6.2. Algoritma Metropolis-Hasting
Salah satu algoritma pada metode MCMC adalah algoritma Metropolis-
Hasting (MH). Penggunaan Algoritma Metropolis-Hasting menitikberatkan jika
terdapat salah satu parameter yang tidak diketaui, serta untuk membangkitkan
barisan sampel menggunakan mekanisme penerimaan dan penolakan. Algoritma
Metropolis-Hasting digunakan untuk membantu membangkitkan sampel-sampel
acak dari distribusi posterior yang diinginkan.
Misalkan 𝑓(𝑥) adalah fungsi kepadatan peluang, 𝑥(𝑗) adalah variabel acak
dan 𝑞(𝑥|𝑥(𝑗)) adalah distribusi prior yang akan digunakan, secara umum langkah-
langkah algortima ini diberikan sebagai berikut :
1. Bangkitkan sampel 𝑥∗~ 𝑞(𝑥|𝑥(𝑗)) .
2. Hitung nilai peluang penerimaan
𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗) = 𝑚𝑖𝑛 {1,𝑓(𝑥∗)𝑞(𝑥(𝑗)|𝑥∗)
𝑓(𝑥(𝑗))𝑞(𝑥∗|𝑥(𝑗))}
3. Perbaharui nilai 𝑥(𝑗) dengan aturan sebagai berikut :
𝑥(𝑗+1) = {𝑥∗, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝛼 ≤ 𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗)
𝑥(𝑗), 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
dengan 𝛼 ~𝒰(0,1) dimana 𝒰 distribusi seragam pada (0,1).
2.7. Data Fermentasi Etanol
Data yang digunakan adalah data hasil penelitian Desi Mukti Sari pada
tahun 2017 yang meneliti tentang fermentasi Alga Spirogyra Peipingensis menjadi
bioetanol dengan menggunakan nutrisi fermentasi organik dan anorganik. Pada
hasil penelitian tersebut, peneliti mengukur data kadar gula, biomassa sel, dan
pembentukan etanol melalui penambahan nutrisi anorganik yang dilakukan selama
4 hari. Data tersebut disajikan dalam Tabel 2.1.
Universitas Hasanuddin
14
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (Hari)
Konsentr
asi (g
/l)
Glukosa
Sel
Etanol
Gambar 2. 2 Data eksperimen fermentasi etanol dengan metode batch (Sari, 2017).
Tabel 2. 1 Konsentrasi glukosa, bimossa sel, dan etanol (Sari, 2017).
Durasi
Fermentasi
Kadar Glukosa
(g/l) Biomassa sel (g/l) Etanol (g/l)
0 jam 0,6 0,37 0
24 jam 0,06 1.87 0,26
48 jam 0,04 2,52 0,27
72 jam 0,04 2,52 0,28
96 jam 0,04 2,52 0,28
Data hasil fermentasi etanol dengan metode batch dalam Tabel 2.1. dapat dilihat
dalam gambar berikut :
Data hasil penelitian pada Tabel 2.1 kemudian diinterpolasi menjadi 50 data.
Jumlah 50 data dipilih karena pola pada jumlah data tersebut dapat terlihat dengan
jelas. Tujuan dari interpolasi data tersebut adalah untuk menentukan nilai yang
berada di antara dua nilai yang diketahui. Dalam penelitian ini, data pada Tabel 2.1
yang hanya berjumlah 5 buah data diinterpolasi menjadi 50 data. Hasil Interpolasi
data hasil eksperimen dapat dilihat pada Gambar 2.3.
Universitas Hasanuddin
15
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3Data Eksperimen
Durasi Fermentasi (hari)
Konsentr
asi (g
/l)
Glukosa
Sel
Etanol
Gambar 2. 3 Hasil interpolasi eksperimen fermentasi etanol dengan metode batch.
Universitas Hasanuddin
16
BAB III
MODEL KINETIKA FERMENTASI BATCH PADA PRODUKSI
BIOETANOL
Pada bagian ini dikonstruksi model matematika dari proses fermentasi
etanol dengan metode batch. Tinjau model matematika dari laju pertumbuhan sel
dalam Persamaan (2.3), yaitu :
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇𝑋(𝑡), (3.1)
dengan 𝑋(𝑡) menyatakan konsentrasi sel (g/l) pada saat 𝑡 dan 𝜇 menyatakan laju
pertumbuhan spesifik sel (h-1) yang diberikan dalam Persamaan (2.4), yaitu :
𝜇 = 𝜇𝑚𝐺(𝑡)
𝐾𝑔 + 𝐺(𝑡) . (3.2)
Lambang 𝐺(𝑡) menyatakan konsentrasi glukosa (g/l) pada saat 𝑡, 𝜇𝑚𝑎𝑥
menyatakan laju maksimum pertumbuhan spesifik sel (h-1), dan 𝐾𝑔 menyatakan
konsentrasi glukosa yang mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai
setengah dari laju maksimum. Dalam model pertumbuhan sel ini, diasumsikan
bahwa terdapat interaksi antara sel selama proses fermentasi berlangsung sehingga
laju pertumbuhan sel menjadi :
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇𝑋(𝑡) (1 −
𝑋(𝑡)
𝑋𝑐), (3.1)
dengan 𝑋𝑐 menyatakan konsentrasi maksimal dari sel ragi pada kondisi tertentu.
Hal ini berarti bahwa bahwa pertambahan populasi sel akan memberikan efek
inhibisi pada pertumbuhan sel itu sendiri diakibatkan dari adanya keterbatasan
sumber nutrisi (carryng capacity).
Diasumsikan pula bahwa pertumbuhan sel dipengaruhi oleh keberadaan
glukosa sebagai substrat dan etanol sebagai produk. Pengaruh konsentrasi glukosa
dan etanol yang cukup tinggi menyebabkan pertumbuhan sel mengalami inhibisi
(Levenspiel., 1999). Jika dimisalkan 𝐺𝑐 dan 𝐸𝑐 secara berturut-turut merupakan
Universitas Hasanuddin
17
konsentrasi maksimal dari glukosa dan etanol yang menyebabkan pertumbuhan sel
terhambat, dengan 0 ≤ 𝐺(𝑡) ≤ 𝐺𝑐 dan 0 ≤ 𝐸(𝑡) ≤ 𝐸𝑐 maka efek inhibisi terhadap
pertumbuhan sel dapat dimodelkan sebagai berikut :
𝜇 = 𝜇𝑚𝐺(𝑡)
𝐾𝑔 + 𝐺(𝑡)(1 −
𝐺(𝑡)
𝐺𝑐)𝑛
(1 −𝐸(𝑡)
𝐸𝑐)𝑛
, (3.2)
dengan 𝐸(𝑡) menyatakan konsentrasi etanol pada saat 𝑡. Pada saat konsentrasi 𝐺(𝑡)
sama dengan 𝐺𝑐 atau 𝐸(𝑡) sama dengan 𝐸𝑐 maka fungsi (1 −𝐺(𝑡)
𝐺𝑐) atau (1 −
𝐸(𝑡)
𝐸𝑐)
akan bernilai 0 (nol) yang berarti bahwa laju pertumbuhan sel akan berhenti (lihat
Gambar 3.1). Lambang 𝑛 menyatakan orde inhibisi, dimana pada penelitian ini
dipilih 𝑛 = 1 (efek inhibisi bersifat linier).
𝑛 =1
2
𝑛 = 1
𝑛 = 2
𝜇𝑚𝐺(𝑡)
𝐾𝑔 + 𝐺(𝑡)
𝜇 Aktivitas sistem meningkat sampai mendekati
𝐺𝑐 atau 𝐸𝑐
Jika Konsentrasi glukosa dan etanol meningkat
maka nilai 𝜇𝑚𝐺(𝑡)
𝐾𝑔+𝐺(𝑡) menurun secara linear
Nilai 𝜇𝑚𝐺(𝑡)
𝐾𝑔+𝐺(𝑡) menurun secara
eksponensial
𝐺(𝑡), 𝐸(𝑡)
0 𝐺𝑐 atau 𝐸𝑐
Konsentrasi kritis glukosa dan etanol
ketika seluruh aktivitas sel berhenti
Gambar 3. 1 Hubungan antara laju pertumbuhan spesifik sel 𝜇 terhadap konsentrasi
substrat dan konsentrasi produk.
Universitas Hasanuddin
18
Tinjau rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa dan rasio
laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa yang diberikan dalam
Persamaan (2.5) dan Persamaan (2.6), yaitu :
𝑌𝑥/𝑠 = −𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝐺(𝑡) , (3.4)
𝑌𝑝/𝑠 = −𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝐺(𝑡) , (3.5)
dengan 𝑌𝑥/𝑠 adalah rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa dan
𝑌𝑝/𝑠 adalah rasio laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa. Dari
koefisien 𝑌𝑥/𝑠 diperoleh laju perubahan glukosa yang dipengaruhi oleh laju
pertumbuhan sel, yaitu :
𝑑𝐺(𝑡)
𝑑𝑡 = −
1
𝑌𝑥/𝑠 𝜇𝑋(𝑡) (1 −
𝑋(𝑡)
𝑋𝑐) . (3.3)
Sedangkan, dari koefisien 𝑌𝑝/𝑠 diperoleh laju perubahan etanol yang dipengaruhi
oleh laju pertumbuhan sel, yaitu :
𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝑡 =
𝑌𝑝/𝑠
𝑌𝑥/𝑠 𝜇𝑋(𝑡) (1 −
𝑋(𝑡)
𝑋𝑐) . (3.4)
Selain itu, diasumsikan pula bahwa sel membutuhkan suplai nutrisi yang sebagian
akan digunakan untuk memproduksi energi. Energi tersebut selanjutnya digunakan
dalam memperbaiki komponen seluler yang rusak, membantu proses transfer nutrisi
sel dan sangat berguna dalam pemeliharaan sel ragi (Kasbawati dkk., 2017; Xiu
dkk., 1998). Dalam pemodelan kali ini, sumber nutrisi tersebut berasal dari substrat
dan produk yang dihasilkan sel pada proses fermentasi, dengan laju pengambilan
substrat dan produk sebagai 𝑚1𝐺 dan 𝑚2𝐸, dengan 𝑚1dan 𝑚2 merupakan
konstanta laju dari pengambilan substrat dan produk untuk pemeliharaan sel ragi
(maintenance sell).
Dari penguraian tersebut diperoleh model kinetika fermentasi batch, yaitu :
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇𝑋(𝑡) (1 −
𝑋(𝑡)
𝑋𝑐),
𝑑𝐺(𝑡)
𝑑𝑡= −𝑌1𝜇𝑋(𝑡) (1 −
𝑋(𝑡)
𝑋𝑐) − 𝑚1𝐺(𝑡),
(3.5)
Universitas Hasanuddin
19
𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑌2𝜇𝑋(𝑡) (1 −
𝑋(𝑡)
𝑋𝑐) − 𝑚2𝐸(𝑡),
dengan 𝑌1 =1
𝑌𝑥/𝑠 dan 𝑌2 =
𝑌𝑝/𝑠
𝑌𝑥/𝑠 dan 𝜇 diberikan dalam Persamaan (3.2). Nilai awal
yang digunakan pada sistem (3.5) adalah 𝑋(0) = 0,37 (g/l) , 𝐺(0) = 0,6 (g/l), dan
𝐸(0) = 0 (g/l) (Sari, 2017). Deskripsi variabel dan parameter model disajikan pada
Tabel 3.1.
Tabel 3. 1 Deskripsi variabel dan parameter model kinetik fermentasi etanol
dengan metode batch.
Variabel/Parameter Deskripsi Unit
𝑚1 Konstanta laju dari substrat yang
digunakan dalam pemeliharaan sel ragi h−1
𝑚2 Konstanta laju dari produk yang
digunakan dalam pemeliharaan sel ragi h−1
𝑌1 Koefisien yield (rasio laju pertumbuhan
sel terhadap laju konsumsi glukosa) gg−1
𝑌2 Koefisien yield (rasio laju produksi
etanol terhadap laju konsumsi glukosa) gg−1
𝜇 Laju pertumbuhan spesifik sel h−1
𝜇𝑚 Laju maksimum pertumbuhan spesifik
sel h−1
𝐾𝑔
Konsentrasi glukosa yang
mengakibatkan laju pertumbuhan
spesifik sel mencapai setengah dari laju
maksimum
g/l
𝑋𝑐 Konsentrasi maksimal sel yang
menyebabkan pertumbuhan sel
terhambat
g/l
𝐺𝑐 Konsentrasi maksimal glukosa yang
menyebabkan pertumbuhan sel
terhambat
g/l
𝐸𝑐 Konsentrasi maksimal etanol yang
menyebabkan pertumbuhan sel
terhambat
g/l
𝐺(𝑡) Konsentrasi glukosa pada saat t g/l
𝑋(𝑡) Konsentrasi sel pada saat t g/l
𝐸(𝑡) Konsentrasi etanol pada saat t g/l
Universitas Hasanuddin
20
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Analisis Model
Pada bagian ini, model dalam sistem (3.5) akan dianalisis dengan cara
menentukan titik kesetimbangan dan analisis titik kesetimbangan dari sistem. Titik
kesetimbangan sistem (3.5) akan dicapai ketika syarat berikut dipenuhi yaitu :
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡= 0,
𝑑𝐺(𝑡)
𝑑𝑡= 0,
𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝑡= 0.
(4.1)
Dengan menggunakan persamaan (3.5) diperoleh :
𝜇𝑋(𝑡) (1 −𝑋(𝑡)
𝑋𝑐) = 0,
(4.2)
−𝑌1𝜇𝑋(𝑡) (1 −𝑋(𝑡)
𝑋𝑐) − 𝑚1𝐺(𝑡), = 0,
(4.3)
𝑌2𝜇𝑋(𝑡) (1 −𝑋(𝑡)
𝑋𝑐) − 𝑚2𝐸(𝑡) = 0.
(4.4)
dengan 𝑌1 =1
𝑌𝑥/𝑠 dan 𝑌2 =
𝑌𝑝/𝑠
𝑌𝑥/𝑠 dan 𝜇 diberikan dalam Persamaan (3.2).
Jika Persamaan (4.2), (4.3) dan (4.4) diselesaikan secara simulatan maka akan
diperoleh titik kesetimbangan yaitu 𝑇 = (𝑋∗, 𝐺∗, 𝐸∗) = (𝑋𝑐, 0,0). Kestabilan dari
titik kesetimbangan tersebut dapat dianalisis melalui nilai eigen dari matriks
Jacobian yang sudah dilinearkan. Sehingga diperoleh matriks Jacobian untuk
𝑇 yaitu :
𝐽 = [𝐽11 𝐽12 𝐽13𝐽21 𝐽22 𝐽23𝐽31 𝐽32 𝐽33
]
(4.5)
dengan
𝐽11 =𝜇𝑚𝐺(1−
𝐺
𝐺𝑐)(1−
𝐸
𝐸𝑐)(1−
𝑋
𝑋𝑐)
𝐾𝑔+𝐺−𝜇𝑚𝐺(1−
𝐺
𝐺𝑐)(1−
𝐸
𝐸𝑐)𝑋
𝑋𝑐(𝐾𝑔+𝐺),
Universitas Hasanuddin
21
𝐽12 =𝜇𝑚 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐)𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝐾𝑔 + 𝐺−𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐸𝐸𝑐)𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝐺𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺)
−𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐) 𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
(𝐾𝑔 + 𝐺)2 ,
𝐽13 =𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐)𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝐸𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺),
𝐽21 = −𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐) (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)
+𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐)𝑋
𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑋𝑐
,
𝐽22 = −𝜇𝑚 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐)𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)
+𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐸𝐸𝑐)𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝐺𝑐 𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)
+𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐) 𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)
2 −𝑚1,
𝐽23 =𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐)𝑋 (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝐸𝑐𝑌𝑥/𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺),
𝐽31 =𝑌𝑝/𝑠 𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐) (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝑌𝑥/𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)−𝑌𝑝𝑠 𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐)𝑋
𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑋𝑐
,
𝐽32 =𝑌𝑝/𝑠 𝑋𝜇𝑚 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐) (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝑌𝑥/𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)−𝑌𝑝𝑠 𝑋𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐸𝐸𝑐) (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝐺𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑌𝑥𝑠
−𝑌𝑝𝑠 𝑋𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝐸𝐸𝑐) (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)
2 ,
𝐽33 = −𝑌𝑝𝑠 𝑋𝜇𝑚𝐺 (1 −
𝐺𝐺𝑐) (1 −
𝑋𝑋𝑐)
𝐸𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑌𝑥𝑠
−𝑚2,
Universitas Hasanuddin
22
sehingga untuk Titik 𝑇 = (𝑋∗, 𝐺∗, 𝐸∗) dengan 𝑋∗ = 0, 𝐺∗ = 0 dan 𝐸∗ = 0,
diperoleh matriks Jacobian
𝐽 = [0 0 00 −𝑚1 00 0 −𝑚2
]
Matriks 𝐽 diperoleh nilai eigen 𝜆1 = 0, 𝜆2 = −𝑚2, 𝜆3 = −𝑚1. Berdasarkan nilai
eigen yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa perilaku sistem di sekitar titik
kesetimbangan 𝑇 = (𝑋∗, 𝐺∗, 𝐸∗) stabil.
Setelah menganalisis kestabilan model matematika pada proses
pembentukan etanol dengan metode fermentasi batch, hal yang dilakukan
selanjutnya adalah mengestimasi nilai parameter model yang telah dibangun
menggunakan data eksperimen fermentasi etanol. Estimasi parameter dilakukan
dengan menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC), khususnya
dengan menggunakan algoritma Metropolis-Hasting.
4.2 Estimasi Parameter
Dalam estimasi parameter dengan menggunakan metode Bayes diperlukan
fungsi likelihood, distribusi prior, dan distribusi posterior. Distribusi prior dan
fungsi likelihood digunakan untuk membentuk distribusi posterior dan distribusi
posterior digunakan untuk mengestimasi parameter.
4.2.1 Fungsi Likelihood
Berdasarkan model matematika yang diberikan pada Persamaan (3.5),
didefinisikan sebuah fungsi dalam menentukan error, yaitu :
𝐸𝑖 = ‖𝑫𝒊 − 𝒚𝒊(𝜽)‖ , 𝑖 = 1,2, … , 50.
dengan 𝑫 menyatakan data eksperimen dan 𝒚𝒊 menyatakan solusi model yang
bergantung pada parameter 𝜃, dimana 𝜃 = {𝑌1, 𝑌2, 𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐, 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2}.
Fungsi tersebut digunakan untuk menghitung selisih antara model dan data hasil
eksperimen. Nilai error yang digunakan diasumsikan berdistribusi normal dengan
nilai 𝜇 = 0 dan 𝜎2 = 1. Atau dapat dituliskan 𝐸𝑖~𝑁(0,1), fungsi kepadatan
peluang untuk 𝐸𝑖 yaitu :
Universitas Hasanuddin
23
𝑥 > 0, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0
selainnya 𝑓(𝑥) = ቐ
𝛽𝛼
𝛤(𝛼)𝑥−(𝛼+1) 𝑒𝑥𝑝 (−
𝛽
𝑥),
0,
𝑓(𝐸𝑖; 𝜃) =1
√2𝜋𝑒−
𝐸𝑖2
2 ,
=1
√2𝜋𝑒−
∑‖𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽)‖
2
2𝑛𝑖=1 .
Fungsi likelihood yang digunakan pada penelitian ini adalah fungsi kepadatan
peluang dari distribusi normal. Fungsi likelihood 𝜃 terhadap 𝐸𝑖 dimana 𝐸𝑖 =
{𝐸1, 𝐸2, ⋯ , 𝐸50}, yaitu :
𝐿(𝜃; 𝐸𝑖) =∏1
√2𝜋𝑒−
∑‖𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽)‖
2
2𝑛𝑖=1 ,
50
𝑖=1
= (2𝜋)−25𝑒(− 12∑ ‖𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽)‖
250𝑖=1 ),
= (2𝜋)−25𝑒(− 12∑ (𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))
′(𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))
50𝑖=1 ).
(4.6)
4.2.2 Distribusi Prior
Distribusi prior adalah distribusi awal yang harus diketahui sebelum
menentukan distribusi posterior. Pemilihan distribusi prior merupakan suatu acuan
dalam menentukan distribusi posterior. Pemilihan distribusi prior dapat dilihat
berdasarkan ruang parameternya. Dalam penelitian ini digunakan distribusi prior
non-informatif dikarenakan tidak adanya informasi dari data sebelumnya. Prior
yang digunakan adalah prior yang mengikuti distibusi invers gamma. Misalkan 𝑥
adalah suatu variabel acak berdistribusi invers gamma dengan parameter 𝛼 = 1 dan
𝛽 = 1, maka fungsi densitasnya dapat dituliskan sebagai berikut :
Pada model yang dikonstruksi terdapat 9 parameter yang tidak diketahui,
yaitu 𝑌1, 𝑌2, 𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐, 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2. Dalam penelitian ini, distribusi prior yang
dipilih menggunakan distribusi Invers Gamma atau dapat didefinisikan 𝜃~𝐼𝐺(1,1),
yang dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Untuk parameter 𝑌1 diperoleh
𝑓(𝑌1) =1
𝛤(1)𝑌1−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−
1
𝑌1),
Universitas Hasanuddin
24
𝑓(𝑌1) =1
𝛤(1)𝑌1−2 𝑒𝑥𝑝 (−
1
𝑌1) ,
𝑓(𝑌1) = 𝑌1−2 𝑒−𝑌1 .
2. Untuk parameter 𝑌2 diperoleh
𝑓(𝑌2) =1
𝛤(1)𝑌2−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−
1
𝑌2),
𝑓(𝑌2) =1
𝛤(1)𝑌2−2 𝑒𝑥𝑝 (−
1
𝑌2) ,
𝑓(𝑌2) = 𝑌2−2 𝑒−𝑌2 .
3. Untuk parameter 𝜇𝑚 diperoleh
𝑓(𝜇𝑚) =1
𝛤(1)𝜇𝑚
−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝜇𝑚) ,
𝑓(𝜇𝑚) =1
𝛤(1)𝜇𝑚
−2𝑒𝑥𝑝 (−1
𝜇𝑚),
𝑓(𝜇𝑚) = 𝜇𝑚−2𝑒−𝜇𝑚 .
4. Untuk parameter 𝐾𝑔 diperoleh
𝑓(𝐾𝑔) =1
𝛤(1) 𝐾𝑔
−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝐾𝑔),
𝑓(𝐾𝑔) =1
𝛤(1)𝑌2−2 𝑒𝑥𝑝 (−
1
𝐾𝑔) ,
𝑓(𝐾𝑔) = 𝐾𝑔−2 𝑒−𝐾𝑔 .
5. Untuk parameter 𝐺𝑐 diperoleh
𝑓(𝐺𝑐) =1
𝛤(1) 𝐺𝑐
−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝐺𝑐 ) ,
𝑓( 𝐺𝑐 ) =1
𝛤(1) 𝐺𝑐
−2 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝐺𝑐 ) ,
𝑓(𝐺𝑐) = 𝐺𝑐−2 𝑒−𝐺𝑐 .
Universitas Hasanuddin
25
6. Untuk parameter 𝐸𝑐 diperoleh
𝑓(𝐸𝑐) =1
𝛤(1) 𝐸𝑐
−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝐸𝑐 ) ,
𝑓(𝐸𝑐) =1
𝛤(1) 𝐸𝑐
−2 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝐸𝑐 ) ,
𝑓(𝐸𝑐) = 𝐸𝑐−2 𝑒−𝐸𝑐 .
7. Untuk parameter 𝑚1 diperoleh
𝑓(𝑚1) =1
𝛤(1) 𝑚1
−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝑚1 ),
𝑓(𝑚1) =1
𝛤(1) 𝑚1
−2 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝑚1 ) ,
𝑓(𝑚1) = 𝑚1−2 𝑒−𝑚1 .
8. Untuk parameter 𝑋𝑐 diperoleh
𝑓(𝑋𝑐) =1
𝛤(1) 𝑋𝑐
−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝑋𝑐 ) ,
𝑓(𝑋𝑐) =1
𝛤(1) 𝑋𝑐
−2 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝑋𝑐 ),
𝑓(𝑋𝑐) = 𝑋𝑐−2 𝑒−𝑋𝑐.
9. Untuk parameter 𝑚2 diperoleh
𝑓(𝑚2) =1
𝛤(1) 𝑚2
−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝑚2 ) ,
𝑓(𝑚2) =1
𝛤(1) 𝑚1
−2 𝑒𝑥𝑝 (−1
𝑚2 ) ,
𝑓(𝑚2) = 𝑚2−2 𝑒−𝑚2 .
4.2.3 Distribusi Posterior
Dalam estimasi Bayesian, setelah informasi sampel dan prior diketahui,
maka langkah selanjutnya adalah menentukan distribusi posterior. Distribusi
Universitas Hasanuddin
26
posterior merupakan pembagian antara fungsi kepadatan bersama dan fungsi
marginal yang dapat didefinisikan :
𝑓(𝜃|𝐸) =𝐴
𝐵 ,
(4.7)
dengan A menyatakan fungsi kepadatan bersama dan B menyatakan fungsi
marginal. Misalkan 𝜃 = {𝑌1, 𝑌2, 𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐 , 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2} dinyatakan ulang dalam
bentuk 𝜃 = {𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘9}, maka dengan menggunakan Persamaan (4.7) diperoleh
𝑓(𝜃|𝐸) =(2𝜋)−25𝑒(−
12∑ (𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))
′(𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))
50𝑖=1 ) ∏ 𝑘𝑖
−2𝑒−𝑘𝑖9𝑖=1
∫ ⋯ ∫ (2𝜋)−25𝑒(− 12∑ (𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))
′(𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))
50𝑖=1 ) ∏ 𝑘𝑖
−2𝑒−𝑘𝑖 𝑑𝑘𝑖9𝑖=1
∞
0
∞
0
.
Bentuk distribusi posterior tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik,
sehingga estimasi terhadap parameter-parameternya dilakukan secara numerik
menggunakan algortima Metropolis-Hasting untuk membantu membangkitkan
sampel-sampel acak dari distribusi prior yang diinginkan.
4.2.4 Algoritma Metropolis-Hastings
Misalkan 𝑓(𝑥) adalah fungsi kepadatan peluang, 𝑥(𝑗) adalah variabel acak,
𝑞(𝑥|𝑥(𝑗)) adalah distribusi prior yang akan digunakan, dan 𝜀 adalah error antara
model dan data. Langkah-langkah algortima Metropolis-Hastings yang digunakan
pada penelitian ini yaitu :
1. Bangkitkan sampel awal 𝑥∗~ N(0,1).
2. Menghitung nilai optimal dari 𝑓(𝑥∗) yang dibangkitkan menggunakan nilai
error yang berdistribusi normal, 𝑥∗, dan data.
3. Menghitung nilai peluang penerimaan 𝑥∗, yaitu :
𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗) = 𝑚𝑖𝑛 {1,𝑓(𝑥∗)𝑞(𝑥(𝑗)|𝑥∗)
𝑓(𝑥(𝑗))𝑞(𝑥∗|𝑥(𝑗))}
4. Memperbaharui nilai 𝑥(𝑗) dengan aturan sebagai berikut :
𝑥(𝑗+1) = {𝑥∗, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑝 ≤ 𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗)
𝑥(𝑗), 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
dengan 𝑝 ~IG(1,1) dimana 𝐼𝐺 distribusi Invers Gamma pada (1,1)
Universitas Hasanuddin
27
4.3 Estimasi Parameter menggunakan Algoritma Metropolis-Hasting
Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan algoritma Metropolis-
Hasting untuk penaksir Bayesian, diperoleh rata-rata nilai untuk parameter 𝑌1, 𝑌2,
𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐, 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2. Nilai rata-rata tersebut diperoleh dengan cara
melakukan beberapa kali perulangan, yakni 1.000 kali perulangan, 10.000 kali
perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali
perulangan untuk data eksperimen dalam Tabel 2.1. Nilai rata-rata yang digunakan
sebagai nilai untuk masing-masing parameter dalam model adalah nilai rata-rata
yang menghasilkan error terkecil antara masing-masing variabel pada data dan
solusi masing-masing variabel pada model. Grafik posterior untuk masing-masing
parameter dengan 1.000 kali perulangan, 10.000 kali perulangan, 100.000 kali
perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan secara
berturut-turut dapat dilihat pada history plot pada Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar
4.3, Gambar 4.4, dan Gambar 4.5.
Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar 4.3, Gambar 4.4, dan Gambar 4.5
menunjukkaan hasil estimasi masing-masing parameter, dimana sebelum
mendapatkan nilai untuk masing-masing parameter tersebut hal pertama yang
dilakukan adalah membangkitkan sampel. Untuk membangkitkan sampel maka
digunakan distribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1. Setelah melakukan
beberapa kali percobaan sehingga diperoleh sampel untuk masing-masing
parameter yaitu : 𝑌1 = 60,3636, 𝑌2 = 7,4883, 𝜇𝑚 = 18,0309, 𝐾𝑔 =
2,4172, 𝐺𝑐 = 155,7610, 𝐸𝑐 = 1,6279, 𝑚1 = 1,7279, 𝑋𝑐 = 33,6098 dan 𝑚2 =
0,0094. Dari nilai tersebut kemudian dicari nilai minimal antara data, sampel acak
dan error, sehingga diperoleh nilai minimal dari sampel acak yaitu : 𝑌1 =
38,4679, 𝑌2 = 4,839, 𝜇𝑚 = 32,6265, 𝐾𝑔 = 4,93432, 𝐺𝑐 = 223,818, 𝐸𝑐 =
1,61961 𝑚1 = 1,6589, 𝑋𝑐 = 21,8949 dan 𝑚2 = 0,0119025. Selanjutnya rata-
rata nilai untuk masing-masing parameter yang ditunjukkan pada Gambar 4.1,
sampai Gambar 4.5 dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Universitas Hasanuddin
28
400 500 600 700 800 900 100039
40
41
42
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10004
5
6
7
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100031
32
33
34
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10003
4
5
6
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000215
216
217
218
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100022
23
24
25
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000-1
0
1
2
Iterasi
Gambar 4. 1 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 1000 iterasi.
400 500 600 700 800 900 100039
40
41
42
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10004
5
6
7
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100031
32
33
34
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10003
4
5
6
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000215
216
217
218
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100022
23
24
25
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000-1
0
1
2
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100039
40
41
42
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10004
5
6
7
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100031
32
33
34
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10003
4
5
6
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000215
216
217
218
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100022
23
24
25
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000-1
0
1
2
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100039
40
41
42
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10004
5
6
7
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100031
32
33
34
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10003
4
5
6
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000215
216
217
218
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100022
23
24
25
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000-1
0
1
2
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100039
40
41
42
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10004
5
6
7
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100031
32
33
34
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10003
4
5
6
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000215
216
217
218
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100022
23
24
25
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000-1
0
1
2
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100039
40
41
42
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10004
5
6
7
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100031
32
33
34
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10003
4
5
6
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000215
216
217
218
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
Iterasi
400 500 600 700 800 900 100022
23
24
25
Iterasi
400 500 600 700 800 900 1000-1
0
1
2
Iterasi
𝑌1 𝑌2
𝜇𝑚 𝐾𝑔
𝐺𝑐 𝐸𝑐
𝑚1 𝑋𝑐
𝑚2
𝑌1(𝑖)
𝜇𝑚(𝑖)
𝐺𝑐(𝑖)
𝑚1(𝑖) 𝑋𝑐(𝑖)
𝑌2(𝑖)
𝐾𝑔(𝑖)
𝐸𝑐(𝑖)
𝑚2(𝑖)
Universitas Hasanuddin
29
2000 4000 6000 8000 1000020
40
60
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
5
10
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
4
6
8
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000100
200
300
400
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
2
4
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100001.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000010
20
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
0.01
0.02
0.03
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
40
60
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
5
10
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
4
6
8
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000100
200
300
400
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
2
4
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100001.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000010
20
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
0.01
0.02
0.03
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
40
60
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
5
10
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
4
6
8
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000100
200
300
400
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
2
4
2000 4000 6000 8000 100001.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000010
20
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
0.01
0.02
0.03
Iterasi
𝑋𝑐(𝑖)
𝑌2(𝑖)
𝐾𝑔(𝑖)
𝐾𝑔
𝐺𝑐
𝐸𝑐(𝑖)
𝑚1
𝑚2
𝑋𝑐
𝑌1 𝑌2
𝑌1(𝑖)
𝜇𝑚(𝑖)
𝐺𝑐(𝑖)
𝑚1(𝑖)
𝑚2(𝑖)
𝜇𝑚
𝐸𝑐
𝑋𝑐 𝑚1
2000 4000 6000 8000 1000020
40
60
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
5
10
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
4
6
8
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000100
200
300
400
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
2
4
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100001.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000010
20
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
0.01
0.02
0.03
Iterasi
Gambar 4. 2 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 10.000 iterasi.
2000 4000 6000 8000 1000020
40
60
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
5
10
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
4
6
8
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000100
200
300
400
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
2
4
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100001.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000010
20
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
0.01
0.02
0.03
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
40
60
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
5
10
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000020
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
4
6
8
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000100
200
300
400
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100000
2
4
Iterasi
2000 4000 6000 8000 100001.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2000 4000 6000 8000 1000010
20
30
40
50
Iterasi
2000 4000 6000 8000 10000
0.01
0.02
0.03
Iterasi
Universitas Hasanuddin
30
2 4 6 8 10
x 104
0
50
100
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
20
25
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
200
400
600
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
2
4
6
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
1.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
50
100
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
20
25
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
200
400
600
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
2
4
6
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
1.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
50
100
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
20
25
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
200
400
600
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
2
4
6
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
1.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Iterasi
𝑋𝑐(𝑖)
𝑌2(𝑖)
𝜇𝑚
𝐾𝑔(𝑖)
𝐾𝑔
𝐺𝑐
𝐸𝑐(𝑖)
𝐸𝑐
𝑚1
𝑚2
𝑋𝑐
𝑌1 𝑌2
𝑌1(𝑖)
𝜇𝑚(𝑖)
𝐺𝑐(𝑖)
𝑚1(𝑖)
𝑚2(𝑖)
Gambar 4. 3 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 100.000 iterasi.
2 4 6 8 10
x 104
0
50
100
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
20
25
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
200
400
600
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
2
4
6
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
1.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
50
100
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
20
25
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
200
400
600
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
2
4
6
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
1.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
50
100
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
5
10
15
20
25
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
200
400
600
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
2
4
6
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
1.4
1.6
1.8
2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
Iterasi
2 4 6 8 10
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Iterasi
𝑌1 𝑌2
𝑌1(𝑖) 𝑌2(𝑖)
Universitas Hasanuddin
31
2 4 6 8 10
x 105
0
200
400
600
800
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
50
100
150
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
500
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
10
20
30
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
500
1000
1500
2000
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
200
400
600
800
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
50
100
150
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
500
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
10
20
30
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
500
1000
1500
2000
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
200
400
600
800
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
50
100
150
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
500
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
10
20
30
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
500
1000
1500
2000
Iterasi
𝜇𝑚
𝐾𝑔(𝑖)
𝐾𝑔
𝜇𝑚
𝐾𝑔(𝑖)
𝐾𝑔
𝜇𝑚(𝑖)
𝐺𝑐
𝐸𝑐(𝑖)
𝐸𝑐
𝐺𝑐(𝑖)
𝑋𝑐(𝑖)
𝑚1
𝑚2
𝑋𝑐
𝑚1(𝑖)
𝑚2(𝑖)
Gambar 4. 4 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 1.000.000 iterasi.
2 4 6 8 10
x 105
0
200
400
600
800
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
50
100
150
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
500
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
10
20
30
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
500
1000
1500
2000
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
200
400
600
800
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
50
100
150
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
500
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
10
20
30
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
500
1000
1500
2000
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
200
400
600
800
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
50
100
150
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
500
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
20
40
60
80
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
10
20
30
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
100
200
300
400
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Iterasi
2 4 6 8 10
x 105
0
500
1000
1500
2000
Iterasi
𝑌1 𝑌2
𝑌1(𝑖) 𝑌2(𝑖)
Universitas Hasanuddin
32
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
800
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
50
100
150
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
60
80
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
2000
4000
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
1.5
2
2.5
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
0.1
0.2
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
800
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
50
100
150
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
60
80
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
2000
4000
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
1.5
2
2.5
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
0.1
0.2
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
800
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
50
100
150
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
60
80
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
2000
4000
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
1.5
2
2.5
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
0.1
0.2
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
Iterasi
𝜇𝑚
𝐾𝑔(𝑖)
𝐾𝑔
𝜇𝑚(𝑖)
𝑋𝑐(𝑖)
𝑚1
𝑚2
𝑋𝑐
𝑚1(𝑖)
𝑚2(𝑖)
𝐺𝑐
𝐸𝑐(𝑖)
𝐸𝑐
𝐺𝑐(𝑖)
Gambar 4. 5 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 2.000.000 iterasi.
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
800
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
50
100
150
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
60
80
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
2000
4000
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
1.5
2
2.5
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
0.1
0.2
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
800
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
50
100
150
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
60
80
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
2000
4000
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
1.5
2
2.5
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
0.1
0.2
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
800
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
50
100
150
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
600
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
60
80
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
2000
4000
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
20
40
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
1.5
2
2.5
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
0.1
0.2
Iterasi
0.5 1 1.5 2
x 106
0
200
400
Iterasi
𝑌1 𝑌2
𝑌1(𝑖) 𝑌2(𝑖)
Universitas Hasanuddin
33
Tabel 4. 1 Nilai dari parameter-parameter yang digunakan pada model.
Parameter Unit Nilai
1.000
Iterasi
10.000
Iterasi
100.000
Iterasi
1.000.000
Iterasi
2.000.00
0 Iterasi
𝑌1 gg−1 39,644 37,649 56,718 403,71 442,75
𝑌2 gg−1 5,2183 4,9467 7,5652 67,82 76,039
𝜇𝑚 h−1 32,486 29,151 27,226 241,35 245,38
𝐾𝑔 g/l 4,9233 4,3653 3,9282 38,468 39,028
𝐺𝑐 g/l 221,98 262,7 285,22 663,13 1065,4
𝐸𝑐 g/l 1,7621 1,6516 2,5669 13,026 19,221
𝑚1 h−1 1,6688 1,6591 1,7308 1,8778 1,889
𝑋𝑐 g/l 23,054 25,069 17,743 160,13 146,45
𝑚2 h−1 0,012137 0,012775 0,01597 0,011276 0,1321
Berdasarkan Tabel 4.1, diperoleh hasil rata-rata nilai taksiran masing-masing
parameter dengan menggunakan 1.000 kali perulangan, 10.000 kali perulangan,
100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan
secara berurutan, yaitu : nilai koefisien yield (rasio laju pertumbuhan sel terhadap
laju konsumsi glukosa) atau 𝑌1 sebesar 39,644 g/l, 37,649 g/l, 56,718 g/l, 403,71
g/l, dan 442,75 g/l, nilai Koefisien yield (rasio laju produksi etanol terhadap laju
konsumsi glukosa) atau 𝑌2 sebesar 52,183 g/l, 49,467 g/l, 7,5652 g/l, 67,82 g/l,
dan 76,039 g/l, nilai laju maksimum pertumbuhan spesifik sel atau 𝜇𝑚 sebesar
32,486 h−1, 29,151 h−1, 27,226 h−1, 241,35 h−1, dan 245,38 h−1, nilai konsentrasi
glukosa yang mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai setengah dari
laju maksimum atau 𝐾𝑔 sebesar 49,233 g/l, 43,653 g/l, 39,282 g/l, 38,468 g/l, dan
39,028 g/l, nilai konsentrasi maksimal glukosa yang menyebabkan pertumbuhan sel
terhambat atau 𝐺𝑐 sebesar 221,98 g/l, 262,7 g/l, 285,22 g/l, 663,13 g/l, dan 1065,4
g/l, nilai konsentrasi maksimal etanol yang menyebabkan pertumbuhan sel
terhambat atau 𝐸𝑐 sebesar 17,621 g/l, 16,516 g/l, 25,669 g/l, 13,026 g/l, dan 19,221
g/l, nilai konstanta laju dari substrat yang digunakan dalam pemeliharaan sel ragi
atau 𝑚1 sebesar 16,688 h−1, 16,591 h−1, 17,308 h−1, 18,778 h−1, dan 1,889 h−1, nilai
konsentrasi maksimal sel yang menyebabkan pertumbuhan sel terhambat atau 𝑋𝑐
Universitas Hasanuddin
34
sebesar 23,054 g/l, 25,069 g/l, 17,743 g/l, 160,13 g/l, dan 146,45g/l, dan nilai
konstanta laju dari substrat yang digunakan dalam pemeliharaan sel ragi atau 𝑚2
sebesar 0,012137 h−1, 0,012775 h−1, 0,01597 h−1, 0,011276 h−1, dan 0,1321 h−1.
Pada Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar 4.3, Gambar 4.4, dan Gambar 4.5
dapat dilihat bahwa terdapat beberapa beberapa parameter yang belum konvergen
dan belum menghasilkan history plot yang stasioner menurut konsep Bayesian.
Dari sembilan parameter, terdapat 3 parameter yang belum konvergen, yakni
𝐺𝑐, 𝐸𝑐 dan 𝑋𝑐 yang ternyata merupakan faktor inhibisi untuk masing-masing
variabel.
Nilai yang terdapat pada Tabel 4.1 dapat digunakan sebagai nilai untuk 9
parameter dalam menentukan solusi model, meskipun masih terdapat 3 parameter
yang belum konvergen menurut konsep Bayesian. Tetapi Nilai parameter pada
Tabel 4.1 menghasilkan solusi model yang secara signifikan tidak berbeda jauh.
Namun masih terdapat nilai error untuk masing-masing perulangan. Nilai error
yang dihasilkan untuk masing-masing perulangan akan dibahas pada bagian
selanjutnya dengan cara memvalidasi solusi model dengan data eksperimen.
4.4 Validasi Model Dengan Data Hasil Eksperimen
Pada bagian ini, dilakukan simulasi yang menunjukkan perbandingan antara
data eksperimen dan model dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 4.1.
Perbandingan antara model dan data eksperimen ditunjukkan pada Gambar 4.6
sampai dengan Gambar 4.21 yang menunjukan hubungan antara data hasil
eksperimen dan data yang diperoleh dari model yang diteliti.
Universitas Hasanuddin
35
Gambar 4. 6 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk 1.000
iterasi.
Gambar 4. 7 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk 10.000
iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Model Glukosa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Model Glukosa
Universitas Hasanuddin
36
Gambar 4. 8 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk 100.000
iterasi.
Gambar 4. 9 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk
1.000.000 iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g/l
)
Data Glukosa
Model Glukosa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Model Glukosa
Universitas Hasanuddin
37
Gambar 4. 10 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk
2.000.000 iterasi.
Gambar 4. 11 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000 iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Model Glukosa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Sel
Model Sel
Universitas Hasanuddin
38
Gambar 4. 12 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 10.000 iterasi.
Gambar 4. 13 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 100.000 iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Sel
Model Sel
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nsen
trasi
(g/l
)
Data Sel
Model Sel
Universitas Hasanuddin
39
Gambar 4. 14 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000.000 iterasi.
Gambar 4. 15 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 2.000.000 iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Sel
Model Sel
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g/l
)
Data Sel
Model Sel
Universitas Hasanuddin
40
Gambar 4. 16 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 1.000
iterasi.
Gambar 4. 17 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 10.000
iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g/l
)
Data Etanol
Model Etanol
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Etanol
Model Etanol
Universitas Hasanuddin
41
Gambar 4. 18 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 100.000
iterasi.
Gambar 4. 19 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 1.000.000
iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g/l
)
Data Etanol
Model Etanol
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Etanol
Model Etanol
Universitas Hasanuddin
42
Gambar 4. 20 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 2.000.000
iterasi.
Pada Gambar 4.6, Gambar 4.7, Gambar 4.8, Gambar 4.9, dan Gambar 4.10
menunjukkan perbandingan antara konsentrasi glukosa dari hasil eksperimen dan
konsentrasi glukosa dari model yang telah dikonstruksi. Dari data eksperimen
menunjukkan bahwa konsentrasi glukosa dengan durasi fermentasi sebesar 0 jam,
24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut-turut yaitu 0,6 (g/l), 0,06 (g/l), 0,04
(g/l), 0,04 (g/l), dan 0,04 (g/l). Sedangkan berdasarkan model yang telah
dikonstruksi sebelumnya, untuk 1.000 kali perulangan, konsentrasi glukosa dengan
durasi fermentasi sebesar 0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut turut
yaitu 0,6 (g/l), 0,099 (g/l), 0,014 (g/l), 0,002 (g/l), dan 0,002 (g/l). Namun, dalam
perbandingan antara data glukosa dan model terdapat terdapat sedikit
penyimpangan yang disebut nilai error. Error antara data eksperimen dan model
dilakukan dengan menggunakan fungsi kuadrat terkecil yaitu dengan cara
menjumlahkan hasil kuadrat dari selilih antara data dan model. Pada penelitian ini
data yang digunakan berjumlah 50 data, sedemikian sehingga error yang diperoleh
untuk konsentrasi glukosa adalah penjumlahan kuadrat terkecil dari 50 data
tersebut. Sehingga diperoleh nilai error konsentrasi glukosa untuk 1.000 kali
perulangan yaitu sebesar 0,05 atau sebesar 5%. Hal yang sama juga dilakukan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Durasi Fermentasi (hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g/l
)
Data Etanol
Model Etanol
Universitas Hasanuddin
43
untuk 10.000 kali perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan
dan 2.000.000 kali perulangan, sehingga diperoleh nilai error untuk 10.000 kali
perulangan sebesar sebesar 0,05 atau sebesar 5%, untuk 100.000 kali perulangan
sebesar sebesar 0,05 atau sebesar 5%, untuk 1.000.000 kali perulangan sebesar
sebesar 0,05 atau sebesar 5%, dan untuk 2.0000.000 kali perulangan sebesar sebesar
0,05 atau sebesar 5%.
Selanjutnya pada Gambar 4.11, Gambar 4.12, Gambar 4.13, Gambar 4.14,
dan Gambar 4.15 menunjukkan perbandingan antara konsentrasi sel dari hasil
eksperimen dan konsentrasi sel dari model yang telah dikonstruksi. Dari data hasil
eksperimen menunjukkan bahwa konsentrasi sel dengan durasi fermentasi sebesar
0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut-turut yaitu 0,37 (g/l), 1,87 (g/l),
2,52 (g/l), 2,52 (g/l), dan 2,52 (g/l). Sedangkan berdasarkan model yang telah
dikonstruksi sebelumnya, untuk 1.000 kali perulangan, konsentrasi sel dengan
durasi fermentasi sebesar 0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut turut
yaitu 0,37 (g/l), 1,900 (g/l), 2,444 (g/l), 2,532 (g/l), dan 2,542 (g/l). Selanjutnya
dengan menggunakan cara yang sama untuk menghitung error pada glukosa,
diperoleh nilai error untuk konsentrasi sel yaitu untuk 1.000 perulangan sebesar
0,08 atau sebesar 8 %. Hal yang sama juga dilakukan untuk 10.000 kali perulangan,
100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan,
sehingga diperoleh nilai error untuk 10.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,12
atau sebesar 12%, untuk 100.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,15 atau sebesar
15%, untuk 1.000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,20 atau sebesar 20%, dan
untuk 2.0000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,15 atau sebesar 15%.
Selanjutnya pada Gambar 4.16, Gambar 4.17, Gambar 4.18, Gambar 4.19,
dan Gambar 4.20 menunjukkan perbandingan antara konsentrasi etanol dari hasil
eksperimen dan konsentrasi etanol dari model yang telah dikonstruksi. Dari data
hasil eksperimen menunjukkan bahwa konsentrasi etanol dengan durasi fermentasi
sebesar 0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut-turut yaitu 0 (g/l), 0,26
(g/l), 0,27 (g/l), 0,28 (g/l) dan 0,28 (g/l). Sedangkan berdasarkan model yang telah
dikonstruksi sebelumnya, untuk 1.000 kali perulangan, konsentrasi sel dengan
Universitas Hasanuddin
44
durasi fermentasi sebesar 0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut turut
yaitu 0 (g/l), 0,2149 (g/l), 0,2832 (g/l), 0,2835 (g/l), 2,274 (g/l). Selanjutnya dengan
melakukan cara yang sama untuk menghitung error pada glukosa dan sel, diperoleh
nilai error konsentrasi etanol untuk 1.000 kali perulangan yaitu sebesar 0,05 atau
sebesar 5 %. Hal yang sama juga dilakukan untuk 10.000 kali perulangan, 100.000
kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan, sehingga
diperoleh nilai error untuk 10.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,05 atau sebesar
5%, untuk 100.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,04 atau sebesar 4%, untuk
1.000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,03 atau sebesar 3%, dan untuk
2.0000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,03 atau sebesar 3%. Nilai error untuk
masing-masing variabel dan perbandingan antara data dan model dapat dilihat pada
Tabel 4.2 dan pada lampiran 4 dan 5.
Tabel 4. 2 Nilai Error untuk masing-masing variabel
Banyak Iterasi Nilai Error
Rata-Rata
Error
Glukosa Sel Etanol
1.000 0.05 0.08 0.05 0.06
10.000 0.05 0.12 0.05 0.07
100.000 0.05 0.15 0.04 0.08
1.000.000 0.05 0.20 0.03 0.09
2.000.000 0.05 0.15 0.03 0.07
Hasil dari validasi model dan data eksperimen menunjukkan bahwa nilai
estimasi parameter pada Tabel 4.1 dapat dijadikan pilihan dalam memilih nilai
parameter untuk 9 parameter model yang tidak diketahui. Namun, setelah
dilakukan validasi tersebut ternyata perbedaan yang paling mendasar dari 1.000 kali
perulangan, 10.000 kali perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali
perulangan dan 2.000.000 kali perulangan terletak pada nilai error untuk masing-
masing variabel dengan 1.000 kali perulangan, 10.000 kali perulangan, 100.000 kali
perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan dapat dilihat
pada Tabel 4.2. Dari Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa nilai error terkecil untuk masing-
masing variabel terjadi ketika dilakukan 1.000 kali perulangan dengan rata-rata
Universitas Hasanuddin
45
nilai error sebesar 0,06. Sehingga dalam estimasi nilai parameter kali ini, nilai
parameter yang digunakan adalah nilai rata-rata untuk 1.000 kali perulangan. Untuk
melihat perbandingan nilai error untuk masing-masing variabel dengan banyak
perulangan (iterasi) yang berbeda maka dapat dilihat pada Gambar 4.21, Gambar
4.22, dan gambar 4.23.
Gambar 4. 21 Nilai error glukosa untuk setiap iterasi.
Gambar 4. 22 Nilai error sel untuk setiap iterasi.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3
Durasi Fermentasi (jam)
Nil
ai
Ero
r
1.000 iterasi
10.000 iterasi
1.000.000 iterasi
2.000.000 iterasi
100.000 iterasi
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Durasi Fermentasi (jam)
Nil
ai
Ero
r
1.000 iterasi
10.000 iterasi
100.000 iterasi
1.000.000 iterasi
2.000.000 iterasi
Universitas Hasanuddin
46
Gambar 4. 23 Nilai error etanol untuk setiap iterasi.
Gambar 4. 24 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 1000 iterasi.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Durasi Fermentasi (jam)
Nil
ai
Ero
r
1.000 iterasi
10.000 iterasi
100.000 iterasi
1.000.000 iterasi
2.000.000 iterasi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (Hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Data Sel
Data Etanol
Model Glukosa
Model Sel
Model Etanol
Universitas Hasanuddin
47
Gambar 4. 25 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 10.000
iterasi.
Gambar 4. 26 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 100.000
iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (Hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g/l
)
Data Glukosa
Data Sel
Data Etanol
Model Glukosa
Model Sel
Model Etanol
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (Hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Data Sel
Data Etanol
Model Glukosa
Model Sel
Model Etanol
Universitas Hasanuddin
48
Gambar 4. 27 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 1.000.000
iterasi.
Gambar 4. 28 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 1000 iterasi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (Hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Data Sel
Data Etanol
Model Glukosa
Model Sel
Model Etanol
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Durasi Fermentasi (Hari)
Ko
nse
ntr
asi
(g
/l)
Data Glukosa
Data Sel
Data Etanol
Model Glukosa
Model Sel
Model Etanol
Universitas Hasanuddin
49
Pada Gambar 4.24, Gambar 4.25, Gambar 4.26, Gambar 4.27, dan Gambar
4.28 menunjukkan perbandingan antara hasil eksperimen dan model. Pada gambar
tersebut dapat dilihat bahwa model yang telah dikonstruksi dapat
merepresentasikan hasil eksperimen fermentasi etanol dengan metode batch.
Namun, dari model yang telah dikontruksi tersebut masih terdapat sedikit
penyipangan (nilai error). Nilai error tersebut diperoleh dengan menggunakan mean
square error, sehingga diperoleh error untuk 1.000 kali perulangan, 10.000 kali
perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali
perulangan yaitu sebesar 0,0062. Nilai error sebesar 0,0062 yang diperoleh sangat
kecil sehingga dapat dikatakan bahwa model dapat merepresentasikan hasil
eksperimen fermentasi etanol. Selain itu, untuk memperkuat panarikan kesimpulan,
maka digunakan standar deviasi. Standar deviasi (simpangan baku) menyatakan
keragaman sampel dan dapat digunakan untuk mendapatkan data dari suatu
populasi. Dengan melakukan perhitungan statistika deskriptif (lihat lampiran 6)
maka diperoleh standar deviasi untuk error yang ditampilkan pada Gambar 4.6.
Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa standar deviasi untuk error berada pada
interval 0,0585 sampai 0,1106 dengan mean yaitu sebesar 0,0782. Nilai deviasi
yang diperoleh sangat kecil sehingga memberikan makna bahwa titik data individu
sangat dekat dari nilai rata-rata, atau dengan kata lain, model yang telah
dikonstruksi dapat merepresentasikan proses fermentasi etanol dengan metode
batch.
Universitas Hasanuddin
50
Gambar 4. 29 Grafik standar deviasi untuk error untuk 1.000 iterasi.
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Standar Deviasi
Fre
ku
en
si
Universitas Hasanuddin
51
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan dan analisis yang telah dilakukuan,
diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Model matematika dari proses fermentasi etanol dengan metode
fermentasi batch adalah sebagai berikut :
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇𝑚
𝐺
𝐾𝑔 + 𝐺𝑋 (1 −
𝐺
𝐺𝑐) (1 −
𝐸
𝐸𝑐) (1 −
𝑋
𝑋𝑐) ,
𝑑𝐺(𝑡)
𝑑𝑡= −
1
𝑌𝑥/𝑠𝜇𝑚
𝐺
𝐾𝑔 + 𝐺𝑋 (1 −
𝐺
𝐺𝑐)(1 −
𝐸
𝐸𝑐) (1 −
𝑋
𝑋𝑐) −𝑚1𝐺,
𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝑡=𝑌𝑝/𝑠
𝑌𝑥/𝑠 𝜇𝑚
𝐺
𝐾𝑔 + 𝐺𝑋 (1 −
𝐺
𝐺𝑐) (1 −
𝐸
𝐸𝑐) (1 −
𝑋
𝑋𝑐) − 𝑚2𝐸,
dengan nilai awal 𝑋(0) = 0,37 (g/l) , 𝐺(0) = 0,6 (g/l), dan 𝐸(0) = 0 (g/l).
2. Model yang diperoleh menghasilkan satu titik kesetimbangan yang
stabil.
3. Hasil estimasi nilai parameter kinetik dari model menggunakan metode
Markov Chain Monte Carlo (MCMC) khususnya menggunakan
algoritma Metropolis-Hastings yaitu : nilai koefisien yield (rasio laju
pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa) atau 𝑌1 sebesar
39,644 g/g, nilai Koefisien yield (rasio laju produksi etanol terhadap
laju konsumsi glukosa) atau 𝑌2 sebesar 5,2183 g/g, nilai laju maksimum
pertumbuhan spesifik sel atau 𝜇𝑚 sebesar 32,486 h−1, nilai konsentrasi
glukosa yang mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai
setengah dari laju maksimum atau 𝐾𝑔 sebesar 4,9233 g/l, nilai
konsentrasi maksimal glukosa yang menyebabkan pertumbuhan sel
terhambat atau 𝐺𝑐 sebesar 221,98 g/l, nilai konsentrasi maksimal etanol
yang menyebabkan pertumbuhan sel terhambat atau 𝐸𝑐 sebesar 1,7621
g/l, nilai konstanta laju dari substrat yang digunakan dalam
Universitas Hasanuddin
52
pemeliharaan sel ragi atau 𝑚1 sebesar 1,668 h−1, nilai konsentrasi
maksimal sel yang menyebabkan pertumbuhan sel terhambat atau 𝑋𝑐
sebesar 23,054 g/l, dan nilai konstanta laju dari substrat yang digunakan
dalam pemeliharaan sel ragi atau 𝑚2 sebesar 0.012137 h−1. Nilai
parameter tersebut dapat digunakan untuk menentukan solusi model
yang menghasilkan nilai error yang sangat kecil meskipun dalam
penerapannya, menurut konsep Bayesian masih terdapat terdapat 3
parameter yang belum konvergen, yakni 𝐺𝑐 , 𝐸𝑐 dan 𝑋𝑐.
4. Standar deviasi untuk error berada pada interval 0,058 sampai 0,1076
dengan rata-rata yaitu sebesar 0,0784. Nilai standar deviasi yang
diperoleh sangat kecil yang memberikan makna bahwa model yang
telah dikonstruksi dapat merepresentasikan proses fermentasi etanol
dengan metode batch.
5.2 Saran
Pada penelitian ini, digunakan pertumbuhan sel model Monod dan
estimasi parameter dengan menggunakan algoritma Metropolis-Hastings,
dengan fungsi likelihood berdistribusi normal dan distribusi prior
menggunakan distribusi invers gamma. Namun, Perlu dikaji lebih lanjut
kestabilan titik yang diperoleh menggunakan teorema Center Manifold.
Selain itu dalam literatur terdapat beberapa jenis pertumbuhan sel selain
model Monod. Kajian dapat dilanjutkan dengan mengkaji model
pertumbuhan lain tersebut yang mungkin dapat mendekati data eksperimen.
Serta pada estimasi parameter masih terdapat 3 nilai parameter yang belum
konvergen menurut konsep Bayesian, oleh karena itu dapat dikaji faktor-
faktor yang menyebabkan parameter tersebut tidak konvergen sehingga
dapat menyempurnakan penulisan tugas akhir ini.
Universitas Hasanuddin
53
DAFTAR PUSTAKA
Balat, M., Balat, H., Oz., C., 2008. Progress in bioethanol processing. Prog. Energy
Combust. Sci. 34, 551–573.
Box, G.E.P. and Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference in Statistical Analysis.
Philippines : Addidion-Wesley Publishing Company.
Charalampopoulos, D., Vazquez, JA., Pandiella, SS. 2009. Modelling and
validation of Lactobacillus plantarum fermentations in cereal-based media
with different sugar concentrations and buffering capacities. Biochem Eng
J 44: 96- 105.
Corro, G., Ayala, E. 2008. Bioethanol and diesel/bioethanol blends emissions
abatement. Fuel 87, 3537–3542.
Demirbas, A. 2007. Progress and recent trends in biofuels. Progress in Energy and
Combustion Science, 33:1-18.
Didu, Nurhidayah. 2015. Produksi Bioetanol dari Sirup Glukosa Ubi Jalar
(Ipomoea batats L) Secara Fed Batch dengan Menggunakan
Saccharomyces Cerevisiae. [Skripsi]. Bogor: Institut Pertaniah Bogor.
Hidayah, Entin. 2010. Model Disagregasi Data Hujan Temporal Dengan
Pendekatan Bayesian Sebagai Input Pemodelan Banjir. Dalam halaman
http://digilib.its.ac.id/public/ITS-PhD-15746-Paper-860954.pdf diakses
pada tanggal 17 Juli 2017.
Iriawan, N. 2001. Penaksiran Model Mixtue Normal Univariabel: Suatu Pendekatan
Metode Bayesian dengan MCMC. Prosiding Seminar Nasional dan
Konferda VII Matematika Wilayah DIY & Jawa Tengah, Yogyakarta 105-
110.
Kasbawati, A.Y. Gunawan, R. Hertadi, K.A. Sidarto. 2017. Washout and non-
washout solutions of a system describing microbial fermentation process
under the influence of growth inhibitions and maximal concentration of
yeast cells. Mathematical Biosciences.
Universitas Hasanuddin
54
Kasbawati. 2015. Pemodelan Matematika dan Simulasi Numerik Sistem Fermentasi
Etanol oleh Sel Ragi Saccharomyces Cerevisiae. [Disertasi]. Bandung:
Institut Teknologi Bandung.
Koztov, Georgi., dkk. 2012. Modeling of Batch Alcohol Fermentation with Free
and Immobilized Yeasts Saccharomyces cerevisiae 46 EVD.
Biotechnology & Biotechnological Equipment.
Levenspiel, O. 1999. Chemical reaction engineering. Wiley & Sons. 3rd edition.
668p.
Liu, R., Shen, F., 2008. Impacts of main factors on bioethanol fermentation from
stalk juice of sweet sorghum by immobilized Saccharomyces cerevisiae
(CICC 1308). Bioresource Technol. 99, 847–854.
Monod, J. 1949. The growth of bacterial cultures. Annual Review of Microbiology,
3: 371-394.
Naik, S.N., Goud, V.V., Rout, P.K. & Dalai, A.K. 2010. Production of first and
second generation biofuels: A comprehensive review. Renewable and
Sustainable Energy Reviews, 14: 578–597.
Nugraha, A., Pratomo. 2014. Pemanfaatan Ganggang Hijau Menjadi Bahan
Bakar Bioetanol Melalui Hidrolisis Asam Sulfat. [Skripsi]. Palembang:
Politeknik Negeri Sriwijaya.
Oliveira, SC., Oliveira, RC., Tacin, MV., Gattás EAL. 2016. Kinetic Modeling and
Optimization of a Batch Ethanol Fermentation Process. J Bioprocess
Biotech 6: 266.
Phisalaphong, Muenduen., Srirattana, Nuttapana., Tanthapanichakoon, Wiwut.
2006. Mathematical modling to investigate temperature effect on kinetic
parameters of ethanol fermentation. Biochemical Engineering Journal 28:
36-43.
Rahmi, Sulvirah. 2015. Pemodelan Spasial Survival dengan Pendekatan Bayesian.
[Skipsi]. Makassar: Universitas Hasanuddin.
Reskianti, Kiki. 2013. Estimasi Parameter Bayesian Pada Analisis Data
Ketahanan Hidup Berdistribusi Eksponensial Melalui Pendekatan Self
Universitas Hasanuddin
55
Studi Kasus: Analisis Ketahanan Hidup Flourophores. [Skipsi]. Makassar:
Universitas Hasanuddin
Rusmana, Iman., 2008. Sistem Operasi Fermentasi. Bogor: Institut Pertanian
Bogor.
Sari, Desi M. 2017. Fermentasi Alga Spirogyra Peipingensis Menjadi Bioetanol
dengan Menggunakan Nutrisi Fermentasi Organik Dan Anorganik.
[Skipsi]. Makassar: Universitas Hasanuddin.
Sassner, P., Galbe, M., Zacchi, G., 2008. Techno-economic evaluation of
bioethanol production from three different lignocellulosic materials.
Biomass Bioenergy 32, 422–430.
Skolkap, Wanwiska., Scharer, J.M., Douglas, P.M., Moo-Young, M. 2004. Fed-
Batch Optimization of A-Amylase and Protease-Producing Bacillus subtilis
Using Markov Chain Methods. Waterloo: Wiley InterScience.
Tao, F.J. dkk., 2005. Ethanol fermentation by an acid-tolerant Zymomonas mobilis
under non-sterilized condition. Process Biochemistry 40, 183–187.
Walsh B. (2004). Markov Chain Monte Carlo and Gibbs Sampling. Dalam halaman
http://nitro.biosci.arizona.edu/courses/EEB596/ handouts/ Gibbs. pdf
diakses pada tanggal 17 Juli 2017.
Z. Xiu, A. Zeng, W.D. Deckwer. Multiplicity and stability analysis of mi-
croorganisms in continuous culture: growth inhibition. Biotechnol. Bioeng.
57 (1998) 251–261.
Universitas Hasanuddin
56
LAMPIRAN
Universitas Hasanuddin
57
Lampiran 1
Output dari Program untuk 1.000 Iterasi
Universitas Hasanuddin
58
Lampiran 1 (Lanjutan)
Output dari Program untuk 10.000 Iterasi
Universitas Hasanuddin
59
Lampiran 1 (Lanjutan)
Output dari Program untuk 100.000 Iterasi
Universitas Hasanuddin
60
Lampiran 1 (Lanjutan)
Output dari Program untuk 1.000.000 Iterasi
Universitas Hasanuddin
61
Lampiran 1 (Lanjutan)
Output dari Program untuk 2.000.000 Iterasi
Universitas Hasanuddin
62
Lampiran 2
Data Hasil Eksperimen Pembuatan Etanol Pada Proses Fermentasi Batch
Data Eksperimen
Durasi Fermentasi
(hari) Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
0 0.6 0.37 0
0.0816 0.5349 0.5253 0.0313
0.1633 0.4709 0.6767 0.0621
0.2449 0.4087 0.8235 0.092
0.3265 0.3492 0.9653 0.1207
0.4082 0.293 1.1015 0.1477
0.4898 0.241 1.2315 0.1728
0.5714 0.194 1.3547 0.1954
0.6531 0.1527 1.4707 0.2152
0.7347 0.118 1.5789 0.232
0.8163 0.0906 1.6788 0.2452
0.8980 0.0714 1.7697 0.2544
0.9796 0.0611 1.8512 0.2595
1.0612 0.0577 1.9259 0.2611
1.1429 0.0548 2.0012 0.2624
1.2245 0.0522 2.076 0.2635
1.3061 0.0498 2.1491 0.2644
1.3878 0.0477 2.2192 0.2652
1.4694 0.0458 2.2851 0.2659
1.5510 0.0442 2.3453 0.2665
1.6327 0.0428 2.3987 0.2671
1.7143 0.0417 2.444 0.2677
1.7959 0.0409 2.4799 0.2683
1.8776 0.0403 2.5051 0.2689
1.9592 0.04 2.5183 0.2696
Universitas Hasanuddin
63
Data Eksperimen
Durasi Fermentasi
(hari) Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
2.0408 0.04 2.52 0.2704
2.1224 0.04 2.52 0.2714
2.2041 0.04 2.52 0.2724
2.2857 0.04 2.52 0.2734
2.3673 0.04 2.52 0.2745
2.4490 0.04 2.52 0.2756
2.5306 0.04 2.52 0.2766
2.6122 0.04 2.52 0.2776
2.6939 0.04 2.52 0.2784
2.7755 0.04 2.52 0.2791
2.8571 0.04 2.52 0.2796
2.9388 0.04 2.52 0.2799
3.0204 0.04 2.52 0.28
3.1020 0.04 2.52 0.28
3.1837 0.04 2.52 0.28
3.2653 0.04 2.52 0.28
3.3469 0.04 2.52 0.28
3.4286 0.04 2.52 0.28
3.5102 0.04 2.52 0.28
3.5918 0.04 2.52 0.28
3.6735 0.04 2.52 0.28
3.7551 0.04 2.52 0.28
3.8367 0.04 2.52 0.28
3.9184 0.04 2.52 0.28
4.0000 0.04 2.52 0.28
Universitas Hasanuddin
64
Lampiran 3
Solusi Model untuk 1.000 Iterasi
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
0.0000 0 0.6 0.37 0
0.0816 1.9584 0.5209 0.4823 0.0148
0.1633 3.9192 0.4516 0.6081 0.0313
0.2449 5.8776 0.3909 0.7444 0.0492
0.3265 7.836 0.3377 0.8874 0.068
0.4082 9.7968 0.2913 1.0333 0.0871
0.4898 11.7552 0.2508 1.1783 0.1061
0.5714 13.7136 0.2155 1.3195 0.1246
0.6531 15.6744 0.1849 1.4541 0.1422
0.7347 17.6328 0.1584 1.5804 0.1586
0.8163 19.5912 0.1355 1.6971 0.1738
0.8980 21.552 0.1157 1.8035 0.1877
0.9796 23.5104 0.0987 1.8995 0.2001
1.0612 25.4688 0.0841 1.9854 0.2112
1.1429 27.4296 0.0716 2.0614 0.221
1.2245 29.388 0.0609 2.1283 0.2296
1.3061 31.3464 0.0518 2.1869 0.2371
1.3878 33.3072 0.044 2.238 0.2435
1.4694 35.2656 0.0373 2.2821 0.2491
1.5510 37.224 0.0317 2.3203 0.2539
1.6327 39.1848 0.0269 2.3531 0.258
1.7143 41.1432 0.0228 2.3814 0.2614
1.7959 43.1016 0.0193 2.4056 0.2643
1.8776 45.0624 0.0164 2.4262 0.2668
1.9592 47.0208 0.0139 2.4438 0.2688
2.0408 48.9792 0.0118 2.4589 0.2706
2.1224 50.9376 0.01 2.4717 0.272
2.2041 52.8984 0.0084 2.4826 0.2731
2.2857 54.8568 0.0071 2.4919 0.2741
2.3673 56.8152 0.006 2.4997 0.2749
2.4490 58.776 0.0051 2.5064 0.2755
2.5306 60.7344 0.0043 2.5121 0.2759
2.6122 62.6928 0.0037 2.5169 0.2763
2.6939 64.6536 0.0031 2.521 0.2766
2.7755 66.612 0.0026 2.5245 0.2767
2.8571 68.5704 0.0022 2.5274 0.2769
2.9388 70.5312 0.0019 2.5299 0.2769
Universitas Hasanuddin
65
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
3.0204 72.4896 0.0016 2.532 0.2769
3.1020 74.448 0.0013 2.5338 0.2769
3.1837 76.4088 0.0011 2.5353 0.2768
3.2653 78.3672 0.001 2.5366 0.2767
3.3469 80.3256 0.0008 2.5376 0.2766
3.4286 82.2864 0.0007 2.5386 0.2764
3.5102 84.2448 0.0006 2.5393 0.2762
3.5918 86.2032 0.0005 2.54 0.276
3.6735 88.164 0.0004 2.5405 0.2758
3.7551 90.1224 0.0004 2.541 0.2756
3.8367 92.0808 0.0003 2.5414 0.2754
3.9184 94.0416 0.0003 2.5417 0.2752
4.0000 96 0.0002 2.542 0.2749
Universitas Hasanuddin
66
Lampiran 3
Solusi Model untuk 10.000 Iterasi
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
0.0000 0 0.6 0.37 0
0.0816 1.9584 0.5212 0.4824 0.0148
0.1633 3.9192 0.452 0.6088 0.0313
0.2449 5.8776 0.3914 0.7461 0.0493
0.3265 7.836 0.3382 0.8906 0.0683
0.4082 9.7968 0.2917 1.0384 0.0876
0.4898 11.7552 0.2511 1.1859 0.1069
0.5714 13.7136 0.2157 1.3297 0.1257
0.6531 15.6744 0.185 1.4672 0.1436
0.7347 17.6328 0.1583 1.5963 0.1604
0.8163 19.5912 0.1353 1.7158 0.1759
0.8980 21.552 0.1155 1.8249 0.1901
0.9796 23.5104 0.0984 1.9234 0.2028
1.0612 25.4688 0.0837 2.0114 0.2141
1.1429 27.4296 0.0712 2.0894 0.2242
1.2245 29.388 0.0605 2.158 0.2329
1.3061 31.3464 0.0513 2.218 0.2406
1.3878 33.3072 0.0435 2.2702 0.2472
1.4694 35.2656 0.0369 2.3154 0.2529
1.5510 37.224 0.0313 2.3543 0.2577
1.6327 39.1848 0.0265 2.3878 0.2618
1.7143 41.1432 0.0224 2.4166 0.2653
1.7959 43.1016 0.019 2.4412 0.2683
1.8776 45.0624 0.016 2.4621 0.2708
1.9592 47.0208 0.0136 2.48 0.2728
2.0408 48.9792 0.0115 2.4952 0.2745
2.1224 50.9376 0.0097 2.5082 0.276
2.2041 52.8984 0.0082 2.5192 0.2771
2.2857 54.8568 0.0069 2.5285 0.278
2.3673 56.8152 0.0059 2.5364 0.2788
2.4490 58.776 0.0049 2.5431 0.2794
2.5306 60.7344 0.0042 2.5488 0.2798
2.6122 62.6928 0.0035 2.5536 0.2802
2.6939 64.6536 0.003 2.5576 0.2804
2.7755 66.612 0.0025 2.5611 0.2806
2.8571 68.5704 0.0021 2.564 0.2807
2.9388 70.5312 0.0018 2.5664 0.2807
Universitas Hasanuddin
67
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
3.0204 72.4896 0.0015 2.5685 0.2807
3.1020 74.448 0.0013 2.5703 0.2806
3.1837 76.4088 0.0011 2.5717 0.2805
3.2653 78.3672 0.0009 2.573 0.2804
3.3469 80.3256 0.0008 2.5741 0.2802
3.4286 82.2864 0.0007 2.575 0.2801
3.5102 84.2448 0.0006 2.5757 0.2799
3.5918 86.2032 0.0005 2.5764 0.2797
3.6735 88.164 0.0004 2.5769 0.2794
3.7551 90.1224 0.0003 2.5774 0.2792
3.8367 92.0808 0.0003 2.5777 0.279
3.9184 94.0416 0.0002 2.5781 0.2787
4.0000 96 0.0002 2.5783 0.2785
Universitas Hasanuddin
68
Lampiran 3
Solusi Model untuk 100.000 Iterasi
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
0.0000 0 0.6 0.37 0
0.0816 1.9584 0.5191 0.4844 0.0153
0.1633 3.9192 0.4485 0.613 0.0324
0.2449 5.8776 0.3872 0.7524 0.0509
0.3265 7.836 0.3337 0.8986 0.0703
0.4082 9.7968 0.2873 1.0477 0.0901
0.4898 11.7552 0.247 1.1959 0.1097
0.5714 13.7136 0.2121 1.3398 0.1288
0.6531 15.6744 0.1819 1.4771 0.1469
0.7347 17.6328 0.1558 1.6057 0.1639
0.8163 19.5912 0.1333 1.7244 0.1795
0.8980 21.552 0.114 1.8327 0.1937
0.9796 23.5104 0.0973 1.9305 0.2065
1.0612 25.4688 0.0831 2.0179 0.2179
1.1429 27.4296 0.0709 2.0955 0.2279
1.2245 29.388 0.0604 2.1638 0.2367
1.3061 31.3464 0.0515 2.2237 0.2444
1.3878 33.3072 0.0438 2.276 0.251
1.4694 35.2656 0.0373 2.3213 0.2568
1.5510 37.224 0.0318 2.3606 0.2617
1.6327 39.1848 0.027 2.3945 0.2658
1.7143 41.1432 0.023 2.4237 0.2694
1.7959 43.1016 0.0195 2.4488 0.2724
1.8776 45.0624 0.0166 2.4703 0.2749
1.9592 47.0208 0.0141 2.4887 0.277
2.0408 48.9792 0.012 2.5045 0.2787
2.1224 50.9376 0.0102 2.518 0.2802
2.2041 52.8984 0.0087 2.5295 0.2813
2.2857 54.8568 0.0074 2.5393 0.2823
2.3673 56.8152 0.0063 2.5477 0.283
2.4490 58.776 0.0053 2.5548 0.2836
2.5306 60.7344 0.0045 2.5609 0.284
2.6122 62.6928 0.0038 2.566 0.2844
2.6939 64.6536 0.0033 2.5704 0.2846
2.7755 66.612 0.0028 2.5742 0.2847
2.8571 68.5704 0.0024 2.5773 0.2848
2.9388 70.5312 0.002 2.5801 0.2847
Universitas Hasanuddin
69
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
3.0204 72.4896 0.0017 2.5824 0.2847
3.1020 74.448 0.0014 2.5843 0.2846
3.1837 76.4088 0.0012 2.586 0.2844
3.2653 78.3672 0.001 2.5874 0.2842
3.3469 80.3256 0.0009 2.5886 0.284
3.4286 82.2864 0.0007 2.5896 0.2838
3.5102 84.2448 0.0006 2.5905 0.2835
3.5918 86.2032 0.0005 2.5912 0.2833
3.6735 88.164 0.0005 2.5918 0.283
3.7551 90.1224 0.0004 2.5924 0.2827
3.8367 92.0808 0.0003 2.5928 0.2824
3.9184 94.0416 0.0003 2.5932 0.2821
4.0000 96 0.0002 2.5935 0.2817
Universitas Hasanuddin
70
Lampiran 3
Solusi Model untuk 1.000.000 Iterasi
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
0.0000 0 0.6 0.37 0
0.0816 1.9584 0.5145 0.4895 0.02
0.1633 3.9192 0.441 0.6223 0.042
0.2449 5.8776 0.378 0.7648 0.0655
0.3265 7.836 0.324 0.9127 0.0896
0.4082 9.7968 0.2776 1.062 0.1137
0.4898 11.7552 0.2378 1.2093 0.1373
0.5714 13.7136 0.2037 1.3517 0.1599
0.6531 15.6744 0.1744 1.4868 0.181
0.7347 17.6328 0.1493 1.6132 0.2005
0.8163 19.5912 0.1278 1.73 0.2182
0.8980 21.552 0.1094 1.8366 0.234
0.9796 23.5104 0.0937 1.9331 0.248
1.0612 25.4688 0.0802 2.0196 0.2602
1.1429 27.4296 0.0686 2.0967 0.2707
1.2245 29.388 0.0587 2.165 0.2796
1.3061 31.3464 0.0502 2.2252 0.2871
1.3878 33.3072 0.043 2.2779 0.2933
1.4694 35.2656 0.0367 2.3241 0.2983
1.5510 37.224 0.0314 2.3643 0.3023
1.6327 39.1848 0.0269 2.3993 0.3054
1.7143 41.1432 0.023 2.4296 0.3077
1.7959 43.1016 0.0197 2.4557 0.3092
1.8776 45.0624 0.0168 2.4784 0.3102
1.9592 47.0208 0.0144 2.4979 0.3106
2.0408 48.9792 0.0123 2.5148 0.3106
2.1224 50.9376 0.0105 2.5292 0.3102
2.2041 52.8984 0.009 2.5416 0.3094
2.2857 54.8568 0.0077 2.5523 0.3083
2.3673 56.8152 0.0066 2.5615 0.3071
2.4490 58.776 0.0056 2.5694 0.3056
2.5306 60.7344 0.0048 2.5761 0.3039
2.6122 62.6928 0.0041 2.5819 0.3021
2.6939 64.6536 0.0035 2.5869 0.3001
2.7755 66.612 0.003 2.5911 0.2981
2.8571 68.5704 0.0026 2.5948 0.296
2.9388 70.5312 0.0022 2.5979 0.2938
Universitas Hasanuddin
71
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
3.0204 72.4896 0.0019 2.6005 0.2915
3.1020 74.448 0.0016 2.6028 0.2892
3.1837 76.4088 0.0014 2.6048 0.2869
3.2653 78.3672 0.0012 2.6065 0.2846
3.3469 80.3256 0.001 2.6079 0.2822
3.4286 82.2864 0.0009 2.6091 0.2798
3.5102 84.2448 0.0007 2.6102 0.2774
3.5918 86.2032 0.0006 2.6111 0.275
3.6735 88.164 0.0005 2.6118 0.2726
3.7551 90.1224 0.0005 2.6125 0.2703
3.8367 92.0808 0.0004 2.613 0.2679
3.9184 94.0416 0.0003 2.6135 0.2655
4.0000 96 0.0003 2.6139 0.2631
Universitas Hasanuddin
72
Lampiran 3
Solusi Model untuk 2.000.000 Iterasi
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
0.0000 0 0.6 0.37 0
0.0816 1.9584 0.514 0.4897 0.0205
0.1633 3.9192 0.4403 0.6228 0.043
0.2449 5.8776 0.3771 0.7654 0.0669
0.3265 7.836 0.3229 0.9132 0.0914
0.4082 9.7968 0.2764 1.0624 0.1159
0.4898 11.7552 0.2366 1.2092 0.1397
0.5714 13.7136 0.2025 1.351 0.1625
0.6531 15.6744 0.1733 1.4855 0.1837
0.7347 17.6328 0.1482 1.611 0.2032
0.8163 19.5912 0.1268 1.7269 0.2208
0.8980 21.552 0.1085 1.8325 0.2364
0.9796 23.5104 0.0928 1.928 0.2502
1.0612 25.4688 0.0793 2.0135 0.2621
1.1429 27.4296 0.0678 2.0896 0.2723
1.2245 29.388 0.058 2.157 0.2809
1.3061 31.3464 0.0496 2.2163 0.288
1.3878 33.3072 0.0424 2.2683 0.2938
1.4694 35.2656 0.0363 2.3137 0.2984
1.5510 37.224 0.031 2.3532 0.302
1.6327 39.1848 0.0265 2.3875 0.3046
1.7143 41.1432 0.0226 2.4172 0.3064
1.7959 43.1016 0.0194 2.4429 0.3075
1.8776 45.0624 0.0165 2.4651 0.308
1.9592 47.0208 0.0141 2.4842 0.308
2.0408 48.9792 0.0121 2.5006 0.3075
2.1224 50.9376 0.0103 2.5148 0.3066
2.2041 52.8984 0.0088 2.5269 0.3054
2.2857 54.8568 0.0075 2.5373 0.3039
2.3673 56.8152 0.0064 2.5463 0.3021
2.4490 58.776 0.0055 2.554 0.3002
2.5306 60.7344 0.0047 2.5605 0.2981
2.6122 62.6928 0.004 2.5662 0.2959
2.6939 64.6536 0.0034 2.571 0.2935
2.7755 66.612 0.0029 2.5751 0.2911
2.8571 68.5704 0.0025 2.5787 0.2886
2.9388 70.5312 0.0021 2.5817 0.286
Universitas Hasanuddin
73
Model
Durasi
Fermentasi
(hari)
Durasi
Fermentasi
(jam)
Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)
3.0204 72.4896 0.0018 2.5843 0.2834
3.1020 74.448 0.0016 2.5865 0.2807
3.1837 76.4088 0.0013 2.5884 0.278
3.2653 78.3672 0.0011 2.59 0.2753
3.3469 80.3256 0.001 2.5914 0.2726
3.4286 82.2864 0.0008 2.5926 0.2699
3.5102 84.2448 0.0007 2.5936 0.2671
3.5918 86.2032 0.0006 2.5944 0.2644
3.6735 88.164 0.0005 2.5952 0.2617
3.7551 90.1224 0.0004 2.5958 0.259
3.8367 92.0808 0.0004 2.5963 0.2563
3.9184 94.0416 0.0003 2.5968 0.2537
4.0000 96 0.0003 2.5972 0.251
Universitas Hasanuddin
74
Lampiran 4
Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 1.000 Iterasi
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
1 0 0 0
2 0.000196 0.001849 0.00027225
3 0.00037249 0.00470596 0.00094864
4 0.00031684 0.00625681 0.00183184
5 0.00013225 0.00606841 0.00277729
6 2.89E-06 0.00465124 0.00367236
7 9.604E-05 0.00283024 0.00444889
8 0.00046225 0.00123904 0.00501264
9 0.00103684 0.00027556 0.005329
10 0.00163216 2.25E-06 0.00538756
11 0.00201601 0.00033489 0.00509796
12 0.00196249 0.00114244 0.00444889
13 0.00141376 0.00233289 0.00352836
14 0.00069696 0.00354025 0.00249001
15 0.00028224 0.00362404 0.00171396
16 0.00007569 0.00273529 0.00114921
17 4E-06 0.00142884 0.00074529
18 0.00001369 0.00035344 0.00047089
19 0.00007225 9E-06 0.00028224
20 0.00015625 0.000625 0.00015876
21 0.00025281 0.00207936 8.281E-05
22 0.00035721 0.00391876 3.969E-05
23 0.00046656 0.00552049 0.000016
24 0.00057121 0.00622521 4.41E-06
25 0.00068121 0.00555025 6.4E-07
26 0.00079524 0.00373321 4E-08
27 0.0009 0.00233289 3.6E-07
28 0.00099856 0.00139876 4.9E-07
29 0.00108241 0.00078961 4.9E-07
30 0.001156 0.00041209 1.6E-07
31 0.00121801 0.00018496 1E-08
Universitas Hasanuddin
75
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
32 0.00127449 6.241E-05 4.9E-07
33 0.00131769 9.61E-06 1.69E-06
34 0.00136161 1E-06 3.24E-06
35 0.00139876 2.025E-05 5.76E-06
36 0.00142884 5.476E-05 7.29E-06
37 0.00145161 9.801E-05 9E-06
38 0.00147456 0.000144 9.61E-06
39 0.00149769 0.00019044 9.61E-06
40 0.00151321 0.00023409 1.024E-05
41 0.001521 0.00027556 1.089E-05
42 0.00153664 0.00030976 1.156E-05
43 0.00154449 0.00034596 1.296E-05
44 0.00155236 0.00037249 1.444E-05
45 0.00156025 0.0004 0.000016
46 0.00156816 0.00042025 1.764E-05
47 0.00156816 0.000441 1.936E-05
48 0.00157609 0.00045796 2.116E-05
49 0.00157609 0.00047089 2.304E-05
50 0.00158404 0.000484 2.601E-05
ERROR 0.04772606 0.08094262 0.05014113
Universitas Hasanuddin
76
Lampiran 4
Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 10.000 Iterasi
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
1 0 0 0
2 0.00018769 0.00184041 0.00027225
3 0.00035721 0.00461041 0.00094864
4 0.00029929 0.00599076 0.00182329
5 0.000121 0.00558009 0.00274576
6 1.69E-06 0.00398161 0.00361201
7 0.00010201 0.00207936 0.00434281
8 0.00047089 0.000625 0.00485809
9 0.00104329 1.225E-05 0.00512656
10 0.00162409 0.00030276 0.00512656
11 0.00199809 0.001369 0.00480249
12 0.00194481 0.00304704 0.00413449
13 0.00139129 0.00521284 0.00321489
14 0.000676 0.00731025 0.002209
15 0.00026896 0.00777924 0.00145924
16 6.889E-05 0.006724 0.00093636
17 0.00000225 0.00474721 0.00056644
18 0.00001764 0.002601 0.000324
19 0.00007921 0.00091809 0.000169
20 0.00016641 8.1E-05 7.744E-05
21 0.00026569 0.00011881 2.809E-05
22 0.00037249 0.00075076 5.76E-06
23 0.00047961 0.00149769 0
24 0.00059049 0.001849 3.61E-06
25 0.00069696 0.00146689 1.024E-05
26 0.00081225 0.00061504 1.681E-05
27 0.00091809 0.00013924 2.116E-05
28 0.00101124 6.4E-07 2.209E-05
29 0.00109561 7.225E-05 2.116E-05
30 0.00116281 0.00026896 1.849E-05
31 0.00123201 0.00053361 1.444E-05
Universitas Hasanuddin
77
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
32 0.00128164 0.00082944 1.024E-05
33 0.00133225 0.00112896 6.76E-06
34 0.001369 0.00141376 4E-06
35 0.00140625 0.00168921 0.00000225
36 0.00143641 0.001936 1.21E-06
37 0.00145924 0.00215296 6.4E-07
38 0.00148225 0.00235225 4.9E-07
39 0.00149769 0.00253009 3.6E-07
40 0.00151321 0.00267289 0.00000025
41 0.00152881 0.002809 1.6E-07
42 0.00153664 0.00292681 4E-08
43 0.00154449 0.003025 1E-08
44 0.00155236 0.00310249 1E-08
45 0.00156025 0.00318096 9E-08
46 0.00156816 0.00323761 3.6E-07
47 0.00157609 0.00329476 6.4E-07
48 0.00157609 0.00332929 0.000001
49 0.00158404 0.00337561 1.69E-06
50 0.00158404 0.00339889 0.00000225
ERROR 0.04784687 0.12051119 0.04694362
Universitas Hasanuddin
78
Lampiran 4
Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 100.000 Iterasi
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
1 0 0 0
2 0.00024964 0.00167281 0.000256
3 0.00050176 0.00405769 0.00088209
4 0.00046225 0.00505521 0.00168921
5 0.00024025 0.00444889 0.00254016
6 3.249E-05 0.00289444 0.00331776
7 3.6E-05 0.00126736 0.00398161
8 0.00032761 0.00022201 0.00443556
9 0.00085264 4.096E-05 0.00466489
10 0.00142884 0.00071824 0.00463761
11 0.00182329 0.00207936 0.00431649
12 0.00181476 0.003969 0.00368449
13 0.00131044 0.00628849 0.002809
14 0.00064516 0.008464 0.00186624
15 0.00025921 0.00889249 0.00119025
16 0.00006724 0.00770884 0.00071824
17 0.00000289 0.00556516 0.0004
18 0.00001521 0.00322624 0.00020164
19 0.00007225 0.00131044 8.281E-05
20 0.00015376 0.00023409 2.304E-05
21 0.00024964 1.764E-05 1.69E-06
22 0.00034969 0.00041209 2.89E-06
23 0.00045796 0.00096721 1.681E-05
24 0.00056169 0.00121104 3.6E-05
25 0.00067081 0.00087616 5.476E-05
26 0.000784 0.00024025 6.889E-05
27 0.00088804 4E-06 7.744E-05
28 0.00097969 9.025E-05 7.921E-05
29 0.00106276 0.00037249 7.921E-05
30 0.00113569 0.00076729 7.225E-05
31 0.00120409 0.00121104 6.4E-05
Universitas Hasanuddin
79
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
32 0.00126025 0.00167281 5.476E-05
33 0.00131044 0.002116 4.624E-05
34 0.00134689 0.00254016 3.844E-05
35 0.00138384 0.00293764 3.136E-05
36 0.00141376 0.00328329 2.704E-05
37 0.001444 0.00361201 2.304E-05
38 0.00146689 0.00389376 2.209E-05
39 0.00148996 0.00413449 2.116E-05
40 0.00150544 0.004356 1.936E-05
41 0.001521 0.00454276 1.764E-05
42 0.00152881 0.00470596 1.6E-05
43 0.00154449 0.00484416 1.444E-05
44 0.00155236 0.00497025 1.225E-05
45 0.00156025 0.00506944 1.089E-05
46 0.00156025 0.00515524 9E-06
47 0.00156816 0.00524176 7.29E-06
48 0.00157609 0.00529984 5.76E-06
49 0.00157609 0.00535824 4.41E-06
50 0.00158404 0.00540225 2.89E-06
ERROR 0.04683276 0.15342124 0.0426343
Universitas Hasanuddin
80
Lampiran 4
Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 1.000.000 Iterasi
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
1 0 0 0
2 0.00041616 0.00128164 0.00012769
3 0.00089401 0.00295936 0.00040401
4 0.00094249 0.00344569 0.00070225
5 0.00063504 0.00276676 0.00096721
6 0.00023716 0.00156025 0.001156
7 1.024E-05 0.00049284 0.00126025
8 9.409E-05 9E-06 0.00126025
9 0.00047089 0.00025921 0.00116964
10 0.00097969 0.00117649 0.00099225
11 0.00138384 0.00262144 0.000729
12 0.001444 0.00447561 0.00041616
13 0.00106276 0.00670761 0.00013225
14 0.00050625 0.00877969 8.1E-07
15 0.00019044 0.00912025 6.889E-05
16 0.00004225 0.007921 0.00025921
17 1.6E-07 0.00579121 0.00051529
18 0.00002209 0.00344569 0.00078961
19 8.281E-05 0.001521 0.00104976
20 0.00016384 0.000361 0.00128164
21 0.00025281 3.6E-07 0.00146689
22 0.00034969 0.00020736 0.0016
23 0.00044944 0.00058564 0.00167281
24 0.00055225 0.00071289 0.00170569
25 0.00065536 0.00041616 0.001681
26 0.00076729 2.704E-05 0.00161604
27 0.00087025 8.464E-05 0.00150544
28 0.000961 0.00046656 0.001369
29 0.00104329 0.00104329 0.00121801
30 0.00111556 0.00172225 0.00106276
31 0.00118336 0.00244036 0.0009
Universitas Hasanuddin
81
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
32 0.00123904 0.00314721 0.00074529
33 0.00128881 0.00383161 0.00060025
34 0.00133225 0.00447561 0.00047089
35 0.001369 0.00505521 0.000361
36 0.00139876 0.00559504 0.00026896
37 0.00142884 0.00606841 0.00019321
38 0.00145161 0.00648025 0.00013225
39 0.00147456 0.00685584 8.464E-05
40 0.00148996 0.00719104 4.761E-05
41 0.00150544 0.00748225 2.116E-05
42 0.001521 0.00772641 4.84E-06
43 0.00152881 0.00793881 4E-08
44 0.00154449 0.00813604 6.76E-06
45 0.00155236 0.00829921 0.000025
46 0.00156025 0.00842724 5.476E-05
47 0.00156025 0.00855625 9.409E-05
48 0.00156816 0.008649 0.00014641
49 0.00157609 0.00874225 0.00021025
50 0.00157609 0.00881721 0.00028561
ERROR 0.04574428 0.20387718 0.03283283
Universitas Hasanuddin
82
Lampiran 4
Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 2.000.000 Iterasi
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
1 0 0 0
2 0.00043681 0.00126736 0.00011664
3 0.00093636 0.00290521 0.00036481
4 0.00099856 0.00337561 0.00063001
5 0.00069169 0.00271441 0.00085849
6 0.00027556 0.00152881 0.00101124
7 1.936E-05 0.00049729 0.00109561
8 7.225E-05 1.369E-05 0.00108241
9 0.00042436 0.00021904 0.00099225
10 0.00091204 0.00103041 0.00082944
11 0.00131044 0.00231361 0.00059536
12 0.00137641 0.00394384 0.000324
13 0.00100489 0.00589824 8.649E-05
14 0.00046656 0.00767376 0.000001
15 0.000169 0.00781456 9.801E-05
16 0.00003364 0.006561 0.00030276
17 4E-08 0.00451584 0.00055696
18 0.00002809 0.00241081 0.00081796
19 0.00009025 0.00081796 0.00105625
20 0.00017424 6.241E-05 0.00126025
21 0.00026569 0.00012544 0.00140625
22 0.00036481 0.00071824 0.00149769
23 0.00046225 0.001369 0.00153664
24 0.00056644 0.0016 0.00152881
25 0.00067081 0.00116281 0.00147456
26 0.00077841 0.00037636 0.00137641
27 0.00088209 2.704E-05 0.00123904
28 0.00097344 4.761E-05 0.001089
29 0.00105625 0.00029929 0.00093025
30 0.00112896 0.00069169 0.00076176
31 0.00119025 0.001156 0.00060516
Universitas Hasanuddin
83
Data ke- ERROR
Glukosa Sel Etanol
32 0.00124609 0.00164025 0.00046225
33 0.001296 0.00213444 0.00033489
34 0.00133956 0.002601 0.00022801
35 0.00137641 0.00303601 0.000144
36 0.00140625 0.00344569 8.1E-05
37 0.00143641 0.00380689 3.721E-05
38 0.00145924 0.00413449 1.156E-05
39 0.00147456 0.00442225 4.9E-07
40 0.00149769 0.00467856 4E-06
41 0.00151321 0.0049 2.209E-05
42 0.001521 0.00509796 5.476E-05
43 0.00153664 0.00527076 0.00010201
44 0.00154449 0.00541696 0.00016641
45 0.00155236 0.00553536 0.00024336
46 0.00156025 0.00565504 0.00033489
47 0.00156816 0.00574564 0.000441
48 0.00156816 0.00582169 0.00056169
49 0.00157609 0.00589824 0.00069169
50 0.00157609 0.00595984 0.000841
ERROR 0.04580861 0.14833841 0.03028782
Universitas Hasanuddin
84
Lampiran 5
Perbandingan Antara Data dan Model
Durasi
Fermentasi
Data Eksperimen Solusi Model untuk 1.000
Iterasi
Solusi Model untuk
10.000 Iterasi
Solusi Model untuk
100.000 Iterasi
Solusi Model untuk
1.000.000 Iterasi
Solusi Model untuk
2.000.000 Iterasi
Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol
0 jam 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000
24 jam 0.060 1.870 0.260 0.099 1.900 0.200 0.098 1.923 0.203 0.097 1.931 0.207 0.094 1.933 0.248 0.093 1.928 0.250
48 jam 0.040 2.520 0.270 0.014 2.444 0.269 0.014 2.480 0.273 0.014 2.489 0.277 0.014 2.498 0.311 0.014 2.484 0.308
72 jam 0.040 2.520 0.280 0.002 2.532 0.277 0.002 2.569 0.281 0.002 2.582 0.285 0.002 2.601 0.292 0.002 2.584 0.283
96 jam 0.040 2.520 0.280 0.000 2.542 0.275 0.000 2.578 0.279 0.000 2.594 0.282 0.000 2.614 0.263 0.000 2.597 0.251
Universitas Hasanuddin
85
Lampiran 6
Tabel Standar Deviasi untuk Error untuk 1.000 Iterasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
1 0.079 251 0.0671 501 0.0795 751 0.0826
2 0.058 252 0.0726 502 0.0862 752 0.0997
3 0.0655 253 0.0791 503 0.0879 753 0.0763
4 0.0666 254 0.0637 504 0.0769 754 0.0874
5 0.0718 255 0.0773 505 0.0835 755 0.0777
6 0.0686 256 0.0876 506 0.0755 756 0.0698
7 0.071 257 0.0735 507 0.0742 757 0.0883
8 0.0657 258 0.0797 508 0.0772 758 0.0756
9 0.075 259 0.0876 509 0.0878 759 0.0805
10 0.0711 260 0.0959 510 0.0761 760 0.0853
11 0.0866 261 0.0833 511 0.0765 761 0.0809
12 0.0831 262 0.074 512 0.0766 762 0.0747
13 0.0786 263 0.0783 513 0.0757 763 0.0704
14 0.0774 264 0.0721 514 0.0774 764 0.0792
15 0.0835 265 0.0754 515 0.07 765 0.0667
16 0.0703 266 0.0836 516 0.0769 766 0.0795
17 0.0781 267 0.0794 517 0.0831 767 0.0863
18 0.0741 268 0.0829 518 0.0769 768 0.0773
19 0.0863 269 0.0647 519 0.076 769 0.0773
20 0.0743 270 0.0812 520 0.0687 770 0.0758
21 0.0678 271 0.0924 521 0.0744 771 0.0845
22 0.0766 272 0.0765 522 0.0828 772 0.0758
23 0.0785 273 0.0694 523 0.078 773 0.081
24 0.0842 274 0.0725 524 0.0829 774 0.0865
25 0.0816 275 0.0606 525 0.083 775 0.0726
26 0.0982 276 0.0753 526 0.0802 776 0.0821
27 0.0774 277 0.0907 527 0.0774 777 0.0808
28 0.0787 278 0.0632 528 0.0709 778 0.0854
29 0.0808 279 0.0881 529 0.0819 779 0.0781
30 0.0739 280 0.0653 530 0.0826 780 0.0662
31 0.0838 281 0.0656 531 0.1021 781 0.0891
32 0.0749 282 0.0632 532 0.0919 782 0.0672
33 0.0732 283 0.0698 533 0.077 783 0.083
34 0.078 284 0.0768 534 0.0737 784 0.0773
Universitas Hasanuddin
86
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
35 0.0786 285 0.1 535 0.0904 785 0.1012
36 0.0856 286 0.0725 536 0.0805 786 0.0902
37 0.0784 287 0.078 537 0.0704 787 0.0783
38 0.0734 288 0.0753 538 0.0795 788 0.0744
39 0.0858 289 0.0806 539 0.0989 789 0.0837
40 0.0734 290 0.0706 540 0.0747 790 0.074
41 0.0812 291 0.0682 541 0.0766 791 0.0862
42 0.0743 292 0.0726 542 0.077 792 0.0712
43 0.0742 293 0.0765 543 0.067 793 0.0677
44 0.0724 294 0.0673 544 0.0832 794 0.0781
45 0.0769 295 0.0661 545 0.0712 795 0.0763
46 0.0775 296 0.0739 546 0.0704 796 0.0751
47 0.0796 297 0.0639 547 0.0905 797 0.0903
48 0.0697 298 0.083 548 0.0841 798 0.073
49 0.0869 299 0.0964 549 0.0788 799 0.0715
50 0.0765 300 0.0816 550 0.0709 800 0.0674
51 0.0683 301 0.079 551 0.0804 801 0.08
52 0.0668 302 0.0752 552 0.0655 802 0.0911
53 0.0744 303 0.082 553 0.0824 803 0.0885
54 0.0738 304 0.0774 554 0.0872 804 0.0781
55 0.0755 305 0.0869 555 0.0794 805 0.0859
56 0.0736 306 0.085 556 0.0871 806 0.0817
57 0.0719 307 0.0734 557 0.0671 807 0.0778
58 0.0809 308 0.068 558 0.0896 808 0.0705
59 0.0774 309 0.061 559 0.0829 809 0.066
60 0.0714 310 0.0657 560 0.0735 810 0.0831
61 0.0771 311 0.0821 561 0.0778 811 0.0694
62 0.0833 312 0.0759 562 0.0937 812 0.0901
63 0.0783 313 0.0777 563 0.0777 813 0.0829
64 0.0846 314 0.0811 564 0.0749 814 0.0814
65 0.0695 315 0.0748 565 0.0704 815 0.0896
66 0.0768 316 0.0743 566 0.0747 816 0.0779
67 0.0858 317 0.0733 567 0.0917 817 0.0879
68 0.0898 318 0.0758 568 0.0924 818 0.0761
69 0.0744 319 0.0935 569 0.0789 819 0.0752
70 0.0807 320 0.0712 570 0.0846 820 0.0861
71 0.0686 321 0.0763 571 0.0746 821 0.0728
Universitas Hasanuddin
87
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
72 0.0734 322 0.0706 572 0.0734 822 0.0805
73 0.0741 323 0.0659 573 0.0908 823 0.0825
74 0.072 324 0.0633 574 0.0929 824 0.093
75 0.0913 325 0.0678 575 0.0691 825 0.0824
76 0.0735 326 0.0893 576 0.0921 826 0.0825
77 0.0835 327 0.0759 577 0.0744 827 0.0833
78 0.0773 328 0.064 578 0.0743 828 0.0815
79 0.083 329 0.0683 579 0.0802 829 0.077
80 0.0735 330 0.0642 580 0.0729 830 0.0715
81 0.0613 331 0.0721 581 0.076 831 0.0876
82 0.0795 332 0.0624 582 0.0698 832 0.0889
83 0.0638 333 0.0722 583 0.0702 833 0.07
84 0.0789 334 0.0747 584 0.0772 834 0.0859
85 0.0827 335 0.0764 585 0.0814 835 0.0745
86 0.0782 336 0.0973 586 0.0776 836 0.0796
87 0.0888 337 0.0802 587 0.0763 837 0.0858
88 0.0936 338 0.0785 588 0.0862 838 0.0798
89 0.0692 339 0.0717 589 0.08 839 0.0677
90 0.0749 340 0.0917 590 0.0762 840 0.0769
91 0.0842 341 0.0731 591 0.0945 841 0.0922
92 0.0707 342 0.0689 592 0.0947 842 0.0764
93 0.0813 343 0.0824 593 0.0928 843 0.0988
94 0.0747 344 0.072 594 0.071 844 0.0789
95 0.0711 345 0.0794 595 0.0796 845 0.0834
96 0.0752 346 0.0779 596 0.0724 846 0.0876
97 0.0653 347 0.0825 597 0.0742 847 0.0868
98 0.0772 348 0.0834 598 0.0976 848 0.0845
99 0.0763 349 0.0847 599 0.0776 849 0.0835
100 0.0785 350 0.0768 600 0.0932 850 0.0722
101 0.0835 351 0.0621 601 0.0742 851 0.0813
102 0.0742 352 0.0646 602 0.0803 852 0.0757
103 0.0676 353 0.0847 603 0.0847 853 0.0722
104 0.0714 354 0.0703 604 0.1018 854 0.0724
105 0.0675 355 0.0727 605 0.0817 855 0.0689
106 0.0775 356 0.0731 606 0.0817 856 0.0826
107 0.0828 357 0.0902 607 0.0709 857 0.0718
108 0.0752 358 0.0764 608 0.0677 858 0.0818
Universitas Hasanuddin
88
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
109 0.0623 359 0.0663 609 0.081 859 0.0756
110 0.0646 360 0.095 610 0.0784 860 0.08
111 0.0866 361 0.076 611 0.0747 861 0.0747
112 0.0775 362 0.0847 612 0.0715 862 0.0692
113 0.0813 363 0.0795 613 0.0753 863 0.0709
114 0.0768 364 0.0809 614 0.0782 864 0.0791
115 0.0809 365 0.0762 615 0.078 865 0.0835
116 0.0724 366 0.0753 616 0.0748 866 0.0734
117 0.0776 367 0.0796 617 0.0899 867 0.0824
118 0.0771 368 0.0787 618 0.0734 868 0.0793
119 0.0703 369 0.0787 619 0.0836 869 0.0807
120 0.0761 370 0.0766 620 0.0705 870 0.09
121 0.0747 371 0.0832 621 0.082 871 0.0743
122 0.0743 372 0.0903 622 0.0926 872 0.0878
123 0.0789 373 0.0749 623 0.0851 873 0.0764
124 0.0865 374 0.0826 624 0.064 874 0.0808
125 0.0864 375 0.0851 625 0.0742 875 0.0735
126 0.0867 376 0.0785 626 0.0814 876 0.085
127 0.0712 377 0.0723 627 0.0729 877 0.0724
128 0.0718 378 0.0938 628 0.0809 878 0.0716
129 0.0836 379 0.0825 629 0.0766 879 0.085
130 0.0813 380 0.079 630 0.0758 880 0.0845
131 0.0716 381 0.08 631 0.0793 881 0.0806
132 0.0963 382 0.078 632 0.0801 882 0.0912
133 0.0715 383 0.0616 633 0.0819 883 0.0702
134 0.0843 384 0.0809 634 0.0708 884 0.0749
135 0.0965 385 0.0789 635 0.0769 885 0.0749
136 0.074 386 0.0756 636 0.078 886 0.0854
137 0.0611 387 0.079 637 0.0834 887 0.0883
138 0.0723 388 0.0858 638 0.0742 888 0.0775
139 0.0758 389 0.0657 639 0.0747 889 0.0822
140 0.0683 390 0.0696 640 0.0752 890 0.0914
141 0.0851 391 0.0706 641 0.0778 891 0.0691
142 0.0794 392 0.077 642 0.0708 892 0.0864
143 0.0831 393 0.0695 643 0.0802 893 0.0767
144 0.0687 394 0.0789 644 0.0788 894 0.0883
145 0.0826 395 0.0879 645 0.0789 895 0.0747
Universitas Hasanuddin
89
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
146 0.0701 396 0.0704 646 0.0842 896 0.0963
147 0.0759 397 0.068 647 0.0784 897 0.0865
148 0.0971 398 0.0809 648 0.0773 898 0.0737
149 0.0695 399 0.0933 649 0.0846 899 0.0737
150 0.075 400 0.0776 650 0.0772 900 0.0881
151 0.0772 401 0.0842 651 0.0837 901 0.0752
152 0.0678 402 0.0823 652 0.0679 902 0.0713
153 0.0749 403 0.0827 653 0.0678 903 0.0823
154 0.1076 404 0.0823 654 0.0881 904 0.094
155 0.0708 405 0.0762 655 0.0955 905 0.0756
156 0.081 406 0.0883 656 0.0747 906 0.0757
157 0.0705 407 0.0774 657 0.0743 907 0.0748
158 0.0776 408 0.0793 658 0.0773 908 0.0698
159 0.0862 409 0.0708 659 0.0803 909 0.0807
160 0.076 410 0.0882 660 0.0812 910 0.0836
161 0.0711 411 0.0776 661 0.0673 911 0.0787
162 0.0753 412 0.0793 662 0.0761 912 0.0857
163 0.0799 413 0.0875 663 0.0861 913 0.0776
164 0.0776 414 0.0839 664 0.071 914 0.0773
165 0.0687 415 0.0841 665 0.0778 915 0.0733
166 0.0689 416 0.0764 666 0.076 916 0.0779
167 0.0785 417 0.0744 667 0.075 917 0.078
168 0.0729 418 0.0828 668 0.0818 918 0.072
169 0.0774 419 0.077 669 0.1022 919 0.0744
170 0.0678 420 0.072 670 0.0797 920 0.0694
171 0.0774 421 0.073 671 0.0908 921 0.0742
172 0.0709 422 0.0769 672 0.0727 922 0.0876
173 0.0697 423 0.0721 673 0.0726 923 0.0721
174 0.0899 424 0.0758 674 0.0752 924 0.0871
175 0.0814 425 0.0883 675 0.0809 925 0.0643
176 0.0665 426 0.0688 676 0.0752 926 0.0821
177 0.0805 427 0.0887 677 0.0732 927 0.0956
178 0.0674 428 0.0777 678 0.0775 928 0.0728
179 0.088 429 0.0772 679 0.0724 929 0.0851
180 0.0853 430 0.0873 680 0.0835 930 0.0844
181 0.0693 431 0.0807 681 0.0811 931 0.0837
182 0.0857 432 0.0591 682 0.0871 932 0.0816
Universitas Hasanuddin
90
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
183 0.0721 433 0.0781 683 0.0667 933 0.0835
184 0.0608 434 0.0797 684 0.0837 934 0.083
185 0.0691 435 0.0731 685 0.0787 935 0.0675
186 0.0868 436 0.0865 686 0.0868 936 0.069
187 0.0708 437 0.0713 687 0.0859 937 0.0746
188 0.0662 438 0.0762 688 0.0752 938 0.0679
189 0.0741 439 0.0782 689 0.0612 939 0.0817
190 0.0745 440 0.0779 690 0.0846 940 0.0699
191 0.0753 441 0.0692 691 0.0799 941 0.0793
192 0.068 442 0.0803 692 0.0738 942 0.0807
193 0.0655 443 0.1021 693 0.0788 943 0.0788
194 0.0817 444 0.0801 694 0.0818 944 0.0775
195 0.0805 445 0.0703 695 0.0768 945 0.094
196 0.0806 446 0.0873 696 0.0843 946 0.0951
197 0.0896 447 0.0736 697 0.0698 947 0.084
198 0.0693 448 0.0885 698 0.0827 948 0.0688
199 0.079 449 0.0879 699 0.0818 949 0.0828
200 0.0876 450 0.0867 700 0.0854 950 0.0696
201 0.0691 451 0.0865 701 0.0689 951 0.0761
202 0.0695 452 0.0724 702 0.0705 952 0.0729
203 0.069 453 0.0816 703 0.077 953 0.0775
204 0.0752 454 0.0909 704 0.085 954 0.095
205 0.0717 455 0.0782 705 0.0784 955 0.0803
206 0.0642 456 0.0737 706 0.0633 956 0.0865
207 0.0707 457 0.0784 707 0.0755 957 0.0849
208 0.0852 458 0.0802 708 0.0876 958 0.079
209 0.084 459 0.0945 709 0.075 959 0.0651
210 0.0742 460 0.0816 710 0.0926 960 0.0762
211 0.0772 461 0.0639 711 0.0659 961 0.0938
212 0.0874 462 0.0627 712 0.0804 962 0.085
213 0.0974 463 0.0848 713 0.0795 963 0.0883
214 0.0688 464 0.0968 714 0.0797 964 0.098
215 0.0717 465 0.0711 715 0.0727 965 0.0851
216 0.0675 466 0.0635 716 0.0832 966 0.084
217 0.1051 467 0.0697 717 0.0725 967 0.0742
218 0.0887 468 0.0813 718 0.0867 968 0.0906
219 0.0838 469 0.0779 719 0.0666 969 0.089
Universitas Hasanuddin
91
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
Iterasi
ke-
Standar
Deviasi
220 0.081 470 0.074 720 0.0665 970 0.0931
221 0.0624 471 0.0768 721 0.0631 971 0.0714
222 0.0727 472 0.1005 722 0.0802 972 0.0854
223 0.0739 473 0.0843 723 0.0739 973 0.0752
224 0.0778 474 0.0793 724 0.0635 974 0.079
225 0.0793 475 0.0893 725 0.0818 975 0.0826
226 0.0709 476 0.0832 726 0.0837 976 0.088
227 0.0918 477 0.0827 727 0.0753 977 0.0681
228 0.0743 478 0.0698 728 0.0751 978 0.082
229 0.0662 479 0.0954 729 0.0797 979 0.0878
230 0.0764 480 0.0766 730 0.0795 980 0.0845
231 0.0748 481 0.0731 731 0.0897 981 0.0723
232 0.0813 482 0.0802 732 0.0886 982 0.0725
233 0.0846 483 0.0861 733 0.0865 983 0.0779
234 0.0687 484 0.0744 734 0.0786 984 0.0705
235 0.0731 485 0.07 735 0.0747 985 0.0726
236 0.0794 486 0.0792 736 0.0801 986 0.0693
237 0.0651 487 0.0854 737 0.084 987 0.0745
238 0.0827 488 0.0753 738 0.0853 988 0.0796
239 0.0779 489 0.0823 739 0.0666 989 0.0864
240 0.077 490 0.085 740 0.0787 990 0.0747
241 0.0657 491 0.0838 741 0.0792 991 0.0729
242 0.067 492 0.0764 742 0.067 992 0.0791
243 0.0632 493 0.0826 743 0.0838 993 0.0781
244 0.0697 494 0.0669 744 0.077 994 0.0801
245 0.0741 495 0.0745 745 0.0867 995 0.0865
246 0.0956 496 0.0919 746 0.0853 996 0.0839
247 0.0978 497 0.0966 747 0.0673 997 0.0835
248 0.0684 498 0.0945 748 0.0675 998 0.0896
249 0.0904 499 0.0825 749 0.0716 999 0.0868
250 0.0893 500 0.0901 750 0.07 1000 0.0804
MIN 0.058
MAX 0.1076
AVERAGE 0.07838216
Universitas Hasanuddin
92
Lampiran 7
Main Program
%% % The derivatives can be written as % % dG/dt = -1/y1*U*X-m1*G % dE/dt = U*X*(1-(X/Xc)) % dX/dt = y2/y1*U*X-m2*E % U =(Um*G)/(kg+G))*(1-(G/Gc)*(1-(E/Ec))); % % The system is written in file <himmelode.html |himmelode.m|> and
the % sum of squares function in <himmelss.html |himmelss.m|>. clc; clear model data parama options
%input Data Fermentasi time=[0 1 2 3 4]; glukosa=[0.6 0.06 0.04 0.04 0.04]; Sel=[0.37 1.87 2.52 2.52 2.52]; etanol=[0 0.26 0.27 0.28 0.28]; Xq=linspace(0,4,50)';
% % Interpolasi Data Pchip X1=interp1(time,glukosa,Xq,'pchip'); X2=interp1(time,Sel,Xq,'pchip'); X3=interp1(time,etanol,Xq,'pchip'); data.ydata=[Xq X1 X2 X3];
%% % Initial concentrations are saved in |data| to be used in sum of % squares function. G0 = 0.6; X0 = 0.37; E0 = 0;
data.y0 = [G0;X0;E0];
% Refine the first guess for the parameters with |fminseacrh| and % calculate residual variance as an estimate of the model error
variance.
% Bangkitkan tebakan awal parameter menggunakan rand(nv,b) dalam
bentuk % matiks 9x1
% ba=1; % bb=0; % nv=9; % k00 = ba*rand(nv,1)
Universitas Hasanuddin
93
k00=[60.3636 7.4883 18.0309 2.4172 155.7610 1.6279 1.7279 33.6098 0.0094 ];
[k0,ss0] = fminsearch(@f_Error,k00,[],data)
mse = ss0/(length(data.ydata)-4)
%% params = { {'k1', k0(1), 0} {'k2', k0(2), 0} {'k3', k0(3), 0} {'k4', k0(4), 0} {'k5', k0(5), 0} {'k6', k0(6), 0} {'k7', k0(7), 0} {'k8', k0(8), 0} {'k9', k0(9), 0} };
model.ssfun = @f_Error; % -2*log(likelihood) function model.sigma2 = mse; % initial error variance
options.nsimu = 1000; % banyak simulasi options.updatesigma = 1; % the variances are sampled as
conjugate priors % specified by the parameters S20 and N0 of the inverse gamma % distribution, with the 'noninformative' defaults
[results,chain,s2chain] = mcmcrun(model,data,params,options); %
memanggil fungsi mcmc % save [results,chain,s2chain];
%% figure(1); clf mcmcplot(chain,[],results,'chainpanel'); % Menampilkan gambar
rentang nilai posterior
%% figure(2); clf mcmcplot(sqrt(s2chain),[],[],'dens',2) title('error std')
Universitas Hasanuddin
94
%% % Function |chainstats| lists some statistics, including the % estimated Monte Carlo error of the estimates. chainstats(chain,results)
%% % perbandingan antara Model kinetik dan data yang digunakan figure(3); clf [t,y] = ode45(@f_Model,linspace(0,4,50),data.y0,[],mean(chain)); plot(Xq,X1,'*c',Xq,X2,'*b',Xq,X3,'*r',t,y,'-r') ylim([0,3.00]) legend('Glukosa','Sel','Etanol','G1','X1','E1') title('Data and fitted model')
%% % Perbandingan antara reduksi gula dari model kinetik dan Reduksi
gula dari data figure(4); clf subplot 221 plot(Xq,X1,'*c',t,y(:,1),'-r') title('Data Glukosa dan Model')
% Perbandingan antara sel dari model kinetik dan sel dari data subplot 222 plot(Xq,X2,'*b',t,y(:,2),'-r') title('Data Sel dan Model')
% Perbandingan antara pembentukan etanol dari model kinetik dan
pembentukan % etanol dari hasil eksperimen subplot 223 plot(Xq,X3,'*c',t,y(:,3),'-r') title('Data Etanol dan Model')
% Glukosa, Sel dan Etanol dari model subplot 224 plot(t,y,'*r') title('Model')
%% % Glukosa, Sel dan Etanol berdasarkan hasil eksperimen figure(5); clf plot(Xq,X1,'*c',Xq,X2,'*b',Xq,X3,':') title('Data')
%% % Perbandingan antara reduksi gula dari model kinetik dan Reduksi
gula dari % data model Aiba
figure(6); clf plot(Xq,X3,'*r',t,y(:,3),'-b' ) legend('Data Etanol','Model Etanol')
Universitas Hasanuddin
95
title('Data Etanol dan Model') xlabel('Durasi Fermentasi (hari)') ylabel('Konsentrasi (g/l)')
%% figure(7); clf plot(Xq,X1,'*r',t,y(:,1),'-b' ) legend('Data Etanol','Model Glukosa') title('Data Glukosa dan Model') xlabel('Durasi Fermentasi (hari)') ylabel('Konsentrasi (g/l)')
%% figure(8); clf plot(Xq,X2,'*r',t,y(:,2),'-b' ) legend('Data Etanol','Model Sel') title('Data Sel dan Model') xlabel('Durasi Fermentasi (hari)') ylabel('Konsentrasi (g/l)')
Universitas Hasanuddin
96
Lampiran 8
Fungsi Model
function ydot = f_Model(t,y,k) % Himmelblau 9.9 odefile G=y(1); X=y(2); E=y(3); y1=k(1); y2=k(2); U=((k(3)*G)/(k(4)+G))*(1-(G/k(5))*(1-(E/k(6)))); q1=(1/y1)*U; q2=(y2/y1)*U;
ydot = [ -q1*X*(1-(X/k(8)))-k(7)*G; U*X*(1-(X/k(8))); q2*X*(1-(X/k(8)))-k(9)*E; ];
Universitas Hasanuddin
97
Lampiran 9
Fungsi Error
function ss = f_Error(k,data) % sum-of-squares for Himmelblau 9.9 time = data.ydata(:,1); Glukosa = data.ydata(:,2:4); y0 = data.y0;
[time,y] = ode45(@f_Model,time,y0,[],k); Amodel = y;
f=Glukosa-Amodel;
ss=norm(f);