Ruote Dentate Corrette

Sommario

Progettazione funzionale di sistemi meccaniciRuote dentate

prof. Paolo [email protected]

Universita degli Studi di BergamoMechatronics And Mechanical Dynamics Labs

January 10, 2012

prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs

Progettazione funzionale di sistemi meccanici

Sommario

Parte I

Introduzione alle ruote dentate



Sommario

Parte II

Caratteristiche delle trasmissioni a denti diritti

Profilo dei denti

Dentiera

Lavorazione della ruota

Utensili e macchine

Forma del dente

Trasmissione del moto

Primitive di funzionamento



Sommario

Parte III

Criteri di scelta delle correzioni

Introduzione

Calcolo Interasse di Funzionamento

Limitazione alla correzione

Limitazione delle singole correzioni

Ripartizione delle correzioni



Sommario

Parte IV


Introduzione

Riduzione arco di accesso

Ottimizzazione del rendimento

Fattore di forma



Part I

Introduzione



I considerando trasmissione fra assi paralleli

I Si puo arrivare al concetto di trasmissione ad ingranaggi considerando dapprimauna semplice trasmissione a ruote di frizione, nella quale le due ruote cilindriche sitrasmettono il moto per attrito, rotolando l’una contro l’altra.

I il limite delle trasmissioni a ruote di trasmissione e dovuto al coefficiente d’attritofra le superfici in contatto

I la necessita di trasmettere carichi significativi senza alcuna possibilita dislittamento ha portato a dotare di opportune dentature le originali superficicilindriche, in modo che il moto sia trasmesso per accoppiamento fra le superficidelle dentature

I si hanno quindi trasmissioni con ruote dentate, il cui funzionamento puo ancoraessere schematizzato, dal solo punto di vista cinematico, col rotolamento di duesuperfici cilindriche ideali, che vengono denominate

superfici “primitive” della coppia .



I come possono essere realizzate le dentature per un regolare funzionamento dellatrasmissione con rapporto di trasmissione costante per ogni posizione relativadella coppia di ruote?

I quali sono le caratteristiche geometriche delle dentature comunemente utilizzate?

I come sono fatti gli utensili per la realizzazione delle dentature?

I e possibile modificarne alcune caratteristiche geometriche per il miglioramentodelle prestazioni?



Profilo dei denti Dentiera Lavorazione della ruota Utensili e macchine Forma del dente Trasmissione del moto Primitive di funzionamento

Part II

Caratteristiche delle trasmissioni a denti diritti




I I denti degli ingranaggi cilindrici a denti diritti vengono realizzati con profili adevolvente di cerchio

I la dentatura viene realizzata per mezzo di un utensile che, per motivi realizzativie di vita, viene generalmente scelto con profilo rettilineo

I il fianco del dente e realizzato dall’utensile, rappresentato da una retta, nel suomoto relativo al pezzo

r P0

Lπ/2 − θ0

M σ

η

l

l

λ

λ

Figure: Profilo ad evolvente di cerchio.




r P0

Lπ/2 − θ0

M σ

η

l

l

λ

λ

I l’evolvente di cerchio σ e la linea inviluppo di una curva generatrice rettilinea ηnel moto definito dal puro rotolamento della polare mobile l sulla polare fissacircolare λ di raggio r che costituiscono le primitive del moto.

I La curva η e una retta solidale nel punto L alla polare l , ed e inclinata rispetto adessa dell’angolo π/2− θ0, dove θ0 e un angolo che con il raggio r della polare λdefinisce il cerchio δ di cui la σ e l’evolvente.

I La l e una retta che rotola senza strisciare sulla circonferenza λ di raggio r .




r P0

Lπ/2 − θ0

M σ

η

l

l

λ

λ

I Nel punto di contatto M della σ con la η la velocita w del moto relativo e, perdefinizione di inviluppo, tangente alle due curve, quindi la normale ai profili nelpunto M deve passare per il centro di istantanea rotazione P0, punto di contattodelle polari l e λ

I L’angolo fra la normale P0M e la polare l e percio θ0 per ogni punto M dicontatto.




r

rb

L M

θ0

ψ

θ0θ

P0

T

δ

λ

λ

l

l

Bρ

σ

η

Figure: Profilo ad evolvente di cerchio, metodo degli epicicli

I L’angolo fra la normale P0M e la polare l e percio θ0 per ogni punto M dicontatto.

I Per questa ragione la normale al punto di contatto M e inoltre sempre tangente

al cerchio δ di raggio rb = r cos θ0 detto “cerchio fondamentale” o di “base ” dicui la σ ne e l’evolvente.

I L’evolvente σ puo percio essere ottenuta come traiettoria di un punto di una

retta normale alla η, la quale rotola senza strisciare sul cerchio fondamentale δ




r

rb

L M

θ0

ψ

θ0θ

P0

T

δ

λ

λ

l

l

Bρ

σ

η

I La linea l rappresenta in figura prende anche il nome di epiciclo.

I Le coordinate polari ρ e ψ del profilo dell’evolvente possono essere ottenuteeguagliando l’arco di circonferenza TB al segmento TM della retta generatricedell’evolvente σ, e risultano:

ρ = rb/ cos θ , ψ = tan θ − θ (1)




L0

p0 = πm

p0/2

m

1.25m

20◦

Figure: Dentiera di riferimento

I Quindi i profili ad evolvente dei denti si ottengono come inviluppo di una dentieraa fianchi diritti, quando il moto relativo tra ruota e dentiera e definito dalrotolamento della primitiva circolare della ruota sulla primitiva rettilinea delladentiera

I la figura rappresenta una dentiera normalizzata, caratterizzata dall’angolo dipressione θ0 = 20◦ e dal modulo m.

I Tutte le altre grandezze geometriche sono riferite al modulo. I valori possibili dim sono standardizzati.




L0

p0 = πm

p0/2

m

m

1.25m

1.25m

0.4m

pb

B

A

C

20◦

I Per il taglio degli ingranaggi con il procedimento Maag si utilizza unutensile-dentiera (pettine) avente la forma della dentiera normalizzata

I il fianco e composto dal tratto rettilineo AB che scava l’evolvente e dallasporgenza BC che scava la base del dente in modo da creare un gioco di fondo dim/4;

I i fianchi rettilinei distano fra loro del passo di base pb = p0 cos θ0.I Sulla linea L0 (primitiva dell’utensile nel taglio di ingranaggi non corretti) lo

spessore del dente coincide con il vano lasciato fra due denti consecutivi.




L0c

l

ri

re

rp0

rb

λω

v

Figure: Taglio ruota con dentiera

I la figura mostra l’utensile-dentiera in una posizione di taglio della ruotaI Si parte da una ruota di diametro esterno de opportunamente calcolato.I La macchina dentatrice funziona come una stozzatrice, cioe asporta il materiale

con un moto alternativo normale al piano della figura. Tale moto di taglio sialterna a quello di inviluppo.




L0 c

l

ri

re

rp0

rb

λω

v

I Il movimento di inviluppo puo essere ottenuto animando l’utensile con velocita v

e la ruota con velocita ω, legate dalla relazione v = ωdp0/2.I Il diametro dp0 della primitiva di taglio λ dipende dal modulo m e dal numero di

denti z che si vogliono realizzare; esso si determina imponendo l’uguaglianzanz = 60v/p tra i numeri di denti della ruota e dell’utensile transitanti al minutoper la zona di taglio

dp0 =2v

ω=

2v

(2πn/60)=

pz

πI per definizione di modulo p = πm si ottiene la nota espressione

dp0 = mz . (2)prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs



L0 c

l

ri

re

rp0

rb

λω

v

I A causa del moto di inviluppo i fianchi dei denti della ruota tagliata non risultanodiritti ma, almeno nel tratto efficace (quello inviluppato dal segmento AB )hanno la forma dell’evolvente di un cerchio δ, detto fondamentale, tangente allaretta inclinata di θ0 rispetto alla primitiva di taglio, avente quindi il diametro

db = dp0 cos θ0 . (3)




L0 c

l

ri

re

rp0

rb

λω

v

I Il moto relativo di inviluppo puo vedersi come il rotolamento della primitiva λ suuna primitiva rettilinea l solidale all’utensile e parallela o coincidente con la L0

I La forma della dentatura ottenuta dipende dalla posizione data all’utensile per iltaglio, e precisamente dalla distanza c della primitiva l (tangente alla λ) dallalinea di riferimento L0.

I Se la dentiera e stata disposta con la linea di riferimento L0 coincidente con la l

(c = 0) si ottengono dentature non corrette; se la dentiera e stata disposta piu infuori, si hanno dentature con correzione positiva (c > 0), se e stata disposta piuin dentro si hanno dentature con correzione negativa (c < 0).

I Il rapporto x = c/m rappresenta il valore adimensionale della correzione.




Utensile dentiera




Dentatrici MAAG




Utensile Creatore




Grandi Dimensioni




Rettifica




I Poiche la dentiera viene spostata di c anche i raggi di troncatura della ruotavengono aumentati (o diminuiti) di c;

I il diametro di troncatura esterna, che nelle dentature non corrette valede = dp0 + 2m, viene preso uguale a

de = dp0 + 2m + 2c = m(z + 2 + 2x) , (4)

I mentre il diametro di troncatura interna, scavato dalla parte dell’utensiletratteggiata in figura 5, risulta uguale a

di = dp0 − 2.5m + 2c = m(z − 2.5 + 2x) . (5)

I L’altezza del dente risulta quindi uguale ad

h = (de − di )/2 = 2.25m

come per le dentature non corrette, ma suddivisa nell’addendum

a = (de − dp0 )/2 = m + c = m(1 + x)

e nel dedendum

b = (dp0 − di )/2 = 1.25m − c = m(1.25 − x) .




c L0

l

M

K L

N

a

bθ0

θ0

T

P0

O

ri

rp0

rb

re

Figure: Punti di contatto tra utensile e ruota

I Il passo dei denti sulla primitiva λ di taglio (KL in figura ) e uguale a quello delladentiera, cioe vale p0 = πm;




g

θ0

c

p0/2

g0

d/2

dp0/2

db/2ψ ψ

θ

L0

l

Figure: Spessore del dente

I lo spessore del dente misurato sulla primitiva l dell’utensile risulta uguale ai vani

sulla dentiera:g0 =

p0

2+ 2c tan θ0 = m(

π

2+ 2x tan θ0) . (6)




profilo efficace

c L0

l

M

K L

N

a

bθ0

θ0

T

P0

O

ri

rp0

rb

re

I Il fianco del dente della ruota, o almeno la sua parte efficace (inviluppata daifianchi diritti dell’utensile) e l’evolvente del cerchio fondamentale di diametro db

I l’evolvente e compresa tra il diametro di troncatura esterno de ed un diametrod ′

i = MO, che risulta sempre maggiore o al massimo uguale al diametro db delcerchio fondamentale.

I d ′

ipotrebbe chiamarsi diametro di troncatura interna del profilo efficace

I a = m − c = m(1 − x) e l’addendum apparente della dentiera (escludendo cioe laparte tratteggiata di figura ), si puo ricavare la formula

d ′

i = 2MO = 2√

OT 2 +MT 2 =√

db2 + (dp0 sin θ0 − a/ sin θ0)2 . (7)prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs



Spessore del dente

g

θ0c

p0/2

g0

d/2

dp0/2

db/2ψ ψ

θ

L0

l

I Per determinare la forma del dente si possono ricavare i valori dell’angolocaratteristico θ e dello spessore circolare g in funzione del generico diametro d.

I per ogni punto sul profilo del dente intercettato dal diametro d, la proiezione did/2 sul raggio di base e costante per la definizione di evolvente

d cos θ = db = cost

I lo spessore del dente sull’arco di circonferenza intercettato dal diametro d vale

g = (αb − 2ψ)d

2

in cui αb rappresenta il settore angolare sotteso dalla base del dente incorrispondenza del diametro di base db




Spessore del dente

g

θ0c

p0/2

g0

d/2

dp0/2

db/2ψ ψ

θ

L0

l

I

g = (αb − 2ψ)d

2I risulta

g

d+ ψ =

αb

2= cost

I e quindig

d+ ψ =

gb

db= cost . (8)

I ricordando cheψ = tan θ − θ = inv θ . (9)




c L0

l

M

K L

N

a

bθ0

θ0

T

P0

O

ri

rp0

rb

re

I I valori delle costanti si determinano tenendo presente che in corrispondenza della

primitiva di taglio , cioe per d = dp0 , deve essere θ = θ0 e g = g0

d cos θ = dp0 cos θ0 , (10)

I dp0 diametro primitivo di taglioI fissato d si ricava θ, e

g

d+ inv θ =

g0

dp0+ inv θ0 (11)

I da cui, noti g0, dp0 , d e θ, si ricava g .




I spessore del dente sulla primitiva di taglio, in funzione del modulo, dell’angolo dipressione e della correzione

g0 =p0

2+ 2c tan θ0 = m(

π

2+ 2x tan θ0)

I relazione fra d e θ dalle proprieta dell’evolvente

d cos θ = dp0 cos θ0

I calcolo di ψ in funzione di θ

ψ = tan θ − θ = inv θ

I calcolo di g = g(d, θ)g

d+ inv θ =

g0

dp0+ inv θ0




Esempio

Calcolare lo spessore del dente sul cerchio di troncatura esterna di un ingranaggiocorretto.

I sia z il numero di denti, m il modulo, θ0 l’angolo di pressione della dentierageneratrice, c = mx la correzione;

I il diametro del cerchio di troncatura esterna vale de = dp0 + 2m + 2c , dovedp0 = mz ;

I l’angolo di pressione in corrispondenza del diametro de e dato dalla relazione

cos θ =dp0

decos θ0 ;

I lo spessore g richiesto si ricava infine con la formula

g

de+ inv θ =

g0

dp0+ inv θ0 ,

nella quale g0, spessore del dente sulla primitiva di taglio, vale

g0 =πm

2+ 2c tan θ0 .




Trasmissione del moto

Il profilo dei denti e la loro disposizione attorno alle primitive deve permettere di:

I garantire continuia del moto di rotazione delle ruote (numero intero di denti perogni ruota, da cui mz = dp0 )

I garantire ingranamento fra i denti delle ruote, dotata ciascuna di z1 e di z2 denti

I questo consente di definire a priori in rapporto di trasmissione “medio” valutatoeguagliando il numero di denti ω1z1 e ω2z2 che transitano in un minuto nellazona di lavoro

τ =ω2

ω1=

z1

z2

I questo rapporto di trasmissione medio e garantito da qualsiasi tipologia di dente

I I profili dei denti sono opportunamente realizzati in modo che il rapporto di

trasmissione istantaneo sia costante, coincidente al valore precedentementecalcolato




I I profili ad evolvente di cerchio tracciati con il medesimo procedimento (quindicon la stessa dentiera) su due ruote dentate costituenti un ingranaggio, risultano

fra di loro coniugati (proprieta dei profili coniugati)

I Sono quindi in grado di trasmettere il moto come lo trasmetterebbero i diametriprimitivi rotolando uno sull’altro senza strisciare (diametri primitivi di taglio sucui, durante la fase di lavorazione, nel moto relativo la dentiera rotolava senzastrisciare sulla ruota)

I Nel moto assoluto la velocita del punto di contatto delle primitive deve essere

uguale per le due ruote affinche non ci sia strisciamento

rp0 1ω1 = rp0 2ω2

dove rp0 1 e rp0 2 sono rispettivamente il raggio della primitiva della ruota motricee della ruota condotta.

I Definendo il rapporto di trasmissione istantaneo τ = ω2/ω1 come il rapportofra la velocita di rotazione della ruota condotta e la velocita di rotazione dellaruota motrice, risulta

τ =ω2

ω1=

rp0 1

rp0 2.




I La lunghezza dell’arco di cerchio fra due punti omologhi della dentatura misuratosul diametro primitivo delle ruote, deve essere uguale per le due ruote

2πrp0 1z1

=2πrp0 2z2

,

rp0 1

rp0 2= τ =

z1

z2. (12)

I Il rapporto di trasmissione istantaneo di un ingranaggio puo quindi esserecalcolato come il rapporto fra il numero di denti della ruota motrice ed il numerodi denti della ruota condotta.




Ingranamento

I il movimento tra due ruote dentatetagliate con lo stesso utensile sitrasmette in modo cinematicamente

corretto purche esse siano dispostecon un interasse I poco minore dellasomma dei raggi di troncaturaesterna

I l’interasse

I0 =dp0 1 + dp0 2

2=

m(z1 + z2)

2(13)

e detto interasse “di taglio”

I i contatti fra i fianchi dei dentiavvengono nella zona compresa tra idue cerchi di troncatura esternacomune alle due ruote dentate

rb1

ri 1

re 1 θ′

T1MP0

NT2

re2 rb2

I

O1

O2

Figure: Trasmissione del moto fra due ruotedentate




I Se P e un generico punto dicontatto, per una ovvia proprietadell’evolvente la normale ai profili nelpunto di contatto, sara tangente aicerchi fondamentali delle due ruote

I tale tangente, la T1T2 non dipendeda P e ovvio che i contatti possonoaversi solo su di essa nel tratto MN

I Su tale retta i profili dei denti sisusseguono ad una distanza pari aquella fra i fianchi rettilineidell’utensile dentiera, pari al passo pbmisurato sul cerchio fondamentale diciascuna ruota, che valepb = πm cos θ0 e che quindi e ugualeper entrambe.

rb1

ri 1

re 1 θ′

T1MP0

NT2

re2 rb2

I

O1

O2




I Se MN > pb prima che due denti siseparino (uscendo da N) altri duesono gia entrati in presa (entrandoda M) e il moto puo proseguireindefinitamente con continuita.

I si definisce il fattore di ricoprimento

fc =MN

pb(14)

che deve risultare maggiore di 1(normalmente compreso fra 1 e 2)

I Quando 1 < fc < 2 il segmento MN

viene diviso in due zone: la zonacentrale dei contatti singoli e la

zona dei contatti doppi ,

rb1

ri 1

re 1 θ′

T1MP0

NT2

re2 rb2

I

O1

O2




N1N

M1M

rb2

re 2

pb

pb

T2

T1

rb1

ri 1re 1

Figure: Zone con contatti singoli e doppi

I la zona centrale dei contatti singoli M1N1 e la zona dei contatti doppi, costituitadai restanti segmenti MM1 ed NN1, fra loro uguali

I Quando due denti sono a contatto in un punto di M1M altri due denti sono acontatto in un punto di N1N, e la spinta sui denti viene suddivisa tra le due

coppieI quando due denti sono a contatto in un punto di M1N1 non si hanno altri denti a

contatto e quindi essi sopportano da soli tutto il carico.




I i due profili a contatto in un generico puntoP della retta T1T2 possono essereapprossimati con i due cerchi osculatori dicentri T1 e T2 (che per definizione dievolvente sono i centri di curvatura) e raggiρ1 = PT1 e ρ2 = PT2

I Tutto avviene allora come se nell’istanteconsiderato la trasmissione del moto fosseaffidata a tali cerchi, incernieratirispettivamente in O1 ed O2.

I Tali cerchi si trasmettono il moto come ilquadrilatero equivalente O1T1T2O2: la biellaT1T2, tangente ai cerchi fondamentali,scorre lungo la retta dei contatti con velocitauguale a quella ω1rb1 = ω2rb2 delle cerniereT1 e T2 cioe la retta T1T2 rotola senzastrisciare sui cerchi fondamentali

I come se si trattasse cioe di una funeinestensibile che si srotola da un cerchioarrotolandosi sull’altro

rb2

ρ2

T2

O2

O1

rb1

T1

ρ1

Figure: Raggi di curvatura dei dentinel punto di contatto




I le dimensioni del quadrilatero equivalentenon dipendono dalla posizione del punto dicontatto P

I da P non dipende nemmeno il valore delrapporto di trasmissione istantaneoτ = ω2/ω1; risultando τ = cost

I la trasmissione del moto e cinematicamentecorretta, indipendentemente dall’interasse

adottato

I Dal quadrilatero O1T1T2O2 risultaτ = rb1/rb2 ed essendorb1/rb2 = dp0 1/dp0 2 = z1/z2 si ha τ = z1/z2come gia visto

rb2

ρ2

T2

O2

O1

rb1

T1

ρ1




Primitive di funzionamento

I La condizione τ = cost puorappresentarsi come il rotolamentol’uno sull’altro di duecerchi primitivi di centri O1 ed O2

e diametri dp1 e dp2 tali che

dp1 + dp22

= I (15)

dp1

dp2= τ . (16)

I le primitive “ di funzionamento ”coincidono con le primitive

“ di taglio ” solo quando l’interasse

di funzionamento I e uguale ad I0.

rb1

ri 1

re 1 θ′

T1MP0

NT2

re2 rb2

I

O1

O2




I Le primitive di funzionamento sono acontatto nel punto P0

I la retta T1T2 risulta inclinatarispetto alla normale al telaiodell’angolo θ′, detto angolo dipressione di funzionamento, il qualee uguale a θ0 solo per I = I0.

I e possibile dimostrare che

I

I0=

dp1

dp01=

dp2

dp02=

cos θ0

cos θ′=

p′

p0

(17)

I dove p′ e il passo sulle primitive difunzionamento e p0 e il passo sulleprimitive di taglio

rb1

ri 1

re 1 θ′

T1MP0

NT2

re2 rb2

I

O1

O2




Al variare dell’interasse di funzionamento

I il rapporto di trasmissione rimanecostante (solo per dentature conprofili ad evolvente)

I varia il gioco fra i denti delle ruote

I varia l’angolo di pressione

I varia il fattore di ricoprimento

I il legame fra le grandezze di taglio equelle di funzionamento e espressodalla

I

I0=

dp1

dp01=

dp2

dp02=

cos θ0

cos θ′=

p′

p0

(18)

I Indicando con Bv la variazionepercentuale di interasse,

Bv =I − I0

I0, (19)

risultaI

= 1 + B . (20)

rb1

ri 1

re 1 θ′

T1MP0

NT2

re2 rb2

I

O1

O2




Esercizio

Calcolare le correzioni da apportare ad una coppia di ingranaggi che saranno montaticon un interasse uguale a quello di taglio in modo che sulle primitive le dentaturepresentino il piccolo gioco laterale δ necessario per una buona lubrificazione.

I l’interasse di funzionamento coincide con quello di taglio

I coincidono anche le primitive di funzionamento con quelle di taglio

I spessore dente sulla primitiva di taglio

g0 =πm

2+ 2c tan θ0 =

p0

2+ 2c tan θ0

I la somma degli spessori dei denti sulle primitive vale

g01 + g02 = p0 + 2(c1 + c2) tan θ0 ;

I imponendo che tale somma sia uguale al passo p0 meno il gioco δ, si ottiene

c1 + c2 = −1

2δ cot θ0 .




Esercizio

Calcolare come varia al variare di I il gioco laterale sulle primitive di una coppia diingranaggi non corretti.

I per I = I0 si ha δ = 0;I ricordando

I

I0=

dp1

dp01=

dp2

dp02=

cos θ0

cos θ′=

p′

p0= 1 + Bv (21)

I aumentando l’interasse della quantita Bv I0, il nuovo interasse sara

I = I0(1 + Bv )

I le nuove primitive avranno diametri dp1 = dp0 1(1 + Bv ) e dp2 = dp0 2(1 + Bv ) edil nuovo angolo di pressione sara dato dalla relazione cos θ = cos θ0/(1 + Bv )

I ricordando cheg

d+ inv θ =

g0

dp0+ inv θ0

I detto g0 = πm/2 lo spessore dei denti sulle primitive di taglio, gli spessori sulleprimitive di funzionamento saranno

g1 = g0(1 + Bv )− (inv θ − inv θ0)dp1

g2 = g0(1 + Bv )− (inv θ − inv θ0)dp2




I dag1 = g0(1 + Bv )− (inv θ − inv θ0)dp1

g2 = g0(1 + Bv )− (inv θ − inv θ0)dp2

I sommando si ottiene

g1 + g2 = 2g0(1 + Bv )− 2I (inv θ − inv θ0)

I poiche il passo sulle primitive di funzionamento vale

p′ = p0(1 + Bv ) = 2g0(1 + Bv )

I il gioco delle dentature al variare dell’interasse e dell’angolo di pressione e

δ = p′ − (g1 + g2) = 2I (inv θ − inv θ0) .



Introduzione Calcolo Interasse di Funzionamento Limitazione alla correzione Limitazione delle singole correzioni Ripartizione delle correzioni

Part III

Ingranaggi Corretti




Introduzione

I Per evitare forti strisciamenti tra i denti, le dentature vengono poste a cavallodelle “primitive”, ma mentre, nelle ruote “normali”, la sporgenza e la rientranzadei denti rispetto alle “primitive” (addendum e dedendum) hanno valorinormalizzati, nelle ruote “a cerchi spostati” tali quantita debbono essere stabilitevolta per volta dal progettista.

I La realizzazione di ingranaggi con dentature “a cerchi spostati” o, come piubrevemente si suol dire, “corrette” , e una prassi molto in uso nella costruzionedelle ruote dentate perche consente di migliorarne notevolmente le condizioni difunzionamento senza una significativa complicazione del processo di fabbricazione.

I Infatti la correzione della dentatura semplicemente si ottiene imponendo undiverso posizionamento dell’utensile sulla macchina dentatrice.




I Inizialmente la correzione fu adottata solo nei casi in cui era indispensabile, e cioein pratica quando si dovevano realizzare ruote dentate con numeri di denti cosıbassi da comportare un pericoloso “sottotaglio” della dentatura durante lafabbricazione.

I Successivamente ci si rese conto che con la correzione si puo comunque migliorareil funzionamento degli ingranaggi, sostanzialmente perche essa consente dispostare alquanto la zona di ingranamento delle dentature collocandola in modoopportuno, sicche oggi quasi tutti gli ingranaggi “di potenza” vengono realizzaticon spostamento dei cerchi, mentre gli ingranaggi “normali” vengono impiegatinelle applicazioni in cui debbono assolvere solamente una funzione cinematica.

I Di conseguenza la conoscenza del meccanismo delle “correzioni” non ha piu ilcarattere specialistico di una volta, ma e diventata parte integrante delle nozioninecessarie per procedere nella normale progettazione degli ingranaggi.




I E importante osservare che le “correzioni” consentono anche di modificare ilvalore dell’interasse fra le ruote, rispetto a quello che risulterebbe con unproporzionamento normalizzato.

I Cio permette di risolvere semplici problemi costruttivi, quali quelli che si hannonei cambi di velocita, dove l’interasse e il medesimo per tutti gli ingranaggi, senzadover ricorrere ad ingranaggi elicoidali con angoli d’elica di valore inconsueto.

I La “correzione” viene anche utilizzata nella realizzazione di ingranaggi adentatura interna quando si deve modificarne l’interasse: per questi ingranagginon si hanno invece indicazioni quantitative che permettano anche di migliorarnele condizioni di funzionamento.




Calcolo Interasse di Funzionamento

I il rapporto di trasmissione in una coppia di ruote NON dipende da I solo perdentature con profili ad evolvente

I la possibilita di scegliere interassi diverse consente di adattare la trasmissione aspecifiche esigenze

I Il valore effettivo dell’interasse viene determinato in sede di progetto imponendoche non vi siano giochi laterali tra i denti in presa (carichi dinamici), in modo cioeda evitare sbattimenti nel caso di inversione del senso del movimento (o dellacoppia trasmessa)

I in alcune applicazioni il gioco laterale viene imposto per compensare ed evitaregrippaggio per disallineamenti degli alberi di trasmissione

I L’assenza di giochi e molto importante nel caso di meccanismi di posizionamento,ma anche nel caso piu generale, dove un piccolo gioco laterale risulta utile perragioni di lubrificazione, il valore dell’interasse viene stabilito con dettacondizione, ottenendo poi in realta il piccolo gioco richiesto con una opportunascelta delle tolleranze di lavorazione.

I Per calcolare l’interasse di funzionamento col quale non si hanno giochi laterali siimpone che sulle primitive di funzionamento la somma dello spessore del dente diuna ruota con lo spessore del dente dell’altra risulti eguale al passo misurato sulleprimitive di funzionamento.




I ricordando che:g

d+ inv θ =

g0

dp0+ inv θ0

g0 =p0

2+ 2c tan θ0

I

I0=

dp1

dp01=

dp2

dp02=

cos θ0

cos θ′=

p′

p0= 1 + Bv

I gli spessori dei denti sulla primitiva di funzionamento sono

g1 = g01dp1

dp0 1− (inv θ − inv θ0)dp1 = g01

I

I0− (inv θ − inv θ0)dp1

g2 = g02dp2

dp0 2− (inv θ − inv θ0)dp2 = g02

I

I0− (inv θ − inv θ0)dp2

I in corrispondenza del diametro primitivo di funzionamento risulta

p′ − δ = g1 + g2 → p0I

I0− δ = g1 + g2

in cui δ e il gioco fra i denti




I in caso di gioco nullo risulta

p0I

I0= p0

I

I0+ 2(c1 + c2) tan θ0

I

I0− (inv θ − inv θ0)(dp1 + dp2)

I

2(c1 + c2) tan θ0I

I0− (inv θ − inv θ0)2I = 0

I infine la relazione che lega le correzioni all’angolo di pressione di funzionamentoin condizioni di gioco nullo

inv θ = inv θ0 +c1 + c2

I0tan θ0 = inv θ0 + B tan θ0

I l’angolo di pressione di funzionamento puo essere determinato a partiredall’interasse di funzionamento

I

I0=

cos θ0

cos θ





I0tan θ0

I si osservi che il valore dell’interasse non dipende dai singoli valori delle correzioni

c1 e c2, ma solo dalla loro somma .

I Quando c1 + c2 = 0 risulta I = I0: si hanno cioe le correzioni senza cambiamento

d’interasse, dette correzioni V .O., per le quali le correzioni c1 e c2 sono uguali econtrarie, e le primitive di funzionamento coincidono con le primitive di taglio.

I Quando c1 + c2 6= 0 risulta I 6= I0: si hanno cioe le correzioni con cambiamento

d’interasse, dette correzioni V , per le quali I e θ′ aumentano o diminuisconoall’aumentare o al diminuire di c1 + c2.




Riduzione del diametro di troncatura esterno

I per effetto delle correzioni c1 e c2, l’interasse non aumenta della quantita c1 + c2,ma di una quantita inferiore.

I Cio comporta una diminuzione del gioco di fondo tra le dentature

I infatti per mantenere un gioco di fondo pari ad 1/4 del modulo bisognerebbeaumentare l’interasse della stessa quantita di cui aumentano i raggi dei cerchi ditroncatura esterna ed interna, cioe di c1 + c2.

I Per mantenere il gioco di fondo pari ad 1/4 del modulo con l’interasse difunzionamento I , bisogna quindi ridurre alquanto i cerchi di troncatura esternadegli ingranaggi: per valutare l’entita di questa riduzione, supponiamo di montarei due ingranaggi con l’interasse I1 = I0 + c1 + c2 = (1 + B)I0.

I Si avra un gioco di fondo pari ad 1/4 del modulo, ma si avra anche un giocolaterale: diminuiamo quindi l’interasse fino a portarlo al valore di funzionamentoI = (1 + Bv )I0 per il quale non si hanno piu giochi laterali.




I Il gioco di fondo sara diminuito della quantita

km = I1 − I = (B − Bv )I0 , (22)

I per riportarlo al valore originale bastera quindi ridurre i raggi dei cerchi ditroncatura esterna della quantita km.

I Ne consegue che nel caso di dentatura corretta, per conservare il gioco di fondo

de = m(z + 2 + 2x − 2k) (23)

I poiche i diametri dei cerchi di troncatura interna restano invariati, l’altezza totaledei denti viene ridotta al valore h = (2.25 − k)m.




Limitazione alla correzione

Nella scelta delle correzioni x1 ed x2 da dare ad una coppia di ingranaggi si hanno dellelimitazioni dovute:

I alla necessita di avere un fattore di ricoprimento perlomeno maggiore di 1,

I evitare l’appuntimento dei denti in testa

I evitare il sottotaglio alla base del dente.




re 1

rb1

re 2

rb2

θ′ I

a b c

Figure: Influenza delle correzioni sulla lunghezza e posizione del tratto di ingranamento MNcompreso fra i diametri esterni delle ruote

I le correzioni influenzano il fattore di ricoprimento, cioe la lunghezza NM dellalinea dei contatti

I nel caso delle figure a e b si hanno due diverse correzioni, ma sempre con lastessa somma x1 + x2, cioe con lo stesso interasse, mentre nella

I la figura c si ha una somma x1 + x2 diversa, e quindi un diverso interasse.I si osserva che il fattore di ricoprimento dipende sostanzialmente dalla somma

x1 + x2 e diminuisce al crescere di questa, mentre risulta poco sensibile al modo

con cui questa somma e ripartita sui due ingranaggi.




I Nel caso di ingranaggi non corretti il fattore di ricoprimento risulta semprecompreso tra 1.4 e 2, se ne conclude che:

I nel caso di ingranaggi corretti senza variazione di interasse, cioe con x1 + x2 = 0, ilfattore di ricoprimento e ancora compreso all’incirca nel medesimo campo;

I forti valori del fattore di ricoprimento possono ottenersi con correzione con variazione diinterasse, imponendo x1 + x2 < 0;

I per x1 + x2 > 0 il fattore di ricoprimento diminuisce, compromettendo la continuitadella trasmissione: pertanto nelle correzioni con aumento dell’interasse bisogna sempreverificarne il valore.

I In genere si sconsiglia di scendere oltre il valore 1.4, tuttavia risultano accettabilianche valori inferiori, purche maggiori di 1.2. A tale scopo, le norme indicano dinon superare mai il valore x1 + x2 = 1.2.

I E chiaro che al crescere del fattore di ricoprimento diminuisce la zona di dentedestinata a sopportare l’intera spinta tra i denti, perche aumenta la frazione ditempo durante la quale vi e piu di una coppia di denti in presa.




I Molto spesso la somma x1 + x2 e prefissata dal progettista prima ancora di averscelto i singoli valori di x1 e x2.

I Il caso piu comune e quello in cui si presceglie la correzione V .O, cioe conx1 + x2 = 0, ottenendosi una grande semplicita di calcolo, un buon fattore diricoprimento, un interasse uguale a quello di ingranaggi non corretti (e quindipossibilita di sostituire ingranaggi non corretti con altri aventi maggiore capacitadi carico senza spostare i supporti) senza variare ne la direzione ed i valori dellespinte in gioco ne le dimensioni principali dei denti.

I Tale correzione limita fortemente il campo di scelta dei singoli valori di x e diconseguenza non permette grandi miglioramenti di capacita di carico: essa puoessere adottata solo se la somma dei numeri di denti dei due ingranaggi emaggiore di 34 e puo incominciare a dare qualche lieve miglioramento solo se lasomma dei numeri di denti dei due ingranaggi e maggiore di 60.




I In altri casi e prefissato il valore dell’interasse di funzionamento I e questo puoessere ottenuto mediante ingranaggi corretti.

I Se si vuole che una coppia di ingranaggi abbia un certo rapporto di trasmissionecon un certo interasse I prefissato si scelgono i numeri di denti ed il modulo inmodo che l’interasse I0 = m(z1 + z2)/2 sia vicino (e preferibilmente minore) ad I ;si calcola Bv = (I − I0)/I0

I per mezzo della


I0tan θ0 = inv θ0 + B tan θ0

si calcola la somma delle correzioni c1 + c2




Limitazione delle singole correzioni

Hc = 1 c = 0.5 c = 0

c = −0.2 c = −0.4 c = −0.6

rbrp0ri rb rb

rb rb rb

I Per quanto riguarda i singoli valori delle correzioni, osserviamo che la x ha unlimite inferiore ed uno superiore, in dipendenza dal numero di denti z .

I si deve evitare un eccessivo assottigliamento della punta del dente incorrispondenza del diametro di troncatura esterna ed una diminuzione dellasezione della base del dente




z x = 0 x = 0.5 x = 1 x = 1.5

36

18

9




-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

z

f1(z)

f2(z)

Figure: Limiti delle correzioni in funzione del numero di denti, assumendo k = 0, ϑ0 = 20◦ espessore del dente nullo all’estremita. Il campo delle correzioni possibili e compreso fra le due curve




-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

z

f1(z)

f2(z)

I Trascurando il ribassamento eventuale km del dente, imponendo la condizione

g > 0 discende la condizione x < f1(z)

I In pratica la limitazione e piu restrittiva in quanto per ragioni di resistenza dovraessere almeno g > 0.3m, e quindi la curva limite pratica e un po piu bassa diquella indicata in figura




rp0 rb

1

23

Figure: Sottotaglio per una ruota con z = 30, x = −0.6

I Correzioni troppo piccole o correzioni negative troppo grandi comportano pericolod’interferenza.

I L’evolvente che viene a costruirsi termina pero sul cerchio fondamentale: quandol’utensile prosegue nel suo moto di inviluppo, il punto di tangenza si porta sulramo opposto (teorico) di evolvente (punto 3); in queste condizioni sivedechiaramente che se l’addendum dell’utensile e troppo grande, il dente dellaruota risulta sottotagliato, e quindi indebolito notevolmente alla base.




c L0

l

M

K L

N

a

bθ0

θ0

T

P0

O

ri

rp0

rb

re

I La condizione per evitare sottotaglio e che il punto M non oltrepassi il punto T :detto a = m(1− x) l’addendum apparente della dentiera, si puo facilmentericavare la condizione

a <1

2mz sin2 θ0

zmin = 2/ sin2 θ0 , (24)

la condizionex > 1−

z

zmin

, (25)

Per θ0 = 20◦ risulta zmin ' 17.I che puo brevemente scriversi x > f2(z);




Esercizio

Calcolare l’interasse di funzionamento di una coppia di ingranaggi, il primo dei quali ecorretto e il secondo no.

I essendo c1 6= 0 e c2 = 0 si calcola B = c1/I0 e poi θ′ con la formulainv θ′ = inv θ0 + B tan θ0;

I si ottiene infine I = I0 cos θ0/ cos θ′.




Esercizio

Calcolare la somma delle correzioni da assegnare ad una coppia di ingranaggi dimodulo m in modo che l’interasse abbia un valore prestabilito I diverso daI0 = m(z1 + z2)/2.

I conoscendo I , si ricava θ′ con la formula

cos θ′ = (I0/I ) cos θ0

I quindi B con la formula B = (inv θ′ − inv θ0)/ tan θ0

I si ottiene infine

c1 + c2 = BI0 = Bmz1 + z2

2.




Ripartizione delle correzioni

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250 300

x 1+

x 2

z1+z2

Figure: Ripartizione della somma delle correzioni in funzione della somma del numero di denti. Lazona centrale, compresa tra le due linee continue e da intendersi di buon progetto. Verso l’altoingranaggi con elevata capacita di carico (elevata curvatura del profilo del dente), verso il bassocon elevata silenziosita (elevato fattore di ricoprimento)




I La figura riporta le limitazioni per la scelta della somma x1 + x2 in funzione dellasomma z1 + z2 quando l’interasse I non e imposto, e quindi non e imposta lasomma x1 + x2.

I Si consiglia di scegliere tale somma x1 + x2 nella zona indicata come di buonprogetto, spostandosi in essa verso l’alto quando si desidera aumentare lacapacita di carico degli ingranaggi e spostandosi verso il basso quando si desideraun buon fattore di ricoprimento, e quindi un funzionamento silenzioso.




Esercizio

Determinare le correzioni da assegnare a due ingranaggi con z1 = 10 e z2 = 40 dentiper evitare interferenza.

I poiche negli ingranaggi non corretti non si ha interferenza solo se z > zmin ' 17(per angolo di pressione di 20◦), si deve correggere l’ingranaggio con z1 denti.

I Dovra essere almeno x1 >= 1− z1/zmin = 1− 10/17 = 0.41;

I assumendo x1 = 0, 41 si puo fare una correzione senza cambiamento d’interassein quanto il valore di x2 = −0.41 e maggiore di 1− z2/zmin = 1− 40/17 = −1.35



Introduzione Riduzione arco di accesso Ottimizzazione del rendimento Fattore di forma

Part IV





Introduzione

Le correzioni sono realizzate per il raggiungimento dei seguenti obiettivi

I evitare sottotaglio (interferenza). Il criterio normalmente seguito e quello diassegnare al pignone la minima correzione necessaria ad evitare l’interferenza, ealla ruota una correzione uguale e contraria, almeno finche questo e possibilesenza provocare interferenza sulla ruota.

I migliorare le condizioni di accoppiamento delle rute costituenti l’ingranaggio. Latendenza di evitare ove possibile la correzione o comunque di allontanarsi il menopossibile dalla condizione di correzione nulla e sbagliata in quanto sembrapresumere che le condizioni ottimali di funzionamento di un ingranaggio sianoquelle corrispondenti al proporzionamento normale.

I Invece il proporzionamento normale non corrisponde in genere a condizioni difunzionamento ottimali perche con esso le proporzioni di ciascuna ruota dentatanon dipendono da quelle della ruota dentata con cui essa si accoppia, mentreovviamente il proporzionamento ottimale dipende da entrambe le ruote in presa.




Realizzando coppie di ingranaggi corretti e possibile raggiungere i seguenti obiettivi:

a. aumento della capacita di carico senza sensibile aumento degli ingombri: questo esenza dubbio l’obiettivo principale a cui, a seconda dei casi, si possono sommare iseguenti;

b. trasmissione della potenza con ridotto numero di denti, e quindi minori ingombri;

c. miglioramento dei surmoltiplicatori di velocita, che altrimenti funzionerebbero incondizioni assai gravose;

d. possibilita di ottenere interassi qualsiasi;

e. trasmissione con la minima potenza perduta.

Assegnati i valori del modulo e dei numeri di denti, le incognite da determinare

sono le correzioni c1 = mx1 ed c2 = mx2




I Per determinare queste incognite occorrono due condizioni da assegnare: in

genere una condizione riguarda il valore da attribuire alla somma x1 + x2 , e

l’altra permette di decidere come ripartire tale somma sui due ingranaggi.

I Quando e prefissato il valore dell’interasse di funzionamento, risulta stabilito ilvalore di x1 + x2 e quindi resta da decidere soltanto come ripartire tale somma suidue ingranaggi.




I In questo caso risulta praticamentefissata la lunghezza della linea deicontatti MN (e quindi il valore delfattore di ricoprimento)

I a seconda di come si ripartisce lasomma x1 + x2 varia la posizione delsegmento MN rispetto a P0, e quindivariano le lunghezze MP0 ed NP0 deitratti di accesso e di recesso.

I La linea dei contatti si allontana dallaruota cui e attribuita la correzionemaggiore in senso algebrico e siavvicina alla ruota cui e attribuita lacorrezione minore in senso algebrico.

I Allontanando da una ruota la lineadei contatti, le condizioni difunzionamento della sua dentaturadivengono in generale meno gravose,mentre peggiorano avvicinando adessa la linea dei contatti.

rb1

ri 1

re 1 θ′

T1MP0

NT2

re2 rb2

I

O1

O2




I E innanzitutto da osservare che per quanto riguarda i fenomeni di fatica ed usurastanno peggio i denti della ruota piu piccola dato che essi a pari durata dellacoppia debbono attraversare la zona dei contatti un numero maggiore di volte.

I Per attenuare questa pregiudiziale differenza i denti della ruota piu piccola vannoprogettati con una durezza maggiore di quella dei denti della ruota piu grande.Nel seguito non considereremo piu detta differenza ritenendola per semplicita didiscorso compensata dalla diversa durezza delle dentature.

I Ne segue che nei riduttori di velocita, dove il pignone, cioe la ruota piu piccola, eanche ruota motrice, tutto concorda nel ritenere il pignone in peggiori condizionidi funzionamento di quelle della ruota, e quindi e consigliabile distribuire lecorrezioni in modo da allontanare la linea dei contatti dal pignone.




Riduzione arco di accesso

I Una prima ragione e che cosı facendo si viene a ridurre il valore della velocitarelativa W con cui i denti iniziano il reciproco contatto, cioe della velocitarelativa all’inizio del tratto di accesso.

I Tale velocita relativa e data dal prodotto della velocita angolare relativaω1 − (−ω2) = ω1 + ω2 dei due ingranaggi per la distanza del punto di inizio deltratto di accesso dal centro P0 del moto relativo, cioe dal prodotto della velocitaangolare relativa per la lunghezza del tratto di accesso.

I Se la velocita relativa fosse diretta esattamente secondo la tangente ai profili deidenti e quindi, cosı come vuole la teoria degli inviluppi, fosse una velocita distrisciamento, una sua riduzione non sarebbe necessaria: in pratica inveceall’inizio del contatto si ha un urto fra i denti, in quanto essi non si trovanoesattamente nella posizione che dovrebbero avere in teoria perche la coppia didenti gia in presa, che determina tale posizione, si inflette per azione del carico datrasmettere, mettendo fuori asse i denti non ancora a contatto.




I Gli urti tra le dentature producono dei sovraccarichi dinamici che crescono alcrescere della velocita di rotazione, del carico trasmesso e delle imprecisionicostruttive delle dentature, e che si manifestano sotto forma di rumore durante ilfunzionamento.

I Di tali sovraccarichi dinamici si suole tener conto attraverso un “coefficiente di

velocita” KV > 1 posto a moltiplicare il carico trasmesso in assenza di urti.

I Ovviamente una riduzione della lunghezza del tratto di accesso fa diminuirel’intesita dei sovraccarichi dinamici di questo tipo, permettendo di ottenere perKV dei valori piu bassi di quelli che andrebbero adottati per ingranaggi noncorretti.

I In generale KV tiene conto dei carichi dinamici dovuti a vibrazioni e a errorigeometrici di ingranamento derivanti, come visto, da inflessioni del dente o datolleranze di lavorazione. Prescindendo dagli effetti imputabili alle vibrazioni, ilcoefficiente KV puo essere dedotto da tabelle in funzione della velocitatangenziale e della precisione di lavorazione espressa dal un parametro C (vedifigura 14). Questo parametro dipende del numero di denti, del modulo e dellaflessione del dente caricato.




1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

KV

Vt [m/s]

Figure: Coefficiente di velocita KV in funzione della velocita di strisciamento e della precisione dilavorazione

@@@@@@@@R

precisione




Ottimizzazione del rendimento

ω2

ω1

T1

T2

δ

QSϕ

P0P

F

Figure: Direzione della spinta S in presenza d’attrito per contatto nella zona di accesso

I Una chiara indicazione sulla convenienza di ridurre la lunghezza del tratto diaccesso rispetto a quello di recesso si ottiene calcolando il rendimento

“istantaneo” della trasmissione in funzione della posizione del punto di contattosulla linea di ingranamento.

I 1 ruota motrice, 2 ruota condotta.prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs



ω2

ω1

T1

T2

δ

QSϕ

P0P

F

I il rendimento istantaneo varia a seconda della posizione del punto di contatto P

sulla linea di ingranamento.

I A causa dell’attrito, la mutua spinta S fra i denti non e perpendicolare allesuperfici a contatto (e quindi non e diretta lungo la retta d’azione teorica T1T2)ma e inclinata dell’angolo d’attrito ϕ rispetto alla linea d’ingranamento

I non passa per P0 ma per un punto Q del telaio O1O2 spostato verso l’internodella ruota condotta di una quantita δ = P0Q variabile con la posizione di P.




ω2

ω1

T1

T2

δ

QSϕ

P0P

F

I Spostando la spinta S lungo la sua reale retta di azione, possiamo considerarlaapplicata in Q, e detta F la sua componente utile (cioe normale alla retta O1O2),risulta

M1 = F (rp1 + δ)

M2 = F (rp2 − δ)

I Il rendimento istantaneo vale quindi

η1 =M2ω2

M1ω1=

M2rp1

M1rp2=

rp1(rp2 − δ)

rp2(rp1 + δ)=

1− δ/rp21 + δ/rp1

< 1 (26)




ω2

ω1

T1

T2

δ

QSϕ

P0P

F

I Il rendimento istantaneo diminuisce od aumenta all’aumentare o al diminuire delladistanza δ = P0Q: nel caso (abbastanza inverosimile) di δ > rp2 risulterebbeη1 < 0 e si avrebbe l’impossibilita di trasmettere la potenza dalla ruota 1 alla 2.




ω2

ω1

T1

T2 Qϕ

P0

P

Q′

ϕ

P′

Figure: Direzione della spinta S in presenza d’attrito, punto P′ per contatto nella zona di recesso epunto P per contatto nella zona di accesso

I a pari angolo di attrito ϕ e a pari distanza da P0 sulla linea dei contatti si hannovalori diversi di δ a seconda che il punto di contatto si trovi nella fase di accesso(punto P) o di recesso (punto P′)

I il rendimento peggiore si ha nella fase di accesso (P0Q > P0Q′).

I In realta la differenza diventa piu vistosa se si tiene conto che il coefficiented’attrito nella zona di accesso e maggiore che nella zona di recesso, dato chenella prima la lubrificazione non e buona come nella seconda perche fra lesuperfici dei denti si forma un sufficiente velo di lubrificante soltanto dopo uncerto tempo dall’inizio dell’ingranamento.




ω2

ω1

T1

T2 Qϕ

P0P

Q′

ϕ

P′

I Il rendimento complessivo risulta la media di tutti i rendimenti istantanei: echiaro che per avere un rendimento complessivo buono bisognera che tutti i δsiano abbastanza piccoli, ed in particolare dovranno risultare piccoli i δcorrispondenti ai punti M ed P di inizio e fine della linea dei contatti

I Se possibile, per aumentare il rendimento conviene aumentare i numeri di dentiriducendo cosı i rapporti m/rp ' 2/z e quindi i rapporti δ/rp . Fissati i numeri didenti, per migliorare il rendimento si puo ricorrere ad una correzione V conaumento dell’interasse (x1 + x2 > 0) perche cosı si riduce la lunghezza NM dellalinea di ingranamento, M ed N si avvicinano a P0 ed i δ diminuiscono: bisognapero fare attenzione che il fattore di ricoprimento non divenga troppo piccolo.

I Fissato quindi il valore di x1 + x2 (e quindi il valore dell’interasse), convienedistribuire tale somma in modo da spostare in recesso la zona dei contatti di

quel tanto che serve per rendere uguali i valori di δ in M ed in N.prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs



ω2

ω1

T1

T2 Qϕ

P0P

Q′

ϕ

P′

I Dall’ampiezza dello spostamento della linea di ingranamento rispetto agliingranaggi non corretti si puo dedurre l’entita del miglioramento di rendimentoottenibile.

I Ovviamente per eseguire la correzione con questi criteri occorre che il verso delflusso di energia nella trasmissione non si inverta mai, cioe che la ruota 1 siasempre motrice e la ruota 2 sempre condotta, altrimenti il rendimento cambia divalore, come pure cambiano di valore le correzioni x1 ed x2 che lo ottimizzano.




−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

distanza del punto di contatto dal cir (se<0 rec. se>0 acc.)

rend

imen

to is

tant

aneo

Figure: rendimenti istantanei in un ingranaggio caratterizzato da: z1 = 50 z2 = 70 ϑ0 = 20◦

x1 = 1.6 x2 = 2 m = 1

La linea tratteggiata rappresenta il rendimento retrogrado




3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70.74

0.76

0.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92


rend

imen

to is

tant

aneo


x1 = −1.9 x2 = 2 m = 1




−6.5 −6 −5.5 −5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.50.74

0.76

0.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94


rend

imen

to is

tant

aneo


x1 = 1.6 x2 = −2 m = 1




z x = 0 x = 0.5 x = 1 x = 1.5

36

18

9

La correzione influenza la sezione resistente del dente (a pari modulo e lunghezzaassiale). Questo effetto e tenuto in conto attraverso il coefficiente YF della normativaISO6336-3 e successiveprof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs



αk

hf

sf

30◦ 30◦

S

H H

K

Figure: Determinazione sezione d’incastro. Forza applicata al punto d’inizio contatto singolo

I seguendo il procedimento del Lewis il calcolo di resistenza del dente a fatica vieneeseguito schematizzando il dente con una trave a mensola, incastrata alla base.

I A causa della forma del dente e specialmente del raccordo alla base, si ha unacerta indeterminatezza nella scelta della sezione di incastro (H-H), cioe dellasezione in cui si raggiungono i valori massimi della sollecitazione (met. tangentiinclinate 30◦, oppure parabola, o analitici).




αk

hf

sf

30◦ 30◦

S

H H

K

I Detta hf la distanza del punto K dalla HH

I il momento flettente nella sezione d’incastro vale

Mf = S cosαkhf

I dove S e la spinta ed αk l’angolo che essa forma con la HH. La sollecitazione diflessione in H vale pertanto

σ = Mf /W =S cosαkhf

(1/6)bsf 2(27)




αk

hf

sf

30◦ 30◦

S

H H

K

I Di solito inoltre si preferisce riferire la S alla spinta utile “nominale” Ft , che siottiene dividendo il momento agente sull’ingranaggio per il raggio mz/2 della suaprimitiva di taglio: essendo S cos θ0 = Ft si ricava la formula

σ =Ft

bmYF (28)

in cui

YF =6(hf /m) cosαk

(sf /m)2 cos θ0(29)

e il fattore di forma . Non dipende dal modulo dell’ingranaggio, ma solo dallaforma del dente




αk

hf

sf

30◦ 30◦

S

H H

K

I Alla sollecitazione cosı calcolata andrebbe aggiunta quella di compressione dovutaalla spinta assiale S sinαk , molte volte trascurabile.

I La reale condizione di carico viene considerata dalla normativa per mezzo delcoefficiente YS > 1 che permette di calcolare la sollecitazione effettiva partendoda quella nominale calcolata con il metodo semplificato esposto. Questo fattoredi correzione tiene inoltre in considerazione l’effettiva sezione resistente alla basedel dente.




αk

hfa

sf

S

H H

K

I La forma del dente dipende dal numero di denti z , dalla correzione x e delladentiera utilizzata

I A pari forma del dente, il valore massimo di YF si ha quando e massimo il bracciohf , cioe quando il carico agisce sul punto piu esterno del dente

I in questa condizione di carico il valore di YF viene a dipendere solo da z ed x

(trascurando il ribassamento)I Questa situazione di carico viene rappresentata dal coefficiente di forma YFa e dal

coefficiente YSa, simile ad YS .




-1

-0.5

0

0.5

1

0 20 40 60 80 100

x

z

1.9 2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.72.82.933.13.23.33.43.5

f2(z)

f1(z)

Figure: Correzione adimensionale per coefficienti YFa costanti in funzione del numero di denti

Il coefficiente YFa dipende sia dal numero di denti che dalla correzione YFa = YFa(z , x)prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs



-1

-0.5

0

0.5

1

0 20 40 60 80 100

x

z

1.9 2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.72.82.933.13.23.33.43.5

f2(z)

f1(z)

I YFa (e quindi σ) diminuisce all’aumentare di x , cioe che le correzioni positiveaumentano la capacita di carico

I YFa peggiora avvicinandosi alla curva x = f2(z) che segna il pericolo di sottotaglio

I YFa si riduce notevolmente, diventando ottimo, man mano che ci si avvicina allacurva x = f1(x) che limita il campo di scelta per il pericolo dell’appuntimento.




I non e consigliabile avvicinarsi troppo a quest’ultima curva

I per un corretto calcolo della σ bisogna pero tenere anche presente la che la spintaS si ripartisce su due coppie di denti contemporaneamente in presa.

I Infatti il contatto nel punto estremo utilizzato corrisponde a contatti nei punti Mod N della linea delle pressioni cioe ai punti di inizio o fine dell’ingranamento,dove certamente, se f > 1, la spinta S si ripartisce fra piu coppie di denti.

I La spinta S grava certamente tutta sulla singola coppia solo nell’intervallo M1N1,intervallo nel quale pero il braccio hf e quindi il fattore YF risultano minori.

I Per tenere conto di questa situazione la normativa introduce un ulteriorecoefficiente Yε < 1 funzione del fattore di ricoprimento

Yε = 0.25 + 0.75/f . (30)

I La sollecitazione viene quindi infine calcolata come

σ =Ft

bmYFaYSaYε (31)




I E bene pero osservare che in presenza di sensibili errori sul passo della dentaturail benefico effetto di ripartizione della spinta fra piu coppie di denti svanisce,perche in tal caso l’errore sul passo fa si che se una delle due coppie e in presal’altra non lo e, non essendo giuste le posizioni relative dei denti: in questo caso ilpunto piu pericoloso e M dove il valore di σ non risulta dimezzato

I Per cercare di migliorare le condizioni di funzionamento di una coppia diingranaggi in presa dal punto di vista della resistenza a fatica, prefissatol’interasse di funzionamento I , e quindi la somma x1 + x2, conviene ripartire lecorrezioni x1 ed x2 in modo che i fattori di forma calcolati in M1 ed N1 risultinouguali fra loro, e pertanto minimi; prescindendo dal fattore di ricoprimento f che,a pari x1 + x2, varia poco, cio significa anche uguagliare fra loro i fattori di formacalcolati in M ed N, i cui valori sono ricavabili dal diagramma di figura 21

I Tenendo conto del sovraccarico dinamico attraverso il coefficiente di velocita KV

la formula di verifica degli ingranaggi “a forza” e

σ =Ft

bmKVYFaYSaYε < σam . (32)




I Fissata la somma x1 + x2, resta da suddividerla fra i due ingranaggi: si hanno duecasi, quello dei riduttori e quello dei surmoltiplicatori di velocita

I I vari costruttori di ingranaggi e le raccomandazioni fornite dalla normativa ISOper mezzo del Technical Report ISO TR 4467, danno indicazioni su come ripartirela somma delle correzioni in funzione dei numeri di denti delle ruote dentate.

I In ISO TR 4467 , in modo analogo a quanto proposto dall’Henriot [?],l’allocazione della somma delle correzioni sulle ruote dentate di un ingranaggioviene ottenuta con le relazioni

x1 = (x1 + x2)z1

z1 + z2+ λ

z2 − z1

z1 + z2

x2 = (x1 + x2)z2

z1 + z2+ λ

z1 − z2

z1 + z2

(33)

dove il pedice 1 indica una caratteristica del pignone




-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

x

z

Figure: Diagramma per l’allocazione delle correzioni per riduttori di velocita




-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

x

z

Figure: Diagramma per l’allocazione delle correzioni per moltiplicatori di velocita



Ruote Dentate Corrette

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