Runge-Kutta - ukm.my Kutta.pdf · PDF fileTahu bentuk umum kaedah Runge_Kutta; ......

Click here to load reader

  • date post

    01-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    216
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Runge-Kutta - ukm.my Kutta.pdf · PDF fileTahu bentuk umum kaedah Runge_Kutta; ......

  • Kaedah Runge-Kutta

    Bab 25

  • Di akhir bab ini, anda sepatutnya:Boleh menjelaskan gambaran visual kaedahEuler, Heun dan titik tengahFaham hubungan antara kaedah Euler dan siri Taylor dan ralat yang berkaitanDapat membezakan ralat (local & global truncation errors)Tahu bentuk umum kaedah Runge_Kutta; faham terbitan peringkat kedua kaedah RK dan bagaimana ia dikaitkan dengan siri Taylor dan faham terdapat pelbagai versi kaedah RK peringkat kedua dan lebih tinggi

  • Di akhir bab ini, kamu sepatutnya:Tahu bagaimana untuk menggunakan mana-mana kaedah RK ke dalam persamaan sistem; boleh mengurangkan peringkat ke-n ODE ke dalam n sistem ODE peringkat pertama.

  • Kaedah Runge-Kutta

    anggarancerun

    Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa (ODE) dalam bentuk:

    Untuk mendapatkan nilai y yang baru :

    ),( yxfdxdy

    ),( yxfdxdy

    hyy ii 1 (25.1)

  • Rajah 25.1

  • Kaedah Euler

  • Daripada rajah, nilai cerun, pada xi

    di mana merupakan persamaan pembezaan pada xi dan yi.Masukkan ke dalam persamaan (25.1):

    ),( ii yxf),( ii yxf

    hyxfyy iiii ),(1 (25.2)

    dikenali sebagi kaedah Euler atau

    Euler-Cauchy

  • Dengan ralat

    )(

    atau!2

    ),('kecil,cukuphJika

    )(...!2

    ),('

    2

    2

    12

    hOE

    hyxfE

    hOhyxfE

    a

    iia

    niit (25.7)

    (25.8)

    (25.9)

  • ingat!penyelesaian sebenar:y=-0.5x4+4x3-10x2+8.5x+1Contoh

    Gunakan kaedah Euler untuk mengamirkan secara berangka fungsi berikut dari x =0 hingga x = 4 dengan saiz langkah 0.5.

    Keadaan awal pada x = 0 adalah y = 1.

    5.820122 23 xxxdxdy

  • Penyelesaian

    Untuk langkah kedua:

    25.5)5.0(5.81)5.0(5.85.8)0(20)0(12)0(2)1,0(

    :0 x padacerunanggarandan1y(0)manadi5.0)1,0()0()5.0(

    23

    yf

    fyy

    875.55.05.8)5.0(20)5.0(12)5.0(225.5

    5.0)25.5,5.0()5.0()1(23

    fyy

    *nilai sebenary(0.5)=3.21875

    dengan ralat-2.03125(-63.1%)

  • Rajah 25.3

  • Mengganggar ralat Kaedah Eulermenggunakan siri Taylor

  • ContohGunakan persamaan (25.7) untuk menganggar ralat pada persamaan di dalam contoh sebelum ini, seterusnya tentukan ralat yang disebabkan oleh siri taylor peringkat tinggi

  • Penyelesaian(1)

    Oleh kerana fungsi adalah dalam bentuk polinomial, siri Taylor boleh digunakan untuk menentukan ralat menggunakan kaedah Euler.Menggunakan persamaan (25.7),

    432

    !4),('

    !3),('

    !2),(' hyxfhyxfhyxfE iiiiiit

  • Penyelesaian(2)

    03125.203125.05.05.2

    03125.0)5.0(2412

    5.0)5.0(6

    24)0(12

    5.2)5.0(2

    20)0(24)0(6:peringkatpadaralatMaka

    12),(

    2412),(''20246),('

    4,3,2,

    44,

    33,

    22

    2,

    )3(

    2

    tttt

    t

    t

    t

    ii

    ii

    ii

    EEEE

    E

    E

    E

    yxf

    xyxfxxyxf

    perhatikan nilai ralat yang didapati adalah tepat untuk langkah pertama

    *perhatikan bagaimana siri Taylor dapat

    menganggarkan ralat bagi kaedah Euler

  • Kesan pada pengurangan saiz langkah pada kaedah Euler

    Gunakan kaedah Euler untuk mengamirkan secara berangka fungsi berikut dari x =0 hingga x = 4 dengan saiz langkah 0.25.

    Keadaan awal pada x = 0 adalah y = 1.

    5.820122 23 xxxdxdy

  • Rajah 25.4

  • Rajah 25.5

  • Pembaikan kepada Kaedah Euler

  • Kaedah Heun

  • Rajah 25.9

  • Menggunakan dua persamaan penganggardan pembetul:

    hyxfyxfyy

    yxfyxfyy

    yxfy

    hyxfyy

    yxfy

    iiiiii

    iiiiii

    iii

    iiii

    iii

    2),(),(

    2),(),(

    2''y'

    :adalahcerunPurata),('

    ),(

    seterusnyanilaimanadi),('

    01

    1

    011

    011

    01

    (25.12)

    (25.13)

    (25.14)persamaanpenganggar

    persamaanpembetul

  • Dengan ralat,

    %1001

    111

    ji

    ji

    ji

    a yyy

  • Contoh

    Gunakan kaedah Heun dengan saiz langkah, h = 1, untuk mengamirkan persamaan

    dari x = 0 hingga x = 4 dengan keadaan awal x = 0 dan y = 2.

    yey x 5.04' 8.0

  • hyxfyy iiii ),(:penganggarPersamaan*

    01Penyelesaian(1)

    1. cerun pada (x0, y0) adalah2. Gunakan psn penganggar mencari y pada x = 1.0

    3. Cari nilai y1

    4. Cari nilai purata y

    3)2(5.04' 00 ey

    5)1(3201y

    402164.6)5(5.04' )1(8.01 ey

    701082.42402164.63'y

  • Penyelesaian(2)

    5. Masukkan ke dalam persamaan pembetul:701082.6)1(701082.421y

  • Kaedah Titik Tengah

    Kaedah ini menggunakan kaedah Euler bagimencari titik tangah nilai y:

    Bagi cerun pada titik tengah,

    2),(2/1hyxfyy iiii (25.25)

    ),(' 2/12/12/1 iii yxfy (25.26)

  • Kaedah Titik Tengah

    Cerun ini kemuadian digunakan untuk mencari nilai yi+1

    hyxfyy iiii ),( 2/12/11(25.27)

  • Rajah 25.12

  • Kaedah Runge-Kutta

  • Kaedah Heun dengan pembetul tunggal

    Dengan andaian a2 = , maka a1 = danp1=q11=1.

    di mana k1 = f(xi,yi) dan k2 = f(xi +0.5h, yi + 0.5k1h)

    hkkyy ii 211 21

    21

    (25.36)

    (25.36b)(25.36a)

  • Kaedah Titik Tengah (a2 = 1)

    Dengan andaian a2 = 1, maka a1 = 0 danp1=q11=1/2.

    di mana k1 = f(xi,yi) dan k2 = f(xi +h, yi + k1h)

    hkyy ii 21 (25.37)

    (25.37a)

    (25.37b)

  • Kaedah Ralston ( a2 = 2/3 )Dengan andaian a2 = 2/3, maka a1 = 1/3 danp1=q11=3/4.

    di mana k1 = f(xi,yi) dan k2 = f(xi +0.75h, yi + 0.75k1h)

    (25.38)

    (25.38a)

    (25.38b)

    hkkyy ii )32

    31( 211

  • Contoh

    Menggunakan kaedah titik tengah dan kaedah Ralston, kamirkan secara berangka:

    dari x = 0 hingga x = 4 dengan saiz langkah 0.5. Keadaan awal adalah x = 0 dan y =1.

    5.820122),( 23 xxxyxf

  • Penyelesaian(1)

    Menggunakan kaedah titik tengah,

    109375.3)5.0(21875.41)5.0(menganggaruntukdigunakanbolehgah titik tendicerun

    21875.45.8)25.0(20)25.0(12)25.0(2

    5.85.8)0(20)0(12)0(223

    2

    231

    y

    k

    k

  • Penyelesaian(2)Menggunakan kaedah Ralston,

    27734375.3)5.0(5546875.41)5.0(menganggaruntukdigunakanbolehmanayang

    5546875.4)58203125.2(32)5.8(

    31

    puratacerundengan58203125.2

    5.8)375.0(20)375.0(12)375.0(2 232

    y

    k

  • Rajah 25.14

  • Kaedah Runge-Kutta peringkat ke-3

    )2,(

    )21,

    21(

    ),(manadi

    )4(61

    213

    12

    1

    3211

    hkhkyhxfk

    hkyhxfk

    yxfk

    hkkkyy

    ii

    ii

    ii

    ii (25.39)

    (25.39a)

    (25.39b)

    (25.39c)

  • Kaedah Runge-Kutta peringkat ke-4

    ),(

    )21,

    21(

    )21,

    21(

    ),(manadi

    )22(61

    34

    23

    12

    1

    43211

    hkyhxfk

    hkyhxfk

    hkyhxfk

    yxfk

    hkkkkyy

    ii

    ii

    ii

    ii

    ii (25.40)

    (25.40a)

    (25.40b)

    (25.40c)

    (25.40d)