Rund um den Kreis -...
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Grundbegriffe Geraden – Kreis Winkel – Kreis
Rund um den Kreis
Dr. Elke Warmuth
Sommersemester 2018
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Grundbegriffe Geraden – Kreis Winkel – Kreis
Kreis – Kreisflache oder Kreislinie
Definition
I Die Kreislinie um M mit dem Radius r ist die Menge allerPunkte der Ebene, die von M den Abstand r haben.
I Die Kreisflache um M mit dem Radius r ist die Menge allerPunkte der Ebene, die von M hochstens den Abstand r haben.
BemerkungenI In der Schule ist mit Kreis in der Regel die Kreislinie gemeint. Aber:
Flacheninhalt eines Kreises! Wir verwenden im Folgenden in derRegel den Begriff Kreis im Sinne von Kreislinie.
I Der doppelte Radius heißt Durchmesser d .
I Jede Strecke, die M mit einem beliebigen Punkt P der Kreislinieverbindet, wird ebenfalls als Radius bezeichnet; ebenso jedeVerbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie, die durch M geht,als Durchmesser.
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Grundbegriffe Geraden – Kreis Winkel – Kreis
Geraden und Kreis
I p – Passante
I s – Sekante
I AB – Sehne
I PQ – Durchmesser,|PQ| = d
I MC – Radius, |MC | = r
I t – Tangente,MC – Beruhrradius derTangente t
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SatzWenn eine Durchmesser eines Kreises senkrecht auf einer Sehnedieses Kreises steht, dann halbiert der Durchmesser die Sehne.
Beweis.
I 1. Fall: AB ist kein Durchmesser:
1. Geg.: CD ⊥ AB. Z.z. |AE | = |BE |2. Hilfslinien?4MEA ∼= 4MEB
I 2. Fall: AB ist Durchmesser:Jeder Durchmesser halbiert jedenanderen Durchmesser.
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Aufgaben
1. Begrunden Sie: Die Mittelsenkrechte einer Sehne eines Kreisesverlauft durch den Mittelpunkt M.
2. Gegeben sei ein Kreis. Geben Sie eine Konstruktion seinesMittelpunktes an.
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Definition
Eine Gerade t, die sich mit einem Kreis k ingenau einem Punkt P schneidet, heißt Tan-gente an den Kreis im Punkt P.
SatzEine Gerade t durch einen Punkt P des Kreises k ist genau dannTangente an k , wenn der Radius MP senkrecht auf t steht.
Beweis.1. t sei Tangente. Außer P liegen alle Punkte von t außerhalb des
Kreises. P hat den kurzesten Abstand zu M und ist somit Fußpunktdes Lotes von M auf t.
2. t stehe senkrecht auf MP. Angenommen Q ∈ k ∩ t. 4MPQ istgleichschenklig. Folglich |]MQP| = 90◦. Das ist ein Widerspruchzur Winkelsumme im Dreieck.
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Satz des Thales
SatzIm Kreis sind alle Winkel uber einem Durchmesser rechte Winkel.
Beweis.Ubungsaufgabe
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Umkehrung des Satzes des Thales
SatzEs sei AB ein Durchmesser eines Kreises k und P ein Punkt mit|]APB| = 90◦. Dann liegt P auf k.
Die Redeweise”Die Strecke AB erscheint vom Punkt P aus unter
einem Winkel α“ bedeutet: ]APB = α.
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Durch die Umkehrung des Thalessatzes ergibt sich:
Die Ortslinie aller Punkte, von denen aus eine Strecke AB untereinem Winkel von 90◦ erscheint, ist ein Kreis mit AB alsDurchmesser.
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Anwendung des Thalessatzes: Konstruktion der Tangenten aneinen Kreis von einem Punkt P außerhalb des Kreises aus.
Aufgabe
I Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung.
I Begrunden Sie, dass |PQ| = |PR| ist.
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Zwei Punkte A und B einesKreises zerlegen ihn in denKreisbogen AB und den Kreis-bogen BA. Der Umlaufsinn istentgegen dem Uhrzeigersinn.
DefinitionDie Winkel ]APB, deren Scheitel P auf dem Kreisbogen außerhalbdes Bogens AB liegen, heißen Peripheriewinkel (oder
Umfangswinkel) zum Bogen AB.
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Definition
Der Winkel ]AMB heißt Zen-triewinkel (oder Mittelpunkts-
winkel) uber dem Bogen AB.
Satz
I Alle Peripheriewinkel uber einem Kreisbogen AB sind gleichgroß.
I Der Zentriwinkel uber einem Kreisbogen AB ist doppelt sogroß wie jeder Peripheriewinkel uber diesem Bogen.
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Beweis.Wir betrachten nur den Fall, dass AB kleiner als ein Halbkreis ist.
I 2ε+ µ = 180◦.
I 2ε+ 2δ + 2η = 180◦.
I ⇒ 2(δ + η) = µ, also ist derZentriwinkel doppelt so groß wie derPeripheriewinkel γ = δ + η.
I Wegen µ = 180◦ − 2ε folgtγ = 90◦ − ε.
Fur eine andere Lage von C auf dem Bogen BA verlauft derBeweis analog.
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Aufgabe
Uberlegen Sie sich, dass der Satz des Thales ein Spezialfall desvorigen Satzes ist.
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DefinitionDie Tangente in A an einen Kreis bildet mit der Sehne AB zweiSehnentangentenwinkel in A. Der zum Bogen AB gehorendeSehnentangentenwinkel im Punkt A ist dann derjenige Winkel, derbezuglich gAB in derselben Halbebene wie AB liegt; seinNebenwinkel in der anderen Halbebene bezuglich gAB ist der zumBogen BA gehorende Sehnentangentenwinkel im Punkt A.
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SatzDer zum Kreisbogen AB gehorende Sehnentangentenwinkel istgenauso groß wie jeder Peripheriewinkel uber diesem Bogen.
Beweis.Ubungsaufgabe.
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Definition
Der Fasskreisbogen zur Strecke AB ist dergeometrische Ort aller Punkte in der Ebe-ne, von denen aus man diese Strecke unterdemselben Winkel sieht.
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Konstruktion eines Fasskreisbogens
I Geg.: Strecke AB und Winkelγ, ges.: Mittelpunkt desKreises, fur den diePeripheriewinkel uber derSehne AB die Große γhaben.
I Es gilt ε = 90◦ − γ.
I Trage 90◦ − γ in A und in B ab. Der Schnittpunkt derSchenkel ist M. Spiegelung von M an AB liefert denMittelpunkt des zweiten Kreises.
Aufgabe
Konstruieren Sie die Fasskreisbogen zur Strecke AB mit|AB| = 6cm und γ = 60◦.
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