RUCH DRGAJĄCY Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479...
-
Upload
phungnguyet -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
Transcript of RUCH DRGAJĄCY Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479...
1 FIZYKA - wykład 6-7
6.1. Drgania harmoniczne
6.2. Drgania tłumione
6.3. Drgania wymuszone
6.4. Drgania złożone
Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY
Wykład 6
RUCH DRGAJĄCY
„Opowiem ci o wiedzy. Uznać to, co znane, za znane, a to co
nieznane, za nieznane, to jest wiedza. ”
Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479 p.n.e.) Dialogi, II/17
2 FIZYKA - wykład 6-7
6.1. DRGANIA HARMONICZNE
Pojęcia ogólne
Ruchem drgającym (drganiem lub oscylacją) – ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Rozróżniamy ruchy drgające okresowe i nieokresowe.
Drganie okresowe (periodyczne) – powtarzanie zachodzi
zawsze po tym samym czasie , zwanym okresem. T
Oznaczmy położenie punktu materialnego na osi x w chwili t
przez x(t). Ruch jest okresowy, jeżeli:
dla dowolnego t: )( Ttxtx (6.1)
RUCH DRGAJĄCY
3 FIZYKA - wykład 6-7
- to częstość kołowa (pulsacja) (rad/s).
- to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach);
6.1. DRGANIA HARMONICZNE
Ruch drgający nazywamy ruchem harmonicznym (drgania harmoniczne) , gdy wychylenie ciała z
położenia równowagi opisane jest funkcją harmoniczną (sinus lub cosinus).
(6.2)
gdzie: - jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia równowagi); A
T
2
to faza początkowa;
0cos tAtx
0 0 t
x
RUCH DRGAJĄCY
4 FIZYKA - wykład 6-7
Drganie opisane równaniem (6.2) nazywamy drganiem harmonicznym.
W ruchu harmonicznym:
x
Prędkość: 0sin tAdt
dxtv
Przyspieszenie:
Wykres zależności x(t), v(t), a(t) dla prostego ruchu harmonicznego
)(cos 2
0
2 txtAdt
dvta
Położenie:
T
(6.3)
(6.4)
Tf
1
Wielkością charakteryzującą ruch
jest też częstotliwość drgań:
(6.5)
)1
1(s
Hz
0cos tAtx
RUCH DRGAJĄCY
fT
22
okres drgań częstość
kołowa
5 FIZYKA - wykład 6-7
02
2
xm
k
dt
xd
6.1.1. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE DRGAŃ HARMONICZNYCH
RUCH DRGAJĄCY
F
Rozważmy drgania prostego oscylatora harmonicznego ( masa m
przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości k ), pod działaniem siły
sprężystości .
Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona , zatem:
Ruch drgającej masy jest ruchem harmonicznym prostym.
Ruch harmoniczny to taki, dla którego siła jest proporcjonalna do
wychylenia i przeciwnie do niego skierowana.
kxFs
kxdt
xdm
2
2
maFs
Po przekształceniach:
otrzymujemy równanie różniczkowe drgań harmonicznych (swobodnych),
02
2
2
txdt
txdlub
gdzie:
Rozwiązaniem równania (6.8): 0sin tAtx
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9) (6.10)
m
k2
6 FIZYKA - wykład 6-7
RUCH DRGAJĄCY
k
mT 2
xkF
txm
k
dt
xd
2
2
Przykłady
•Drgania oscylatora harmonicznego.
2T (6.11)
Rys. źródło: http://www.if.pwr.edu.pl
7 FIZYKA - wykład 6-7
g
lT 2
Wyznaczenie okresu drgań wahadła matematycznego (punkt materialny, zawieszony na
nieważkiej i nierozciągliwej nici).
(6.12)
(wyprowadzenie zależności na tablicy!)
• Drgania wahadła matematycznego
RUCH DRGAJĄCY
Zał. Wahadło odchylone od pionu o kąt α ≤4.
1
2
N
P
składowa siły ciężkości Powodująca ruch wahadła
siła ciężkości
siła napięcia nici
8 FIZYKA - wykład 6-7
Wahadło fizyczne: bryła sztywna, która pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi
poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.
mgL
IT 2(6.13)
(wyprowadzenie zależności na tablicy!)
RUCH DRGAJĄCY
• Drgania wahadła fizycznego
O
L
C 1
2
N
N
Wyznaczenie okresu drgań dla wahadła fizycznego.
Zał. Wahadło odchylone od pionu o kąt α ≤4.
Kąt wychylenia z położenia równowagi
9 FIZYKA - wykład 6-7
Obwód LC
0 LC UU
0dt
dIL
C
q
dt
dqI
01
2
2
qLCdt
qd
LCT 2 (6.14)
RUCH DRGAJĄCY
10 FIZYKA - wykład 6-7
6.1.2. Energia ruchu harmonicznego prostego
W przypadku jednowymiarowym przemieszczenie:
Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni. źródło: -Halliday,Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”
=A
0cos tAtx
Energia oscylatora zmienia się z energii potencjalnej w kinetyczną i z powrotem, jednak ich suma, energia mechaniczna E =const.
Energią potencjalną sprężyny obliczymy korzystając z zależności (6.6) oraz z ogólnego wzoru na pracę wykonywaną przez siłę zmienną (siłę sprężystości). Mamy:
x
x
kxxdxkdxkxFdxW0
2
0
2
1)(
(6.15)
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM
11 FIZYKA - wykład 6-7
ENERGIĘ POTENCJALNĄ DRGAŃ HARMONICZNYCH można wyrazić w postaci:
)(cos222
22222
tkAxmkx
Ep(6.16)
energia potencjalna drgań dla siły F =-kx
współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem
wychylenie z położenia równowagi
masa drgającego ciała
częstość (kołowa) drgań amplituda drgań
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM
12 FIZYKA - wykład 6-7
E- energia całkowita
2
2
1mvEk
2
2kxEp
Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetyczną masy m :
2
2
1mvEk
(6.17)
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM
Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”.
Ponieważ siła harmoniczna jest siłą potencjalną, dlatego też spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej dla ciała wykonującego drgania harmoniczne.
Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni.
=A
13 FIZYKA - wykład 6-7
Korzystając z wyrażeń na x(t) i v(t) uwzględniając, i zakładając, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, energia całkowita E jest sumą energii kinetycznej oraz energii potencjalnej i ma wartość stałą. (6.17)
(6.18)
2mk
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM
2
2
1kAE
Wnioski: •Całkowita energia mechaniczna oscylatora jest stała . •Ze sprężystością związana jest energia potencjalna układu, a z bezwładnością –jego energia kinetyczna.
Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”.
Zatem energia całkowita drgającego ciała:
2
)(cos)(sin222
22
02
02
22222 Amtt
AmxmmvEEE pK
14 FIZYKA - wykład 6-7
współczynnik oporu b
OCYLATOR TŁUMIONY
6.2. DRGANIA TŁUMIONE
dt
dxbFt
gdzie: b- współczynnik oporu ośrodka .
(6.19) Rys. Prosty oscylator tłumiony. źródło: -Halliday,Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”.
Jeżeli ruch oscylatora (rys.) słabnie na skutek działania sił zewnętrznych, to taki oscylator nazywamy oscylatorem tłumionym, a jego drgania tłumionymi. Do klocka przyczepiony jest pręt zakończony łopatką zanurzoną w cieczy. W przypadku drgań łopatki, ciecz oddziałuje na nią (a w konsekwencji na cały układ drgający) siłą hamującą (oporu). Z upływem czasu energia mechaniczna układu klocek-sprężyna maleje- przekształca się w energię termiczną cieczy i łopatki. Siła tłumiąca (oporu) ma zwrot przeciwny do prędkości i jest do niej wprost proporcjonalna : Fop ~ v.
15 FIZYKA - wykład 6-7
DRGANIA TŁUMIONE
.
lub 02 2
2
2
xdt
dx
dt
xdo
)cos( 10 teAx t
(6.20)
(6.21)
(6.22)
Równanie różniczkowe drgań tłumionych
Rozwiązaniem równania jest funkcja:
dt
dxbkxma
Po przekształceniach: 0
2
2
2
2
xm
k
dt
dx
m
b
dt
xd
β 2o
współczynnik oporu b
Uwzględniając siłę tłumiącą ośrodka i działającą na
klocek siłę sprężystości sprężyny.
Zakładając, że siła ciężkości klocka jest znikomo mała w
porównaniu z siłami Fs i Fo .
Wówczas II zasadę dynamiki Newtona dla składowej wzdłuż osi x (Fx=max ), zapisujemy:
16 FIZYKA - wykład 6-7
Wnioski:
1) opór zmniejsza zarówno amplitudę z
upływem czasu:
2) oraz częstość drgań,
3) zwiększa okres
gdzie: - wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia β =b/2m,
- częstość (lub pulsacja) drgań tłumionych 1
- częstość drgań nietłumionych czyli częstość własna
(6.23)
(6.24)
(6.25)
0
0
0
1 teAtA 0)(
0
22
01
Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym tłumionym.
Linie przerywane ilustrują wykładnicze tłumienie amplitudy tego ruchu.
Logarytmiczny dekrement tłumienia:
TA
A
Tt
t
)(
)(ln
(6.28)
(6.27)
DRGANIA TŁUMIONE
17 FIZYKA - wykład 6-7
Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e
Wtedy:
- krotnie.
1 lub 1
czyli: współczynnik tłumienia
w ciągu którego amplituda zmniejsza się -razy. Czas
jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu
e nazywamy czasem relaksacji.
Energia oscylatora tłumionego nie jest stała i maleje z czasem:
(6.29)
(6.30)
Energia-podobnie jak amplituda- maleje wykładniczo z czasem.
DRGANIA TŁUMIONE
18 FIZYKA - wykład 6-7
6.3. DRGANIA WYMUSZONE (oscylatora harmonicznego) W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem
do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną F(t)
przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą.
W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną
postaci:
Równanie ruchu uwzględniające zarówno siłę wymuszającą,
jak i tłumiącą drgania zapisujemy w postaci:
(6.31)
(6.32)
Fot. J. H. Fragonard: "Huśtawka"
(” Les hasards heureux de l’escarpolette ” , 1767)
(6.31)
DRGANIA WYMUSZONE
19 FIZYKA - wykład 6-7
Rozwiązanie równania dla drgań wymuszonych:
WNIOSKI:
Układ drga z częstością siły wymuszającej, a nie z częstością własną i jest ruchem nietłumionym
(amplituda nie maleje z upływem czasu).
Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością
drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej .
(6.33)
DRGANIA WYMUSZONE
20 FIZYKA - wykład 6-7
KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH
(6.34)
REZONANS
Można dobrać taką częstość siły wymuszającej, aby amplituda drgań tego ciała była maksymalna., zjawisko to nazywamy rezonansem.
WARUNEK REZONANSU:
w 0
Aby amplituda drgań ciała była maksymalna.
Krzywe zależności amplitudy drgań od częstości siły wymuszającej dla kilku wartości
współczynników tłumienia β (β0<β1<β2<β3<β4) .
Kiedy brak jest tłumienia , a częstość
rezonansowa równa jest częstości drgań własnych
Układu , amplituda dąży do
nieskończoności!
(6.35)
(6.36)
21 FIZYKA - wykład 6-7
Most Tacoma Narrows- 7 listopada 1940 r. , wiatr wiejący z prędkością dochodzącą do 67 km/h wprawił konstrukcję w jej ostatni taniec. Konstrukcja pomostu wpadła w ruch skręcający z wychyleniem 8.5 m, przy skręcaniu dochodzącym do 45 stopni! Pół godziny później zaczęły się odrywać pierwsze elementy pomostu, a po godzinie zawalił się cały pokład. Ta katastrofa dała wiele do myślenia architektom. Od tamtej pory pomosty usztywnia się kratownicami i nie projektuje się tak wąskich konstrukcji.
Fot. Most Tacoma Narrows USA http://www.atlasobscura.com/places
KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH
22 FIZYKA - wykład 6-7
RUCH FALOWY
7. Ruch falowy
7.1. Cząstka i fala
7.2. Rodzaje fal
7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni
7.4. Prędkość rozchodzenia się fal. Równanie falowe
7.5. Przenoszenie energii przez fale
7.6. Interferencja fal, fale stojące
23 FIZYKA - wykład 6-7
7.1. Cząstka i fala
Mamy dwa sposoby kontaktowania się z przyjacielem w innym mieście:
możemy napisać list (sposób polega na wykorzystaniu jakichś cząstek- obiektów materialnych);
skorzystać z telefonu (drugi sposób polega na wykorzystaniu fal).
”Często zdarza się, że fala ucieka z miejsca powstania, podczas gdy woda pozostaje, podobnie jest z falami, jakie wiatr wywołuje na polu zboża-widzimy fale biegnące przez pole, podczas gdy zboże pozostaje w miejscu. ”
Leonardo da Vinci
Cząstka oznacza malutkie skupienie materii zdolne do przenoszenia energii.
Fala oznacza coś wręcz przeciwnego, tj. rozchodzące się w ośrodku zaburzenie.
RUCH FALOWY
24 FIZYKA - wykład 6-7
7.2. Rodzaje fal ( trzy główne rodzaje)
RUCH FALOWY
1. Fale mechaniczne, typowe przykłady to fale na wodzie , fale dźwiękowe lub sejsmiczne). Wszystkie te fale podlegają zasadom Newtona i mogą istnieć wyłącznie w ośrodku materialnym –sprężystym ( gazy , ciała stałe, ciecze) .
2. Fale elektromagnetyczne. Zaliczamy do nich światło widzialne i nadfioletowe, fale radiowe i telewizyjne, mikrofale, promieniowanie X.
Fale te nie potrzebują żadnego ośrodka materialnego.
Np. fale świetlne emitowane przez gwiazdy docierają do nas przez próżnię kosmiczną. Wszystkie fale poruszają
się w próżni z tą sama prędkością światła c równą
c = 299 792 458 m/s.
3. Fale materii. Są wykorzystywane we współczesnej technice, są to fale związane z elektronami, protonami i innymi cząstkami elementarnymi, a nawet z atomami i cząstkami. Ponieważ te obiekty uważamy za składniki materii, nazywamy je falami materii.
25 FIZYKA - wykład 6-7
7. 2.1. Ruch falowy
Do rozchodzenia się fal mechanicznych (np. dźwiękowych czy na wodzie)
niezbędny jest ośrodek materialny (sprężysty) .
Ruch falowy polega na przenoszeniu zaburzeń w ośrodku sprężystym, w czasie i
przestrzeni, np. w postaci drgań. W przypadku fal mechanicznych drgają cząsteczki
ośrodka, natomiast w przypadku fal elektromagnetycznych, w danym punkcie drgają
wektory natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej.
Foto. Źródło: https://www.slideshare.net
RUCH FALOWY
26 FIZYKA - wykład 6-7
Ruch falowy jest związany z transportem energii przez ośrodek
Podczas rozchodzenia się fali, cząsteczki ośrodka nie przesuwają się wraz z falą, a jedynie drgają wokół swoich położeń równowagi. Energia fal, to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Podstawową własnością wszystkich fal, niezależnie od ich natury, jest transport energii bez przenoszenia materii.
Rys. Falowanie pojedynczych cząstek wody w głębokim zbiorniku.
Falowanie- oscylacyjny ruch cząsteczek wody w pionie po orbitach kołowych lub eliptycznych.
źródło: http://geographicforall.pl/ & https://pl.wikipedia.org
27 FIZYKA - wykład 6-7
B. Fala poprzeczna
Kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przykład. Drgania naprężonego sznura, którego końcem poruszamy cyklicznie w górę i w dół.
7.2 .2. Rodzaje fal mechanicznych
Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek
ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia
się fali i zarazem kierunku transportu energii .
Przykładem są tu fale dźwiękowe w powietrzu czy też
drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej
sprężyny.
A. Fala podłużna
Falą mechaniczną nazywamy zaburzenie w postaci ruchu drgającego
cząsteczek ośrodka rozchodzące się ze skończoną prędkością v.
kierunek fali
kierunek drgań
kierunek fali
kierunek drgań
Podział fal ze względu na kierunek drgań
28 FIZYKA - wykład 6-7
Podział fal ze względu na rodzaj zaburzenia:
Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: np. gdy wrzucimy kamień do wody lub gdy jednorazowo odchylimy koniec napiętej liny (rys.1).
Fala harmoniczna powstaje gdy źródło wykonuje drgania harmoniczne: np. cyklicznie wychylamy koniec napiętej liny (rys. 2)
Rys.1. Impuls falowy
Rys.2. Fala harmoniczna Czoło fali
Promień fali Zasada Huygensa:
Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, Staje się środkiem wtórnej fali kulistej. Obwiednia tych fal określa położenie frontu fali W chwili następnej.
RUCH FALOWY
29 FIZYKA - wykład 6-7
Podział ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić fale płaskie i fale kuliste
Rys.1. Powierzchnie falowe (płaszczyzny) i promienie fali płaskiej
Rys.2. Fala kulista rozchodząca się ze źródła Z; wycinki powłok sferycznych przedstawiają powierzchnie falowe
RUCH FALOWY
30 FIZYKA - wykład 6-7
FALE W OŚRODKACH SPRĘŻYSTYCH
•W ośrodkach, które mają sprężystość postaci (np. stal), mogą rozchodzić się fale poprzeczne i fale podłużne.
• W ośrodkach, które mają tylko sprężystość objętości (np. gaz), mogą rozchodzić się tylko fale podłużne.
Zdjęcie, źródło: :http://www.wrtos.org/whatis22
• Powierzchnia cieczy (np. wody) zachowuje sprężystość postaci i fale powierzchniowe są falami poprzecznymi. •W głębi cieczy występuje tylko sprężystość objętości i tam mogą rozchodzić się wyłącznie fale podłużne.
31 FIZYKA - wykład 6-7
λ -długość fali, to najmniejsza odległość między dwoma punktami drgającymi (w tej samej chwili) z fazami różniącymi się o 2:
7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni.
Równanie poprzecznej fali harmonicznej (funkcją czasu oraz położenia) :
(7.1)
(7.2)
Funkcję nazywa się (jednowymiarową ) funkcją falową. )(, vtxytxy
][m
amplituda fali
wychylenie z położenia równowagi drgającego punktu ośrodka
kxtAtxy cos,
częstość kołowa drgań
źródła
liczba falowa
faza początkowa drgań źródła
faza
Wielkości opisujące falę:
FALE
y
32 FIZYKA - wykład 6-7
FALE
kf
Tv
2
v- prędkość rozchodzenia się fal
prędkość fazowa fali
okres drgań punktów ośrodka
częstotliwość drgań punktów ośrodka
częstość kołowa
T
2
liczba falowa
2k
Prędkość v nazywa się prędkością fazową, gdyż jest to prędkość z jaką porusza
się stała faza fali.
(7.3)
33 FIZYKA - wykład 6-7
Prędkość rozchodzenia się fal. W zależności od rodzaju ośrodka i jego własności rozchodzenia się fal są bardzo różne. W ciele stałym mogą się rozchodzić fale podłużne i poprzeczne. Prędkość fal podłużnych w ciele stałym wynosi:
gdzie E- moduł Younga materiału , w którym porusza się fala, a jego gęstość.
Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym wynosi:
G- moduł sztywności (moduł sprężystości poprzecznej). Ponieważ E > G, to fale podłużne rozchodzą się w ciele stałym szybciej niż poprzeczne. W głębi cieczy są możliwe tylko fale podłużne, których prędkość rozchodzenia się wynosi: Prędkość fali mechanicznej w gazie wyrażą się zależnością: gdzie μ –jest masą molową gazu, χ=cp/cv -wykładnik adiabaty, cp- ciepło właściwego w przemianie izobarycznej , cv-ciepło właściwe w p. izochorycznej, R- stałą gazową, a T- temperaturą.
FALE
34 FIZYKA - wykład 6-7
Czas, w którym fala przebiega odległość równą λ nazywamy okresem T:
Równanie fali harmonicznej (7.2) wyraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową k (radian/m) i częstość kołową ω :
(7.4)
(7.5)
(7.6) lub vf
fk
2
Rys. Dwa ujęcia fali w t=0 s. i t=Δt. Fala porusza się z prędkością v . Punkt odpowiadający maksimum „podróżuje” razem z falą ale element liny porusza się tylko w górę i w dół.
fala w t=0 s fala w t=Δt
RUCH FALOWY
35 FIZYKA - wykład 6-7
Gdy faza początkowa drgań źródła =0, równanie fali harmonicznej płaskiej (7.1) :
kxtAtxy cos,
Równanie fali harmonicznej płaskiej (7.7), poruszającej się w ujemnym kierunku osi x, otrzymamy zmieniając znak przy wielkości x. Mamy wówczas:
)cos(, tkxAtxy
(7.7)
(7.8)
Łatwo zauważyć, fala jest okresowa w przestrzeni i czasie:
- w danej chwili t taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, itd., - w danym miejscu x faza powtarza się w chwilach t, t + T, t + 2T, itd.
RUCH FALOWY
36 FIZYKA - wykład 6-7
Jeśli zamiast liczby falowej k wprowadzimy wektor falowy k, to możemy uogólnić wzór (7.7) na przypadek fali poruszającej się w przestrzeni w dowolnym kierunku:
trkAtr
cos),(
gdzie: r jest wektorem wodzącym punktu w przestrzeni.
(7.9)
7.3. PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FAL. ( wyprowadzenie)
Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v , to śledzimy z jaką prędkością przemieszcza się w czasie wybrana część fali, tj. argument harmonicznej funkcji falowej, czyli faza fali.
Dla wybranej fazy fali:
vtxAtxy
2cos,
faza
tkxvtx
(
2(7.10)
(7.11) Pochodna fazy względem czasu daje częstość kołową fali:
dt
d
a względem położenia- liczbę falową:
2 k
dx
d(7.12)
RUCH FALOWY
37 FIZYKA - wykład 6-7
Ich iloraz:
czyli
prędkość
fazowa fali
(7.14)
(7.13)
(7.13) vTTkdt
dx
dx
ddt
d
2
2
kv
kv ff
lub
Prędkość fali, którą wprowadziliśmy na samym początku, była prędkością z jaką przemieszczała się określona faza fali (w układzie poruszającym się z prędkością v faza w danym punkcie jest stała).
RUCH FALOWY
38 FIZYKA - wykład 6-7
Zasada superpozycji fal Ustalono doświadczalnie, że ten sam obszar przestrzeni mogą przebiegać dwie (lub
więcej) fal. Oznacza to, że przemieszczenie dowolnej cząstki w ustalonej chwili
czasu jest sumą przemieszczeń, które wywołałyby poszczególne fale.
RUCH FALOWY
M1
M2 w punkcie P mamy nakładanie się fal ze źródeł M1 i M2 Odległych o r1 i r2.
39 FIZYKA - wykład 6-7
PRĘDKOŚĆ PACZKI FAL – PRĘDKOŚĆ GRUPOWA
W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal o różnych częstotliwościach to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową .
Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych
częstotliwościach : i 1 2 xktAxktAtxy 2211 coscos,
]cos[cos 2211 xktxkt
40 FIZYKA - wykład 6-7
gdzie:
Superpozycja dwu fal harmonicznych rozchodzących się w przestrzeni o jednakowej
amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i oraz zbliżonych liczbach falowych , :
1 2 1k 2k
xktAxktAtxy 2211 coscos,
Fala wypadkowa :
221
221 kkk
Funkcja modulująca jest równa:
Z jaką prędkością porusza się grzbiet modulowanej fali?
, otrzymujemy: Różniczkując (7.20)
względem t i x: gvdk
dv
mod
wyrażenie na
prędkość grupową
(7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
(7.20) (7.21)
PRĘDKOŚĆ GRUPOWA
xktxktAtxy cos)cos(2, modmod
221mod
221mod kkk
)cos(2 modmod xktA
constxkt )( modmod
0)( modmod dxkdt
21
11
mod
modmod
kkkv
41 FIZYKA - wykład 6-7
7.4 Przenoszenie energii przez fale
Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się
zaburzenia w ośrodku. Na przykład wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne (rysunek)
źródło wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów
struny (ośrodka).
Siła F jaka działa na koniec struny porusza
struną w górę i w dół wprawiając jej koniec
w drgania w kierunku y.
Do wyznaczenia szybkości przenoszenia energii
przez falę posłużymy się wyrażeniem na moc:
Z rysunku prędkość poprzeczna jest równa:
a składowa siły F w kierunku y wynosi
Podstawiając otrzymujemy:
(7.31)
(7.32)
(7.33)
(7.34)
FALE
42 FIZYKA - wykład 6-7
Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ = −∂y / ∂x (znak minus wynika z ujemnego nachylenia
struny). Stąd:
tkxAtxy sin, Obliczamy teraz pochodne równania fali harmonicznej:
)cos( tkxAdt
dy )cos( tkxAk
dx
dyoraz
i podstawiamy do wyrażenia na moc:
Korzystając z zależności (2,48) oraz z zalezności na
wzdłuż naprężonego sznura (struny):
otrzymujemy ostatecznie:
prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się
Moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Ponadto, szybkość przepływu energii jest
proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla
wszystkich typów fal.
Podsumowanie:
; μ- masa przypadającej na jednostkę długości sznura.
(7.35)
(7.37)
(7.38)
(7.39)
(7.36)
FALE
43 FIZYKA - wykład 6-7
7.5. INTERFERENCJA FAL
INTERFERENCJĄ FAL nazywamy zjawisko fizyczne polegające na nakładaniu się dwóch lub więcej fal, prowadzące do zwiększenia lub zmniejszenia amplitudy fali wypadkowej.
Warunkiem interferencji fal jest ich spójność (koherencja), czyli korelacja faz, amplitudy i częstotliwości.
Rys. Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/
FALE
44 FIZYKA - wykład 6-7
Część II . RUCH DRGAJĄCY I FALOWY
7.5.1. Interferencja fal o jednakowej amplitudzie i długości
W wyniku nałożenia się fal (zasada superpozycji) powstaje fala wypadkowa:
(7.40)
(7.41)
(b)
(a)
Rozważmy w przestrzeni przemieszczające się dwie fale o równych częstotliwościach
i amplitudach, ale o fazach różniących się o φ. Jeżeli te fale rozchodzą się w kierunku x,
z jednakowymi prędkościami, to możemy je opisać równaniami:
21 yyy
w efekcie, po przekształceniach ….(tab.), otrzymujemy:
Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/
Interferencja konstruktywna
Interferencja destrukcyjna
45 FIZYKA - wykład 6-7
INTERFERENCJA FAL
(7.41)
Interferencja konstruktywna
Interferencja destrukcyjna
Interferencja
46 FIZYKA - wykład 6-7
Równanie powstałej fali :
czynnik jest amplitudą fali wypadkowej.
Amplituda ta zależy tylko od przesunięcia fazowego φ.
WNIOSKI:
Wynik nakładania się fal (interferencji) zależy wyłącznie od przesunięcia fazoweg φ (różnicy faz ).
Jeżeli nie ma przesunięcia fazowego φ = 0 , to A’=2A . Następuje maksymalne wzmocnienie (amplituda A’ osiąga maksimum)- interferencja konstruktywna.
Jeżeli przesunięcie fazowe wynosi φ = 180° (fale są przeciwne w fazie), to amplituda A’ = 0 i następuje wygaszenie fali – interferencja destruktywna.
Dla pozostałych wartości φ otrzymujemy pośrednie wyniki nakładania się fal.
(7.41) )2
sin('
tkxAy
INTERFERENCJA FAL
47 FIZYKA - wykład 6-7
Powstaną wówczas, gdy interferują ze sobą dwie fale spójne przemieszczające się w
jednym kierunku, ale w przeciwne strony.
Ma to miejsce, gdy np. fala odbija się bez strat energii od przeszkody i następuje
interferencja fali padającej i odbitej. W równaniach takich fal znaki ”+” i ”-” określają
kierunek propagacji fali. Fale nazywamy spójnymi, jeżeli mają taką samą długość
( i częstotliwość) oraz stałą w czasie różnicę faz.
7.5.2. FALE STOJĄCE
ozn.: w- tzw. węzły fali stojącej; s- tzw. strzałki fali stojącej.
Są szczególnym przypadkiem interferencji jest fala stojąca .
48 FIZYKA - wykład 6-7
W wyniku interferencji dwóch fal stojących:
(7.45)
])(sin[
)](sin[
2
1
v
xtAy
v
xtAy
21 yyy
2cos
2sin2sinsin
Uwzględniając zależność
otrzymujemy: )2
sin()2
cos(2
tv
xAy (7.46)
Równanie wypadkowej fali stojącej (7.46)
49 FIZYKA - wykład 6-7
Zauważmy, że nie ma propagacji drgań; położenia węzłów i strzałek fali stojącej nie ulegają zmianie.
nie zależy od czasu, ale od położenia.
(7.47)
)2
cos(2'
v
xAA
, powstaje strzałka fali stojącej.
, powstaje węzeł fali stojącej.
vk
pamiętając:
(7.48)
Cechy charakterystyczne:
Amplituda wypadkowej fali stojącej :
(7.49)
(7.50)
50 FIZYKA - wykład 6-7
FALE STOJĄCE
Przykład – częstości rezonansowe struny.
W strunie o długości L (rys.), przy pewnych częstościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o dużej amplitudzie. Fala stojąca powstała w wyniku rezonansu, o strunie zaś mówimy, iż rezonuje przy pewnych częstościach, zwanych częstościami rezonansowymi (lub częstościami własnymi). Gdy struna drga z inną częstością, fala stojąca się nie pojawia.
Pierwsza harmoniczna
Druga harmoniczna
Trzecia harmoniczna
Rys. Struna zamocowana między dwoma końcami i wprawiona w drgania.
Ogólnie, fala stojąca w strunie o długości L (rys): gdzie n=0,1,2.3,…
2)12(
nL (7.51)
51 FIZYKA - wykład 6-7
f
vvT
Jeżeli teraz uwzględnimy:
Częstości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali, zgodnie ze wzorem (7.51) , wynoszą :
L
vnfn
2)12(
gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie .
(7.52)
(7.53)
Z wyrażenia (7.54) wynika, że częstości rezonansowe są całkowitymi wielokrotnościami najniższej częstości rezonansowej (n=0): Drganie własne o najniższej częstości rezonansowej nazywamy drganiem (modem) podstawowym lub pierwszą harmoniczną . Zbiór wszystkich możliwych drgań własnych nazywamy szeregiem harmonicznym, a liczbę n –liczbą harmoniczną dla n-tej harmonicznej.
l
vf
2
FALE STOJĄCE
52 FIZYKA - wykład 6-7
Dodatek: zasada superpozycji
7.6. DRGANIA ZŁOŻONE
7.6.1. Składanie drgań równoległych
Rozpatrzymy ruch punktu materialnego wynikający ze złożenia dwóch drgań harmonicznych równoległych (zachodzących wzdłuż jednej prostej), z jednakową częstością , ale są przesunięte w fazie o Δφ.
Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z każdego ruchu.
Wypadkowa jest drganiem z tą samą częstością!
111 cos tAx
222 cos tAx www tAxxx cos21
gdzie: 1221
2
2
2
1
2 cos2 AAAAAw- amplituda
- faza
2211
2211
coscos
sinsin
AA
AAtg w
Złożenie dwu drgań harmonicznych równoległych o
jednakowych częstościach
(6.35) (7.55)
(7.56)
53 FIZYKA - wykład 6-7
Amplituda drgania wypadkowego zależy tylko od różnicy początkowych faz 12 drgań składowych. Jeśli różnica faz dwóch drgań nie zależy od czasu, to takie
drgania nazywamy spójnymi ( lub koherentnymi).
drgań
Przypadki szczególne:
1) Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej wielokrotności 2:
212 k ,...2,1,0k
Maksymalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowych.
2) Różnica faz drgań składowych równa się nieparzystej wielokrotności :
1212 k
Maksymalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowych.
,...2,1,0k
SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH – C.D.
54 FIZYKA - wykład 6-7
Część II . RUCH DRGAJĄCY I FALOWY
3) SKŁADANIE DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH - DUDNIENIA: , drgania których częstości różnią się
nieznacznie i odbywają się w tym samym kierunku i są opisane równaniami :
ttAtAtAxw
cos2
cos2coscos
(7.57)
tAx cos1
tAx cos2
55 FIZYKA - wykład 6-7
Część II . RUCH DRGAJĄCY I FALOWY
Jeśli różnica faz tt 12 dowolny, to amplituda drgań wypadkowych zmienia się z upływem czasu i nie ma sensu w ogóle
mówić o składaniu amplitud, jest to tzw. niekoherentne składanie drgań.
drgań składowych zmienia się z upływem czasu w sposób
Drgania typu: tttAtx cos nazywamy modulowanymi.
1) modulowana faza (częstość) – FM:
constA t
2) modulowana amplituda – AM:
;
const maxAdtdA ;
ANALIZA HARMONICZNA
Analiza harmoniczna – to sposób na przedstawienie złożonych drgań modulowanych w postaci
szeregu prostych drgań harmonicznych.
56 FIZYKA - wykład 6-7
DRGANIA G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę prostych drgań harmonicznych
o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej :
N
n
nn tnAtx
0
cos
W ogólnym przypadku, liczba wyrazów w szeregu Fouriera jest nieskończona (możemy wtedy
przejść do całek zamiast sum), ale istnieją takie drgania, dla których szeregi Fouriera nie zawierają
pewnych wyrazów.
7.6.2. SKŁADANIE DRGAŃ PROSTOPADŁYCH-KRZYWE LISSAJOUS:
Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch drgań harmonicznych odbywających się z jednakowymi
częstościami , zachodzących w płaszczyźnie wzdłuż kierunków prostopadłych względem siebie:
tAtx x cos
tAty y cos
(7.58)
(7.60)
(7.59)
57 FIZYKA - wykład 6-7
Ponieważ , to stosując odpowiednie podstawienia w drugim
równaniu możemy zapisać:
x
xA
xttAtxz coscos)1
y
yA
yttAtyz coscos)2
Jest to równanie elipsy nachylonej pod kątem do osi układu odniesienia.
Mówimy, że punkt materialny wykonujący oba te drgania jednocześnie, zakreśla na płaszczyźnie
pewną krzywą.
)(sin)cos(2 2
2
2
2
2
yxyx
AA
xy
A
y
A
x (7.61)
cossincoscos)cos(
2
2
1)sin()cos(
xxy A
x
A
x
A
y
, czyli 2
2
1)sin(
xA
xt
Po uporządkowaniu znajdujemy równanie toru ruchu cząstki poruszającej się pod wpływem
dwu drgań wzajemnie prostopadłych ( równanie ogólne elipsy):
DRGANIA
58 FIZYKA - wykład 6-7
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE ELIPSY:
1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe:
Można tak ustawić odczyt czasu, żeby różnica faz była równa zeru: 0 yx
Dzieląc stronami: xA
Axy
x
y - linia prosta
ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej. Będą to również drgania harmoniczne, a
2) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa
:
yx
Wtedy: xA
Axy
x
y - linia prosta
(6.44)
(6.45)
59 FIZYKA - wykład 6-7
Składanie drgań c.d.
3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 2
Wtedy:
tAtx x cos tAty y sini
i ostatecznie: 12
2
2
2
yx A
y
A
x
Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do
ruchu wskazówek zegara;
Elipsa
4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa
23– również elipsa, ale o obiegu zgodnym z ruchem
wskazówek zegara;
(7.62)
(7.63)
60 FIZYKA - wykład 6-7
)(sin)cos(2 2
2
2
2
2
yxyx
AA
xy
A
y
A
x
Drgania prostopadłe o takich samych częstościach
Składanie drgań - PODSUMOWANIE
61 FIZYKA - wykład 6-7
Podana relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu jest jednak tylko przypadkiem
szczególnym składania harmonicznych drgań prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach
różnią się, to tor punktu tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajous. Figury te mieszczą
się w prostokącie o wymiarach , i .
FIGURY LISSAJOUS – przypadek ogólny
Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków prostokąta wyznacza stosunek częstości obu
ruchów składowych:
Przykłady figur Lissajous:
Rys. 1a. Złożenie drgań
prostopadłych o jednakowych
częstościach Rys. 1a. Złożenie drgań prostopadłych o różnych
częstościach i jednakowych amplitudach.