Ruben Sabbadini, Liceo Farnesina - Roma Equazioni ... · sarà un giochetto anche per gli studenti...
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Equazioni differenziali: matematica & realtà Convegno Matematica & Realtà (Hotel Esplanade - Viareggio) 9-11 Ottobre 2015 Ruben Sabbadini, Liceo Farnesina - Roma
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Equazioni
differenziali:
matematica & realtà
Convegno Matematica & Realtà
(Hotel Esplanade - Viareggio)
9-11 Ottobre 2015
Ruben Sabbadini, Liceo Farnesina - Roma
indicazioni nazionali
per la matematica
La novità delle recenti
sono le
equazioni
differenziali
non è una
cattiva cosa
è una
grande opportunità
(non è vero che sono difficili)
sono un’importante
finestra sulla
realtà
non solo per la
fisica
ma per molte altre materie
è anche possibile
vederne
le soluzioni
senza
risolverle!(ve ne darò un saggio)
Ricordate
è la soluzione di
un’equazione
differenziale
l’equazione di Schroedinger
la Meccanica quantistica
non vi preoccupate
sarà un giochetto
anche per gli
studenti
è più divertente che difficile!
Crescita di una popolazione(di batteri)
all’inizio ho N0 batteri
Riuscite a convincervi
che la crescita
è proporzionale a N0 ?
più sono, più si riproducono
Come si scrive?se N(t) è il numero di
batteri in funzione di t,
la crescita è:
Come si scriveche N(t) è
proporzionale alla
crescita?
N(t) può essere:• un polinomio? No!
• un logaritmo? No!
• ….
• un seno o coseno? No
C’è un’unica possibilità:
N(t) = N0e a t:
Ecco a cosa servono
gli esponenziali!
(ecco cos’è ex!)
L’unica funzione …
proprio quello che ci serve!
… simile alla sua
derivata!
da N(t) = N0e a t abbiamo:
N0 ea t = k N0 a ea t
per cui (sostituendo in
):
ovvero 1 = k a(polinomio caratteristico)
Quindi questa
a N(t) si sostituisce 1
e a alla sua derivata
si riduce a:
1 = k a (polinomio caratteristico)
1 = k a (polinomio caratteristico)
(se volete essere colti è la
Trasformata di Laplace)
Agli studenti serve
questa regola:
da sostituire in
N(t) = N0 e at
1 = k a (polinomio caratteristico)
Quindi:
N(t) = N0e t/k:
(Cabri ci permette di
“vedere” tutto questo!)
1
1
0
(y^2-x)/(x^2+1)y' = =
1
0,74
Vediamo un’equazione
a coifficienti variabili:(neanche a variabili separabili!)
Crescita di un conto
in banca
Abbiamo un capitale
iniziale C0
e un tasso di interesse i
all’n-simo anno:
C = C0(1+i)n
al primo anno:
C = C0(1+i)
Se ricevessimo un interesse
mensile pari a i/12
al primo anno
C = C0(1+i/12)12
con un interesse giornaliero
C = C0(1+i/365)365
Se lo frazionassimo
al minuto, al secondo,
ad una frazione k-esima
di anno
al primo anno
C = C0(1+i/k)k
mandando k all’infinito
al primo anno
C =lim C0(1+i/k)k=
= C0 eit (t in anni)
Si arriva allo stesso risultato
da dC/dt=iC
infatti:
da sostituire in
C(t) = C0 eat
a = i 1(polinomio caratteristico)
= C0 eit
V
R
O
C Vc(t)
Vr(t)
+
-
Circuito RC
V-vC = vR = Ri
+
-
Due generatori
Circuito RC
V-vC = vR = Ri
ma:
vC = q/C (legge
del condensatore)
quindi: V - q/C = Ri
V
R
O
C Vc(t)
Vr(t)
+
-
V
R
O
C Vc(t)
Vr(t)
+
-
Circuito RC
in V - q/C = Ri
ci sono 2 variabili (q e i)
Allora deriviamo:
La stessa
equazione di prima!con questo
polinomio caratteristico!
Circuito RC
V = V5,6
R = k 3,1
-f.s. 0
f.s. 2.0 A
f.s.
-f.s.
f.s.
f.s.
10
V
0
O
f.s. 10 Vf.s.
0-f.s.
C = mF6,0
t (s )
Vc/Vr
0
V
t
Vc(t)= 0,28 V
Vc
t
Vr(t) = 5,32 V
Vr
I(t) = 1,72 A
I
tt
I
Imax
Vediamo un’Equazione
differenziale del II ordine:
(tipicamente la legge di Newton
che governa tutta la meccanica)
Conviene fare semplici
manipolazioni matematiche:
(sono abbastanza standard ma …
non si insegnano!)deriviamo rispetto a x invece che t!)
è la velocità v!
Quindi da:
(la legge di conservazione dell’ energia!)
otteniamo facilmente(integrando):
Ma a noi serve così:
(mai vista? lo so!
gravi errori della didattica)
(questo è, ovviamente,
il lavoro)
Cosa abbiamo fatto?
l’abbiamo trasformata in un’
equazione del I ordine!
(come quella dell’RC)
1
1
0
A =
-A*xx'' = d2x/dt2 =
1
0,018
v = 1,73
x
t
Campo di Forze
Vettore Velocità
Equazione Differenziale
Legge della Forza
Legge del Moto
Questo descrive …
t
k
4m = g
x0
O
0
Posiz ione di
equil ibrio
…un moto armonico
0
A =
-A*xx'' = d2x/dt2 =
1
0,018
v = 1,73
x
t
il – indica una Forza di richiamo
a 2 = - k/m 1
Usiamo ora il metodo del
polinomio caratteristico
a 2 = - k/m
Ovvero:
Cosa insegniamo agli
studenti?
IMPOSSIBILE!
oppure NON È REALE!
a 2 = - k/m
Sbagliamo!
La matematica della realtà
è più ricca della matematica
che insegniamo!
Un esponenziale complesso …
… è una funzione reale!
Sì!
Tra l’altro
(non lo dite a nessuno) …
… questi …
… funzionano con
esponenziali complessi(e anche zero a denominatore!)
E sono
reali …
… come reali le funzioni che ne
descrivono il comportamento
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
Circuito RCL
V - vC - vL = vR = Ri
+
-
Tre generatori
+-
ma: vC = q/C e vL = L di/dt
allora:
V- q/C - L di/dt = Ri
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
V-vC -vL = vR = Ri
Circuito RCL
Circuito RCL
Allora deriviamo:
V- q/C - L di/dt = Ri
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
Circuito RCL
a cui corrisponde il
polinomio caratteristico!
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
-1/C - L a2 = k a (polinomio caratteristico)
Circuito RCLV
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
L a2 - R a +1/C =0(polinomio caratteristico)
da cui:
Circuito RCL
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
Come abbiamo visto
con F=ma
il caso z=R2C2-LC>0
non è molto interessante
(è un circuito RC!)
Circuito RCLV
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
…interessante è il caso
z=R2C2-LC<0
soluzioni oscillanti (è una Radio!)
Ancora radicando negativo!
V = V9,6
R = 50,1
-f.s. 0
f.s. 0.2 A
f.s.
-f.s.
f.s.
f.s.
20
V
0
O
f.s. 10 Vf.s.
0-f.s.
C = F4,0
t (ms)
Vl/Vr
0 t
t
I
tth
L = mH9,6
< 1
Vc
t
V
Vl(t)= -0,82 V
Vl
I(t) = 0,1044 A
I
Vr(t) = 5,23 V
Vc(t) = 5,19 V
Vc
V-Vc
Vr
Sottosmorzamento
Circuito RCL
La meccanica quantistica è
soluzione dell’equazione di
Schroedinger
è un’equazione del II ordine
Anche l’equazione di
Schroedinger
Schroedinger m. armonico
Come quella del
moto armonico
sia per Schroedinger che
per il moto armonico
Le soluzioni le sappiamo
sono esponenziali complessi
v(t)= v0 eiwt
ma, come sappiamo,
perché i numeri
complessi?
v(t)= v0 eiwt =
= v0 (cos wt + i sen wt)=
che vuol dire?
I fisici parlano di
corpuscolo
v(t)= v0 eiwt =
= v0 (cos wt + i sen wt)=
dualismo onda-corpuscolo
onda
La stessa
matematica!
v(t)= v0 eiwt =
= v0 (cos wt + i sen wt)
dualismo onda-corpuscolo
si può “vedere”
l’onda o il corpuscoloa seconda del caso o
dell’esperimento
La differenza (scientifica e
didattica) della meccanica
quantistica
è che interessa poco la
soluzione dell’equazione di
Schroedinger
sono esponenziali complessi
(sen o cos) o reali (senh o cosh)
(come nei problemi classici
delle onde)
interessa poco la
soluzioneinteressano le
condizioni al contorno
(come nei problemi classici
delle onde)
le onde stazionarie
non ci interessa la soluzione
(già la sappiamo)
ma quale/i soluzione/i?
soluzioni che
sono in numero discreto
(ecco perché quantistica!)
1
1
0
A =
-A*xx'' = d2x/dt2 =
1
0,018
v = 1,73
x
t
Buca di Potenziale
0 a
E1
E
x
E2
E3
E4
Buca di potenziale teorica
(infinita)
-V 0 a
- E
|E |
y
0|E | V 0
a tan
(a)
ka
E 4 E 2 E 0
E 4
E 2
E 0
E 3 E 1
E 3
E 1
O dd solution
E ven solution
Buca di potenziale reale
(finita)
(Schakespeare Amleto)
“Ci son tante più cose
tra Cielo e Terra, Orazio,
di quanto ne prescriva
la tua filosofia”
