Ruang Vektor - Perpustakaan · PDF filehimpunan tak hampa yang berkaitan dengan dua operasi...

Click here to load reader

  • date post

    09-Mar-2019
  • Category

    Documents

  • view

    259
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Ruang Vektor - Perpustakaan · PDF filehimpunan tak hampa yang berkaitan dengan dua operasi...

Modul 1

Ruang Vektor

Dr. Irawati

alam buku materi pokok Aljabar II ini kita secara perlahan-lahan mulai mengubah pendekatan kita dari pendekatan secara komputasi menjadi

pendekatan yang lebih umum. Yang dimaksud dengan pendekatan yang lebih umum adalah penyelesaian masalah yang menuntut bukti, yang tentu saja tidak dapat diselesaikan dengan komputasi rutin. Namun, pendekatan komputasi tidak sepenuhnya kita tinggalkan, melainkan kita pakai untuk mengilustrasikan dan menerapkan teori yang kita bahas. Pembaca diminta untuk mengerjakan semua soal-soal latihan maupun tes formatif (termasuk menuliskannya dengan rinci), untuk dapat mengikuti semua modul secara utuh dan berkesinambungan. Secara khusus untuk modul (pokok bahasan) Ruang Vektor ini, skalar yang digunakan lebih umum, yakni himpunan yang memiliki struktur yang sama dengan struktur yang dimiliki oleh himpunan bilangan real. Secara umum setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan

memahami konsep lapangan, ruang pF , ruang vektor maupun subruang dan dapat memeriksa apakah suatu himpunan vektor-vektor di suatu ruang vektor bersifat bebas linear atau bergantung linear. Secara lebih rinci, setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu:

1. memahami konsep lapangan dan ruang pF ; 2. menyelidiki apakah suatu vektor merupakan kombinasi linear dari

vektor-vektor yang diberikan;

3. menyelidiki apakah suatu himpunan merupakan suatu ruang vektor atas suatu lapangan;

4. menyelidiki apakah suatu subhimpunan dari suatu ruang vektor merupakan subruang;

D

PENDAHULUAN

1.2 Aljabar II

5. menentukan suatu himpunan bersifat bebas linear atau bergantung linear.

MATA4436/MODUL 1 1.3

Kegiatan Belajar 1

Lapangan, Ruang Fp, dan Ruang Vektor

ada mata kuliah Aljabar Linear Elementer kita telah menggunakan himpunan bilangan nyata (real) sebagai skalar. Sebagaimana dinyatakan

sebelumnya pada modul ini, skalar yang digunakan lebih umum, yaitu himpunan yang memiliki struktur yang sama dengan struktur yang dimiliki himpunan bilangan real, yang kita katakan lapangan (field) dengan notasi F . Mari kita perhatikan mengenai persyaratan atau ketentuan-ketentuan dari suatu lapangan F yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.1 Suatu lapangan adalah suatu himpunan tak hampa F dengan dua operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian serta terdapat unsur 0 (nol) dan 1 (satu) di F sehingga dipenuhi: (i) , , , x y z F berlaku

1. x y+ F (sifat tertutup)

2. x + y = y + x (sifat komutatif) 3. (x + y) + z = x + (y + z) (sifat asosiatif) 4. 0 + x = x (unsur nol)

(ii) , , , x y z F berlaku 1. xyF (sifat tertutup) 2. xy yx= (sifat komutatif) 3. ( ) ( )xy z x yz= (sifat asosiatif) 4. 1 x x= (unsur satu)

(iii) , , , ( ) x y z x y z xy xz + = +F (Sifat distributif) (iv) x F terdapat secara tunggal zF sehingga 0.x z+ = (z disebut unsur balikan dari x terhadap operasi penjumlahan). (v) ,x F dengan 0x terdapat secara tunggal yF sehingga

1xy = (y dikatakan unsur balikan dari x terhadap operasi perkalian).

P

1.4 Aljabar II

Dari definisi di atas terlihat bahwa, suatu lapangan adalah suatu himpunan tak hampa yang berkaitan dengan dua operasi dan memenuhi sifat-sifat (i) s/d (v). Sebagai ilustrasi dari Definisi 1.1, perhatikan contoh berikut:

Contoh 1.1 Lapangan yang kita kenal adalah = {bilangan yang nyata/real}, = {bilangan rasional}, dan = {bilangan kompleks} terhadap dua

operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian. Tetapi, himpunan bilangan bulat bukan merupakan lapangan terhadap dua operasi penjumlahan dan perkalian karena terdapat bilangan bulat 0a dan 1a , tetapi tidak terdapat bilangan bulat b sehingga 1ab = [lihat sifat (v)]. Pandang lapangan F seperti ruang R n, yang kita bahas pada mata

kuliah Aljabar Linear Elementer, sekarang kita definisikan ruang pF sebagai berikut.

pF = 1

1, , p

p

M L F

Definisi di atas menyatakan bahwa ruang pFadalah suatu himpunan vektor-vektor, dengan komponen sebanyak p buah dan setiap komponennya merupakan unsur dari lapangan F. Selanjutnya, dua operasi penjumlahan dan perkalian skalar juga kita definisikan seperti di n, sebagai berikut.

1. Operasi Penjumlahan (+)

+ : p p p F F F

1 1 1 1

,

p p p p

+ +

M M a M

MATA4436/MODUL 1 1.5

2. Operasi Perkalian Skalar ( )o

: p p F F Fo

1 1 1

,

p p p

=

M a o M M

Dengan menggunakan dua operasi di atas, kita simak suatu definisi

tentang konsep kombinasi linear dari vektor-vektor di pF .

Definisi 1.2 Misalkan 1, , nv vL adalah vektor-vektor di

pF dan 1, , n L

adalah skalar-skalar di F . Vektor di pF yang berbentuk

1 1 n nw v v = + +L dikatakan kombinasi linear dari 1, , .nv vL

Selanjutnya, himpunan semua kombinasi linear dari 1, , nv vL dikatakan

span dari 1, , nv vL dan ditulis

{ } { }1 1 1 n 1 n, , , ,n nspan v v v v = + + L L L F Ilustrasi untuk konsep kombinasi linear dan span yang didefinisikan di atas, akan diperlihatkan pada contoh di bawah ini.

Contoh 1.2

Pandang vektor-vektor di 4 berikut.

1

2

1

3

2

v

=

, 2

2

1

2

1

v

=

, 3

1

0

0

1

v

=

, 4

0

1

2

0

v

=

, 5

0

1

1

0

v

=

.

1.6 Aljabar II

Karena 1 3 4 52 2v v v v= + 1 2 3( 2, 2 dan 1) = = = maka vl merupakan kombinasi linear dari v3, v4 dan v5. Jadi, 1 3 4 5 2 3 4 5 { , , }, tetapi { , , }, v span v v v v span v v v karena Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut:

2

1

2 2

1

= + = + = =

tidak memiliki solusi, dengan kata lain 2v tak dapat ditulis sebagai

kombinasi linear dari 3 4 5, dan .v v v

Pandang himpunan ,pF yang telah dibahas di atas, beserta operasi

penjumlahan dan perkalian skalar. Maka, dapat ditunjukkan bahwa:

(i) , , pu v w F berlaku sifat-sifat berikut: 1. pu v+ F (sifat tertutup) 2. u v v u+ = + (sifat komutatif) 3. ( ) ( )u v w u v w+ + = + + (sifat asosiatif)

4.

0

0 0

0

p u u

= + =

r rM F (vektor nol)

5. ( ) 0pu u u + =r

F (u vektor balikan dari u)

(ii) , dan ,pu v F F berlaku 1. pu F 2. 1 . v = v 3. (u + v) = u + v 4. ( +)v = v + v 5. ()v = (v) Kita katakan bahwa pF merupakan suatu ruang vektor atas lapangan F .

MATA4436/MODUL 1 1.7

Berikut ini akan kita definisikan pengertian ruang vektor atas lapangan F secara umum. Definisi 1.3 Suatu ruang vektor V atas lapangan F adalah himpunan tak hampa V,

yang memuat vektor 0r

dan dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sehingga dipenuhi:

(i) , , , , u v w V berlaku

1. ( )

2. ( )

3. ( ) ( ) ( )

4. 0 ( )

5. ( ) 0 ( )

u v V sifat tertutup

u v v u sifat komutatif

u v w u v w sifat asosiatif

u u vektor nol

u V u u u vektor balikan dari u

+

+ = + + + = + + + = + =

r

r

(ii) , , dan , berlakuu v V F

1.

2. 1 .

3. ( ) ( )

4. ( ) ( )

5. ( ) ( )

u V

v v

u v u v sifat distributif

v v v sifat distributif

v v

= + = + + = +

=

Untuk selanjutnya yang dimaksud dengan ruang vektor adalah ruang vektor atas lapangan F . Dengan lapangan F adalah atau , kecuali dengan keterangan yang lebih spesifik. Setelah kita paham dengan apa yang dimaksud dengan ruang vektor, mari kita lihat salah satu sifat yang berlaku di ruang vektor pada teorema berikut. Teorema 1.1 Misalkan V suatu ruang vektor. Maka untuk 0, 1 F berlaku:

(i) 0 0,v v V= r

(ii) ( 1) ,v v v V =

1.8 Aljabar II

Bukti: Misalkan v V sebarang, maka (i) 0 (0 0) 0 0v v v v= + = + (sifat distributif) 0v + ( (0v)) = (0v + 0v) + ( (0v)) ( )( )0 0 0 (0 )v v v= + + r (vektor balikan dari 0v) 0 0 0v= +

r r

0 0v=r

(vektor nol)

(ii) ( )0 0 1 ( 1) 1. ( 1)v v v v= = + = + r

0 ( 1)v v= + r

0 ( 1)v v v v + = + + r

( ) ( 1)v v v v = + +

0 ( 1)v v = + r

( 1)v v =

Sekarang timbul pertanyaan, apakah subhimpunan dari suatu ruang vektor juga merupakan ruang vektor? Untuk itu, mari kita simak definisi di bawah ini.

Definisi 1.4 Pandang subhimpunan tak hampa U dari suatu ruang vektor V. Kita

katakan U sebagai subruang dari V, jika U juga merupakan ruang vektor dengan operasi yang sama seperti operasi di V.

Sekarang akan kita lihat suatu lemma yang lebih operasional untuk menyelidiki apakah suatu subhimpunan tak hampa dari suatu ruang vektor merupakan subruang dari ruang vektor ter