RUANG VEKTOR

A. DEFINISI RUANG VEKTOR

Definisi 4.1 : Misalkan sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan

penambahan dan perkalian skalar (bilangan real), disebut ruang vektor dan benda-benda pada

kita namakan vektor jika dan hanya jika memenuhi aksioma 4.1 berikut:

1. Jika , maka

2.

3.

4. sehingga ,

5. , sehingga

6. Jika dan maka

7.

8.

9.

10.

Contoh 4.1 :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi

perkalian dengan skalar).

Notasi : (Ruang Euclides orde )

• : Bilangan real

• : Vektor di bidang

• : Vektor di ruang tiga dimensi

2. Himpunan matriks berukuran dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan

perkalian matriks dengan skalar),

Notasi : (Ruang Matriks )

3. Himpunan polinom pangkat dengan operasi standar.

Notasi : (Ruang Polinom orde )

Contoh 4.2 :

Selidiki apakah himpunan semua bilangan real positif dengan operasi-operasi

dan membentuk ruang vektor!

Penyelesaian:

1. Misalkan dan , maka ,

maka syarat dipenuhi :

2.

(sifat komutatif dalam bilangan real positif)

, maka syarat dipenuhi

3. Misalkan , maka :

(definisi)

x’’ (definisi)

(sifat asosiatif pada perkalian bilangan real)

, maka syarat dipenuhi

4. Misalkan ada , sedemikian hingga:

(definisi)

x

x , syarat dipenuhi

5. Misalkan ada sedemikian hingga

x

1 , maka

x

1 R+, jadi syarat dipenuhi

6. Misalkan dan , maka

(bilangan real positif jika dipangkatkan, hasilnya akan positif juga), jadi syarat

dipenuhi

7.

(definisi)

(definisi)

(sifat pangkat)

(definisi)

, syarat dipenuhi

8.

(definisi)

(sifat pangkat)

(definisi)

(definisi)

, sifat dipenuhi

9.

(definisi)

(definisi)

(sifat pangkat)

, syarat dipenuhi

10.

(definisi)

, syarat dipenuhi

Karena ke- aksioma dipenuhi maka himpunan semua bilangan real positif x dengan operasi-

operasi dan membentuk ruang vektor.

B. RUANG EUCLID ORDE-N

Definisi 4.2 : Jika n adalah sebuah bilangan positif, maka tupel- -terorde (ordered- -tuple)

adalah sebuah urutan bilangan real . Himpunan semua tupel- -terorde

dinamakan ruang- dan dinyatakan dengan .

Andaikan terdapat ruang berdimensi dapat disimbolkan sebagai dapat

diinterpretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau suatu vektor.

1. Vektor Nol

Definisi Vektor nol : Vektor nol adalah Vektor yang berbentuk

2. Negatif suatu vektor

Definisi 4.3 : Jika adalah sebuah vektor pada , maka negatif

dinyatakan oleh – dan didefinisilkan sebagai berikut :

Contoh 4.3:

Jika maka –

3. Operasi Standar pada

a. Penjumlahan dua Vektor

Definisi 4.4 : Dua vektor dan pada maka

Contoh 4.4 :

Jika dan , maka

b. Selisih dua Vektor

Definisi 4.5 : Dua vektor dan pada maka

c. Perkalian skalar dengan vektor

Definisi 4.6 : Jika adalah sebarang skalar dan , maka perkalian skalar

Contoh 4.5:

Jika dan , maka

d. Kesamaan Dua Vektor

Definisi 4.7 : Dua vektor dan pada dikatakan

sama jika

4. Hasil Kali Dalam Euclidis (Euclidean Inner Product) Dua Vektor

Definisi 4.8: Jika dan adalah sebarang vektor pada

, maka hasil kali dalam Euclidis kita definisikan dengan :

⟨ ⟩

Contoh 4.6:

dan , maka

5. Panjang (Norma) dan Jarak Euclides sebuah Vektor

Definisi 4.9 : Jika pada , maka norma (panjang) adalah ‖ ‖

√

Contoh 4.7:

Jika maka ‖ ‖ √ √ √

Jarak euclides antara titik-titik dan pada

didefinisikan sebagai:

‖ ‖ √

Contoh 4.8 :

Jika dan maka :

‖ ‖ √

√

√

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam

Teorema 4.4 : Jika dan adalah vektor-vektor dalam

, maka:

| | ‖ ‖ ‖ ‖

atau

| | √

√

C. SUB RUANG

Definisi 4.10 : Diketahui ruang vektor, , disebut sub ruang dari jika hanya jika

itu sendiri merupakan ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang

didefinisikan pada .

Aksioma 4.2 :

ruang vektor, , disebut sub ruang dari jika hanya jika

(1) Jika dan adalah vektor-vektor pada , maka

(2) Jika dan , maka

Contoh 4.9 :

Selidiki apakah himpunan dari semua matriks yang mempunyai bilangan nol pada

diagonal utamanya adalah sub ruang dari !

Penyelesaian :

(1) Misalkan [

] dan [

]

Maka [

] [

] [

] (karena matriks yang dihasilkan

mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya), jadi syarat 1 dipenuhi

(2) [

] [

] , (karena matriks yang dihasilkan mempunyai bilangan

nol pada diagonal utamanya), jadi syarat dipenuhi

Karena syarat (1) dan (2) dipenuhi maka himpunan dari semua matriks yang

mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah sub ruang dari !

D. KOMBINASI LINEAR

Definisi 4.11 : Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor jika

vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk dengan

adalah skalar.

Contoh 4.10 :

Misal dan = (1, -1, 3) adalah vektor-vektor di . Apakah vektor berikut

merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas :

a.

b.

c.

Penyelesaian:

a. Tulis

Akan diperiksa apakah terdapat nilai dan sehingga kesamaan tersebut dipenuhi :

( ) (

) ( )

dapat dibentuk menjadi :

(

) (

) (

)

dengan operasi baris elementer (OBE):

Matriks eselon tereduksi yang diperoleh:

0 0 0

2 1 0

1 0 1

Sehingga diperoleh persamaan baru yaitu : dan .

Dengan demikian terdapat nilai dan . Sehingga merupakan kombinasi linear

dari dan atau bisa ditulis sebagai

b. Tulis

0 0 0

2 1 0

1 0 1

0 0 0

2 1 0

2 1

0 0 0

6- 3- 0

2 1

6 3 0

6- 3- 0

2 1

6 3 0

2 1- 4

2 1

6 3 0

2 1- 4

4 1 2

)2

1(12

21

)3

1(2

21

)1(32

21

)4(21

21

)2

1(1

B

BBBB

Akan diperiksa apakah terdapat nilai dan sehingga kesamaan tersebut dipenuhi :

( ) (

) ( )

dapat dibentuk menjadi :

(

) (

) (

)

dengan operasi baris elementer (OBE):

Perhatikan baris ketiga dari Operasi Baris Elementer di atas

SPL ini tidak konsisten (tidak mempunyai solusi) karena seharusnya . Jadi, tidak

ada nilai dan yang memenuhi, sehingga tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linear dari dan .

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis k1u + k2v = c.

Artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

E. MERENTANG / MEMBANGUN

Jika adalah vektor-vektor pada ruang vektor , maka secara umum beberapa

vektor dalam dapat dibentuk menjadi kombinasi linear dari dan yang lainnya bisa

tidak dapat dibentuk sebagai kombinasi linear.

Definisi 4.12 : Jika adalah vektor-vektor pada ruang vektor dan jika masing-

masing vektor pada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear maka kita

mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang .

Contoh 4.11 :

Tentukan apakah merentangkan ruang vektor ?

Penyelesaian:

Harus ditentukan apakah suatu vektor sembarang dalam R3 dapat dinyatakan

sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor , , .

Maka didapat :

1 1 1 12 2 2 2

11( ) 21(-4)

2

2 1 1 1 1

4 -1 5 4 -1 5 0 -3 3

0 3 6 0 3 6

BB

1 1 1 12 2 2 2

12( ) 32( 3)

3

0 3 6

1 1

0 1 -1 0 1 -1

0 3 6 0 0 9

B B

atau

Sehingga diperoleh persamaan:

Persamaan diselesaikan menggunakan OBE,

1 11

21( 1) 31( 2)2 2 2

33

3

1

32( 1) 2

3

1 1 2 1 1 21 1 2

1 0 1 0 1 1 0 1 11 1

2 1 3 2 1 3 0 1 11

1 1 2

0 1 11

0 0 01 2

2

b bbb bb B Bb b

b b bb

bbB b

bb b

Terdapat baris pada matriks setelah direduksi, sehingga ada vektor di

yang bukan merupakan kombinasi linear dari , , . Jadi , , tidak membangun .

F. KEBEBASAN LINEAR

Definisi 4.13 : Jika { } adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor

mempunyai paling sedikit penyelesaian, yaitu ,

.

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka kita namakan himpunan bebas linear (linearly

independent). Jika ada penyelesaian lain, maka kita namakan himpunan tak bebas linear

(linearly dependent) atau bergantung linear.

Contoh 4.13 :

Himpunan vektor-vektor { }, dengan :

(

) (

) (

)

Selidiki vektor-vektor tersebut bebas linear atau bergantung linear!

Penyelesaian :

(

) (

) (

) ( )

(

) (

) (

) ( )

Sehingga diperoleh persamaan :

Diselesaikan menggunakan OBE:

(

) B21(2) B31(-1) (

) B32(

(

2

1

)

(

2

1

)

B3(-2) (

)

Sehingga diperoleh persamaan baru :

Contoh 4.14 :

(

) (

) (

)

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear ?

Penyelesaian:

atau (

)(

) ( )

dengan OBE diperoleh:

Ini menunjukan bahwa merupakan solusi tak hingga banyak.

Jadi, adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Sehingga diperoleh penyelesaian, 𝑘 , 𝑘 dan 𝑘

Jadi, vektor-vektor tersebut bebas linear.

~

010

040

211

000

010

211

G. BASIS DAN DIMENSI

Definisi 4.14 : Jika adalah sembarang ruang vektor dan { } adalah suatu

himpunan vektor-vektor dalam , maka disebut suatu basis untuk jika dua syarat ini

dipenuhi:

a. bebas secara linear

b. merentangkan V.

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam

basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.

Contoh basis standar:

1. { }, dengan

Merupakan basis standar dari .

2. { } merupakan basis standar untuk (polinom orde- )

3. {[

] [

] [

] [

] } merupakan basis standar untuk .

Teorema 4.5 : Jika { } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka

setiap vektor dalam dapat dinyatakan dalam bentuk dalam

tepat satu cara.

Bukti :

Karena merentangkan , maka dari definisi kita dapatkan bahwa setiap vektor dalam dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S. Untuk melihat bahwa hanya ada

satu cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam ,

suatu vektor dapat ditulis sebagai:

dan juga sebagai

Dengan mengurangkan persamaan kedua dan pertama akan didapat:

(

Karena ruas kiri dari persamaan ini adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S

maka kebebasan linear mengimplikasikan bahwa :

Yaitu :

Jadi kedua persamaan adalah sama.

Contoh 4.15 :

Anggap . Tunjukkan bahwa himpunan { }

adalah suatu basis untuk !

Penyelesaian :

1) bebas secara linear, harus ditunjukkan satu-satunya penyelesaian dari :

adalah

2) merentang , harus ditunjukkan bahwa sembarang vektor dapat

dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear :

Dari syarat (1) diperoleh:

Sehingga diperoleh :

(

)(

) ( )

Dari syarat (2) diperoleh:

Sehingga diperoleh :

(

)(

) (

)

Penyelesaian menggunakan OBE:

Syarat (1)

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

Matriks terakhir diperoleh matriks eselon tereduksi sehingga penyelesaiannya adalah

, sehingga bebas secara linear.

Syarat (2)

bbb

3

2

1

401

392

321

bbbb

b

13

12

1

120

350

321

2

bbbb

b

2 12

13

1

350

120

321

bb

bbb

2 12

13

1

35022

110

321

22

100

22

110

321

59 31

13

1

bb

bbb

bbbbbb

bbb

59253

15626

312

213

321

100

010

021

bbbbbb

bbb

59253

21836

312

213

321

100

010

001

Matriks terakhir diperoleh matriks eselon tereduksi sehingga penyelesaiannya adalah :

Sehingga vektor sembarang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear, Jadi

merentang di .

Karena syarat (1) dan (2) terpenuhi maka merupakan suatu basis untuk .

Untuk Contoh 4.15 akan diperiksa apakah determinan matriks koefisien tidak sama dengan .

|

|

Karena determinan matriks koefisien tidak sama dengan , maka S merupakan suatu basis untuk

.

Berdasarkan contoh 4.15, karena terdapat himpunan { } beranggotakan vektor

dan semuanya merupakan basis untuk maka dimensi dari adalah atau ditulis

.

Perhitungan dengan menggunakan teorema.

Berdasarkan teorema 4.6, untuk membuktikan

apakah suatu himpunan merupakan suatu basis,

cukup dibuktikan determinan matriks koefisien

adalah tidak sama dengan 0.

H. RUANG BARIS, RUANG KOLOM DAN RUANG NOL

Definisi 4.16 : Tinjaulah matriks

aaa

aaaaaa

mnmm

n

n

A

...21

22221

11211

...

...

Vektor-vektor

terbentuk dari baris-baris yang kita namakan vektor-vektor baris , dan vektor-vektor :

11

21

1m

a

a

a

12

22

2m

a

a

a

1

2

n

n

mn

a

a

a

terbentuk dari kolom-kolom yang kita namakan vektor-vektor kolom . Subruang yang

direntang oleh vektor-vektor baris disebut ruang baris (row space) dan Subruang yang

direntang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom (column space) .

Definisi 4.17 : Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks dinamakan rank dan dinyatakan

dengan rank ( )

Contoh 4.17 :

Misalkan Matriks

dengan melakukan OBE diperoleh :

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE. Matriks mempunyai basis ruang kolom yaitu

:

1221

1321

1121

A

Vektor kolom

Vektor baris

2

3

1

,

1

1

1

Basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahulu matriks , lakukan

OBE pada , sehingga diperoleh:

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks

asal ( ). Ini berarti, matriks tersebut mempunyai basis ruang baris :

Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks adalah .

Contoh 4.18 :

Cari basis-basis untuk ruang-ruang baris dan kolom dari:

Penyelesaian:

Setelah direduksi, menjadi matriks:

Basis untuk ruang kolom A adalah:

Untuk mencari basis ruang baris, matriks A ditransposkan terlebih dahulu.

1

3

2

1

,

1

1

2

1

452431

791962

281962

452431

A

000000

510000

623100

452431

A

,

5

9

8

5

,

4

9

9

4

,

1

2

2

1

531

ccc

Setelah direduksi, menjadi matriks:

Basis untuk ruang baris A adalah:

Contoh 4.19 :

Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor

Penyelesaian:

Ruang vektor yang direntang vektor-vektor ini adalah ruang baris dari matriks

681862

0101550

62352

30021

21( 2) 41( 2),B B

0818100

0101550

02310

30021

BB )2

1(4)

5

1(3

,

1 2 0 0 3

0 1 3 2 0

0 1 3 2 0

0 5 9 4 0

23(1) 43( 5),B B

1 2 0 0 3

0 0 0 0 0

0 1 3 2 0

0 0 6 6 0

B )6

1(4

01100

02310

00000

30021

4724

5985

2112

4994

3663

1221

AT

0000

0000

0000

0100

0110

1221

7

9

1

9

6

2

2

8

1

9

6

2

4

5

2

4

3

1

321,,

TTT

rrr

Vektor-vektor baris tak nol pada matriks ini adalah

Jadi rank dari matriks tersebut

Basis Ruang Nol

Basis ruang nol suatu matriks dapat diperoleh dengan membentuk SPL homogen, kemudian

menentukan solusi dari SPL homogen tersebut. Basis ruang nolnya itu dibangun oleh vektor-

vektor pembangun ruang nol atau ruang solusi dari SPL tersebut.

Contoh 4.20 :

Diketahui SPL homogen

Solusi SPL Homogen di atas dapat dicari dengan OBE terhadap matriks yang diperbesar.

2 32 1

2 1 2 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 02

1 21 1 2 1 0 2 1 2 2 0 0 3 6 0 0 0 1 2 0 0

1 31 2 4 1 0 1 2 4 1 0 0 1 2 0 0 0 3 6 0 03

1 43 0 0 3 0 3 0 0 3 0 0 3 6 0 0 0 3 6 0 0

2 33

b bb bb b

b b

b b

b b

1 0 0 1 02 1

0 1 2 0 0

0 0 0 0 03

2 4 0 0 0 0 0

b b

b b

sehingga

Misalkan dan dengan maka

0 1

2 2 0

1 0

0 1

a t

b ss t

c s

d t

Maka, basis bagi ruang solusi adalah

0 1

2 0,

1 0

0 1