Orbitas periódicas de transferencia rápida en el Problema de Tres

Cuerpos Restringido: dependencia del cociente de masas y relación con

las Familias Generatrices

A. H. Martínez (Fa.M.A.F., U.N.C.) C. B. Briozzo (Fa.M.A.F., U.N.C.)

A. M. Leiva (O.A.C., U.N.C.)

RTBP (Restricted Three-Body Problem):

3/2 3/22 2

2 2

3/2 3/22 2

2 2

12 1

1

2 1

1

x xx y x

x y x y

y yy x y

x y x y

Coordenadas sinódicas

Masa total 1

Periodo 2

Origen en el CM

= 0,0121505 (Tierra-Luna)

1 x

y

Única integral de movimiento: Jacobi

2 2 2 2

1/2 1/22 2

2 2

122 2

1

x y x yC h

x y x y

caos (Hamiltoniano)

Órbitas Periódicas Inestables (OPIs)

• Controlables

• En cierto sentido, predecibles

Utilidad:

Órbitas de Transferencia de Baja Energía

h > hL1 = 1.59407 h < hL2 = 1.58617

Las OPIs son rápidas (t 18) y simples (un arco, periódico)...

...y pueden estabilizarse.

Búsqueda metódica + continuación analítica dieron:

Otra forma de ver lo mismo:

Catálogo de familias:

• Número: el de la OPI prolongada analíticamente

• Rango: (hmin , hmax) y (Tmin , Tmax)

• Curvas características: T-h, y-h, vy-h, vx-h en

• Curva sgn(u) log u vs. h en

• Curva característica h-xi en ´ (y0 , vy0) (Szebehely)

• Órbitas típicas y detalle circumlunar

• Bifurcaciones: según diagrama y-h

- rama principal (órbitas simétricas): A

- ramas secundarias (órbitas asimétricas): B, C, D, etc

- puntos de bifurcación: P1 , P2 , etc

M. Hénon, Generating Families in the Restricted Three-Body Problem (Springer-Verlag, Berlin, 1997), trata = 0.

Halla métodos para construir todas las (infinitas) familias generadoras de 1ª, 2ª y 3ª especie.

Nuestras familias deberían reducirse a un subconjunto de las de 2ª especie para 0 (?).

• Familias para diferentes RTBP (p.ej. Sol-Júpiter)

• Completitud (comparando con Hénon para 0)

• Algunas familias pueden desaparecer para menores

• Algunas familias pueden aparecer sólo a menores

¿Qué obtendríamos tomando 0?

curvas características

Del catálogo:

Elegimos la familia 37

Seleccionamos algunos miembros de la familia 037 en 1 para 0.01215054825645.

Tabla 1. Miembros de la familia 037 que actúan como condiciones iniciales en 1. Item corresponde a la clasificaciónutilizada en este trabajo para identificar el miembro seleccionado. T es el periodo de la OPI (tiempo de retorno a 1).

Item h T x y vx vy

3 -1.58506238 14.954041853 0.8369153095 -0.03218909 0.1163054949 -0.022664925 -1.57000738 14.928765763 0.8369153095 -0.06175868 0.1778055581 -0.049014256 -1.56000038 15.392258213 0.8369153095 -0.09073832 0.1900226835 -0.065374618 -1.57555238 14.800119268 0.8369153095 -0.04571612 0.1647922954 -0.04348200

11 -1.56300538 15.237353901 0.8369153095 -0.08306732 0.1862750092 -0.0593651112 -1.56200038 15.288544853 0.8369153095 -0.08576794 0.1874466851 -0.0612872117 -1.55600138 15.601816017 0.8369153095 -0.09898556 0.1964466167 -0.0743029118 -1.58000238 14.798032895 0.8369153095 -0.03639689 0.1470205079 -0.0377386119 -1.55500038 15.654090130 0.8369153095 -0.01007018 0.1983411001 -0.0766375224 -1.58200238 14.832575236 0.8369153095 -0.03366485 0.1365576140 -0.03366155

Tabla 2. Miembros de la familia 037 que actúan como condiciones iniciales en 2. Item corresponde a la clasificaciónutilizada en este trabajo para identificar el miembro seleccionado. T es el periodo de la OPI (tiempo de retorno a 2).

Item h T x y vx vy

3 -1.58506238 14.954041853 0.4696971782 0 -0.639017373 -0.988355965 -1.57000738 14.928765763 0.4570033646 0 -0.710539639 -1.010955766 -1.56000038 15.392258213 0.4496213132 0 -0.750909039 -1.025370478 -1.57555238 14.800119268 0.4606735925 0 -0.687261286 -1.00521799

11 -1.56300538 15.237353901 0.4521459279 0 -0.738634612 -1.0197998912 -1.56200038 15.288544853 0.4513372493 0 -0.742713400 -1.0215216817 -1.55600138 15.601816017 0.4457665481 0 -0.767630807 -1.0347617718 -1.58000238 14.798032895 0.4641730013 0 -0.666558386 -0.9993427319 -1.55500038 15.654090130 0.4447179604 0 -0.771884338 -1.0374532424 -1.58200238 14.832575236 0.4660418823 0 -0.656366175 -0.99593663

Los valores son:

Curvas características de las –familias en la sección 2

No llegamos a muy bajos. Ya veremos porqué...Hacemos continuación analítica en decrecientes

Curvas características de la – familia 3 y sus ramas:

Parámetro de estabilidad Puntos elípticos e hiperbólicos

h T x y vx vy -1.5817997 15.0671830 -0.4458545 0 -0.65904643 -1.078455 0.01075792

Punto de bifurcación (PB_3)

Vemos que una rama retorna a TL a una OP diferentey hay otra rama central que también retorna a otra OP

Lo mismo pasa con las otras –familias que continuamos,por ejemplo la 24:

¿A cuáles OPs están retornando?

Buscamos los puntos de retorno en el Catálogo,y los encontramos!

Corresponden a las familias 43 y 56.

Curvas características de la familia 43:

Notemos que T(h) es idéntica a la de la familia 37

Curvas características de la familia 56:

Puntos de Retorno de las –familias 3 y 24 en la familia 43:

Puntos de Retorno de las –familias 3 y 24 en la familia 56:

Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a = TL:

Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a = TL:

Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a = TL:

Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a = TL:

Cómo varían las órbitas de la –familia 3 con :

Conclusiones:

• Comportamiento genérico para distintas –familias. • Bifurcación ( creciente): de una rama simple de órbitas simétricas a una rama doble de órbitas asimétricas.• Puntos de bifurcación son órbitas simétricas.• Puntos de bifurcación son elípticos.

Esto generaliza resultados de Hénon para > 0. Además:

• Puede haber más bifurcaciones a menores, o una terminación natural de las –familias (?).• Conexión por continuación en entre familias “semejantes” a = TL; hay más (77 y 84, 146a y 146b).• Completar familias altamente inestables a = TL por continuación en .• Descubrir nuevas familias a = TL por continuación en .