RSA Survey
16
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8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 1/16
T w e n t y Y e a r s o f A t t a c k s o n t h e R S A C r y p t o s y s t e m
D a n B o n e h
d a b o @ c s . s t a n f o r d . e d u
1 I n t r o d u c t i o n
T h e R S A c r y p t o s y s t e m , i n v e n t e d b y R o n R i v e s t , A d i S h a m i r , a n d L e n A d l e m a n 2 1 , w a s r s t
p u b l i c i z e d i n t h e A u g u s t 1 9 7 7 i s s u e o f S c i e n t i c A m e r i c a n . T h e c r y p t o s y s t e m i s m o s t c o m m o n l y
u s e d f o r p r o v i d i n g p r i v a c y a n d e n s u r i n g a u t h e n t i c i t y o f d i g i t a l d a t a . T h e s e d a y s R S A i s d e p l o y e d
i n m a n y c o m m e r c i a l s y s t e m s . I t i s u s e d b y w e b s e r v e r s a n d b r o w s e r s t o s e c u r e w e b t r a c , i t i s
u s e d t o e n s u r e p r i v a c y a n d a u t h e n t i c i t y o f E m a i l , i t i s u s e d t o s e c u r e r e m o t e l o g i n s e s s i o n s , a n d
i t i s a t t h e h e a r t o f e l e c t r o n i c c r e d i t - c a r d p a y m e n t s y s t e m s . I n s h o r t , R S A i s f r e q u e n t l y u s e d i n
a p p l i c a t i o n s w h e r e s e c u r i t y o f d i g i t a l d a t a i s a c o n c e r n .
S i n c e i t s i n i t i a l p u b l i c a t i o n , t h e R S A s y s t e m h a s b e e n a n a l y z e d f o r v u l n e r a b i l i t y b y m a n y
r e s e a r c h e r s . A l t h o u g h t w e n t y y e a r s o f r e s e a r c h h a v e l e d t o a n u m b e r o f f a s c i n a t i n g a t t a c k s , n o n e o f
t h e m i s d e v a s t a t i n g . T h e y m o s t l y i l l u s t r a t e t h e d a n g e r s o f i m p r o p e r u s e o f R S A . I n d e e d , s e c u r e l y
i m p l e m e n t i n g R S A i s a n o n t r i v i a l t a s k . O u r g o a l i s t o s u r v e y s o m e o f t h e s e a t t a c k s a n d d e s c r i b e
t h e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l t o o l s t h e y u s e . T h r o u g h o u t t h e s u r v e y w e f o l l o w s t a n d a r d n a m i n g
c o n v e n t i o n s a n d u s e A l i c e a n d B o b t o d e n o t e t w o g e n e r i c p a r t i e s w i s h i n g t o c o m m u n i c a t e w i t h
e a c h o t h e r . W e u s e M a r v i n t o d e n o t e a m a l i c i o u s a t t a c k e r w i s h i n g t o e a v e s d r o p o r t a m p e r w i t h t h e
c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n A l i c e a n d B o b .
W e b e g i n b y d e s c r i b i n g a s i m p l i e d v e r s i o n o f R S A e n c r y p t i o n . L e t N = p q b e t h e p r o d u c t o f
t w o l a r g e p r i m e s o f t h e s a m e s i z e n = 2 b i t s e a c h . A t y p i c a l s i z e f o r N i s n = 1 0 2 4 b i t s , i . e . 3 0 9
d e c i m a l d i g i t s . E a c h o f t h e f a c t o r s i s 5 1 2 b i t s . L e t e ; d b e t w o i n t e g e r s s a t i s f y i n g e d = 1 m o d ' N
w h e r e ' N = p , 1 q , 1 i s t h e o r d e r o f t h e m u l t i p l i c a t i v e g r o u p Z
N
. W e c a l l N t h e R S A
m o d u l u s , e t h e e n c r y p t i o n e x p o n e n t , a n d d t h e d e c r y p t i o n e x p o n e n t . T h e p a i r h N ; e i i s t h e p u b l i c
k e y . A s i t s n a m e s u g g e s t s , i t i s p u b l i c a n d i s u s e d t o e n c r y p t m e s s a g e s . T h e p a i r h N ; d i i s c a l l e d
t h e s e c r e t k e y o r p r i v a t e k e y a n d i s k n o w n o n l y t o t h e r e c i p i e n t o f e n c r y p t e d m e s s a g e s . T h e s e c r e t
k e y e n a b l e s d e c r y p t i o n o f c i p h e r t e x t s .
A m e s s a g e i s a n i n t e g e r M 2 Z
N
. T o e n c r y p t M , o n e c o m p u t e s C = M
e
m o d N . T o d e c r y p t
t h e c i p h e r t e x t , t h e l e g i t i m a t e r e c e i v e r c o m p u t e s C
d
m o d N . I n d e e d ,
C
d
= M
e d
= M m o d N ;
w h e r e t h e l a s t e q u a l i t y f o l l o w s b y E u l e r ' s t h e o r e m
1
. O n e d e n e s t h e R S A f u n c t i o n a s x 7, !
x
e
m o d N . I f d i s g i v e n , t h e f u n c t i o n c a n b e e a s i l y i n v e r t e d u s i n g t h e a b o v e e q u a l i t y . W e r e f e r t o d
a s a t r a p d o o r e n a b l i n g o n e t o i n v e r t t h e f u n c t i o n . I n t h i s s u r v e y w e s t u d y t h e d i c u l t y o f i n v e r t i n g
1
O u r d e s c r i p t i o n s l i g h t l y o v e r s i m p l i e s R S A e n c r y p t i o n . I n p r a c t i c e , m e s s a g e s a r e p a d d e d p r i o r t o e n c r y p t i o n
u s i n g s o m e r a n d o m n e s s 1 . F o r i n s t a n c e , a s i m p l e b u t i n s u c i e n t p a d d i n g a l g o r i t h m m a y p a d a p l a i n t e x t M b y
a p p e n d i n g a f e w r a n d o m b i t s t o o n e o f t h e e n d s p r i o r t o e n c r y p t i o n . A d d i n g r a n d o m n e s s t o t h e e n c r y p t i o n p r o c e s s
i s n e c e s s a r y f o r p r o p e r s e c u r i t y .
1
8/3/2019 RSA Survey
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t h e R S A f u n c t i o n w i t h o u t t h e t r a p d o o r . W e r e f e r t o t h i s a s b r e a k i n g R S A . M o r e p r e c i s e l y , g i v e n
t h e t r i p l e h N ; e ; C i , w e a s k h o w h a r d i s i t t o c o m p u t e t h e e
t h
r o o t o f C m o d u l o N = p q w h e n t h e
f a c t o r i z a t i o n o f N i s u n k n o w n . S i n c e Z
N
i s a n i t e s e t , o n e m a y e n u m e r a t e a l l e l e m e n t s o f Z
N
u n t i l
t h e c o r r e c t M i s f o u n d . U n f o r t u n a t e l y , t h i s r e s u l t s i n a n a l g o r i t h m w i t h r u n n i n g t i m e o f o r d e r N ,
n a m e l y e x p o n e n t i a l i n t h e s i z e o f i t s i n p u t , w h i c h i s o f t h e o r d e r l o g
2
N . W e a r e i n t e r e s t e d m o s t l y
i n a l g o r i t h m s w i t h a s u b s t a n t i a l l y l o w e r r u n n i n g t i m e , n a m e l y o n t h e o r d e r o f n
c
w h e r e n = l o g
2
N
a n d c i s s o m e s m a l l c o n s t a n t l e s s t h a n 5 , s a y . S u c h a l g o r i t h m s o f t e n p e r f o r m w e l l i n p r a c t i c e o n
t h e i n p u t s i n q u e s t i o n . T h r o u g h o u t t h e p a p e r w e r e f e r t o s u c h a l g o r i t h m s a s e c i e n t .
I n t h i s s u r v e y w e m a i n l y s t u d y t h e R S A f u n c t i o n a s o p p o s e d t o t h e R S A c r y p t o s y s t e m . L o o s e l y
s p e a k i n g , t h e d i c u l t y o f i n v e r t i n g t h e R S A f u n c t i o n o n r a n d o m i n p u t s i m p l i e s t h a t g i v e n h N ; e ; C i
a n a t t a c k e r c a n n o t r e c o v e r t h e p l a i n t e x t M . H o w e v e r , a c r y p t o s y s t e m m u s t r e s i s t m o r e s u b t l e
a t t a c k s . I f h N ; e ; C i i s g i v e n , i t s h o u l d b e i n t r a c t a b l e t o r e c o v e r a n y i n f o r m a t i o n a b o u t M . T h i s i s
k n o w n a s s e m a n t i c s e c u r i t y
2
. W e d o n o t d i s c u s s t h e s e s u b t l e a t t a c k s , b u t p o i n t o u t t h a t R S A a s
d e s c r i b e d a b o v e i s n o t s e m a n t i c a l l y s e c u r e : g i v e n h N ; e ; C i , o n e c a n e a s i l y d e d u c e s o m e i n f o r m a t i o n
a b o u t t h e p l a i n t e x t M f o r i n s t a n c e , t h e J a c o b i s y m b o l o f M o v e r N c a n b e e a s i l y d e d u c e d f r o m
C . R S A c a n b e m a d e s e m a n t i c a l l y s e c u r e b y a d d i n g r a n d o m n e s s t o t h e e n c r y p t i o n p r o c e s s 1 .
T h e R S A f u n c t i o n x 7, ! x
e
m o d N i s a n e x a m p l e o f a t r a p d o o r o n e - w a y f u n c t i o n . I t c a n b e e a s i l y
c o m p u t e d , b u t a s f a r a s w e k n o w c a n n o t b e e c i e n t l y i n v e r t e d w i t h o u t t h e t r a p d o o r d e x c e p t i n
s p e c i a l c i r c u m s t a n c e s . T r a p d o o r o n e - w a y f u n c t i o n s c a n b e u s e d f o r d i g i t a l s i g n a t u r e s 1 9 . D i g i t a l
s i g n a t u r e s p r o v i d e a u t h e n t i c i t y a n d n o n r e p u d i a t i o n o f e l e c t r o n i c l e g a l d o c u m e n t s . F o r i n s t a n c e ,
t h e y a r e u s e d f o r s i g n i n g d i g i t a l c h e c k s o r e l e c t r o n i c p u r c h a s e o r d e r s . T o s i g n a m e s s a g e M 2 Z
N
u s i n g R S A , A l i c e a p p l i e s h e r p r i v a t e k e y h N ; d i t o M a n d o b t a i n s a s i g n a t u r e S = M
d
m o d N .
G i v e n h M ; S i , a n y o n e c a n v e r i f y A l i c e ' s s i g n a t u r e o n M b y c h e c k i n g t h a t S
e
= M m o d N . S i n c e
o n l y A l i c e c a n g e n e r a t e S , o n e m a y s u s p e c t t h a t a n a d v e r s a r y c a n n o t f o r g e A l i c e ' s s i g n a t u r e .
U n f o r t u n a t e l y , t h i n g s a r e n o t s o s i m p l e ; e x t r a m e a s u r e s a r e n e e d e d f o r p r o p e r s e c u r i t y . D i g i t a l
s i g n a t u r e s a r e a n i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n o f R S A . S o m e o f t h e a t t a c k s w e s u r v e y s p e c i c a l l y t a r g e t
R S A d i g i t a l s i g n a t u r e s .
A n R S A k e y p a i r i s g e n e r a t e d b y p i c k i n g t w o r a n d o m
n
2
- b i t p r i m e s a n d m u l t i p l y i n g t h e m t o
o b t a i n N . T h e n , f o r a g i v e n e n c r y p t i o n e x p o n e n t e ' N , o n e c o m p u t e s d = e
, 1
m o d ' N
u s i n g t h e e x t e n d e d E u c l i d e a n a l g o r i t h m . S i n c e t h e s e t o f p r i m e s i s s u c i e n t l y d e n s e , a r a n d o m
n
2
- b i t p r i m e c a n b e q u i c k l y g e n e r a t e d b y r e p e a t e d l y p i c k i n g r a n d o m
n
2
- b i t i n t e g e r s a n d t e s t i n g e a c h
o n e f o r p r i m a l i t y u s i n g a p r o b a b i l i s t i c p r i m a l i t y t e s t 1 9 .
1 . 1 F a c t o r i n g L a r g e I n t e g e r s
T h e r s t a t t a c k o n a n R S A p u b l i c k e y h N ; e i t o c o n s i d e r i s f a c t o r i n g t h e m o d u l u s N . G i v e n t h e
f a c t o r i z a t i o n o f N , a n a t t a c k e r c a n e a s i l y c o n s t r u c t ' N , f r o m w h i c h t h e d e c r y p t i o n e x p o n e n t
d = e
, 1
m o d ' N c a n b e f o u n d . W e r e f e r t o f a c t o r i n g t h e m o d u l u s a s a b r u t e - f o r c e a t t a c k o n
R S A . A l t h o u g h f a c t o r i n g a l g o r i t h m s h a v e b e e n s t e a d i l y i m p r o v i n g , t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e a r t i s
s t i l l f a r f r o m p o s i n g a t h r e a t t o t h e s e c u r i t y o f R S A w h e n R S A i s u s e d p r o p e r l y . F a c t o r i n g l a r g e
i n t e g e r s i s o n e o f t h e m o s t b e a u t i f u l p r o b l e m s o f c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s 1 8 , 2 0 , b u t i t i s n o t
t h e t o p i c o f t h i s a r t i c l e . F o r c o m p l e t e n e s s w e n o t e t h a t t h e c u r r e n t f a s t e s t f a c t o r i n g a l g o r i t h m i s
t h e G e n e r a l N u m b e r F i e l d S i e v e . I t s r u n n i n g t i m e o n n - b i t i n t e g e r s i s e x p
c + o 1 n
1 = 3
l o g
2 = 3
n
f o r s o m e c 2 . A t t a c k s o n R S A t h a t t a k e l o n g e r t h a n t h i s t i m e b o u n d a r e n o t i n t e r e s t i n g . T h e s e
2
A s o u r c e t h a t e x p l a i n s s e m a n t i c s e c u r i t y a n d g i v e s e x a m p l e s o f s e m a n t i c a l l y s e c u r e c i p h e r s i s 1 1 .
2
8/3/2019 RSA Survey
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i n c l u d e a t t a c k s s u c h a s e x h a u s t i v e s e a r c h f o r M a n d s o m e o l d e r a t t a c k s p u b l i s h e d r i g h t a f t e r t h e
i n i t i a l p u b l i c a t i o n o f R S A .
O u r o b j e c t i v e i s t o s u r v e y a t t a c k s o n R S A t h a t d e c r y p t m e s s a g e s w i t h o u t d i r e c t l y f a c t o r i n g t h e
R S A m o d u l u s N . N e v e r t h e l e s s , i t i s w o r t h n o t i n g t h a t s o m e s p a r s e s e t s o f R S A m o d u l i , N = p q ,
c a n b e e a s i l y f a c t o r e d . F o r i n s t a n c e , i f p , 1 i s a p r o d u c t o f p r i m e f a c t o r s l e s s t h a n B , t h e n N c a n
b e f a c t o r e d i n t i m e l e s s t h a n B
3
. S o m e i m p l e m e n t a t i o n s e x p l i c i t l y r e j e c t p r i m e s p f o r w h i c h p , 1
i s a p r o d u c t o f s m a l l p r i m e s .
A s n o t e d a b o v e , i f a n e c i e n t f a c t o r i n g a l g o r i t h m e x i s t s , t h e n R S A i s i n s e c u r e . T h e c o n v e r s e i s
a l o n g s t a n d i n g o p e n p r o b l e m : m u s t o n e f a c t o r N i n o r d e r t o e c i e n t l y c o m p u t e e
t h
r o o t s m o d u l o
N ? I s b r e a k i n g R S A a s h a r d a s f a c t o r i n g ? W e s t a t e t h e c o n c r e t e o p e n p r o b l e m b e l o w .
O p e n P r o b l e m 1 G i v e n i n t e g e r s N a n d e s a t i s f y i n g g c d e ; ' N = 1 , d e n e t h e f u n c t i o n f
e ; N
:
Z
N
! Z
N
b y f
e ; N
x = x
1 = e
m o d N . I s t h e r e a p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m A t h a t c o m p u t e s t h e
f a c t o r i z a t i o n o f N g i v e n N a n d a c c e s s t o a n o r a c l e " f
e ; N
x f o r s o m e e ?
A n o r a c l e f o r f x e v a l u a t e s t h e f u n c t i o n o n a n y i n p u t x i n u n i t t i m e . R e c e n t l y B o n e h a n d
V e n k a t e s a n 6 p r o v i d e d e v i d e n c e t h a t f o r s m a l l e t h e a n s w e r t o t h e a b o v e p r o b l e m m a y b e n o " . I n
o t h e r w o r d s , f o r s m a l l e t h e r e m a y n o t e x i s t a p o l y n o m i a l - t i m e r e d u c t i o n f r o m f a c t o r i n g t o b r e a k i n g
R S A . T h e y d o s o b y s h o w i n g t h a t i n a c e r t a i n m o d e l , a p o s i t i v e a n s w e r t o t h e p r o b l e m f o r s m a l l
e y i e l d s a n e c i e n t f a c t o r i n g a l g o r i t h m . W e n o t e t h a t a p o s i t i v e a n s w e r t o O p e n P r o b l e m 1 g i v e s
r i s e t o a c h o s e n c i p h e r t e x t a t t a c k "
3
o n R S A . T h e r e f o r e , a n e g a t i v e a n s w e r m a y b e w e l c o m e .
N e x t w e s h o w t h a t e x p o s i n g t h e p r i v a t e k e y d a n d f a c t o r i n g N a r e e q u i v a l e n t . H e n c e t h e r e i s
n o p o i n t i n h i d i n g t h e f a c t o r i z a t i o n o f N f r o m a n y p a r t y w h o k n o w s d .
F a c t 1 L e t h N ; e i b e a n R S A p u b l i c k e y . G i v e n t h e p r i v a t e k e y d , o n e c a n e c i e n t l y f a c t o r t h e
m o d u l u s N = p q . C o n v e r s e l y , g i v e n t h e f a c t o r i z a t i o n o f N , o n e c a n e c i e n t l y r e c o v e r d .
P r o o f A f a c t o r i z a t i o n o f N y i e l d s ' N . S i n c e e i s k n o w n , o n e c a n r e c o v e r d . T h i s p r o v e s t h e
c o n v e r s e s t a t e m e n t . W e n o w s h o w t h a t g i v e n d o n e c a n f a c t o r N . G i v e n d , c o m p u t e k = d e , 1 . B y
d e n i t i o n o f d a n d e w e k n o w t h a t k i s a m u l t i p l e o f ' N . S i n c e ' N i s e v e n , k = 2
t
r w i t h r o d d
a n d t 1 . W e h a v e g
k
= 1 f o r e v e r y g 2 Z
N
, a n d t h e r e f o r e g
k = 2
i s a s q u a r e r o o t o f u n i t y m o d u l o N .
B y t h e C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m , 1 h a s f o u r s q u a r e r o o t s m o d u l o N = p q . T w o o f t h e s e s q u a r e
r o o t s a r e 1 . T h e o t h e r t w o a r e x w h e r e x s a t i s e s x = 1 m o d p a n d x = , 1 m o d q . U s i n g e i t h e r
o n e o f t h e s e l a s t t w o s q u a r e r o o t s , t h e f a c t o r i z a t i o n o f N i s r e v e a l e d b y c o m p u t i n g g c d x , 1 ; N .
A s t r a i g h t f o r w a r d a r g u m e n t s h o w s t h a t i f g i s c h o s e n a t r a n d o m f r o m Z
N
t h e n w i t h p r o b a b i l i t y
a t l e a s t 1 = 2 o v e r t h e c h o i c e o f g o n e o f t h e e l e m e n t s i n t h e s e q u e n c e g
k = 2
; g
k = 4
; : : : ; g
k = 2
t
m o d N
i s a s q u a r e r o o t o f u n i t y t h a t r e v e a l s t h e f a c t o r i z a t i o n o f N . A l l e l e m e n t s i n t h e s e q u e n c e c a n b e
e c i e n t l y c o m p u t e d i n t i m e O n
3
w h e r e n = l o g
2
N .
2 E l e m e n t a r y A t t a c k s
W e b e g i n b y d e s c r i b i n g s o m e o l d e l e m e n t a r y a t t a c k s . T h e s e a t t a c k s i l l u s t r a t e b l a t a n t m i s u s e o f
R S A . A l t h o u g h m a n y s u c h a t t a c k s e x i s t , w e g i v e o n l y t w o e x a m p l e s .
3
I n t h i s c o n t e x t , c h o s e n c i p h e r t e x t a t t a c k " r e f e r s t o a n a t t a c k e r M a r v i n , w h o i s g i v e n a p u b l i c k e y h N ; e i a n d
a c c e s s t o a b l a c k b o x t h a t d e c r y p t s m e s s a g e s o f h i s c h o i c e . M a r v i n s u c c e e d s i n m o u n t i n g t h e c h o s e n c i p h e r t e x t a t t a c k
i f b y u s i n g t h e b l a c k b o x h e c a n r e c o v e r t h e p r i v a t e k e y h N ; d i
3
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2 . 1 C o m m o n M o d u l u s
T o a v o i d g e n e r a t i n g a d i e r e n t m o d u l u s N = p q f o r e a c h u s e r o n e m a y w i s h t o x N o n c e a n d
f o r a l l . T h e s a m e N i s u s e d b y a l l u s e r s . A t r u s t e d c e n t r a l a u t h o r i t y c o u l d p r o v i d e u s e r i w i t h a
u n i q u e p a i r e
i
; d
i
f r o m w h i c h u s e r i f o r m s a p u b l i c k e y h N ; e
i
i a n d a s e c r e t k e y h N ; d
i
i .
A t r s t g l a n c e t h i s m a y s e e m t o w o r k : a c i p h e r t e x t C = M
e
a
m o d N i n t e n d e d f o r A l i c e c a n n o t
b e d e c r y p t e d b y B o b s i n c e B o b d o e s n o t p o s s e s s d
a
. H o w e v e r , t h i s i s i n c o r r e c t a n d t h e r e s u l t i n g
s y s t e m i s i n s e c u r e . B y F a c t 1 B o b c a n u s e h i s o w n e x p o n e n t s e
b
; d
b
t o f a c t o r t h e m o d u l u s N . O n c e
N i s f a c t o r e d B o b c a n r e c o v e r A l i c e ' s p r i v a t e k e y d
a
f r o m h e r p u b l i c k e y e
a
. T h i s o b s e r v a t i o n , d u e
t o S i m m o n s , s h o w s t h a t a n R S A m o d u l u s s h o u l d n e v e r b e u s e d b y m o r e t h a n o n e e n t i t y .
2 . 2 B l i n d i n g
L e t h N ; d i b e B o b ' s p r i v a t e k e y a n d h N ; e i b e h i s c o r r e s p o n d i n g p u b l i c k e y . S u p p o s e a n a d v e r s a r y
M a r v i n w a n t s B o b ' s s i g n a t u r e o n a m e s s a g e M 2 Z
N
. B e i n g n o f o o l , B o b r e f u s e s t o s i g n M . M a r v i n
c a n t r y t h e f o l l o w i n g : h e p i c k s a r a n d o m r
2 Z
N
a n d s e t s M
0
= r
e
M m o d N . H e t h e n a s k s B o b
t o s i g n t h e r a n d o m m e s s a g e M
0
. B o b m a y b e w i l l i n g t o p r o v i d e h i s s i g n a t u r e S
0
o n t h e i n n o c e n t -
l o o k i n g M
0
. B u t r e c a l l t h a t S
0
= M
0
d
m o d N . M a r v i n n o w s i m p l y c o m p u t e s S = S
0
= r m o d N
a n d o b t a i n s B o b ' s s i g n a t u r e S o n t h e o r i g i n a l M . I n d e e d ,
S
e
= S
0
e
= r
e
= M
0
e d
= r
e
M
0
= r
e
= M m o d N
T h i s t e c h n i q u e , c a l l e d b l i n d i n g , e n a b l e s M a r v i n t o o b t a i n a v a l i d s i g n a t u r e o n a m e s s a g e o f h i s
c h o i c e b y a s k i n g B o b t o s i g n a r a n d o m b l i n d e d " m e s s a g e . B o b h a s n o i n f o r m a t i o n a s t o w h a t
m e s s a g e h e i s a c t u a l l y s i g n i n g . S i n c e m o s t s i g n a t u r e s c h e m e s a p p l y a o n e - w a y h a s h " t o t h e m e s s a g e
M p r i o r t o s i g n i n g 1 9 , t h e a t t a c k i s n o t a s e r i o u s c o n c e r n . A l t h o u g h w e p r e s e n t e d b l i n d i n g a s
a n a t t a c k , i t i s a c t u a l l y a u s e f u l p r o p e r t y o f R S A n e e d e d f o r i m p l e m e n t i n g a n o n y m o u s d i g i t a l c a s h
c a s h t h a t c a n b e u s e d t o p u r c h a s e g o o d s , b u t d o e s n o t r e v e a l t h e i d e n t i t y o f t h e p e r s o n m a k i n g
t h e p u r c h a s e .
3 L o w P r i v a t e E x p o n e n t
T o r e d u c e d e c r y p t i o n t i m e o r s i g n a t u r e - g e n e r a t i o n t i m e , o n e m a y w i s h t o u s e a s m a l l v a l u e o f d
r a t h e r t h a n a r a n d o m d . S i n c e m o d u l a r e x p o n e n t i a t i o n t a k e s t i m e l i n e a r i n l o g
2
d , a s m a l l d c a n
i m p r o v e p e r f o r m a n c e b y a t l e a s t a f a c t o r o f 1 0 f o r a 1 0 2 4 b i t m o d u l u s . U n f o r t u n a t e l y , a c l e v e r
a t t a c k d u e t o M . W i e n e r 2 2 s h o w s t h a t a s m a l l d r e s u l t s i n a t o t a l b r e a k o f t h e c r y p t o s y s t e m .
T h e o r e m 2 M . W i e n e r L e t N = p q w i t h q p 2 q . L e t d
1
3
N
1 = 4
. G i v e n h N ; e i w i t h
e d = 1 m o d ' N , M a r v i n c a n e c i e n t l y r e c o v e r d .
P r o o f T h e p r o o f i s b a s e d o n a p p r o x i m a t i o n s u s i n g c o n t i n u e d f r a c t i o n s . S i n c e e d = 1 m o d ' N ,
t h e r e e x i s t s a k s u c h t h a t e d
, k ' N = 1 . T h e r e f o r e ,
e
' N
,
k
d
=
1
d ' N
:
H e n c e ,
k
d
i s a n a p p r o x i m a t i o n o f
e
' N
. A l t h o u g h M a r v i n d o e s n o t k n o w ' N , h e m a y u s e N t o
a p p r o x i m a t e i t . I n d e e d , s i n c e ' N = N , p , q + 1 a n d p + q , 1 3
p
N , w e h a v e j N , ' N j 3
p
N .
4
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U s i n g N i n p l a c e o f ' N , w e o b t a i n :
e
N
,
k
d
=
e d , k ' N , k N + k ' N
N d
=
1 , k N , ' N
N d
3 k
p
N
N d
=
3 k
d
p
N
:
N o w , k ' N = e d , 1 e d . S i n c e e ' N , w e s e e t h a t k d
1
3
N
1 = 4
. H e n c e w e o b t a i n :
e
N
,
k
d
1
d N
1 = 4
1
2 d
2
:
T h i s i s a c l a s s i c a p p r o x i m a t i o n r e l a t i o n . T h e n u m b e r o f f r a c t i o n s
k
d
w i t h d N a p p r o x i m a t i n g
e
N
s o
c l o s e l y i s b o u n d e d b y l o g
2
N . I n f a c t , a l l s u c h f r a c t i o n s a r e o b t a i n e d a s c o n v e r g e n t s o f t h e c o n t i n u e d
f r a c t i o n e x p a n s i o n o f
e
N
1 2 , T h . 1 7 7 . A l l o n e h a s t o d o i s c o m p u t e t h e l o g N c o n v e r g e n t s o f t h e
c o n t i n u e d f r a c t i o n f o r
e
N
. O n e o f t h e s e w i l l e q u a l
k
d
. S i n c e e d , k ' N = 1 , w e h a v e g c d k ; d = 1 ,
a n d h e n c e
k
d
i s a r e d u c e d f r a c t i o n . T h i s i s a l i n e a r - t i m e a l g o r i t h m f o r r e c o v e r i n g t h e s e c r e t k e y d .
S i n c e t y p i c a l l y N i s 1 0 2 4 b i t s , i t f o l l o w s t h a t d m u s t b e a t l e a s t 2 5 6 b i t s l o n g i n o r d e r t o a v o i d
t h i s a t t a c k . T h i s i s u n f o r t u n a t e f o r l o w - p o w e r d e v i c e s s u c h a s s m a r t c a r d s " , w h e r e a s m a l l d w o u l d
r e s u l t i n b i g s a v i n g s . A l l i s n o t l o s t h o w e v e r . W i e n e r d e s c r i b e s a n u m b e r o f t e c h n i q u e s t h a t e n a b l e
f a s t d e c r y p t i o n a n d a r e n o t s u s c e p t i b l e t o h i s a t t a c k :
L a r g e e : S u p p o s e i n s t e a d o f r e d u c i n g e m o d u l o ' N , o n e u s e s h N ; e
0
i f o r t h e p u b l i c k e y , w h e r e
e
0
= e + t ' N f o r s o m e l a r g e t . C l e a r l y e
0
c a n b e u s e d i n p l a c e o f e f o r m e s s a g e e n c r y p t i o n .
H o w e v e r , w h e n a l a r g e v a l u e o f e i s u s e d , t h e k i n t h e a b o v e p r o o f i s n o l o n g e r s m a l l . A s i m p l e
c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t i f e
0
N
1 5
t h e n n o m a t t e r h o w s m a l l d i s , t h e a b o v e a t t a c k c a n n o t
b e m o u n t e d . U n f o r t u n a t e l y , l a r g e v a l u e s o f e r e s u l t i n i n c r e a s e d e n c r y p t i o n t i m e .
U s i n g C R T : A n a l t e r n a t e a p p r o a c h i s t o u s e t h e C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m C R T . S u p p o s e
o n e c h o o s e s d s u c h t h a t b o t h d
p
= d m o d p , 1 a n d d
q
= d m o d q , 1 a r e s m a l l , s a y
1 2 8 b i t s e a c h . T h e n f a s t d e c r y p t i o n o f a c i p h e r t e x t C c a n b e c a r r i e d o u t a s f o l l o w s : r s t
c o m p u t e M
p
= C
d
p
m o d p a n d M
q
= C
d
q
m o d q . T h e n u s e t h e C R T t o c o m p u t e t h e u n i q u e
v a l u e M 2 Z
N
s a t i s f y i n g M = M
p
m o d p a n d M = M
q
m o d q . T h e r e s u l t i n g M s a t i s e s
M = C
d
m o d N a s r e q u i r e d . T h e p o i n t i s t h a t a l t h o u g h d
p
a n d d
q
a r e s m a l l , t h e v a l u e o f
d m o d ' N c a n b e l a r g e , i . e . , o n t h e o r d e r o f ' N . A s a r e s u l t , t h e a t t a c k o f T h e o r e m 2
d o e s n o t a p p l y . W e n o t e t h a t i f h N ; e i i s g i v e n , t h e r e e x i s t s a n a t t a c k e n a b l i n g a n a d v e r s a r y
t o f a c t o r N i n t i m e O
,
m i n
p
d
p
;
p
d
q
. H e n c e , d
p
a n d d
q
c a n n o t b e m a d e t o o s m a l l .
W e d o n o t k n o w w h e t h e r e i t h e r o f t h e s e m e t h o d s i s s e c u r e . A l l w e k n o w i s t h a t W i e n e r ' s a t t a c k
i s i n e e c t i v e a g a i n s t t h e m . T h e o r e m 2 w a s r e c e n t l y i m p r o v e d b y B o n e h a n d D u r f e e 4 , w h o s h o w
t h a t a s l o n g a s d N
0 2 9 2
, a n a d v e r s a r y c a n e c i e n t l y r e c o v e r d f r o m h N ; e i . T h e s e r e s u l t s s h o w
t h a t W i e n e r ' s b o u n d i s n o t t i g h t . I t i s l i k e l y t h a t t h e c o r r e c t b o u n d i s d N
0 5
. A t t h e t i m e o f
t h i s w r i t i n g , t h i s i s a n o p e n p r o b l e m .
O p e n P r o b l e m 2 L e t N = p q a n d d N
0 5
. I f M a r v i n i s g i v e n h N ; e i w i t h e d = 1 m o d ' N
a n d e ' N , c a n h e e c i e n t l y r e c o v e r d ?
5
8/3/2019 RSA Survey
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4 L o w P u b l i c E x p o n e n t
T o r e d u c e e n c r y p t i o n o r s i g n a t u r e - v e r i c a t i o n t i m e , i t i s c u s t o m a r y t o u s e a s m a l l p u b l i c e x p o n e n t
e . T h e s m a l l e s t p o s s i b l e v a l u e f o r e i s 3 , b u t t o d e f e a t c e r t a i n a t t a c k s t h e v a l u e e = 2
1 6
+ 1 = 6 5 5 3 7
i s r e c o m m e n d e d . W h e n t h e v a l u e 2
1 6
+ 1 i s u s e d , s i g n a t u r e v e r i c a t i o n r e q u i r e s 1 7 m u l t i p l i c a t i o n s ,
a s o p p o s e d t o r o u g h l y 1 0 0 0 w h e n a r a n d o m e ' N i s u s e d . U n l i k e t h e a t t a c k o f t h e p r e v i o u s
s e c t i o n , a t t a c k s t h a t a p p l y w h e n a s m a l l e i s u s e d a r e f a r f r o m a t o t a l b r e a k .
4 . 1 C o p p e r s m i t h ' s T h e o r e m
T h e m o s t p o w e r f u l a t t a c k s o n l o w p u b l i c e x p o n e n t R S A a r e b a s e d o n a t h e o r e m d u e t o C o p p e r -
s m i t h 7 . C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m h a s m a n y a p p l i c a t i o n s , o n l y s o m e o f w h i c h w i l l b e c o v e r e d h e r e .
T h e p r o o f u s e s t h e L L L l a t t i c e b a s i s r e d u c t i o n a l g o r i t h m 1 7 a s e x p l a i n e d b e l o w .
T h e o r e m 3 C o p p e r s m i t h L e t N b e a n i n t e g e r a n d f 2 Z x b e a m o n i c p o l y n o m i a l o f d e g r e e
d . S e t X = N
1
d
,
f o r s o m e 0 . T h e n , g i v e n h N ; f i M a r v i n c a n e c i e n t l y n d a l l i n t e g e r s
j x
0
j X s a t i s f y i n g f x
0
= 0 m o d N . T h e r u n n i n g t i m e i s d o m i n a t e d b y t h e t i m e i t t a k e s t o r u n
t h e L L L a l g o r i t h m o n a l a t t i c e o f d i m e n s i o n O w w i t h w = m i n 1 = ; l o g
2
N .
T h e t h e o r e m p r o v i d e s a n a l g o r i t h m f o r e c i e n t l y n d i n g a l l r o o t s o f f m o d u l o N t h a t a r e
l e s s t h a n X = N
1 = d
. A s X g e t s s m a l l e r , t h e a l g o r i t h m ' s r u n n i n g t i m e d e c r e a s e s . T h e t h e o r e m ' s
s t r e n g t h i s i t s a b i l i t y t o n d s m a l l r o o t s o f p o l y n o m i a l s m o d u l o a c o m p o s i t e N . W h e n w o r k i n g
m o d u l o a p r i m e , t h e r e i s n o r e a s o n t o u s e C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m s i n c e o t h e r , f a r b e t t e r , r o o t - n d i n g
a l g o r i t h m s e x i s t .
W e s k e t c h t h e m a i n i d e a s b e h i n d t h e p r o o f o f C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m . W e f o l l o w a s i m p l i e d
a p p r o a c h d u e t o H o w g r a v e - G r a h a m 1 4 . G i v e n a p o l y n o m i a l h x =
P
a
i
x
i
2 Z x , d e n e k h k
2
=
P
i
j a
i
j
2
. T h e p r o o f r e l i e s o n t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n .
L e m m a 4 L e t h x 2 Z x b e a p o l y n o m i a l o f d e g r e e d a n d l e t X b e a p o s i t i v e i n t e g e r . S u p p o s e
k h x X k N =
p
d . I f j x
0
j X s a t i s e s h x
0
= 0 m o d N , t h e n h x
0
= 0 h o l d s o v e r t h e i n t e g e r s .
P r o o f O b s e r v e f r o m t h e S c h w a r z i n e q u a l i t y t h a t
j h x
0
j =
X
a
i
x
i
0
=
X
a
i
X
i
x
0
X
i
X
a
i
X
i
x
0
X
i
X
a
i
X
i
p
d k h x X k N :
S i n c e h x
0
= 0 m o d N , w e c o n c l u d e t h a t h x
0
= 0 .
T h e l e m m a s t a t e s t h a t i f h i s a p o l y n o m i a l w i t h l o w n o r m , t h e n a l l s m a l l r o o t s o f h m o d N a r e
a l s o r o o t s o f h o v e r t h e i n t e g e r s . T h e l e m m a s u g g e s t s t h a t t o n d a s m a l l r o o t x
0
o f f x m o d N w e
s h o u l d l o o k f o r a n o t h e r p o l y n o m i a l h 2 Z x w i t h s m a l l n o r m h a v i n g t h e s a m e r o o t s a s f m o d u l o
N . T h e n x
0
w i l l b e a r o o t o f h o v e r t h e i n t e g e r s a n d c a n b e e a s i l y f o u n d . T o d o s o , w e m a y s e a r c h
f o r a p o l y n o m i a l g 2 Z x s u c h t h a t h = g f h a s l o w n o r m , i . e . , n o r m l e s s t h a n N . T h i s a m o u n t s t o
s e a r c h i n g f o r a n i n t e g e r l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e p o l y n o m i a l s f ; x f ; x
2
f ; : : : ; x
r
f w i t h l o w n o r m .
U n f o r t u n a t e l y , m o s t o f t e n t h e r e i s n o n o n t r i v i a l l i n e a r c o m b i n a t i o n w i t h s u c i e n t l y s m a l l n o r m .
6
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 7/16
C o p p e r s m i t h f o u n d a t r i c k t o s o l v e t h e p r o b l e m : i f f x
0
= 0 m o d N , t h e n f x
0
k
= 0 m o d N
k
f o r a n y k . M o r e g e n e r a l l y , d e n e t h e f o l l o w i n g p o l y n o m i a l s :
g
u ; v
x = N
m , v
x
u
f x
v
f o r s o m e p r e d e n e d m . T h e n x
0
i s a r o o t o f g
u ; v
x m o d u l o N
m
f o r a n y u 0 a n d 0 v m .
T o u s e L e m m a 4 w e m u s t n d a n i n t e g e r l i n e a r c o m b i n a t i o n h x o f t h e p o l y n o m i a l s g
u ; v
x s u c h
t h a t h x X h a s n o r m l e s s t h a n N
m
r e c a l l t h a t X i s a n u p p e r b o u n d o n x
0
s a t i s f y i n g X N
1 = d
.
T h a n k s t o t h e r e l a x e d u p p e r b o u n d o n t h e n o r m N
m
r a t h e r t h a n N , o n e c a n s h o w t h a t f o r
s u c i e n t l y l a r g e m , t h e r e a l w a y s e x i s t s a l i n e a r c o m b i n a t i o n h x s a t i s f y i n g t h e r e q u i r e d b o u n d .
O n c e h x i s f o u n d , L e m m a 4 i m p l i e s t h a t i t h a s x
0
a s a r o o t o v e r t h e i n t e g e r s . C o n s e q u e n t l y x
0
c a n b e e a s i l y f o u n d .
I t r e m a i n s t o s h o w h o w t o n d h x e c i e n t l y . T o d o s o , w e m u s t r s t s t a t e a f e w b a s i c f a c t s
a b o u t l a t t i c e s i n Z
w
. W e r e f e r t o 1 7 f o r a c o n c i s e i n t r o d u c t i o n t o t h e t o p i c . L e t u
1
; : : : ; u
w
2 Z
w
b e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t v e c t o r s . A f u l l - r a n k l a t t i c e L s p a n n e d b y h u
1
; : : : ; u
w
i i s t h e s e t o f a l l
i n t e g e r l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f u
1
; : : : ; u
w
. T h e d e t e r m i n a n t o f L i s d e n e d a s t h e d e t e r m i n a n t o f
t h e w w s q u a r e m a t r i x w h o s e r o w s a r e t h e v e c t o r s u
1
; : : : ; u
w
.
I n o u r c a s e , w e v i e w t h e p o l y n o m i a l s g
u ; v
x X a s v e c t o r s a n d s t u d y t h e l a t t i c e L s p a n n e d b y
t h e m . W e l e t v = 0 ; : : : ; m a n d u = 0 ; : : : ; d , 1 , a n d h e n c e t h e l a t t i c e h a s d i m e n s i o n w = d m + 1 .
F o r e x a m p l e , w h e n f i s a q u a d r a t i c m o n i c p o l y n o m i a l a n d m = 3 , t h e r e s u l t i n g l a t t i c e i s s p a n n e d
b y t h e r o w s o f t h e f o l l o w i n g m a t r i x :
1 x x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
g
0 ; 0
x X
g
1 ; 0
x X
g
0 ; 1
x X
g
1 ; 1
x X
g
0 ; 2
x X
g
1 ; 2
x X
g
0 ; 3
x X
g
1 ; 3
x X
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
N
3
X N
3
X
2
N
2
X
3
N
2
X
4
N
X
5
N
X
6
X
7
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
T h e e n t r i e s c o r r e s p o n d t o c o e c i e n t s o f t h e p o l y n o m i a l s w h o s e v a l u e w e i g n o r e . A l l e m p t y
e n t r i e s a r e z e r o . S i n c e t h e m a t r i x i s t r i a n g u l a r , i t s d e t e r m i n a n t i s t h e p r o d u c t o f t h e e l e m e n t s o n
t h e d i a g o n a l w h i c h a r e e x p l i c i t l y g i v e n a b o v e . O u r o b j e c t i v e i s t o n d s h o r t v e c t o r s i n t h i s l a t t i c e .
A c l a s s i c r e s u l t o f H e r m i t e s t a t e s t h a t a n y l a t t i c e L o f d i m e n s i o n w c o n t a i n s a n o n z e r o p o i n t
v 2 L w h o s e L
2
n o r m s a t i s e s k v k
w
d e t L
1 = w
, w h e r e
w
i s a c o n s t a n t d e p e n d i n g o n l y o n w .
H e r m i t e ' s b o u n d c a n b e u s e d t o s h o w t h a t f o r l a r g e e n o u g h m o u r l a t t i c e c o n t a i n s v e c t o r s o f n o r m
l e s s t h a n N
m
, a s r e q u i r e d . T h e q u e s t i o n i s w h e t h e r w e c a n e c i e n t l y c o n s t r u c t a s h o r t v e c t o r i n
L w h o s e l e n g t h i s n o t m u c h l a r g e r t h a n t h e H e r m i t e b o u n d . T h e L L L a l g o r i t h m i s a n e c i e n t
a l g o r i t h m t h a t d o e s p r e c i s e l y t h a t .
F a c t 5 L L L L e t L b e a l a t t i c e s p a n n e d b y h u
1
; : : : ; u
w
i . W h e n h u
1
; : : : ; u
w
i a r e g i v e n a s i n p u t ,
t h e n t h e L L L a l g o r i t h m o u t p u t s a p o i n t v 2 L s a t i s f y i n g
k v k 2
w = 4
d e t L
1 = w
:
T h e r u n n i n g t i m e f o r L L L i s q u a r t i c i n t h e l e n g t h o f t h e i n p u t .
7
8/3/2019 RSA Survey
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T h e L L L a l g o r i t h m n a m e d a f t e r i t s i n v e n t o r s L . L o v a s z , A . L e n s t r a , a n d H . L e n s t r a J r . h a s
m a n y a p p l i c a t i o n s i n b o t h c o m p u t a t i o n a l n u m b e r t h e o r y a n d c r y p t o g r a p h y . I t s d i s c o v e r y i n 1 9 8 2
p r o v i d e d a n e c i e n t a l g o r i t h m f o r f a c t o r i n g p o l y n o m i a l s o v e r t h e i n t e g e r s a n d , m o r e g e n e r a l l y ,
o v e r n u m b e r r i n g s . L L L i s f r e q u e n t l y u s e d t o a t t a c k v a r i o u s c r y p t o s y s t e m s . F o r i n s t a n c e , m a n y
c r y p t o s y s t e m s b a s e d o n t h e k n a p s a c k p r o b l e m " h a v e b e e n b r o k e n u s i n g L L L .
U s i n g L L L , w e c a n c o m p l e t e t h e p r o o f o f C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m . T o e n s u r e t h a t t h e v e c t o r
p r o d u c e d b y L L L s a t i s e s t h e b o u n d o f L e m m a 4 w e n e e d
2
w = 4
d e t L
1 = w
N
m
=
p
w ;
w h e r e w = d m + 1 i s t h e d i m e n s i o n o f L . A r o u t i n e c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t f o r l a r g e e n o u g h m t h e
b o u n d i s s a t i s e d . I n d e e d , w h e n X = N
1
d
,
, i t s u c e s t o t a k e m = O k = d w i t h k = m i n
1
; l o g N .
C o n s e q u e n t l y , t h e r u n n i n g t i m e i s d o m i n a t e d b y r u n n i n g L L L o n a l a t t i c e o f d i m e n s i o n O k , a s
r e q u i r e d .
A n a t u r a l q u e s t i o n i s w h e t h e r C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m c a n b e a p p l i e d t o b i v a r i a t e a n d m u l t i -
v a r i a t e p o l y n o m i a l s . I f f x ; y 2 Z
N
x ; y i s g i v e n f o r w h i c h t h e r e e x i s t s a r o o t x
0
; y
0
w i t h j x
0
y
0
j
s u i t a b l y b o u n d e d , c a n M a r v i n e c i e n t l y n d x
0
; y
0
? A l t h o u g h t h e s a m e t e c h n i q u e a p p e a r s t o
w o r k f o r s o m e b i v a r i a t e p o l y n o m i a l s , i t i s c u r r e n t l y a n o p e n p r o b l e m t o p r o v e i t . A s a n i n c r e a s i n g
n u m b e r o f r e s u l t s d e p e n d o n a b i v a r i a t e e x t e n s i o n o f C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m , a r i g o r o u s a l g o r i t h m
w i l l b e v e r y u s e f u l .
O p e n P r o b l e m 3 F i n d g e n e r a l c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m c a n b e g e n e r a l i z e d
t o b i v a r i a t e p o l y n o m i a l s .
4 . 2 H a s t a d ' s B r o a d c a s t A t t a c k
A s a r s t a p p l i c a t i o n o f C o p p e r s m i t h ' s t h e o r e m , w e p r e s e n t a n i m p r o v e m e n t t o a n o l d a t t a c k d u e
t o H a s t a d 1 3 . S u p p o s e B o b w i s h e s t o s e n d a n e n c r y p t e d m e s s a g e M t o a n u m b e r o f p a r t i e s
P
1
; P
2
; : : : ; P
k
. E a c h p a r t y h a s i t s o w n R S A k e y h N
i
; e
i
i . W e a s s u m e M i s l e s s t h a n a l l t h e N
i
' s .
N a i v e l y , t o s e n d M , B o b e n c r y p t s i t u s i n g e a c h o f t h e p u b l i c k e y s a n d s e n d s o u t t h e i
t h
c i p h e r t e x t
t o P
i
. A n a t t a c k e r M a r v i n c a n e a v e s d r o p o n t h e c o n n e c t i o n o u t o f B o b ' s s i g h t a n d c o l l e c t t h e k
t r a n s m i t t e d c i p h e r t e x t s .
F o r s i m p l i c i t y , s u p p o s e a l l p u b l i c e x p o n e n t s e
i
a r e e q u a l t o 3 . A s i m p l e a r g u m e n t s h o w s t h a t
M a r v i n c a n r e c o v e r M i f k 3 . I n d e e d , M a r v i n o b t a i n s C
1
; C
2
; C
3
, w h e r e
C
1
= M
3
m o d N
1
; C
2
= M
3
m o d N
2
; C
3
= M
3
m o d N
3
:
W e m a y a s s u m e t h a t g c d N
i
; N
j
= 1 f o r a l l i 6= j s i n c e o t h e r w i s e M a r v i n c a n f a c t o r s o m e o f t h e
N
i
' s . H e n c e , a p p l y i n g t h e C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m C R T t o C
1
; C
2
; C
3
g i v e s a C
0
2 Z
N
1
N
2
N
3
s a t i s f y i n g C
0
= M
3
m o d N
1
N
2
N
3
. S i n c e M i s l e s s t h a n a l l t h e N
i
' s , w e h a v e M
3
N
1
N
2
N
3
. T h e n
C
0
= M
3
h o l d s o v e r t h e i n t e g e r s . T h u s , M a r v i n m a y r e c o v e r M b y c o m p u t i n g t h e r e a l c u b e r o o t o f
C
0
. M o r e g e n e r a l l y , i f a l l p u b l i c e x p o n e n t s a r e e q u a l t o e , M a r v i n c a n r e c o v e r M a s s o o n a s k e .
T h e a t t a c k i s f e a s i b l e o n l y w h e n a s m a l l e i s u s e d .
H a s t a d 1 3 d e s c r i b e s a f a r s t r o n g e r a t t a c k . T o m o t i v a t e H a s t a d ' s r e s u l t , c o n s i d e r a n a i v e d e f e n s e
a g a i n s t t h e a b o v e a t t a c k . R a t h e r t h a n b r o a d c a s t i n g t h e e n c r y p t i o n o f M , B o b c o u l d p a d " t h e
m e s s a g e p r i o r t o e n c r y p t i o n . F o r i n s t a n c e , i f M i s m b i t s l o n g , B o b c o u l d s e n d M
i
= i 2
m
+ M
t o p a r t y P
i
. S i n c e M a r v i n o b t a i n s e n c r y p t i o n s o f d i e r e n t m e s s a g e s , h e c a n n o t m o u n t t h e a t t a c k .
8
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 9/16
U n f o r t u n a t e l y , H a s t a d s h o w e d t h a t t h i s l i n e a r p a d d i n g i s i n s e c u r e . I n f a c t , h e p r o v e d t h a t a p p l y i n g
a n y x e d p o l y n o m i a l t o t h e m e s s a g e p r i o r t o e n c r y p t i o n d o e s n o t p r e v e n t t h e a t t a c k .
S u p p o s e t h a t f o r e a c h o f t h e p a r t i c i p a n t s P
1
; : : : ; P
k
, B o b h a s a x e d p u b l i c p o l y n o m i a l f
i
2
Z
N
i
x . T o b r o a d c a s t a m e s s a g e M , B o b s e n d s t h e e n c r y p t i o n o f f
i
M t o p a r t y P
i
. B y e a v e s d r o p -
p i n g , M a r v i n l e a r n s C
i
= f
i
M
e
i
m o d N
i
f o r i = 1 ; : : : ; k . H a s t a d s h o w e d t h a t i f e n o u g h p a r t i e s
a r e i n v o l v e d , M a r v i n c a n r e c o v e r t h e p l a i n t e x t M f r o m a l l t h e c i p h e r t e x t s . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m
i s a s t r o n g e r v e r s i o n o f H a s t a d ' s o r i g i n a l r e s u l t .
T h e o r e m 6 H a s t a d L e t N
1
; : : : N
k
b e p a i r w i s e r e l a t i v e l y p r i m e i n t e g e r s a n d s e t N
m i n
= m i n
i
N
i
.
L e t g
i
2 Z
N
i
x b e k p o l y n o m i a l s o f m a x i m u m d e g r e e d . S u p p o s e t h e r e e x i s t s a u n i q u e M N
m i n
s a t i s f y i n g
g
i
M = 0 m o d N
i
f o r a l l i = 1 ; : : : ; k :
U n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t k d , o n e c a n e c i e n t l y n d M g i v e n h N
i
; g
i
i
k
i = 1
.
P r o o f L e t N = N
1
N
k
. W e m a y a s s u m e t h a t a l l g
i
' s a r e m o n i c . I n d e e d i f , f o r s o m e i ,
t h e l e a d i n g c o e c i e n t o f g
i
i s n o t i n v e r t i b l e i n Z
N
i
, t h e n t h e f a c t o r i z a t i o n o f N
i
i s e x p o s e d . B y
m u l t i p l y i n g e a c h g
i
b y t h e a p p r o p r i a t e p o w e r o f x , w e m a y a s s u m e t h e y a l l h a v e d e g r e e d . C o n s t r u c t
t h e p o l y n o m i a l
g x =
k
X
i = 1
T
i
g
i
x ; w h e r e T
i
=
1 m o d N
j
i f i = j
0 m o d N
j
i f i
6= j :
T h e T
i
' s a r e i n t e g e r s k n o w n a s t h e C h i n e s e R e m a i n d e r C o e c i e n t s . T h e n g x m u s t b e m o n i c
s i n c e i t i s m o n i c m o d u l o a l l t h e N
i
. I t s d e g r e e i s d . F u r t h e r m o r e , w e k n o w t h a t g M = 0 m o d N .
T h e o r e m 6 n o w f o l l o w s f r o m T h e o r e m 3 s i n c e M N
m i n
N
1 = k
N
1 = d
.
T h e t h e o r e m s h o w s t h a t a s y s t e m o f u n i v a r i a t e e q u a t i o n s m o d u l o r e l a t i v e l y p r i m e c o m p o s i t e s
c a n b e e c i e n t l y s o l v e d , a s s u m i n g s u c i e n t l y m a n y e q u a t i o n s a r e p r o v i d e d . B y s e t t i n g g
i
=
f
e
i
i
, C
i
m o d N
i
, w e s e e t h a t M a r v i n c a n r e c o v e r M f r o m t h e g i v e n c i p h e r t e x t s w h e n e v e r t h e
n u m b e r o f p a r t i e s i s a t l e a s t d , w h e r e d i s t h e m a x i m u m o f e
i
d e g f
i
o v e r a l l i = 1 ; : : : ; k . I n
p a r t i c u l a r , i f a l l e
i
' s a r e e q u a l t o e a n d B o b s e n d s o u t l i n e a r l y r e l a t e d m e s s a g e s , t h e n M a r v i n c a n
r e c o v e r t h e p l a i n t e x t a s s o o n a s k e .
H a s t a d ' s o r i g i n a l t h e o r e m i s w e a k e r t h a n t h e o n e s t a t e d a b o v e . R a t h e r t h a n d p o l y n o m i a l s ,
H a s t a d r e q u i r e d d d + 1 = 2 p o l y n o m i a l s . H a s t a d ' s p r o o f i s s i m i l a r t o t h e p r o o f o f C o p p e r s m i t h ' s
t h e o r e m d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . H o w e v e r , H a s t a d d o e s n o t u s e p o w e r s o f g i n t h e l a t t i c e
a n d c o n s e q u e n t l y o b t a i n s a w e a k e r b o u n d .
T o c o n c l u d e t h i s s e c t i o n w e n o t e t h a t t o p r o p e r l y d e f e n d a g a i n s t t h e b r o a d c a s t a t t a c k a b o v e ,
o n e m u s t u s e a r a n d o m i z e d p a d 1 r a t h e r t h a n a x e d o n e .
4 . 3 F r a n k l i n - R e i t e r R e l a t e d M e s s a g e A t t a c k
F r a n k l i n a n d R e i t e r 8 f o u n d a c l e v e r a t t a c k w h e n B o b s e n d s A l i c e r e l a t e d e n c r y p t e d m e s s a g e s
u s i n g t h e s a m e m o d u l u s . L e t h N ; e i b e A l i c e ' s p u b l i c k e y . S u p p o s e M
1
; M
2
2 Z
N
a r e t w o d i s t i n c t
m e s s a g e s s a t i s f y i n g M
1
= f M
2
m o d N f o r s o m e p u b l i c l y k n o w n p o l y n o m i a l f 2 Z
N
x . T o s e n d
M
1
a n d M
2
t o A l i c e , B o b m a y n a i v e l y e n c r y p t t h e m e s s a g e s a n d t r a n s m i t t h e r e s u l t i n g c i p h e r t e x t s
C
1
; C
2
. W e s h o w t h a t g i v e n C
1
; C
2
, M a r v i n c a n e a s i l y r e c o v e r M
1
; M
2
. A l t h o u g h t h e a t t a c k w o r k s
f o r a n y s m a l l e , w e s t a t e t h e f o l l o w i n g l e m m a f o r e = 3 i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e p r o o f .
9
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 10/16
L e m m a 7 F R S e t e = 3 a n d l e t h N ; e i b e a n R S A p u b l i c k e y . L e t M
1
6= M
2
2 Z
N
s a t i s f y
M
1
= f M
2
m o d N f o r s o m e l i n e a r p o l y n o m i a l f = a x + b
2 Z
N
x w i t h b
6= 0 . T h e n , g i v e n
h N ; e ; C
1
; C
2
; f
i , M a r v i n c a n r e c o v e r M
1
; M
2
i n t i m e q u a d r a t i c i n l o g N .
P r o o f T o k e e p t h i s p a r t o f t h e p r o o f g e n e r a l , w e s t a t e i t u s i n g a n a r b i t r a r y e r a t h e r t h a n
r e s t r i c t i n g t o e = 3 . S i n c e C
1
= M
e
1
m o d N , w e k n o w t h a t M
2
i s a r o o t o f t h e p o l y n o m i a l
g
1
x = f x
e
, C
1
2 Z
N
x . S i m i l a r l y , M
2
i s a r o o t o f g
2
x = x
e
, C
2
2 Z
N
x . T h e l i n e a r f a c t o r
x , M
2
d i v i d e s b o t h p o l y n o m i a l s . T h e r e f o r e , M a r v i n m a y u s e t h e E u c l i d e a n a l g o r i t h m
4
t o c o m p u t e
t h e g c d o f g
1
a n d g
2
. I f t h e g c d t u r n s o u t t o b e l i n e a r , M
2
i s f o u n d . T h e g c d c a n b e c o m p u t e d i n
q u a d r a t i c t i m e i n e a n d l o g N .
W e s h o w t h a t w h e n e = 3 t h e g c d m u s t b e l i n e a r . T h e p o l y n o m i a l x
3
, C
2
f a c t o r s m o d u l o
b o t h p a n d q i n t o a l i n e a r f a c t o r a n d a n i r r e d u c i b l e q u a d r a t i c f a c t o r r e c a l l t h a t g c d e ; ' N = 1
a n d h e n c e x
3
, C
2
h a s o n l y o n e r o o t i n Z
N
. S i n c e g
2
c a n n o t d i v i d e g
1
, t h e g c d m u s t b e l i n e a r .
F o r e 3 t h e g c d i s a l m o s t a l w a y s l i n e a r . H o w e v e r , f o r s o m e r a r e M
1
; M
2
, a n d f , i t i s p o s s i b l e t o
o b t a i n a n o n l i n e a r g c d , i n w h i c h c a s e t h e a t t a c k f a i l s .
F o r e 3 t h e a t t a c k t a k e s t i m e q u a d r a t i c i n e . C o n s e q u e n t l y , i t c a n b e a p p l i e d o n l y w h e n a
s m a l l p u b l i c e x p o n e n t e i s u s e d . F o r l a r g e e t h e w o r k i n c o m p u t i n g t h e g c d i s p r o h i b i t i v e . I t i s
a n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n t h o u g h l i k e l y t o b e d i c u l t t o d e v i s e s u c h a n a t t a c k f o r a r b i t r a r y e . I n
p a r t i c u l a r , c a n t h e g c d o f g
1
a n d g
2
a b o v e b e f o u n d i n t i m e p o l y n o m i a l i n l o g e ?
4 . 4 C o p p e r s m i t h ' s S h o r t P a d A t t a c k
T h e F r a n k l i n - R e i t e r a t t a c k m i g h t s e e m a b i t a r t i c i a l . A f t e r a l l , w h y s h o u l d B o b s e n d A l i c e t h e
e n c r y p t i o n o f r e l a t e d m e s s a g e s ? C o p p e r s m i t h s t r e n g t h e n e d t h e a t t a c k a n d p r o v e d a n i m p o r t a n t
r e s u l t o n p a d d i n g 7 .
A n a i v e r a n d o m p a d d i n g a l g o r i t h m m i g h t p a d a p l a i n t e x t M b y a p p e n d i n g a f e w r a n d o m b i t s t o
o n e o f t h e e n d s . T h e f o l l o w i n g a t t a c k p o i n t s o u t t h e d a n g e r o f s u c h s i m p l i s t i c p a d d i n g . S u p p o s e B o b
s e n d s a p r o p e r l y - p a d d e d e n c r y p t i o n o f M t o A l i c e . A n a t t a c k e r , M a r v i n , i n t e r c e p t s t h e c i p h e r t e x t
a n d p r e v e n t s i t f r o m r e a c h i n g i t s d e s t i n a t i o n . B o b n o t i c e s t h a t A l i c e d i d n o t r e s p o n d t o h i s m e s s a g e
a n d d e c i d e s t o r e s e n d M t o A l i c e . H e r a n d o m l y p a d s M a n d t r a n s m i t s t h e r e s u l t i n g c i p h e r t e x t .
M a r v i n n o w h a s t w o c i p h e r t e x t s c o r r e s p o n d i n g t o t w o e n c r y p t i o n s o f t h e s a m e m e s s a g e u s i n g t w o
d i e r e n t r a n d o m p a d s . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s h o w s t h a t a l t h o u g h h e d o e s n o t k n o w t h e p a d s
u s e d , M a r v i n i s a b l e t o r e c o v e r t h e p l a i n t e x t .
T h e o r e m 8 L e t h N ; e i b e a p u b l i c R S A k e y w h e r e N i s n - b i t s l o n g . S e t m = b n = e
2
c . L e t M 2 Z
N
b e a m e s s a g e o f l e n g t h a t m o s t n , m b i t s . D e n e M
1
= 2
m
M + r
1
a n d M
2
= 2
m
M + r
2
, w h e r e
r
1
a n d r
2
a r e d i s t i n c t i n t e g e r s w i t h 0 r
1
; r
2
2
m
. I f M a r v i n i s g i v e n h N ; e i a n d t h e e n c r y p t i o n s
C
1
; C
2
o f M
1
; M
2
b u t i s n o t g i v e n r
1
o r r
2
, h e c a n e c i e n t l y r e c o v e r M .
P r o o f D e n e g
1
x ; y = x
e
, C
1
a n d g
2
x ; y = x + y
e
, C
2
. W e k n o w t h a t w h e n y = r
2
, r
1
,
t h e s e p o l y n o m i a l s h a v e M
1
a s a c o m m o n r o o t . I n o t h e r w o r d s , = r
2
, r
1
i s a r o o t o f t h e r e s u l -
t a n t " h y = r e s
x
g
1
; g
2
2 Z
N
y . T h e d e g r e e o f h i s a t m o s t e
2
. F u r t h e r m o r e , j j 2
m
N
1 = e
2
.
H e n c e , i s a s m a l l r o o t o f h m o d u l o N , a n d M a r v i n c a n e c i e n t l y n d i t u s i n g C o p p e r s m i t h ' s
t h e o r e m T h e o r e m 3 . O n c e i s k n o w n , t h e F r a n k l i n - R e i t e r a t t a c k o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n c a n b e
4
A l t h o u g h Z
N
x i s n o t a E u c l i d e a n r i n g , t h e s t a n d a r d E u c l i d e a n a l g o r i t h m c a n s t i l l b e a p p l i e d t o p o l y n o m i a l s i n
Z
N
x . O n e c a n s h o w t h a t i f t h e a l g o r i t h m b r e a k s " i n a n y w a y , t h e n t h e f a c t o r i z a t i o n o f N i s e x p o s e d .
1 0
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 11/16
u s e d t o r e c o v e r M
2
a n d c o n s e q u e n t l y M .
W h e n e = 3 t h e a t t a c k c a n b e m o u n t e d a s l o n g a s t h e p a d l e n g t h i s l e s s t h a n 1 = 9
t h
t h e m e s s a g e
l e n g t h . T h i s i s a n i m p o r t a n t r e s u l t . N o t e t h a t f o r t h e r e c o m m e n d e d v a l u e o f e = 6 5 5 3 7 , t h e a t t a c k
i s u s e l e s s a g a i n s t s t a n d a r d m o d u l i s i z e s .
4 . 5 P a r t i a l K e y E x p o s u r e A t t a c k
L e t
h N ; d
i b e a p r i v a t e R S A k e y . S u p p o s e b y s o m e m e a n s M a r v i n i s a b l e t o e x p o s e a f r a c t i o n o f
t h e b i t s o f d , s a y a q u a r t e r o f t h e m . C a n h e r e c o n s t r u c t t h e r e s t o f d ? S u r p r i s i n g l y , t h e a n s w e r
i s p o s i t i v e w h e n t h e c o r r e s p o n d i n g p u b l i c k e y i s s m a l l . R e c e n t l y B o n e h , D u r f e e , a n d F r a n k e l 5
s h o w e d t h a t a s l o n g a s e
p
N , i t i s p o s s i b l e t o r e c o n s t r u c t a l l o f d f r o m j u s t a f r a c t i o n o f i t s b i t s .
T h e s e r e s u l t s i l l u s t r a t e t h e i m p o r t a n c e o f s a f e g u a r d i n g t h e e n t i r e p r i v a t e R S A k e y .
T h e o r e m 9 B D F L e t h N ; d i b e a p r i v a t e R S A k e y i n w h i c h N i s n b i t s l o n g . G i v e n t h e d n = 4 e
l e a s t s i g n i c a n t b i t s o f d , M a r v i n c a n r e c o n s t r u c t a l l o f d i n t i m e l i n e a r i n e l o g
2
e .
T h e p r o o f r e l i e s o n y e t a n o t h e r b e a u t i f u l t h e o r e m d u e t o C o p p e r s m i t h 7 .
T h e o r e m 1 0 C o p p e r s m i t h L e t N = p q b e a n n - b i t R S A m o d u l u s . T h e n g i v e n t h e n = 4 l e a s t
s i g n i c a n t b i t s o f p o r t h e n = 4 m o s t s i g n i c a n t b i t s o f p , o n e c a n e c i e n t l y f a c t o r N .
T h e o r e m 9 r e a d i l y f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 0 . I n f a c t , b y d e n i t i o n o f e a n d d , t h e r e e x i s t s a n
i n t e g e r k s u c h t h a t
e d , k N , p , q + 1 = 1 :
S i n c e d ' N , w e m u s t h a v e 0 k
e . R e d u c i n g t h e e q u a t i o n m o d u l o 2
n = 4
a n d s e t t i n g q = N = p ,
w e o b t a i n
e d p
, k p N
, p + 1 + k N = p m o d 2
n = 4
:
S i n c e M a r v i n i s g i v e n t h e n = 4 l e a s t s i g n i c a n t b i t s o f d , h e k n o w s t h e v a l u e o f e d m o d 2
n = 4
. C o n -
s e q u e n t l y , h e o b t a i n s a n e q u a t i o n i n k a n d p . F o r e a c h o f t h e e p o s s i b l e v a l u e s o f k , M a r v i n s o l v e s
t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n i n p a n d o b t a i n s a n u m b e r o f c a n d i d a t e v a l u e s f o r p m o d 2
n = 4
. F o r e a c h
o f t h e s e c a n d i d a t e v a l u e s , h e r u n s t h e a l g o r i t h m o f T h e o r e m 1 0 t o a t t e m p t t o f a c t o r N . O n e c a n
s h o w t h a t t h e t o t a l n u m b e r o f c a n d i d a t e v a l u e s f o r p m o d 2
n = 4
i s a t m o s t e l o g
2
e . H e n c e a f t e r a t
m o s t e l o g
2
e a t t e m p t s , N w i l l b e f a c t o r e d .
T h e o r e m 9 i s k n o w n a s a p a r t i a l k e y - e x p o s u r e a t t a c k . S i m i l a r a t t a c k s e x i s t f o r l a r g e r v a l u e s o f
e a s l o n g a s e
p
N . H o w e v e r t h e t e c h n i q u e s a r e a b i t m o r e c o m p l e x 5 . I t i s i n t e r e s t i n g t h a t
d i s c r e t e l o g - b a s e d c r y p t o s y s t e m s , s u c h a s t h e E l G a m a l p u b l i c k e y s y s t e m , d o n o t s e e m s u s c e p t i b l e
t o p a r t i a l k e y e x p o s u r e . I n d e e d , i f g
x
m o d p a n d a c o n s t a n t f r a c t i o n o f t h e b i t s o f x a r e g i v e n , t h e r e
i s n o k n o w n p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m t o c o m p u t e t h e r e s t o f x .
T o c o n c l u d e t h e s e c t i o n w e s h o w t h a t w h e n t h e e n c r y p t i o n e x p o n e n t e i s s m a l l , t h e R S A s y s t e m
l e a k s h a l f t h e m o s t s i g n i c a n t b i t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g p r i v a t e k e y d . T o s e e t h i s , c o n s i d e r o n c e
a g a i n t h e e q u a t i o n e d , k N , p , q + 1 = 1 f o r a n i n t e g e r 0 k e . G i v e n k , M a r v i n m a y e a s i l y
c o m p u t e
b
d = b k N + 1 = e c :
T h e n
j
b
d , d j k p + q = e 3 k
p
N = e 3
p
N :
1 1
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 12/16
H e n c e ,
b
d i s a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r d . T h e b o u n d s h o w s t h a t , f o r m o s t d , h a l f t h e m o s t s i g n i c a n t
b i t s o f
b
d a r e e q u a l t o t h o s e o f d . S i n c e t h e r e a r e o n l y e p o s s i b l e v a l u e s f o r k , M a r v i n c a n c o n s t r u c t
a s m a l l s e t o f s i z e e s u c h t h a t o n e o f t h e e l e m e n t s i n t h e s e t i s e q u a l t o h a l f t h e m o s t s i g n i c a n t
b i t s o f d . T h e c a s e e = 3 i s e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g . I n t h i s c a s e o n e c a n s h o w t h a t a l w a y s k = 2 a n d
h e n c e t h e s y s t e m c o m p l e t e l y l e a k s h a l f t h e m o s t s i g n i c a n t b i t s o f d .
5 I m p l e m e n t a t i o n A t t a c k s
W e t u r n o u r a t t e n t i o n t o a n e n t i r e l y d i e r e n t c l a s s o f a t t a c k s . R a t h e r t h a n a t t a c k i n g t h e u n d e r l y i n g
s t r u c t u r e o f t h e R S A f u n c t i o n , t h e s e a t t a c k s f o c u s o n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f R S A .
5 . 1 T i m i n g A t t a c k s
C o n s i d e r a s m a r t c a r d t h a t s t o r e s a p r i v a t e R S A k e y . S i n c e t h e c a r d i s t a m p e r r e s i s t a n t , a n a t t a c k e r
M a r v i n m a y n o t b e a b l e t o e x a m i n e i t s c o n t e n t s a n d e x p o s e t h e k e y . H o w e v e r , a c l e v e r a t t a c k d u e
t o K o c h e r 1 6 s h o w s t h a t b y p r e c i s e l y m e a s u r i n g t h e t i m e i t t a k e s t h e s m a r t c a r d t o p e r f o r m a n
R S A d e c r y p t i o n o r s i g n a t u r e , M a r v i n c a n q u i c k l y d i s c o v e r t h e p r i v a t e d e c r y p t i o n e x p o n e n t d .
W e e x p l a i n h o w t o m o u n t t h e a t t a c k a g a i n s t a s i m p l e i m p l e m e n t a t i o n o f R S A u s i n g t h e
r e p e a t e d s q u a r i n g a l g o r i t h m " . L e t d = d
n
d
n , 1
: : : d
0
b e t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f d i . e . ,
d =
P
n
i = 0
2
i
d
i
w i t h d
i
2 f 0 ; 1 g . T h e r e p e a t e d s q u a r i n g a l g o r i t h m c o m p u t e s C = M
d
m o d N , u s i n g
a t m o s t 2 n m o d u l a r m u l t i p l i c a t i o n s . I t i s b a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n t h a t C =
Q
n
i = 0
M
2
i
d
i
m o d N .
T h e a l g o r i t h m w o r k s a s f o l l o w s :
S e t z e q u a l t o M a n d C e q u a l t o 1 . F o r i = 0 ; : : : ; n , d o t h e s e s t e p s :
1 i f d
i
= 1 s e t C e q u a l t o C z m o d N ,
2 s e t z e q u a l t o z
2
m o d N .
A t t h e e n d , C h a s t h e v a l u e M
d
m o d N .
T h e v a r i a b l e z r u n s t h r o u g h t h e s e t o f v a l u e s M
2
i
m o d N f o r i = 0 ; : : : ; n . T h e v a r i a b l e C c o l l e c t s "
t h e a p p r o p r i a t e p o w e r s i n t h e s e t t o o b t a i n M
d
m o d N .
T o m o u n t t h e a t t a c k , M a r v i n a s k s t h e s m a r t c a r d t o g e n e r a t e s i g n a t u r e s o n a l a r g e n u m b e r o f
r a n d o m m e s s a g e s M
1
; : : : ; M
k
2 Z
N
a n d m e a s u r e s t h e t i m e T
i
i t t a k e s t h e c a r d t o g e n e r a t e e a c h o f
t h e s i g n a t u r e s .
T h e a t t a c k r e c o v e r s b i t s o f d o n e a t a t i m e b e g i n n i n g w i t h t h e l e a s t s i g n i c a n t b i t . W e k n o w d i s
o d d . T h u s d
0
= 1 . C o n s i d e r t h e s e c o n d i t e r a t i o n . I n i t i a l l y z = M
2
m o d N a n d C = M . I f d
1
= 1 ,
t h e s m a r t c a r d c o m p u t e s t h e p r o d u c t C z = M M
2
m o d N . O t h e r w i s e , i t d o e s n o t . L e t t
i
b e t h e
t i m e i t t a k e s t h e s m a r t c a r d t o c o m p u t e M
i
M
2
i
m o d N . T h e t
i
' s d i e r f r o m e a c h o t h e r s i n c e t h e
t i m e t o c o m p u t e M
i
M
2
i
m o d N d e p e n d s o n t h e v a l u e o f M
i
s i m p l e m o d u l a r r e d u c t i o n a l g o r i t h m s
t a k e a d i e r e n t a m o u n t o f t i m e d e p e n d i n g o n t h e v a l u e b e i n g r e d u c e d . M a r v i n m e a s u r e s t h e t
i
' s
o i n e p r i o r t o m o u n t i n g t h e a t t a c k o n c e h e o b t a i n s t h e p h y s i c a l s p e c i c a t i o n s o f t h e c a r d .
K o c h e r o b s e r v e d t h a t w h e n d
1
= 1 , t h e t w o e n s e m b l e s f t
i
g a n d f T
i
g a r e c o r r e l a t e d . F o r i n s t a n c e ,
i f , f o r s o m e i ; t
i
i s m u c h l a r g e r t h a n i t s e x p e c t a t i o n , t h e n T
i
i s a l s o l i k e l y t o b e l a r g e r t h a n i t s
e x p e c t a t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , i f d
1
= 0 , t h e t w o e n s e m b l e s f t
i
g a n d f T
i
g b e h a v e a s i n d e p e n d e n t
r a n d o m v a r i a b l e s . B y m e a s u r i n g t h e c o r r e l a t i o n , M a r v i n c a n d e t e r m i n e w h e t h e r d
1
i s 0 o r 1 .
1 2
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 13/16
C o n t i n u i n g i n t h i s w a y , h e c a n r e c o v e r d
2
, d
3
, a n d s o o n . N o t e t h a t w h e n a l o w p u b l i c e x p o n e n t e
i s u s e d , t h e p a r t i a l k e y e x p o s u r e a t t a c k o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n s h o w s t h a t K o c h e r ' s t i m i n g a t t a c k
n e e d o n l y b e e m p l o y e d u n t i l a q u a r t e r o f t h e b i t s o f d a r e d i s c o v e r e d .
T h e r e a r e t w o w a y s t o d e f e n d a g a i n s t t h e a t t a c k . T h e s i m p l e s t i s t o a d d a p p r o p r i a t e d e l a y s o
t h a t m o d u l a r e x p o n e n t i a t i o n a l w a y s t a k e s a x e d a m o u n t o f t i m e . T h e s e c o n d a p p r o a c h , d u e t o
R i v e s t , i s b a s e d o n b l i n d i n g . P r i o r t o d e c r y p t i o n o f M t h e s m a r t c a r d p i c k s a r a n d o m r 2 Z
N
a n d
c o m p u t e s M
0
= M r
e
m o d N . I t t h e n a p p l i e s d t o M
0
a n d o b t a i n s C
0
= M
0
d
m o d N . F i n a l l y ,
t h e s m a r t c a r d s e t s C = C
0
= r m o d N . W i t h t h i s a p p r o a c h , t h e s m a r t c a r d i s a p p l y i n g d t o a r a n d o m
m e s s a g e M
0
u n k n o w n t o M a r v i n . A s a r e s u l t , M a r v i n c a n n o t m o u n t t h e a t t a c k .
K o c h e r r e c e n t l y d i s c o v e r e d a n o t h e r a t t a c k a l o n g t h e s e l i n e s c a l l e d p o w e r c r y p t a n a l y s i s . K o c h e r
s h o w e d t h a t b y p r e c i s e l y m e a s u r i n g t h e s m a r t c a r d ' s p o w e r c o n s u m p t i o n d u r i n g s i g n a t u r e g e n e r -
a t i o n , M a r v i n c a n o f t e n e a s i l y d i s c o v e r t h e s e c r e t k e y . A s i t t u r n s o u t , d u r i n g a m u l t i - p r e c i s i o n
m u l t i p l i c a t i o n t h e c a r d ' s p o w e r c o n s u m p t i o n i s h i g h e r t h a n n o r m a l . B y m e a s u r i n g t h e l e n g t h o f
h i g h c o n s u m p t i o n p e r i o d s , M a r v i n c a n e a s i l y d e t e r m i n e i f i n a g i v e n i t e r a t i o n t h e c a r d p e r f o r m s
o n e o r t w o m u l t i p l i c a t i o n s , t h u s e x p o s i n g t h e b i t s o f d .
5 . 2 R a n d o m F a u l t s
I m p l e m e n t a t i o n s o f R S A d e c r y p t i o n a n d s i g n a t u r e s f r e q u e n t l y u s e t h e C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m
t o s p e e d u p t h e c o m p u t a t i o n o f M
d
m o d N . I n s t e a d o f w o r k i n g m o d u l o N , t h e s i g n e r B o b r s t
c o m p u t e s t h e s i g n a t u r e s m o d u l o p a n d q a n d t h e n c o m b i n e s t h e r e s u l t s u s i n g t h e C h i n e s e R e m a i n d e r
T h e o r e m . M o r e p r e c i s e l y , B o b r s t c o m p u t e s
C
p
= M
d
p
m o d p a n d C
q
= M
d
q
m o d q ;
w h e r e d
p
= d m o d p , 1 a n d d
q
= d m o d q , 1 . H e t h e n o b t a i n s t h e s i g n a t u r e C b y s e t t i n g
C = T
1
C
p
+ T
2
C
q
m o d N ;
w h e r e
T
1
=
1 m o d p
0 m o d q
a n d T
2
=
0 m o d p
1 m o d q
:
T h e r u n n i n g t i m e o f t h e l a s t C R T s t e p i s n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h e t w o e x p o n e n t i a t i o n s . N o t e t h a t
p a n d q a r e h a l f t h e l e n g t h o f N . S i n c e s i m p l e i m p l e m e n t a t i o n s o f m u l t i p l i c a t i o n t a k e q u a d r a t i c t i m e ,
m u l t i p l i c a t i o n m o d u l o p i s f o u r t i m e s f a s t e r t h a n m o d u l o N . F u r t h e r m o r e , d
p
i s h a l f t h e l e n g t h
o f d a n d c o n s e q u e n t l y c o m p u t i n g M
d
p
m o d p i s e i g h t t i m e s f a s t e r t h a n c o m p u t i n g M
d
m o d N .
O v e r a l l s i g n a t u r e t i m e i s t h u s r e d u c e d b y a f a c t o r o f f o u r . M a n y i m p l e m e n t a t i o n s u s e t h i s m e t h o d
t o i m p r o v e p e r f o r m a n c e .
B o n e h , D e M i l l o , a n d L i p t o n 3 o b s e r v e d t h a t t h e r e i s a n i n h e r e n t d a n g e r i n u s i n g t h e C R T
m e t h o d . S u p p o s e t h a t w h i l e g e n e r a t i n g a s i g n a t u r e , a g l i t c h o n B o b ' s c o m p u t e r c a u s e s i t t o
m i s c a l c u l a t e i n a s i n g l e i n s t r u c t i o n . S a y , w h i l e c o p y i n g a r e g i s t e r f r o m o n e l o c a t i o n t o a n o t h e r , o n e
o f t h e b i t s i s i p p e d . A g l i t c h m a y b e c a u s e d b y a m b i e n t e l e c t r o m a g n e t i c i n t e r f e r e n c e o r p e r h a p s
b y a r a r e h a r d w a r e b u g , l i k e t h e o n e f o u n d i n a n e a r l y v e r s i o n o f t h e P e n t i u m c h i p . G i v e n a n
i n v a l i d s i g n a t u r e , a n a d v e r s a r y M a r v i n c a n e a s i l y f a c t o r B o b ' s m o d u l u s N .
W e p r e s e n t a v e r s i o n o f t h e a t t a c k a s d e s c r i b e d b y A . K . L e n s t r a . S u p p o s e a s i n g l e e r r o r
o c c u r s w h i l e B o b i s g e n e r a t i n g a s i g n a t u r e . A s a r e s u l t , e x a c t l y o n e o f C
p
o r C
q
w i l l b e c o m p u t e d
1 3
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 14/16
i n c o r r e c t l y . S a y C
p
i s c o r r e c t , b u t
b
C
q
i s n o t . T h e r e s u l t i n g s i g n a t u r e i s
b
C = T
1
C
p
+ T
2
b
C
q
. O n c e
M a r v i n r e c e i v e s
b
C , h e k n o w s i t i s a f a l s e s i g n a t u r e s i n c e
b
C
e
6= M m o d N . H o w e v e r , n o t i c e t h a t
b
C
e
= M m o d p w h i l e
b
C
e
6= M m o d q :
A s a r e s u l t , g c d N ;
b
C
e
, M e x p o s e s a n o n t r i v i a l f a c t o r o f N .
F o r t h e a t t a c k t o w o r k , M a r v i n m u s t h a v e f u l l k n o w l e d g e o f M . N a m e l y , w e a r e a s s u m i n g
B o b d o e s n o t u s e a n y r a n d o m p a d d i n g p r o c e d u r e . R a n d o m p a d d i n g p r i o r t o s i g n i n g d e f e a t s t h e
a t t a c k . A s i m p l e r d e f e n s e i s f o r B o b t o c h e c k t h e g e n e r a t e d s i g n a t u r e b e f o r e s e n d i n g i t o u t t o t h e
w o r l d . C h e c k i n g i s e s p e c i a l l y i m p o r t a n t w h e n u s i n g t h e C R T s p e e d u p m e t h o d . R a n d o m f a u l t s a r e
h a z a r d o u s t o m a n y c r y p t o g r a p h i c s y s t e m s . M a n y s y s t e m s , i n c l u d i n g a n o n - C R T i m p l e m e n t a t i o n
o f R S A , c a n b e a t t a c k e d u s i n g r a n d o m f a u l t s 3 . H o w e v e r , t h e s e r e s u l t s a r e f a r m o r e t h e o r e t i c a l .
5 . 3 B l e i c h e n b a c h e r ' s A t t a c k o n P K C S 1
L e t N b e a n n - b i t R S A m o d u l u s a n d M b e a n m b i t m e s s a g e w i t h m n . B e f o r e a p p l y i n g R S A
e n c r y p t i o n i t i s n a t u r a l t o p a d t h e m e s s a g e M t o n b i t s b y a p p e n d i n g r a n d o m b i t s t o i t . A n o l d
v e r s i o n o f a s t a n d a r d k n o w n a s P u b l i c K e y C r y p t o g r a p h y S t a n d a r d 1 P K C S 1 u s e s t h i s a p p r o a c h .
A f t e r p a d d i n g , t h e m e s s a g e l o o k s a s f o l l o w s :
0 2 R a n d o m 0 0 M
T h e r e s u l t i n g m e s s a g e i s n b i t s l o n g a n d i s d i r e c t l y e n c r y p t e d u s i n g R S A . T h e i n i t i a l b l o c k c o n -
t a i n i n g 0 2 " i s 1 6 b i t s l o n g a n d i s t h e r e t o i n d i c a t e t h a t a r a n d o m p a d h a s b e e n a d d e d t o t h e
m e s s a g e .
W h e n a P K C S 1 m e s s a g e i s r e c e i v e d b y B o b ' s m a c h i n e , a n a p p l i c a t i o n e . g . , a w e b b r o w s e r
d e c r y p t s i t , c h e c k s t h e i n i t i a l b l o c k , a n d s t r i p s o t h e r a n d o m p a d . H o w e v e r , s o m e a p p l i c a t i o n s
c h e c k f o r t h e 0 2 " i n i t i a l b l o c k a n d i f i t i s n o t p r e s e n t t h e y s e n d b a c k a n e r r o r m e s s a g e s a y i n g
i n v a l i d c i p h e r t e x t " . B l e i c h e n b a c h e r 2 s h o w e d t h a t t h i s e r r o r m e s s a g e c a n l e a d t o d i s a s t r o u s
c o n s e q u e n c e s : u s i n g t h e e r r o r m e s s a g e , a n a t t a c k e r M a r v i n c a n d e c r y p t c i p h e r t e x t s o f h i s c h o i c e .
S u p p o s e M a r v i n i n t e r c e p t s a c i p h e r t e x t C i n t e n d e d f o r B o b a n d w a n t s t o d e c r y p t i t . T o m o u n t
t h e a t t a c k , M a r v i n p i c k s a r a n d o m r 2 Z
N
, c o m p u t e s C
0
= r C m o d N , a n d s e n d s C
0
t o B o b ' s
m a c h i n e . A n a p p l i c a t i o n r u n n i n g o n B o b ' s m a c h i n e r e c e i v e s C
0
a n d a t t e m p t s t o d e c r y p t i t . I t
e i t h e r r e s p o n d s w i t h a n e r r o r m e s s a g e o r d o e s n o t r e s p o n d a t a l l i f C
0
h a p p e n s t o b e p r o p e r l y
f o r m a t t e d . H e n c e , M a r v i n l e a r n s w h e t h e r t h e m o s t s i g n i c a n t 1 6 b i t s o f t h e d e c r y p t i o n o f C
0
a r e
e q u a l t o 0 2 . I n e e c t , M a r v i n h a s a n o r a c l e t h a t t e s t s f o r h i m w h e t h e r t h e 1 6 m o s t s i g n i c a n t b i t s
o f t h e d e c r y p t i o n o f r C m o d N a r e e q u a l t o 0 2 , f o r a n y r o f h i s c h o i c e . B l e i c h e n b a c h e r s h o w e d t h a t
s u c h a n o r a c l e i s s u c i e n t f o r d e c r y p t i n g C .
6 C o n c l u s i o n s
T w o d e c a d e s o f r e s e a r c h i n t o i n v e r t i n g t h e R S A f u n c t i o n p r o d u c e d s o m e i n s i g h t f u l a t t a c k s , b u t n o
d e v a s t a t i n g a t t a c k h a s e v e r b e e n f o u n d . T h e a t t a c k s d i s c o v e r e d s o f a r m a i n l y i l l u s t r a t e t h e p i t f a l l s
t o b e a v o i d e d w h e n i m p l e m e n t i n g R S A . A t t h e m o m e n t i t a p p e a r s t h a t p r o p e r i m p l e m e n t a t i o n s
c a n b e t r u s t e d t o p r o v i d e s e c u r i t y i n t h e d i g i t a l w o r l d .
1 4
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 15/16
W e c a t e g o r i z e d a t t a c k s o n R S A i n t o f o u r c a t e g o r i e s : 1 e l e m e n t a r y a t t a c k s t h a t e x p l o i t b l a t a n t
m i s u s e o f t h e s y s t e m , 2 l o w p r i v a t e e x p o n e n t a t t a c k s s e r i o u s e n o u g h t h a t a l o w p r i v a t e e x p o n e n t
s h o u l d n e v e r b e u s e d , 3 l o w p u b l i c e x p o n e n t a t t a c k s , 4 a n d a t t a c k s o n t h e i m p l e m e n t a t i o n .
T h e s e l a s t a t t a c k s i l l u s t r a t e t h a t a s t u d y o f t h e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e i s i n s u c i e n t .
D e s m e d t a n d O d l y z k o 1 0 , J o y e a n d Q u i s q u a t e r 1 5 a n d d e J o n g e a n d C h a u m 9 d e s c r i b e s o m e
a d d i t i o n a l a t t a c k s . T h r o u g h o u t t h e p a p e r w e o b s e r v e d t h a t m a n y a t t a c k s c a n b e d e f e a t e d b y
p r o p e r l y p a d d i n g t h e m e s s a g e p r i o r t o e n c r y p t i o n o r s i g n i n g .
A c k n o w l e d g m e n t s
I t h a n k S u s a n L a n d a u f o r e n c o u r a g i n g m e t o w r i t e t h e s u r v e y a n d T o n y K n a p p f o r h i s h e l p i n
e d i t i n g t h e m a n u s c r i p t . I a m a l s o g r a t e f u l t o M i h i r B e l l a r e , I g o r S h p a r l i n s k i , a n d R . V e n k a t e s a n
f o r c o m m e n t s o n a n e a r l i e r d r a f t .
R e f e r e n c e s
1 M . B e l l a r e a n d P . R o g a w a y . O p t i m a l a s y m m e t r i c e n c r y p t i o n . I n E U R O C R Y P T ' 9 4 , v o l u m e
9 5 0 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 9 2 1 1 1 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 4 .
2 D . B l e i c h e n b a c h e r . C h o s e n c i p h e r t e x t a t t a c k s a g a i n s t p r o t o c o l s b a s e d o n t h e R S A e n c r y p t i o n
s t a n d a r d P K C S 1 . I n C R Y P T O ' 9 8 , v o l u m e 1 4 6 2 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e ,
p a g e s 1 1 2 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .
3 D . B o n e h , R . D e M i l l o , a n d R . L i p t o n . O n t h e i m p o r t a n c e o f c h e c k i n g c r y p t o g r a p h i c p r o t o c o l s
f o r f a u l t s . I n E U R O C R Y P T ' 9 7 , v o l u m e 1 2 3 3 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s
3 7 5 1 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 7 .
4 D . B o n e h a n d G . D u r f e e . N e w r e s u l t s o n c r y p t a n a l y s i s o f l o w p r i v a t e e x p o n e n t R S A . P r e p r i n t ,
1 9 9 8 .
5 D . B o n e h , G . D u r f e e , a n d Y . F r a n k e l . A n a t t a c k o n R S A g i v e n a f r a c t i o n o f t h e p r i v a t e
k e y b i t s . I n A s i a C r y p t ' 9 8 , v o l u m e 1 5 1 4 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 2 5 3 4 .
S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .
6 D . B o n e h a n d R . V e n k a t e s a n . B r e a k i n g R S A m a y n o t b e e q u i v a l e n t t o f a c t o r i n g . I n E U R O -
C R Y P T ' 9 8 , v o l u m e 1 4 0 3 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 5 9 7 1 . S p r i n g e r - V e r l a g ,
1 9 9 8 .
7 D . C o p p e r s m i t h . S m a l l s o l u t i o n s t o p o l y n o m i a l e q u a t i o n s , a n d l o w e x p o n e n t R S A v u l n e r a b i l -
i t i e s . J o u r n a l o f C r y p t o l o g y , 1 0 : 2 3 3 2 6 0 , 1 9 9 7 .
8 D . C o p p e r s m i t h , M . F r a n k l i n , J . P a t a r i n , a n d M . R e i t e r . L o w - e x p o n e n t R S A w i t h r e l a t e d
m e s s a g e s . I n E U R O C R Y P T ' 9 6 , v o l u m e 1 0 7 0 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s
1 9 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 6 .
9 W . d e J o n g e a n d D . C h a u m . A t t a c k s o n s o m e R S A s i g n a t u r e s . I n C r y p t o ' 8 5 , v o l u m e 2 1 8 o f
L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 8 2 7 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 6 .
1 5
8/3/2019 RSA Survey
http://slidepdf.com/reader/full/rsa-survey 16/16
1 0 Y . D e s m e d t a n d A . O d l y z k o . A c h o s e n t e x t a t t a c k o n t h e r s a c r y p t o s y s t e m a n d s o m e d i s c r e t e
l o g a r i t h m s c h e m e s . I n C R Y P T O ' 8 5 , L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 5 1 6 5 2 2 .
S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 5 .
1 1 S . G o l d w a s s e r . T h e s e a r c h f o r p r o v a b l y s e c u r e c r y p t o s y s t e m s . I n C r y p t o l o g y a n d c o m p u t a t i o n a l
n u m b e r t h e o r y , v o l u m e 4 2 o f P r o c e e d i n g s o f t h e 4 2 n d S y m p o s i u m i n A p p l i e d M a t h e m a t i c s .
A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 1 9 9 0 .
1 2 G . H . H a r d y a n d E . M . W r i g h t . A n I n t r o d u c t i o n t o t h e T h e o r y o f N u m b e r s . O x f o r d C l a r e n d o n
P r e s s , 1 9 7 5 . f o u r t h e d i t i o n .
1 3 J . H a s t a d . S o l v i n g s i m u l t a n e o u s m o d u l a r e q u a t i o n s o f l o w d e g r e e . S I A M J . o f C o m p u t i n g ,
1 7 : 3 3 6 3 4 1 , 1 9 8 8 .
1 4 N . H o w g r a v e - G r a h a m . F i n d i n g s m a l l r o o t s o f u n i v a r i a t e m o d u l a r e q u a t i o n s r e v i s i t e d . I n
C r y p t o g r a p h y a n d C o d i n g , v o l u m e 1 3 5 5 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 3 1 1 4 2 .
S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 7 .
1 5 M . J o y e a n d J . - J . Q u i s q u a t e r . O n t h e i m p o r t a n c e o f s e c u r i n g y o u r b i n s : T h e g a r b a g e - m a n -
i n - t h e - m i d d l e a t t a c k . I n 4 t h A C M C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r a n d C o m m u n i c a t i o n s S e c u r i t y ,
p a g e s 1 3 5 1 4 1 . A C M P r e s s , 1 9 9 7 .
1 6 P . K o c h e r . T i m i n g a t t a c k s o n i m p l e m e n t a t i o n s o f D i e - H e l l m a n , R S A , D S S , a n d o t h e r s y s -
t e m s . I n C R Y P T O ' 9 6 , v o l u m e 1 1 0 9 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 0 4 1 1 3 .
S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 6 .
1 7 L . L o v a s z . A n A l g o r i t h m i c T h e o r y o f N u m b e r , G r a p h s a n d C o n v e x i t y . S I A M P u b l i c a t i o n s ,
1 9 8 6 .
1 8 A . K . L e n s t r a a n d H . W . L e n s t r a , J r . A l g o r i t h m s i n n u m b e r t h e o r y . I n H a n d b o o k o f T h e o r e t -
i c a l C o m p u t e r S c i e n c e V o l u m e A : A l g o r i t h m s a n d C o m p l e x i t y , c h a p t e r 1 2 , p a g e s 6 7 3 7 1 5 .
E l s e v i e r a n d M I T P r e s s , 1 9 9 0 .
1 9 A . M e n e z e s , P . v a n O o r s c h o t , a n d S . V a n s t o n e . H a n d b o o k o f A p p l i e d C r y p t o g r a p h y . C R C ,
1 9 9 6 .
2 0 C . P o m e r a n c e . A t a l e o f t w o s i e v e s . N o t i c e s A m e r . M a t h . S o c . , 4 3 : 1 4 7 3 1 4 8 5 , 1 9 9 6 .
2 1 R . L . R i v e s t , A . S h a m i r , a n d L . A d l e m a n . A m e t h o d f o r o b t a i n i n g d i g i t a l s i g n a t u r e s a n d
p u b l i c k e y c r y p t o s y s t e m s . C o m m u n . o f t h e A C M , 2 1 : 1 2 0 1 2 6 , 1 9 7 8 .
2 2 M . W i e n e r . C r y p t a n a l y s i s o f s h o r t R S A s e c r e t e x p o n e n t s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n I n f o r m a t i o n
T h e o r y , 3 6 : 5 5 3 5 5 8 , 1 9 9 0 .
1 6
