RPM (KD 1 Logika Matematika)
Transcript of RPM (KD 1 Logika Matematika)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan Pendidikan : SMA
Kelas/ Semester : X/ Genap
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pelajaran : Logika Matematika
Standar Kompetensi : 5. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang
berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
Kompetensi Dasar : 5.1 Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implikasi
dalam pemecahan masalah.
Indikator : 5.1.1. Memahami nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,
nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi dan ingkarannya.
5.1.2. Menentukan nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,
nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi dan ingkarannya.
5.1.3. Memahami nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan
kontraposisi beserta ingkarannya.
5.1.4. Menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers,
dan kontraposisi beserta ingkarannya.
5.1.5. Memahami pernyataan majemuk, tautologi, dan pernyataan
majemuk yang ekivalen.
5.1.6. Menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang telah
ditentukan.
5.1.7. Membuktikan sebuah pernyataan majemuk adalah sebuah
tautologi.
5.1.8. Mendefinisikan sifat komutatif, sifat assosiatif dan sifat
distributif pada disjungsi dan konjungsi.
5.1.9. Memahami hubungan konvers, invers dan kontraposisi dengan
implikasi.
5.1.10. Menentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan
implikasi.
5.1.11. Memahami perngertian kuantor universal dan kuantor
eksistensial, serta ingkaran dari sutu pernyataan berkuantor.
5.1.12. Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan kuantor universal,
kuantor eksistensial dan ingkarannya.
Alokasi Waktu : 10 x 45’menit (5 x pertemuan)
A. Tujuan Pembelajaran : 1. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari ingkaran,
disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi dari suatu
pernyataan.
2. Siswa dapat membedakan tabel kebenaran antara disjungsi,
konjungsi, implikasi dan biimplikasi.
3. Siswa dapat melihat hubungan antara implikasi dengan
konvers, invers dan kontraposisi.
4. Siswa dapat dan menentukan implikasi dengan konvers,
invers dan kontraposisi.
5. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan
majemuk.
6. Siswa dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan
majemuk adalah sebuah tautologi.
7. Siswa dapat memahami dua buah pernyataan majemuk yang
ekivalen.
8. Siswa dapat mendefinisikan sifat komutatif, sifat assosiatif
dan sifat distributif pada disjungsi dan konjungsi.
9. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran setiap pernyataan
kuantor universal dan kuantor eksistensial.
10. Siswa dapat memahami bagaimana cara menentukan
ingkaran dari sebuah pernyataan berkuantor.
11. Siswa dapat menentukan ingkaran dari sebuah pernyataan
berkuantor.
B. Materi Ajar
1. Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka
2. Ingkaran, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
3. Pernyataan Majemuk, Tautologi, dan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
4. Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dengan Implikasi
5. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
C. Pendekatan/ Metode Pembelajaran
Pendekatan : Reciprocal Teaching
Metode Pembelajaran : Tanya jawab, diskusi, latihan, ceramah dan pemberian tugas
D. Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan Pertama : 2 x 45’
Metode Pembelajaran : Tanya jawab, latihan dan pemberian tugas, diskusi.
Indikator : 5.1.1. Memahami nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,
nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi dan ingkarannya.
5.1.2. Menentukan nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,
nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi dan ingkarannya.
Kegiatan Waktu
A. Kegiatan Awal
1. Apersepsi
a. Membaca do’a belajar dilanjutkan dengan membaca al qur’an dan
terjemahannya secara bersama-sama.
b. Guru menyiapkan siswa untuk belajar.
c. Guru membahas PR yang tidak dimengerti oleh siswa.
2. Motivasi
a. Guru mengkomunikasikan tujuan belajar dan pokok-pokok materi yang
akan dipelajari dalam kegiatan belajar.
b. Guru memberikan penjelasan tentang cara belajar siswa.
B. Kegiatan Inti
1. Guru memberikan bahan ajar kepada siswa.( Lampiran 1 )
2. Guru memberikan beberapa contoh kalimat dimana kalimat tersebut hanya
benar saja atau salah saja, tidak sekaligus benar dan salah pada saat yang
sama. Dengan mentode Tanya jawab, siswa dapat mendefinisikan
pernyataan.( Lampiran 2 )
3. Guru menjelaskan kepada siswa dari sebuah pernyataan. Dapat dibentuk
pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak benar, sehingga siswa
dapat menemukan sendiri pengertian dari ingkaran. ( Lampiran 3 )
4. Guru menjelaskan hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah
pernyataan dengan pernyataan semula.
5. Guru menyuruh siswa untuk mendiskusikan dengan teman sebangku tentang
10’
20’
lembar diskusi yang ada pada bahan ajar yang diberikan guru.
6. Salah seorang siswa menjelaskan kepada teman yang lainnya tentang hasil
diskusi yang di dapatnya. Disini guru hanya sebagai fasilitator.
7. Siswa dapat menentukan ingkaran dari pernyataan.
8. Dengan metode tanya jawab, guru membimbing siswa untuk menentukan
ingkaran dari sebuah pernyataan.
9. Siswa mengerjakan soal latihan yang ada pada bahan ajar.( Lampiran 1 )
10. Guru berkeliling memberikan bantuan seperlunya kepada siswa
C. Kegiatan Akhir
1. Guru merangkum semua materi yang telah diajarkannya pada pertemuan
tersebut.
2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya yang sudah ada pada
bahan ajar.
15’
10’
10’
15’
10’
Pertemuan Kedua : 2 x 45’
Metode Pembelajaran : Tanya jawab, diskusi, latihan, ceramah dan pemberian tugas.
Indikator : 5.1.1. Memahami nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,
nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi dan ingkarannya.
5.1.2. Menentukan nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,
nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi dan ingkarannya.
Kegiatan Waktu
A. Kegiatan Awal
1. Apersepsi
a. Membaca da’a sebelum belajar dan dilanjutkan dengan membaca al
qur’an beserta terjemahannya secara bersama-sama.
b. Guru menyiapkan siswa untuk belajar.
c. Guru membahas PR yang tidak dimengerti oleh siswa.
2. Motivasi
10’
a. Guru mengkomunikasikan tujuan belajar dan pokok-pokok materi yang
akan dipelajari dalam kegiatan belajar.
b. Guru memberikan penjelasan tentang cara belajar siswa.
B. Kegiatan Inti
1. Guru membagikan bahan ajar kepada siswa.( Lampiran 5 )
2. Guru memberikan persepsi kepada siswa tentang disjungsi, konjungsi.
3. Dengan metode diskusi siswa dapat menemukan pengertian dan nilai
kebenaran dari disjungsi dan konjungsi.
4. Guru memberikan contoh pernyataan kepada siswa, sehingga siswa dapat
merangkai pernyataan itu dan dapat menentukan nilai kebenarannya.
( Lampiran 4 )
5. Dengan metode tanya jawab, siswa dapat menentukan hubungan antara
disjungsi, konjungsi dua pernyataan dengan dua himpunan
6. Guru memberikan latihan kepada siswa yang sudah ada pada bahan ajar.
7. Siswa mengerjakan soal latihan yang diberikan guru.
8. Guru berkeliling memberikan bantuan seperlunya kepada siswa.
C. Kegiatan Akhir
1. Guru merangkum semua materi yang telah diajarkannya pada pertemuan
tersebut.
2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya.( Lampiran 5 )
10’
15’
10’
10’
15’
10’
10’
Pertemuan Ketiga : 2 x 45’
Metode Pembelajaran : tanya jawab, latihan, ceramah, dan pemberian tugas.
Indikator : 5.1.3 Memahami nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan
kontraposisi beserta ingkarannya.
5.1.4. Menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers,
dan kontraposisi beserta ingkarannya.
Kegiatan Waktu
A. Kegiatan Awal 10’
1. Apersepsi
a. Membaca da’a sebelum belajar dan dilanjutkan dengan membaca al
qur’an beserta terjemahannya secara bersama-sama.
b. Guru menyiapkan siswa untuk belajar.
c. Guru membahas PR yang tidak dimengerti oleh siswa.
2. Motivasi
a. Guru mengkomunikasikan tujuan belajar dan pokok-pokok materi yang
akan dipelajari dalam kegiatan belajar.
b. Guru memberikan penjelasan tentang cara belajar siswa.
B. Kegiatan Inti
1. Guru membagikan bahan ajar kepada siswa.( Lampiran 6 )
2. Guru memberikan pernyataan, sehingga siswa dapat merangkai pernyataan
tersebut. Dari pernyataan tersebut siswa dapat mengambil kesimpulan
tentang pernyataan implikasi dan biimplikasi.
3. Dengan metode tanya jawab, guru mendefinisikan nilai kebenaran dari suatu
pernyataan implikasi dan biimplikasi.
4. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan implikasi dan
biimplikasi.
5. Guru membimbing siswa memahami hubungan antara implikasi dan
biimplikasi dengan himpunan bagian.
6. Guru memberikan pernyataan dan guru membimbing siswa dalam
menentukan dan membedakan antara konvers, invers, dan kontraposisi.
7. Siswa dapat menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan
implikasi.
8. Guru memberikan latihan kepada siswa.
9. Siswa mengerjakan latihan yang diberikan guru
10. Guru berkeliling membimbing siswa dalam mengerjakan latihan
C. Kegiatan Akhir
1. Guru merangkum semua materi yang telah diajarkannya pada pertemuan
tersebut.
10’
20’
10’
15’
15’
10’
2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya.
Pertemuan Ke-empat : 2 x 45’
Metode Pembelajaran : tanya jawab, latihan, ceramah dan pemberian tugas.
Indikator : 5.1.5 Memahami pernyataan majemuk, tautologi, dan pernyataan
majemuk yang ekivalen.
5.1.6. Menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang telah
ditentukan.
5.1.7. Membuktikan sebuah pernyataan majemuk adalah sebuah
tautologi.
5.1.8. Mendefinisikan sifat komutatif, sifat assosiatif dan sifat
distributif pada disjungsi dan konjungsi.
5.1.9. Memahami hubungan konvers, invers dan kontraposisi dengan
implikasi.
5.1.10. Menentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan
implikasi.
Kegiatan Waktu
A. Kegiatan Awal
1. Apersepsi
a. Membaca da’a sebelum belajar dan dilanjutkan dengan membaca al
10’
qur’an beserta terjemahannya secara bersama-sama.
b. Guru menyiapkan siswa untuk belajar.
c. Guru membahas PR yang tidak dimengerti oleh siswa.
2. Motivasi
a. Guru mengkomunikasikan tujuan belajar dan pokok-pokok materi yang
akan dipelajari dalam kegiatan belajar.
b. Guru memberikan penjelasan tentang cara belajar siswa.
B. Kegiatan Inti
1. Guru membagikan bahan ajar kepada siswa.( Lampiran 7 )
2. Dengan metode tanya jawab guru menjelaskan apa yang dimaksud dengan
kalimat majemuk, tautologi, dan dua buah pernyataan majemuk yang
ekivalen.
3. Dari penjelasan guru, siswa dapat membedakan antara pernyataan majemuk,
dengan tautologi, dan dengan dua buah pernyataan majemuk yang ekivalen.
4. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk,
membuktikan bahwa pernyataan tersebut tautologi dan menarik kesimpulan
dari dua buah pernyataan majemuk yang ekivalen.
5. Guru menjelaskan sifat-sifat yang memenuhi dalam logika matematika.
6. Siswa dapat membuktikan sifat-sifat yang memenuhi dalam logika
matematika yang dijelaskan oleh guru.
7. Guru memberikan latihan kepada siswa.
8. Siswa mengerjakan latihan yang diberikan guru.
9. Guru berkeliling mengahmpiri siswa dan membimbing siswa dalam
mengerjakan latihan.
C. Kegiatan Akhir
1. Guru merangkum semua materi yang telah diajarkannya pada pertemuan
tersebut.
2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya.
15’
15’
10’
10’
20’
10’
Kegiatan Kelima : 2 x 45’
Metode Pembelajaran : tanya jawab, latihan, ceramah dan pemberian tugas, diskusi.
Indikator : 5.1.11. Memahami perngertian kuantor universal dan kuantor
eksistensial, serta ingkaran dari sutu pernyataan berkuantor.
5.1.12. Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan kuantor universal,
kuantor eksistensial dan ingkarannya.
Kegiatan Waktu
A. Kegiatan Awal
1. Apersepsi
a. Membaca da’a sebelum belajar dan dilanjutkan dengan membaca al
qur’an beserta terjemahannya secara bersama-sama.
b. Guru menyiapkan siswa untuk belajar.
c. Guru membahas PR yang tidak dimengerti oleh siswa.
2. Motivasi
a. Guru mengkomunikasikan tujuan belajar dan pokok-pokok materi yang
akan dipelajari dalam kegiatan belajar.
b. Guru memberikan penjelasan tentang cara belajar siswa.
B. Kegiatan Inti
1. Guru membagikan bahan ajar kepada siswa. ( Lampiran 8 )
2. Guru memberikan beberapa pernyataan, sehingga siswa dapat menemukan
sendiri apa yang dimaksud dengan kuantor universal dan kuantor
eksistensial.
3. Guru meluruskan pendapat siswa tentang pengertian kuantor universal dan
kuantor eksistensial.
4. Guru memberikan beberapa soal kepada siswa, sehingga siswa dapat
menentukan pernyataan berkuantor dan menentukan nilai kebenarannya.
5. Guru membimbing siswa dalam menyelesaikan soal.
6. Guru memberikan beberapa contoh pernyataan berkuantor, sehingga siswa
dapat menentukan ingkarannya, karena pada pertemuan pertama guru sudah
membahas tentang negasi atau ingkaran.
7. Guru memberikan latihan kepada siswa.
8. Siswa mengerjakan latihan yang diberikan guru.
9. Guru berkeliling mengahmpiri siswa dan membimbing siswa dalam
mengerjakan latihan.
C. Kegiatan Akhir
10’
15’
10’
15’
15’
15’
1. Guru merangkum semua materi yang telah diajarkannya pada pertemuan
tersebut.
2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya.
10’
E. Alat Dan Sumber Belajar
1. Buku Matematika Kelas X Semester 2
2. Bahan Ajar
F. Penilaian
1. Partisipasi dalam diskusi dan menjawab pertanyaan guru.
2. Proses mengerjakan soal-soal latihan.
LAMPIRAN 1
BAHAN AJAR 1
Satuan Pendidikan : SMA
Kelas/ Semester : X/ Genap
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pelajaran : Logika Matematika
Pertemuan : 1
Pernyataan dan Bukan Pernyataan
a. Pernyataan ( kalimat deklaratif )
Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,
tidak sekaligus dua-duanya. Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa
pernyataan adalah kalimat yang mempunyai benar saja atau salah saja tetapi tidak
benar benar dan salah sekaligus, atau dengan kata lain sebuah pernyataan adalah
kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya ( bernilai benar atau salah
berdasarkan empirik atau nonempireik ). Untuk mempermudah penggunaan
selanjutnya, pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misalnya p, q, r,
dan sebagainya. Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B ( benar ) atau 1
dan pernyataan salah memiliki kebenaran S ( salah ) atau 0.
Contoh :
a. p : Bilangan cacah adalah bilangan asli ditambah nol
b. q : Lagu Indonesia Raya diciptakan oleh Kusbini
c. r : Jika 2x = 6 maka x = 3
1. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung peubah ( variabel ) dan apabila
peubah diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan suatu
pernyataan.
Contoh :
a. x + 2 = 5
b. x2 – 5x – 40 > 0
c. Ini adalah sebuah logam
2. Bukan Pernyataan ( Kalimat Nondeklaratif )
Kalimat bukan pernyataan merupakan kalimat yang mempunyai arti tetap dan tidak
mempunyai nilai benar atau salah.
Contoh :
a. Semoga Tuhan mengampuni dosaku.
b. Beristirahatlah jika anda lelah.
Ingkaran/ Negasi
Ingkaran atau negasi adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan
dengan nilai kebenaran dari semula. Negasi dari pernyataan p ditulis bernilai salah,
dan jika p bernilai salah, maka bernilai benar.
Tabel kebenaran negasi:
Nilai Kebenaran
Jika p suatu pernyataan bernilai benar, maka bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai
salah maka bernilai benar.
Contoh :
1. p : Jakarta ibu kota Indonesia
: Tidak benar Jakarta ibu kota Indonesia
: Jakarta bukan ibu kota Indonesia
2. q : 6 < 3
: Tidak benar 6 < 3
:
r :
: Tidak benar
:
4. s :
p
B S
S B
: Tidak benar
: 2 – 3 x 4 > 10
Latihan
1. Diberikan kalimat-kalimat sebagai berikut
a. Jakarta ibu kota Republik Indonesia.
b. Saya pelajar SMA.
c. 2 bukan bilangan prima.
d. Gradien garis y = 3x + 6 adalah 3.
e. 117 habis dibagi 9.
Dari kalimat diatas, tentukan kalimat yang benar dan kalimat yang salah.
Diskusi
Lakukan diskusi dengan teman sebangkumu.
Diberikan pernyataan p = Saya siswa kelas XI SMA. Jika kalian bukan siswa kelas XI
SMA, maka bagaimana mengatakannya untuk menyangkal pernyataan p tersebut ?
Pekerjaan Rumah
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Buatlah ingkaran dari kalimat berikut!
a. Semarang adalah ibu kota Jawa Tengah.
b. Panjang diameter sebuah lingkaran adalah dua kali jari-jarinya.
c. 2 + 3 < 1.
d. 4 bukan merupakan bilangan prima.
e. Jajar genjang tidak memiliki simetri setengah putar.
f. Tidak benar bahwa 23=9
g. Semua ikan bernafas dengan insang.
h. Ada bilangan cacah yang bukan bilangan asli.
LAMPIRAN 2
Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut ini.
i. “4 adalah bilangan genap”, kalimat ini benar.
ii. “Hasil kali 2 dan 3 sama dengan 6”, kalimat ini benar.
iii. “10 adalah bilangan ganjil”, kalimat ini salah.
iv. “7 kurang dari 6”, kalimat ini salah.
Kalimat-kalimat diatas hanya benar saja dan salah saja, tidak sekaligus benar dan salah pada
saat yang sama. kalimat-kalimat yang bercirikan seperti itu disebut sebagai pernyataan.
LAMPIRAN 3
Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak
benar…di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata
tidak atau bukan dalam pernyataan semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara
seperti itu disebut ingkaran atau negasi.
LAMPIRAN 4
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.
p : Surabaya adalah ibukota Jawa Timur
q : Surabaya adalah kota pahlawan
Dua pernyataan itu dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau menjadi:
“Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau Surabaya adalah kota pahlawan”. Dua pernyataan
tersebut bernilai benar.
LAMPIRAN 5
BAHAN AJAR 2
Satuan Pendidikan : SMA
Kelas/ Semester : X/ Genap
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pelajaran : Logika Matematika
Pertemuan : 2
Disjungsi
Disjungsi adalah dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata hubung logika “ atau
“ untuk membentuk pernyataan majemuk yang disebut disjungsi dari pernyataan semula.
Disjungsi dari dua pernyataan p dan q ditulis “ “ ( baca p atau q ). Nilai kebenaran
dari memenuhi sifat-sifat, jika p salah dan q salah maka bernilai salah, selain
itu selalu bernilai benar. Atau bernilai salah jika mempunyai unsure-unsur
salah atau salah.
Tabel kebenaran disjungsi :
Contoh :
1. p : 5 merupakan bilangan ganjil. ( Benar )
q : Kalimantan adalah pulau terbesar di Indonesia. ( Benar )
p q
B B B
B S B
S B B
S S S
: 5 merupakan bilangan ganjil atau Kalimantan adalah pulau terbesar di
Indonesia. ( Benar )
2. p : 3 adalah bilangan prima. ( Benar )
q : 3 adalah bilangan genap. ( Salah )
: 3 adalah bilangan prima atau bilangan genap. ( Benar )
Hubungan Antara Disjungsi Dua Pernyataan dengan Gabungan Dua Himpunan.
Jika p dan q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka
p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka adalah himpunan penyelesaian dari
kalimat terbuka pada himpunan semesta S yang sama.
Dalam bentuk lambing himpunan dapat ditulis sebagai berikut.
Hubungan tersebut dapat digambarkan dengan diangram Venn seperti ditunjukkan pada
gambar dibawah ini.
S
Contoh :
Diketahui p(x) : 2x2 - 7x + 3 = 0 dan q(x) : x2 – 2x – 3 = 0, dengan x peubah pada himpunan
bilangan real R. Jika p dan q adalah pernyataan yang terbentuk dari p(x) dan q(x) dengan
mengganti nilai , carilah nilai x sehingga ( ) bernilai benar.
Jawab :
Himpunan penyelesaian p(x) : 2x2 – 7x + 3 = 0 adalah
Himpunan penyelesaian q(x) : x2 – 2x – 3 = 0 adalah
=
( ) bernilai benar, jika , berarti x = -1, x = , x = 3
Konjungsi
Konjungsi adalah dua buah pernyataan yang dihuungkan dengan kata hubung logika “
dan “ untuk membentuk pernyataan majemuk yang disebut konjungsi dari pernyataan.
Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis “ “ ( dibaca p dan q ). Nilai kebenaran dari
memenuhi sifat-sifat jika p benar dan q benar maka benar, selain itu
selalu salah, atau bernilai benar jika mempunyai unsure benar dan benar.
Tabel kebenaran konjungsi :
Contoh :
p q
B B B
B S S
S B S
S S S
1. p : Jakarta adalah ibu kota Indonesia. ( Benar )
q : Jakarta terletak di pulau Jawa. ( Benar )
: Jakarta adalah ibu kota Indonesia dan terletak di pulau Jawa. ( Benar )
2. p : 2 adalah bilangan prima. ( Benar )
q : 2 adalah bilangan ganjil. ( Salah )
: 2 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil. ( Salah )
Hubungan Antara Konjungsi Dua Pernyataan dengan Irisan Dua Himpunan.
Jika P dan Q masing-masing merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan
q(x) pada himpunan semesta S, maka P ∩ Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat
terbuka pada himpunan semesta S yang sama.
Dalam bentuk lambing himpunan dapat dituliskan sebagai berikut.
benar jika
Contoh :
Diketahui p(x) : x2 – 5x + 4 = 0 dan q(x) : dengan x peubah pada himpunan
bilangan asli A. Pernyataan p dan q dibentuk dari p(x) dan q(x) dengan mengganti nilai
.
Carilah nilai x sehingga ) bernilai benar.
Jawab :
Himpunan penyelesaian p(x) : x2 – 5x + 4 = 0 adalah
Himpunan penyelesaian q(x) : adalah
Irisan P dan Q adalah
) benar, jika , berarti untuk nilai x = 4
Latihan :
1. Diketahui p : Saya lulus ujian dan q : Saya sangat bahagia. Buatlah pernyataan baru
dengan ketentuan berikut ini!
a.
b.
2. p, q, dan r masing-masing merupakan sebuah pernyataan. Buatlah table kebenaran
yang menyatakan pernyataan majemuk berikut ini !
a.
b.
c.
d.
Pekerjaan Rumah
1. Tentukan harga x, agar disjungsi dari dua pernyataan berikut bernilai benar !
a. p(x) : 2x + 1 = 3 ; q : 4 > 2
b. p(x) : x adalah bilangan asli kurang dari 3 ; q: India adalah anggota ASEAN
2. Lengkapilah tabel berikut !
p q
B B
B S
S B
S S
LAMPIRAN 6
BAHAN AJAR 3
Satuan Pendidikan : SMA
Kelas/ Semester : X/ Genap
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pelajaran : Logika Matematika
Pertemuan : 3
Implikasi
Dua pernyataan p dan q dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk
menjadi bentuk “ jika p maka q “. Pernyataan baru yang disusun dengan cara seperti ini
disebut pernyataan implikasi atau pernyataan bersyarat/ kondisional dari pernyataan p dan
q. Bagian “ jika p “ dinamakan alasan atau sebab ( antesenden/ hipotesis ) dan bagian “
maka q “ dinamakan kesimpulan atau akibat ( konklusi atau konsekuen ). Implikasi “ jika
p maka q “ dalam bentuk symbol ditulis :
p → q ( dibaca “ jika p maka q “)
Implikasi p → q dapat pula dibaca sebagai berikut :
q hanya jika p
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu p
Tabel Kebenaran Implikasi :
Nilai kebenaran :
Implikasi p ↔ q bernilai salah jika p benar dan q salah, dalam kemungkinan lain p ↔ q
bernilai benar.
Contoh :
1. p : 2 adalah faktor dari 6. ( Benar )
q : 6 adalah bilangan genap. ( Benar )
p → q : Jika 2 adalah faktor dari 6 maka 6 adalah bilangan genap. ( Benar )
2. p : Sekarang hari mendung. ( Benar )
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
q : Sekarang akan turun hujan. ( Benar )
p → q : Jika sekarang hari mendung maka sekarang akan turun hujan. ( Benar )
Hubungan Antara Implikasi dengan Himpunan Bagian
Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x)
dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p → q benar jika
Atau dalam bentuk lambing himpunan dapat dituliskan sebagai berikut.
Implikasi p → q benar, jika
Hubungan tersebut dapat digambarkan dengan diagram Venn seperti ditunjukkan pada
gambar dibawah ini.
Contoh :
Apabila Badu benar seorang haji, tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a) Jika Badu seorang haji, maka beragama Islam.
b) Jika Badu beragama Islam, maka Badu seorang haji.
Jawab :
Misalkan P adalah himpunan haji dan Q adalah himpunan orang beragama Islam.
Hubungan antara himpunan P dan himpunan Q diperlihatkan dengan diagram Venn pada
gambar dibawah ini.
P Q
PQ
Diagram Venn diatas memperliharkan bahwa sedangkan .
Dengan demikian :
a) “ Jika Badu seorang haji, maka Badu beragama Islam “ merupakan implikasi yang
benar, sebab .
b) “ Jika Badu beragama Islam, maka Badu seorang haji “ merupakan implikasi yang
salah, sebab .
Biimplikasi
Dua bentuk pernyataan p dan q dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat
majemuk menjadi bentuk “ p jika dan hanya jika q “. Pernyataan baru yang disusun
dengan cara seperti ini disebut pernyataan biimplikasi atau ekuivalensi dari pernyataan p
dan q. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dalam bentuk symbol ditulis :
p ↔ q ( dibaca “ p jika dan hanya jika q “ )
Biimplikasi p ↔ q dapat pula dibaca sebagai berikut :
Jika p maka q dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup bagi q
q syarat perlu dan cukup bagi p
Nilai kebenaran dari pernyataan p ↔ q adalah jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang
sama maka p ↔ q bernilai benar, selain itu p ↔ q bernilai salah atau p ↔ q bernilai benar
jika nilai kebenarannya mengandung unsur keduanya sama.
Tabel kebenaran biimplikasi :
Contoh :
p : 5 > 1
q : 32 = 9
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
p ↔ q :
Sehingga biimplikasi bernilai benar karena mempunyai nilai kebenaran sama.
Konvers, Invers, dan Kontraposisi.
Dari suatu pernyataan implikasi p → q dapat dibuat pernyataan baru, yaitu :
1. q → p disebut konvers dari implikasi
2. disebut invers dari implikasi
3. disebut kontraposisi dari implikasi
Contoh :
Misalkan p : Segitiga ABC sama sisi dan q : Ketiga sudutnya sama besar. Implikasi dari
pernyataan p dan q adalah p → q “ Jika segitiga ABC sama sisi maka ketiga sudutnya
sama besar “.
1. Konversnya q → p : “ Jika ketiga sudutnya sama besar maka segitiga ABC sama sisi
“.
2. Inversnya : “ Jika segitiga ABC bukan sama sisi maka ketiga sudutnya
tidak sama besar “.
3. Kontraposisi : “ Jika ketiga sudunnya tidak sama besar maka segitiga ABC
bukan sama sisi “.
Latihan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan benar !
1. Tentukan nilai kebenarannya dari :
a. Jika hasil dua bilangan negarif adalah positif maka -1 < 0.
b. Jika 273 bilangan ganjil maka 2 adalah bilangan genap.
c. Jika E adalah nomor kendaraan untuk wilayah Ciebon maka 1 + 4 = 7.
2. Tentukan harga x agar biimplikasi berikut bernilai benar !
a. 2 – x < 1 – 2x jika dan hanya jika Surabaya ibu kota provinsi Jawa Timur.
b. 3 < 2 jika dan hanya jika x bilangan asli kurang dari 3.
Pekerjaan Rumah
Jawablah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan benar !
1. Lengkapilah tabel berikut!
p q
B B
B S
S B
S S
2. Lengkapilah tabel berikut !
p q p ↔ q
B B
B S
S B
S S
3. Lengkapilah pernyataan berikut agar menjadi suatu implikasi yang bernilai benar !
a. Jika P (1,) dicerminkan terhadap sumbu y maka bayangannya adalah ….
b. Jika x2 + bx + c = 0 mempunyai dua akar sama maka diskriminannya adalah ….
c. Jika a > b dan b > c maka a ….
d. Jika n bilangan ganjil maka 2n adalah bilangan ….
4. Tentukan nilai kebenaran dari
LAMPIRAN 7
BAHAN AJAR 4
Satuan Pendidikan : SMA
Kelas/ Semester : X/ Genap
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pelajaran : Logika Matematika
Pertemuan : 4
Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya.
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan
tunggal ( komponen ) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Nilai
kebenaran dari kalimat majemuk dapat ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran.
Contoh :
Menentukan kebenaran dari pernyataan majemuk . Ada dua cara menentukan
nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yaitu :
Cara 1
Tabel kebenaran pernyataan ditentukan melalui langkah-langkah berikut :
a) Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan pernyataan q.
pernyataan p dan q beserta nilai kebenarannya dituliskan pada kolom (1) dan (2).
b) Tentukan nilai kebenaran . Pernyataan beserta nilai kebenarannya dituliskan
pada kolom (3).
c) Tentukan nilai kebenaran . Pernyataan beserta nilai
kebenarannya dituliskan pada kolom (4).
d) Tentukan nilai kebenaran . Pernyataan beserta nilai
kebenarannya dituliskan pada kolom (5).
(1) (2) (3) (4) (5) kolom ke
p q
B B S B S
B S B B S
S B S S B
S S B B S
(1) (2) (3) (4) langkah ke
Nilai kebenaran pernyataan dapat dibaca dari atas ke bawah pada
kolom (5) yaitu S, S, B, S.
Cara 2.
Langkah-langkah yang digunakan sama seperti pada cara 1, hanya saja operasi-operasi
dan pernyataan-pernyataan ditulis secara berurutan pada baris judul. Jadi, baris judul pada
tabel kebenaran ditulis
a) Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan q nilai
kebenaran pernyataan p dan q ditulis pada kolom (2) dan (5).
b) Tentukan nilai kebenaran . Nilai kebenaran ditulis pada kolom (4). Perhatikan
baris judul pada kolom (4) hanya ditulis saja.
c) Tentukan nilai kebenaran . Nilai kebenaran ditulis pada kolom
(3). Perhatikan baris judul pada kolom (3) hanya ditulis saja.
d) Tentukan nilai kebenaran . Nilai kebenaran ditulis pada
kolom (1). Perhatikan baris judul pada kolom (1) hanya ditulis .
(1) (2) (3) (4) (5) kolom ke
( p q )
S B B S B
S B B B S
B S S S B
S S B B S
(4) (1) (3) (2) (1) langkah ke
Nilai kebenaran pernyataan dapat dibaca dari atas ke bawah pada
kolom (1), yaitu S, S, B, S.
Tautologi
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Contoh :
Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk [( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r) adalah sebuah
tautologi.
Jawab :
Perhatikan tabel kebenaran [( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r) dibawah ini.
p q r p→q q→ r p→r ( p → q) ∧ ( q→ r)[( p → q) ∧ ( q→
r)]→(p→r)
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B
Dari tabel di atas jalas bahwa :
[( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r)= BBBBBBBB
Jadi, pernyataan majemuk [( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r) adalah sebuah tautologi.
Dua Buah Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Tautologi yang berbentuk a ↔ b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan
lambing a ≡ b ( dibaca: a ekuivalen b ). Dua buah pernyataan majemuk dikatakan
ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama
untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataa-pernyataan komponennya.
Contoh :
Tunjukkan bahwa :
a)
b)
c)
d)
Jawab :
a) Tabel kebenaran
p q
B B S S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B S B B
Jadi,
b) Tabel kebenaran
p q
B B S S B S S
B S S B S B B
S B B S S B B
S S B B S B B
Jadi,
c) Tabel kebenaran
p q
B B S B S S
B S B S B B
S B S B S S
S S B B S S
Jadi, .
d) Tabel kebenaran
p q )
B B S S B S S S S
B S S B S B S B B
S B B S S S B B B
S S B B B S S S S
Jadi, .
Berdasarkan contoh diatas, ingkaran, dari disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi
dapat ditentukan melalui hubungan berikut.
a)
b)
c)
d)
Sifat Komutatif, Assosiatif, dan Distributif pada Disjungsi dan Konjungsi
1. Sifat Komutatif
a)
b)
2. Sifat Assosiatif
a)
b)
3. Sifat Distributif
a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi.
b) Distributif konjungsi terhadap disjungsi.
Latihan
1. i. Salin dan lengkapilah tabel kebenaran dibawah ini.
(p ∇ q) → (q ∧ r)
B B B
B B S
B S B
B S S
S B B
S B S
S S B
S S S
ii. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal i), tentukan nilai kebenaran
pernyataan majemuk .
2. i. Salin dan lengkapilah tabel kebenaran dibawah ini.
p q r( q ∧ r ) [ p ∇ ( q ∧
r )]
p → [ p ∇ ( q ∧ r )]
B B B
B B S
B S B
B S S
S B B
S B S
S S B
S S S
ii. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal i), apakah pertanyaan majemuk
p → [ p ∇ ( q ∧ r )] sebuah tautologi?
3. Tunjukkan bahwa:
a) p ∇ p ≡ pb) p ∧ p ≡ pc)
Pekerjaan Rumah
1. Diketahui p adalah pernyataan yang bernilai benar, q adalah pernyataan yang bernilai
salah, dan r adalah pernyataan yang bernilai benar. Berdasarkan ketentuan tersebut,
tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan majemuk berikut.
a.
b.
c. → r
d. ( p ∧ r ) → q
e.
2. Tunjukkan bahwa tiap pernyataan majemuk berikut ini adalah sebuah tautologi.
Petunjuk: Gunakan tabel kebenaran.
a. ( p ∧ q ) → q
b.
c.
d.
e.
3. Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan berlakunya sifat assosiatif dan
distributif berikut.
a. ( p ∇ q ) ∇ r ≡ p ∇ (q ∇ r )b. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∇ (q ∧ r )c. p ∇ (q ∧ r) ≡ ( p ∇ q ) ∧ (p ∇ r )d. p ∧ (q ∇ r) ≡ ( p ∧ q ) ∇ (p ∧ r )
LAMPIRAN 8
BAHAN AJAR 5
Satuan Pendidikan : SMA
Kelas/ Semester : X/ Genap
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pelajaran : Logika Matematika
Pertemuan : 5
Kuantor Universal
Coba perhatikan kembali pernyataan berkuantor universal “ Semua siswa kelas XA
senang olahraga “.
Jika: P = Himpunan semua siswa kelas XA.
Q = Himpunan semua siswa kelas X yang senang olahraga.
S = Himpunan semua siswa kelas X.
Maka P ⊂ Q dan pernyataan berkuantor universal. “ Semua siswa kelas XA senang
olahraga “ dapat digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut.
S Secara umum, P ⊂ Q berarti semua anggota P
merupakan anggota Q, atau jika maka
, yang ditulis dengan lambing :
) → (
QP
Pernyataan berkuantor universal dapat dinyatakan dengan “ Semua P adalah Q “ atau “
Setiap P adalah Q “, yang ekuivalen dengan “ Jika maka “.
Contoh :
Diketahui kalimat terbuka q(x) : x2 + 3 > 0.
Tentukan pernyataan berkuantor universal dari q(x) dan carilah nilai kebenarannya, jika
himpunan semestanya adalah semua bilangan real R.
Jawab :
Pernyataan berkuantor universalnya .
Pernyataan berkuantor universal ini bernilai benar, sebab
untuk semua
Sehingga x2 + 3 > 0 untuk semua .
Kuantor Eksistensial
Coba perhatikan kembali pernyataan berkuantor eksistensial “ Beberapa siswa kelas
XB senang olahraga “.
Jika : P = Himpunan semua siswa kelas XB.
Q = Himpunan semua siswa kelas X yang senang olahraga.
S = Himpunan semua siswa kelas X.
Maka pernyataan “ Beberapa siswa kelas XB senang olahraga “.
Jadi, ada x anggota P ( sekurang-kurangnya satu anggota ) yang menjadi anggota Q. Atau
dapat dikatakan “ Beberapa anggota P merupakan anggota Q” yang ditulis dengan
lambing .
Jadi: Pernyataan berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dengan “beberapa P adalah Q”
atau “Ada P yang Q”, yang ekuivalen dengan “ Sekurang-kurangnya ada satu anggota P
yang menjadi anggota Q”.
Contoh :
Diketahui kalimat terbuka p(x) : 2x – 1 = 3.
Tentukan pernyataan berkuantor eksistensial dari p(x) serta nilai kebenarannya, jika
himpunan semestanya adalah himpunan bilangan real R.
Jawab :
Pernyataan berkuantor eksistensial dari p(x) adalah :
, 2x – 1 = 3
Pernyataan itu bernilai benar. Sebab ada sebuah nilai , yaitu untuk x = 2, yang
mengubah kalimat terbuka p(x) : 2x – 1 = 3 menjadi pernyataan yang benar.
Perhatikan, untuk x = 2 diperoleh :
2 ∙ 2 – 1 = 3, merupakan pernyataan yang benar.
Ingkaran Pernyataan Berkuantor
Diskusi :
Ade : Semua siswa kelas XA senang olahraga.
Budi : Beberapa siswa kelas XB senang olahraga.
Diskusikan dengan teman sebangkumu untuk membuat ingkaran dari pernyataan Ade dan
Budi, kemudian bacakan hasil diskusimu di depan kelas.
Untuk lebih memahaminya, coba lengkapi isian berikut.
Salin dan Lengkapilah
a. Ingkaran pernyataan berkuantor universal
1. p : Semua siswa SMA gemar matematika.
: Tidak semua ….
: Beberapa siswa SMA tidak ….
: Ada … yang …
2. p : Semua P adalah Q.
: …. semua P adalah Q.
: Beberapa P adalah … Q.
: Ada P yang … Q.
3. Pernyataan :
Ingkarannya : , ….
4. p : , p(x)
: , p(x))
: , p(x)
b. Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial
1. p : Beberapa bilangan asli hais dibagi 2.
: Semua bilangan asli tidak ….
2. p : Beberapa P adalah Q.
: Semua P adalah tidak ….
3. Pernyataan : , log x = 2
Ingkarannya : , …
4. p : , p(x)
: , p(x))
: , p(x)
Jadi, ingkaran dari pernyataan berkuantor :
, p(x)) ≡ …..
, p(x)) ≡ …..
Latihan
1. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berkuantor universal berikut ini, jika
himpunan semestanya adalah A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
a)
b)
c)
d)
e)
2. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berkuantor eksistensial berikut ini jika
himpunan semestanya adalah A = {1, 2, 3, 4 }
a)
b)
c)
d)
e)
3. Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berkuantor universal dan eksistensial
berikut ini.
a) Semua tamu boleh menyalami pengantin.
b) Setiap bilangan real adalah rasional atau irasional.
c) Setiap persegi mempunyai panjang sisi yang sama.
d) Beberapa orang kaya tidak hidup bahagia.
e) Beberapa fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X.
f) Ada bilangan real x sehingga x2 + 1 = 0
g) Terdapat bilangan real x sehingga x2 – 1 = 0