Rozwiązanie zadania metodą Clebscha i...
Transcript of Rozwiązanie zadania metodą Clebscha i...
Metoda Maxwella-Mohra
Dr inż. Arkadiusz Bednarz
Wytrzymałość Materiałów 2
Politechnika Rzeszowska, 2020
Metoda Maxwella-Mohra
Metoda Maxwella-Mohra, podobnie jak metoda Analityczno-Wykreślna i metoda Clebscha, służy do wyznaczenia liniiugięcia belki. Metoda Maxwella-Mohra jest metodą energetyczną.Metoda ta opiera się na liczeniu całki iloczynów momentów gnących. Na szczęście nie ma potrzeby liczenia całek.
Rozwiązanie opiera się o wzór Wereszczagina (dotyczący całkowania graficznego).Dla badanej belki należy narysować wykres momentu gnącego i oznaczyć go jako 𝑀𝑀𝑔𝑔.W celu znalezienia w dowolnym punkcie kąta obrotu przekroju belki lub strzałki ugięcia, należy postępować wnastępujący sposób:• Chcąc określić strzałkę ugięcia w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeń zewnętrznych,
tylko podpory/utwierdzenie). Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyć siłęjednostkową o kierunku zgodnym z osią y. Dla nowopowstałej belki należy wyznaczyć moment gnący i oznaczyć gojako 𝑚𝑚𝑔𝑔. Wartość strzałki ugięcia to 𝟏𝟏
𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.
• Chcąc określić kąt obrotu w przekroju belki w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeńzewnętrznych, tylko podpory/utwierdzenie). Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyćmoment jednostkowy o kierunku zgodnym z obrotem wskazówek zegara. Dla nowopowstałej belki należywyznaczyć moment gnący i oznaczyć go jako 𝑚𝑚𝑔𝑔. Wartość kąta obrotu przekroju belki to 𝟏𝟏
𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.
Tabelka
Źródło: Niezgodziński M., Niezgodziński T.: Wytrzymałość Materiałów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998
Wartości całek ∫𝑙𝑙 𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐 dla kilku typowych przypadków obciążeń.
Wyjaśnienie wzoru Wereszczagina
�𝑙𝑙
𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐
Na osi poziomej mamy Mg. Na osi pionowej mamy mg. W przypadku „trójkąt rosnący” x „trójkąt rosnący”. Zgodnie z tabelką będzie to wzór 1
3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.
We wzorze pojawia się Ω oraz 𝑥𝑥𝑐𝑐 . Ω to pole powierzchni „1” figury, zaś 𝑥𝑥𝑐𝑐to wysokość w „2” figurze, opuszczona ze środka ciężkości figury „1”.
Udowodnienie i interpretacja wzoru �𝑙𝑙
𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐
Udowodnienie i interpretacja wzoru (wersja czerwona) �𝑙𝑙
𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐
Wzory można stosować naprzemiennie (patrz czerwone i niebieskie prostokąty).
Udowodnienie i interpretacja wzoru (wersja niebieska) �𝑙𝑙
𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐
Rozwiązanie wersji czerwonej:
Czy kierunek trapezu ma znaczenie? �𝑙𝑙
𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐
Zadanie 1
Szukane:
Moment gnący (Mg) dla zadanej belki
W tym zadaniu możemy szybko narysować wykres.W tym konkretnym zadaniu, możemy narysować wykres momentu gnącego bez liczenia reakcji. Takie podejście znacznie przyśpiesza rozwiązanie.
Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie A. Przypomnienie ze slajdu nr 2:• Chcąc określić strzałkę ugięcia w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeń zewnętrznych,
tylko podpory/utwierdzenie).• Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyć siłę jednostkową o kierunku zgodnym z osią
y.• Dla nowopowstałej belki należy wyznaczyć moment gnący i oznaczyć go jako 𝑚𝑚𝑔𝑔.• Wartość strzałki ugięcia to 𝟏𝟏
𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.
Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie A.
Wyznaczanie kąta obrotu przekroju A.Przypomnienie ze slajdu nr 2:
• Chcąc określić kąt obrotu w przekroju belki w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeń zewnętrznych, tylko podpory/utwierdzenie).
• Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyć moment jednostkowy o kierunku zgodnym z obrotem wskazówek zegara.
• Dla nowopowstałej belki należy wyznaczyć moment gnący i oznaczyć go jako 𝑚𝑚𝑔𝑔.
• Wartość kąta obrotu przekroju belki to 𝟏𝟏𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛
∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.
Wyznaczanie kąta obrotu przekroju A.
Zadanie 2
Szukane:
Moment gnący (Mg) dla zadanej belki
Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie D.
Wyznaczenie kąta obrotu przekroju C.
Wyznaczenie kąta obrotu przekroju A.
Zadanie 3
Szukane:
Moment gnący (Mg) dla zadanej belki
W tym zadaniu, by narysować wykres momentu gnącego, należy wyznaczyć minimum jedną reakcję podporową.
Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie B.
Wyznaczenie kąta obrotu przekroju D.
Zadanie 4
Szukane:
Moment gnący (Mg) dla zadanej belki
Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie D.
W przypadku, gdy moment gnący zmienia się z dodatniej na ujemną (lub odwrotnie), nie musimy traktować tego obciążenia jako dwa trójkąty. Możemy to potraktować jako trapez. Należy wtedy uwzględnić odpowiednio (+) lub (-) przy wartości wpisywanej do wzoru.
Wyznaczenie kąta obrotu przekroju C.
Wyznaczenie kąta obrotu przekroju A.
Zadania do samodzielnej realizacji
Zadanie 5
Zadanie 6
KONIEC PREZENTACJI
Źródła:
Niezgodziński M., Niezgodziński T.: Wytrzymałość Materiałów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998