Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Rovnice s kombinačnímičísly29. ledna 2013 VY_32_INOVACE_110212_Rovnice_s_kombinacnimi_cisly_DUM

obr. 1

Kombinační čísloKombinační číslo (binomický koeficient) odpovídá počtu k-členných kombinací z n prvků (tj. k-tic, v níž nezáleží na pořadí prvků).

Označení čteme: kombinace k-té třídy z n prvků čteme: n nad k.Platí:

obr. 2

1) Pro 2) Pro

Vlastnosti kombinačních čísel

obr. 2

Praktická část výukového materiálu „Rovnice s kombinačními čísly“ se zabývá využitím vzorce pro počet kombinací bez opakování při řešení čtyř rovnic s kombinačními čísly.

Kombinace bez opakování – praktická část

obr. 1

Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1

Řešení úlohy 3

Úloha 3

Úloha 2 Řešení úlohy 2

Řešení úlohy 4

Řešení úlohy 1

Úloha 4

Závěr

Úloha 1 Řešte rovnici:

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Řešení úlohy 1Při řešení rovnice využijeme 1. vlastnosti kombinačních čísel a následně rovnici upravujeme známými způsoby. Platí: Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijeme diskriminant D: Odtud plyne, že O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou.

pokračování

obr. 3

Řešení úlohy 1 zpět do nabídky úloh

obr. 3

Zkouška:Kořen vyhovuje rovnici.Pro nejsou kombinace definovány.Kořen nevyhovuje rovnici.Řešení je .𝝟

Řešte rovnici: Úloha 2 zpět do nabídky úloh

obr. 4

Řešení úlohy 2 pokračování Při řešení rovnice využijeme toho, že kombinační číslo Z 1. vlastnosti kombinačních čísel plyne, že: .Dále rovnici řešíme známými úpravami, převedeme ji na kvadratickou rovnici.

/:2 Kvadratickou rovnici řešíme s využitím Viétových vzorců: Odtud plyne, že . O správnosti se přesvědčíme zkouškou. obr. 4

Řešení úlohy 2 zpět do nabídky úlohZkouška:

Kořen vyhovuje rovnici.Pro nejsou kombinace definovány.Kořen nevyhovuje rovnici.Řešením rovnice je .𝝟 obr. 4

Řešte rovnici:Úloha 3 zpět do nabídky úloh

obr. 5

Řešení úlohy 3 pokračováníOpět využijeme při řešení rovnice toho, že kombinační číslo Z vlastnosti kombinačních čísel dále plyne, že .Rovnici po úpravách převedeme na kvadratický tvar:

Pomocí Viétových vzorců vyřešíme vzniklou kvadratickou rovnici: Ze vzorců plyne, že . O tom, který z kořenů vyhovuje rovnici, se přesvědčíme zkouškou. obr. 5

Řešení úlohy 3 zpět do nabídky úlohZkouška:Kořen vyhovuje rovnici.Pro nejsou kombinace definovány.Kořen nevyhovuje rovnici.Řešení rovnice je .𝝟

obr. 5

Řešte rovnici: Úloha 4 zpět do nabídky úloh

obr. 6

Řešení úlohy 4 pokračováníZ vlastnosti kombinačních čísel platí: .Rovnici upravíme do kvadratického tvaru:

Z Viétových vzorců určíme kořeny kvadratické rovnice: Ze vzorců plyne, že Zkouškou ověříme správnost řešení.

obr. 6

Řešení úlohy 4 zpět do nabídky úlohZkouška: Kořen vyhovuje rovnici.Pro nejsou kombinace definovány.Kořen nevyhovuje rovnici.Řešením rovnice je K

obr. 6

Ve čtyřech kombinatorických úlohách jsme se zabývali řešením rovnic s kombinačními čísly. Přitom jsme využívali vlastnosti kombinačních čísel, která nám umožňovala nahradit kombinační čísla ze zadání rovnicejinými čísly. S kombinačními čísly budeme dále pracovat i ve výukových materiálech týkajících se tématu nerovnice s kombinačními čísly nebo tématu binomická věta.

Závěrobr. 1

Použitá literatura:HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky prostřední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 202 - 203, 205 - 206. ISBN 80-7196-165-5.

CITACE ZDROJŮ

Použité obrázky:1) COMEAU-MONTASSE, Luc. File:Équations-modifications.jpg - Wikimedia Commons [online]. February 2008 [cit. 2013-01-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:%C3%89quations-modifications.jpg 2) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - Wikimedia Commons [online]. 29 January 2012 [cit. 2013-01-29]. Dostupné licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 3) INNOVAT. File:Class-room.png - Wikimedia Commons [online]. 20 September 2012 [cit. 2013-01-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Class-room.png 4) ASTUR. File:Edubuntu-classroom.jpg - Wikimedia Commons [online]. 21 March 2010 [cit. 2013-01-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Edubuntu-classroom.jpg

CITACE ZDROJŮ

Použité obrázky: 5) TUNGSTEN. File:Math lecture at TKK.JPG - Wikimedia Commons [online]. 31 May 2005 [cit. 2013-01-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math_lecture_at_TKK.JPG 6) HELT. File:Samraong classroom.jpg – Wikimedia Commons [online]. 18 May 2010 [cit. 2013-01-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samraong_classroom.jpg?uselang=cs Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

CITACE ZDROJŮ

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík