Routh Hurwitz

CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 1

Bài tập về tiêu chuẩn ổn định đại số

Routh – Hurwitz

Bài tập 1: Cho hệ thống như Hình 1. Hệ thống vòng kín có

ổn định không?

Giải:

PTĐT:

( ) ( )

( )( )( )

0

3 2

1 0

10001 0

2 3 5

10 31 1030 0

CG s G s

s s s

s s s

+ =

⇔ + =+ + +

⇔ + + + =

( )( )( )1000

( )2 3 5

( ) 1

O

C

G ss s s

G s

=+ + +

=Hình 1

C(s) R(s) GC(s) Go(s)



� Dùng tiêu chuẩn Routh

Bảng Routh:

S3 1 31 S2 10→1 1030→103 S1 -72 0 S0 1030 0

(Ở hàng s2 ta chia các hệ số cho 10 để dễ tính toán mà

không ảnh hưởng đến kết quả)

Kết luận: Cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên hệ thống

không ổn định, 2 cực bên phải mpp.

� Dùng tiêu chuẩn Hurwitz

Ma trận Hurwitz:

10 1030 0

1 31 0

0 10 1030

H =

Các định thức con: 1

2

3 2

1 0

10 1030310 1030 720 0

1 31

1030* 0

∆ = >

∆ = = − = − <

∆ = ∆ <

Kết luận: Vì tất cả các định thức con không dương nên

hệ không ổn định.



Bài tập 2: Xét ổn định của PTĐT sau:

5 4 3 22 3 6 5 3 0s s s s s+ + + + + =

Giải:

Bảng Routh:

S5 1 3 5 S4 2 6 3 S3 0 → ε 7/2 0 S2 6� � 7

�� 0

3 0

S1 42� � 49 � 6�

12� � 14� 0

0 0

S0 3 0 0

Kết luận: PTĐT không ổn định, có 2 nghiệm bên phải

mpp.

Bài tập 3: Xét ổn định của PTĐT sau:

5 4 3 27 6 42 8 56 0s s s s s+ + + + + =

Giải:



Bảng Routh:

S5 1 6 8 S4 7→1 42→6 56→8 S3 0→4→1 0→12→3 0→0→0 S2 3 8 0 S1 1/3 0 0 S0 8 0 0

Hàng s3 có các hệ số bằng 0 → lập đa thức phụ

( )( )

4 2

3

6 8

4 12

A s s s

dA ss s

ds

= + +

⇒ = +

Kết luận: PTĐT ổn định vì các hệ số cột 1 bảng Routh

dương.



ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp.

( )3 2

200( )

6 11 6

( ) 1

O

C

G ss s s s

G s

=+ + +

=Hình 4







Bài tập 6: Cho hệ thống như Hình 6. Tìm K để hệ thống

vòng kín ổn định?

ĐS: 0 < K < 1386.

( )0 4 3 2

1( )

2 3 2 3 2

( ) 1c

G ss s s s s

G s

=+ + + +

=Hình 5


( )( )0( )7 11

( ) 1c

KG s

s s s

G s

=+ +

=Hình 6




Bài tập 7: Cho hệ thống như Hình 7. Tìm K để hệ thống

vòng kín ổn định?

ĐS: 0 < K < 2.

Bài tập 8: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ

PTTT sau:

[ ]

0 3 1 10

2 8 1 0

10 5 2 0

1 0 0

x x

y x

= + − − − =

ɺ

Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc

Hurwitz.


( )( )( )0

20( )

2 3

( ) 1c

K sG s

s s s

G s

+=

+ +=

Hình 7




Bài tập 9: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ

PTTT sau:

[ ]

2 1 1 0

1 7 1 0

3 4 5 1

0 1 0

x x

y x

= + − − =

ɺ

Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc

Hurwitz.


Bài tập 10: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:

( ) ( )0 4 3 2

0.25 0.435

3.456 3.457 0.719 0.0416

K sG s

s s s s

+=

+ + + +

Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn

định.

ĐS: -0.382 < K < 25.87.

Bài tập 11: Cho hệ thống có hàm truyền vòng kín Gk(s)

sau:



( ) 3 2

76.39

151.32 198 76.39k

KG s

s s s K=

+ + +

Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định.

ĐS: 0 < K < 392.2.

Bài tập 12: Cho hệ thống có hàm truyền vòng kín Gk(s)

sau:

( ) ( )( )4 3 2

0.25 0.10925

3.483 3.465 0.25 2.4288 0.10925k

s KG s

s s s K s K

+=

+ + + + +

Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định.

ĐS: 0 < K < 26.42.


( ) ( )( )( )( )0

3 5

2 4

K s sG s

s s

+ +=

− −


định.

ĐS: K > 6/8.




( ) ( )( )( )0 2

2 2

3

K s sG s

s

+ −=

+


định.

ĐS: -1 < K < 3/4.


( ) ( )( )0 4

1

2

K sG s

s s

+=

+


định.

ĐS: Không tồn tại K.


( ) ( )( )( )( )0 2

2 4 5

3

K s s sG s

s

− + +=

+




định.

ĐS: 1/54 < K < 3/40.


( ) ( )( )( )( )0 2

2

1 4 1

K sG s

s s s

+=

+ + −


định.

ĐS: Không tồn tại K.


( ) ( )( )( )0 15 27 38

KG s

s s s=

+ + +

Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị dao

động.

ĐS: K = 144690, tần số dao động 44.73 rad/s.



Bài tập 19: Cho hệ thống sau:

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.

ĐS: -1/2 < K < 1.



ĐS: 0 < K.

- +

1

s � 2s � 1

�� 2� � 2� R(s)

C(s)

Hình 19

-

+

s � 6

s � 7

K�s � 2�

s�s � 1��s � 3� R(s)

C(s)

Hình 20





ĐS: -0.36772 < K.



ĐS: -0.1429 < K < 1.1759.

Hình 21

1

s � 10

s � 0.6s � 9

K�s � 1�

s � 4.85

-

+ R(s) C(s)

0.7

s � 1.7s � 0.25 1

1

s � 0.4 K

0.1

s � 0.1

R(s) C(s)

-

+

Hình 22





ĐS: 0 < K < 29908.07.



ĐS: 0 < K < 1.0192.

10

s � 10s � 29

K�s � 0.01��s � 6�

s�s � 20��s � 100�

Hình 23

C(s)

-

+ R(s)

200

s � 12s � 100

K�s � 0.6��s � 6�

�s � 0.1��s � 100�

500

s�s � 6�

Hình 24

C(s)

-

+ R(s)





ĐS: 0.00509 < K.

7570

�s � 62.61��s � 62.61�

K�s � 0.8��s � 103�

s

Hình 25

C(s)

-

+ R(s)

Routh Hurwitz

Documents

Transcript of Routh Hurwitz