Rotating string in doubled geometry with generalized isometries
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Rotating string in
doubled geometry with
generalized isometries
KEK String Advanced Lecture (SAL), 11th July, 2012
菊池 徹 (NIMS/KEK)
ref. arXiv:1205.5549 (accepted by PRD this morning)
共同研究者: 岡田崇(京都大学)、酒谷雄峰(京都産業大学)
まとめ と呼ばれるブレーンが作る背景場と、そのブレーンの周りを回る基本弦の運動を調べた。
(① ブレーンが作る背景場を再構築した。)
② ブレーンの周りを回る基本弦の古典解を得た。
③ ブレーンと、その周りを回る基本弦の性質が、
Double Field Theory の枠組みでよく理解できることを示した。
cf. [de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]
T-fold and
T-duality 変換群 の復習
質量0の点粒子の場合:
( ノンコンパクト時空にとっての質量 )ノンコンパクト方向の足
コンパクト方向の足
弦の場合: 巻きつき数の寄与も考えて、
弦
巻きつき数
(d 次元コンパクト化された時空における )
Generalized metric
i.e.,
B 場の寄与も含めると…
正準運動量がずれる
Generalized metric の変換性
変換行列 の種類
① 座標変換 C GL(d)∈
② ( B 場の)ゲージ変換 A は反対称d × d行列
③ それ以外 (非自明な T-duality 群変換)
この 変換が、
どのような奇妙な時空 (=T-fold) を自然に生み出すのか見てみよう。
T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065]
× with
非周期性
ゲージ変換
座標変換
(非自明な)T-duality 群変換
(→constant H=dB)
T-fold
モノドロミー(φ,ψ)-torus の generalized metric
T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065]
NS5 KKM
大ざっぱな教訓: 非周期性が B 場だけに因る系に、
T T弦理論の場合:
2回 T-duality を作用させると T-fold を得る。
全て U-fold! (codim=2) T-duality
S-duality
brane-web of (type II) string theory
IIA
IIB
T-fold
-brane記法:
[de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]
= 時間方向 + transverse (1,2) 平面 +非自明にファイバーされた (3,4)-torus +残りの次元 (1,2) 平面
(3,4)-torus
の軸非対称性は O(2,2) 変換からくる。
の構造
基本的には先ほどの toy model と全く同じ。
の構造
(余分な次元が加わるだけ)
i.e., 非自明にファイバーされた 2-torus がある。
Rotating Stringand
Double Field Theory
T-fold ( より一般には non-geometric background)
弦理論に自然に(必然的に)存在する奇妙な時空
このような奇妙な背景場における物理( = プローブの挙動)を調べる。
前節のまとめ:
観測者はどのような世界を見るか?
→ 弦理論には「人間」は存在しないので、プローブとして基本弦を置いてみる。
・ charge の非保存?
・離散的な charge の、連続的な遷移過程
もともとの動機:
p3= -1p4=0w3=0w4=1
始状態
終状態p3= -1p4=0w3=0w4=0
??
?
中途半端な winding number ?背景場の変化に合わせて、
プローブも変化する。( 巻きつき数の非保存? )
例 : : 基本弦を の周りで一周させる。
話をはっきりさせるために、
周りを、等角速度で回転する基本弦の古典解を求めた。
: 任意関数
2個の未知関数に対する6個の方程式。
→ 一般解が求まった
(3,4)-torus弦
注:このような解しか存在しない。
(1,2)- 平面
(見やすさのために長方形で表している)
結果 (当初の目的意識からするとあまり面白くない)
は「何らかの意味で」軸対称で、の周りを回る基本弦は、「何らかの意味で」形を変えずに回っているのだろう。
=
「何らかの意味」 → doubled geometry の意味
の軸非対称性は、 と単純だから…
?
Double Field Theory の骨子
・ Doubled geometry
・ Generalized geometry※このトークでは、簡単のため10次元すべてを double にする。
コンパクト方向の座標双対座標
特に、一般化された リー微分:
すべての場は x^I に依存する
Doubled geometry
不変性 (⊃ 10 次元一般座標不変、 10 次元ゲージ不変)を明白にしたい。→ 通常の時空の足 L,M,N… を含む 20 次元の足が必要
は弦の運動量と巻きつき数を混ぜる。
cf. [Duff, Nucl.Phys. B335 (1990) 610][Kugo-Zwiebach, Prog.Theor.Phys. 87 (1992) 801-860]
理由1
理由2
作用を書くのに必要な材料:
実際、 不変な作用が書ける。
ゲージ固定
Generalized geometry Good review: [Zwiebach, Lect.Notes Phys. 851 (2012) 265-291 ]
Generalized geometry の基本思想: G と B を対等に扱いたい。
G のゲージ変換:
B のゲージ変換:
ゲージ変換パラメター:
G と B で形が異なる(実に醜い)
one-form vector
この「おつり」を吸収したリー微分を作りたい。
一般化リー微分の見つけ方:
vector と one-form に関して対称で美しい式。
注: より演繹的な一般化リー微分の定義の仕方もある。 cf. Generalized complex geometry
(ex. Courant bracket, Hitchin geometry)
[Hohm-Hull-Zwiebach, JHEP 1008 (2010) 008]
Generalized metric の変換性を書き下してみる。
重要な点: が双対座標に依存している。 そうでなければ、 ただの座標変換
言い換えると、 は双対座標を巻き込んだような座標変換
・ は doubled geometry の意味で軸対称。
Doubled geometry の言葉で、先ほどまでの話を見直してみる。
( Doubled geometry の言葉を借りなければ、このような isometry は記述できない。)
現段階では、この generalized isometry は「目の子」で見つけただけ。
→ 意味の詳しい理解は今後。
我々の時空
・弦は generalized Killing vector に沿って、形を変えずに平行移動していく。
我々の時空 doubled 空間
射影
doubled 空間
doubled 弦(形を変えない)
方向
我々の時空
通常の弦( 形を変えていく )
イメージ図1 イメージ図2
弦の”形”を表すベクトル
関連する話題&
Future directions(放言)
Q-brane
D7-brane
“S-brane”
[Bergshoeff-Hartong-Ortin-Roset, JHEP 0702 (2007) 003][Greene-Shapere-Vafa-Yau, Nucl.Phys. B337 (1990) 1]
一般に“ Q-branes” と呼ばれる。弦理論的な素性は分かっていない。通常のブレーンの束縛状態?
(特に名前はないブレーン)
D7-brane
“S-brane”[TK-Okada-Sakatani, arXiv:1205.5549]
-brane
U-duality
“T34-brane”
Q-brane の素性は何か?その周りでの probe の振る舞いは?
U-folds上の charge
KKM の周りで基本弦を動かす( off-shell )。
KKM を囲む S^3 は Hopf S^3→ 基本弦は local にしか S^3 に巻き付けない。 ( global には巻きつき数が定義できない)
→ プロセスの最中、基本弦から KKM に winding charge が流れ込む。
の周りで基本弦を動かす (off-shell) 。
→ 基本弦は local にしか に巻き付けない。 ( global には巻きつき数が定義できない)
→ プロセスの最中、基本弦から に winding charge が流れ込む。
[Gregory-Harvey-Moore, Adv.Theor.Math.Phys.1:283-297,1997]
のモノドロミーは
GHM プロセス
U-fold上の” charge” を定義するためには、duality によって様々な charge が渾然一体となっている様
を理解しなければならない(?)
7-brane: 弦理論における渦渦: 非自明なサイクルを持ち得る。→ 周囲に対する影響力が強いソリトン
cf. Abe homotopy: 渦とモノポール共存状態の分類、 Z→Z2
[小林 -小林 -川口 -新田 -上田 , Nucl.Phys. B856 (2012) 577-606]
↑ これらは“自明な背景”における charge の分類
cf. Alice string, Cheshire charge
[Alford-Benson-Coleman-MarchRussel-Wilczek, Nucl. Phys. B 349, 414 (1991)][Schwarz, Nucl. Phys. B 208, 141 (1982).]
渦の存在下での charge
通常の文脈での duality U-fold 背景における duality
名言(?)「 U-fold をめぐる道は、 である。」
-- 岡田 崇
弦
T
こちらの世界 あちらの世界 一つの世界での出来事
duality の道
dualityへの理解に対する新しいアプローチ(?)
consistent な描像 → duality の理解