Résumé du cours d�Algèbre Générale(L3 Maths)

Yves Driencourt

Printemps 2007

Table des matières

1 Généralités et rappels 31.1 Relation d�équivalence, ensemble quotient . . . . . . . . . . . . 31.2 Factorisation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Groupes 42.1 Dé�nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Morphismes, noyau, image, produit . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Sous-groupes engendrés, générateurs . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 La structure de groupe de G/H . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8 Produit simple et semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.9 Exemples de groupes en géométrie :

les isométries du plan et de l�espace . . . . . . . . . . . . . . . 162.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9.2 La dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9.3 La dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.10 Groupes de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.11 Groupes opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 252.12 Sous-groupes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Anneaux 343.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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3.3 Anneaux de polynômes et de séries formelles . . . . . . . . . . 453.3.1 Dé�nition de A [[X]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 Dé�nition de A [X1; X2; ::; Xn] . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3 Dérivations et formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . 473.3.4 Racines et ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . . . 483.3.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.6 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . 503.3.7 Relations entre coe¢ cients et racines d�un polynôme . 523.3.8 Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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Avertissement : le présent résumé de cours s�inspire en partie des livres deRoger Godement (Cours d�Algèbre, Hermann) et Lionel Schwartz (Algèbre 3èmeannée, Dunod). Les étudiants sont renvoyés à ces livres, présents en bibliothèque,pour de plus amples détails (les démonstrations ne sont pas toujours données ici, oudi¤èrent de celles données par les auteurs...), ainsi que pour de nombreux exercicespuisés dans ces ouvrages, pour lesquels est souvent donnée, dans le second tout aumoins, une solution abrégée. Les rappels d�algèbre linéaire proviennent du livre deF. Liret et D. Martinais (Algèbre et Géométrie 2ème année, Dunod), égalementprésent en bibliothèque.

1 Généralités et rappels

1.1 Relation d�équivalence, ensemble quotient

Dé�nition 1 : Soit R une relation sur un ensemble E: On dit que R estune relation d�équivalence si les conditions suivantes sont rempliesi) xRx 8x 2 E (ré�exivité)ii) xRy =) yRx (symétrie)iii) xRy et yRz =) xRz (transitivité).

Exemple 2 : Si f est une application de E dans un ensemble M :xRy () f(x) = f(y):

Exemple 3 : E = Z : xRy () x � y modn; pour n �xé.

Proposition 4 : Soit R une relation d�équivalence sur un ensemble E: Ilexiste un ensemble M et une application f : E ! M tels que les relationsxRy et f(x) = f(y) soient équivalentes.

Preuve : On pose M = fx j x 2 Eg et on dé�nit f par f(x) = x oùx = fy 2 E j yRxg :Les classes d�équivalence x forment une partition de E et on note fré-

quemment M = E=R; f étant appelée l�application canonique de E sur sonquotient par la relation R:

Exemple 5 : En reprenant le dernier exemple :

E=R = "Z=nZ" =�0; 1; ::::; n� 1

:

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1.2 Factorisation canonique

Théorème 6 : Soient E un ensemble, R une relation d�équivalence sur Eet � l�application canonique E ! E=R et f une application de E dans unensemble X: Les propriétés suivantes sont équivalentes :a) xRy =) f(x) = f(y);b) il existe une application f : E=R! X telle que f = f � �:Si ces conditions sont réunies, f est unique.De plus, f est injective si et seulement si : xRy () f(x) = f(y); f est

surjective si et seulement si f l�est.

2 Groupes

2.1 Dé�nitions et généralités

Dé�nition 7 : Un groupe G est un ensemble muni d�une loi de compositioninterne, i.e. une application de G � G ! G : (x; y) 7! xy; véri�ant lespropriétés suivantes- la loi est associative : x(yz) = (xy)z pour tous x; y; z dans G;- il existe un élément "neutre" , noté e; pour cette loi : ex = xe = x pour

tout x 2 G;- chaque élément x possède un symétrique x0; véri�ant xx0 = x0x = e:

Dé�nition 8 : On dit que le groupe G est commutatif (ou abélien) si la loivéri�e de plus : xy = yx pour tous x; y dans G:

Remarque 9 : On note fréquemment de façon multiplicative la loi d�ungroupe quelconque, réservant la notation additive au cas où le groupe estcommutatif. Dans le premier cas, l�élément neutre sera noté e ou 1, le sy-métrique de x : x�1 (l�inverse) et l�élément xn (n > 0) désignera xx:::x (nfois). Dans la notation additive, on utilisera plutôt 0 pour désigner l�élémentneutre, �x pour le symétrique de x (l�opposé) et nx pour x + x + ::: + x (nfois).Bien noter que pour n > 0 toujours, on a (x�1)n = (xn)�1 et donc, pour

tous m;n : xmx�n = xm�n; en�n x0 = 1:

Exemple 10 : Z pour +; Q� pour �; Q�+ pour �; S(X) (bijections de l�en-

semble X dans lui-même) pour la loi de composition : (f; g) 7! f � g:

Dé�nition 11 : Un sous-groupe du groupe G est un sous-ensemble de Gqui a lui-même une structure de groupe pour la loi induite (ce qui nécessiteévidemment que le sous-ensemble en question soit stable pour cette loi !).

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En pratique, on utilise la caractérisation suivante : H est un sous-groupede G si et seulement si les 2 conditions suivantes sont réaliséesa) H 6= ?;b) (x 2 H et y 2 H) =) xy�1 2 H:

Exemple 12 : nZ dans Z; nZ\mZ dans Z ou dans nZ; nZ+mZ dans Z;R+� dans R

�:

Concernant Z; on montre facilement (division euclidienne) que tous lessous-groupes sont de la forme nZ: Noter que nZ est aussi le plus petit sous-groupe de Z contenant n:

Exercice 1 : Montrer que pour m et n entiers

nZ \mZ = ppcm(m;n)Z

nZ+mZ = pgcd(m;n)Z

En déduire le théorème de Bézout.

2.2 Morphismes, noyau, image, produit

Si G1 et G2 sont deux groupes, notés multiplicativement, un morphismede G1 dans G2 est une application véri�ant f(xy) = f(x)f(y) pour tousx; y 2 G1: On a alors f(1) = 1 et f(x�1) = f(x)�1: Si G1 = G2; on parled�endomorphisme, si le morphisme est bijectif, on parle d�isomorphisme, en-�n pour les morphismes bijectifs de G dans lui-même, on parle d�automor-phismes. On note Aut(G) ce dernier ensemble.

Exemple 13 : ln : R�+ ! R et exp : R! R�

+:

Exemple 14 : L�image réciproque d�un sous-groupe de G2 par le morphismef est un sous-groupe de G1:

Exemple 15 : Si x 2 G, l�application g 7! xgx�1 est un automorphisme deG appelé automorphisme intérieur ou encore conjugaison.

Proposition 16 : Aut(G) est un groupe, pour : (f; g) 7! f � g.

On appelle noyau de f le sous-ensemble ker f = fx 2 G1 j f(x) = 1g deG1 et image de f le sous-ensemble Im f = fy 2 G2 j 9x 2 G1 avec y = f(x)gde G2:

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Proposition 17 : ker f est un sous-groupe de G1 et Im f est un sous-groupede G2:

Etant donnée une famille de groupes Gi; i 2 I; on peut considérer leproduit Y

i2IGi

sur lequel on peut dé�nir une loi de groupe par

(gi)� (g0i) = (gig0i):

Exercice 2 : On note O(2;R) le sous-ensemble de M(2;R) formé des ma-trices A véri�ant tAA = I: Montrer que c�est un sous-groupe de GL(2;R);formé des matrices s�écrivant sous l�une des deux formes suivantes�

a b�b a

�ou

�a bb �a

�avec a2 + b2 = 1: On note O+(2;R) le sous-ensemble des matrices de lapremière forme, montrer que c�est un sous-groupe commutatif de O(2;R);isomorphe, via �

a b�b a

�7! a+ ib;

au cercle unité dans C�:Interpréter géométriquement les transformations du plan correspondant

aux matrices ci-dessus.

2.3 Sous-groupes engendrés, générateurs

Lemme 18 : Soit (Hi)i2I une famille quelconque de sous-groupes d�un groupeG: Alors \

i2IHi est un sous-groupe de G:

Conséquence : si A est une partie quelconque d�un groupe G; l�intersec-tion des sous-groupes de G contenant A est le plus petit sous-groupe de Gcontenant A; on dit que c�est le sous-groupe engendré par A:

Proposition 19 : Soit A une partie de G: Pour que x appartienne au sous-groupe de G engendré par A; il faut et il su¢ t qu�il existe p � 0 et deséléments x1; x2; :::; xp de G tels que x = x1x2:::xp avec, pour chaque i; xi oux�1i dans A:

Si A est �ni, on dit que le sous-groupe engendré par A est de type �ni

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Remarque 20 : Si G est commutatif et A = fx1; x2; :::; xpg ; alors

x 2 HA () x = x�11 x�22 :::x

�pp avec des �i entiers,

HA désignant le sous-groupe engendré par A:

Exemple 21 : Zn est de type �ni, engendré par e1 = (1; 0; :::::; 0); :::::;en = (0; 0; :::; 1):

Exercice 3 : Montrer que Q n�est pas de type �ni (raisonner par l�absurde).

Pour A = fxg ; on obtient le sous-groupe engendré par x; composé deséléments xn avec n 2 Z:En�n, les groupes �nis sont évidemment de type �ni. En voici un exemple :

S(X) avec X = f1; 2; 3g ; on peut lister tous ses éléments

s1 : (1; 2; 3) 7! (1; 2; 3)

s2 : (1; 2; 3) 7! (2; 3; 1)

s3 : (1; 2; 3) 7! (3; 1; 2)

s4 : (1; 2; 3) 7! (1; 3; 2)

s5 : (1; 2; 3) 7! (2; 1; 3)

s6 : (1; 2; 3) 7! (3; 2; 1):

On peut décrire ce groupe par sa table de multiplication (composition desapplications), ce qui permet de remarquer quelques propriétés évidentes1) Il n�est pas commutatif puisque par exemple : s2s4 = s5 6= s6 = s4s2:2) fs1; s2; s3g forment un sous-groupe H � S(X):3) Il est engendré par s4; s5; s6 (les "transpositions" qu�il contient) :

s2 = s6s5 et s3 = s5s6:

2.4 Groupes cycliques

Revenons sur le cas d�un groupe engendré par un seul élément x: S�ilest �ni, on dit que G est cyclique, il existe dans ce cas n 2 N tel quexn = 1: Le plus petit entier positif véri�ant ceci s�appelle l�ordre de x:On a alors G = f1; x; x2; :::; xn�1g : Si on est en notation additive, on aG = f0; x; 2x; :::; (n� 1)xg :

Exemple 22 : Z=nZ =�0; 1; 2; :::; n� 1

; le groupe quotient de Z par la

relation de congruence modulo n; est un groupe cyclique à n éléments. Avecles notations qui précèdent, c�est f0; x; 2x; :::; (n� 1)xg avec x = 1:

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Exemple 23 : Les racines n-ièmes de l�unité dansC, c�estUn = f1; x; x2; :::; xn�1gavec x = e2�i=n:

Exemple 24 : Les rotations vectorielles �xant les sommets du polygone ré-gulier à n côtés, ici x = R(O; 2�

n) et xk = R � ::: �R| {z }

k fois

= R(O; 2k�n):

Proposition 25 : Soient G un groupe et x un élément d�ordre n: Tout entierk véri�ant xk = 1 est multiple de n:

Corollaire 26 : Tout groupe cyclique à n éléments est isomorphe à Z=nZ:

Proposition 27 : Soit G un groupe cyclique. Tout sous-groupe de G estlui-même cyclique, de même que l�image de G par un morphisme.

Exercice 4 : Soient G un groupe commutatif , x et y des éléments de Gd�ordre m et n premiers entre eux. Montrer que z = xy est d�ordre mn etque le sous-groupe engendré par z contient x et y.

Exercice 5 : Soient G et H des groupes cycliques à m et n éléments.Prouver que G�H est cyclique si et seulement si m et n sont premiers entreeux. Si x et y sont des générateurs de G et H, le couple (x; y) est alors ungénérateur de G�H:

Exercice 6 : Montrer que Z=nZ possède, pour tout diviseur d de n, ununique sous-groupe Cd d�ordre d.

2.5 Classes modulo un sous-groupe

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G: La relation

xRy , x�1y 2 H

est une relation d�équivalence et la classe d�équivalence de x est formée deséléments xh avec h 2 H: On la note xH:L�ensemble quotient se note G=H (classes à droite moduloH): La relation

xy�1 2 H conduit à l�ensemble quotient HnG (classes à gauche).

Dé�nition 28 : Si G est un groupe �ni, son cardinal est noté (G : 1) ets�appelle l�ordre du groupe.

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Théorème 29 (Lagrange) : Soient G un groupe �ni et H un sous-groupe deG: On a la relation

(G : 1) = (G : H)(H : 1)

où (G : H) désigne le nombre de classes de G modulo H, ou encore, lecardinal du quotient G=H:

Preuve : L�application h 7! xh est une bijection de H sur xH pour toutx 2 G; montrant ainsi que toutes les classes ont le même nombre d�éléments.

Le théorème de Lagrange nous dit donc que l�ordre d�un sous-groupedivise toujours l�ordre du groupe, c�est le cas en particulier de l�ordre de toutélément d�un groupe �ni puisque cet ordre n�est autre que le cardinal dusous-groupe qu�il engendre.

Proposition 30 : Soit G un groupe �ni à p éléments où p est un nombrepremier. Alors G ' Z=pZ:

Exercice 7 : Montrer qu�il n�y a que deux groupes d�ordre 4 à isomorphismeprès, tous deux commutatifs : Z=4Z et (Z=2Z)2 (raisonner sur l�ordre possibledes éléments et dans le cas où il n�y a pas d�élément d�ordre 4, dresser la tabled�opérations)

Exercice 8 : Soient G un groupe cyclique à n éléments et x un générateurde G. Montrer que xk engendre G si et seulement si les entiers n et k sontpremiers entre eux. Dans le cas général, quel est l�ordre du sous-groupe de Gengendré par xk ?

Exercice 9 : a) On cherche à prouver que le seul groupe commutatif d�ordre6 (à isomorphisme près) est Z=6Z.Montrer en e¤et qu�il existe toujours un élément d�ordre 6 en éliminant

les deux éventualités suivantes :� il n�y a que des éléments d�ordre 2,� il n�y a que des éléments d�ordre 3 (considérer alors la décomposition

G = H [ yH; où H est le sous-groupe engendré par un élément x d�ordre 3et y =2 H).b) De même le seul groupe non commutatif d�ordre 6 à isomorphisme près

est appelé D3: On examine les di¤érentes possibilités en prouvant successive-ment� qu�il ne peut y avoir d�élément d�ordre 6,� qu�il ne peut y avoir que des éléments d�ordre 2 (calculer aababb de 2

façons pour montrer qu�alors le groupe serait commutatif).

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En déduire qu�il existe toujours un élément d�ordre 3 et conclure en écri-vant comme dans le cas commutatif G = H [ yH; avec y =2 H; forcémentd�ordre 2.c) Dans le cas non commutatif, en reprenant les notations de b); que vaut

gHg�1 pour g 2 G ? On pose ensuite K1 = f1; yg (resp. K2 = f1; yxg ;K3 = f1; yx2g); que vaut gKig

�1 pour g 2 G et i = 1; 2; 3 ?

Exercice 10 : Montrer que les ensembles suivants sont des groupes, et auvu des exercices précédents, dire de quel type ils sont :f1; 2; 3; 4g � Z=5Z pour la multiplication,f1; 3; 5; 7g � Z=8Z pour la multiplication,f1; i;�1;�ig � C� pour la multiplication,f1; j; j2;�1;�j;�j2g � C� pour la multiplication.

Exercice 11 : Soit p un nombre premier. Montrer que le groupe (Z=pZ)2

possède exactement p+ 1 sous-groupes d�ordre p et les décrire précisément.

2.6 La structure de groupe de G/H

Dé�nition 31 : On dit qu�un sous-groupe H de G est distingué (ou inva-riant) dans G si l�une des 3 conditions équivalentes est satisfaitei) xHx�1 � H pour tout x 2 G;ii) xHx�1 = H pour tout x 2 G;iii) xH = Hx pour tout x 2 G:

C�est évidemment le cas si le groupe G est commutatif.

Exemple 32 : Le noyau d�un morphisme de groupe est un sous-groupe dis-tingué.

Exercice 12 : Soit A une partie d�un groupe G. On note

Z(A) = fx 2 G = xa = ax 8a 2 Ag

appelé centralisateur de A. Montrer que c�est un sous-groupe de G. PourA = G lui-même, on appelle Z(G) le centre du groupe. Montrer que c�est unsous-groupe commutatif et distingué de G.

Exercice 13 : Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On appellenormalisateur de H l�ensemble des x 2 G tels que xHx�1 = H: Montrer quece sous-ensemble de G noté NH est un sous-groupe de G dans lequel H estdistingué et que c�est le plus grand possédant cette propriété.

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Exercice 14 : Montrer que O+(2;R) (cf ex.2) est un sous-groupe distinguéde O(2;R): Que vaut s � r � s�1 si s est une symétrie et r une rotation ?

Théorème 33 : Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G: Ilexiste une et une seule loi de composition faisant de G=H un groupe et telleque l�application canonique � : G! G=H soit un morphisme.

Preuve : La question à résoudre est celle de la compatibilité de la loi degroupe avec la relation d�équivalence modulo le sous-groupe H: C�est préci-sément ce à quoi sert la notion de sous-groupe distingué. On remarque en�nque la loi sur le quotient n�exprime rien d�autre que le fait que � est unmorphisme, ce qui règle la question de l�unicité.La relation d�équivalence modulo un sous-groupe distingué est la seule

qui permette de munir le quotient d�une structure de groupe telle que l�ap-plication canonique soit un morphisme. C�est ce que montre la propositionsuivante.

Proposition 34 : Soient G un groupe et R une relation d�équivalence surG de telle sorte quei) le quotient G=R possède une structure de groupe,ii) l�application canonique � : G! G=R est un morphisme,alors R est de la forme : xRy , x�1y 2 H (ou bien xy�1 2 H); pour un

sous-groupe invariant H de G:

Preuve : H = ��1(f1g) est un sous-groupe distingué de G et �(x) = �(y)équivaut à x�1y 2 H (ou bien xy�1 2 H):Dans les schémas de décomposition canonique, on s�intéressera donc à

des quotients de la forme G=N où N est un sous-groupe distingué de G: Sil�on reprend le schéma ensembliste de la factorisation canonique, on l�enri-chit en donnant aux ensembles impliqués des structures de groupes et auxapplications les propriétés de morphisme. Pour factoriser en toute généralité,on aura les ingrédients suivantsi) un morphisme de f : G! G0

ii) une relation R sur G véri�ant : xRy =) f(x) = f(y) et telle que lequotient G=R ait une structure de groupe (et donc l�application canonique� la propriété de morphisme). Ceci équivaut à se donner un sous-groupedistingué dans G; inclus dans le noyau de f:On en déduit alors l�existence et l�unicité d�une application f : G=N ! G0

qui factorise f en ce sens que f � � = f et qui de plus est un morphisme,

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puisque

f(x:y) = f(xy)

= f(xy)

= f(x)f(y)

= f(x)f(y):

Avec comme corollaire, le fait quei) f est injective si et seulement si N = ker f;ii) f est surjective si et seulement si f l�est.

Exercice 15 : Montrer que U = fz 2 C� j jzj = 1g est isomorphe au groupequotient R=2�Z (utiliser l�application x 7�! eix de R dans C):

2.7 Suites exactes de groupes

On considère le schéma suivant

G1f1! G2

f2! ::::::fn�1! Gn

fn! Gn+1

où les Gi désignent des groupes et les fi des morphismes. On dit que la suiteest exacte si, pour chaque entier i; 1 � i < n : Im fi = ker fi+1:Exemple 35 : Si H est un sous-groupe distingué de G; la suite (en notationmultiplicative)

1! Hi! G

�! G=H ! 1

est exacte. La première �èche indique en e¤et que i (l�injection canonique)est injective, la dernière que � (la surjection canonique) est surjective.

Exemple 36 : Soient G un groupe engendré par x et f : Z! G donné parf(n) = xn:Si f est injectif, G est in�ni, isomorphe à Z:Sinon ker f = rZ où r est l�ordre de G et G ' Z=rZ:

Exercice 16 : Soient p et q deux entiers premiers entre eux. Montrer quel�application

x! (x mod p; x mod q)

est un homomorphisme surjectif de Z sur le produit cartésien Z=pZ�Z=qZ.En déduire le théorème chinois

Z=pZ� Z=qZ ' Z=pqZ.

Exercice 17 : Montrer que si m divise n

(Z=nZ) = (mZ=nZ) ' Z=mZ.

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2.8 Produit simple et semi-direct

Par produit simple de 2 sous-groupes H et K d�un même groupe G; onentend

HK = fhk j h 2 H; k 2 Kg :

Ce n�est pas un sous-groupe en général, par contre ça l�est dans le cas com-mutatif, on le note souvent sous forme de somme : H +K:Dans certaines conditions particulières, HK est un sous-groupe, ainsi que

le montrent les exercices qui suivent.

Exercice 18 : Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes tels queH � NK :a) Montrer que H \K est distingué dans H, puis que HK = KH est un

sous-groupe de G.b) En considérant x 7�! xK de H dans HK=K, en déduire l�isomor-

phisme canoniqueH=H \K ' HK=K

Exercice 19 : Soient G un groupe quelconque, H et K deux sous-groupesvéri�ant : H � NK ; H \K = f1g et G = HK: Montrer qu�on a alors

G ' H �K

avec de plushk = kh 8h 2 H 8k 2 K

(considérer l�application (h; k)! hk de H �K dans HK):

Il existe une autre notion de produit, qui intervient notamment dansl�étude des groupes �nis, c�est le produit semi-direct. Pour cela, on considèredeux groupes N et H, un homomorphisme de H dans Aut(N) (le groupeformé par les automorphismes de N). On dé�nit alors

G = N oH

que l�on munit d�une structure de groupe en posant

(n; h)(n0; h0) = (n(h)(n0); hh0):

On dit que G est produit semi-direct de N par H relativement à (si = 1;G est le produit direct bien connu).

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Proposition 37 : Avec les notations qui précèdent, on pose n = (n; 1) eth = (1; h); puis

N = fn j n 2 Ng ;H =

�h j h 2 H

:

Alors N est distingué dans G et on a

(h)(n) = hn(h)�1:

On a de plus : N \H = f(1; 1)g et G=N ' H; autrement dit, la suite

1! N ! G! H ! 1

est exacte.

Proposition 38 : Réciproquement, soient G un groupe, N un sous-groupedistingué di¤érent de G et f1g : On a donc la suite exacte

1! N ! G! G=N ! 1:

On suppose qu�il existe dans G un sous-groupe H tel que la surjection cano-nique de G! G=N induise un isomorphisme de H sur G=N (on appelle Hun relèvement de G=N). Alors

N \H = f1gG = NH

etG = N oH

(l�action de H sur N étant la conjugaison : (h)(n) = hnh�1):

Remarquer dans le cas particulier où G est commutatif : l�existence d�unrelèvement de G=N implique

G ' N �H (ou bien N �G=N):

Exercice 20 : Montrer qu�un groupe commutatif d�ordre 8 est nécessaire-ment isomorphe à l�un des groupes suivants

Z=8Z, Z=2Z�Z=4Z, (Z=2Z)3

(raisonner sur l�ordre possible des éléments du groupe : G possède un élémentd�ordre 8 (cas 1), sinon il possède un élément d�ordre 4 (cas 2), sinon il nepossède que des éléments d�ordre 2 (cas 3). Dans les deux derniers cas, utiliserla proposition 38 en prenant pour N un sous-groupe d�ordre 4).

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Exercice 21 : Soient G un groupe commutatif �ni et n un entier tel quexn = 1 pour tout x 2 G:a) On suppose n = ab avec a et b premiers entre eux, et on désigne par A

(resp. B) l�ensemble des x 2 G tels que xa = 1 (resp. xb = 1): Montrer queA et B sont des sous-groupes dont G est le produit direct.b) Soit n = pr11 ::::p

rkk la décomposition de n en facteurs premiers. On pose

qi = prii et on désigne par Gi l�ensemble des x 2 G tels que xqi = 1: Montrer

que G est produit direct des sous-groupes Gi:c) On suppose dans cette question que n = pr pour un nombre premier

p. Montrer que si G n�est pas réduit à l�élément neutre, il contient un élé-ment d�ordre p. En raisonnant par récurrence sur Card(G), déduire de là queCard(G) est une puissance de p.d) Soit G un groupe commutatif de cardinal n = pr11 ::::p

rkk : Montrer que

G est produit direct de sous-groupes d�ordres prii :e) On suppose Card(G) = n = pr pour un nombre premier p, et on fait en

outre l�hypothèse que l�équation xp = 1 possède au plus p solutions dans G. Onveut montrer, par récurrence sur r, que G est cyclique. Soient s le plus petitentier tel que xp

s= 1 pour tout x 2 G et H le sous-groupe des solutions de

xps�1= 1: En considérant le noyau et l�image de l�homomorphisme x! xp

s�1;

montrer que Card(H) = pr�1; que H est cyclique et que s = r. Montrer queG lui-même est cyclique en examinant l�ordre d�un x =2 H:f) Montrer qu�un groupe commutatif G de cardinal �ni n est cyclique si et

seulement si, pour tout nombre premier p divisant n, les solutions de xp = 1sont en nombre p au plus.

Exercice 22 : Soit p un nombre premier.a) Montrer que Z=pZ est un corps (prouver que tout élément de

G = (Z=pZ)� est inversible pour la multiplication.b) Montrer que l�équation xp�1 = 1 possède exactement p�1 racines dans

G:

c) Soit d un diviseur de p � 1: Montrer que l�équation xd = 1 possèdeexactement d racines dans G (on pourra utiliser l�égalité

yk � 1 = (y � 1)(yk�1 + ::::y + 1)

dans le corps Z=pZ avec un y bien choisi et compter les racines).d) On décompose p � 1 en facteurs premiers et on note qr la puissance

du premier q intervenant dans cette décomposition. Parmi les solutions dexq

r= 1; peut-on trouver un élément d�ordre qr du groupe G ?e) En conclure que G est cyclique (utiliser l�exercice 4)

15

2.9 Exemples de groupes en géométrie :les isométries du plan et de l�espace

On rappelle ici un certain nombre de propriétés de ces groupes, que l�onva ensuite mettre en rapport avec les groupes étudiés par ailleurs (groupesdiédraux, groupes de permutation...).

2.9.1 Généralités

E espace vectoriel euclidien (espace vectoriel réel muni d�un produit sca-laire) de dimension n; q forme quadratique dé�nie positive associée.

Dé�nition 39 : On note O(q) = fu 2 GL(E) j q(u(x)) = q(x);8x 2 Eg pourdésigner l�ensemble des isométries (vectorielles), qui est un sous-groupe deGL(E):

Dans Rn muni du produit scalaire usuel, par rapport à la base cano-nique qui est orthonormée, les isométries sont représentées par les matrices"orthogonales".

Dé�nition 40 : On note O(n;R) = fA 2M(n;R) j tAA = Ig etO+(n;R) = fA 2 O(n;R) j detA = 1g le groupe des matrices orthogonaleset le sous-groupe des matrices de déterminant positif, noté aussi SO(n;R):

Dé�nition 41 : Une symétrie (ou involution) de E est un u 2 GL(E) vé-ri�ant u2 = 1:

Dans ce cas, E se décompose en somme directe E+ � E� , u restreint àE+ valant I (resp �I sur E�):

Dé�nition 42 : Une symétrie est appelée ré�exion si dimE� = 1 et ren-versement si dimE� = 2:

Dé�nition 43 : Une symétrie est dite orthogonale (relativement à la formeq) si elle est dans O(q):

Proposition 44 : Une symétrie est orthogonale si et seulement si E+ et E�

sont orthogonaux.

Théorème 45 : Une isométrie est produit d�au plus n ré�exions orthogo-nales.

Théorème 46 : Une isométrie positive (u 2 O+(q)) est produit d�au plus nrenversements.

16

Théorème 47 : Soient E un espace vectoriel réel de dimension n et u uneisométrie. Alors E est somme directe orthogonale

E = V �W � P1 � ::::� Pr

où V;W et les Pi sont des sous-espaces stables par u, avec dimPi = 2;

ujV = I; ujW = �I et ujPi =�cos �i � sin �isin �i cos �i

�:

Il en résulte que1) n impair =) V ou W 6= ?:2) detu = �1 =) W 6= ?:3) n impair et detu = 1 =) V 6= ?:4) detu = 1 =) dimW � n mod 2:

2.9.2 La dimension 2

1) Si u 2 O�(q); c�est une ré�exion (elle est produit d�au plus 2 ré�exionset ne peut être le produit de 2 ré�exions, ou encore à cause du théorèmeprécédent).2) Si u 2 O+(q); u est produit de 2 ré�exions, dont l�une peut être choisie

arbitrairement (si � est une ré�exion arbitraire, �u 2 O�(q); donc c�est uneré�exion � 0; mais � est arbitraire...)3) Si � 2 O+(q) et � 2 O�(q) : ����1 = ��� = ��1 (on écrit � = �� 0; d�où

��� = � 2� 0� = � 0� = ��1):4) O+(q) est commutatif : si �; �0 sont dans O+(q); on écrit � = �� 0 d�où

��0��1 = �� 0�0� 0� = ��0�1� = �0:

Matriciellement O(2;R) = O+(2;R) [ O�(2;R) avec M =

�a b�b a

�dans le premier cas (resp.M =

�a bb �a

�dans le second), avec evidemment

a2 + b2 = 1:

Noter que dans le second cas, M est semblable à�1 00 �1

�(cf le théo-

rème général de décomposition) puisque c�est une ré�exion, le premier vecteurde base étant à prendre sur la droite invariante, d�équation (a�1)x+ by = 0;le second sur la droite orthogonale.

On en déduit en particulier que tout élément deO+(2;R) s�écrit�cos t � sin tsin t cos t

�avec t 2 R (en fait R=2�Z; t étant dans ce cas appelé l�angle de la rotation).

17

2.9.3 La dimension 3

Cas 1 : u 2 O+(3;R); alors V 6= ? et il y a 3 possibilités0@ 111

1A ;0@ 1

�1�1

1A ;0@ 1

cos � � sin �sin � cos �

1A avec � 2 ]��;+�[ ;

la seconde représentant un renversement (ou encore une symétrie par rapportà la droite de vecteur e1) et la troisième une rotation d�axe e1 et d�angle �:Noter qu�à part l�identité, l�ensemble des points invariants est toujours unedroite.Cas 2 : u 2 O�(3;R); alors cette fois W 6= ? et il y a 3 possibilités0@ �1

�1�1

1A ;0@ �1

11

1A ;0@ �1

cos � � sin �sin � cos �

1A ;la seconde représentant une ré�exion et la troisième un produit de 3 ré-�exions.Voici une démonstration directe, sans utiliser les résultats généraux qui

précèdent.Cas 1 : f est une isométrie de déterminant 1.Le polynôme caractéristique de f étant de degré 3, il a toujours une

racine dans R; qui ne peut être que 1 ou �1: Par suite il existe un vecteuru 6= 0 véri�ant f(u) = �u: Soient D la droite engendrée par u et P le planorthogonal. Une isométrie conservant le produit scalaire, on en déduit quef(P ) � P , puisque, pour tout x 2 P :

(f(x)ju) = � (f(x)jf(u)) = �(ujx) = 0:

Soit g l�isométrie de P dé�nie par g = fjP :Si f(u) = u; il en résulte que det g = det f = 1 et donc que g est une

rotation de P:Si f(u) = �u; on a par contre det g = � det f = �1; et donc g est une

symétrie orthogonale dans le plan P : il existe donc dans ce plan 2 vecteursorthogonaux v et w tels que f(v) = �v et f(w) = w: On en déduit que dansla base orthonormée (w; u; v); f est la rotation d�axe w et d�angle �:Cas 2 : f est une isométrie de déterminant �1:�f est alors une isométrie de déterminant 1 et le cas 1 montre que 1 est

toujours valeur propre, on peut donc trouver u 6= 0 tel que (�f)(u) = u;c�est-à-dire f(u) = �u: Comme ci-dessus, notons D la droite engendrée paru et P le plan orthogonal. Soient s la symétrie orthogonale par rapport à P

18

et r = f � s: Cette dernière est donc une isométrie (produit de 2 isométries)de déterminant 1; donc une rotation. De plus f = r � s puisque s2 = I: Pourobtenir les caractéristiques de r; on note que r(u) = f(s(u)) = f(�u) = u;montrant ainsi que l�axe de rotation est D: On peut voir en�n que le produitr � s est commutatif en le véri�ant séparément sur D et P:

Exercice 23 : Soit R3 l�espace euclidien orienté usuel. On considère unerotation f d�axe D avec P comme plan orthogonal, de telle façon que (u; v)soit une base orthonormée directe de P si (e; u; v) en est une de R3, e étantun vecteur unitaire de D: On note � l�angle de la rotation, dont la matricedans la base (e; u; v) est donc0@ 1

cos � � sin �sin � cos �

1A :a) Si f est donnée par une matrice A dans une base quelconque de R3;

montrer que tr(A) = 1 + 2 cos �:b) Soit x 6= 0 un vecteur de P; montrer que f(x) = (cos �)x+(sin �)e^x:

En déduire que sin � = det(e; x; f(x)):c) Application : on considère l�endomorphisme de R3 dont la matrice dans

la base canonique est

A =1

9

0@ 8 1 �4�4 4 �71 8 4

1A :Montrer que A est une rotation et donner ses éléments caractéristiques (axeet angle).

Exercice 24 : SoitR3 l�espace euclidien orienté usuel. On pose e = 1p2(1; 1; 0)

et on oriente le plan orthogonal P par le choix de e: Soit f la rotation d�axeD porté par e et d�angle 2�

3:

a) Montrer que pour tout x 2 R3 : f(x) = 32(xje)e � 1

2x +

p32e ^ x

(commencer par projeter sur P et utiliser la question b) de l�ex. 23).b) En déduire la matrice de f dans la base canonique de R3:

Exercice 25 : Soit R3 l�espace euclidien orienté usuel. On considère l�en-domorphisme f dont la matrice dans la base canonique est donnée par

A =1

3

0@ 2 �2 �1�1 �2 22 1 2

1A :19

a) Montrer que f est une isométrie.b) Montrer que f ne possède qu�une seule valeur propre.c) Trouver une base orthonormée (u; v; w) deR3 telle que u soit un vecteur

propre de f:d) Ecrire la matrice de f dans la base (u; v; w):e) Montrer que f s�écrit de manière unique f = r � s et préciser les

caractéristiques de r:

Exercice 26 : Soit G un groupe �ni à 2n éléments véri�ant de plus leshypothèses suivantes� G est engendré par 2 éléments x et y,� x est d�ordre n,� y est d�ordre 2,� xy est d�ordre 2.Montrer qu�alors G est unique à isomorphisme près et que tous les élé-

ments qui n�appartiennent pas au sous-groupe engendré par x sont d�ordre 2.On note Dn ce groupe (groupe diédral d�indice n).Montrer que Dn est isomorphe au groupe des isométries d�un polygone

régulier de n sommets de centre O (considérer la rotation de centre O etd�angle 2�

n; ainsi que la symétrie par rapport à la droite joignant O à un

sommet �xé, par exemple la droite Ox). Etudier géométriquement les casn = 3; 4:

Exercice 27 : On suppose que G est un groupe non commutatif d�ordre 8.a) Montrer que l�on peut écrire G sous la forme G = H [ bH avec

H = f1; a; a2; a3g et b n�appartenant pas à H.b) Montrer que b2 2 H et que les seuls cas possibles sont b2 = 1 et b2 = a2:c) Montrer que b�1ab 2 H et que la seule possibilité est b�1ab = a3:d) Dans le cas où b2 = 1; montrer que G est le groupe diédral D4:e) Dans le cas où b2 = a2; dresser la table de G et en déduire que le groupe

obtenu, noté Q2 n�est pas isomorphe à D4:

Exercice 28 : Montrer que D4 ' Z=4Zo Z=2Z et plus généralement

Dn ' Z=nZo Z=2Z:

2.10 Groupes de permutation

Dé�nition 48 : On appelle Sn le groupe des permutations de l�ensemble àn éléments que l�on notera 1; 2; ::::; n

20

Dé�nition 49 : On appelle p-cycle la permutation � donnée par�(ai) = ai+1 pour i = 1; 2; ::::; p � 1 et �(ap) = a1 pour un certain sous-ensemble fa1; ::::; apg de f1; 2; ::::; ng ; les éléments qui n�appartiennent pas àfa1; ::::; apg restant �xés par �: On notera (a1; ::::; ap) un tel p-cycle.

Dé�nition 50 : Un 2-cycle est appelé transposition.

Proposition 51 : Par construction, un p-cycle est un élément d�ordre p dugroupe Sn:

On a déjà vu que pour n = 3; Sn n�est pas commutatif, il en est de mêmeen général. Cependant, il existe des cas où les éléments commutent, en parti-culier des permutations qui opèrent sur des parties disjointes de f1; 2; ::::; ng :

Proposition 52 : Tout élément de Sn est décomposable en produit de cyclesdont la somme des ordres est n, opérant sur des parties disjointes de f1; 2; ::::; ngIl en résulte que le produit obtenu est commutatif.

Preuve : Soit � 2 Sn. Notons a1 le premier élément rencontré véri�ant�(a1) 6= a1:On dé�nit a2; a3::: par les formules �(a1) = a2, �(a2) = a3:::: etpar i le premier indice tel que �(ai) 2 fa1; ::::; aig : On a �(ai) = a1 puisquec�est le seul dans le sous-ensemble en question à n�être pas image de quelqu�un(attention : � est injective !). Il en résulte que � restreint à fa1; ::::; aig est uncycle d�ordre i: On ré-itère alors l�opération sur l�ensemble complémentairede fa1; ::::; aig dans f1; 2; ::::; ng :

Proposition 53 : Tout cycle est décomposable en produit de transpositions

Preuve : On a en e¤et la formule

(a1; ::::; ap) = (a1; a2)(a2; a3)::::::(ap�1; ap):

Corollaire 54 : Les transpositions engendrent le groupe Sn:

Exercice 29 : On considère le groupe Sn des permutations de l�ensemblef1; 2; ::::; ng et le sous-groupe An formé des permutations paires.a) On note t la transposition (1; 2) et c le cycle (1; 2; :::; n). Calculer ck et

c�k pour k entier inférieur à n, puis cktc�k: En déduire que c et t engendrentSn:b) Montrer en calculant (i; j)(j; k) pour i; j; k distincts, que An est engen-

dré par les 3-cycles de Sn:

21

Il faut noter que la décomposition d�une permutation en produit de trans-positions n�est pas unique, par exemple, si � est une transposition

� = � � � � �

puisque � 2 = 1: Par contre la parité du nombre de transpositions intervenantdans la décomposition d�une permutation � reste inchangée.Pour cela, on prend pour X un ensemble quelconque, pour M un groupe

additif et on dit qu�une fonction f de Xn dans M est antisymétrique si

f(x�(1); ::::; x�(n)) = �f(x1; :::; xn)

pour toute transposition � : On peut montrer, par récurrence, que f véri�ealors

f(x�(1); ::::; x�(n)) = (�1)rf(x1; :::; xn)

si � est produit de r transpositions : c�est clair pour r = 1; ensuite on écrit� = � �! où ! est produit de r� 1 transpositions, l�hypothèse de récurrencepermet d�écrire

f(y!(1); ::::; y!(n)) = (�1)r�1f(y1; :::; yn)

et on prend yi = x�(i):Supposons alors que � s�écrive d�un côté comme produit de r transposi-

tions et de l�autre, sous forme d�un produit de s transpositions. Revenant àf; on aurait alors

(�1)rf(x1; :::; xn) = (�1)sf(x1; :::; xn)

et par suite (�1)r = (�1)s si l�on peut simpli�er par f(x1; :::; xn): Toutrevient donc à construire une telle fonction et à trouver les xi en question.On y parvient en posant par exemple X =M = Z et

f(x1; :::; xn) =Y

1�i<j�n(xi � xj)

puisque f(x1; :::; xn) 6= 0 si les xi sont deux à deux distincts. Reste à prouverque f est antisymétrique. Supposons donc k < l et soit � la transpositionéchangeant k et l: Il su¢ t de lister les termes du produit contenant xk et/ou

22

xl:

A = (x1 � xk)::::::(xk�1 � xk)B = (xk � xk+1)::::::(xk � xl�1)C = (xk � xl)D = (xk � xl+1)::::::(xk � xn)E = (x1 � xl)::::::(xk�1 � xl)F = (xk+1 � xl)::::::(xl�1 � xl)G = (xl � xl+1)::::::(xl � xn)

Les quantités A et D (resp. E et G) ne sont pas a¤ectées par la transposition.Par contre, les quantités B et F le sont et prennent chacune un coe¢ cient(�1)l�k�1; qui se compensent donc. Reste �nalement C qui prend un coe¢ -cient �1:

Théorème 55 : Pour tout entier n � 1; il existe un et un seul morphisme" : Sn ! Z� tel que "(�) = �1 si � est une transposition. On a "(�) = (�1)rsi � est produit de r transpositions. On appelle "(�) la signature (ou la parité)de la permutation �:

Corollaire 56 : Le noyau du morphisme " est un sous-groupe distingué,d�indice 2 de Sn; appelé le (sous-) groupe alterné et noté An:

Il est formé des n!=2 permutations paires de Sn : en e¤et le théorème defactorisation canonique montre que Sn=An ' f�1g et le théorème de La-grange permet d�en déduire (An : 1) = (Sn : 1) =2: On a de plus, en utilisantla proposition 38

Sn ' An o f�1g ;puisque, pour toute transposition �; f1; �g constitue un relèvement de f�1g :D�après la formule donnant la décomposition d�un cycle en produit de

transpositions, on a donc, pour un p-cycle � : "(�) = (�1)p�1; ce qui permetde donner la signature d�une permutation à partir de sa décomposition encycles : "(�) = (�1)n�m si celle-ci fait apparaître m cycles (bien noter quel�identité doit être comptée si elle intervient).

Corollaire 57 : La signature d�une permutation � est également donnée parla formule

"(�) = (�1)I(�)

où I(�) désigne le nombre d�inversions de �; à savoir le nombre de couples(i; j) pour lesquels i < j et �(i) > �(j):

23

Preuve : Il su¢ t de reprendre l�expression de la fonction f utilisée ci-dessuset de compter le nombre de facteurs �1 intervenant quand on remplace xipar x�(i): C�est exactement I(�):

Exercice 30 : On note S4 l�ensemble des permutations de l�ensemble à 4éléments : f1; 2; 3; 4g :a) A l�aide de la décomposition d�une permutation quelconque en cycles,

classer les di¤érents éléments de S4 en précisant à chaque fois leur nombre,leur ordre et leur signature respective.b) On note A4 l�ensemble des permutations paires, montrer que c�est un

sous-groupe distingué de S4 possédant 12 éléments, formé de 3-cycles ou deproduits de 2 transpositions.c) Déterminer les sous-groupes d�ordre 4 de A4 et leur type respectif.d) Déterminer les sous-groupes d�ordre 3 de A4 et montrer qu�ils sont tous

conjugués 2 à 2 (on pourra utiliser l�égalité suivante, en la prouvant :

s � (a; b; c) = (s(a); s(b); s(c)) � s

où (a; b; c) désigne la permutation circulaire sur les éléments a; b et c et s unepermutation quelconque).e) Montrer que A4 ne possède pas de sous-groupe d�ordre 6.f) Montrer que A4 est le seul sous-groupe d�ordre 12 de S4 (utiliser l�exer-

cice 29.b) et la question d) ci-dessus).g) Déterminer tous les sous-groupes d�ordre 4 de S4 (raisonner sur le

type possible, cf ex 7).h) On note H = f1; (1; 2)(3; 4); (1; 3)(2; 4); (1; 4)(2; 3)g le sous-groupe de

S4. Montrer qu�il est distingué dans A4 et dans S4:i) Montrer que S4=H ' S3 et A4=H ' Z=3Z.j) Montrer que les sous-groupes d�ordre 6 de S4 sont de type D3 (cf ex 9).

Combien y-en a t-il contenant un sous-groupe d�ordre 3 donné ? En déduirele nombre de sous-groupes d�ordre 6 de S4:

Exercice 31 : Soient G un groupe �ni et m un diviseur de l�ordre de G. Onsuppose que G possède un unique sous-groupe d�ordre m. Montrer que celui-ciest distingué. Véri�er à l�aide d�un exemple que la réciproque est fausse, enutilisant par exemple l�exercice précédent.

Exercice 32 : Soit G un groupe. On appelle commutateur de G tout élémentde la forme xyx�1y�1 avec x et y dans G. On note D(G) le sous-groupe deG engendré par les commutateurs.a) Montrer que D(G) est un sous-groupe distingué de G (on pourra mon-

trer que D(G) est stable par les endomorphismes de G, donc en particulierpar les automorphismes intérieurs....).

24

b) Soit H un sous-groupe distingué de G. Prouver que

G=H abélien() D(G) � H

Application : montrer que D(An) = Sn pour tout n � 3 et en déduire que Anest le seul sous-groupe d�indice 2 de Sn (montrer, en calculant les commu-tateurs (a; b; c)(b; c; d)(a; c; b)(b; d; c) et (a; b)(b; c)(a; b)(b; c); pour 4 élémentsa; b; c; d distincts, que l�on obtient tout produit de deux permutations commecommutateur...).

2.11 Groupes opérant sur un ensemble

Dé�nition 58 : Soient G un groupe et X un ensemble. On dit que G opèresur X s�il existe une application G�X ! X : (g; x) 7! g:x véri�ant les deuxpropriétés suivantes

(gh):x = g:(h:x)

1:x = x

pour tous g; h 2 G et x 2 X:

Notons dans ce cas Tg : X ! X l�application donnée par x 7! g:x:D�après les propriétés de L�opération de G sur X permet d�écrire

Tgh = TgTh

(Tg)�1 = Tg�1

et on constate ainsi que g 7! Tg est un morphisme de G dans le groupe despermutations de X:

Exemple 59 : G opère sur lui-même par conjugaison

G�G ! G

(g; x) 7! gxg�1:

Dans cet exemple, g 7! Tg est un morphisme de G dans Aut(G), dont lenoyau n�est autre que le centre de G:

Exemple 60 : G opère sur l�ensemble de ses sous-groupes (ou même plusgénéralement de ses sous-ensembles) par conjugaison

G�X ! X

(g;H) 7! gHg�1:

25

Dé�nition 61 : On dit que deux sous-ensembles A et B de G sont conju-gués, s�il existe g 2 G tel que B = gAg�1:

Exemple 62 : G opère sur lui-même par translation

G�G ! G

(g; h) 7! gh

ou sur l�ensemble de ses sous-ensembles, également par translation

G� S ! S

(g; A) 7! gA = fga j a 2 Ag ::

Exemple 63 (en géométrie) : Les groupes O(2;R); O+(2;R) opèrent sur leplan, sur le cercle, le groupe Dn (où x = R(O; 2�

n) et y = sym =Ox) opère

sur l�ensemble formé des sommets du polygone régulier à n côtés (cf ex 26),S4 opère sur l�ensemble formé des 4 sommets du tétraèdre régulier centré àl�origine (cf ex 33).......

Exercice 33 (Les isométries du tétraèdre) : Soit T un tétraèdre régulier del�espace vectoriel euclidien de dimension 3, centré à l�origine. On appelle Hle groupe des isométries de E laissant T globalement invariant.a) Montrer que H ' S4 (considérer l�action sur les 4 sommets).b) Montrer que le sous-groupe de H formé des isométries positives est

isomorphe à A4:c) On note T 0 le polyèdre "dual" obtenu en prenant pour sommets les

milieux de chaque face de T: Décrire T 0 et montrer qu�il possède le mêmegroupe d�isométries que T:

Exercice 34 (Les isométries du cube) : Soit C un cube de l�espace vectorieleuclidien E de dimension 3, centré en l�origine. On appelle H le groupe desisométries de E laissant C globalement invariant.a) En considérant les diagonales joignant les sommets opposés, mettre en

évidence un morphisme de H dans S4:b) Montrer que ce morphisme est surjectif (identi�er les isométries corres-

pondant aux di¤érents éléments de S4; pour les éléments d�ordre 3, chercherles triangles équilatéraux).c) Montrer que le noyau de ce morphisme est f�Ig : Quelle conclusion

en tirer ?d) Même question que pour le tétraèdre : quel est son dual (le décrire

aussi précisément que possible) ? Véri�er en particulier qu�il possède le mêmenombre d�arêtes, mais que les nombres de sommets et de faces sont échangés.

26

Dé�nition 64 : Soient G opérant sur un ensemble X et x 2 X: On appellestabilisateur (ou sous-groupe d�isotropie) de x le sous-ensemble de G

Gx = fg 2 G j g:x = xg :

Par exemple, si G agit sur l�ensemble de ses sous-groupes par conjugaison

GH =�g 2 G j gHg�1 = H

n�est autre que le normalisateur de H:

Dé�nition 65 : Soient G opérant sur un ensemble X et x 2 X: On appelleorbite de x et on note O(x) l�ensemble des g:x pour g 2 G:

La relation, pour x; y 2 X

9 g 2 G tel que y = g:x

est une relation d�équivalence et la classe de x pour cette relation est préci-sément l�orbite O(x). On peut véri�er que les stabilisateurs des divers pointsd�une même orbite sont 2 à 2 conjugués dans G.Si on considère, pour x 2 X; l�application f de G dans X donnée par

f(g) = g:x;

on peut constater qu�elle est composée de l�application canonique de G surG=Gx et d�une application de G=Gx dans X. Elle induit une bijection deG=Gx sur l�orbite O(x) de x par G et on peut en déduire l�égalité(G : 1) = Card(O(x)).(Gx : 1) si G est �ni.Puisque les orbites forment une partition de l�ensemble X; on peut écrire

Card(X) =Xi2I(G : Gxi):

A titre d�application de ce genre de formule, on peut démontrer le résultat(dû à Cauchy) permettant d�a¢ rmer que si G est un groupe �ni dont l�ordren est divisible par un nombre premier p; alors il existe toujours dans Gun élément d�ordre p : pour cela, on note X � Gp le sous-ensemble des(x1; x2; ::::; xp) tels que

Yxi = 1: Le cardinal de X est clairement np�1

(p� 1 composantes libres, la dernière �xée par le produit).On fait alors agir sur X le groupe Z=pZ; par permutation circulaire

(k; (x1; x2; ::::; xp)) 7!�xk+1; xk+2; ::::; xk+p

�:

27

Il y a des orbites à 1 seul élément, de la forme f(x; x; ::::; x)g ; formant un sous-ensemble X1 et les autres, qui possèdent p éléments; un sous-ensemble X2

(rappelons que les orbites sont en bijection avec les sous-groupes de Z=pZ):On en déduit

Card(X) � Card(X1) mod p

et donc, en utilisant le fait que p divise n et que X1 6= ? puisque(1; 1; ::::; 1) 2 X1 : p divise Card(X1) qui est de ce fait > 1:Dans le cas d�un groupe �ni G opérant sur lui-même par conjugaison, on

obtient la "formule des classes"

(G : 1) = (Z(G) : 1) +X(G : Gx);

la somme étant étendue aux di¤érentes orbites deG non réduites à un élémentet Z(G) désignant le centre du groupe G : on compte d�abord les orbitesréduites à 1 seul élement en montrant qu�elles correspondent chacune à unélément du centre du groupe.

Exercice 35 : Soit G un p-groupe (groupe dont l�ordre est une puissance dep).a) Montrer qu�alors le centre de G n�est pas réduit à l�élément neutre

(idée : utiliser la formule des classes).b) Montrer que tout groupe d�ordre p2 est commutatif (véri�er que le

centre de G est G lui-même).c) En déduire que tout groupe d�ordre p2 qui ne contient pas d�élément

d�ordre p2 est isomorphe à (Z=pZ)2:

Exercice 36 : On note H = fz 2 C j Im z > 0g le demi-plan complexe su-périeur, G = SL(2;R) le groupe des matrices réelles 2� 2 de déterminant 1.

On fait agir G sur H par

g:z =az + b

cz + d

si g =�a bc d

�:

a) Montrer que l�on dé�nit ainsi une opération de G sur l�ensemble H.b) Déterminer le stabilisateur de i:c) Soit z 2 H; montrer qu�il existe g 2 G tel que g:i = z:d) En déduire queH est en bijection avec le groupe quotient SL(2;R)=SO(2;R):

28

2.12 Sous-groupes de Sylow

Soient G un groupe �ni d�ordre n; et p un nombre premier divisant n:

Dé�nition 66 : Un sous-groupe H de G est appelé p-sous-groupe de G si(H : 1) est une puissance de p et p-sous-groupe de Sylow de G (ou p-Sylowde G en abrégé) si (H : 1) est égal à la puissance maximale de p divisant n:

Exemples :S3 possède un 2-Sylow et un 3-Sylow, A4 possède un 2-Sylow(d�ordre 4) et quatre 3-Sylow (d�ordre 3), S4 possède trois 2-Sylow (d�ordre8) et toujours quatre 3-Sylow (d�ordre 3).On peut montrer que de tels sous-groupes existent toujours. C�est l�objet

des deux théorèmes qui suivent.

Théorème 67 : Soit G un groupe �ni dont l�ordre est divisible par p: Alorsil existe un p-sous-groupe de Sylow dans G:

Théorème 68 : Soit G un groupe �ni dont l�ordre est divisible par p: Ilvéri�e alors les propriétés suivantes1) Si H est un p-sous-groupe de G; il est contenu dans un p-sous-groupe

de Sylow.2) Tous les p-sous-groupes de Sylow sont conjugués.3) le nombre des p-Sylow est congru à 1 mod p et divise (G : 1):

Application : Soit G un groupe d�ordre pq où p et q sont des nombrespremiers distincts. Si q n�est pas congru à 1 mod p; G possède un uniquesous-groupe d�ordre p; qui est donc distingué. On peut alors véri�er qu�onest dans le cadre de la proposition 38, et donc G est un produit semi-direct.Si de plus p n�est pas congru à 1 mod q; G est cyclique d�après le théorèmechinois. Par exemple, il n�y a qu�un seul groupe d�ordre 15.

Exercice 37 : Montrer qu�un groupe d�ordre 2p est diédral ou cyclique si pest premier.

Exercice 38 : On suppose (G : 1) = 30: Montrer que G possède un 3-Sylowou un 5-Sylow distingué. En déduire que G possède un sous-groupe d�ordre15 (produit direct des sous-groupes en question), puis qu�il est cyclique ouproduit semi-direct de Z=15Z et Z=2Z (appliquer la proposition 38)

Exercice 39 : Soit C le corps des nombres complexes, i (resp. j) désignantcomme d�habitude la racine 4-ième (resp. 3-ième) de 1 qui se trouve dans ledemi-plan supérieur. Soit G le sous-groupe de GL(2;C) engendré par

a =

�0 ii 0

�et b =

�j 00 j2

�:

29

a) Montrer que l�ordre de a est 4, celui de b est 3 et a�1ba = b2:b) Montrer que le sous-groupe engendré par b est distingué dans G:c) Montrer que tout élément de G s�écrit sous la forme ahbk avec 0 � h �

3 et 0 � k � 2: En déduire que G est d�ordre 12.d) Montrer que G possède un seul 3-Sylowe) Montrer que le sous-groupe engendré par a n�est pas distingué et en

déduire que G possède trois 2-Sylow que l�on déterminera.

Exercice 40 : (preuve du premier théorème de Sylow : existence, si p divise(G : 1); d�un p-sous-groupe de Sylow)On raisonne par récurrence sur l�ordre du groupe G; la preuve étant claire

pour (G : 1) = p:a) Prouver le résultat dans le cas où G possède un sous-groupe propre (i.e.

6= G) dont l�indice est premier à p:b) Si ce n�est pas le cas, utiliser la formule des classes pour montrer que

G possède un centre non trivial.c) En prenant un élément d�ordre p dans Z(G); construire un groupe

quotient de G auquel on peut appliquer l�hypothèse de récurrence.d) Conclure en ramenant dans G, par image réciproque, le sous-groupe de

Sylow ainsi obtenu.

Exercice 41 : Soit G un groupe d�ordre 42.a) Montrer que G possède un sous-groupe H distingué d�ordre 7.b) En utilisant la surjection canonique G! G=H; montrer que G possède

un unique sous-groupe d�ordre 21.

Exercice 42 : Soit G = fg 2 O(2;R) j g(P ) = Pg le sous-groupe des iso-métries conservant le carré P (polygone régulier à 4 côtés, associé au sous-ensemble f1; i;�1;�ig des racines quatrièmes de l�unité dans C):1) Montrer que G opère sur l�ensemble S = fA;B;C;Dg constitué des

sommets de P; ce qui permet d�identi�er G à un sous-groupe de S4.2) En exhibant un élément de S4 qui n�est pas dans G; montrer que G 6=

S4.3) Montrer de même que (G : 1) 6= 12 et en déduire que G est un sous-

groupe de S4 d�ordre au plus égal à 8.4) A l�aide de considérations géométriques, déterminer les g 2 G véri�ant

g(A) = B; en indiquant la nature des transformations qu�ils représentent,leur ordre respectif et leur signature lorsqu�ils sont vus comme éléments deS4:5) Soit H = fg 2 O+(2;R) j g(P ) = Pg le sous-groupe des isométries

positives conservant le carré P: Montrer que H est un sous-groupe cyclique à4 éléments de G, que (G : 1) = 8; en�n que G ' D4:

30

6) G possède t-il d�autres sous-groupes d�ordre 4 ? Sont-ils isomorphes àH ?7) S4 possède t-il d�autres sous-groupes d�ordre 8 et si oui, sont-ils iso-

morphes à G ?

Exercice 43 : Le but de cet exercice est de montrer que les seuls groupesnon commutatifs d�ordre 12 sont A4;D6 et Q3:On note donc G un tel groupe, n2 (resp. n3) le nombre de ses 2-Sylow

(resp. 3-Sylow).a) Montrer que 4 cas sont à étudier

A : n2 = n3 = 1

B : n2 = 3 et n3 = 4

C : n2 = 1 et n3 = 4

D : n2 = 3 et n3 = 1

On va montrer que seuls les deux derniers cas conduisent aux solutions.b) Montrer que dans le cas A, G ' H �K; où H désigne le seul 2-Sylow

de G (resp. K le seul 3-Sylow de G) et qu�il en résulte que G est commutatif.c) Montrer que le cas B conduit à une impossibilité (en comptant par

exemple les éléments d�ordre 3).d) Dans le cas C, montrer qu�il existe un sous-groupe H et une suite

exacte1! H ! G! G=H ! 1

avec G=H ' Z=3Z:e) Montrer que si K désigne un 3-Sylow de G; il constitue un relèvement

de G=H . En déduire que G ' H oK.f) Dans le cas où H ' Z=4Z; on pose H = f1; a; a2; a3g et K = f1; b; b2g :

Montrer que b�1ab = a ou a3; et que cela conduit dans les 2 cas à uneimpossibilité.g) En conclure que G ' (Z=2Z)2 o Z=3Z ' A4:h) Dans le cas D, on peut considérer la suite exacte

1! K ! G! G=K ! 1

avec G=K ' Z=4Z ou (Z=2Z)2: Par un raisonnement identique à celui qui aété utilisé plus haut, montrer que G possède trois 2-Sylow isomorphes, suivantle cas, à Z=4Z ou (Z=2Z)2:i) Si G possède un sous-groupe H isomorphe à Z=4Z; posons

H = f1; a; a2; a3g et K = f1; c; c2g. Montrer que G est engendré par a etc et en examinant l�action de H sur K; que

ca = ac2 et c2a = ac:

31

j) En déduire que

G =�1; a; a2; a3; c; c2; ac; a2c; a3c; ac2; a2c2; a3c2

avec G ' Z=3Zo Z=4Z (ce groupe est noté Q3):k) Si G possède un sous-groupe H isomorphe à (Z=2Z)2 ; on pose

H = f1; x; y; zg et K = f1; d; d2g. Montrer que si

xdx�1 = d et ydy�1 = d;

l�action de H sur K est triviale et G ' H �K; solution à rejeter.l) Il existe donc 2 des 3 éléments x; y; z, disons x et y; tels que

xdx�1 = d2 et ydy�1 = d2;

ce qui montre que le sous-groupe L engendré par x et d est isomorphe à D3:m) Montrer que L est distingué dans G et que z =2 L: En déduire que

f1; zg est un relèvement de G=L:n) Montrer que le produit D3 o f1;�1g est direct.o) En�n, véri�er que ce produit est engendré par 2 éléments, un d�ordre

6 et un d�ordre 2, dont le produit est d�ordre 2. Conclure que G ' D6; ce quiachève la démonstration.

Exercice 44 : On se propose d�étudier les sous-groupes �nis G inclus dansO+(3;R):Soit S = fx 2 R3 j kxk = 1g et g 6= 1 un élément de O+(3;R): Puisque 1

est valeur propre, le sous-espace propre étant de dimension 1, on peut consi-dérer x 2 S tel que V (1) = Rx: Il est clair que g possède 2 (et 2 seulement)points �xes dans S : x et �x: En particulier si g 2 O+(3;R) possède 3 points�xes distincts dans S; c�est que g = 1:On a évidemment, pour x 2 S�

g 2 O+(3;R) j g(x) = x' U

où U désigne le cercle unité dans C (en e¤et Rx est l�axe de la rotation etdans le plan vectoriel orthogonal, celle-ci est donnée par son "angle").a) On appelle P le sous-ensemble de S formé des points �xes de G ("pôles"

de G): Montrer que G opère sur P: On note k le cardinal de GnP:b) Pour x �xé dans P; montrer que son stabilisateur Gx est un groupe

cyclique. On note ex son ordre. Véri�er que ex ne dépend que de l�orbite etqu�on a 2 � ex � n; où n = (G : 1):Soient GnP = fP1; P2; :::; Pkg l�ensembledes orbites et ei la valeur commune des ex pour x 2 Pi:

32

c) Montrer, en évaluant de 2 façons le nombre de couples (g; x) où g 6= 1appartient à G et où x est un pôle de g; que

nkXj=1

(1� e�1j ) = 2(n� 1):

d) Véri�er que cette relation conduit à un nombre �ni de possibilitésA) k = 2; e1 = e2 = n;B) k = 3; e1 = 2 avec

B1) e2 = 2; e3 =n

2;

B2) e2 = e3 = 3 et n = 12;

B3) e2 = 3; e3 = 4 et n = 24;

B4) e2 = 3; e3 = 5 et n = 60:

e) Etude du cas A : montrer que G est cyclique et que les deux orbitescorrespondent à celles de deux points diamétralement opposés sur la sphère.f) Etude du cas B1 : montrer que P3 = fx; yg avec Gx = Gy cyclique

d�ordre n2: En écrivant G = Gx [ gGx avec g =2 Gx, prouver que G est le

groupe diédral Dn=2:g) Etude du cas B2 : montrer que G agit sur P2 = fx1; x2; x3; x4g et en

déduire un morphisme � : G ! S4 dont l�image est formée de jGj = 12éléments. Conclure.h) Etude du cas B3 : montrer que P2 est de la forme

P2 = f�x1;�x2;�x3;�x4get que G opère sur P2 considéré comme un ensemble à 4 éléments, d�où unmorphisme � de G dans S4 qui à g associe la permutation �(g) que g induitsur P2: Pour conclure que G ' S4; prouver que � est injective, c�est-à-direque g(f�xig) = f�xig pour tout i implique g = 1:i) Etude du cas B4 : montrer que P1 peut s�écrire

P1 = f�xi j i = 1; 2; :::; 15g :Montrer que P1 = P 11 [P 21 [P 31 [P 41 [P 51 , réunion de 5 sous-ensembles à 6 élé-ments du type f�x;�y;�zg associés à des sous-groupes f1; g; g0; gg0 = g0ggoù g (resp. g0; gg0) a pour pôles �x (resp. �y;�z) et transforme les 2 autresen leurs opposés. En déduire que G opère sur fP 11 ; :::; P 51 g :On appelle H le stabilisateur d�un P i1 = f�x;�y;�zg ; montrer que

H ' A4:En notant comme ci-dessus � le morphisme de G dans S5 mis en évi-

dence, montrer que ker� = f1g et que �(G) possède 60 éléments. Conclure.(source : A. Bouvier / D. Richard, Groupes, Hermann 1974)

33

3 Anneaux

3.1 Généralités

Dé�nition 69 : Un anneau est un ensemble A muni de 2 lois

1) (x; y) 7! x+ y conférant à A une structure de groupe commutatif,2) (x; y) 7�! xy véri�ant

x(yz) = (xy)z (associativité)

x(y + z) = xy + xz (distributivité de la multiplication

(x+ y)z = xz + yz par rapport à l�addition).

Un anneau est dit commutatif si la seconde loi l�est, unitaire s�il existeun élément neutre pour la seconde loi. Sauf mention explicite du contraire,nous considérerons dans ce qui suit des anneaux commutatifs et unitaires.

Dé�nition 70 : Un corps est un anneau unitaire où tout élément non nulest inversible pour la seconde loi.

Dé�nition 71 : Un sous-anneau B de l�anneau A est un sous-groupe additifvéri�ant de plus

1 2 B

x; y 2 B =) xy 2 B:

Dé�nition 72 : Un anneau A est dit intègre si

xy = 0 =) x = 0 ou y = 0:

Exemple 73 : Les corps sont des anneaux intègres.

Exemple 74 : M(2;R) n�est pas intègre puisque par exemple�0 10 0

��1 00 0

�=

�0 00 0

�:

Les deux éléments du membre de gauche sont appelés des "diviseurs dezéro".

Dé�nition 75 : Un idéal I de l�anneau A est un sous-groupe additif possé-dant de plus la propriété suivante

a 2 A et x 2 I =) ax 2 I:

34

Si A n�est pas commutatif, on a les notions d�idéal à gauche, à droite etbilatère.A lui-même et f0g sont des idéaux (dits triviaux). Un corps n�en a pas

d�autre et ceci caractérise les corps parmi les anneaux.

Exemple 76 : Soient I et J deux idéaux d�un anneau A, alors I \ J;I + J; IJ;

pI sont des idéaux, de même que Ax pour tout x 2 A: On a

noté

IJ =

(z 2 A j z =

nXi=1

xiyi avec xi 2 I; yi 2 J pour un n > 0

);

pI = fx 2 A j xn 2 I pour un n > 0g :

Exercice 45 : Soient A un anneau commutatif unitaire, I et J deux idéauxde A:a) Montrer que IJ et

pI sont des idéaux de A puis les égalités suivantes

pIJ =

pI \ J =

pI \

pJ:

b) Que vautp2Z ?

p4Z ? Et plus généralement

ppnZ pour p premier,

en�npnZ pour n entier quelconque ?

Dé�nition 77 : Une application f d�un anneau A vers un anneau A0 estappelée morphisme si elle véri�e

f(x+ y) = f(x) + f(y);

f(xy) = f(x)f(y);

f(1) = 1:

Le noyau d�un morphisme est un idéal, plus généralement, il en de mêmede l�image réciproque d�un idéal. L�image d�un idéal n�en est pas un en gé-néral, mais c�est vrai si le morphisme est surjectif.Si I est un idéal de A; A=I peut être muni d�une structure d�anneau :

c�est le quotient de A par la relation d�équivalence

xRy , x� y 2 I:

Les opérations sont dé�nies de telle sorte que l�application canonique soit unmorphisme, d�où l�unicité de cette structure :

x+ y = x+ y;

x:y = xy:

35

Remarquer que pour valider la seconde opération, on a bien besoin de lanotion d�idéal car

xy � x0y0 = x(y � y0) + y0(x� x0) 2 I si x� x0 2 I et y � y0 2 I:

Exemple 78 : Les idéaux de Z sont les nZ avec n 2 N et ceux de K [X] (oùK est un corps) les (f(X)) = f(X)K [X] ; ce qui donne les anneaux-quotientsZ=nZ et K [X] =(f(X)):

Le schéma de factorisation canonique s�applique encore, mutatis mutan-dis : si f : A �! B est un morphisme et I un idéal de A inclus dans ker f;alors on peut factoriser f en f � p où p désigne le morphisme canoniqueA �! A=I et f un morphisme de A=I dans B: De plus f est injectif si etseulement si I = ker f et surjectif si et seulement si f l�est.

Exemple 79 : Les isomorphismes canoniques de groupes (concernant Z=nZ)vus précédemment, sont en fait des isomorphismes d�anneaux.

Dé�nition 80 : Un idéal p est dit premier si

xy 2 p =) x 2 p ou y 2 p:

On peut dire de façon équivalente : p est premier si et seulement si l�anneauquotient A=p est intègre.

Dé�nition 81 : Un idéal m est dit maximal s�il n�existe aucun idéal I de A;autre que A lui-même, contenant strictement m:

Proposition 82 : Soit I un idéal de l�anneau A; alors I est maximal si etseulement si A=I est un corps.

Preuve : Si I est maximal et que x 6= 0 dans le quotient, c�est que x =2 I:Alors l�idéal I +Ax contient strictement I et par suite est égal à A: D�où uny 2 A et un z 2 I véri�ant z + xy = 1 ce qui montre que x est inversibledans A=I: Réciproquement si J est un idéal contenant I strictement, on peutconsidérer un x 2 J � I: Son image x est alors inversible dans A=I; on endéduit l�existence d�un y 2 A tel que xy � 1 2 I; ce qui permet d�a¢ rmerque 1 2 J et donc que J = A:

Corollaire 83 : Tout idéal maximal est premier.

36

Exercice 46 : (autre démonstration du même résultat). Soient A un anneaucommutatif unitaire, I un idéal de A, et � la surjection canonique de A surson quotient A=I.a) Montrer qu�il existe une bijection entre les idéaux de A contenant I et

les idéaux de A=I.b) Montrer qu�un anneau commutatif unitaire est un corps si et seulement

si ses seuls idéaux sont (0) et lui-même.c) Déduire de 1) et 2) une démonstration du fait que l�idéal I est maximal

si et seulement si le quotient A=I est un corps.

Exercice 47 : Soit K un corps et � le morphisme de Z dans K donné par�(n) = 1 + :::+ 1| {z }

n fois

: Si ker� = f0g ; on dit que le corps K (forcément in�ni !)

est de caractéristique 0, c�est le cas de Q;R ou C:a) Si K est �ni, montrer que ker� 6= f0g. En posant alors ker� = pZ;

montrer que p est premier et que le nombre d�éléments de K est une puissancede p (constater que K peut être considéré comme un espace vectoriel sur Fp;forcément de dimension �nie).b) Montrer que dans un corps K de caractéristique p; on a, pour tous x; y

de K et tout entier n :

(x+ y)pn

= xpn

+ ypn

:

Exercice 48 : Soit n un entier positif. On appelle �(n) le nombre d�entiers,compris entre 1 et n� 1, qui sont premiers avec n (� est appelée la fonctionindicatrice d�Euler).a) Montrer que �(n) est égal au nombre d�éléments inversibles de l�anneau

Z=nZ ou également au nombre de générateurs du groupe additif Z=nZ.b) Montrer que pour un nombre premier p

�(pk) = pk � pk�1

et que pour des entiers m et n premiers entre eux

�(mn) = �(m)�(n):

En déduire que, pour un entier positif n

�(n) = n(1� 1

p1)::::::(1� 1

pr)

où p1; :::::; pr sont les facteurs premiers de n.

37

c) Montrer que Z=nZ possède pour tout diviseur d de n, un unique sous-groupe Cd d�ordre d. On note �d l�ensemble des générateurs de Cd: Montrerque le groupe Z=nZ est réunion disjointe des �d et en déduire que l�on a

n =Xdjn

�(d):

d) Application : soit G un groupe �ni d�ordre n tel que pour tout diviseurd de n, l�ensemble des x 2 G tels que xd = 1 a au plus d éléments. AlorsG est cyclique (montrer que le nombre d�éléments d�ordre d dans G est 0 ou�(d); puis qu�il ne peut être nul en raison de la question précédente, conclureavec d = n).Cas particulier important : le groupe multiplicatif d�un corps �ni est cy-

clique, par exemple(Z=pZ)�'Z=(p� 1)Z

pour tout nombre premier p.

Application : trouver un générateur de (Z=pZ)� pour p = 19:

Exercice 49 : Soit p un nombre premier. On note

Zp =nab2 Q j b n�est pas divisible par p

oa) Montrer que Zp est un sous-anneau de Q.b) Pour tout x 2 Q; prouver que soit x soit x�1 appartient à Zp.c) Montrer que les seuls sous-anneaux de Q contenant Zp sont Zp et Q.d) Montrer que tout idéal I de Zp est engendré par pn pour un unique

entier n � 0:e) Pour tout x 2 Q non nul, prouver qu�il existe un unique n 2 Z tel que

x = pnu;

où u est un élément inversible de l�anneau Zp:f) Pour tout x 2 Q non nul, on pose vp(x) = n; où n est l�entier de la

question précédente. On convient que vp(0) = +1 avec les règles usuelles.Montrer que l�on a

vp(xy) = vp(x) + vp(y)

vp(x+ y) � Min (vp(x); vp(y))

quels que soient x et y dans Q et que Zp est l�ensemble des x 2 Q tels quevp(x) � 0:g) Montrer que l�intersection des sous-anneaux Zp de Q associés à tous

les nombres premiers p est l�anneau Z des entiers rationnels.

38

Exercice 50 : Soient K un corps commutatif et A un sous-anneau de K:On dit que A est un anneau de valuation de K si A 6= K et si l�on a

x 2 A ou x�1 2 A pour tout x 2 K non nul.

a) Montrer qu�alors les éléments non inversibles de A forment un idéal mde A et que tout idéal de A di¤érent de A, est contenu dans m; de sorte quem est l�unique idéal maximal de A:b) On appelle valuation discrète de K toute fonction v dé�nie sur K dont

les valeurs sont des entiers rationnels ou le symbole +1; et véri�ant

v(0) = +1;v(x) 2 Z si x 6= 0;v(xy) = v(x) + v(y) pour tous x; y 2 K;

vp(x+ y) � Min (vp(x); vp(y)) pour tous x; y 2 K:

On suppose v non triviale, i.e. v(K) ne se réduit pas à 0 et +1: Montrer quel�ensemble A des x 2 K tels que v(x) � 0 est un anneau de valuation de K;et que l�idéal maximal m de A est l�ensemble des x 2 K tels que v(x) > 0: Onchoisit un élément � 2 m tel que v(�) soit minimum. Montrer que m = A�et que tout idéal de A est de la forme A�n pour un entier n � 0:

Exercice 51 : On admet le théorème de Krull : tout idéal d�un anneau A,distinct de A, est contenu dans au moins un idéal maximal de A.a) Montrer que pour qu�un élément de A soit inversible, il faut et il su¢ t

qu�il n�appartienne à aucun idéal maximal de A.b) Soit I l�intersection de tous les idéaux maximaux de A. Montrer qu�un

élément a de A appartient à I si et seulement si 1 + ax est inversible pourtout x 2 A:

3.2 Anneaux principaux

Dé�nition 84 Un anneau A est dit principal s�il est intègre et si tout idéalde A est de la forme Aa, pour a 2 A (idéal engendré par un seul élément, ouencore principal).

Remarque : un générateur de l�idéal I est dé�ni à un inversible près, ene¤et

Ax = Ay =) x = uy avec u 2 A�:

Exemple 85 Z; K [X] pour un corps K.

39

La théorie de la divisibilité telle qu�on la connaît dans Z peut être trans-plantée dans un tel anneau, d�où les notions de pgcd, ppcm, éléments premiersentre eux, lemme de Gauss et décomposition en facteurs "premiers"Voici un exemple moins trivial, mais il faut d�abord dé�nir ce qu�on ap-

pelle A [x] ; où A est un anneau, et a un élément d�un sur-anneau B de A :c�est par dé�nition le plus petit sous-anneau de B contenant A et x ("sous-anneau engendré" par A et x): On peut le voir comme l�intersection dessous-anneaux de B contenant A et x et montrer que c�est l�ensemble des"polynômes" en x à coe¢ cients dans A:On peut maintenant montrer que le sous-anneau Z [i] de C est prin-

cipal. On commence par dé�nir la norme d�un élément x = a + ib; c�estN(x) = a2 + b2; évidemment multiplicative. Si I désigne un idéal de Z [i] ;on peut considérer dans I un élément de plus petite norme, notons le x:Soit maintenant y 2 I; on peut considérer l�élément y=x de C et constatergéométriquement qu�il existe un z 2 Z [i] véri�ant

N(y

x� z) � (

p2

2)2 =

1

2;

d�oùN(y � xz) = N(x)N(y

x� z) < N(x):

L�élément y � xz étant dans I; il ne peut être que nul sinon cela contre-dirait le caractère minimal de N(x):

Exercice 52 : Montrer que Z [X] n�est pas principal (considérer l�idéal en-gendré par 2 et X pour montrer par l�absurde que 2 serait alors inversibledans Z); plus généralement la même démonstration permet de montrer queA [X] est principal si et seulement si A est un corps.

3.2.1 Divisibilité

L�anneau A sur lequel on travaille est supposé principal.

Dé�nition 86 : Si x et y sont tels que x = uy avec u 2 A�; on dit que x ety sont associés.

Dé�nition 87 : On dit que x divise y si Ay � Ax; ou encore y = xz avecz 2 A:

Dé�nition 88 : On dit que x est irréductible s�il n�est pas inversible et sises seuls diviseurs sont les inversibles et les associés.

40

Autrement x est irréductible si et seulement si

x = yz =) y 2 A� ou z 2 A�:

Remarque : le "ou" est ici exclusif, un inversible n�étant pas irréductible.

Exercice 53 : On note Z [j] = fa+ bj j a; b 2 Zg. On appelle norme del�élément z = a+ bj l�entier zz = a2 + b2 � ab:a) Déterminer le sous-ensemble des éléments inversibles de Z [j] :b) A l�aide de considérations géométriques comme dans le cas des entiers

de Gauss, monter que Z [j] est principal.c) Montrer que � = 1 � j est un élément irréductible et que �2 � 3

(� signi�e associé, i.e. ne di¤érant que par un inversible)d) Montrer que

� � �(mod�) =) �3 � �3(mod�3):

e) Montrer qu�il y a exactement 3 classes de congruence modulo �; àsavoir les classes de 0,1,-1.f) Montrer que si � 2 Z [j] n�est pas multiple de � (dans l�anneau), alors

�3 � �1 (mod �4):

Exercice 54 : Soient A un sous-anneau de C, z un élément de C et A [z] lesous-anneau de C engendré par A et z. On considère n 2 Z� non carré dansZ et ! 2 C tel que !2 = n: On pose

N(a+ b!) = a2 � nb2

pour a et b dans Q.a) Montrer que N(xy) = N(x)N(y) pour x et y dansQ [!] ; puis queQ [!]

est un corps, en�n que x 2 Z [!] est inversible si et seulement si N(x) = �1:b) En utilisant l�idéal (2; n + !) dans Z [!] et le fait que (n + !)(n � !)

soit pair (à véri�er !), montrer que� si 2 est irréductible dans Z [!] ; cet anneau n�est pas principal,� si 2 est réductible dans Z [!] ; alors il existe x 2 Z [!] tel que

jN(x)j = 2:c) Montrer que si n � �3 ou n � 1(4); Z [!] n�est pas principal.d) On suppose maintenant que n 2 f�2;�1; 2; 3g : Montrer que pour tout

x 2 Q [!] ; il existe z 2 Z [!] tel que jN(x � z)j < 1: En déduire que pourtout couple (�; �) de Z [!] ; � non nul, il existe q et r dans Z [!] tels que

� = �q + r et jN(r)j < jN(�)j:

En conclure que Z [!] est principal.

41

Dé�nition 89 : On appelle pgcd des éléments x1; :::; xn de A; un générateur(donc dé�ni à un inversible près), de l�idéal Ax1 + Ax2 + ::::+ Axn:

Si d est un tel générateur, il existe donc a1; ::::; an dans A tels que

d = a1x1 + :::::+ anxn:

Dé�nition 90 : Les éléments x1; :::; xn de A sont dits premiers entre euxs�ils admettent 1 comme pgcd.

Dé�nition 91 : On appelle ppcm des éléments x1; :::; xn de A; un générateur(donc dé�ni à un inversible près), de l�idéal Ax1 \ Ax2 \ :::: \ Axn:

Proposition 92 : Si A est un anneau principal et x un élément non nul deA; les conditions suivantes sont équivalentesi) x est irréductible,ii) Ax est maximal,iii) Ax est premier.

Preuve : Montrons que i) implique ii) : Soit I = Ay un idéal contenantAx: On en déduit qu�il existe a 2 A tel que x = ay; donc (puisque x estirréductible), soit a est inversible, auquel cas y 2 Ax et I = Ax; soit y estinversible et I = A:On sait déjà que ii) entraîne iii). Reste à voir que iii) implique i) : En

e¤et, si x = yz; alors soit y; soit z est dans l�idéal Ax; disons y: On en déduit(A étant intègre) que z est inversible.Les idéaux premiers ou maximaux dans un anneau principal sont donc

les Ax où x est irréductible. On peut maintenant donner l�analogue de lapropriété bien connue des nombres premiers dans l�anneau Z :

Corollaire 93 : Si un élément irréductible x divise un produit yz; alors xdivise y ou bien z:

Ceci exprime le fait qu�un idéal engendré par un élément irréductible, estpremier.

Proposition 94 ("lemme de Gauss") : Soient x et y deux éléments de A etd un diviseur du produit xy: Si d est premier avec x; alors d divise y:

Preuve : Il existe u et v dans A tels que ud + vx = 1, d�où y = yud + vxyest divisible par d:

42

Décomposition en facteurs premiers Nous aurons besoin de la notionsuivante :

Dé�nition 95 : Soit F une famille d�idéaux d�un anneau A et I un élémentde F: On dit que I est extrémal si

(J 2 F et I � J) =) I = J:

Lemme 96 : Si A est principal, toute famille F non vide d�idéaux de Apossède un élément extrémal.

Preuve : Par l�absurde, puisque F est non vide, on peut choisir I1 2 F; etcomme il n�est pas extrémal, il est strictement contenu dans un idéal I2 2 F;non extrémal lui aussi et ainsi de suite, ce qui permet de construire une suited�idéaux de A; strictement croissante. Or ceci est impossible dans un anneauprincipal, en e¤et on peut considérer la réunion des idéaux de la suite, enprendre un générateur, mais celui-ci est dans un certain In et il est alors facilede voir que la suite stationne à partir de l�indice n:

Proposition 97 : Dans un anneau principal A; tout élément x 6= 0 s�ex-prime comme produit ux1x2::::xn où u est inversible et les xi irréductibles.

Preuve : Soit S la famille des idéaux de A dont un générateur n�admet pas defactorisation. Si S est non vide, il admet un élément extrémal I dont on peutconsidérer un générateur a: Celui-ci ne peut être irréductible car il admettraitune factorisation. On peut donc écrire a = bc, les idéaux engendrés par b etc n�étant pas dans S au vu du caractère extrémal de I: Ils admettent doncchacun une factorisation et les deux réunies procurent une factorisation dea: Contradiction et S ne peut être que vide.

Théorème 98 : Dans un anneau principal A; tout élément admet une dé-composition unique en produit de facteurs irréductibles.

Par unicité de la décomposition, on entend la propriété suivante : si unélément x admet deux décompositions

x = p01:::::p0m = p

001:::::p

00n;

en facteurs irréductibles, c�est que m = n et qu�il existe une permutation �de f1; 2; ::::; ng telle que p0i et p00�(i) soient associés, pour tout i � n:Preuve : p01 est irréductible et divise le produit p

001:::::p

00n; il divise donc l�un

des p00j : Il en résulte que p01 et p

00j sont associés et qu�en simpli�ant par p

01; on

aboutit visiblement à une égalité du type

p02:::::p0m = up

001:::::p

00n=p

00j :

43

On pose alors �(1) = j et on reprend avec p02 ....Notation : pour x 2 A; on note sa décomposition sous la forme

x = uYp2P

pvp(x)

où P désigne l�ensemble des éléments irréductibles de A et vp(x) le nombrede fois que p intervient dans la décomposition de x: Bien noter que cet entierest nul sauf pour un nombre �ni d�irréductibles p (on dit que les vp(x) sontpresque tous nuls).

Exercice 55 : On veut montrer que l�équation

x3 = y2 + 1

a pour seule solution dans Z : x = 1 et y = 0:a) Montrer d�abord que y est nécessairement pair.b) Ensuite, on se place dans Z [i] en écrivant l�équation sous la forme

x3 = (y + i)(y � i):

Montrer alors que (y + i) et (y � i) n�ont pas de facteur commun dans Z [i]et en déduire que ces deux nombres sont des cubes.c) En écrivant

y + i = (a+ ib)3

avec a et b dans Z, en conclure que y = 0.d) En résolvant de la même façon l�équation

x3 = y2 + 19;

montrer que Z�p�19

�n�est pas principal.

Exercice 56 : À partir de l�égalité

(1 + ip5)(1� i

p5) = 2� 3

montrer que Z�p�5�n�est pas principal.

44

3.3 Anneaux de polynômes et de séries formelles

3.3.1 Dé�nition de A [[X]]

Partant d�un anneau A; on munit AN d�une structure d�anneau en dé�-nissant

(ai) + (bi) = (ci)

(ai)(bi) = (di)

où ci = ai + bi et di =P

k+l=i akbl:On note l�élément (ai) sous la forme

Pi�0 aiX

i; qu�on appelle une sérieformelle, l�élément X; que l�on peut voir sous la forme (0; 1; 0; ::::), étantappelé l�indéterminée.On considère alors le sous-ensemble, noté A [X] ; formé des séries formelles

dont presque tous les coe¢ cients sonts nuls (i.e. tous sont nuls sauf un nombre�ni d�entre eux). On obtient ainsi un sous-anneau de A [[X]] qui est l�anneaudes polynômes en X à coe¢ cients dans A:Pour un polynôme P; on dé�nit son degré deg(P ) comme le plus grand

entier n tel que le coe¢ cient an soit di¤érent de 0:Pour une série formelle S, on dé�nit sa valuation v(S) comme le plus

petit entier n tel que an 6= 0:

Proposition 99 : Si A est intègre, il en est de même des anneaux A [[X]]et A [X] :

Exercice 57 : Soit A un anneau commutatif. Prouver les résultats suivants :a) Pour qu�un élément f 2 A [[X]] soit inversible, il faut et il su¢ t que

son terme constant le soit dans A.b) Calculer l�inverse de 1�X dans A [[X]] :

Exercice 58 : Soient A un anneau commutatif unitaire, I et J deux idéauxde A, et � la surjection canonique de A sur son quotient A=I.a) Montrer, à l�aide du théorème de factorisation canonique, que

(A=I)=�(J) ' A=(I + J)

b) En appliquant ceci aux idéaux engendrés dans Z [X] par le nombrepremier p de Z et le polynôme X2 + 1; en déduire que

B=pB ' Z [X] =(p;X2 + 1) ' Fp [X] =(X2 + 1)

45

où l�on note B l�anneau des entiers de Gauss Z [i] : (Pour le dernier isomor-phisme, on pourra considérer l�homomorphisme de Z [X] sur Fp [X] =(X2+1)via Fp [X] par la réduction des polynômes modulo p).c) On note

S =�n 2 N / n = a2 + b2 avec (a; b) 2 N2

:

Pour un nombre premier p de Z, montrer que les propriétés suivantes sontéquivalentes

i) p est irréductible dans B = Z[i].ii) p � 3mod 4:iii) p =2 S:

d) En déduire que les éléments irréductibles de B = Z[i] sont- les p � 3mod 4;- les a+ ib de norme a2 + b2 premier dans Z.

e) (Preuve du théorème des 2 carrés) On note vp(n) l�exposant du nombrepremier p dans la décomposition de l�entier n en facteurs premiers. Montrerque, pour n � 2

vp(n) pair pour tout p � 3mod 4) n 2 S:

f) Par récurrence sur n, prouver la réciproque (en considérant un facteurp � 3mod 4 et en montrant que nécessairement p2 divise n):

Exercice 59 : Dans l�anneau B = Z [i] ; décomposer en facteurs irréduc-tibles les éléments 9 + i; 11 + 2i (utiliser l�exercice précédent).

3.3.2 Dé�nition de A [X1; X2; ::; Xn]

Substituant l�anneau A [X] à l�anneau A ci-dessus, on peut recommen-cer l�opération de construction de l�anneau de polynômes, cette fois en uneindéterminée Y: L�anneau obtenu, noté A [X] [Y ], est formé des éléments

f =Xj�0

fj(X)Yj

où fj(X) est le polynôme nul pour presque tout j:On a aussi, puisque l�anneau obtenu est commutatif

f =Xi�0gi(Y )X

i;

46

ce qui montre que A [X] [Y ] = A [Y ] [X] ; que l�on note �nalement A [X; Y ] ;ce qui correspond à l�écriture

f =Xi

Xj

aijXiY j:

On appelle degré total de f le plus grand des entiers i + j pour lequelaij 6= 0:En regroupant les monômes aijX iY j pour lesquels i + j a une valeur

constante, on obtient la décomposition (évidemment unique) du polynôme fen ses composantes homogènes

f = h0 + h1 + :::+ hn;

hk étant homogène de degré k; c�est-à-dire de la forme

hk =Xi;j

aijXiY j

avec aij = 0 si i+ j 6= n:La construction qui précède se généralise à un nombre quelconque d�in-

déterminées, pour obtenir l�anneau noté A [X1; X2; ::; Xn] :

3.3.3 Dérivations et formule de Taylor

Dé�nition 100 : Si A est un anneau, on appelle dérivation de l�anneau Atoute application D : A! A véri�ant, pour tous x; y de A1) D(x+ y) = D(x) +D(y);2) D(xy) = D(x)y + xD(y):

Les propriétés suivantes sont immédiates

D(1) = 0;

D(xn) = nxn�1D(x);

la première s�obtenant en faisant y = 1 dans (2), puis x = 1; la seconde parrécurrence.

Théorème 101 : Il existe une et une seule dérivation sur A [X] telle queD = 0 sur A et D(X) = 1:

Corollaire 102 : Il existe une et une seule dérivation sur A [X; Y ] ; notéeDX ; telle que DX = 0 sur A [Y ] et DX(X) = 1:

47

C�est la dérivation partielle par rapport à X; on dé�nit de même la déri-vation partielle par rapport à Y:

Théorème 103 : Pour un polynôme f de degré n; on a

f(X + Y ) = f(X) + f 0(X)Y + f2(X)Y2 + :::+ fn(X)Y

n

avec k!fk(X) = f (k)(X) pour 2 � k � n:

Preuve : On écrit le polynôme à 2 variables f(X + Y ) en l�ordonnant parrapport à Y; et on dérive cette égalité k fois par rapport à Y; pour substituerensuite Y à 0 et obtenir la relation donnant f (k)(X):

Corollaire 104 : Si A = K est un corps de caractéristique 0, on a

f(X + Y ) =nXk=0

f (k)(X)Y k

k!:

3.3.4 Racines et ordre de multiplicité

On rappelle que a 2 A est racine de f 2 A [X] si f(a) = 0:

Proposition 105 : Pour que a 2 A soit racine de f 2 A [X] ; il faut et ilsu¢ t que f soit divisible par X � a:

Dé�nition 106 : Si a 2 A est racine de f 2 A [X] ; on dit que a est demultiplicité (ou d�ordre) r si r est le plus grand entier tel que f soit divisiblepar (X � a)r:

Proposition 107 : Soit K un corps de caractéristique 0. Pour que a 2 Ksoit racine d�ordre r de f 2 K [X] ; il faut et il su¢ t que f(a) = f 0(a) =::::: = f (r�1)(a) = 0 et f (r)(a) 6= 0:

3.3.5 Division euclidienne

Théorème 108 : Soient A un anneau et g un polynôme unitaire de A [X] :Pour tout f 2 A [X] ; il existe un couple unique (q; r) de polynômes de A [X]véri�ant

f = gq + r et deg(r) < deg(g):

Remarque : On peut supposer plus généralement que le coe¢ cient duterme de plus haut degré de g est inversible dans l�anneau A:

48

Corollaire 109 : Si K est un corps commutatif, K [X] est un anneau prin-cipal.

Exercice 60 : Pour tout entier n � 1; on appelle polynôme cyclotomiqued�indice n le polynôme

�n(X) = (X � �1):::::(X � ��(n))

où �1; :::::; ��(n) sont les générateurs du groupe des racines nièmes de l�unitédans le corps C (on dit de ces racines qu�elles sont primitives). Ce polynômeest a priori à coe¢ cients dans C, mais on va montrer qu�il est en fait dansZ [X] : On convient de poser �1(X) = X � 1:a) Montrer que

�p(X) = Xp�1 +Xp�2 + :::+X + 1

si p est premier.b) Véri�er que �12(X) = X4 �X2 + 1:c) Montrer que pour tout entier n � 1; on a

Xn � 1 =Ydjn

�d(X):

Véri�er cette relation pour n = 6 en calculant successivement �2;�3; et �6:d) Montrer par récurrence sur n que �n(X) 2 Z [X] : (Utiliser la division

euclidienne dans Z [X] de Xn � 1 par

n(X) =Ydjnd 6=n

�d(X):

Exercice 61 : a) Montrer qu�il existe une et une seule fonction � sur l�an-neau Z (fonction de Möbius), à valeurs dans N; véri�ant la relationX

djn

�(d) =

�1 si n = 10 si n > 1

(la somme étant étendue aux diviseurs d de n tels que 1 � d � n):b) Montrer qu�on a

�(1) = 1

�(p) = �1 si p est premier

�(pr) = 0 si p est premier et r � 2:

49

c) Montrer qu�on a

�(mn) = �(m)�(n) si m et n sont premiers entre eux

(indication : utiliser, en le justi�ant, le fait que si m et n sont premiers entreeux, tout diviseur de mn s�écrit d�une façon et d�une seule comme produitd�un diviseur de m et d�un diviseur de n; raisonner alors par récurrence ensupposant le résultat déjà établi pour les couples m0; n0 tels que m0n0 < mn):d) Déduire des résultats précédents que si n > 1 :

�(n) =

�(�1)r si n est produit de r facteurs premiers distincts0 si n est divisible par le carré d�un nombre premier.

e) Soit f une fonction dé�nie sur les entiers � 1, à valeurs dans ungroupe additif A: On dé�nit une nouvelle fonction g en posant

g(n) =Xdjn

f(d):

Montrer qu�on a inversement

f(n) =Xdjn

g(d)�(n

d):

f) Montrer que les polynômes cyclotomiques (exercice précédent) sont don-nés par

�n(X) =Ydjn

(Xd � 1)�(nd ):

3.3.6 Décomposition en facteurs irréductibles

Proposition 110 : Si A est un anneau intègre et f un polynôme de A [X]de degré n � 1; alors f possède au plus n racines dans A:

On s�intéresse plus particulièrement au cas où A = K est un corps com-mutatif. On peut donc écrire f 2 K [X] sous la forme

f(X) = (X � a1)r1 ::::(X � ap)rpg(X) (1)

où a1; ::::; ap sont les racines de f dans K; r1; :::; rp leur ordre de multiplicitérespectif, et g un polynôme de K [X] qui ne possède aucune racine dans K:Il est clair que

r1 + ::::rp � n = deg(f):

50

Par ailleurs, tout polynôme de la forme X � a est irréductible puisque

X � a = fg =) deg(f) + deg(g) = 1;

ce qui signi�e que l�un ou l�autre des 2 polynômes est de degré 0; doncinversible dans K [X] :

Dé�nition 111 : On dit qu�un corps K est algébriquement clos si tout po-lynôme f de K [X] ; non constant, possède au moins une racine dans K:

Si tel est le cas, tout polynôme f 2 K [X] s�écrit

f(X) = c(X � a1)r1 ::::(X � ap)rp

où c 2 K et r1 + ::::rp = deg(f):

Théorème 112 : Le corps C des nombres complexes est algébriquementclos.

Preuve : Une démonstration simple de ce résultat fait appel à l�analyse :c�est une conséquence du théorème de Liouville.

Corollaire 113 : Les éléments irréductibles de C [X] sont les polynômes dedegré 1.

On admettra le résultat suivant, dont la démonstration fait appel faitappel au théorème de Zorn.

Théorème 114 : Tout corps commutatif K peut être plongé dans un corpsalgébriquement clos.

Exercice 62 : Montrer qu�un corps algébriquement clos contient nécessaire-ment une in�nité d�éléments (raisonner par l�absurde).

Connaissant la décomposition des polynômes dans C [X] ; on peut étudierles éléments irréductibles deR [X] : Plus précisément, on a le résultat suivant

Théorème 115 : Les éléments irréductibles de R [X] sont les polynômes dedegré 1 ainsi que les polynômes de degré 2 de la forme aX2 + bX + c avecb2 � 4ac < 0:

51

Preuve : Noter d�abord que les éléments en question sont bien irréductibles.On utilise ensuite le fait qu�un polynôme à coe¢ cients dansR qui n�y possèdepas de racine, se décompose en produit d�éléments du second type. En e¤et,il possède alors une racine dans C; mais aussi sa racine conjuguée puisque

(f(a) = 0 et f 2 R [X]) =) f(a) = 0:

Les polynômes X � a et X � a étant premiers entre eux dans C [X] (on peutécrire une égalité de Bézout !), f est divisible (dans C [X]) par le produit

(X � a)(X � a) = (X � �)2 + �2 = g(X):

Grâce à la division euclidienne, on peut conclure que le dividende est dansR [X] : Le résultat s�ensuit d�après (1).Si f 2 R [X] est de degré n; sa décomposition en facteurs irréductibles

est donc donnée par une formule du type

f(X) = a(X � a1)r1 ::::(X � ap)rp(X2 + b1X + c1)s1 ::::(X2 + bqX + cq)

sq

avec b2j � 4cj < 0 pour j = 1; 2; :::; q et n =P

1�i�p ri + 2P

1�j�q sj:

3.3.7 Relations entre coe¢ cients et racines d�un polynôme

Soit f(X) = anXn + an�1X

n�1 + ::: + a0 un polynôme de K [X] dontnous supposerons qu�il possède exactement n racines dans K; pas forcémentdistinctes : �1; :::; �n: De l�égalité

anXn + an�1X

n�1 + :::+ a0 = an(X � �1)(X � �2)::::(X � �n)

on peut déduire les relations

�1 + :::+ �n = �an�1an

;X1�i<j�n

�i�j =an�2an

;

:::::X1�i1<i2<::<ik�n

�i1�i2::::�ik = (�1)k an�kan

;

::::

�1�2::::�n = (�1)n a0an

52

Exercice 63 : Soient f et g deux polynômes appartenant à Z [X] et p unnombre premier qui divise tous les coe¢ cients de fg.a) Montrer que p divise tous les coe¢ cients de f , ou bien tous ceux de g.b) On dit qu�un polynôme f 2 Z [X] est primitif si le pgcd de ses

coe¢ cients est 1. Montrer que si f et g sont primitifs, il en est de mêmede fg.c) Pour f 2 Z [X], on note c(f) le pgcd de ses coe¢ cients. Montrer que

c(fg) = c(f)c(g):d) Montrer que si f n�est pas irréductible dans Q [X] ; il n�est pas irréduc-

tible non plus dans Z [X] :

Exercice 64 (Critère d�Eisenstein) : Soit p un nombre premier divisant tousles coe¢ cients ai du polynôme

F (X) = Xn + an�1Xn�1 + :::::+ a1X + a0

appartenant à Z [X] ; mais tel que p2 - a0:a) Montrer qu�alors F est irréductible dans Q [X] : (Raisonner par l�ab-

surde et montrer, en utilisant la réduction des polynômes mod p, que celafournirait une décomposition de l�image de F dans Fp [X] :::::):b) En faisant le changement de variable X = Y + 1; appliquer ceci au

polynôme cyclotomique �p(X) (p premier) pour montrer qu�il est irréductible.

Exercice 65 : Soit p un nombre premier � 3 et G = F�pa) Justi�er que pour tout x 2 G : x p�1

2 = �1:b) Montrer que si x est un carré dans G; alors x

p�12 = 1:

c) Montrer que si � est un générateur de G, alors � n�est pas un carrédans G:d) Montrer que dans G; il y a autant de carrés que de non carrés.e) Montrer que

x carré () xp�12 = 1

x non carré () xp�12 = �1

f) Montrer que les carrés forment un sous-groupe G+ à p�12éléments et

que x! x� est une bijection de G+ sur G�:g) On dé�nit, pour x 2 G; et plus généralement pour x non multiple de

p; le �symbole de Legendre��x

p

�=

�1 si x carré dans Fp

�1 si x non carré dans Fp

53

et on convient de l�étendre à Z en posant�xp

�= 0 pour x multiple de p: En

déduire que �x

p

��y

p

�=

�xy

p

�et �

x

p

�� x

p�12 mod p; en particulier

��1p

�= (�1)

p�12 :

3.3.8 Polynômes symétriques

Soient A un anneau et A [X1; ::::; Xn] l�anneau des polynômes à n indéter-minées à coe¢ cients dans A: Le groupe symétriqueSn agit sur A [X1; ::::; Xn]par

(�:P )(X1; :::Xn) = P (X�(1); :::; X�(n)):

Les polynômes invariants par cette action (i.e. dont l�orbite est réduite àun seul élément) sont appelés polynômes symétriques.Il y en a parmi eux qu�on quali�e d�élémentaires, à savoir

�k;n =X

1�i1<i2<::<ik�nXi1 ::::Xik :

La double indexation de � fait référence au nombre de variables utilisées,on la supprime fréquemment quand le contexte est clair.On peut noter que si Q 2 A [X1; ::::; Xn] ; le polynôme Q(�1; ::::;�n) est

également symétrique, car si � 2 Sn :

�:(P +Q) = �:P + �:Q;

�(PQ) = �(P )�(Q):

On obtient ainsi tous les polynômes symétriques car

Théorème 116 : Soit P 2 A [X1; ::::; Xn] un polynôme symétrique. Il existeun polynôme Q 2 A [X1; ::::; Xn] et un seul, tel que

P (X1; :::Xn) = Q(�1; ::::;�n):

Preuve : On procède par une double récurrence pour prouver une assertiondu type Ak;n où k est le degré du polynôme et n le nombre d�indéterminées.Ak;1 est vraie pour tout k et on va montrer que Ak;n est vraie pour tout

k en supposant Ak;n�1 vraie pour tout k: On montre ceci par récurrence surk:A0;n est vraie et on suppose Ap;n vraie pour p jusqu�à k � 1:

54

Soit P un polynôme symétrique de degré k à n variables, P (X1; ::::; Xn�1; 0)est symétrique pour l�action de Sn�1: L�hypothèse de récurrence Ak;n�1 per-met donc d�écrire

P (X1; :::Xn�1; 0) = Q(�1;n�1; ::::;�n�1;n�1):

On pose alors

P 0(X1; :::Xn) = P (X1; :::Xn)�Q(�1;n; ::::;�n�1;n):

Noter que le degré de Q(�1;n�1; ::::;�n�1;n�1) est inférieur ou égal à k etqu�il en est de même de Q(�1;n; ::::;�n�1;n) : en e¤et si Q est de la formeP

a2Nn aXr11 :::X

rn�1n�1 ; le monôme aX

r11 :::X

rn�1n�1 procure un monôme de de-

gré r1 + 2r2 + :::: + (n � 1)rn�1 dans Q(�1;n�1; ::::;�n�1;n�1) comme dansQ(�1;n; ::::;�n�1;n) puisque

deg(�k;n�1) = deg(�k;n) = k:

P 0 est donc un polynôme de degré � deg(P ); symétrique à n variablespuisque Q est un polynôme en les (mais pas tous) polynômes symétriquesélémentaires. De plus, il est nul si on remplace Xn par 0 (ce qui a pour e¤etde remplacer �i;n par �i;n�1 dans Q): On en déduit que le coe¢ cient de toutmonôme où Xn n�apparaît pas est nul (ne pas oublier que si un polynôme estnul, c�est que les coe¢ cients de chacun de ses monômes est nul...).Soit � = (i; n) la transposition échangeant i et n: On a � :P 0 = P 0; donc

(� :P 0) (X1; :::; Xn�1; 0) = P0(X1; :::; Xn�1; 0) = 0

c�est-à-direP 0(X1; :::; Xi�1; 0; Xi+1; :::; Xn) = 0;

prouvant ainsi que le coe¢ cient de tout monôme où n�apparaît pasXi est nul.Finalement, les seuls monômes qui apparaissent dans P 0 sont ceux où tous lesXi sont présents, ce qui signi�e que P 0 est divisible par le produit de tous lesXi, à savoir �n;n: On écrit donc P 0 = �n;nR avec deg(R) < deg(P 0) � deg(P )et R symétrique, comme on le constate facilement, même si A n�est passupposé intègre : si �n;nT = 0 pour un polynôme T 2 A [X1; ::::; Xn] ; c�estque T = 0:On termine la démonstration grâce à l�hypothèse de récurrence Ak;n, vraie

pour p < k:La preuve de l�unicité utilise le même principe pour montrer que si

T 2 A [X1; ::::; Xn] véri�e T (�1; ::::;�n) = 0, c�est que T = 0: Récurrencedouble sur n et le degré de T; pour n = 1 c�est évident quelque soit le degré

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de T , on la suppose vraie jusqu�à n� 1 quelque soit deg(T ) et on le prouvepour n par récurrence sur deg(T ): Il n�y a rien à prouver si le degré est 0et soit T un polynôme de degré k à n variables tel que T (�1; ::::;�n) = 0:En substituant 0 à l�indéterminée Xn, on a T (�1;n�1; ::::;�n�1;n�1; 0) = 0.Par récurrence sur le nombre de variables : T (X1; ::::; Xn�1; 0) = 0: Le mêmeargument que ci-dessus nous dit alors que T est divisible par Xn; d�où

T (�1; ::::;�n) = �nT0(�1; ::::;�n)

et on conclut par récurrence sur le degré, celui de T 0 étant strictement infé-rieur à k:

Exercice 66 (formules de Newton) : Dans A [X1; ::::; Xn] où A est un an-neau commutatif, on dé�nit les polynômes symétriques homogènes de degrék :

Sk =nXi=0

Xki :

a) On utilisera le polynôme P 2 A [X1; ::::; Xn; Y ] dé�ni par

P =nYi=1

(Y �Xi): Montrer que

P = Y n +nXk=1

(1)k�kYn�k:

b) En notant P 0Y le polynôme dérivé partiel par rapport à Y; montrer que

P 0Y =nXi=1

P

Y �Xi

= nY n�1 +

n�1Xk=1

(�1)k(n� k)�kY n�k�1

(noter que l�expression PY�Xi désigne un polynôme !).

c) En écrivant P = P � P (X1; :::; Xn; Xi); faire apparaître les quantitésY a � Xa

i où l�on peut factoriser Y � Xi: E¤ectuer alors la somme sur i etmontrer que la comparaison avec la seconde formule donnant P 0Y conduit àla formule, pour k < n :

Sk � �1Sk�1 + �2Sk�2 + ::::+ (�1)k�1�k�1S1 + (�1)kk�k = 0:

d) Pour k � n; on part de l�expression de P donnée par a) et on écritP (X1; :::; Xn; Xi) = 0: En sommant ensuite sur i; prouver la relation :

Sk � �1Sk�1 + �2Sk�2 + ::::+ (�1)n�1�n�1Sk�n+1 + (�1)n�nSk�n = 0:

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Exercice 67 : Calculer Sk en fonction des �i pour k � 4:

Exercice 68 : En e¤ectuant (PX2i )2, donner une expression deP

1�i<j�nX2iX

2j (pour n � 4):

Exercice 69 : Calculer de mêmeP

i6=j X4iX

2j à partir des Si, puis des �i:

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