Rosero Alex

8/16/2019 Rosero Alex

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y

MECÁNICA

CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA

PORTAFOLIO DEL

MODULO FORMATIVO

“SISTEMAS MECÁNICOS II

Quinto Semestre

DOCENTE:

Ing. Diego Nuñez

ALUMNO:

Alex Rosero

AMBATO – ECUADOR

Semestre Octubre 2016 – Marzo 2016


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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEAMBATO

FACULTAD DE INGENIERIA Y MECÁNICA

CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA

MODALIDAD PRESENCIAL

MODULO DE INGENIERÍA DE SISTEMAS MECÁNICOS IΙ

“CONSULTAS”

INTEGRANTES

BRYAN REVELO

ÁLEX ROSERO

SEMESTRE: QUINTO

PARALELO:“B”

AMBATO

FEBRERO/03/2016


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Método de la conjugada para encontrar deflexiones en una viga

Derivando cuatro veces la ecuación de la elástica se obtiene las siguientes

relaciones:

: Deflexión (ordenada de la elástica) : Pendiente : Momento (M) : Fuerza cortante:

: Carga : Considerando entonces el diagrama ⁄ como una carga ficticia, se calcula lafuerza cortante y el momento flexionante ficticios en un punto cualquiera que se

corresponden con la pendiente y las ordenadas de la elástica en los mismo puntos

de la viga inicial. El procedimiento se llama método de la viga conjugada o también

se le denomina método de las cargas elásticas.

Aplicando con a una viga cargada con el diagrama

⁄ y con los principios ya

estudiados para la determinación de la fuerza cortante y momento flexionante se

tiene:

Pendiente real = Fuerza cortante ficticia

Deflexión real= momento flexionante ficticio

Este método es aplicable directamente con vigas simplemente apoyadas en otros

casos tales como ménsulas, vigas con voladizo, entonces posteriormente vamos a

comprobarlo con el método de áreas por momentos por el caso de una viga

simplemente apoyada[1].

En la siguiente figura se tiene una viga simplemente apoyada en sus extremos con

una carga uniformemente repartida. El diagrama de momentos, ⁄ , dibujadopor la figura se multiplica por ⁄ y se aplica con la carga en la viga conjugada,otra viga simplemente apoyada y con el mismo claro L, como se indica en la figura

como se indica en la figura. Para determinar la R1 ala viga conjugada se toma los

momentos de las cargas ficticias con respecto a B.


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Este es el resultado que se obtuvo con el método de áreas por momentos no

obstante el método de la conjugada tiene una ventaja interesante de poderse

aplicar mecánicamente puesto que permite la aplicación directa de las

definiciones de la fuerza cortante y momento flexionante a la carga ficticia sin

necesidad de ayudarse con dibujos de la elástica para verlas relaciones

geométricas que se tiene que aplicar[2].

Para la viga en voladizo se ha puesto el siguiente diagrama:

Este diagrama no puede aplicarse directamente como carga ficticia a otra igual, con

su empotramiento en el extremo derecho C ya que la fuerza cortante y el

momento flexionante ficticio en B serian nulos, mientras que la pendiente y laordenada en B de la viga original no lo son.

La pendiente en la viga principal C es ficticio es decir nulo por lo tanto

Se deduce que la fuerza cortante en B de la viga conjugada debe ser igual al área

del diagrama de carga ficticia, para tener momento ficticia en C tiene q existir en B

un momento ficticio M

Por lo tanto se deduce que M y V son reacciones de empotramiento en una viga

empotrada en B y libre en C, solo después de esto se puede calcular la fuerza

cortante y el momento flexionante ficticio correspondientes a la pendiente y

ordenadas de la elástica real[1].

EJERCICIO RESUELTO

Encuentre la deflexión en el extremo del voladizo


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Viga conjugada

(̅ )

Referencias:

*1+ F. P. Beer. “Mecánica de Materiales”, 2°ed., vol. 1. J. M. Dorador D.F,

México: Mc Graw Hill EDUCAIÓN: 1993, pp 528-537

[2] N. Arteaga. “Resistencia de Materiales I”, 3°ed., vol. 1. C. Gonzales.

Madrid, España: Edit Ingeniería: 2009, pp 137-52


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Método de la ecuación universal para encontrar las deflexiones en una

viga

Para poder conocer mejor el método a conocerse se debe saber las siguientes

características:- Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi

cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente

determinadas e indeterminadas [1].

- Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza

cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y

deflexión de una viga por medio del cálculo integral.

- El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en

toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. Por lo

tanto es un método geométrico.Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación que relaciona la curvatura de la

superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura. De la

curva elástica obtenemos la siguiente actuación:

Si el radio de curvatura ρ de la curva elástica en x va a determinarse, entonces de la

figura, ρ dθ =dx, por lo que:

Si escogemos el eje v como positivo hacia arriba, podemos expresar la curvatura (1/ρ)

en términos de x y v, podemos entonces determinar la curva elástica de la viga [2].

1/ρ=(d^2v/dx^2)/(1+(dv/dx)^2)^(3/2)

M/EI=(d^2v/dx^2)/(1+(dv/dx)^2)^(3/2)

Esta ecuación representa una ecuación diferencial de segundo orden no lineal. La

curvatura puede aproximarse por 1/ρ = d2v/dx2, usando esta simplificación la

ecuación anterior puede escribirse como:

(d^2 v)/dx^2 = M/EI

Podemos determinar la ecuación de la curva elástica por integración directa de la

ecuación (d2v/dx2 = M/EI). La solución de esta ecuación requiere de dos integraciones

sucesivas para obtener la deflexión v de la curva elástica. En cada integración esnecesario introducir una “constante de integración” y luego encontrar las constantes

para obtener una solución única para un problema particular [1].

Las constantes de integración se determinan evaluando las funciones para la

pendiente o el desplazamiento en un punto particular sobre la viga donde se conoce el

valor de la función. Esos valores se llaman condiciones de frontera.

Condiciones de frontera y continuidad: Si no puede usarse una sola coordenada x para

expresar la ecuación de la pendiente o la de la curva elástica de la viga, deben

entonces usarse condiciones de continuidad para evaluar algunas de las constantes de


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integración.

Expresado matemáticamente, esto requiere que θ1(a) = θ2(a) y v1(a) = v2(a). Estas

ecuaciones pueden entonces usarse para evaluar dos constantes de integración [2].

Curva elástica: Trace en forma amplificada la curva elástica de la viga. Recuerde que la

pendiente y el desplazamiento equivalen a cero en los empotramientos, y que en los

pasadores y soportes de rodillo el desplazamiento es cero. Función de carga o

momento

Para cada región en que se tiene una coordenada x, exprese el momento interno M en

función de x.

Con la condición de que EI sea constante, aplique la ecuación de momento EId2v/dx2 =

M(x), que requiere dos integraciones. Para cada integración es importante incluir una

constante de integración.

Pendiente y curva elástica

Procedimiento de análisis

Este procedimiento proporciona un método para determinar la pendiente y deflexión

de una viga usando el método de la doble integración. Debe quedar claro que este

método es apropiado solo para deflexiones elásticas tales que la pendiente de la viga

sea muy pequeña. Además, el método considera solo deflexiones debidas a flexión [1].

Ejercicio Resuelto

Determinar la ecuación elástica de una viga en mensula que soporta una carga

uniforme de wN/m en una porción de su longitud como indica la figura.


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Referencias:

*1+ L.Singer “Resistencia de Materiales” Mexico, Alfaomega Grupo Editor,

edición cuarta 2008, pp 212-213.

*2+ R.C. Hibbeler “Mecanica de Materiales” Mexico, Pearson Educacion,

Octava Edicion 2011, pp 485-487.


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Reemplazando 4 y 5 en 3 obtenemos:

R²Es la ecuación de un círculo en forma algebraica estándar. Las coordenadas son

y

, el radio es R y el centro del circulo tiene las coordenadas = y =0[2].Convenciones de signos:

1. Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha.

2. Los esfuerzos normales negativos (de compresión) actúan hacia la izquierda.

3. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en

sentido de las manecillas del reloj se marcan hacia arriba en el eje .

4. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en

sentido contrario al de las manecillas del reloj se marcan hacia abajo [1].

Construcción del círculo de Mohr.

El círculo de Mohr puede construirse de varias maneras, dependiendo de cuáles

tensiones se conozcan y cuáles se desconozcan. Suponiendo que conocemos y que actúan sobre los planos X y Y de un elemento en tensión plana son los únicosdatos que necesitamos para construir el círculo, luego con el círculo dibujadopodremos determinar las tensiones y que actúan sobre un elementoinclinado, a su vez podremos obtener las tensiones principales y tangenciales máximas

con ayuda del círculo.

Con y el procedimiento para construir el círculo de Mohr es el siguiente:Dibujar un conjunto de ejes coordenados con y como ordenada (positivo haciaabajo)

Localizar el centro C del círculo en el punto con coordenadas = y Localizar el punto A, que representa las condiciones de tensión sobre la cara x del

elemento, marcando sus coordenadas = y = es de denotar que A


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corresponde a ϴ= 0

Localizar el punto B que representa las condiciones de tensión sobre la cara del

elemento, trazando sus coordenadas = y = - se observa que el punto Bsobre el círculo corresponde a ϴ= 90°Dibujar una línea del punto A al punto B. Esta línea es un diámetro del círculo y pasa

por el centro C Los puntos A y B, que representan las tensiones sobre los planos a 90°

uno del otro, están a extremos opuestos del diámetro (por lo tanto están a 180° uno

del otro sobre el círculo)

Con el punto C como centro trazar el círculo de Mohr por los puntos A y B. El círculo

dibujado debe tener un radio R

Una vez dibujado el círculo se puede afirmar que por geometría las líneas CA Y CB son

radios y tienen longitudes iguales a R, notamos que las abscisas de los puntos C y A son

y respectivamente.La diferencia de esas abscisas es

, también la ordenada en el punto A es ; por

lo tanto la línea CA es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de longitud

, y elotro lado de longitud , extraemos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados deesos lados y obtenemos el radio R=√ Tensiones principales y tangenciales máximas

Las tenciones principales son de los temas más importantes que se pueden encontrar a

partir del círculo de Mohr, del Círculo podemos decir que al encontrarnos en el punto

P1 donde la tensión normal alcanza su valor máximo y donde la tensión tangencial es

cero; por consiguiente, el punto P1 representa la tensión principal y un plano principal.

La abscisa del punto P1 da la tensión principal mayor y su ángulo 2ϴp1 desde elpunto de referencia A proporciona la orientación del plano principla.El otro planoprincipal, asociado con la tensión normal está representada por P2, diametralmente

opuesto s P1, por la geometría del círculo vemos que la tensión principal

algebraicamente es:

= OC + CP1 = + RSustituyendo R, la fórmula concuerda con la fórmula de la tensión. De manera similar

podemos comprobar la expresión para la tensión principal menor . El ánguloprincipal ϴp1 entre el eje X y el plano de la tensión principal algebraicamente mayor es


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la mitad del ángulo 2ϴp1 que es el ángulo en el círculo de Mohr entre los radios CA Y

CP1; El coseno y el seno del ángulo 2ϴp1 pueden obtenerse del círculo

Cos 2ϴp1=

sen2ϴp1=

Por consiguiente ϴp2= ϴp1+90°

Las tensiones tangenciales máximas en los puntos S1 Y S2 representan las tensiones

máximas positivas y negativas respectivamente, se localizan en la parte inferior y

superior del círculo. Las tensiones tangenciales máximas son iguales al radio del

círculo, además las tensiones normales sobre los planos de tensión máximas son

iguales a la abscisa del punto C, que es la tensión normal promedio [2].

Referencias:

[1] R. L. Mott. “Esfuerzos combinados y círculo de Mohr en Resistencia de

Materiales”, 5° ed., vol. 1. L. Cruz, Naucalpan, México: PEARSON EDUCACIÓN,

2009, pp 526, 529

*2+ J.M. Gere. “Círculo de Mohr en Timoshenko Resistencia de Materiales”,

5°ed., vol. 1. G. Castelltort, Cataluña, España: ITES-paraninfo:1997, pp 498-504


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TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA RESOLUCIÓN DE VIGAS

HIPERESTÁTICAS.

El teorema de Castigliano proporciona un medio para encontrar las deflexiones de una

estructura a partir de la deformación de la estructura. Para demostrar que significa

esto consideraremos una viga en voladizo con una carga concentrada P en el extremo

libre. La energía de deformación de esta viga se obtiene con la siguiente ecuación

U =

Derivamos esta ecuación con respecto a la carga P:

Reconocemos este resultado como la deflexión en A en el extremo libre de la viga, ladeflexión A corresponde a la carga P. La segunda ecuación muestra que la derivada de

la energía de deformación respecto a la carga es igual a la deflexión correspondiente a

la carga. El teorema de Castigliano es una generalización de esta observación.

Esta expresión es conocida como el teorema de Castigliano y puede ser obtenida a

partir de cualquier tipo de estructura, el único requisito que debería cumplir la


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*1+ J.M. Gere. “Teorema de Castigliano en Timoshenko Resistencia de

Materiales”, 5°ed., vol. 1. G. Castelltort, Catauña, España: ITES-paraninfo: 1997,

pp 662

*2+ F. P. Beer. “Teorema de Castigliano en Mecánica de Materiales”, 5°ed., vol.

1. J. M. Dorador D.F, México: Mc Graw Hill EDUCAIÓN: 2010, pp 711-712

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