1

Descuento simple y compuesto

Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital

futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley

financiera de descuento simple. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

Si considero que C=M D

C = capital lquido luego del descuento

M = monto o valor del cheque

D = n*d*M

d = tasa de descuento

n = unidades de tiempo

sustituyendo en la frmula: C = M - n*d * M = M (1 n*d)

por lo que: C= M (1 n*d)

Aplicaciones

- Hallar el valor lquido de un cheque de U$S 10.000 que vence dentro de 30 das

descontado al 4% anual.

C= 10.000 ( 1 (4%/12)) = U$S 6.667

- Hallar el valor lquido de un conforme (es un documento por el cual una persona se

compromete a abonar a otra, una suma a una determinada fecha) de $ 6.000 que paga un

5% de inters y vence a los tres meses, si el tipo de descuento es del 6%.

Primero determino el monto a descontar, que es la cantidad a pagar dentro de tres meses

a inters simple.

Aplico la frmula de inters simple M = C(1 + n*i)

M = 6.000(1+(1/4*0.05))=6.075

La cantidad a pagar dentro de tres meses es 6.075

Ahora deber descontar $ 6.075 por tres meses al 6%

Aplico la frmula: C= M (1 n*d) C= 6.075(1-(1/4*0.06)) =U$S 5.983.9

Tasas de inters simple y de descuento simple equivalentes

Un tipo de descuento simple y una tasa de inters simple con los cuales se obtienen

resultados iguales, se dice que son equivalentes.

Ejemplo: Si una persona se presenta en un banco a descontar un conforme por $ 7.000 que vence

en tres meses siendo la tasa de descuento del 5% anual. Qu tasa de inters gana

el banco por esa operacin, dado que entrega una cantidad de dinero hoy al cliente por

el descuento y recupera una cantidad mayor dentro de tres meses.

Solucin: el banco le resta al cliente un descuento de:

$7.000*1/4*0.05= $ 87.5 y en consecuencia, le entrega a quien se present a descontar

el documento, un lquido de $ 7.000 -87.5= $ 6912,5

2

En consecuencia, el banco gana una cantidad de $ 87.5.sobre un capital de 6.912.5, que

en definitiva presta durante tres meses,

El inters ganado es entonces: 87.5/6912.5 = 1.265823 % en tres meses, que al ao

(multiplicado por 4 trimestres) implica una tasa de inters del 5.06% . Por lo tanto un

descuento del 5% anual sobre un conforme a tres meses equivale a una tasa de inters

anual del 5.06%

Se puede deducir a partir de este ejemplo, una frmula para vincular tasa de descuento

simple y de inters simple equivalentes.

Descuento que resta el banco al cliente: D = M*n*d

Importe lquido que entrega el banco a la persona que se presenta a descontar el

conforme: M M*n*d, es decir M (1 n*d) El banco gana M*n*d sobre un desembolso de M * (1 n*d), por lo que la ganancia del banco es de : M*n*d / M *(1 n*d). Si suprimo M de ambos, numerador y denominador, no altera los resultados y la ganancia del banco podr expresarse como:

n*d / (1 n*d) y esto es justamente la tasa de inters i . se trata de la ganancia ganada en n aos.

Entonces, en un ao, tendr que dividir la ganancia entre n aos:

n *d *1/n / (1- n*d), con lo cual, queda que:

si de esta frmula se despeja la d en lugar de la i, tenemos que:

Descuento compuesto

Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un

capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de

la ley financiera de descuento compuesto. Es una operacin inversa a la de

capitalizacin.

La diferencia entre el monto a pagar y su valor actual, obtenido utilizado inters

compuesto, se conoce con el nombre de descuento compuesto. Este descuento se calcula

hallando el valor actual , que luego se le resta al monto a pagar al vencimiento.

D = M C D= descuento

M= Monto

C= capital o valor actual

D = M M / (1+i)n , y sustituyendo en la frmula: D = M * (1-Vn)

3

Aplicaciones:

I) Cul es el descuento al 5% de inters compuesto anual, sobre un prstamo de $

12.000 a pagar dentro de 5 aos?

Solucin: Aplicando la frmula anterior: D= 12.000*(1- 1/(1.05)5) = 2.598

II) El Sr. XX desea vender una casa de su propiedad, cuyo valor hoy es de $ 750.000. y

recibe dos ofertas: una de $ 500.000 al contado y $ 500.000 a pagar en 5 aos y otra de

$ 500.000 al contado y $ 1.000.000 a pagar en 10 aos. Se hipoteca la propiedad por el

saldo impago en ambas ofertas y la tasa de inters capitalizable es del 15% anual Cul

es la mejor oferta?

Solucin: debo hallar los valores actuales de cada oferta y compararlos. Hallar los

valores actuales de cada oferta permite comparar cifras valoradas en un mismo

momento del tiempo.

Valor actual oferta 1= 500.000 + 500.000/(1+0.15)5 =748.588

Valor actual oferta 2= 500.000 + 1.000.000 / (1+0.15)10 =747.185

Es ms conveniente la oferta 1, por tener un mayor valor actual.

Tasas de inters compuesto y de descuento compuesto equivalentes

Dos tasas de inters y descuento se dicen equivalentes cuando producen los mismos

resultados. La tasa de inters se define como la cifra que se paga por el uso del dinero

sobre el dinero recibido efectivamente en prstamo. Es as que si la tasa es el 5%, cada

$100 de dinero que recibo, pago $5 de inters en un ao. La tasa de inters es entonces

del 5%, es decir 5/100, lo que equivale a 0.05 5%. Por su parte, en una operacin de

descuento por un ao sobre $1 que recibir al ao, si los recibo hoy, percibir (1-d)

siendo d la cantidad que se descuenta.

Si yo coloco (1-d) a una tasa de inters tal que obtenga 1 en un ao, cul es la tasa de

inters que hace que (1-d) colocado a esa tasa de inters, me d $1 en un ao?

Aplicando frmula ya vista

M=C(1+i)n

1= (1-d)(1+i)1 factoreando 1+i = 1/(1-d) por lo que i= 1/(1-d) -1, que es lo mismo que

(1-1+d)/1-d por lo cual se llega a la siguiente frmula de tasas equivalentes de

descuento y de inters considerando un perodo de un ao:

esta razn tambin puede expresarse como:

i= tasa anual efectiva de inters compuesto

d= tasa anual efectiva de descuento compuesto

4

Aplicaciones

- para una tasa de descuento del 5% anual en operaciones que se realizarn en un

horizonte temporal de tres aos, a qu tasa efectiva de inters, capitalizable anualmente,

equivale?

Aplicando la frmula: i= d/(1-d), en este caso i= 0.05/(1-0.05)= 0.05263, por lo cual,

una tasa de descuento del 5%, con capitalizacin anual equivale a otra de inters del

5.263% capitalizado anualmente.

- qu tasa de descuento compuesto anual, es equivalente a otra de inters del 6%,

capitalizable anualmente?

Aplicando la frmula vista: d=i/(1+i), d= 0.06/(1+0.06)= 0,05660377. por lo cual, una

tasa de inters del 6% capitalizable anualmente es equivalente a una tasa de descuento

compuesto de 5.66% anual.

1.3. Descuento simple

1.3.2. Descuento racional

El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de

inters efectivo (i).

Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operacin, igual que

ocurra en la capitalizacin, resulta vlida la frmula de la capitalizacin simple, siendo

ahora la incgnita el capital inicial (C0).

As pues, a partir de la capitalizacin simple se despeja el capital inicial, para

posteriormente por diferencias determinar el descuento racional:

Cn = C0 (1 + n x i)

Clculo del capital inicial:

Cn

C0 = -------------

1 + n x i

Clculo del ahorro de intereses (Dr):

Cn Cn x n x i

Dr = Cn C0 = Cn -------------- = -------------- 1 + n x i 1 + n x i

De otra forma:

Cn Cn x n x i

Dr = C0 x i x n = --------------- x i x n = -----------------

1 + n x i 1 + n x i

5

1.3.3. Descuento comercial

Los intereses generados en la operacin se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un

tipo de descuento (d).

En este caso resulta ms interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente

el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los perodos

descontados (n), y en cada perodo tanto el capital considerado para calcular los

intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

Dc = Cn x d + Cn x d + + Cn x d = Cn x n x d

n veces

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn Dc = Cn Cn x n x d = Cn x (1 n x d)

C0 = Cn x (1 n x d)

EJEMPLO 9

Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con

vencimiento dentro de 3 aos a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el

descuento de la operacin.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento

racional):

6

100

C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal

(descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30

C0 = 100 30 = 70

o bien:

C0 = 100 x (1 3 x 0,1) = 70

1.3.4. Tanto de inters y de descuento equivalentes

Si el tipo de inters (i) aplicado en el descuento racional coincide en nmero con el tipo

de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sera el mismo

porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cmputo del clculo de

intereses; de forma que siempre el descuento comercial ser mayor al descuento

racional (Dc> Dr) como ocurre en el ejemplo 9.

Obtenindose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:

Anlogamente, conocido d se podr calcular el tanto i:

i

d = -------------

1 + n x i

7

La relacin de equivalencia entre tipos de inters y descuento, en rgimen de simple, es

una funcin temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos

de inters como valores tome la duracin (n) de la operacin y al revs (no hay una

relacin de equivalencia nica entre un i y un d).

EJEMPLO 10

En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de inters es del 10% anual. Qu tipo de

descuento anual deber aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten

equivalentes?

Si i = 10%

Entonces se ha de cumplir:

0,1

d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923%

1 + 3 x 0,1

Comprobacin:

Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de inters del 10%

(descuento racional):

100

C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes

calculado del 7,6923% (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08

C0 = 100 23,08 = 76,92

o bien:

C0 = 100 (1 0,076923 x 3) = 76,92

Descuento compuesto 4.3. DESCUENTO RACIONAL Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses

de un perodo el capital al inicio de dicho perodo, utilizando el tipo de inters vigente

en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

d

i = --------------

1 n x d

8

Grficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

Perodo n: Cn

Perodo n1:

Cn-1 = Cn In = Cn Cn-1 x i

Cn-1 x (1 + i) = Cn

Cn

Cn-1 = -------------

(1 + i)

Perodo n2:

Cn-2 = Cn-1 In-1 = Cn-1 Cn-2 x i

Cn-2 x (1 + i) = Cn-1

Cn-1 Cn

Cn-2 = ------------ = ------------

(1 + i)1 (1 + i)2

Perodo n3:

Cn-3 = Cn-2 In-2 = Cn-2 Cn-3 x i

Cn-3 x (1 + i) = Cn-2

Cn-2 Cn

Cn-3 = ----------- = ----------

(1 + i)1 (1 + i)3

Perodo 0:

C0 = C1 I1 = C1 C0 x i

C0 x (1 + i) = C1

C1 Cn

C0 = ---------- = ------------

1 + i (1 + i)n

9

Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta

de la anticipacin del capital futuro. Se trata de la operacin de capitalizacin

compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se

pretende determinar el capital actual.

De otra forma, partiendo de la expresin fundamental de la capitalizacin compuesta, Cn

= C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0):

Cn

C0

= ----------

(1 + i)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial

obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dr), o descuento propiamente

dicho:

Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]

EJEMPLO 7

Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si

el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la

operacin se concierta a un tipo de inters del 5% anual compuesto?Cunto nos

habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000

C0 = -------------- = 20.732,10

1,053

Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90

De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90

10

4.4. DESCUENTO COMERCIAL

En este caso se considera generador de los intereses de un perodo el capital al final de

dicho perodo, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho perodo. El proceso a

seguir ser el siguiente:

Grficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

Perodo n: Cn

Perodo n-1:

Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)

Perodo n-2:

Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2

Perodo n-3:

Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)

3

Perodo 0:

C0 = Cn x (1 - d)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial

obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dc):

Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]

Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 aos. Si el pago se

hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la operacin se

concierta a un tipo de descuento del 10% anual? Cunto nos habremos ahorrado por el

pago anticipado?

11

C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90

Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10

De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10

EJEMPLO 9

Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si

el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la

operacin se concierta?

1.er caso: a un tipo de inters del 5% anual compuesto (descuento racional):

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000

C0 = -------------- = 20.732,10 1,053

2. caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial):

C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00

Por tanto, aplicando un tipo de inters y de descuento idnticos los resultados son

distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a que el

capital productor de intereses es el capital inicial (ms pequeo) y en consecuencia

menor el ahorro por la anticipacin.

Para conseguir el mismo resultado habra que calcular el tipo de descuento equivalente

al 5% de inters mediante la relacin de equivalencia:

0,05

d = ------------ = 0,047619

1 + 0,05

Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado ser:

C0 = 24.000 x (1 0,047619)3 = 20.732,10