Root-Locus Analysiseng.sut.ac.th/me/meold/3_2551/425308/ACS41.pdfSeven Steps to Sketching a...

Root-Locus AnalysisChapter IV

Root-Locus Analysis

2

Introduction

3

Introductionvideo camera system

4


Pole location as a function of gain for the system

5


Pole plot from Table root locus

6

Introductionการตอบสนองชั่วครูกอนที่ระบบจะเขาสูสภาวะคงตัวของระบบปดนั้นมีลักษณะเฉพาะซึ่งจะเปนคุณลักษณะของแตละระบบและตอบสนองกับอินพุทแตละแบบก็จะแตกตางกันไป อยางไรก็ตามเราทราบมาแลววาพฤติกรรมการตอบสนองของระบบสามารถที่จะเชือ่มโยงกับตําแหนงของโพลของระบบในระนาบเชิงซอนได

7

Introductionดังนัน้ถาหากระบบมี gain ที่สามารถปรับเปลี่ยนคาได จะทําใหระบบมีตําแหนงของโพลของระบบเปลี่ยนแปลงไปตามการปรับเปลี่ยนคาของ gain ที่เราเลือก จงึมีความจําเปนอยางยิ่งที่ผูออกแบบจะตองทราบถึงผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงการตอบสนองของระบบเมื่อตําแหนงของโพลในระนาบเชิงซอน s-plane เปลี่ยนแปลงคาไป อันเนือ่งมาจากการเปลี่ยนคา gain ของระบบ

8

Introduction

( )( ) Ks

KsRsC

++=

1

The closed-loop transfer function is

9

Introductionสําหรับในที่นีเ้ราจะพจิารณา gain ของฟงกชันถายโอนยอนกลับเปนพารามิเตอรที่มีการเปลี่ยนแปลงคาจากศนูยไปถึงอนนัต ในการใชวิธี Root-Locus นี้ ผูออกแบบระบบสามารถที่จะคาดเดาการเปลี่ยนแปลงตําแหนงของโพลเมื่อพารามิเตอรเปลี่ยนไป หรือเมื่อมกีารเพิ่ม open-loop pole หรือเมือ่มีการเพิ่ม open-loop zeros เขาไปในระบบ ดังนัน้ผูออกแบบจําเปนตองมีความเขาใจที่ดีในวธิกีารที่จะสรางทางเดินจุดของรากนี้ ไมวาจะเปนการทําดวยมือหรือการใชคอมพิวเตอรโปรแกรมเขาชวย

10

Root-Locus PlotsAngle and Magnitude conditions

( )( )

( )( )sGH

sGsRsC

+=

1

The closed-loop transfer function is

11


( ) 01 =+ sGH ( ) 1−=sGH

( ) ( ) ( )…,2,1,0 12180 =+±=∠ kksGH

The characteristic equation for this closed-loop transfer function is

Angle conditions

Magnitude conditions( ) ( ) 1=sHsG

or

12


( )( ) ( )( )( ) ( ) 01

21

21 =++++++

+n

m

pspspszszszsK

The characteristic equation may be written as

The root loci for the system are the loci of the closed-loop poles as the gain K is varied from zero to infinity

13

Seven Steps to Sketching a Root-Locus

or

a) Write lie characteristic equation so that theparameter of interest ,K appears as a

multiplier.b) Factor P(s) in terms of n poles and m zeros. c) Locate the open-loop poles and zeros of P(s)

in the s-plane with selected symbols.d) Determine the number of separate loci, SL.e) The root loci are symmetrical with respect to the horizontal real axis.

1.Relative Equation or RuleStep

( ) 01 =+ sGH

( ) 01 =+ sKP

( )

( )01

1

1 =+

++

∏

∏

=

=n

jj

m

ii

ps

zsK

14


Locus lies to the left of an odd number of poles and zeros

Locate the segment of the real axisthe root loci

The loci proceed to zeros at infinity along asymptotes centered at σA and with angles φA

2.

3.

Relative Equation or RuleStep

( ) ( )mn

zp ijA −

−−−= ∑ ∑σ

( )

( )12,1,0

,18012

−−=−+

=

mnqmn

kA

…

φ

15


Use Routh-Hurwitz criterion

Determine the points at whichthe locus crosses the imaginary axis (if it does so)


16


a) Set K=P(s)b) Obtainc) Determine roots of 5 (b) or use graphical method to find maximum of P(s).

Determine the breakaway point onthe real axis


( ) 0=ds

sdP

17


Determine the angle of locus departure from complex poles and the angle of locus arrival atcomplex zeros, using thephase criterion.Complete the root locus sketch

6.

7.

Relative Equation or RuleStep

( )ij zorps

ksP at

360180

=±=∠

18

Pole at Real-axis

02

11 =+

+s

K

19

Pole and Zero at Real-axis0

311 =

++

+ssK

20

Pole and Zero at Real-axis

0131 =

++

+ssK

21

Poles and Zero at Real-axis

( )( ) 041

21 =++

++

sssK

22

Poles and Zeros at Real-axis( )( )( )( ) 0

215.031 =

++++

+ss

ssK

23

Poles at Real-axis

( )( ) 021

11 =++

+ss

K

24

Poles at Real-axisAsymptote lines

( )( ) 021

11 =++

+ss

K 0;2 == mn

( ) ( )12,1,0,18012−−=

−+

= mnkmn

kA …φAsymptote lines

From

( )( ) 0for ,901802

1021 ==+

= kAφ

( )( ) 1for ,2701802

1122 ==+

= kAφ

For this system

25


( ) ( )mn

zp ijA −

−−−= ∑ ∑σ

( )( ) 021

11 =++

+ss

K 2;1 21 −=−= ppFrom

( ) ( ) 5.12

21−=

−+−=AσFor this system

Asymptote center

26

Poles at Real-axis

( )( ) 021

11 =++

+ss

K

27

Poles at Real-axis

( )( )( ) 0321

11 =+++

+sss

K

28


( )( )( ) 0321

11 =+++

+sss

K 0;3 == mn

( ) ( )12,1,0,18012−−=

−+

= mnkmn


From

( )( ) 0for ,601803

1021 ==+

= kAφ

( )( ) 1for ,1801803

1122 ==+

= kAφ

For this system

( )( ) 2for ,3001803

1223 ==+

= kAφ

29


( ) ( )mn

zp ijA −

−−−= ∑ ∑σ

( )( )( ) 0321

11 =+++

+sss

K 3;2;1 321 −=−=−= pppFrom

( ) ( ) ( ) 23

321−=

−+−+−=AσFor this system

Asymptote center

30

Poles at Real-axisDetermine the points at which the locus crosses the imaginary axis

( )( )( ) 0321 =++++ Ksss

( )( )( )321 +++−= sssK

( )11123 2 ++−= ssdsdK

( )( )( ) 0321

11 =+++

+sss

KFrom

422.1;557.2 21 −=−= ss

31


( )( )( ) 0321 =++++ Ksss

06116 23 =++++ Ksss

06

06

6066

111

0

1

2

3

Ks

KsKs

s

+

−+

( )( )( ) 0321

11 =+++

+sss

KFrom

The characteristic equation is

Using Routh-Hurwitz Criterion

6006

60=→=

− KK

Eq.1

32


Instead K to eq.1

iss 3166.30;6 3,21 ±=−=

33

Poles at Real-axis

( )( )( ) 0321

11 =+++

+sss

K

34


( )( ) 025.0

31 =++

++

sssK

35


( )( ) 025.0

31 =++

++

sssK

36

Poles and Zeros at Real-axis( )( )( )( ) 0

215.031 =

++++

+ss

ssK

37

Poles and Zeros at Real-axis

( )( )( )( ) 0

215.031 =

++++

+ss

ssK

38

Complex Poles

033

11 2 =++

+ss

K

39

Complex Poles

033

11 2 =++

+ss

K

40

Complex Poles and Zero at Real-axis0

5311 2 =++

++

sssK

41

Complex Poles and Zero at Real-axis

053

11 2 =++

++

sssK

42

Complex Poles and Zero at Real-axis Asymptote lines

053

11 2 =++

++

sssK 1;2 == mn

( ) ( )12,1,0,18012−−=

−+

= mnkmn


From

( )( ) 0for ,1801801

1021 ==+

= kAφFor this system

43

Complex Poles and Zero at Real-axis Asymptote lines

( ) ( )mn

zp ijA −

−−−= ∑ ∑σ

053

11 2 =++

++

sssK 1;658.15.1 12,1 −=±−= zjpFrom

Asymptote center

( ) ( ) ( ) 41

1658.15.1658.15.1−=

−+−−++−=

jjAσ

For this system

44

Complex Poles and Zero at Real-axisDetermine the points at which the locus crosses the imaginary axis

( ) 01532 =++++ sKss ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=1

532

sssK

053

11 2 =+

++

sssKFrom

( )( )

( )( )1

321

531

532

22

++

−+

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=ss

sss

sss

dsdK

( ) ( )( )( ) ( )2

2

2

2

122

113253

++−−

=+

++−++=

sss

sssss

dsdK

45

Complex Poles and Zero at Real-axisDetermine the points at which the locus crosses the imaginary axis

0=dsdK

0222 =+−− ss

732.0;732.2 21 =−= ss

From

46

Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of departure (angle of arrival) of the root-locus from complex pole (at a complex zero)

Angle of departure

Angle of departure from a complex pole = 180o –(sum of the angles of vectors to a complex pole in question from other pole)+ (sum of the angles of vector to a complex polein question from zeros)

Angle of arrival

Angle of arrival at a complex zero = 180o –(sum of the angles of vectors to a complex zero in question from other zeros)+ (sum of the angles of vectors to a complex zeroin question from poles)

47

Poles at Real-axisDetermine the angle of departure

053

11 2 =++

++

sssK

78.10678.1690180180 121 =+−=+−= φθθ

2θ

1φ

1θ

48

Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of departure

053

11 2 =++

++

sssK

22.16322.253270180180 112 =+−=+−= φθθ

2θ

1φ

1θ

49

Complex Poles and Complex Zeros

053421 2

2

=++++

+ssssK

50

Complex Poles and Complex Zeros Asymptote lines

053421 2

2

=++++

+ssssK 2;2 == mnFrom

732.11658.15.1

2,1

2,1

jzjp

±−=

±−=Poles and zeros

51

Complex Poles and Complex Zeros Determine the angle of departure (angle of arrival) of the root-locus from complex pole (at a complex zero)

Angle of departure

Angle of departure from a complex pole = 180o –(sum of the angles of vectors to a complex pole in question from other pole)+ (sum of the angles of vector to a complex polein question from zeros)

Angle of arrival

Angle of arrival at a complex zero = 180o –(sum of the angles of vectors to a complex zero in question from other zeros)+ (sum of the angles of vectors to a complex zeroin question from poles)

52


8.168.37639.9841.18890180180 2121 ==++−=++−= φφθθ

053421 2

2

=++++

+ssssK

2θ

1φ1θ

2φ

53


19.34359.1716.261270180180 2112 =++−=++−= φφθθ

053421 2

2

=++++

+ssssK

2θ

1φ1θ

2φ

54

Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of arrival

01.180906.8141.8180180 2211 =−++=−++= φθθφ

053421 2

2

=++++

+ssssK

2θ

1φ1θ

2φ

55

Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of arrival

97.17997.53927058.35139.278180180 1212 ==−++=−++= φθθφ

053421 2

2

=++++

+ssssK

2θ

1φ1θ

2φ

56

Poles at Real-axis and Complex Zeros

( )( ) 023421

2

=++++

+ssssK

57


( ) 053421 2

2

=++++

+sss

ssK

58


( )( ) 0532

421 2

2

=+++

+++

ssssssK

59

Typical pole-zero configurations and corresponding root loci

60


61


62


63

Complex poles andline of constant damping ratio

φζ cos=64

Example

( )( )

( )( ) Kss

KsG

sGsRsC

++=

+=

21 20

0

65

Example7.0=ζ 428.1

7.01122 ===→=

ζωζω nn

03.22 == nK ω

015.112,1 jp ±=

34.33.0

1122 ===→=ζ

ωζω nn

11.112 == nK ω

179.312,1 jp ±=

3.0=ζ

If

( )( ) 03.22

03.22 ++

=sssR

sC

If

( )( ) 11.112

11.112 ++

=sssR

sC66

Example

( ) 02

11 =+

+ss

K

67 68

The Root-Locus Procedure

( )( ) ( )( )( ) ( ) 01

21

21 =++++++

+n

m

pspspszszszsK

1. จากสมการขางบน ทําการเขียนตําแหนง poles และzeroes ลงบน s-plane

2. จํานวนเสนของ root-locus เจาเทากับจํานวน poles 3. เสน root-locus จะวิ่งออกจาก polesไปหา zeroes หรือ ∞ เสมอ

69

The Root-Locus Procedure

กรณทีี่ 1. มี poles อยูบน real axis •สมมุติวา test point อยูดานขวาสุดของ real axis และอยูบน real axis•จากนัน้ทําการเลื่อน test point มาทางซายสุด ในระหวางนัน้ใหนับ จํานวน pole และ zero ที่ปรากฏอยูทางขวามือของ test point•ถาจํานวน pole และ zero ที่นับรวมกันเปนเลขคี่ แสดงวา test point นั้นอยูบนเสน root locus

70

Root-Locus Plots

( ) ( ) ( )( )( )( )( )4321

1

pspspspszsKsHsG

+++++

=

71

Root-Locus Plots

( ) 43211 θθθθφ −−−−=∠ sGH

( ) ( )4321

1

AAAAKBsHsG =

Angle conditions

Magnitude conditions

72

Root-Locus Plots

73

The Root-Locus ProcedureStep1: Begin by writing the characteristic equation as

( ) 01 =+ sGH

We are usually interest in determining the locus of roots as K varies as

∞≤≤ K074

Root-Locus Plots with MATLABconv(a,b)conv([….],[….])rlocus(num,den)rlocus(A,B,C,D,K)sgrid( )sgrid([…..],[…..])[K,r]=rlocfind(num,den)

nωζ ,

Root-Locus Analysiseng.sut.ac.th/me/meold/3_2551/425308/ACS41.pdfSeven Steps to Sketching a...

Documents

Transcript of Root-Locus Analysiseng.sut.ac.th/me/meold/3_2551/425308/ACS41.pdfSeven Steps to Sketching a...