ÖRNEKLEME TEORİSİ VE

TAHMİN TEORİSİ

1

TEMEL KAVRAMLAR

PARAMETRE:

• Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir.

• Anakütledeki tek bir eleman dahi işlemin dışında kalır ise elde edilen sonuç parametre olarak kabul edilemez.

ÖRNEK İSTATİSTİĞİ

(PARAMETRE TAHMİNLEYİCİSİ):

• Bir örneğin sayısal betimselölçüsüdür ve örnekteki gözlemlerden hesaplanır.

• Diğer bir deyişle bilinmeyen bir parametrenin sayısal değerini bulabilmek (tahminlemek) için kullanılır.

2

PARAMETRE VE ÖRNEK

İSTATİSTİKLERİ İÇİN ÖRNEKLER

Parametre

• Anakütle ortalaması

• Anakütle Medyanı M

• Anakütle Varyansı 2

• Anakütle Standart

Sapması

• Anakütle Oranı: P veya π

Örnek istatistiği

• Örnek ortalaması

• Örnek Medyanı m

• Örnek Varyansı s2

• Örnek Standart

Sapması s

• Örnek Oranı p

x

3

Bir Populasyon Parametresi Hakkında

En Geniş Bilgiyi Hangi Örnek İstatistiğinin İçerdiğine

Nasıl Karar Verilecek?

Örneğin anakütle ortalaması için

• Aritmetik ortalama

• Geometrik ortalama

• Harmonik ortalama

• Medyan

vb. örnek istatistiklerinden hangisi tercih edilmelidir.

4

Örnek 1a

Bir zar atılışında x üst yüzdeki sayıyı göstersin. E(x)=anakütle parametresini (anakütle ortalamasını) bulunuz.

x 1 2 3 4 5 6

P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

xP(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

6

1

1 2 6 21( ) ( ) ...... 3,5

6 6 6 6x

E x xP x

5

Örnek 1b

• Ancak bu değerinin bir an için bilinmediği

ve bunu tahmin etmek için populasyondan

3 örnek alındığını varsayılsın.

6

• Zar 3 kez atılsın ve örnek sonuçları; x1=2, x2=2,

x3=6 elde edilsin.

333,33

10

3

622

n

xx ve m=2 hesaplanabilir. m:medyan

1 2 3 4 5 6

m=2

X=3.3

=3.5

SONUÇ: x değeri değerine daha yakındır.

7

• Zar 3 kez daha atılsın ve örnek sonuçları; x1=3, x2=4,

x3=6 elde edilsin.

3,43

13x ve m=4

1 2 3 4 5 6

m

x

SONUÇ: m değeri değerine daha yakındır.

8

Örnek için Yorum

2. Ne örnek aritmetik ortalaması

Ne de örnek medyanı (m),

populasyon ortalamasına daima daha yakındır

denilemez.

Sonuçların genellenebilmesi için örnek istatistiklerinin

dağılışına gerek duyulmaktadır.

x

1. Örnekten hesaplanan örnek istatistikleri (tahminleyiciler)

birer şans değişkenidir.

9

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

10

• Anakütleden n adet ölçümden x1, …, xn

oluşan bir örnekten alınmış olsun.

• Anakütledeki eleman sayısı N olsun.

• Anakütleden alınabilecek her biri n adet

eleman içeren tüm mümkün örnek sayısı:

Nk

n

11

• Bu koşullar (N, n) altında hesaplanabilecek

örnek istatistiği sayısı k adettir.

• Örnek istatistiğinin anakütlesindeki eleman

sayısı k olur.

• Örnek verilerinden hesaplanan bir örnek

istatistiği için elde edilen bu anakütle

örnekleme dağılışı olarak adlandırılır.

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

12

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

• Örnekleme dağılımı bu istatistiğin bir

olasılık dağılışıdır.

• Örnekleme dağılımı anakütledeki eleman

sayısı N ve n örnek hacminin bir

fonksiyonudur.

Örnek 2

13

• Büyük bir populasyondan alınmış 3 ölçümün (0, 3, 12)

olasılık dağılışı aşağıdaki gibidir;

n = 3

a) Örnek ortalaması ( )’nın örnekleme dağılışı

b) Örnek medyanı (m)’nın örnekleme dağılışını bulunuz.

• DİKKAT: ANAKÜTLEDEKİ ELEMAN SAYISI N

BİLİNMİYOR. FAKAT ŞANS DEĞİŞKENİNİN OLASILIK

DAĞILIMI P(x) BİLİNİYOR.

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

x

Mümkün Örnekler x m Olasılık p= x / n

(x tek sayı

gelmesi durumu)

0 0 0 0 0 1/27 0/3

0 0 3 1 0 1/27 1/3

0 0 12 4 0 1/27 0/3

0 3 0 1 0 1/27 1/3

0 3 3 2 3 1/27 2/3

0 3 12 5 3 1/27 1/3

0 12 0 4 0 1/27 0/3

0 12 3 5 3 1/27 1/3

0 12 12 8 12 1/27 0/3

3 0 0 1 0 1/27 1/3

3 0 3 2 3 1/27 2/3

3 0 12 5 3 1/27 1/3

3 3 0 2 3 1/27 2/3

3 3 3 3 3 1/27 3/3

3 3 12 6 3 1/27 2/3

3 12 0 5 3 1/27 1/3

3 12 3 6 3 1/27 2/3

3 12 12 9 12 1/27 1/3

12 0 0 4 0 1/27 0/3

12 0 3 5 3 1/27 1/3

12 0 12 8 12 1/27 0/3

12 3 0 5 3 1/27 1/3

12 3 3 6 3 1/27 2/3

12 3 12 9 12 1/27 1/3

12 12 0 8 12 1/27 0/3

12 12 3 9 12 1/27 1/3

12 12 12 12 12 1/27 0/3

Örnek 2 Örnek 314

15

Örnek 2

• Aritmetik Ortalama Örnekleme Dağılışı

• Medyan Örnekleme Dağılışı

0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

P( ) 1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27

xx

m 0 3 12

P(m) 7/27 13/27 7/27

16

Niçin Örnek?Anakütle parametrelerinin örnek değerleri (örnek istatistikleri)

yardımıyla tahmin edilmesine imkan sağlamak modern

istatistiğin önemli bir görevidir.

Anakütlenin tamamı incelenmez.

Anakütleden bir şans örneği alınır.

Elde edilen örnek değerlerinin anakütle parametresi yerine

kullanılması için iki şart vardır:

a. Örnek şans örneği olmalı. Anakütledeki her birimin örneğe

girme şansı eşit olmalı

b. Örnek yeterince büyük olmalı

17

Tahminleyicilerin Özellikleri

Sapmasız Sapmalı

BAX

)(XP

1. Sapmasızlık

N birimlik aynı anakütleden farklı sayıda örneklem

seçilebileceği için tahmin edicinin değeri de seçilen

örnekleme göre değişmektedir. Bu durumda örneklem

sayısı kadar elde edilen tahmin edici, bir rassal

değişken olup, ortalaması ve varyansı olan bir olasılık

dağılımına sahiptir. Bu dağılımın beklenen değerinin

anakütle parametresine eşit olmasına, diğer bir ifadeyle

bir istatistiğin beklenen değeri ile bilinmeyen anakütle

parametresi arasındaki farkın sıfıra eşit olmasına

“sapmasızlık” denir. E(X) E(X) 0

18

Tahminleyicilerin Özellikleri

2. Tutarlılık (Kararlılık)

Küçük örnek hacmi

Büyük örnek hacmi

A

B

)X(P

X

Örneklemdeki birim sayısı sonsuza doğru arttırıldığında, tahminedicinin değerinin anakütle değerine yaklaşması ve n=N olmasıdurumunda aralarındaki farkın sıfıra inmesi özelliğine “tutarlılık”denir.

nlim P 1

,’nın tutarlı tahmincisidir.

19

Tahminleyicilerin Özellikleri

3. Etkinlik

A

B

X

)X(P

Birden fazla sapmasız ve tutarlı tahminci olması

durumunda, bir tahmincinin varyansının, aynı

anakütle parametresinin başka bir tahmincisinin

varyansından daha küçük olması durumunda elde

edilen tahmincilere “etkin” tahminci adı verilmektedir.

Etkin Tahminci

Örnek hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür.

X

P(X)

A

BKüçük

örnek

hacimli

durum

Büyük

örnek

hacimli

durum

ÖRNEKLEME DAĞILIMI ÖRNEK

HACMİNİN BİR FONKSİYONUDUR

20

• Örnek 2 verileri için aritmetik ortalama ve

örnek medyanının tahminleyici özelliklerini

araştırınız.

21

Örnek 3

Örnek 3

22

Aritmetik ortalama , anakütle ortalamasının sapmasız

bir tahminleyicisi midir?

x

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

1

( )N

i ii

E x x P x

1 1 10 3 12

3 3 3

5

Örnek 3

23

0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

P( ) 1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27

xx

1

( )N

x i ii

E x x P x

1 3 10 1 12

27 27 27

5

Örnek 3

24

Sonuç:

E x

olduğundan aritmetik ortalama (tahminleyici), anakütle

ortalamasının (parametrenin) sapmasız bir tahminleyicisidir.

Örnek 3

25

Örnek medyanı m, anakütle ortalamasının sapmasız

bir tahminleyicisi midir?

m 0 3 12

P(m) 7/27 13/27 7/27

7 13 7

0 3 1227 27 27

i ii

E m m P m

4.56

E m

Örnek 3

26

Sonuç:

olduğundan örnek medyanı (tahminleyici), anakütle

ortalamasının (parametrenin) sapmalı bir tahminleyicisidir.

E m

Örnek 3

27

• Aritmetik ortalama , anakütle ortalamasının Minimum

Varyanslı bir tahminleyicisi midir?

x

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

x2 0 9 144

x2P(x) 0 9/3 144/3

2 2 153( )

3i iE x x P x

22 2

x V x E x E x

21535

3

26

Örnek 3

28

Aritmetik ortalamanın varyansı 2

x

0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

P( ) 1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27

0 1 4 9 16 25 36 64 81 144

P( ) 0 3/27 12/27 9/27 48/27 150/27 108/27 192/27 243/27 144/27

ix

2

ix

ix

2

ixix

2 2 909

27i iE x x P x

22( ) ( )V x E x E x

2909(5)

27

= 8,66

Örnek 3

29

mi 0 3 12

P(mi) 7/27 13/27 7/27

0 9 144

P(mi) 0 117/27 1008/27

Örnek medyanının varyansı 2

m

2

im2

im

2 2 41.66i iE m m P m

22( ) ( )V m E m E m

241.66 (4.56)

=20.86

Örnek 3

30

Sonuç:

Aritmetik ortalama , anakütle ortalamasının Sapmasız ve

Minimum Varyanslı bir tahminleyicisidir.

V x V m

x

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ

31

BEKLENEN DEĞER OPERATÖRÜ E(.)

• Şans değişkeni x anakütle ortalaması ve

anakütle varyansı 2 olsun.

• a ile b birer sabit sayı olmak üzere,

E(a)=a

E(ax)=aE(x)=a

E(ax+b)=aE(x)+b=a+b

32

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ

VARYANS OPERATÖRÜ V(.)

• Şans değişkeni x anakütle ortalaması ve

anakütle varyansı 2 olsun.

• a ile b birer sabit sayı olmak üzere,

V(a)=0

V(ax)=a2V(x)= a22

V(ax+b)= a2V(x)= a22

MERKEZİ LİMİT TEOREMİ

33

• Şans değişkeni x’in dağılımı ne olursa olsun bu

anakütleden alınan n hacimli örneklerden

hesaplanan aritmetik ortalamanın dağılımı

yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir.

x

x• Örnek hacmi büyüdükçe aritmetik ortalamanın

dağılımının normal dağılıma yakınsaması artar.

Şans Değişkenlerinin

Standartlaştırılması

• Standart değişkenler genellikle z ile gösterilir.

• Ortalaması sıfır, E(z)=0

• Varyansı bir, V(Z)=1.

şans değişkeni-anakütle ortalaması

anakütle standart sapmasız

34

35

BAZI ÖNEMLİ TAHMİNLEYİCİLER İÇİN ÖRNEKLEME

DAĞILIMLARININ BELİRLENMESİ

• Aritmetik ortalama

• Örnek varyansı s2

• Örnek oranı p

x

BİR DAĞILIMIN BELİRLENMESİ

• Dağılışın tipinin belirlenmesi,

(Normal, Üstel, Poisson vb.)

• Dağılımın parametrelerinin belirlenmesi

36

37

ARİTMETİK ORTALAMA İÇİN

ÖRNEKLEME DAĞILIMI

x

Şans değişkeni x anakütle ortalaması ve anakütle varyansı

2 olsun.

1 1 2

n

ii nx x x x

xn n

?E x

?V x

Cevaplanması gereken sorular

• Dağılımın tipi?

• Parametreleri;

DAĞILIMIN TİPİ

• Merkezi limit teoremine göre aritmetik

ortalamanın dağılımı yaklaşık olarak

normal dağılıma sahiptir.

• Normal dağılımın parametreleri:

– Anakütle ortalaması

– Anakütle varyansı

38

Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama

için Anakütle Ortalaması

39

11

1n

iin

xE x E E x E x

n n

1 n

E xn n

E x

Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama

için Anakütle Varyansı

40

112

1n

iin

xV x V V x V x

n n

2

2 2

2 2

1 nV x

n n

2

V xn

2

2~ ; ; xx x xx N N

n

41

ARİTMETİK ORTALAMA İÇİN ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

x

Aritmetik Ortalamanın Standartlaştırılması

42

- x

x

xz

- x

x

xz

n

43

Normal populasyondan örnekleme

• Merkezi eğilim

• Yayılım

– yerine koyarak

örnekleme

Populasyon dağılımı

Örnekleme dağılımı

n =16X = 2.5

n = 4X = 5

= 10

X

nX

X

50X

50 X

X

Merkezi Limit Teoremi

xn

x

Örnek

hacmi

yeterince

büyükse

(n 30) ...Örnekleme

dağılışı

hemen hemen

normal olur.

44

45

Alıştırma

• Türk Telekom’da çalışan bir operatörsünüz. Uzun

mesafeli telefon görüşmeleri = 8 dk. & = 2 dk. ile

normal dağılmaktadır. Eğer 25’lik örnekler seçerseniz

örnek ortalamalarının % kaçı 7.8 & 8.2 dk. arasında

olacaktır?

46

Çözüm

Örnekleme

dağılımı

.3830

.1915.1915

Standart normal

dağılım

ZX

n

ZX

n

7 8 8

2 2550

8 2 8

2 2550

..

..

8

X

= .4

7.8 8.2 0

Z= 1

-.50 Z.50X

47

ÖRNEK ORANI: p

• Anakütle başarı olasılığını “P” ’yi tahminlemek amacıyla

populasyondan alınan örnekten elde edilen bilgiler

doğrultusunda örnek oranı p hesaplanır.

• İlgilenilen başarı olasılığının P’nin bilinmediği durumlarda n

hacimlik örnek alındığında ve x örnekteki başarı sayısı olarak

ele alındığında, örnekten elde edilen başarı olasılığı (örnek

oranı);

xp

n

48

ÖRNEK ORANI p İÇİN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

~B ;x n p

xp

n

?p E p

2 ?p V p

Örnek oranı:

Cevaplanması gereken sorular

• Dağılımın tipi?

• Parametreleri;

Şans değişkeni x sabit n hacimli denemede ortaya çıkan

başarı sayısı olsun.

DAĞILIMIN TİPİ

• Merkezi limit teoremine göre örnek oranının

dağılımı eğer n örnek hacmi yeterince büyük ise

yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir.

• Bunun temel sebebi örnek oranının, n adet

denemede ortaya çıkan ortalama başarı sayısını

temsil etmesidir.

• Normal dağılımın parametreleri:

– Anakütle ortalaması

– Anakütle varyansı

49

Dağılımın Parametreleri: Örnek Oranı için

Anakütle Ortalaması

50

1x

E p E E xn n

np

E pn

E p p

Not: x şans değişkeni binom dağılımına sahip olduğundan:

E(x)=nP

E(x)=nP

Dağılımın Parametreleri: Örnek Oranı için

Anakütle Varyansı

51

2

1xV p V V x

n n

2

1

np pV p

n

1

p p

V pn

Not: x şans değişkeni binom dağılımına sahip olduğundan:

V(x)=np(1-p)

V(x)=nP(1-P)

21

~ ; ;

p p

p pp N N p

n

52

ÖRNEK ORANI p İÇİN ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

Örnek Oranının Standartlaştırılması

53

- p

p

pz

-

1

P pz

p p n

Örnek Hacminin Örnek Oranı

Üzerindeki Etkisi

54

Anakütle oranı P sabitken örnek hacmi arttığında örnek

oranının standart hatası küçülür.

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi örnek hacmi arttığında p’in

kendi ortalaması etrafında yoğunlaştığı görülmektedir.

( )f p

.72 .88 .92.84.80.76.68

n=400

n=100

p

55

Örnek 4

pi 0/3 1/3 2/3 3/3

0/9 1/9 4/9 9/9

P(pi) 8/27 12/27 6/27 1/27

2

ip

( ) i i

i

E p p P p

( ) pE p p

8 0 12 1 6 2 1 3( ) 0.33

27 3 27 3 27 3 27 3E p

Büyük bir populasyondan alınan 3 ölçüm ile ilgili örneğe

dönersek x başarı sayısının örnekte tek sayı gelme olayını

göstermek üzere örnek oranının beklenen değerini ve

varyansını bularak dağılımını elde ediniz.

Örnek 4

56

2 1

p

p pV p

n

2 (1 ) 0.33(1 0.33)0.074

3

p

p p

n

22 2( ) ( )p E p E p

2 2( ) i i

i

E p p P p

2 8 0 12 1 6 4 1 9( ) 0.185

27 9 27 9 27 9 27 9E p

22 2 2( ) ( ) 0.185 (0.33) 0.074p E p E p

I. YÖNTEM

II. YÖNTEM

Örnek 5

57

• Gelirler Genel Müdürlüğü’ne göre, bütün vergi

beyannamelerinin % 75’i vergi iadesine yol açmaktadır.

100 beyannamelik bir rassal örneklem alınmıştır.

a) Vergi iadesine yol açan beyannamelerin örneklem

oranının ortalaması kaçtır?

b) Örneklem oranının varyansı kaçtır?

c) Örneklem oranının standart hatası kaçtır?

d) Örneklem oranının 0,8’den büyük olma olasılığı kaçtır?

Örnek 5

58

( ) 0,75 E p p

2 (1 )p

p p

n

2 0,75(1 0,75)0,001875

100p

2 0,001875 0,0433p p

Çözüm:

a)

b)

c) Standart Sapma (ya da Standart Hata)

Örnek 5

59

( 0,8) ?P p

0,8( 0,8) ( )

0,8 0,75 0,8 0,75( ) ( )

0,0433 0,0433

( 1,15) 0,5 0,3749 0,1251

p p

P p pP p P

P z P z

P z

d)

2 0,001875 0,0433p p

n = örnek miktarı

s 2 = örnek varyansı

2 = anakütle varyansı

df = serbestlik derecesi = n – 1=v

Ki-Kare Dağılışı

=2

(n - 1) s 22

v

60

Ki-Kare Dağılışı

61

• Ki-kare dağılımının tek bir parametresi vardır: v

• Bu parametre genel olarak serbestlik derecesi olarak

adlandırılır.

• şeklinde gösterilir.

• Ki-kare dağılımı normal (standart normal) dağılıma sahip

şans değişkenlerinden elde edilir.

2

v

Ki-Kare Dağılışı

62

2

2

1

ix xs

n

221 in s x x

22

2

12 2

1 i

n

x xn s

Şans değişkenleri xi‘ler normal dağılıma sahip olmak üzere,

örnek varyansı:

Eşitliğin her iki tarafı anakütle varyansına bölünerek

Ki-Kare Dağılışı

63

2

vE v

2 2vV v

Ki-kare şans değişkeninin beklenen değeri:

Ki-kare şans değişkeninin varyansı:

2

vE v

2 2vV v

2

vE v

2 2vV v

Ki-kare istatistiğinin dağılışının

özellikleri

1. ki-kare dağılışı simetrik değildir

2. Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrikhale gelir (normale yaklaşır).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

df = 10

df = 20

Tüm değerler sıfır veya pozitif

Simetrik değil

x2

0

64

Anakütle ortalaması x ve anakütle varyansı 2

x olan bilinmeyen bir

populasyondan x1, x2,…, xn ile gösterilen n adet rassal bir örnek

alındığında populasyon varyansı aşağıdaki gibi bir beklenen değer

ifadesine eşittir:

2 2( )x i xE x

Populasyon ortalaması x bilinmediğinde yerine x konularak örnek

varyansı aşağıdaki gibi tanımlanır.

2 2

1

1( )

1

n

x i

i

s x xn

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

65

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

Varyansı 2

x olan bir populasyondan alınan n hacimlik bir

örneğin örnek varyansı 2

xs olarak ifade edildiğinde;

2

2

12

1 x

n

n s

2 22 1

1

x nxs

n

66

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

2

xs ’nin örnekleme dağılımının ortalaması 2

x ’dir. Her iki

tarafın beklenen değeri alındığında

2 2 212

1

1 1

x n x

x

E nE s

n n

2 2( )x xE s

67

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME

DAĞILIMI

2

xs ’nin örnekleme dağılımının varyansı,

örnekleme dağılımın Ki-Kare dağılımına uygun olduğunu sonucundan hareketle ;

4 22 212 1

21 1

x nx nx

VV s V

n n

4

2

2

2 1

1

x

x

nV s

n

42 2

1

xxV s

n

68

2

vE v

2 2vV v

69

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Ortalamalar arası farkın örnek dağılımının ortalaması μ1 – μ2 ve standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

2 2

1 2

X X

1 2n n

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

X XZ

n n

70

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Örnek: İki farklı un fabrikasında paketlenen standart 1 kg’lık un paketleri test edilmiş ve birinci fabrikadan alınan 100 paketin ortalaması 1.03 kg, standart sapması 0.04kg; ikinci fabrikadan alınan 120 paketin ortalaması 0.99 kg, standart sapması 0.05 kg bulunmuştur. Anakütle standart sapmaları bilinmediği için örnek standart sapmalarından hareketle ortalamalar arası farkın standart hatası,

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

X X

1 2 1 2

2 2

s s

n n n n

(0.04) (0.05) =

100 120

= 0.006

71

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Oranlar arası farkın örnek dağılımının ortalaması P1 –P2 ve standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

1 1 2 2

P P

1 2

P 1 P P 1 P

n n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

p p P PZ

P 1 P P 1 P

n n

72

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Örnek: Birinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.08 ve ikinci fabrikadakikusurlu mamul oranının 0.05 olduğu bilinmektedir. Tesadüfi olarak birincifabrikadan 100, ikinci fabrikadan 150 mamul seçilmiş ve birinci örnektekikusurlu mamul oranı 0.09, ikinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.06 olarakgözlenmiştir. Buna göre kusur oranları arasındaki farkın standart hatası:

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

P P

1 2

P P

P P

P 1 P P 1 P

n n

0.08 0.92 0.05 0.95

100 150

0.0324

73

İstatistiksel Tahminleme

Nokta Tahmini Aralık Tahmini

Pp

σs

μ

X

.035P0.25

3.4σ2.5

60μ20

2

Populasyon parametresinin

tek bir tahmin değerini verir

Populasyon parametresinin

tahmin aralığını verir. Nokta

tahmini kullanılarak

hesaplanır.

74

Örneğin yeterince büyük olmaması veya bir örnekten elde

edilen istatistiğin bir başka örnekten sağlanan istatistikle

aynı olmayışı yüzünden anakütle parametresini bir noktada

tahmin etmek yanlış sonuçlar doğurabilir.

Bu yüzden anakütle parametresi belirli bir hata seviyesi

göz önüne alınarak belirli bir aralıkta aranır. Hata terimini a

ile gösterirsek, 1- a güven seviyesinde aralık tahmini

yapabiliriz.

Hata terimi normal eğrinin her iki ucunda eşit olarak yer alır.

75

Bu a/2 lik hata terimine karşılık gelen ± Z değerleri

belirlenerek örnek dağılımının standart hatası ile

çarpıldığında hata payı elde edilir.

Hata payının örnek istatistiğine eklenip çıkarılması ile aralık

tahmini yapılır. Bu şekilde, anakütle parametresinin belirli

aralıkta yer aldığını, 1-a güven seviyesinde söyleyebiliriz.

Güven sınırlarından küçük olanına alt güven sınırı, büyüğüne

ise üst güven sınırı denir.

Hata terimi küçüldükçe güven aralığı genişler. Güven

sınırlarının belirleneceği olasılık seviyesine göre Z değeri

değişir.

7676

Güven Aralığı Tahmininin Elemanları

Güven aralığıÖrnek istatistiği

Alt güven sınırı Üst güven sınırı

Populasyon parametresinin aralık içinde bir yere düşmesinin olasılığı

Güven Aralığı Tahmini

Bir değer aralığı verir.

Populasyon parametresine yakınlık hakkında bilgi verir.

Olasılık terimleriyle ifade edilir.

77

Güven Aralığı Tahminleri

Ortalama

Güven Aralıkları

Oran

bilinmiyor biliniyor

Varyans

n<30n30

t dağılımıZ dağılımı

Z dağılımı2 , F

78

ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Bir örnekden elde edilen istatistiği anakütle ortalaması

x in nokta tahminidir.

Gerçek anakütle ortalaması, 1-a güven seviyesinde

X

X X2 X 2P X z X z 1

n na a

a

aralığında yer alır.

79

Güven aralığı

Örneklerin 90%

Örneklerin 95%

Örneklerin 99%

x_

X Z X ZnX

X2.58 1.645 1.645 2.58X X X X

X X X X

1.96 1.96X XX X

80

Aralıklar ve güven seviyesi

Ortalamanın

örnekleme

dağılımı

Çok sayıda aralık

aralık Aralıkların

%(1 - a) ‘ı

’yü kapsar.

%a ‘sı

kapsamaz.

x

=

1 -a a/2a/2

X

_

x_

uzanirkadaraX

ZX

danX

ZX

'

'

81

• Bilinmeyen populasyon parametresinin

aralık içine düşme olasılığıdır.

• %(1 - a güven seviyesi

a : Parametrenin aralık içinde olmaması

olasılığıdır.

• Tipik değerler %99, %95, %90

Güven Seviyesi

82

%95 güven sınırları belirlenirken a hatası 1-0.95=0.05 dir. Bu

hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında

a /2 =0.05/2=0.025 dir.

Bu alanları belirleyen biri negatif, diğeri pozitif iki Z değeri

vardır.

Normal eğri alanları tablosunda

0.50-0.025=0.4750 değerini gösteren Z= ±1.96 değerleri

aradığımız Z değerleridir.

83

%99 güven sınırları belirlenirken

a hatası 1-0.99=0.01 dir.

Bu hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında

a/2=0.01/2=0.005 bulunur.

Normal eğri alanları tablosunda

0.5-0.005=0.4950 değerini gösteren Z= ±2.58 değerleri aradığımız

Z değerleridir.

84

Aralık genişliğini etkileyen faktörler

• Verilerin yayılımı (

• Örnek hacmi

• Güven seviyesi (1 - a)

Aralık

uzanir.ya'

dan'X

ZXX

ZX

x

xn

85

Örnek: Bir fabrikada üretilen 100 ürünün ortalama ağırlığı

1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. Bu imalat

prosesinde üretilen ürünlerin ortalama ağırlığı %95 güvenle

hangi aralıktadır?

Z = 0 z=1.96

a/2=0.05/2=0.025

%95 için z değeri ± 1.96 0.475

z=-1.96

86

X X2 X 2P X z X z 1

n na a

a

X

25 25P 1040 1.96 1040 1.96 0.95

100 100

XP 1035.1 1044.9 0.95

87

Örnek

n = 25 hacimli bir şans örneğinin ortalamasıX = 50 dir.

Populasyonun standart sapmasının X = 10 olduğu

bilindiğine göre X için 95%’lik güven aralığını oluşturunuz.

92.5308.46

251096.150

251096.150

x x

α/2 α/2P(X Z μ X Z ) 1 αn n

P( )=0.95

P( )=0.95

88

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde

ve n 30 olduğunda ortalama için güven aralığı

1. Varsayımlar:

Popülasyonun standart sapması bilinmiyor

Populasyon normal dağılımlı.

2. Merkezi limit teoremi kullanılarak Z Dağılımı

kullanılır.

3. Güven aralığı tahmini:

Örneğin standart sapması

x xα/2 α/2

S SP X Z μ X Z 1 α

n n

89

Örnek

•Bir ampul şirketi yeni bir ampul geliştirerek piyasaya sürüyor.

Üretim bandından 100 tanesi rassal olarak seçiliyor ve

bunların standart sapması 140 saat, kulanım süreleri de

ortalama olarak 1280 saat bulunuyor. a=0.05 için populasyon

ortalamasının güven aralığını bulunuz.

140 140Pr 1280 1.96 1280 1.96 0.95

100 100

95.0)44.130756.1252(P

α1)n

SZXμ

n

SZXP( x

α/2x

α/2

Yorum: Şirketin ürettiği ampullerin ortalama ömrü, 0.95olasılıkla 1252.56 ile 1307.44 saat arasındadır.

90

Student t Dağılımı

• Küçük örneklerden (n<30) elde edilen

istatistiklerin dağılımı Student t dağılımına uyar.

• Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım

normal eğri gibi simetriktir.Normal eğriye göre

daha basık ve yaygın bir şekil alır. Böylece eğrinin

kuyruklarında daha büyük bir alan oluşur.

• Küçük örnekler için z cetveli yerine,çeşitli örnek

büyüklükleri ve olasılık seviyeleri için ayrı ayrı

hesaplanmış t cetvelleri kullanılır.

91

z

t

0

t (sd = 5)

Standart

Normal

t (sd = 13)

Çan şekilli

simetrik,

‘Tombul’

kuyruklar

92

Üst kuyruk alanı

sd .25 .10 .05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

t0

Student t Tablosu

n = 3

sd = n - 1 = 2

a = .10

a/2 =.05

Olsun:

2.920t değerleri

.05

93

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde

ve n< 30 olduğunda ortalama için güven aralığı

1. Varsayımlar:

Popülasyonun standart sapması bilinmiyor

Populasyon normal dağılımlıdır.

2. Student’ın t Dağılımı kullanılır.

3. Güven aralığı tahmini:

Örneğin standart sapması

x x

v;α/2 v;α/2

s sPr X t X t 1

n n

a

1v n

Serbestlik derecesi

94

ORTALAMA İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde ve

populasyonun normal dağıldığı varsayımı altında güven aralığı

tahmini:

/2a /2aa1 -

2, 1nxs

X tn

a 2, 1nxs

X tn

a

2at 2at

x x

v;α/2 v;α/2

s sPr X t X t 1

n n

a

1v n

95

ÖRNEK

•Bir fabrikada rasgele üretilen 25 ürünün ortalama ağırlığı

1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. %95 güvenle

bu imalat prosesinde üretilen ürünlerin ortalama ağırlığı hangi

aralıkta yer alır?

25 251040 2.064 1040 2.064

25 25

1029.68 1050.32

x x

v;α/2 v;α/2

s sX t X t

n n

96

Bir Oranın Güven Aralığı

1. Varsayımları

– İki kategorik çıktı vardır.

– Populasyon binom dağılımı gösterir.

2. Güven aralığı tahmini:

α/2 p α/2 pP(p Z .S P p Z .S ) 1 α

.p

p qS

n

xp

n

Örnek

hacmi

Özellikli

birim sayısı

Örnek oranı p anakütle oranı P nin nokta tahminidir.

97

•400 lise öğrencisinden oluşan bir örnekte 32 öğrenci üniversite

sınavını kazanmıştır. Üniversite öğrencilerinin sınavı kazanma

oranı için %95’lik güven aralığını bulunuz.

α/2 p α/2 pPr p Z .S p Z .S 1 αP

320.08

400p

ÖRNEK:

0.08 1 0.08 0.08 1 0.08Pr 0.08 1.96 P 0.08 1.96 0.95

400 400

Pr 0.053 P 0.107 0.95

98

İki Ortalamanın Farkı İçin Güven Aralığı

Örnek ortalamalarından büyük olan ile gösterilirse örnek

ortalamaları arasındaki farktan hareketle anakütle ortalamaları

arasındaki farkın güven sınırları aşağıdaki gibi olur.

1X

Populasyon Varyansları Biliniyorsa:

a

aa

1

nnZXX

nnZXXP

2

22

1

21

2/2121

2

22

1

21

2/21

α1n

S

n

SZXXμμ

n

S

n

SZXXP

2

22

1

21

α/2,2121

2

22

1

21

α/2,21

Populasyon Varyansları Bilinmiyor fakat n > 30 olduğunda:

99

Örnek

Bir yabancı dil kursunun A sınıfında bilgisayar destekli ve B

sınıfında klasik yöntemlerle eğitim verilmektedir. Kursun

başlangıcından 6 hafta sonra her iki sınıfa da aynı test

uygulanarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. A sınıfından rassal

olarak seçilen 40 öğrencinin test sonucunda elde ettiği ortalama

başarı notu 86 ve standart sapması 12, B sınıfından rassal

olarak seçilen 35 öğrencinin ortalama başarı notu 72 ve

standart sapması 14’tür. Her iki sınıftaki öğrencilerin ortalama

başarı notları arasındaki farkın güven aralığını %99 olasılıkla

belirleyiniz.

100

1 1 1

2 2 2

X 86 S 12 n 40

X 72 S 14 n 35

2 2 2 2

1 2 1 21 2 α/2 1 2 1 2 α/2

1 2 1 2

S S S SPr X X μ μ X X 1 α

n n n nZ Z

2 2 2 2

1 2

12 14 12 14Pr 86 72 2.58 μ μ 86 72 2.58 0.99

40 35 40 35

1 2Pr 6.18 μ μ 21.82 0.99

Örnek

101

Örnekİki anakütleden tesadüfi olarak seçilen n1 ve n2 hacimlerindeki

iki küçük örnekten hareketle anakütle ortalamaları arasındaki

farkın güven sınırları belirlenebilir. Birinci örneğin serbestlik

derecesi n1 -1 ve ikinci örneğin serbestlik derecesi n2 – 1 dir ve

toplam serbestlik derecesi

Anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığı

belirlenirken serbestlik derecesine

ve hata payına göre t tablo değerleri bulunur.

221 nnv

2a

221 nnv olur.

1 2 1 2

2 2

1 2 α/2,n n 2 1 2 1 2 α/2,n n 2

21 21

1 1 1 1Pr X X t μ μ X X t 1 αp ps s

n n n n

2 2

1 2

1

2 1

2

2( 1) ( 1)

2p

n s n ss

n n

Ana kütle varyanslarının eşit dağıldığı

varsayımı ile değerine

havuzlanmış(pooled) varyans denir.

𝑠𝑝2

102

ÖRNEK

13 deneme sonrasında bir benzin pompası ortalama 125 ml

fazla benzin ölçümü yaparken standart sapma 17 ml

olmuştur.Bir başka benzin pompası ise 10 deneme

sonrasında deneme başına ortalama 110 ml fazla benzin

ölçümü yapılmış ve standart sapması 19 ml bulunmuştur.

Anakütle ortalamaları arasındaki farkın %99 güven sınırlarını

bulunuz. 2121013 v 831.2tabt

1 22,91 32,92

Pompaların fazla ölçümleri arasındaki fark %99 güvenle -2.91 ml

ile 32.92 ml arasındadır.

1 2 1 2

2 2

1 2 α/2,n n 2 1 2 1 2 α/2,n n 2

21 21

1 1 1 1Pr X X t μ μ X X t 1 αp ps s

n n n n

2 2

1 2

1 2

2 22 1 2( 1) ( 1) (13 1)17 (10 1)19

319,862 13 10 2

p

n s n ss

n n

1 1(125 110) 2,381. 319,86

13 10

103

İki Oran Farkının Güven Aralığı

1. Varsayımları

İki kategorik çıktı vardır.

Populasyonlar binom dağılımı gösterir.

2. Güven aralığı tahmini:

1 2 1 21 2 α/2 p p 1 2 1 2 α/2 p pPr p p Z S P P p p Z S 1 a

İki oran farkının

standart sapması1 2

1 1 2 2

1 2

. .p p

p q p qS

n n

Örnek oranlarından büyük olan p1 ile gösterilirse örnek oranları

arasındaki farktan hareketle anakütle oranları arasındaki farkın

güven sınırları aşağıdaki gibi olur.

104

İki Oran Farkının Güven Aralığına Örnek

İki farklı ilacın bir hastalığı tedavi etme oranlarının farklı olup

olmadığı kontrol edilmek istenmektedir. Bu amaçla 1000’er adet

hasta üzerinde A ve B ilaçları denensin. Tedavi sonunda A ve B

ilaçlarının uygulandığı hastaların sırasıyla 825 ve 760’ının iyileştiği

gözlendiğine göre ilaçların hastalığı tedavi etme oranlarının

farkının %95’lik güven aralığını bulunuz.

n1 = 1000, n2 = 1000 1 2

825 7600.825 0.760

1000 1000p p

1 2

1 1 2 2

1 2

. . 0.825.(1 0.825) 0.760.(1 0.760)

1000 1000

0.018

p p

p q p qS

n n

105

95.0018.096.1760.082.0PP018.096.1760.082.0Pr 21

1 21 2ˆ ˆ1 2 α/2 1 2 1 2 α/2 p pp pPr p p Z S P P p p Z S 1 a

95.010.0PP029.0Pr 21

106

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

1. İki ilişkili populasyonun ortalamasını test eder.

– Çift ya da eşleştirilmiş

– Tekrarlı gözlemler (önce/sonra)

2. Nesneler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır.

Varsayımları

– İki populasyon da normal dağılımlıdır.

– Eğer normal değilse normale yaklaşmaktadır.

(n1 30 & n2 30 )

Aynı veya benzer denekler üzerinde birbirinden farklı iki işlemin

uygulanması sonucu elde edilen verilere eşleştirilmiş örnekler

denir.

107

İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test

etmek için 12 ev seçiliyor ve komisyonculardan bu evlere 1000$ bazında fiyat

vermeleri isteniyor. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir.İki komisyoncunun fiyat

ortalamaları arasındaki farka ilişkin güven aralığını hesaplayınız.

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

Komisyoncular

Evler A B D D2

1 181.0 182.0 -1.0 1.00

2 179.9 180.0 -0.1 0.01

3 163.0 161.5 1.5 2.25

4 218.0 215.0 3.0 9.00

5 213.0 216.5 -3.5 12.25

6 175.0 175.0 0.0 0.00

7 217.9 219.5 -1.6 2.56

8 151.0 150.0 1.0 1.00

9 164.9 165.5 -0.6 0.36

10 192.5 195.0 -2.5 6.25

11 225.0 222.7 2.3 5.29

12 177.5 178.0 -0.5 0.25

Toplam -2.0 40.22

108

D 2D 0.167

n 12

2 2

2

D

D 2D 40.22

n 12s 1.904n 1 12 1

ttab : t11,0.05 = ± 2.2011 12 1 11 . .v n s d

, 1 , 12 2

D D Dn nD t s D t sa a

)904.1(201.2167.0)904.1(201.2167.0 D

023.4357.4 D

BİR POPULASYON VARYANSI İÇİN GÜVEN

ARALIKLARI

Bir anakütle varyansı için de güven aralığı bulmak gerekir.

Bu tahminler örneklem varyansına dayanır.

Varyansı olan bir normal anakütleden n gözlemli rassal

bir örneklem seçilsin. Örneklem varyansı da s2 ile gösterilsin.

2

22

1 2

( 1) xn

n S

Rassal değişkeni, (n-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımına

uymaktadır. Bu bulgu, normal bir dağılımdan örneklem

alındığında anakütle varyansı için güven aralıklarının

türetilmesinin temelini oluşturur.

Örneklem varyansının gözlenen belli değeri ise, anakütle

varyansının güven aralığı aşağıdaki gibidir:

2xs

2 2

2

2 2

, 1 1 , 12 2

1 11

n n

n S n SP

a a

a

anan

Red BölgesiRed

Bölgesi1-a

Örneğin a=0.05 n=10 olsun

2

0.975;9 2

0.025;9

111

Örnek

Bir çimento fabrikasında üretilen çimentodan yapılan betonların

sağlamlığının incelenmesi amacıyla 10 beton örneği alınmış ve

bu örneklerin sağlamlılıkları saptanmıştır. Bu örneklerin

ortalama ve varyansı olarak bulunmuştur.

Fabrikanın ürettiği tüm betonların varyansına ilişkin güven

aralığını hesaplayınız.

2312 195x s

1 0.90a

a n

an

Red BölgesiRed

Bölgesi

2

0.95;9 3.33 2

0.05;9 16.92

a=0.10

112

1 0.90a

2 2

2

2 2

, 1 1 , 12 2

1 11

n n

n s n sP

a a

a

2

2 2

0.05;9 0.95;9

9 195 9 1950.90P

29 195 9 1950.90

16.92 3.33P

2103.72 527.02 0.90P

3.33 16.92

103.72 527.02S

2

an

1-a

2312 195x s 0.10a

ÖRNEK

Denenen bir motorun 16 deneme sürüşündeki yakıt

tüketimlerinin standart sapması 2.2 golondur. Motorun yakıt

tüketiminin gerçek değişkenliğini ölçen anakütle varyansının

% 99 güven aralığını hesaplayınız. n=16 s=2.2

an

an

Red BölgesiRed

Bölgesi

a

aa

1)1()1(

2

1,2

1

22

2

1,2

2

nn

snsnP

01.0a

2 20.005,15

, 12

32.80n

a

2 20.995,15

1 , 12

4.60n

a

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

( 1) ( 1)1

n n

n s n sP

a a

a

99.060.4

)2.2(15

80.32

)2.2(15 22

2

P

99.078.1521.2 2 P

n=16 s=2.2