RM II-POL-GRAFO
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 1
1
1. FLEXO
1.1. INTRODUO
Uma pea, ou trecho de pea est submetido FLEXO, quando a mesma, pela ao doscarregamentos externos, sofre um encurvamento, ocasionando em diferentes regies de duas seesadjacentes, ao mesmo tempo, tenses de trao e de compresso (ver fig.1.3).
antes da FLEXO Durante a FLEXO
Fig.1.1 Fig.1.2
COMPRESSO(regio superior)
TRAO(regio inferior)
Fig.1.3
1.2. TIPOS DE FLEXO
A flexo, pode ser classificada de duas maneiras distintas:- Quanto ao tipo de esforo que produz a flexo.- Quanto disposio dos esforos.
1.2.1. QUANTO AO TIPO DE ESFORO
Os esforos que ocasionam a FLEXO, so denominados MOMENTOS FLETORES (Mf) e podem serproduzidos de duas maneiras distintas:
- momentos diretamente aplicados (figs. 1.2, 1.3,e 1.4)- foras aplicadas de modo a produzirem momentos (fig. 1.5)
F xMf Mf
Fig.1.4 Fig.1.5
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 2
2
Quando a flexo produzida por momentos diretamente aplicados sobre a pea, a mesma denominada FLEXO PURA. Neste caso, a intensidade do momento atuante em qualquer seo dapea tem o mesmo valor (no caso, Mf).
Quando a flexo produzida indiretamente, ou seja, atravs de uma fora, (fig.1.5), o momentofletor atuante em cada seo varia mesmo para uma fora constante, pois seu valor depende nosomente da intensidade desta mas tambm da distncia entre a referida fora e a seo de estudo.
Observe-se ainda, que na flexo simples, alm da flexo, temos tambm esforo cortante, omesmo no acontecendo para a flexo pura.
1.2.2. QUANTO DISPOSIO DOS ESFOROS
Para facilitar o estudo, consideraremos:PC PLANO DAS CARGAS (plano que contm os carregamentos)PP - PLANO PRINCIPAL (plano que contm um dos eixos principais de inrcia da seo. Pode ser
um plano de simetria mas no necessariamente)FLEXO SIMTRICA- quando as cargas que produzem a flexo, esto contidas num plano de
simetria(plano principal) da seo transversal da pea (fig.1.6)FLEXO OBLQUA- quando as cargas que produzem a flexo, esto contidas num plano
inclinado em relao aos planos principais da seo transversal da pea (fig.1.7).
FLEXO ASSIMTRICA- quando as cargas que produzem a flexo, esto contidas num planoparalelo a um dos planos pricipais da seo transversal da pea (fig.1.8).
F1 F1 F2
F2
z Mf
Mf xz
y
y
Fig.1.6 FLEXO SIMTRICA
EIXOSPRINCIPAISDE INRCIA
PP e PCCOINCIDENTES
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 3
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EIXOSPRINCIPAIS
PPPC(pl. de apl. Das cargas) PP PC
F1 F2F1 FFFF2222
MfMf z
z
x
y y
Fig.1.7 - FLEXO OBLQUA
PP PP PC PC
F1 F2F1
F2
z
zx
yy
Fig. 1.8 FLEXO ASSIMTRICA
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 4
4
1.3. FLEXAO PURA E FLEXO SIMPLES SIMTRICAS
Vimos que quando o esforo interno perpendicular a seo, porm tendendo em determinadaregio, aproximar duas superfcies adjacentes e noutra, a afast-las, ou seja, tende a girar as seesadjacentes, uma em relao outra, em torno de um ejxo pertecente s duas sees (eixo z na flexovertical , e y na flexo horizontal).
Se a flexo for produzida por momentos diretamente aplicados sobre a pea, ela ser denominadaFLEXO PURA. Quando for produzida por cargas aplicadas transversalmente, denominada FLEXAOSIMPLES.
Quando a flexo ocorrer num plano de simetria da seo da pea, ela denominada, FLEXOSIMTRICA.
1.3.1. FLEXO SIMTRICA VERTICAL
Mfz
Mfz
Fig.1.9.FLEXO SIMTRICA VERTICAL
1.3.2. FLEXO SIMTRICA HORIZONTAL
Mfy Mfy Mfy MfyMfy
MfyMfy
MfyMfy
yFig.1.10. FLEXO SIMTRICA VERTICAL
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 5
5
1.3.3. DEMONSTRAO DA EQUAO DE TENSES NORMAIS:
yIMzfzx .=
Consideremos uma pea prismtica de seo retangular e eixo retilneo conforme a fig.1.11(a), etracemos duas linhas paralelas ao referido eixo, sendo uma delas na mesma altura do eixo e a outra, numaposio qualquer abaixo, distante y da primeira. Tracemos ainda, imaginariamente, duas linhas verticais,portanto perpendiculares as duas primeiras, e a uma distncia qualquer uma da outra. Aos quatro pontos,resultantes das intersees destas quatro linhas, denominemos A, B, C e D, definindo assim os segmentosAB e CD, de comprimentos idnticos.
Apliquemos nas extremidades desta pea, os momentos Mfz, demonstrados na fig.1.11(b), o queproduzir um encurvamento (flexo) da pea, sendo que o eixo da mesma permanecer contido no planovertical de simetria xy (flexo simtrica vertical). Observa-se que as linhas anteriormente verticais e
paralelas, tornaram-se concorrentes no ponto O, determinando deste at a curva que contm AB, o raio r, eque o segmento AB no variou de comprimento, enquanto CD, sofreu um aumento. Traando-se uma linhaparalela a 0C, passando por B, na interseo desta com CD, definimos o ponto D, e desta forma, teremosas figuras semelhantes OAB e BDD, sendo DD, a deformao longitudinal do segmento CD.
Sendo estas figuras semelhantes, seus lados so proporcionais, o que permite-nos estabelecer aseguinte proporo:
fig.1.11
fig.1.12
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 6
6
Considerando-se que as deformaes na pea, estejam dentro do regime de proporcionalidade,podemos ento utilizar a LEI DE HOOKE. Assim:
xxEx .= Mas,
r
y
AB
DD
L
L
ox
xxx ==
=
'
assim,
x= E . y/r
ou: x= E /r . y (1.1)
A equao acima, uma equao do tipo y = m.x, que a equao de uma reta, ou seja, y varialinearmente em funo de x. Do mesmo modo ento concIui-se que x varia tambm linearmente emfuno de, y, ou seja, seu valor cresce linearmente para pontos mais afastados do eixo da pea. E e r soconstantes, e constituem, o coeficiente angular da reta que passa pelas extremidades dos vetores x.(ver fig.1.13.a).
fig.1.13
A eq. (1.1), embora simples, de difcil aplicao na prtica, tendo em vista a dificuldade naobteno dos valores de r. Por isto, buscaremos uma maneira de substitui-lo na referida equao.Consideremos que a superfcie em estudo seja subdividida por infinitos elementos de reas
infinitsimas dAx. A fora atuante numa destas reas, ser a fora infinitesimal:
dFx = x.dA
Aplicando-se a condio de equilbrio de translao da esttica para a direo x, teremos:
[Fx=O]
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 7
7
(1.2)
A integral acima, o momento esttico da rea Axda seo transversal, em relao ao eixobaricntrico z, que tambm pode ser calculado, multiplicando-se a rea Ax, pela distncia do seucentro de gravidade, ao eixo z. Denominando yg, esta distncia, ento teremos:
Para que a expresso acima resulte nula, a nica possibilidade vivel, que yg seja nulo, o quesignifica que o centro de gravidade da seo, est posicionado sobreo eixo z.
Aplicando-se a condio de equilbrio de rotao da esttica em torno de z, teremos:
[Mz=O] Momentos Externos Momentos Internos = 0
=A
fzdFyM 0.
=A
xxfz dAyM ..
Vimos que: x= E /r . y (1.1)
Assim: ==A
x
A
xfz dAy
r
EdAy
r
EyM ....
2
mas: zA
xIdAy = .
2 logo: zfz Ir
EM .= (1.3)
Dividindo-se (1.1) por (1.3), teremos:
zfz
x
IrE
yrE
M )./(
)./(=
Ou:
yI
M
z
fzx .= (1.4)
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 8
8
Exerccios:
1. Uma pea com seo retangular b=3cm e h=10cm, est submetida a um momento fletor de 12kNm.Determinar:a) as mximas tenses de trao e compresso geradas na pea.b) As tenses normais a cada centmetro acima e abaixo da linha neutra.c) Fazer um desenho representando as tenses calculadas.
2. Resolva o exerccio anterior, considerando uma seo transversal igual arepresentada na fig. abaixo.
8cm
2cm
20cm
2cm
14cm
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 9
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PP e PCCOINCIDEN
TES
EIXOSPRINCIPAISDE INRCIA
EIXOSPRINCIPAIS
2. FLEXO OBLQUA
2.1. INTRODUO
At o presente momento, no estudo da flexo, consideraram-se somente casos nos quais, a flexoocorria num plano de simetria da seo transversal(flexo simtrica), ou seja,
A flexo ocorria num plano principal da seo da pea
A figura abaixo, ilustra um exemplo de flexo simtrica
F1 F1 F2F2
Mfz
Mfz x
y
y
fig.2.1 FLEXO SIMTRICA
Neste captulo, estudaremos casos, onde a flexo ocorrer em planos inclinados em relao aosplanos de simetria (principais) da seo da pea (fig.7). Quando isto ocorre, dizemos que a pea estasubmetida flexo oblqua.
PP (planos principais)PC (pl. de apl. Das cargas)
PP PC
F1F2 F1 F2222
Mf
Mf z
z
x
yy
Fig 2.2 - FLEXO OBLQUA
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 10
10
EIXOSPRINCIPAIS
2.2. CLCULO DAS TENSES
Para calcularmos as tenses geradas na flexo oblqua inicialmente decompormos o momento fletorMf em relao aos eixos z e y obtendo-se as componentes Mfz e Mfy (fig.2.3). Ou seja:
PP PC cos.ffz MM = e cos.ffz MM =
F1 F2222 A tenso num ponto qualquer da seo, ponto P por ex. ser
o resultado da soma de duas tenses, uma produzida por Mfz:
Mf Mfy yI
M
z
fzx .' =
z Mfz e outra produzida por Mfy:
zI
M
y
fyx ." =
Assim, a tenso normal resultante que atua no ponto P, ser:
y'''
x xx +=
Fig. 2.3 Decomposio do zI
M
yI
M
y
fy
z
fz
x .. += (2.1)momento fletor Mf nas direes
dos eixos principais z e y. Onde ye zso coordenadas do ponto P.
A eq. (2.1), a equao das tenses atuantes numa pea submetida a flexo oblqua pois aosubstituirmos fzM , fyM , zI e yI , obteremos uma equao que nos permitir calcular a tenso normal emqualquer ponto da seo transversal da pea, bastando para isso, que se substitua as coordenadas z e y doreferido ponto.
2.2. EQUAO E INCLINAO DA LINHA NEUTRA
A determinao da equao da linha neutra (e consequentemente da sua posio e inclinao),
de fundamental importncia, pois que, nos pontos mais afastados da LN que estaro atuando as mximastenses. Mxima trao de um lado da LN, e mxima compresso no outro.
A equao da linha neutra pode ser obtida a partir da equao de tenses (eq. 2.1), adotando-se oseguinte raciocnio: Representando por yln e zln as cordenadas dos pontos pertencentes LN, sabe-se quepara estes pontos, a tenso normal nula ( x=0). Assim:
lnln..0 z
I
My
I
M
y
fy
z
fz+=
mas: cos.ffz MM = e cos.ffz MM =
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 11
11
logo:ln
.
ln
..
sen.
cos0 z
I
My
I
M
y
f
z
f +=
ou:
lnln .. )( ztgI
Iy
y
z= (2.2)
A expresso (2.2), a equao reduzida de uma reta (LN) que passa pela orgem do sistema deeixos zy, sendo o termo entre parnteses, o coeficiente angular desta reta. Representando por mestecoeficiente, ento teremos:
)( tan. y
z
I
Im =
Sabe-se da Geometria Analtica, que:
mtg =
logo: )( tan.tan y
z
I
I= (2.3)
Onde representa o ngulo entre eixo das abcissas (z no caso) e a reta (LN), que quando medidono sentido anti-horrio positivo. (Ver fig. 2.4).
LN
(-)z
(+)
LN
y
Fig. 2.4
A
(-)
z
B
y
Fig.2.5
EIXOSPRINCIPAIS
Analisando o sinal negativo da expresso (2.3), obtida a partir da fig.8, conclui-se que a LNgerada, estar na posio ilustrada pela fig.2.5.
Como vimos anteriormente, os pontos de mximas tenses, so os pontos mais afastadosda LN, que no exemplo, correspondem aos pontos A e B. Para obtermos estas tenses, bastasubstituirmos em (2.1) z e y pelas coordenadas destes pontos respectivamente.
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 12
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2.5. PEAS COM SEES TRANSVERSAIS NO SIMTRICAS
Caso a seo transversal no apresente simetria, tal como a seo da fig.2.6.a, no saberemos priori, oposicionamento dos eixos principais. Para encontr-los, usaremos um sistema de eixos auxiliares z1y1
(fig.2.6.b), cuja origem coincida com o centro de gravidade. O sistema de eixos principais zy, estar formandoum ngulo com o sistema auxiliar (fig.2.6.c), cujo valor pode ser obtido por:
11
11.2)2tan(
yz
yz
IIP
= (2.4)
Onde: 11yzP = produto de inrcia da seo em relao ao sistema auxiliarz1 y1.[m4]1zI = momento de inrcia em relao ao eixo auxiliarz1.[m4]1yI = momento de inrcia em relao ao eixo auxiliary1.[m4]
Como sabemos, para calcular as inrcias de uma figura, a mesma pode ser dividida em figuras mais
simples; dois retngulos por exemplo (fig.2.7.a). Os eixos auxiliares devem ser posicionados de modo quefacilitem os clculos. Isso acontecer, se eles forem colocados paralelos aos lados das figuras obtidas peladiviso da seo. (fig.2.7.b)
1z
1z
z
1y
1y y
(a) (b) (c)
fig.2.6
Os momentos de inrcia em relao aos eixos principais, podem ser obtidos pelas expresses:
][ 22, 111111 .4)()(2
1yzyzyzyz PIIIII +++= (2.5)
usando-se o sinal + para obter-se o valor de Ize o sinal para obter-seIy..
As coordenadas (z;y) de um ponto qualquer no sistema principal, podem ser obtidas atravs de:
cos.sen. 11 zyz += (2.6.a) sen.cos. 11 zyy = (2.6.b)
Onde: z1ey1 so as coordenadas do referido ponto em relao ao sistema auxiliar ezeyascoordenadas do mesmo ponto porm em relao ao sistema principal.
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 13
13
Exemplo:Calcular as mximas tenses de trao e de compresso geradas por um momento fletor de 2400N.m,
inclinado 10o.em relao horizontal, e aplicado numa pea, cuja seo transversal est representada nafig.2.7(a). Com base nas tenses calculadas, fazer um desenho esquemtico demonstrando o comportamento
das tenses no contorno da seo. GBz Gz
Gz GAz A E
A A55cm
Mf CG
10o1
z 1
z GAy
Gy
5cm B C 'z 'z GBy
5cm 35cm'y
1y B
'y 1
y B
(a) (b) (c)
fig.2.7
Primeiramente calculemos a posio do CG, onde posicionaremos paralelamente aos lados da figura, aorigem de um sistema auxiliar z1y1 (fig.2.7.b). Para facilitar o clculo, vamos dividir a figura nos retngulos
A e B. Tomemos como referencial, dois eixos 'z e 'y paralelos a z e y respectivamente. As coordenadas
zGe yG do CG, em relao a estes eixos, podem ser calculadas por.
Clculo de Gy : Clculo de Gz :
cmy
AA
AyAy
AA
MM
A
My
G
GG
G
szszsz
87,1935.560.5
)35.5.(5,2)60.5.(30
21
2.21.1'2
'1
'
21
=+
+=
+
+=
+
+==
cmz
AA
AzAz
AA
MM
A
Mz
G
GG
G
sysysy
87,935.560.5
)35.5).(2/355()60.5.(5,2
21
2.21.1'2
'1
'
21
=+
++=
+
+=
+
+==
Clculo dos momentos de inrcia em relao a z1 ey1 - (Iz1e Iy1)
Optaremos por usar a frmula3
.3
1
hbIz = que vlida somente para retngulos que tenham a base b
coincidindo com o eixo z1. Por isso, vamos dividir a pea nos retngulos A e B conforme a fig.2.8(a). Oretngulo B abrange um retngulo vazio C fig.2.8(b), cujo momento de inrcia dever ser descontado.
A40,13cm 40,13cm
C
z1 z1
19,87cm B 19,87cm
40cm 9,87 30,13cm
y1 y1
(a) (b)fig.2.8
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 14
14
Clculo de1
zI : Clculo de1
yI
4
333
11,173950
)87,14.35(
3
1)87,19.40(
3
1)13,40.5(
3
1
1
1
cmI
I
z
z
=
+=
4
333
11,62700
)87,4.55(
3
1)87,9.60(
3
1)13,30.5(
3
1
1
1
cmI
I
z
y
=
+=
Clculo do Produto de Inrcia (Pz1y1)
Para o clculo do produto de inrcia em relao aos eixos auxiliares z1y1, usaremos a
equao4
).( 211
hbP Yz = (ver exerccio resolvido no item Produto de Inrcia). Cabe ressaltar, que esta equao,
somente pode ser aplicada para retngulos, sendo que os mesmos devem obrigatoriamente estar com umadas bases e um dos lados, coincidindo com os eixos. Faremos os clculos para cada quadranteseparadamente, lembrando que os valores do 1o e 3o quadrante so positivos, e nos outros dois, negativos.
Quadrante 1(fig.2.9): Apliquemos a frmula para o retngulo azul (fig.2.9.a), depois para o retngulo
vermelho (fig.2.9.b), descontando o segundo valor obtido do primeiro, ou seja:422
41,8304)87,14.87,4(4
1-)87,19.87,9(
4
11
.11 cmPQ
YZ ==
40,13cm 40,13cm
B
19,87cm 19,87cm
A 9,87 30,13cm 9,87 30,13cm
(a) (b)fig.2.9
Quadrante 2 (fig.2.10): Procedimento semelhante ao do 1o quadrante.
42295,39421-)87,14.13,30(
4
1-)87,19.13,30(
4
1- ][
2
.11 cmPQ
YZ ==
40,13cm 40,13cm
B
19,87cm 19,87cm
9,87 30,13cm A 9,87 30,13cm
(a) (b)
fig.2.10
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 15
15
Quadrante 3 (fig.2.10): Como no existe nenhuma parte da fig. neste quadrante, ento:
03
.11 =Q
YZP
Quadrante 4 (fig.2.11): Procedimento semelhante ao do 2o quadrante.
42293,29671-)87,4.13,40(
4
1-)87,9.13,40(
4
1- ][
4.11 cmPQ
YZ ==
B
40,13cm 40,13cmA
19,87cm 19,87cm
9,87 30,13cm 9,87 30,13cm
(a) (b)
fig.2.11
Assim, o produto de inrcia de toda a figura ser:
447,60789-
4
.11
3
.11
2
.111
11.11 cmPPPPPQQQQ
YZYZYZYZYZ =+++=
Clculo da Posio dos Eixos Principais ( )
A posio dos eixos principais zyem relao ao sistema auxiliar z1y1 pode ser obtida pela expresso (2.4):
O sistema principal, estar posicionado a 23,7o no sentido anti-horrio ( positivo), em relao aosistema auxiliar (fig.2.12).
z1
z
y1y
fig.2.12
O5,472 =093,1
11,62700-11,173950
)47,60789-.(2.2
)2( --11
11===
yz
yz
II
Ptg
O7,23=
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 16
16
Clculos dos Momentos Principais de Inrcia (Iz e Iy)
Os momentos de inrcia em relao aos eixos principais, podem ser calculados pela equao (2.5).
][][ 2222, 47,60787.4)11,62700-11,173950()11,6270011,173950(2
1.4)-()(
2
1111111
++=++= yzyzyzyz PIIIII
28210.04,722.20004,722.200 mcmIz
-== 282 10.18,928.3518,928.35 mcmIy
-==
Obs.: A soma das inrcias em relao ao sistema principal, deve resultar igual a soma das inrcias em relaoao sistema auxiliar, ou seja:-
11+=+ yZyZ IIII (2.7)
Decomposio do Vetor Mf no Sistema Principal zy ( Mfz e Mfy )
Para fazermos a decomposio, precisamos conhecer o ngulo , que o vetor momento formacom o eixo principal z. Analisando a fig.2.13.a, vemos que:
=+10o=23,7o+10o=33,7o
Assim, conforme fig.2.13.b:
mNMM offz .69,19967,33cos.2400cos. ===
e:
mNMM offy .63,1331=7,33sen.2400=sen.=
MfyMf Mf
10o
z1 z1
Mfz
z z
y yy1 y1
(a) (b)
fig.2.13
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 17
17
Equao das Tenses ( x )
Para obtermos a equao das tenses, substituiremos os valores encontrados para yI , zI , fzM e fyM
em (2.1) . Assim:
zyx .10.18,928.35
63,1331.
10.04,722.200
69,199688 -- +=
zyx .10.71,3.10.95,9 65 += (2.8)
Esta equao, permite calcular as tenses normais em qualquer ponto de coordenadas (z,y) da seotransversal de uma barra. Entretanto, interessa-nos, calcular as tenses nos pontos mais solicitados, ou seja,as maiores tenses, sendo uma de trao, e outra de compresso. Estes pontos, sero obviamente os maisafastados da Linha Neutra, j que sobre esta, as tenses so nulas.
Portanto, nosso prximo passo, ser encontrar a posio da linha neutra sobre a seo transversal, epara isso, precisamos da equao da mesma.
Esta equao pode ser encontrada, adotando-se o seguinte raciocnio: se conhecssemos ascoordenadas (zL,yL ) de todos os pontos da LN, ao substituirmos essas coordenadas na equao (2.8), astenses encontradas seriam todas nulas. A recproca tambm verdadeira, ou seja: fazendo-se x=0 naequao de tenses acima, obteremos valores para zL e yL, que sero coordenadas de pontos pertencentes LN, ou mais propriamente, da equao de uma reta, que ser a equao da LN.
Assim:
LNLN zy .10.71,3.10.95,9065
+=
ou
0.10.95,9.10.71,3 =+ LNLN yz56
Isolando-se a varivel y, teremos a mesma equao, porm na forma reduzida:
LNLN zy .73,310.95,9
10.71,36
-- == 5
onde o coeficiente de z, (-3,73) nada mais , que o coeficiente angular m de uma reta. Sabemos da GeometriaAnaltica, que para obtermos a inclinao de uma reta em relao ao eixo das abscissas, basta fazermos:
)()( -3,73arctgmarctg ==
o-74,69=
Equao da linha neutra = Equao deuma reta na forma geralAx+By+C=0porm com C=0
Equao da linha neutra = Equao de uma reta na forma
reduzida B
C
xB
A
y --=ou
bmx=y+ porm com
b=0
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 18
18
Este ento o ngulo que a LN forma com o segmento positivo do eixo z, no sentido horrio (negativo).
E
LN
z1
z BLN
y1 y
fig.2.14
Vemos assim, que os pontos mais afastados da LN so os pontos B e E, logo, num deles estaratuando a mxima tenso de trao e noutro, a mxima tenso de compresso. Com base no sentido deatuao tanto do momento resultante quanto de suas componentes, podemos prever que a mximatenso de trao estar ocorrendo em B e a mxima compresso em E.
Clculo das Tenses nos Pontos B e E ( xB e xE )
Para calcular a tenso num ponto qualquer, basta substituir as coordenadas (z,y) desteponto na eq.(2.8).
Clculo das Coordenadas e da Tenso no Ponto B ( zB , yB e xB )
As coordenadas do ponto B em relao ao sistema auxiliar so:
cmz B 87,91 = cmy B 87,191 =
Utilizando (2.6.a) e (2.6.b) respectivamente, teremos as coordenadas desse ponto em relao aosistema principal:
oo
BBB zyz 7,23cos.87,97,23sen.87,19cos.sen. 11 +=+= cmzB 0,17=
oo
BBB zyy 7,23sen.87,97,23cos.87,19sen.cos. 11 == cmyB 2,14=
A tenso em B ser ento:
BB zyxB .10.71,3.10.95,965
+=
170,0.10.71,3142,0.10.95,965
+=xB
MPaxmxtxB 77,0==
Clculo das Coordenadas e da Tenso no Ponto E ( zE , yE e xE )
As coordenadas do ponto E em relao ao sistema auxiliar so:
cmz E 87,41 = cmy E 13,401 =
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 19
19
Utilizando (2.6.a) e (2.6.b) respectivamente, teremos:
oo
EEE zyz 7,23cos.87,47,23sen.13,40cos.sen. 11 +=+= cmzE 7,11=
oo
EEE zyy 7,23sen.87,47,23cos.13,40sen.cos. 11 == cmyE 7,38=
A tenso em E ser ento:
EE zyxE .10.71,3.10.95,965
+=
)117,0.(10.71,3)387,0.(10.95,9 +=65
xE
MPaxmxcxE 82,0==
Distribuio das Tenses
As tenses obviamente ocorrem em qualquer ponto da seo transversal. Na figura 2.15 entretanto,estamos representando somente as tenses atuantes no permetro da seo, o que j suficiente para ter-seuma idia de como elas se distribuem ao longo de toda a seo.
MPaxmxcxE 82,0==
LN
MPaxmxtxB 77,0== LN
fig.2.15
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 20
20
Na fig.2.16, estamos representando os sistemas de eixos retangulares auxiliarz1y1, e principalzy, alinha neutra, o momento fletoraplicadoe como suas componentes sobre o sistema principal, bem como todosos ngulos envolvidos.
LN
Mfy
Mf
z1
Mfzz
LN
yy1
Fig.2.16
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 21
21
3. FLEXO COMBINADA COM ESFORO NORMAL
3.1. INTRODUO
At o presente momento, estudamos os esforos internos, Esforo Normal, Esforo Cortante,Toro e Flexo, separadamente, como se cada um deles atuasse individualmente sobre uma pea.Entretanto, na prtica, constata-se que na maioria dos casos, dois ou mais esforos atuam ao mesmotempo em uma mesma pea. No presente captulo, passaremos a estudar um destes casos, qual seja, acombinao da Flexo com o Esforo Normal.
Cabe ressaltar, que o presente estudo vlido tanto para a Flexo Pura quanto para a FlexoSimples, bem como para os Esforos Normais de Trao e de Compresso, independentemente destesserem produzidos por um nico carregamento, ou por carregamentos distintos, conforme ilustrado abaixo.
Fx = fora axial ou longitudinal (direo x) Fy = fora transversal (direo y) Fz = fora transversal (direo z)Fy
Mfz Mfz Fz
Fx Fx Fx
(a)FLEXO VERT. (Mfz) + ESFORO NORMAL DE TRAO (Fx) (b) FLEXO VERT. (Mfz=Fty.x) +FLEXO HORIZ.(MfY=Ftz.x)+ ESFORO NORMAL TRAO(Fx)
eyFx z
Fx z
(-)eZ
y y
(c) FLEXO VERT. (Mfz=Fx.eY) + ESF. (d) FLEXO HORIZ.(Mfy(-)=Fx.eZ(-))+ESF.NORMAL DE TRAO (Fx) NORMALDE TRAO (Fx)
eYz
Fx
(-)eZ
y
(e) FLEXO VERTICAL (Mfz=Fx.eY) + FLEXO HORIZONTAL (Mfy(-)=Fx.eZ(-))+ESFORO NORMAL DE TRAO (Fx)
fig. 3.1
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 22
22
3.2. EQUAO DE TENSESVamos considerar, o caso flexo combinada com esforo normal mais abrangente, ou seja, aquele
ilustrado pela figura E da pgina anterior, o qual engloba os casos ilustrados pelas figuras C e D.A figura abaixo, reproduz tal situao, onde a fora Fx aplicada paralelamente ao eixo longitudinal da
pea (eixo x), passando sua linha de ao, por um ponto qualquer P, situado a uma distncia eY em relao az, e eZem relao a y.
zP e
y
ezx
yFx
Fig.3.1
Nestas condies, a fora Fx produzir numa seo transversal qualquer da pea, os seguintesesforos:
- Momento fletor em relao a z:yxfz
eFM .= .- Momento fletor em relao a y: zxfy eFM .= .
- Esforo normal na direo x: xnx FF += .
Estes esforos produziro respectivamente num ponto qualquer da seo, como o ponto P porexemplo, de coordenadas (z,y) as seguintes tenses:
- Tenso normal causada pelo momento fletor Mfz: yz
fzx
IM
.=
- Tenso normal causada pelo momento fletor Mfy: zy
fyx
IM
.=
- Tenso normal causada pelo esforo cortante Fnx:x
xx
AF
=
A tenso normal total, ser obtida pela soma destas trs tenses. Assim:
x
x
y
fy
z
fzx
AF
zI
My
IM
++= .. (3.1)
Equao que calcula a tenso normal, num ponto de coordenadas (x,y) da seotransversal de uma pea submetida flexo nos planos vertical (xy) e horizontal(xz), e a
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 23
23
3.3. EQUAO DA LINHA NEUTRA
Sabemos que nos pontos da seo que coincidem com a linha neutra, as tenses so nulas. Assim,
representando por (zLN,yLN) esses pontos teremos:
0.. =+ +x
x
y
fy
z
fz
AF
zI
My
IM
LNLN (3.2)
Ou isolando y, teremos:
xfz
xz
yfz
zfy
AMFI
zIMIM
y LNLN.
..
.
.= (3.3)
A equao (3.2) a equao geral da reta, no caso, a linha neutra (compare esta equao com aequao geral de uma reta na geometria analtica 0.. =++ CyBxA ). J a equao (3.3), a equaoreduzida da reta, no caso, a linha neutra (compare esta equao com a equao reduzida de uma reta na
geometria analticaB
C
B
Axy = ou ( bxay += . ) onde
B
Aa = o coeficiente angularda reta (tangente
do ngulo formado entre a reta e o eixo horizontal x no sentido anti-horrio. Ver fig.2.3.a ), eB
Cb = o
coeficiente linear (ponto onde a reta corta o eixo y que obtido, fazendo-se x=0). Assim, conclui-se que o
coeficiente angular dalinha neutraser:
yfz
zfy
IMIM
a.
.= (3.4)
Conseqentemente, se representarmos por a inclinao da linha neutra, esta ser dada por:
)(.
.arctan)arctan(
yfz
zfy
IMIM
a == (3.5)
y
B
C
B
Axy =
xfz
xz
AMFI
byLN.
.==
z LNz )(
.
.arctan)arctan(
yfz
zfy
IMIM
a ==
)(arctan)arctan(B
Aa ==
xfz
xz
yfz
zfy
AMFI
zIMIM
y LNLN.
..
.
.=
B
Cb = x
fig.3.2 y
Equao da Linha Neutra na forma geral
Equao da Linha Neutra na forma reduzida
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 24
24
Os pontos onde a linha neutra intercepta os eixos y ez, so obtidos fazendo-se respectivamente zLN=0e yLN=0 em (3.2) ou (3.3). Assim teremos:
xfz
xz
AMFI
yLN.
.= (3.6) exfy
xy
AMFI
zLN.
.= (3.7)
3.4. MXIMAS TENSES
Determinados estes pontos, podemos posicionar a LN na seo, localizando assim em cada lado ospontos mais afastados desta. Num destes pontos, ocorrer a mxima tenso de trao e no outro, a mximatenso de compresso. Estas tenses sero obtidas, substituindo-se na eq. de tenses (eq.3.1), ascoordenadas destes pontos. Assim, chamando de (zA ;yA) e (zB ;yB ) as coordenadas dos pontos A e B
respectivamente, teremos:
x
x
y
fy
z
fzx
AF
zI
My
IM
AAA ++= .. x
x
y
fy
z
fzx
AF
zI
My
IM
BBB ++= ..
3.5. DUAS OU MAIS CARGAS
No estudo anterior, consideramos a atuao de uma nica carga. Para duas ou mais cargas, digamos ncargas, a equao de tenses assumir a forma:
x
x
y
fy
z
fzx
AF
zIM
yIM
+
= +.. (3.8)
Onde:ynnyyfz eFeFeFM ....... 2211 +++= a soma dos mom. das foras em relao z.
znnzzfy eFeFeFM ....... 2211 +++= a soma dos mom. das foras em relao y.
nfz FFFM +++= ....21 a soma das das foras na direo x.
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 25
25
Exemplo:
A pea da figura abaixo, est submetida s cargas ali indicadas, todas elas atuando na direo x. Aolado, representa-se as dimenses da seo transversal da referida pea.
Determine:a) A equao de tenses.b) A equao da LN na forma reduzidac) A inclinao da LN.d) Os pontos onde a linha neutra intercepta os eixos z e y.e) As mximas tenses de trao e compresso geradas na seo.
2cm
F1F2 2 cm
F3 16cmx
F4 30cmz
2cm 20cm
F5 12 cm
y
(a) (b)
F1 = 11 kN fig.3.3F2 = 12 kNF3 = 13 kNF4 = 14 kNF5 = 15 kN
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 26
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 27
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4. DEFORMAO NA FLEXO
4.1. INTRODUOConsideremos a barra prismtica da fig.4.1.(a). Inicialmente, a barra retilnea, e seu eixo coincide
com o eixo x. Aps a aplicao da fora F, a mesma ficar sujeita a um momento fletor Mfz, que produzirna mesma, e conseqentemente no seu eixo, um encurvamento conforme representado na fig.4.1.(b).Esta curva, denominada curva elstica ou linha elstica. Na situao da fig.(a), as sees transversaisem qualquer posio ao longo da pea so verticais, e o centro de gravidade de todas estas sees,coincidem com o eixo x.
Na situao (b), as sees transversais giraramde um ngulo em relao s posies anteriores(verticais), e ao mesmo tempo, deslocaram-se para baixo, de um valor y. Ao ngulo , denominamos giroou deslocamento angular da seo, e ao deslocamento y, denominamos flechaou afundamentodaseo.
Consideraremos as seguintes convenes: OFlechas: ngulos:
y(-) (-)y(+) (-)
r
direo perpend.F seo antes da
deformaox
x y
linhaelstica
inclinao daseo aps inclinao da seo direo perpenddeformao antes da seo aps a.
y deformao deformao
(a) (b)
fig.4.1
4.2. APLICAES
Determinao das deformaes para que no ultrapassem determinados limites que no caso daconstruo civil por exemplo, no deve ser superior 1/300 do vo, ou seja:
300
Lymx (4.1)
Em projetos mecnicos, as mximas deformaes permitidas, variam conforme o tipo de projeto. Auxiliar na resoluo de problemas hiperestticos envolvendo peas submetidas flexo.
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 28
28
4.3. RELAO ENTRE ESFORO CURVATURA E MOMENTO FLETOR
Consideremos a viga da fig.4.2.(a), onde foram traadas duas linhas verticais, e duas linhas
horizontais, que interceptam-se gerando os pontos A, B, C e D. Consideremos ainda, que a linha quecontm o segmento AB, pertena superfcie neutra. Neste caso, aps submeter-se a pea a flexo, estesegmento no sofrer alterao no seu comprimento. Entretanto, o segmento CD, sofrer umalongamento L, conforme representado na fig.4.2.(b).
O
Linha sobre aSuperfcie neutra r
A By
C D
A L0 By
C D' D
L(a) (b)
fig.4.2
Considerando-se que as deformaes estejam dentro do regime de proporcionalide, da lei de
Hooke sabemos que: .Ex = (4.2)
Representando por L0 os comprimentos iniciais dos segmentos AB e CD, e por L o acrscimo sofridopelo segmento CD, teremos:
0L
L= (4.3)
Como os setores circulares OAB e BD'D so semelhantes, podemos estabelecer a seguinterelao de proporcionalidade entre seus lados:
r
y
L
L=
0
Substituindo esta expresso em (4.3), e aps, esta em (4.2), teremos:
yr
Ex .=
Isolando 1/r vem:
Eyr
x
.
1 =
Mas:
yI
M
z
fzx .=
Logo:
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 29
29
z
fz
IE
M
r .
1= (4.4)
Observaes:
1) Como foi utilizada a lei de Hooke, as equaes (4.3) e (4.4) somente podem ser usadas dentro doregime de proporcionalidade.
2) O presente estudo considera que Mfz, EeIzsejam constantes ao longo do trecho considerado, oque implica em rconstante.
4.3.1. EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA
Na fig.4.3, temos a curva elstica de uma viga submetida flexo. Tomemos duas sees 1 e 2afastadas de uma grandeza infinitesimal ds. As direes perpendiculares a estas sees (tangentes acurva t1 e t2), formam com o eixo x, respectivamente os ngulos 1 e 2 , e entre s, o ngulo infinitesimald. Considerando este ngulo em radianos, podemos escrever:
drds .= ou:ds
d
r
=
1(4.5)
O
dr
2 1 x1 ds
2 dx 1 d
dx t2 dyds
t1 2
(a) (b)
fig.4.3
Como as deformaes permitidas em geral so muito pequenas, podemos considerar com umamargem de erro bastante pequena, que:
dxds edx
dytg = (4.6)
Substituindo (6.6) em (6.5), teremos:
dx
dx
dyd
r
)(1
= ou2
21
dx
yd
r
=
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 30
30
Que substituindo-se em (6.4), resulta:
z
fz
IE
M
dx
yd
.2
2
= (4.7)
Para carregamentos horizontais, e consequentemente, flexo no plano horizontal (plano xz), teremos:
y
fy
IE
M
dx
zd
.2
2
= (4.8)
4.4. DESLOCAMENTO ANGULAR
Integrando-se uma vez a expresso (4.7), obtm-se:
1..
1CdxM
IEdx
dyfz
z
+= (4.9)
Mas vimos em (6.6), que:
dx
dy=
Logo: 1..
1CdxM
IEfz
z
+= (4.10)
4.5. AFUNDAMENTOS OU FLECHAS
Integrando-se a expresso (4.9), teremos:
21)( ..
1CdxCdxM
IEy fz
z
++=
2)( Cdxy += (4.11)
EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA PARA FLEXO NO PLANO VERTICAL (PLANO XY)
EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA PARA FLEXO NO PLANO HORIZONTAL (PLANO XZ)
EQUAO DOSDESLOCAMENTOS ANGULARESPARA FLEXO NO PLANO VERTICAL (PLANO XY)
EQUAO DOSAFUNDAMENTOSPARA FLEXO NO PLANO VERTICAL (PLANO XY)
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 31
31
Exerccios:
Determinar para fig. abaixo, =f(x) ey=f(x), ou seja, asas equaes dos deslocamentos angulareselinearesdevido aos momentos fletores produzidos pelos carregamentos ali indicados. Determine tambm, o
mximo afundamentoe as mximas deflexes angulares positivae negativadas sees.q(N/m)
L(m)
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 32
32
4.6. RELAO ENTRE AFUNDAMENTO ESFORO CORTANTE E CARREGAMENTO
Derivando-se a eq. (4.7), teremos:
)()(.2
2
z
fz
IE
M
dx
d
dx
yd
dx
d=
dx
dMfz
IEdx
yd
z.
13
3
=
z
y
IEdx
yd Q.3
3
= (4.12)
Derivando-se esta equao (4.12), teremos:
)()(.3
3
z
y
IE
Q
dx
d
dx
yd
dx
d=
dx
dQ
IEdx
yd y
z.
14
4
=
z
y
IEdx
yd q.4
4
= (4.13)
onde:yq = carga distribuda (N/m)
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 33
33
5. ESTADO PLANO DE TENSES
5.1.Introduo
Consideremos um elemento infinitesimal de dimenses dx, dy, dz, representado nafig. 5.1, e submetido ao estado plano de tenses ali indicado.
Consideraremos que as tenses de trao sero positivas e as tangenciais tambm osero para a disposio da figura (convergindo para o canto superior direito)
y ny
xy x yx T
yx ds dy x x dy dsxy yx
dx dz x dx z xy
y ty
n
Tx xy
yx
y t
fig. 5.1
Aplicando as condies de equilbrio parcela do elemento (Fig. 5.1) para as foras queatuam nas direes n e t (normal e tangente superfcie), teremos:
Para a direo n:
[ ]0=nF
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 34
34
0..sen...cos...sen...cos... = dzdxdzdydzdydzdxdzds yxyxxy
dividindo por dz, e observando que dx ds= .sen e dy ds= .cos, teremos:
0sen.cos..cos..sen.cossen..22 = dsdsdsds yxyxxy
dividindo por dse lembrando que yxxy = ficar:
0sen.cos.cossen..222 = yxxy
lembrando ainda que:
2sencos.sen.2 = , ( )cos cos21
21 2 = + e ( )sen cos2
1
21 2 =
teremos:
( ) ( ) 02cos12
2cos12
2sen =+
yx
xy e,
2sen.2cos22
xyyxyx
+
++
= (5.6)
Para a direo t:
[ ]0= tF
0..cos...sen...sen...cos... =++ dzdxdzdydydxdzdydzds yxxyxy
dividindo por dz, e observando que dx ds= .sen e dy ds= .cos teremos:
0.cos.sen..cos.sen..sen..cos..22 =++ dsdsdsdsds yxxyxy
dividindo por dse lembrando que xyxy = ficar:
0cos.sen).()sen.(cos 22 =+ yxxy
lembrando que, cos2)sen(cos 22 = e2
2sencos.sen
= vem:
02sen.2
2cos. =
+
yx
xy
logo:
2cos.2sen2
xyyx
= (5.7)
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 35
35
5.2. Tenses principais -Planos principais
As expresses (5.6) e (5.7) fornecem-nos respectivamente os valores de e paraqualquer posio da seco de estudo, definida pelo ngulo . Entretanto, paradeterminados valores de , e assumiro valores mximos ou mnimos, j que estastenses so originadas pela decomposio da resultante T nas direes n e t, que variamcom a mudana de .
Os planos onde ocorrem os valores mximos e mnimos para so chamadosPLANOS PRINCIPAIS e os ngulos que definem suas posies, so representados porpmx e pmn.
Os ngulos que definem os posicionamentos dos planos onde ocorrem os valoresmximos e mnimos para , so denominados qmx e qmn. respectivamente.
A) Determinao das Posies dos Planos PrincipaisCom base no exposto acima, determinar a posio dos planos principais, significa
determinar os valores de (pmx e pmn), para os quais ocorrem os valores mximos emnimos de .
Com base na teoria dos mximos e mnimos do clculo diferencial teremos,derivando a expresso (5.6) em relao a , teremos:
Da expresso (5.8), obtm-se dois valores para o arco 2p (2p e 2p) que estodefasados de 180:
2p= 2p+180
o que implicar em dois valores para p, (pep) que estaro defasados de 90
opp 90"" =
o que demonstra que os planos onde ocorrem as tenses normais mxima e mnima, soperpendiculares entre si.
0cos..22sen2
=+ pp xyyx
yx
xy
p
p
=
2
2cos
2sen
yx
xytg p
=
22
yx
xyarctgp
=
2
2
1 ( )a.8.5
2.2cos.2).2sen(2
ppxy
yx
d
d
+
=
( )8.5
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 36
36
B) Determinao das Tenses Principais
As tenses principais simbolizadas por mx e mn (ou 1 e 2), podem ser calculadaspelas expresses:
Ou:
Demonstrao:Para obtermos as tenses principais, basta substituirmos na expresso (5.6) sen2
e cos2 por sen2p e cos2p.
Da trigonometria, sabe-se que:
logo teremos:
+
=
yx
xy
p
2
2cos2
1
1
21
1cos
tg+=e
21
sentg
tg
+=
( )2
2222
)(
4
.2
.21
.2
21
22sen
yx
xyyx
yx
xy
yx
xy
yx
xy
ptg
ptgp
+
=
+
=
+=
( ) 22
4
22sen
xyyx
xyp
+
=
( ) 22
4
2cos
xyyx
yxp
+
=
( )( ) 221 4
2
1
2xyyx
yx
++
+=
( )( ) 222 4
2
1
2xyyx
yx
+
+=
( )( ) 222,1 4
2
1
2xyyx
yx
+
+=
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 37
37
Substituindo estes valores em (5.6), teremos:
5.3. Tenses de Cisalhamento Extremas (Mxima e Mnima) - Planos Onde Atuam
A) Planos de Tenses Cisalhamento Extremas
Derivando (5.7) em relao a e igualando a zero:
( )( ) 22 4
2
1
2xyyx
yx
mnmx
+
+= ( )9.5
2).2sen.(2.2cos.2
qq xyyx
d
d
=
xyyx
q
q
22cos2sen =
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )2222
22
2
22
2
2222
4.2
4
2
4.2
4
4.22
2
2.4
2
422
xyyx
xyyxyx
xyyx
xy
xyyx
yxyx
xyyx
xyxyxyyx
yxyxyx
mnmx
mnmx
mnmx
+
++
+=
++
+
+
+=
++
+
++=
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
22
22
2222
22
22
22
22
42
1
2
4.2
4.4
2
4
4
.
4.2
4
2
xyyx
yx
xyyx
xyyxxyyxyx
xyyx
xyyx
xyyx
xyyxyx
mnmx
mnmx
mnmx
+
+
=
+
++
++
=
+
+
+
++
+=
-
8/3/2019 RM II-POL-GRAFO
39/53
RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 38
38
Ou:
Da expresso (5.10), obtm-se dois valores para o arco 2q (2q e 2q), quediferem de 180:
2q= 2q+180
o que implicar em dois valores para (qeq), que diferiro de 90:
oqq 90'" =
o que demonstra que os planos onde ocorrem as tenses cortantes mxima e mnima, soperpendiculares entre si.
B) Tenses de Cisalhamento ExtremasAs Tenses Cisalhamento Extremas simbolizadas por mx e mn, podem ser
calculadas pelas expresses:
Ou:
(5.11)
Demonstrao:
Para obtermos os valores extremos (mximo e mnimo) para as tenses cortantes,basta substituirmos na expresso (5.7), sen2 e cos2 por sen2q e cos2q.
Como:
xy
yxtg q
22
= ( )10.5
21
1cos
tg+=e
21
sentg
tg
+=
)2( xy
yxarctgq
=
( ) 22 42
1xyyxmx ++ ( ) 22 4
2
1xyyxmn +=
( ) 22 42
1xyyx
mn
mx +=
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 39
39
2
.21
12cos
+
=
xy
yx
q
Substituindo estes valores em (5.7), teremos:
( ) 22 .42
1 xyyxmnmx += ( )11.5
( ) 22
4
2sen
xy
yxq
yx
+
=
m
( ) 22
4
.22cos
xy
xyq
yx
+
=
( )2
22
22
4
4
.2
.21
.2
21
22sen
xyyxxy
xy
yx
xy
yx
xy
yx
qtg
qtgq
+
=
+
=+
=
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
+
+
+=
+
+=
+
+
+
=
+
+
=
22
22
22
22
22
22
22
2
22
2
2222
4
4
.
4.2
4
4.2
4
4.2
4
4.2
2
2.
4
2
42
xyyx
xyyx
xyyx
xyyx
xyyx
xyyx
xyyx
xy
xyyx
yx
xyyx
xyxy
xyyx
yxyx
mnmx
mnmx
mnmx
mnmx
m
m
m
m
mm
m
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 40
40
Observe-se que subtraindo mn de mx na expresso (5.9), teremos:
donde conclui-se que:
Comparando a expresso (5.10) que define os planos onde ocorrem mx e mn,com a expresso (5.8) que define os planos onde ocorrem mx e mn, conclui-se que:
Que a condio de perpendicularismo entre dois planos,ou seja, 2q e 2p diferem de 90( 2q=2q90o), logo, q e p diferem de 45.
Assim:
Em outras palavras, conclui-se que os planos onde ocorrem as tenses extremas decisalhamento, esto inclinados de 45 em relao aos planos onde ocorrem as tensesnormais extremas(tenses principais).
Nos planos de cisalhamento extremos, a tenso normal no nula, e seu valor podeser obtido substituindo-se senq e cosq na expresso (5.6), que resulta:
( )
2
mnmx
mnmx
=
( ) mnmxmnmx xyyx .24
22
=+=
ptgqtg
2
12 =
45opq = ( )13.5
( )12.5
22'
mnmxyx
++
== ( )14.5
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 41
41
5.4. Planos de Tenses de Cisalhamento Nulas
Se a tenso de cisalhamento pode assumir valores positivos e negativos, ento
dever assumir tambm o valor nulo para um determinado plano, cuja inclinao,denominaremos n.
Os planos onde as tenses de cisalhamento anulam-se, podem ser obtidas fazendo-se = 0 na expresso (5.7), donde resulta:
Esta expresso coincide com a expresso ( 5.8 ) o que demonstra que os planos detenso de cisalhamento nulas, so coincidentes com os planos principais. Assim conclui-seque: Nos planos principais, no atuam tenses de cisalhamento.
yx
xy
ntg
=
22
yx
xyarctg
n
=2
2
1( )15.5
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 42
42
RESUMO
2sen.2cos22
xyyxyx
+
++
= (5.6)
2cos.2sen2
xyyx
= (5.7)
yx
xy
tg p
=
2
2 yx
xy
arctgp
=
2
2
1 ( )a.8.5( )8.5
xy
yxtg q
22
= ( )10.5)
2(
2
1
xy
yxarctgq
=
( ) 22 .42
1 xyyxmnmx += ( )11.5
45opq = ( )13.5
22'
mnmxyx ++
== ( )14.5
( )( ) 22 4
2
1
2xyyx
yx
mnmx
+
+= ( )9.5
opp 90'" =
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 43
43
Exerccio:
Um elemento plano, est submetido s tenses que se indicam na figura. Determinar:a) as tenses principais e os planos onde elas ocorrem;b) as tenses extremas de cisalhamento, e os planos onde elas atuam;c) as tenses normais nos planos de cisalhamentos extremos.
150MPa
90MPa
200MPa 200MPa
150MPa
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 44
44
6. FLEXO-TORO
Na flexo-toro, como o prprio nome sugere, temos uma combinao das solicitaes, FLEXO eTORO. Como resultado desta combinao, teremos atuando na pea, ao mesmo tempo, as tensesoriginadas por estas duas solicitaes.
Podemos ter a combinao TORO-FLEXO PURA ou TORO-FLEXO SIMPLES.
- No primeiro caso, teremos as seguintes tenses geradas:
Tenso cortante (tangencial)produzida pelo momento toror
Tenso normal produzida pelo momento fletor.
- No segundo caso, alm destas duas tenses, teremos tambm, tenso cortante(ou tangencial), produzida pelo esforo cortante.
Por ser o segundo caso, aquele onde temos o maior nmero de solicitaes, certamente ser o de
maior risco, e portanto ser o objetivo do nosso estudo.
FLEXO SIMPLES COMBINADA COM TORO
Conforme acima exposto, neste caso teremos:
- Tenso cortante produzida pelo momento toror: rI
M
p
txtx .= mx
p
txtx r
I
Mmx .= (1)
- Tenso normal produzida pelo momento fletor: yI
M
z
fzx .= mx
z
fzx y
I
Mmx .= (2)
- Tenso cortante devido ao esforo cortante:zz
szy
yxxy
Ib
MQ
.
.==
zz
szy
yxxy
Ib
MQ mxmxmx
.
.== (3)
Na engenharia mecnica, este tipo de combinao de esforos surge com maior freqncia nos eixos ervores de transmisso de potncia, que na sua quase totalidade, apresentam seo transversalcircular. Portanto, nosso estudo estar voltado para este tipo de seo transversal.Consideremos ento, o eixo abaixo, que est submetido a uma fora vertical F aplicada distncia Lda seo hachurada e a uma distncia D/2 do eixo baricntrico x.
LFy
MfzMtx
z D
x
y
fg.7.1
-
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46/53
RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 45
45
Esta fora, ir gerar nesta seo transversal os seguintes esforos internos e respectivas tenses:
Esforo Interno Tenses Geradas
momento fletor (Mfz=F.L) tenses normais ( yI
M
z
fzx .= )
momento toror (Mtx=F.D/2) tenses tangenciais (2
.D
I
M
p
txtx = )
esforo cortante (Qy=F) tenses tangenciais (zz
szyxy
Ib
MQ
.
.= )
O comportamento destas tenses ao longo de uma linha vertical que passa pelo centro da seo, estorepresentados respectivamente nas figuras (a), (b) e (c) abaixo.
mxcA txmx A A
xymx
B mxt B txmx B
(a) (b) (c)
fig.7.2
Observando-se as figuras acima, conclui-se que a regio mais solicitada da seo, so os pontos A eB, onde teremos a combinao das mximas tenses normais x causadas por Mfz, com asmximas tenses cortantes tx, produzidas por Mtx.Assim, passemos a analisar, um elemento infinitesimal retirado de uma destas regies mais solicitadas,B por exemplo.
x xttx xt
x tx tx x
xt tx x
xt
(a) (b)Elemento infinitesimal retirado da vista superior do elemento
posio inferior (B) do eixo com a mesmaorientao que encontrava-se na pea
fig.7.3
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 46
46
( )( ) 22 4
22txyx
yx
mnmx
+=
( )223
.
32txfzfz
mnmx
MMMd
+=
Temos assim um estado plano de combinao de tenses conforme estudado no tem 5.2. Naquelaoportunidade, vimos que as tenses normais resultantes, denominadas tenses principais, so obtidas
pela equao (5.9): + 1
Neste caso temos: y=0, x obtida por mxz
fzx y
I
Mmx .= (2) e tx, por mx
p
txtx r
I
Mmx .= (1)
Para uma seo circular, temos:
2
Drmx = 4.
32DIp
= (5) (seo cheia) ).(
32
44 dDIp =
(6) (seo vazada)
D d D
(a) (b)
fig.7.4
Substituindo-se estes valores em (1), teremos:
3
16
D
Mtxtxmx
= (7) (seo cheia)
)(
.1644 dD
DMtxtxmx
=
(8) (seo vazada)
Temos ainda:
2
Dymx =
64
4DIz
= (9) (seo cheia)
64
)(44 dD
Iz
=
(10) (seo vazada)
Substituindo (9) e (10) em (2), teremos respectivamente:
332DM
fzxmx
= (11) (cheia)
)(.32 44 dDDM
fzxmx
=
(12) (vazada)
Substituindo (7) e (11) em (4), e aps algumas operaes matemticas elementares, teremos para o eixomacio:
(13)
Equao que calcula as tenses principais, num eixomacio com seo circular, submetido flexo no planovertical (xy), e toro em torno de x.
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 47
47
Para determinarmos as inclinaes em relao vertical onde esto situados os planos principais, ouseja, os planos onde atuam mx e mn, usaremos a expresso (5.8.a) do tem 5.2.2:
(5.8.a)
Assim, substituindo (7) e (11), teremos:
que resultar:
(14)
Esta equao, fornece-nos dois valores para p, (p e p) que correspondem aos dois planosprincipais, ou seja, um plano (pmx) onde atua a tenso principal mx e o outro(pmn ), onde atua a outratenso principal mn. Para descobrirmos qual destes ngulos corresponde ao plano onde atua cada uma dastenses principais, basta substituirmos um dos ngulos, p por exemplo, na expresso (5.7).
2sen.2cos22
xyyxyx
+
++
= (15)
Se o valor obtido for o de mx, ento p ser o pmx . Caso obtenha-se mn, ento p ser o pmn.
Para determinarmos as tenses extremas de cisalhamento resultantes no eixo, usaremos (5.11):
(5.11)
Que resultar, pela substituio de (7) e (11), a equao:
(16)
Para determinarmos as inclinaes em relao vertical onde atuam estas tenses mx e mn, usaremos a
expresso (5.10) do tem 5.2.3:
(7.10)
Assim, substituindo (7) e (11), teremos:
(17)
yxxyarctgp
= 221
)(
)(
3
3
32
162
2
1
D
MD
M
arctgpfz
tx
=
)2
(2
1
xy
yxq arctg
=
( ) 22 .42
1xyyx
mnmx +=
)(2
1
fz
fyp
M
Marctg=
22
3.
16txfz
mnmx
MMD
+=
)(2
1
fz
txq
M
Marctg =
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 48
48
22
3.
16txfy
mnmx
MMD
+=
No estudo anterior, consideramos uma carga Fy, atuando na direo vertical (direo y), o que produziana pea, flexo no plano vertical (plano xy). Se esta carga atuasse no plano horizontal (ver fig.6.5.a abaixo),teramos uma flexo horizontal (plano xz), e as equaes (13), (14), (16) e (17), assumiriam as formas.
(18) (19)
(20) (21)
L
F FY
Fz
MfZz Mtx Fz
D z MtxMfy x
Mfy xy
y
(a) (b)
fig.6.5
Se tivermos duas foras atuando ao mesmo tempo, uma na direo y (Fy) e outra na direo z (Fz), outivermos uma fora num plano zy, porm inclinada em relao a estes eixos, produzindo assim ascomponentes Fy e Fz, as frmulas anteriores assumiro a forma:
(22)
(23)
Onde MfR, o momento fletor resultante da combinao de Mfycom Mfzque pode ser obtido por:
22fzfyfR MMM += (24)
)(2
1
fy
txq
M
Marctg =
22
3.
16txfR
mnmx MM
D+=
( )223.
16txfRfR
mnmx
MMMD
+=
Equao que calcula as tenses principais, num eixomacio com seo circular, submetido flexo nos planos
vertical x ), horizontal xz), e tor o em torno de x.
[ ]223.
16txfyfy
mnmx
MMMD
+=
)(2
1
fy
tx
M
Marctgp =
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 49
49
( )222
1txfRfRfe MMMM +=
22txfRte MMM +=
A figura a seguir, ilustra esta situao:
MfRD
MfzD
MfyD
x
ED
B CA
MfyB
MfzB
MfRB
As expresses (22) e (23), podem ser colocadas na forma:
3
32
D
Mfe
mnmx
= (22.a)
3
16
D
Mte
mnmx
= (23.a)
Sendo:
(25) (26)
Onde Mfe e Mte, so respectivamente, os momentos fletor e toror equivalentes, os quais significam:
Mfe=momento fletor equivalente o mometo fletor que sozinho, produziria na pea, os mesmosefeitos (tenses e deformaes) produzidos pela combinao de Mfz, Mfye Mtx.
Mte=momento toror equivalente o mometo toror que sozinho, produziria na pea, os mesmosefeitos (tenses e deformaes) produzidos pela combinao de Mfz, Mfy e Mtx.
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 50
50
EXERCCIO RESOLVIDO:
1) Qual o dimetro mnimo nescessrio que dever ter o eixo da fig. abaixo, para que as tenses admissveis=160MPae = 80MPano sejam ultrapassadas? Dpolias =20 cm.
As foras esto todas em kN. Calcular a deformao angular entre as extremidades do eixo. G= 80 MPa.=23.Para melhor entender a decomposio das foras, observe o desenho no incio da prxima pg.
120 360
160
80 30cm 30cm 30cm 30cm 30cm
A B C D E F
62,52 110,46 140,66
CARREGAMENTOSVERTICAIS (kN)
RyB=228,43 RyE=11,57 73,64Mfz (kN.m)
18,76
MOM. FLET.VERT. (PL XY) 0 0 x(m)
-22,09-31,02
-47,66
46,89 331,38
CARREGAMENTOSHORIZONTAIS (kN)
147,28 RyB=44,24 RzE=243,97 31,26
Mfy (kN.m)
MOM. FLET. 0 0 x(m)HORIZ. (PL XZ) -9,38
-44,18
-75,10
-91,94Mtx (kN.m)
25,7714,73
MOM. TOR.x(m)
-7,36
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 51
51
r (direo radial)
FAr(componente radial vertical de FA- produz flexo vertical - Mfz)
FA
FAt (componente tangencial horizontal FA produz toro Mtx e flexo horiz.- Mfy)t (direo tangencial)
FAr = FA.sen = 160.103.sen23 = 62,52 kN FAt = FA.cos = 160.10
3.cos23 = 147,28 kN
MtxA = FAt.R = 147,28.103.0,10 = 14,73 kN.m
Observando a combinao dos valores dos diagramas da pg. anterior, podemos concluir que a seocrtica, aquela situada na posio D, pois nesta posio, ocorrem os maiores valores para Mfz, Mfy e Mtx.
Consequentemente, faremos os clculos para o dimensionamento do eixo, utilizando estes valores.
Momento fletor resultante (24):
mkNMMMfyDfzDfrD .56,103)10.94,91()10.66,47(
232322 =+=+=
Momento fletor equivalente (25):
mkNMMMMtxDfrDfrD
feD .14,105))10.77,25()10.56,103(10.56,103(2
1)(
2
1 2323322 =++=++=
Dimetro do eixo com base na tenso normal admissvel (22.a):
adm
feD
mxD
M
=
3.
.32 6
3
3
10.160.
10.14,105.32
DD 0,188 m = 18,85 cm
Momento toror equivalente (26):
mkNMMMtxDfrDteD .72,106))10.77,25()10.56,103()
232322 =+=+=
Dimetro do eixo com base na tenso cortante admissvel (23.a):
adm
teD
mxD
M
=
3.
.16 6
3
3
10.80.
10.72,106.16
DD 0,189 m = 18,9 cm
O nosso eixo, dever ter um dimetro que satisfaa as duas condies estabelecidas ao mesmotempo, ou seja, que as tenses geradas em decorrncia das solicitaes no sejam superiores s tensesnormais admissveis, e nem s tenses tangenciais admissveis. Logo, a resposta a ser escolhida, deverser D 18,9 cm. (ou Dmn = 18,9 cm).
-
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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II 52
EXERCCIO PROPOSTO:
1) Qual o dimetro mnimo que dever ter o eixo da fig. abaixo, para que as tensesadmissveis =160 MPa e = 80 MPa no sejam ultrapassadas?Dpolias= 20 cm. As foras esto todas em N.
300 360100
50 10080
150 240
20cm 20cm 20cm 20cm 20cm
A B C D E F
CARREGAMENTOSVERTICAIS
Mfz ( )
X( )
CARREGAMENTOSHORIZONTAIS
Mfy ( )
X( )
Mtx ( )
X( )