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RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

Uno tra i problemi più importanti della matematica è quello della ricerca delle soluzioni (o radici) di un’equazione. Risolvere un’equazione ad una sola incognita 𝑓(𝑥) = 0 vuol dire calcolarne le radici reali, ossia determinare, se esistono, i valori numerici che rendono vera l’uguaglianza 𝑓(𝑥) = 0. Non sempre si è in grado di risolvere un’equazione con metodi e formule algebriche. Occorre dunque ricercare un metodo numerico per trovare la soluzione, che sarà, di conseguenza, una soluzione approssimata. Il procedimento risolutivo si può sostanzialmente distinguere in due fasi:

1. determinare gli intervalli dell’asse reale all'interno dei quali esiste ed è unica la radice dell’equazione 𝑓(𝑥) =0 (separazione delle radici).

2. applicare un algoritmo opportuno che permette di determinare la radice con l’approssimazione voluta. SEPARAZIONE DELLE RADICI Sia f(x) = 0un’equazione ad una sola incognita: se ci è una sua soluzione, allora f(𝑐+) = 0. Separare le radici di un'equazione significa individuare, per ogni radice ci , un intervallo [a,b] che la contenga e che non contenga alcun’altra radice. Il modo più efficace per separare le radici di un’equazione è quello di ricorrere ad una opportuna interpretazione grafica.

PRIMO METODO GRAFICO Risolvere l'equazione f(x) = 0 equivale, graficamente, a determinare, nel piano cartesiano, le intersezioni del grafico della funzione 𝑦 = f(x)con l’asse delle ascisse di equazione y = 0.

SECONDO METODO GRAFICO La risoluzione di un’equazione si può anche interpretare come la ricerca dei punti di intersezione tra due curve nel piano cartesiano. L'equazione F(x) − G(𝑥) = 0equivale infatti al sistema formato dalle equazioni 𝑌 = F(x)e 𝑌 = G(x). Osservando il grafico, si può affermare che una soluzione dell’equazione F(x) −G(𝑥) = 0 appartiene all’intervallo [ 1 , 2 ]. Richiamiamo alcuni TEOREMI relativi alle funzioni continue che garantiscono

l’unicità dello zero per f(x) = 0, dietro condizioni particolari.

N.B. non è garantita l’unicità! N.B. 𝑓′(𝑥) ≠ 0 garantisce l’unicità!

N.B. 𝑓33(𝑥) < 0𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 > 0 garantisce l’unicità!

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METODO DI BISEZIONE Il metodo iterativo più semplice è il metodo di bisezione che utilizza il teorema di esistenza degli zeri (sopra richiamato).

• Supponiamo di avere già separato le radici e di sapere che l’equazione 𝑓(𝑥) = 0ha una sola soluzione c nell’intervallo [𝑎; 𝑏].

• Si divide allora [𝑎; 𝑏]in due parti (tramite il punto medio c), in due intervalli: [𝑎; 𝑐] e [𝑐; 𝑏] . La divisione in due parti suggerisce il titolo bisezione dato al metodo.

• Calcolato il valore f (c) possono verificarsi tre casi: o f(c)=0, allora c è la radice esatta (e il procedimento si arresta); o f(c)≠0 ed ha segno opposto a quello di f(a), allora la radice è in [a;c]; o f(c)≠0 ed ha segno opposto a quello di f(b), allora la radice è in [c;b].

In questi ultimi due casi, il valore di c trovato è già una soluzione approssimata (a meno della quantità )

• Supponendo di voler conoscere il valore approssimato della soluzione con migliore approssimazione, si seleziona il primo o il secondo dei due semi-intervalli e si ripete il procedimento su di esso.

• Ci si ferma quando l’approssimazione della soluzione parziale trovata è quella desiderata.

Se l’ultimo intervallo individuato è [𝑎A; 𝑏A], l’approssimazione con cui si è trovata la soluzione è

Esempio 1 Consideriamo l’equazione x + 2D = 0 con −1£x£1 La funzione y = x +2D è continua ∀𝑥 ∈ 𝑅 e dunque è continua nell’intervallo [−1; 1], e si ha f(−1) = −½ e f(1) = 3. Deve quindi esistere un punto c interno all’intervallo in cui si ha f(c) = 0; ciò significa che l’equazione considerata ha almeno una soluzione interna all’intervallo [−1, 1]. A questo punto cerchiamo un modo per valutare la radice dell’equazione. Separiamo le radici.

Tale equazione equivale all’equazione 2D = −x che a sua volta equivale al sistema

Ny = 2Dy = −x

L’interpretazione grafica del sistema è immediata: le sue soluzioni corrispondono alle coordinate degli eventuali punti d’intersezione tra la curva esponenziale d’equazione 𝑦 =2O e la retta d’equazione y = -x. Come si vede vi è un solo punto di intersezione e la sua ascissa è compresa tra –1 e 0. Per averne la conferma, ricorriamo al teorema di esistenza degli zeri. La funzione y = x +

2Dè continua in [−1, 0] e inoltre f(−1) = −1/2 < 0 e f(0) = 1 > 0 , perciò l’equazione data ha almeno una soluzione c tale che –1 < c < 0 e dunque questi due valori sono già un’approssimazione per difetto e per eccesso della soluzione. Se vogliamo conoscere la soluzione con un’approssimazione migliore possiamo procedere con il metodo di bisezione. Calcoliamo la funzione negli estremi dell’intervallo, valutandone il segno:

Il punto medio dell’intervallo [−1, 0] è –0.5; 𝑐 = −0,5 è già un’approssimazione

della radice a meno di . Calcoliamo il valore della f(x) in tale punto: f(−0.5) ≅ 0.207 > 0, dunque

per il teorema di esistenza degli zeri la soluzione dell’equazione appartiene all’intervallo [−1,−0.5]. Si ripete tale metodo finché non si giunge all’approssimazione desiderata:

ε0 =b − a2

εn =b0 − a02n

f −1( ) = − 12< 0 f 0( ) = 1> 0

0 − (−1)2

= 0,5

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Punto medio di U−1;− VWX: -0,75

𝑐 = −0,75 è già un’approssimazione della radice a meno di

Punto medio di U−0.75; − VWX: -0,625

𝑐 = −0,625 è già un’approssimazione della radice a meno di

Punto medio di [−0.75; −0,625]: -0,6875

𝑐 = −0,6875 è già un’approssimazione della radice a meno di

ecc…

Esempio 2 Risolvere in maniera approssimata l’equazione 𝑥𝑒O − 1 = 0 con il metodo di bisezione. Per separare le radici, usiamo il metodo grafico. Scriviamo 𝑒O = 1/𝑥 e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di 𝑒O ed il grafico di 1/𝑥.

Esiste una sola intersezione tra i 2 grafici e quindi una sola soluzione c dell’equazione 𝑥𝑒O − 1 = 0 e tale soluzione è compresa fra 0 e 1: 0 < 𝑐 < 1 Metodo di bisezione • Dividiamo a metà l’intervallo [0; 1] e prendiamo in considerazione il punto 0.5 e calcoliamo la 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒O − 1 in 𝑥 = 0, 𝑥 = 0.5 e 𝑥 = 1: 𝑓(0) = −1 < 0, 𝑓(0.5) ≈ −0.1756 < 0, 𝑓(1) = 𝑒 − 1 ≈ 1,7182 > 0

Quindi avremo che 0.5 < 𝑐 < 1; c=0.5 è già un’approssimazione della radice a meno di

f −1( ) = − 12< 0 f − 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≅ 0,207 > 0

−1/ 2 − (−1)2

= 0 − (−1)22

= 0,25

f −0,75( ) ≅ −0,155 < 0 f − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≅ 0,207 > 0

−1/ 2 − (−0.75)2

= 0 − (−1)23

= 0,125

f −0,625( ) ≅ 0,023> 0 f −0,75( ) ≅ −0,155 < 0−0.625 − (−0.75)

2= 0 − (−1)

24= 0,0625

1− 0.52

= 0,25

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• Dividiamo a metà l’intervallo [0.5; 1] e calcoliamo la 𝑓(𝑥) in 𝑥 = (0.5 + 1)/2 = 0.75: 𝑓(0.5) < 0, 𝑓(0.75) ≈ 0.5877 > 0, 𝑓(1) > 0 Quindi avremo che 0.5 < 𝑐 < 0.75;

c=0.75 è già un’approssimazione della radice a meno di

• Dividiamo a metà l’intervallo [0.5; 0.75] e calcoliamo la 𝑓(𝑥) in 𝑥 = (0.5 + 0.75)/2 = 0.625: 𝑓(0.5) < 0, 𝑓(0.625) ≈ 0.1676 > 0, 𝑓(0.75) > 0 Quindi avremo che 0.5 < 𝑐 < 0.625;

c=0.625 è già un’approssimazione della radice a meno di

• Dividiamo a metà l’intervallo [0.5; 0.625] e calcoliamo la 𝑓(𝑥) in 𝑥 = (0.5 + 0.625)/2 = 0.5625: 𝑓(0.5) < 0, 𝑓(0.5625) ≈ −0.01278 < 0, 𝑓(0.625) > 0 Quindi avremo che 0.5625 < 𝑐 < 0.625;

c=0.5625 è già un’approssimazione della radice a meno di

• Dividiamo a metà l’intervallo [0.5625; 0.625] e calcoliamo la 𝑓(𝑥) in 𝑥 = (0.5625 + 0.625)/2 = 0.59375: 𝑓(0.5625) ≈ −0.01278 < 0, 𝑓(0.59375) ≈ 0.07514 > 0, 𝑓(0.625) > 0 Quindi avremo che 0.5625 < 𝑐 < 0.59375;

c=0.59375 è già un’approssimazione della radice a meno di

Riassumendo in una tabella: n an bn f(an) f(bn) 𝑥A =

𝑎A + 𝑏A2

f(xn) ℇA =

𝑏A − 𝑎A2

0 0 1 -1 1,7182 0,5 -0,1756 0,5 1 0,5 1 -0,1756 1,7182 0,75 0,5877 0,125 2 0,5 0,75 -0,1736 0,5877 0,625 0.1676 0,0625 3 0,5 0,625 -0,1736 0,1676 0,5625 -0,01278 0,03125 4 0,5625 0.625 -0,01278 0,1676 0,59375 0.07514 0,015625 5 0,5625 0.59375 … … 0,578125 … …

Occorrerebbe iterare più volte il procedimento per ottenere un risultato migliore.

METODO DELLE TANGENTI DI NEWTON

Supponiamo che: • f(x) continua in [a,b]; • f(x) derivabile due volte in (a,b); • f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)>0 in (a,b).

Per il secondo teorema di unicità della radice, si può dire che la radice c dell’equazione f(x)=0 è unica. Una prima approssimazione di c, sarà data dall’intersezione x1 della retta tangente alla curva nel suo punto B(b,f(b)) con l’asse x.

L’equazione della tangente suddetta è 𝑦 − 𝑦_ = 𝑚(𝑥 − 𝑥_) → 𝑦 − 𝑓(𝑏) = 𝑓’(𝑏)(𝑥 − 𝑏) Ponendo y=0 nell’ultima equazione scritta (per trovare il punto di intersezione con l’asse x), si ottiene x1:

𝑥V = 𝑏 −𝑓(𝑏)𝑓′(𝑏)

0.75 − 0.52

= 1− 0.522

= 0,125

0.625 − 0.52

= 1− 0.523

= 0,0625

0.625 − 0.56252

= 1− 0.524

= 0,03125

0.59375 − 0.56252

= 1− 0.525

= 0,015625

B1

B2

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Possiamo applicare nuovamente il procedimento prima descritto al punto 𝐵V(𝑥V, 𝑓(𝑥V)), per ottenere una seconda approssimazione x2. Si ricava

𝑥W = 𝑥V −𝑓(𝑥V)𝑓′(𝑥V)

e risulta 𝑎 < 𝑐 < 𝑥W < 𝑥V < 𝑏. Continuando in questo modo si costruisce una successione ricorsiva xn così definita:

c𝑥d = 𝑏

𝑥AeV = 𝑥A −𝑓(𝑥A)𝑓′(𝑥A)

Ovviamente avremo𝑎 <. . . < 𝑥f < 𝑥W < 𝑥V <. . . < 𝑏 = 𝑥d. Si dimostra che la successione xn converge, quando n tende a infinito, proprio alla soluzione esatta c che vogliamo approssimare:

limA→k

𝑥A = 𝑐

Osservazione 1)

La formula precedente è valida anche quando, con le stesse ipotesi di continuità e derivabilità, si ha: f (a)>0, f(b)<0 e f’’(x)<0 in (a,b).

Osservazione 2) Quando invece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)<0 in (a,b) ....

...oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)>0 in (a,b) ...

...allora la formula del metodo delle tangenti diventa

l𝑥d = 𝑎

𝑥AeV = 𝑥A −𝑓(𝑥A)𝑓′(𝑥A)

In definitiva vale la seguente regola pratica: Il metodo delle tangenti “parte” dall’estremo in cui la funzione ha lo stesso segno della derivata seconda.

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Inoltre, il procedimento si arresta quando l’approssimazione, ossia la differenza è inferiore o uguale a quella richiesta (in pratica, quando comincia a stabilizzarsi la cifra decimale richiesta). Esempio 3 Risolvere in maniera approssimata l’equazione 𝑥W − 2 − 𝑙𝑛(𝑥) = 0 con il metodo delle tangenti.

Per separare le radici, usiamo il metodo grafico. Scriviamo l’equazione data come 𝑥W − 2 = 𝑙𝑛(𝑥) e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di 𝑥W − 2ed il grafico di 𝑙(𝑥) Esistono due punti di intersezione tra i due grafici. Supponiamo di voler approssimare quello compreso fra 1 e 2. Cerchiamo dunque un’approssimazione di c, con 1 < c < 2.

Potremmo non conoscere il grafico della funzione 𝑦 = 𝑥W −2 − ln(𝑥), ma ai fini del metodo delle tangenti a noi serve verificare continuità, derivabilità, segno della funzione agli estremi dell’intervallo e concavità (per il 2° teorema di unicità della soluzione…) Metodo delle tangenti • Cominciamo a calcolare f(1), f(2) e f’’(x): 𝑓(1) = (1)W − 2 − 𝑙𝑛1 = −1 < 0 𝑓(2) = 4 − 2 − 𝑙𝑛2 ≈ 1,30685 > 0

𝑓’(𝑥) = 2𝑥 − VO= 2𝑥 − 𝑥pV

𝑓’’(𝑥) = 2 + 1/𝑥W > 0𝑖𝑛(1,2) Il metodo dunque parte da x0=b=2 (f(2)>0 et f’’(x)>0) Applichiamo la formula del metodo delle tangenti:

c𝑥d = 2

𝑥AeV = 𝑥A −𝑓(𝑥A)𝑓′(𝑥A)

Otteniamo così:

𝑥V = 𝑥d −𝑓(𝑥d)𝑓′(𝑥d)

= 2 −𝑓(2)𝑓′(2) ≅ 2 −

1.306853.5 ≅ 1.62661

𝑥W = 𝑥V −𝑓(𝑥V)𝑓′(𝑥V)

= 1.62661 −𝑓(1.62661)𝑓′(1.62661) ≅ 1.62661−

0.1593622.63844 ≅ 1.56621

xn − xn+1

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Osservazione importante E’ vivamente consigliato l’uso della calcolatrice scientifica (opportunamente impostata nella ricerca del primo valore approssimato x1) per la ricerca veloce di tutti i valori della successione a cui si è interessati! Ecco come fare. Impostare: 2-(2^2-2-ln(2)/(2×2-1/2) INVIO SI OTTIENE: 1,62661348 (x1) A questo punto, nella formula scritta, ovviamente ricaricata, sostituire il “2” prima digitato come valore di “innesco” della successione con ANS (comando che tiene in memoria l’ultimo valore di output, cioè in tal caso il valore di x1 ossia 1,62661348). ANS-(ANS^2-2-ln(ANS))/(2×ANS-1/ANS) INVIO SI OTTIENE: 1,566210208 (x2) Basta premere nuovamente INVIO sulla calcolatrice … che ricalcolerà tutto (!) ottenendo di volta in volta: x3 1,564463734 x4 1,564462259 x5 1,564462259 ecc… Il metodo converge velocemente alla soluzione cercata! Come si vede, dal 4° valore trovato in poi si sono “stabilizzate” le prime quattro cifre decimali (ed anche le prime cinque cifre decimali): dal 5° valore in poi le prime sei cifre. I valori via via trovati possono essere anche gli stessi (dopo alcune iterazioni). E’ perciò ragionevole assumere il valore 1.56446 come approssimazione, esatta fino alla quarta cifra decimale della soluzione dell’equazione 𝑥W − 2 − 𝑙𝑛(𝑥) = 0 nell’intervallo (1;2); se uso cinque cifre decimali, nulla si può dire sull’ultima cifra. La soluzione approssimata a meno di 10-5 è 1.56446. Esempio 4 Risolvere in maniera approssimata l’equazione 𝑥𝑒O − 1 = 0 con il metodo delle tangenti nell’intervallo [0;1]. Confronteremo il risultato con quello prima determinato con il metodo di bisezione. La funzione 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒O − 1 è continua in [0; 1] e derivabile in ]0; 1[ almeno due volte. • Calcoliamo f(0), f(1) e f’’(x): 𝑓(0) = −1 < 0 𝑓(1) = 𝑒 − 1 > 0

𝑓’(𝑥) = 1 ∙ 𝑒O + 𝑥 ∙ 𝑒O = 𝑒O(1 + 𝑥) 𝑓’’(𝑥) = 𝑒O(1 + 𝑥) + 𝑒O ∙ 1 = 𝑒O(2 + 𝑥)

Si osserva che 𝑓33(𝑥) > 0 per 𝑥 > −2 e quindi per 𝑥 ∈ ]0; 1[ Il metodo dunque parte da x0=b= 1 (f(1)>0 et f’’(x)>0) Applichiamo la formula del metodo delle tangenti:

c𝑥d = 1

𝑥AeV = 𝑥A −𝑓(𝑥A)𝑓′(𝑥A)

Otteniamo così:

𝑥V = 𝑥d −𝑓(𝑥d)𝑓′(𝑥d)

= 1 −𝑓(1)𝑓′(1) = 1 −

1 ∙ 𝑒V − 1𝑒V(1 + 1) ≅ 0.68393972

𝑥W = 𝑥V −𝑓(𝑥V)𝑓′(𝑥V)

= 0.68393972 −𝑓(0.68393972)𝑓′(0.68393972) ≅ 0.577454477

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𝑥f = 𝑥W −𝑓(𝑥W)𝑓′(𝑥W)

= 0.577454477 −𝑓(0.577454477)𝑓′(0.577454477) ≅ 0.567229737

Analogamente si trova (usando sempre la calcolatrice e il comando ANS…): x4 = 0.567229737 x5= 0.567143296 x6= 0.56714329 ecc… Possiamo dire che la soluzione dell’equazione 𝑥𝑒O − 1 = 0 è circa 0.56714 Come si può tranquillamente vedere, si arriva ad una soluzione approssimata a meno di 10-4 con poche iterazioni del metodo. Esempio 5 Risolvere in maniera approssimata l’equazione 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0 con il metodo delle tangenti Separando le radici, si trova che la soluzione esiste ed è unica nell’intervallo [-3;-2]. La funzione 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 è continua in R e ivi derivabile almeno due volte. Si può tranquillamente operare nell’intervallo [-3;-2]. N.B. Devi usare i radianti!!! Setta opportunamente la calcolatrice.

• Calcoliamo f(-3), f(-2) e f’’(x): 𝑓(−3) ≈ −0.8588 < 0 𝑓(−2) ≈ 0.9093 > 0

𝑓’(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓’’(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥

Si osserva che 𝑓33(𝑥) < 0 nell’intervallo considerato, cioè in ]−3;−2[ e che f(-3)<0 Il metodo dunque parte da x0=a= -3 (f(-3)<0 et f’’(x)<0) Applichiamo la formula del metodo delle tangenti:

c𝑥d = −3

𝑥AeV = 𝑥A −𝑓(𝑥A)𝑓′(𝑥A)

Otteniamo così (usando sempre la calcolatrice e il comando ANS…):

𝑥V = 𝑥d −𝑓(𝑥d)𝑓′(𝑥d)

= −3 −𝑓(−3)𝑓′(−3) = −3 −

−3 − sin(−3) + 21 − cos(−3) ≅ −2.568400387

𝑥W = 𝑥V −𝑓(𝑥V)𝑓′(𝑥V)

≅ −2.554225902

𝑥f = 𝑥W −𝑓(𝑥W)𝑓′(𝑥W)

≅ −2.554195953

ecc… Possiamo dire che la soluzione dell’equazione 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0 è circa -2.5542.