Riskimitat Value-at-Risk (VaR) ja Odotettu vaje (ExpectedShortfall)Joonas Ollila14. syyskuuta 2011

Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Esityksen rakenne

• Yleistä riskimitoista• Value-at-Risk• Odotettu vaje (Expected Shortfall)• Kotitehtävä

Riskimittojen tarkoitus (I)

• Riskimitan avulla määritetään kuinka suuri pääomaa tulisi olla tappioiden varalle tietyllä riskitasolla.

• Riskimittoja käytetään Basel II –pankkisäädöksissä sekä laskettaessa vakuutusyhtiöiden pääomavaatimuksia (Solvency II)

• Soveltuvat portfolioiden vertailuun

Riskimittojen tarkoitus (II)

• Voidaan käyttää johtamistyökaluna: ”Kesäapulainen Möttösen päivän ostojen tappiojakauman % ei saa ylittää 250 000€.”

• Antavat tietoa tappiojakaumasta ( ) = ( )

Riskimittojen intuitio

• Periaatteessa voitaisiin käyttää tappiojakauman oikeaa päätepistettä (pahin mahdollinen tappio), mutta tämä on usein .

• Päätepiste ei myöskään anna mitään kuvaa jakauman muodosta

• VaR:n tapauksessa otetaan se piste jonka oikealle puolelle joudutaan todennäköisyydellä 1 .

Perinteisiä riskimittoja

• Varianssi (volatiliteetin neliö) historiallisesti suosituin, ei tosin ota huomioon jakauman vinoutta.

• Ylempiä ja alempia osittaismomentteja käytetään myös. • Odotettu vaje on jakauman yläosan ensimmäinen

osittaismomentti.

Riskimitan koherenttius I

• Riskimitta on koherentti jos se on:– Monotoninen: Portfolioille ja pätee . Tällöin

( ) ( ).– Subadditiivinen: + +– Homogeeninen: 0, tällöin = ( )– Siirtoinvariantti: , tällöin + =

Riskimitan koherenttius II

• Monotonisuus: Jos portfolion tappiot ovat aina suuremmat kuin vertailuportfolion, myös sen riskimitan tulee olla suurempi.

• Subadditiivisuus: Portfolion hajauttamisen tulee pienentää riskiä

• Homogeenisuus: Portfolion koon tuplaaminen tuplaa riskin.

• Siirtoinvarianttius: Jos portfolioon lisätään käteistä joku summa, riskimitan suuruus vähenee tällä summalla.

Value-at-Risk (VaR)

Määritelmä

• = Taso jota tappiot eivät ylitä todennäköisyydellä .

• = inf { L > 1 }• on siis jakauman -kvantiili.

• Muunnelma, Mean-VaR:

VaR:n sijainti kun on jatkuva

VaR-arvoja eri jakaumille

• Normaalijakauma: L~ ( , ) = +

• Studentin t-jakauma :llä vapausasteella: = ~ ( )

• = + , on jakaumafunktion käänteisfunktio.

VaR:n ongelmia

• VaR ei ole subadditiivinen (eikä siis koherentti riskimitta), eli +

• Tämä tarkoittaa sitä, että yhdistetyn portfolion VaR-arvosaattaa olla suurempi kuin sen osien VaR-arvojensumma, vaikka hajauttaessa riskin tulisi pienentyä.

• VaR-arvoa laskettaessa täytyy tehdä aina joitain oletuksia tappiojakaumasta, tästä syntyy malliriskiä.

Odotettu vaje (ExpectedShortfall)

Määritelmä

• ( ) = ( )

• Jatkuville jakaumille = ( | )• Eli odotettu vaje on odotusarvo jakauman VaR:n

ylittävälle osuudelle.• Muunnelma, Mean-ES:

ES ja VaR jatkuvassa tappiojakaumassa

ES-arvoja eri jakaumille

• Normaalijakauma: L~ ( , ) = + ( ), on N(0,1):n tiheysfunktio.

• Studentin t-jakauma :llä ( > 1) vapausasteella: = ~ ( )

• = ( ( ( )) ), on t-jakauman tiheysfunktio.

Ominaisuudet

• Odotettu vaje on herkkä VaR:n ylittäville riskeille.• ( )• Odotettu vaje on koherentti riskimitta, toisin kuin VaR

Kotitehtävä

• Todista että odotettu vaje on subadditiivinen.• Portfolion tappiot ovat normaalijakautuneita

~ ( 1.5,3). Laske % ja % .

Mallivastaukset 1.1

• Subadditiivisuus: + + ( )

• Odotetun vajeen määritelmä: ( ) = ( ) , missä on :n kvantiilifunktio.

• Todistetaan että [ + ( )] + 0

Mallivastaukset 1.2

• [ + ( )] +

• = [ + ]

• = [ + + ]

• Oletetaan että on jatkuva ja aidosti kasvava, tällöin = ja ylläoleva lauseke saadaan muotoon [ + ] 0

Mallivastaukset 1.3

• [ + ] 0 pätee, jos + ,

• inf : + inf : inf { : }

• Tämä pätee kaikille p joten odotettu vaje on subadditiivinen.

Mallivastaukset 2

• ~ ( 1.5,3)

• % = + = 1.5 + 3 0.95 1.35

• % = + ( ) = 1.5 +.

2.07