Riset Operasi - WordPress.com€¦ · Web viewHanya ada satu jenis komoditi yang diangkut. Asumsi...

TRANSPORTASI (ANGKUTAN)Masalah transportasi membicarakan cara pendistribusian suatu komoditi dai sejumlah sumber (origin) ke sejumlah tujuan (destination). Sasarannya adalah mencari pola pendistribusian dan banyaknya komoditi yang diangkut dari masing-masing sumber ke masing-masing tujuan yang meminimalkan ongkos angkut secara keseluruhan, dengan kendala-kendala yang ada.

Ada 2 macam- Transportasi standar (Single Delivery System)

O1 D1

O2 D2

Masalah transportasi di mana origin hanya berfungsi sebagai daerah asal dan destination hanya berfungsi sebagai daerah tujuan.

- Transshipment / Multi Delivery SystemMasalah transportasi dimana origin maupun destination berfungsi sebagai daerah asal dan tujuan. O1 D2

O2 D2

SkenarioMasalah transportasi diformulasikan berdasarkan skenario sebagai berikut :

1. Ada sumber/daerah asal (origin) dengan kapasitas (supply) maksimumnya.2. Ada tujuan (destination) dengan permintaan (demand) minimumnya.3. Ada jalur angkutan dari setiap sumber ke setiap tujuan beserta ongkos angkut satuan.

(Ongkos sifatnya linier proporsional terhadap jarak)4. Ada satu macam komoditi saja yang diangkut5. Meminimalkan ongkos angkut.6. Adanya fungsi sasaran (objective function) yang diasumsikan linear.

Riset Operasi-Bahan 3-Transportasi/Ineke P/Hal. 1

Skema/Formulasi

Oi = Sumber (origin) ke – i ( i = 1, 2, . . ., m)Dj = Tujuan (destination) ke – j ( j = 1, 2, . . ., n)bi = Supply maksimum pada Oiaj = Demand minimum pada DjCij = Ongkos angkut satuan pada jalur Oi DjXij = Banyaknya unit komoditi yang diangkut dari Oi ke Dj (alokasi)

Asumsi

Diasumsikan :(i) Linieritas, i.e. biaya angkut berbanding lurus (proporsional) dengan banyaknya komoditi

yang diangkut dari origin ke destination.(ii) Hanya ada satu jenis komoditi yang diangkut

Asumsi (i) berakibat masalah transportasi termasuk dalam kategori masalah program linear, Sehingga cara menyelesaikannya bisa memanfaatkan metode yang sudah lasim dikenal, seperti yang akan dijabarkan kemudian.Asumsi (ii) berakibat setiap destination bisa menerima kiriman dari setiap origin.


b1 : O1 : D1 : : a1

b2 : O2 : D2 : : a2

b3 : O3 : D3 : : a3

bm : Om : Dn : : an

C11 : X11

Cm n : Xm n

Formulasi Model Matematika

Berdasarkan skenario di atas, maka formulasi model matematika masalah transportasi adalah sebagai berikut:

Mencari xij ≥ 0 (i = 1, 2, …, m; j = 1, .. n) yang meminimalkan fungsi sasaran (ongkos angkut total)

(1). ,

dengan kendala-kendala (constraint) :

(2).

(3).

Ketaksamaan (2) disebut kendala supply dan ketaksamaan (3) disebut kendala demand.Fungsi f pada persamaan (1) disebut fungsi sasaran (objective function).

Penyajian data : penyajian data masalah transportasi dituangkan dalam tabel 1 berikut : DestinationOrigin

D1 D2 … Dn Supply bi

c11 c12 … c1n

O1 x11 x12 x1n b1

c21 c22 … c2n

O2 x21 x22 x2n b2

…… … … … …

cm1 cm2 … cmn

Om xm1 xm2 xmn bm

Demand ∑bi

∑a5

aj a1 a2 … an

Tabel 1


Solusi keadaan setimbang:

Jika yaitu total supply komoditi pada origin sama

dengan total demand pada destination, maka masalah transportasi dikatakan setimbang. Dalam kasus setimbang, semua kendala, baik kendala supply maupun kendala demand berbentuk persamaan, sebagai berikut :

Akibatnya banyaknya variabel basis adalah m+n-1, sebab m+n-1 merupakan banyaknya persamaan yang saling independen. Oleh karena itu penyelesaian fisibel basis (pfb) terdiri atas m+n-1 variabel basis. Untuk mencari solusi optimal (minimal) masalah transportasi, dikerjakan dengan 3 langkah:

Langkah 1 : Menyusun solusi awal (Tabel Awal) Maksud menyusun solusi awal: untuk mencari pfb. Dasar hukum (dalil) :

Hukum 1: Tabel transportasi akan memberikan suatu pfb bila dalam setiap pengisian alokasi dipilih alokasi yang memaksimalkan kotak dengan batasan supply & demand.

Hukum 2: pfb paling tidak memuat satu solusi optimal.

Berdasarkan kedua hukum di atas, ada beberapa metode peyusunan tabel awal antara lain :

Cara1: Metode Sudut Barat Laut (North West Corner)

Metode ini dikerjakan sebagai berikut :a) Mengisi alokasi x11 sebanyak mungkin dengan batasan supply b1 dan demand a1. Jadi

x11 = min {a1,b1}. Setelah alokasi x11 diisi, maka kolom ke-1 penuh atau baris ke-1 penuh.

b) Jika kolom ke-1 penuh dan baris ke-1 belum penuh, maka langkah selanjutnya mengisi alokasi x12 sebanyak mungkin dengan batasan supply b1 dan demand a2.

c) Jika baris ke-1 penuh dan kolom ke-1 belum penuh maka langkah selanjutnya mengisi alokasi x21 sebanyak mungkin dengan batasan supply b2 dan demand a1.

d) Jika baris ke-1 penuh dan kolom ke-1 penuh, maka langkah selanjutnya mengisi alokasi x22 dengan batasan supply b2 dan demand a2.

e) Langkah-langkah ini bisa dilanjutkan sampai semua baris dan kolom penuh, dan akhirnya diperoleh m+n-1 alokasi, yang menurut kedua hukum di atas salah satunya merupakan solusi optimal.

Metode North West Corner lebih mudah dikerjakan daripada metode lainnya, tetapi solusi awal pada umumnya masih jauh dari optimal karena belum memperhitungkan ongkos angkut c ij. Hal ini berbeda dengan metode Least-Cost Method yang akan diuraikan berikut ini, yang sudah memperhitungkan ongkos angkut satuan cij.


Cara 2 : Metode Ongkos Terkecil (Least Cost Method)

Metode ini dikerjakan sebagai berikut:a) Dipilih ongkos angkut satuan cij terkecil/ termurah, diisi dengan alokasi sebanyak mungkin

dengan batasan supply bi dan demand aj. Kalau ada beberapa cij termurah, tentukan salah satu.

b) Langkah a) dikerjakan berulang-ulang dengan mengabaikan cij pada kotak yag sudah terisi pada langkah sebelumnya, sampai akhirnya diperoleh sejumlah m+n-1 kotak isi.

Langkah II: Uji Optimalitas

Metode Stepping-Stone (Metode Batu Loncat). Uji optimalitas metode stepping-stone dikerjakan sebagai berikut :a) Untuk setiap kotak kosong xij dicari lintasan horisontal & vertikal (tertutup/loop) melewati

kotak-kotak yang sudah isi. Loop ini selalu bisa diperoleh, karena kita sudah mempunyai m+n-1 kotak isi. Sebagai gambaran misalkan kita mempunyai kotak kosong yang mempunyai lintasan tertutup

x13 x14 x34 x33 x13,maka “opportunity Cost” c13

* didefinisikan sebagai :c13

* = --Δf13,di mana Δf13 = c13 – c14 + c34 – c33.

Hitunglah opportunity cost cij untuk setiap kotak kosong xij.b) Solusi sudah optimal, bila dan hanya bila /jika opportunity cost cij

* ≤ 0, untuk semua kotak kosong xij.

c) Solusi belum optimal, jika terdapat opportunity cost cij* > 0, untuk suatu kotak kosong xij jika ini terjadi, maka langkah selanjutnya adalah memperbaiki tabel (langkah III)

Langkah III : Memperbaiki Tabel

Memperbaiki tabel pada dasarnya adalah menentukan variabel basis yang keluar dan sekaligus menentukan variabel baru yang masuk sebagai basis. Caranya sebagai berikut :

a) Kotak kosong yang diisi (yaitu variabel baru yang masuk sebagai basis) adalah kotak kosong xij yang mempunyai opportunity cost cij

* > 0 (mxn)-(n terbesar)


Optimal ?

YaSelesai

Langkah IIIMemperbaiki Tabel

Tidak

b) Untuk kotak kosong yang terpilih untuk diisi, ditentukan loop dulu. Lintasan tertutup (loop) seperti langkah II (metode stepping-stone) dan diberi tanda berselang-seling positif negatip mulai dengan kotak kosong terpilih. Pilih alokasi kotak bertanda negatip paling kecil (paling melarat), itulah alokasi maksimum yang bisa digeser dan masuk kotak terpilih melalui loop tadi. Tanda negatip berarti alokasi doner & alokasi donor paling melarat itulah variabel basis yang keluar. Ia menjadi kotak kosong pada tabel berikutnya.

c) Setelah kotak kosong tersebut diisi, kemudian dikerjakan langkah II (uji optimalitas) lagi. Demikian seterusnya sampai diperoleh solusi optimal.

Contoh 1:

b1 = 50 : a1 = 30

b2 = 40 a2 = 60penyajian

Penyajian : c11 = 3, c12 = 5 c21 = 1, c22 = 2

D1 D2 bi

3 5O1 30 20 50

1 2O2 40 40ai 30 60

90

Tabel awal diisi dengan metode North-West-Corner- Setiap pengisian harus full kolom/ baris- Alokasi kosong tak perlu diisi, x21 = 0

Nilai f = 30(3) + 20(5) + 2(40) + 0(1) = 270Andaikan x21 diisi 1 alokasi, maka tabel menjadi

D1 D2 bi

3 5O1 29(-) 21(+) 50

1 2O2 1+ 39(-) 40ai 30 60

Dan akibatnya f baru = 29(3) + 21(5) + 1(1) + 39(2) = 271

f lama = 270 Δ f21 = f baru – f lama = 1

Perhatikan Δf = (-1)3 + (1)(5) (+1)(1) + (-1)(2) = 1f bertambah besar


O1

O2

D1

D2

x-21 mempunyai opportunity costc21

* = -Δ f21 = -1 (lawan Δ f21)Jadi tabel sudah optimum (minimum)jadi solusinya adalah:

30 50 30

20 40 60 40

Jadi dalam contoh ini tabel pertama langsung memberikan hasil yang optimum. Hal ini berbeda bila dibandingkan dengan contoh 2., berikut ini:

Contoh 2:

b1 = 80 a1 = 50

b2=20 a2 = 50

Data: c11 = 4 c12 = 3c21 = 2 c22 = 5

Langkah 1 :

D1 D2 bi

3 5O1 50 (+)30 80

1 2O2 + (-)20 20ai 50 50 100

x21 = 0

Tabel awal diisi dengan metode North West Corner :

f = 4(50) + 3(30) + 0(2) + 5(20) = 390


O2D2

O1

D1

O2D2

O1D1

Jika x21 diisi 1 alokasi, maka tabel berubah menjadi :

D1 D2 bi

4 3O1 49 (+)31 80

2 5O2 1+ (-)19 20ai 50 50 100

Dengan fbaru = 4(49) + 3(31) + (1)(2) + 5(19) = 386Δ f21 = fbaru – flama = - 4Jadi c21

* = - Δ f21 = 4 solusi belum optimal (minimal).

Langkah 2 :

Karena kotak X21 satu-satunya kotak dengan c21* = 4 > 0, maka X21 harus diisi dengan alokasi

donor yang paling melarat ialah X22 = 20 (digeser sepanjang lintasan(loop)) tertutup : x21, x11, x12.x22 keluar dari basisX21 masuk basis

Jadi tabel pada langkah II, ialah:

D1 D2 bi

4 3O1 30(+) (-)50 80

2 5O2 20(-) (+) 20ai 50 50 100

x22 = 0.

c22* = -Δf = - (+5+4-2-3) = -4 < 0.

Karena c22* < 0, maka solusi sudah optimal.

Jadi solusi optimalnya ialah:

80 30 =5050

20 20 =50

Cara penyelesaiaan di atas bisa dikerjakan untuk kasus di mana origin dan destination lebih dari dua, seperti terlihat pada contoh-contoh berikut:


O2D2

O1

D1

Contoh 3Soal: suatu perusahaan mempunyai 4 buah pabrik dengan 4 daerah pemasaran. Ke empat pabrik mempunyai kapasitas produksi yang sama yaitu 100 ton. Sedangkan ke empat daerah pemasaran masing-masing mempunyai demand 75, 75, 160 dan 90 ton per bulan. Tentukan besarnya komoditi yang seharusnya diikirim dari masing-masing pabrik ke masing-masing daerah pemasaran agar ongkos angkut total minimal, jika diketahui ongkos angkut satuan dari setiap pabrik ke daerah pemasaran sebagai berikut:

DestinationOrigin

D1 D2 D3 D4 Supply bi

4 5 6 7O1 100

5 2 1 7O2 100

6 6 2 5O3 100

1 3 6 4O4 100

Demand 400400

aj 75 75 160 90

Atau pakai North West Corner (mulai dari barat laut)Atau pakai Least Cost Method (pilih yang costnya terkecil)k23 bi=100, ai = 160 (pilih yang min) = 100 baris 2 penuhyang 1dipilih k41 bi=100, ai=75 (pilih yan min) =75 kolom 1 penuh.yang 2 dipilih k33 160-100 = 60 baris 3 penuh dan seterusnya.

Penyelesaian :

DestinationOrigin


4 5 6 7O1 100

5 2 1 7O2 100

6 6 2 5O3 100

1 3 6 4O4 100

Demand 400400

aj 75 75 160 90


Langkah 1: Tabel awal diisi dengan cij terkecil. Urutan : k23, k41, k33, k42, k12, k34, k14.Kotak isi = m+n-1 = 4 + 4 – 1 = 7c11

* = -Δf = - (4-5+3-1) = -1 lintasan k11, k12, k42, k41

c13* = -Δf = - (6-7+5-2) = -2 lintasan k13, k14, k34, k33

c21* = -Δf = - (5-1+2-5+7-5+3-1) = -5 lintasan k21, k23, k33, k34, k14, k12, k42, k41

c22* = -Δf = - (2-1+2-5+7-5) = 0 lintasan k22, k23, k33, k34, k14, k12


c31* = -Δf = - (6-5+7-5+3-1) = -5 lintasan k31, k34, k14, k12, k42, k41


c43* = -Δf = - (6-3+5-7+5-2) = -4 lintasan k43, k42, k12, k14, k34,k33,

c44* = -Δf = - (4-3+5-7) = 1 > 0 lintasan k44, k42, k12, k14, k44

solusi belum optimal, sebab c44* = 1 > 0.

Tabel baru: (II)

DestinationOrigin


4 5 6 7O1 100

5 2 1 7O2 100

6 6 2 5O3 100

1 3 6 4O4 100

Demand 400400

aj 75 75 160 90

Alokasi donor yang paling melarat ialah x42 = 25 digeser ke x44 melewati lintasan k42, k44, k14, k12

Periksa opportunity cost:c11

* = -Δf = - (4-7+4-1) = 0 lintasan k11, k14, k44, k41, k11

c13* = -Δf = - (6-7+5-2) = -2 lintasan k13, k14, k34, k33, k13

c21* = -Δf = - (5-1+2-5+4-1 )= -4 lintasan k21, k23, k33, k34, k44, k41

c22* = -Δf = - (2-1+2-5+7-5) = 0 lintasan k22, k23, k33, k34, k14, k12

c24* = -Δf = - (7-1+2-5) = -3 lintasan k24, k23, k33, k34, k24.




c43* = -Δf = - (6-4+5-2) = -3 lintasan k43, k44, k34, k33,

karena cij* ≤ 0, untuk semua kotak kosong xij,

maka solusi sudah optimum (minimum), denganmin = 75(5) + 25(7) + 100(1) + 60(2) + 40(2) + 75(1) + 25(4) = 1145


Jadi solusi untuk contoh 3 adalah sebagai berikut:

100 75 -75 25 100 100 -75

60100 -160 75 40

00 25 -90

Contoh 4:

Sebuah perusahaan pupuk mempunyai 3 pabrik di Cirebon, Bandung dan Cilacap yang masing-masing mampu memproduksi 120, 80 dan 80 ton per bulan. Perusahaan tersebut juga mempunyai 3 gudang di Semarang, Jakarta dan Purwoketo yang masing-masing mampu menampung 150, 70, dan 60 ton per bulan. Tentukan banyaknya pupuk yang seharusnya dikirim dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang, agaraongkostotal minimum, jika diketahui ongkos angkut sasaran dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang sebagai berikut

GudangPabrik

D1 D2 D3 bi

8 5 6O1 120

15 10 12O2 80

3 9 10O3 80

280280

aj 150 70 60O1 = pabrik di Cirebon D1 = gudang di SemarangO2 = pabrik di Bandung D2 = gudang di JakartaO3 = pabrik di Cilacap D3 = gudang di Purwokerto


O1 D1

O2 D2

O3 D3

D4O4

O1 D1

O2

O3

D2

D3

Solusi contoh 4:Solusi awal : Metode North West CornerLangkah 1

GudangPabrik

D1 D2 D3 bi

8 5 6O1 120

15 10 12O2 80

3 9 10O3 80

280280

aj 150 70 60

Langkah 2 : Uji Optimalitas

Opportunity cost masing-masing kotak kosong:c12* = - (5-8+15-10) = -2 lintasan k12, k11, k21, k22, k12

c13* = - (6-10+9-1+15-8) = -2 lintasan k13, k33, k32, k22, k21, k11, k12

c23* = - (12-10+9-10) = -1 lintasan k23, k33, k32, k22, k23

c31* = - (3-15+10-9) = 11 lintasan k31, k21, k22, k32, k31

karena c31* = 11 > 0, maka solusi belum optimalx31=0 diisi alokasi donor yang paling melarat yaitu x32=20 digeser melalui lintasan k31, k21, k22, k-

32, k31

Jadi setelah langkah III: memperbaiki tabel, diperoleh tabel baru sebagai berikut:

GudangPabrik

D1 D2 D3 bi

8 5 6O1 120

5 10 12O2 80

3 9 10O3 80

280280

aj 150 70 60


Langkah 2 : uji optimalitas

c12* = - (5-10+15-8) = -2

c13* = - (6-10+3-8) = 9

c23* = - (12-10+3-15) = 10

c32* = - (9-3+15-10) = -11

opportunity cost cij > 0 terbesar adalah c23* = 10

jadi x23 = 0 diisi dengan alokasi donor yang paling melarat yaitu x21 = 10, digeser lewat lintasan k23, k33, k31, k-21, k23

Tabel baru setelah diperbaiki lagi menjadi:

GudangPabrik

D1 D2 D3 bi

8 5 6O1 120

15 10 12O2 80

3 9 10O3 80

280280

aj 150 70 60 c12* = - (5-10+12-10+3-8) = 8 c13* = - (6-10+3-8) = 9 c21* = - (15-12+10-3 )= - 10 c32* = - (9-10+12-10) = -1

Solusi belum optimalcij* > 0 terbesar adalah c13* =9. Jadi yang bertindak sebagai alokasi donor ialah x33 = 50 diisikan pada kotak kosong x13 lewat lintasan tersebut di atas. Setelah diperbaiki tabel baru akan menjadi:

GudangPabrik

D1 D2 D3 bi

8 5 6O1 120

15 10 12O2 80

3 9 10O3 80

280280

aj 150 70 60


c12* = - (5-6+12-10) = -1

c21* = - (15-8+6-12) = -1

c32* = - (9-3+8-6+12-10) = -10

c33* = - (10-3+8-6) = -9

dalam hal ini cij* ≤ 0, untuk semua kotak kosong solusi optimal

jadi solusinya:

120 70 150 50 7080 10 70

8080 60

= 70(8) + 50(6) + 70(10) + 10(12) + 80(3) = 1920 satuan


O1 D1

O2 D2

D3O3

Riset Operasi - WordPress.com€¦ · Web viewHanya ada satu jenis komoditi yang diangkut. Asumsi...

Documents

Transcript of Riset Operasi - WordPress.com€¦ · Web viewHanya ada satu jenis komoditi yang diangkut. Asumsi...