Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Facultatea de ...

MINISTERUL AFACERILOR INTERNE

ACADEMIA DE POLIŢIE

„Alexandru Ioan Cuza”

FACULTATEA DE POMPIERI

ALGEBRĂ

ȘI ELEMENTE DE

ANALIZĂ MATEMATICĂ

Rezolvarea subiectelor date la concursul de

admitere

Academia de Poliție


Facultatea de Pompieri

2006 - 2016

Editura Ministerului Afacerilor Interne 2016

Emanuel DARIE

Coordonator:

Valentin UBAN

Garibald POPESCU

Cristian DAMIAN

*Col. conf. univ. dr. ing. – Facultatea de Pompieri I

**Col. dr. ing. – Inspectoratul General pentru Situații de Urgență

Coordonator: Valentin UBAN

Garibald POPESCU* Emanuel DARIE* Cristian DAMIAN**

ALGEBRĂ

ȘI ELEMENTE DE

ANALIZĂ MATEMATICĂ

Rezolvarea subiectelor date la concursul de

admitere

Academia de Poliție


Facultatea de Pompieri

2006 - 2016

ISBN: 978-973-745-167-5

Colecția

București

Editura Ministerului Afacerilor Interne

2016

Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere

Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”

Facultatea de Pompieri 2006 - 2016

II

CUVÂNT ÎNAINTE

Demersul realizării unui volum care să cuprindă rezolvarea subiectelor de la

disciplina „Algebră și Elemente de Analiză Matematică” date la concursul de

admitere la Facultatea de Pompieri din cadrul Academiei de Poliție „Alexandru Ioan

Cuza” a pornit de la necesitatea existenței unui cadru real de verificare a candidaților

la concursul de admitere.

Experiența didactică a autorilor arată că, în special la această disciplină se

impune o pregătire în condiții reale a concursului, această lucrare oferind posibilitatea

rezolvării subiectelor și în consecință testarea candidaților în timpul alocat.

Deși rezolvarea acestor subiecte de tip grilă nu poate înlocui pregătirea

fundamentală teoretică și aplicativă la disciplina „Algebră și Elemente de Analiză

Matematică” a viitorilor studenți, acestea pot constitui un suport real de abordare a

problemelor propuse, mai ales că subiectele sunt rezolvate în întregime, unele chiar

prin mai multe metode.

Având în vedere faptul că se reunesc în lucrare rezolvările subiectelor date la

concursul de admitere în perioada 2006-2016, considerăm că studierea cu atenție a

acesteia reprezintă în sine o modalitate solidă de aprofundare a tuturor capitolelor

necesare atacării cu succes a unui examen de „Algebră și Elemente de Analiză

Matematică”.

Lucrarea este de un real folos viitorilor candidați la concursul de admitere la

Facultatea de Pompieri, fiind prima de acest tip realizată de un colectiv de cadre

didactice și specialiști ai Inspectoratului General pentru Situații de Urgență.

De asemenea, parcurgerea lucrării poate fi utilă tuturor candidaților la

concursul de admitere în învățământul superior tehnic civil și militar.

Octombrie 2016 Autorii




III

CUPRINS

1. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție

„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2006………………………………

1



10

3. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție


16



23

5. Rezolvarea subiectelor date la concursul de – Academia de Poliție


31



38



46



57



65



88



103

12. Bibliografie…………………………………………………………………… 119




Matematică 2006

ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE

DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 1 2006

1. Soluţiile ecuaţiei lg 100xx x (unde )loglg 10 xx sunt:

a) 21 10,10 ; b) 2,1 ; c) 10,1 ; d) 3,2 ; e) 100,10 ; f) 2,1 .

Soluție:

Domeniul de definiţie este dat de:

0x , 1x 1\),0( x . (1)

Atunci:

xx x 100lg xx x 100lglg lg xxx lg10lg100lg)(lg 22

xx lg2)(lg 2 02lg)(lg 2 xx . (2)

Notăm:

xy lg 022 yy , (3)

care admite soluţiile

2lg x 2

1 10100 x şi 1lg x 1

2 10 x . (4)

Răspunsul corect este a).

2. Ecuaţia 1223 33 xxxx are soluţia:

a) 1x ; b) 0x ; c) 2x ; d) 1x ; e) 3 2x ; f) 2x .

Soluție:

Domeniul de definiţie: ecuaţia admite soluţii în .R

Avem că:

1223 33 xxxx 1022 3 33 xxxx . (5)




Matematică 2006



Se observă că, în mod unic, avem simultan:

223 3 xx şi 823 xx . (6)

Din cea de-a doua ecuaţie rezultă:

0102 xx (7)

sau

0283 xx 0)52)(2( 2 xxx . (8)

Singura soluţie reală este 2x .

Răspunsul corect este c).

3. Să se calculeze partea imaginară a numărului complex i

iz

1

1.

a) 1Im z ; b) iz Im ; c) iz Im ; d) 1Im z ; e) zz ReIm ; f) 0Im z .

Soluție:

Deoarece:

ii

i

i

i

i

i

i

i

iz

2

2

1

)1(

1

1

1

1

1

12

2

ziz ImRe . (9)


4. Să se calculeze 12

1arcsin)2(lim

2

2

xx

x.

a) 0; b)1; c) ; d) 2

1; e) 2; f) nu există.

Soluție:

Deoarece:

2

1

12

2lim

12

1)12(

12

1arcsin)2(

lim12

1arcsin)2(lim

2

2

2

2

2

2)0(

2

2

x

x

xx

xx

xx

xxx. (10)

Răspunsul corect este d).




Matematică 2006



Pentru rezolvare s-au utilizat:

1)(

)(arcsinlim

0

xu

xu

x sau 1

)(

1

)(

1arcsin

lim

xu

xu

x. (11)

5. Termenul al cincilea al unei progresii geometrice în care 3848 b şi raţia

2q este:

a) 485 b ; b) 1925 b ; c) 365 b ; d) 5b 46; e) 1285 b ; f) 725 b .

Soluție:

Termenul general al unei progresii geometrice este:

1

1

n

n qbb . (12)

Atunci:

7

18 qbb 7

1 2384 b71

2

384 b . (13)

Rezultă:

482

3842

2

3842

3

4

7

4

15 bb . (14)


6. Fie 0\)2,2(: f R , 22 4ln)( xxxf . Suma valorilor extreme ale

funcţiei f este:

a) 2ln4 ; b) 2 ; c) 2

1; d) 2 ; e) 2ln2 ; f) 0.

Soluție:

Valorile extreme se calculează utilizând derivata întâi:

0)4(

)]4([)4(ln)(

22

'22'22'

xx

xxxxxf 048 3 xx 0)2(4 2 xx . (15)




Matematică 2006



Rezultă:

,01 x 22 x , 23 x . (16)

Atunci:

2 3 4ln2f x f x . (17)


7. Valoarea determinantului

cabcab

cbaa

c

c

b

b

a

, pentru care 0\,, Rcba este:

a) ))()(( accbba ; b) )( cbaabc ; c) abc ; d) ))()(( accbba ; e) 0;

f) )( cabcababc .

Soluție:

Utilizând regula lui Sarrus pentru descompunerea determinantului, rezultă:

cabcab

cbaa

c

c

b

b

a

ccbb

c

a

cbbac

c

bba

a

ccbaacb

b

a

acc

ba 222222 cbaccbbacbac ))()(( accbba . (18)


8. Asimptotele funcţiei RRf 0\: , x

exf

x

)( sunt:

a) 1x asimptotă verticală şi 0y asimptotă orizontală;

b) 0x asimptotă verticală şi xy asimptotă oblică;




Matematică 2006



c) 0y asimptotă orizontală şi 1 xy asimptotă oblică;

d) 0x asimptotă verticală;

e) ex asimptotă verticală şi 1y asimptotă orizontală;

f) ex 1 asimptotă verticală.

Soluție:

În concordanţă cu modul de definire al funcţiei:

RRf 0\: , (19)

rezultă că

0x , (20)

este asimptotă verticală a funcţiei din text.

Determinăm asimptotele orizontale:

0limlimlim)(lim'

'0

x

x

x

x

x

xxe

x

e

x

exfy ; (21)

x

x

x

x

x

xxe

x

e

x

exfy limlimlim)(lim

'

'

. (22)

Determinăm asimptotele oblice:

0lim)(

lim2

x

e

x

xfm

x

xx; (23)

2

lim)(

limx

e

x

xfm

x

xx. (24)

Atunci:

0)(lim)(lim

xfmxxfnxx

. (25)




Matematică 2006



Funcţia nu admite asimptote oblice.


9. O primitivă a funcţiei RRf : ,

0,3

0,)(

2 xx

xxexf

x

, este :

a)

0,

0,1)1()(

3 xx

xxexF

x

; b)

0,

0,)1()(

3 xx

xxexF

x

;

c)

0,

0,1)1()(

3 xxx

xxexF

x

; d)

0,1

0,1)1()(

3 xx

xxexF

x

;

e)

0,

0),1()(

3 xx

xxexF

x

; f)

0,

0,1)1()(

2 xx

xxexF

x

.

Soluția nr. 1:

O primitivă a funcţiei:

RRf : ,

0,3

0,)(

2 xx

xxexf

x

, (26)

este

0,

0,)1()(

2

3

1

xcx

xcxexF

x

, (27)

care admite o dublă infinitate de soluţii.

Deoarece o funcţie este integrabilă dacă şi numai dacă este derivabilă. O

funcţie este derivabilă dacă şi numai dacă aceasta este continuă.

Atunci:

0,

0,1)0(

2

1

xc

xcF . (28)




Matematică 2006



Pentru valoarea 0x , rezultă:

21 1 cc . (29)

Se observă că pentru:

02 c , (30)

rezultă

11 c . (31)

Atunci:

0,

0,1)1()(

3 xx

xxexF

x

. (32)


Soluția nr. 2:

O primitivă a funcţiei:

RRf : ,

0,3

0,)(

2 xx

xxexf

x

, (33)

este

0,

0,)1()(

2

3

1

xcx

xcxexF

x

, (34)

care admite o dublă infinitate de soluţii.

Deoarece o funcţie este integrabilă dacă şi numai dacă este derivabilă. O

funcţie este derivabilă dacă şi numai dacă aceasta este continuă.

Atunci:

0,

0,1)0(

2

1

xc

xcF . (35)




Matematică 2006



Pentru valoarea 0x , rezultă:

21 1 cc . (36)

Dacă:

cc 2 , (37)

respectiv

cc 1 , (38)

atunci

0,

0,1)1()(

3 xcx

xcxexF

x

, (39)

respectiv

0,1

0,)1()(

3 xcx

xcxexF

x

. (40)

Se observă că pentru:

1c , (41)

rezultă

0,

0,1)1()(

3 xx

xxexF

x

. (42)


Observații:

Metoda nr. 1

Pentru calculul integralei cu 0x , s-a utilizat integrarea prin părţi:

dxxeI x dxex x ' dxexe xx

1)1( cex x , (43)




Matematică 2006



în care

xxf )( 1)(' xf ; (44)

'' )( xexg ; xexg )( . (45)

Metoda nr. 2

Pentru calculul integralei cu 0x , s-a utilizat substituţia:

te x tx ln , (46)

pentru care

dtdxe x dttdx , (47)

Atunci integrând prin părţi:

dxxeI x

tdtln 11 )1()1(ln cxectt x . (48)




Matematică 2007



1. Fie funcţiile: xxgRRgxxfRf 5)(,:,log,;0: 2

. Atunci:

a) f crescătoare şi g crescătoare; b) f descrescătoare şi g crescătoare;

c) f crescătoare şi g descrescătoare; d) f și g au numai valori negative;

e) f și g au numai valori pozitive; f) f descrescătoare şi g descrescătoare.

Soluție:

Prin definiţie, funcţia:

xxf 2log , (1)

este crescătoare pe intervalul ),0( , iar funcţia

xxg 5)( , (2)

este crescătoare pe R .


2. Să se rezolve ecuaţia: 10833 1 xx .

a) 3x ; b) 4x ; c) 2x ; d) 1x ; e) ecuaţia nu are soluţie ; f) 5x .

Soluție:

Deoarece:

1084310833310833 1 xxxxx

333273 3 xxx . (3)





Matematică 2007



3. Dacă z este o rădăcină a ecuaţiei 0522 zz , atunci z este:

a) 1; b) 4; c) 8; d) 5 ; e) 2; f) 5.

Soluție:

Ecuaţia:

0522 zz (4)

admite soluţiile

2,1z i 21 , (5)

în care

52122

1 z şi 521 22

2 z . (6)

În concluzie:

521 zzz . (7)


4. Să se calculeze

Nnm

nx

mx

x,,

sin

sinlim

0.

a) mn ; b) 1; c) nm ; d) nu există; e) nm ; f) n

m.

Soluția nr. 1:

Din text:

n

m

nx

mx

n

m

nxn

mxm

nx

mx

nx

mx

xxxx

cos

coslim

cos

coslim

sin

sinlim

sin

sinlim

00'

'

0

0

0

0, (8)




Matematică 2007



Deoarece:

1coslim0

mxx

, )( Nm , (9)

şi

1coslim0

nxx

, )( Nn , (10)

funcţiile

nxnxmxmx cos,sin,cos,sin , (11)

sunt continue pe R .

Răspunsul corect este f).

Soluția nr. 2:

Se utilizează fără demonstraţie faptul că:

1sin

lim0

x

x

x. (12)

În consecinţă avem:

1sin

lim0

mx

mx

xşi 1

sinlim

0

nx

nx

x *,)( Nmn . (13)

Atunci:

n

m

nx

mx

nxnx

nx

mxmx

mx

nx

mx

xxx

00

0

0

0lim

sin

sin

limsin

sinlim . (14)


5. Termenul al cincilea al unei progresii geometrice nb , *Nn cu primul termen

31 b şi raţia 2 este:

a) 48 ; b) 100; c) 20; d) 2007; e) 8; f) 5.




Matematică 2007



Soluție:

Termenul general al unei progresii geometrice este:

1

1

n

n qbb . (15)

Atunci termenul al cincilea este:

482)3( 44

15 qbb . (16)


6. Calculaţi 1'f dacă Rxarctgxxxf ,2

1.

a) ; b) 0; c) 21 ; d) 2; e) 1; f) -1.

Soluție:

Deoarece:

2

'

1

1

2

1

2

1

xxfarctgxxxf

. (17)

În aceste condiţii:

11' f . (18)

Răspunsul corect este e).

Soluție:

Dacă C este o rădăcină a ecuaţiei 012 xx . Determinantul matricei

11

1

A este:

a) -1; b) ; c) 1- i; d) 2; e) 2 ; f) 0.




Matematică 2007



Soluție:

Deoarece C este rădăcină a ecuaţiei:

012 xx , (19)

rezultă că

012 . (20)

Deoarece:

11

1

A , (21)

Atunci:

1

det. ( 1) ( 1) 1 ( 1) 11 1

A

.012 (22)


8. Şirul cu termenul general nn

nx

2 are limita:

a) 5 ; b) -1; c) 1; d) 2; e) ; f) 0.

Soluție:

Deoarece:

nnf )( şi nng 2)( , (23)

sunt funcţii continue şi derivabile pe R , avem

02

1lim

2ln

1

2ln2

1lim

2limlim

nxnxnxn

x

nx . (24)





Matematică 2007



9. Funcţia

,0,1

1x

xxxf are primitivele:

a) cx )1ln( 2 ; b) cx

x

1ln ; c) carctgxx ; d) cx ; e) cxx )1ln( ; f) cxx ln .

Soluție:

Din:

1)1(

1

x

B

x

A

xx, (25)

rezultă

1A şi 1B . (26)

Atunci:

cxx

x

dx

x

dxdx

xxdx

xxI 1lnln

11

11

)1(

1

= xln .1

ln)1ln( cx

xcx

(27)

Răspunsul corect este b).




Matematică 2008



1. Să se rezolve inecuaţia 2)3(log 2 x .

a)

3

4,x ; b)

3

4,0x ; c) 3x ; d) 1x ; e)

3

4,01,0x ; f) 1,0x .

Soluție:

Se stabileşte domeniul maxim de definiţie pentru funcţia logaritm, definită în

text.

Condiţia este dată de:

,0003 xxx . (1)

Se rezolvă ecuaţia din text:

2)3(log 2 x 4log)3(log 22 x 43 x 3

4x

3

4,x . (2)

Soluţia ecuaţiei este dată de:

3

4,0

3

4,,0x . (3)


2. Să se calculeze numărul: 2

6

6

8 ACS .

a) 60S ; b) 56S ; c) 2S ; d) 58S ; e) 52S ; f) 48S .

Soluție:

2

6

6

8 ACS !4

!6

!2!6

!8

!4

65!4

!2!6

87!6583028 . (4)

Răspuns corect d).




Matematică 2008



3. Se consideră numerele complexe iz 221 şi iz 12 . Să se calculeze modulul

numărului complex 21 zz .

a) 10; b) 10 ; c) 2 ; d) 5 ; e) 1; f) 23 .

Soluție:

Conform cerinţei din text:

izzz 321 . (5)

Modulul numărului complex z este:

1013 22 z . (6)

Răspuns corect b).


2lim

23

1

x

xxl

x.

a) nu există; b) 1l ; c) l ; d) 5l ; e) 7l ; f) 3l .

Soluția nr. 1:

Limita din text devine:

5)23(lim)1(

)2(lim

1

2lim 2

1'

'23

1

0

023

1

xx

x

xx

x

xxl

xxx. (7)

Soluția nr. 2:

Limita din text devine:

0

023

1 1

2lim

x

xxl

x5)22(lim

1

)22)(1(lim 2

1

2

1

xx

x

xxx

xx. (8)





Matematică 2008



5. Să se determine numerele reale m şi n astfel încât funcţia Rf ),0(: ,

,,

,0,ln)(

exnmx

exxxf să fie derivabilă.

a) e

m1

, 0n ; b) Rm , 1n ; c) e

m1

, 1n ; d) 1m ; 1n ; e) e

m1

, Rn ;

f) e

m1

, 2n .

Soluție:

Studiem derivabilitatea funcţiei în punctul ex .

Limita la stânga )( ex :

)(lim)( xfelex

s 1 (9)

Limita la dreapta )( ex :

nemxfelex

s

)(lim)( (10)

Din relaţiile (9) şi (10) rezultă:

1 nem . (11)

Derivata întâi este:

,,

,0,1

)(/

exm

exxxf . (12)

Atunci:

eef s

1)(/ (13)

şi

mefd )(/ . (14)




Matematică 2008



În concluzie:

em

1 , 0n . (15)


6. Se consideră matricea

xx

xxA , Rx . Să se calculeze suma elementelor

de pe diagonala principală a matricei 3A .

a) x8 ; b) 3x ; c) 38x ; d) 24x ; e) 35x ; f) 0.

Soluție:

Cerinţa din text devine:

22

2

2

22

22

xx

xx

xx

xx

xx

xxAAA . (16)

.44

44

22

2233

33

22

22

23

xx

xx

xx

xx

xx

xxAAA (17)

Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei 3A este egală cu 28x .


7. Fie matricea

121

011

322

A . Atunci valoarea determinantului inversei

matricei A este:

a) 1; b) -1; c) 2; d) 2

1; e) 3; f) 0.




Matematică 2008



Soluție:

Matricea transpusă se defineşte ca fiind:

103

212

112TM . (18)

Matricea adjunctă admite forma:

333231

232221

131211

*

aaa

aaa

aaa

A

461

351

341

, (19)

pentru care s-au calculat

110

211

11

11

a ; (20)

413

221

21

12

a ; (21)

303

121

31

13

a ; (22)

110

111

12

21

a ; (23)

513

121

22

22

a ; (24)

303

121

32

23

a ; (25)

121

111

13

31

a ; (26)

622

121

23

32

a ; (27)

412

121

33

33

a . (28)




Matematică 2008



Determinantul matricei A este:

2 2 3

det. 1 1 0 1

1 2 1

A

. (29)


1

1 4 3

1 5 31 4 3

1 6 4*1 5 3

det. 11 6 4

AA

A

. (30)

Atunci:

1

1 4 3

det. 1 5 3 1

1 6 4

A

. (31)


8. Fie funcţia Rf ),0(: , xxxf ln)( . Primitiva F a lui f , cu proprietatea

4

1)1( F , este:

a) 4

ln2

)(2 x

xx

xF ; b) 4

)(2x

xF ; c) 4

ln2

)(2x

xx

xF ; d) 4

ln2

)(22 x

xx

xF ;

e) )1(ln4

)(2

xx

xF ; f) 4

ln2

)(22 x

xx

xF .

Soluție:

dxx

xxdxxxF ln

2ln)(

'2

xx

ln2

2

dxx2

1c

xx

x

4ln

2

22

. (32)




Matematică 2008



Din relaţia (32) rezultă:

cF 4

1)1( . (33)

Din text:

4

1)1( F . (34)

Corelând condiţiile, rezultă 0c .


Pentru calcule s-au utilizat următoarele:

xxf ln)( ; x

xf1

)(' ; (35)

şi

'2

'

2)(

xxg ;

2)(

2xxg . (36)

9. Aria A a suprafeţei mărginită de parabolele 2xy , 3

2xy şi de dreptele 0x

şi 3x este:

a) 1A ; b) 4

5A ; c) 6A ; d) 3A ; e)

4

11A ; f) 5A .

Soluție:

Aria cerută este:

3

0

22

3dx

xxA

3

0

2

3

2dxx

3

0

3

33

2 x = 6 (u.a.) (37)





Matematică 2009



1. Să se determine n astfel încât 4

,2

,121

nn CC să fie termeni succesivi ai unei

progresii aritmetice.

a) 10; b) 8; c) 12; d) 14; e) 6; f) 9.

Soluție:

Se consideră termenii succesivi ai unei progresii aritmetice:

...,,,,... 11 kkk aaa . (1)

Atunci avem că:

112 kkk aaa 4

12

1 nn

CC 21 44 nn CC (2)

!)2(!2

!4

)!1(

!4

n

n

n

n

2

)1(44

nnn

0892 nn . (3)

Ecuaţia admite soluţiile:

11 n şi 82 n . (4)

Datorită condiţiei 2n impusă de text, se acceptă doar soluţia 8n .


2. Soluţia reală a ecuaţiei 11 xxx este:

a) 1; b) 5

1; c) 2; d)

25

16; e)

4

3; f) 0.

Soluția nr. 1:

Se impun condiţiile necesare şi suficiente pentru stabilirea domeniului de

definiţie al radicalilor:

011

01

0

x

x

x

011

1,0

x

x

11

1,0

x

x 1,0x . (5)




Matematică 2009



Se consideră funcţia:

)(xf 11 xxx . (6)

Prin încercări se calculează:

0)1( f ; 0)51( f ; 0)2516( f ; 0)43( f ; 0)0( f . (7)


Soluția nr. 2:

Se impun condiţiile necesare şi suficiente pentru domeniul de definiţie al

radicalilor:

011

01

0

x

x

x

011

1,0

x

x

11

1,0

x

x 1,0x . (8)

Se rezolvă ecuaţia din text, astfel:

11 xxx 22 )1()1( xxx xxxx 211

xxxx 211 22 )11()2( xx xxx 11214

xxx 11214 22 )12()25( xx xxx 1442025 2

xxx 4442025 2 01625 2 xx 0)1625( xx . (9)

Rezultă:

01 x , (10)

care nu se verifică şi

25

162 x , (11)

care se verifică.





Matematică 2009



3. Să se determine rădăcinile ecuaţiei 033289 1 xx .

a) 1 şi 2; b) -1 şi - 2; c) 1 şi -2; d) 3

1 şi 9; e) 3 şi

9

1; f) 1 şi 2.

Soluție:

Ecuaţia se mai scrie:

033289 1 xx 0332899 xx 0332839 2 xx . (12)

Se notează: xy 3 03289 2 yy , (13)

pentru care

a

by

y

22,1

18

2628 , (14)

de unde rezultă

31 y şi 9

12 y . (15)

Revenind la substituţie, rezultă:

11 x şi 22 x . (16)


4. Să se determine m, astfel ca 1

313

12

201

m .

a) 2 ; b) 2; c) 1; d) -1; e) 0; f) 3.

Soluție:

Din text avem:

1

313

12

201

m 153 m 2 m . (17)





Matematică 2009



5. Suma elementelor matricei X din

01

01

11

12X este:

a) 2; b) 1; c) 3; d) 0; e) 4; f) 5.

Soluție:

Ecuaţia este de forma:

BAX , (18)

în care

11

12A şi

01

01B . (19)

Pentru :

BAX , (20)

înmulţim cu 1A la dreapta şi rezultă

11 ABAAX 1 ABX . (21)

Calculăm 1A . Atunci:

0111

12).(det

A . (22)

Matricea transpusă admite forma:

11

12TA . (23)

Matricea adjunctă admite forma:

21

11

2221

1211*

aa

aaA , (24)

în care

11111

11

a ; (25)




Matematică 2009



1)1(121

12

a ; (26)

1)1(112

21

a ; (27)

22122

22

a . (28)


1

1 1

1 11 2*

1 2det. 1

AA

A

. (29)

Atunci:

1 ABX

21

11

01

01

11

11. (30)

Atunci suma elementelor matricei X este egală cu 4.



1

2 2

)23(lim

x

xxx .

a) 1; b) 0; c) e ; d) ; e) 2

1; f)

e

1.

Soluție:

Limita este de tipul ( 0 ).

Fie:

1

1

2)( 2

)23()()( xxh xxxgxf , (31)

de unde se poate scrie că

)(ln)()( xgxhexf , (32)




Matematică 2009



şi deci

)(lim xfx

)(ln)(1

1

2 lim)23(lim2 xgxh

x

x

xexx

. (33)

Atunci:

1

)23ln(lim

2

2

x

xx

x

'2

'2

)1(

))23(ln(lim

x

xx

x

'22

'2

)1(23

)23(lim

xxx

xx

x 3 2

2 3lim 0

2 6 4x

x

x x x

. (34)


7. Fie funcţia RRf : , 2

2

)(

x

exf . Să se calculeze )1("f .

a) e ; b) e ; c) e

1; d) e2 ; e)

e

2; f) 0.

Soluție:

Prima şi a doua derivată sunt:

2'2'

22

)()(

xx

exexf , (35)

respectiv

22'2"

22

)1()()(

xx

exexxf . (36)

Atunci:

ef 2)1(" . (37)





Matematică 2009



8. Dacă

1

0 2 )1)(1( xx

dxI , atunci:

a) I4

2ln4

1 ; b) I 16ln ; c) I

8

; d) I

22ln

4

1 ; e) I

82ln

4

1 ;

f) I8

2ln2

1 .

Soluție:

Deoarece:

11)1)(1(

122

x

CBx

x

A

xx )1)(()1(1 2 xCBxxA , (38)

rezultă

1CA ; 0 BA ; 0CB . (39)

Din:

0

0

CB

BA

0

0

CB

BA 0CA . (40)

Din:

0

1

CA

CA

2

1 CA . (41)

Din:

2

10

A

BA

2

1B . (42)

Rezultă atunci că:

)1(2

1

1

1

2

1

)1)(1(

122

x

x

xxx. (43)




Matematică 2009



Atunci:

1

0 2 )1)(1( xx

dxI

1

0

2

1

01

)1(

2

1

12

1

x

dxx

x

dx

1

0

2

1

0

2

1

012

1

12

1

12

1

x

x

x

dx

x

dx

2

2ln

2

1

42

12ln

2

1

82ln

4

1 . (44)


Pentru calcule s-au utilizat:

1I 2ln1ln1

1

0

1

0

x

x

dx; (45)

2I41

1

0

1

0

2

xarctgx

dx; (46)

3I dxx

x

1

0

2 1 dx

x

x

1

0

2 1

2

2

1dx

x

x

1

0

2

2

1

)'1(

2

1 dxx '

1

0

2 )1ln(2

1

1

0

2 )1ln(2

1 x

2

2ln. (47)

9. Să se determine aria domeniului din plan cuprins între graficele funcţiilor

2)(

xx eexf

şi

2)(

xx eexg

, ]1,0[x .

a) 2

1; b)

e

e 1; c) 0; d)

e

e

2

1; e) 1; f)

e

e

2

2.

Soluție:

Aria domeniului plan este egală cu:

1

0

))()(( dxxgxfA

1

0

)( dxshxchx

dxeeee xxxx1

022

1

0

dxe x dxe x '

1

0

)(

1

0

xe )( 01 eee

e 1. (48)





Matematică 2010



1. Se consideră ecuaţia 022 mxx cu soluţiile 1x şi 2x . Să se determine

Rm astfel încât 42

2

2

1 mxx .

a) ),1()0,( m ; b) ]1,(m ; c) ),2()0,( m ; d) )1,0(m ;

e) )1,1[m ; f) ),2( m .

Soluție:

Aplicăm relaţiile lui Viète:

ma

bxx 21 şi 221

a

cxx . (1)

Atunci:

21

2

21

2

2

2

1 2)( xxxxxx 42 m 4 m 02 mm . (2)

Se rezolvă ecuaţia:

02 mm , (3)

care admite rădăcinile

01 x şi 12 x . (4)


02 mm )1,0(m . (5)


2. Soluţiile ecuaţiei 0639 xx sunt:

a) 1 şi 1; b) 1; c) 2 şi 3; d) -2 şi 3; e) 0; f) -3 şi 3.

Soluție:

Ecuaţia din text se poate scrie:

0639 xx 06332 xx . (6)




Matematică 2010



Se notează:

yx 3 062 yy . (7)

Discriminantul ecuaţiei în y este:

y acb 42 25, (8)

iar rădăcinile acesteia sunt:

2

51

22,1

a

by

y31 y şi 22 y . (9)

Revenind la substituţie:

33 x 1 x , (10)

care se acceptă şi

23 x 2log3x , (11)

care nu se acceptă.


3. Numărul 2

5

4

6 ACx are valoarea:

a) 35; b) 28; c) 40; d) 11; e) 15; f) 20.

Soluție:

2

5

4

6 ACx !3

!5

!2!4

!6

!3

54!3

!2!4

65!4352015 . (12)





Matematică 2010



4. Se consideră matricea

121

011

322

A . Să se calculeze determinantul

matricei 2A .

a) 0; b) -1; c) 2; d) -2; e) 7; f) 1.

Soluție:

Avem:

221

331

983

121

011

322

121

011

3222 AAA . (13)

Atunci:

2

3 8 9

det. 1 3 3 1

1 2 2

A

. (14)


5. Modulul numărului complex 8)1( iz este:

a) 32; b) 82 ; c) 16; d) 83 ; e) 1; f) 0.

Soluție:

Deoarece:

ii 2)1( 2 , (15)

atunci

8)1( iz = 4)2( i .161162 44 i (16)





Matematică 2010



6. Fie funcţia RRf : ,

1,7

1,1)(

2 xbx

xaxxf . Pentru ce valori Rba , ,

funcţia f este derivabilă pe R?

a)

4

2

b

a; b) 02 ba ; c)

12

6

b

a; d)

6

0

b

a; e)

6

12

b

a; f)

7

1

b

a.

Soluție:

O funcţie derivabilă este o funcţie continuă.

Din condiţia de continuitate în punctul:

1x , (17)

respectiv

)1()1( ds ll , (18)

rezultă

6 ba . (19)

Din condiţia de derivabilitate în punctul:

1x , (20)

respectiv

)1()1( ''

ds ff , (21)

rezultă

ba 2 . (22)

Rezultă după calcule:

12a , 6b . (23)





Matematică 2010



7. Fie .,)( 34 Rxexxxf x Să se calculeze ).0('f

a) 0; b) 4; c) -1; d) e1 ; e) 23e ; f) e4 .

Soluție:

Deoarece:

xexxxf 34)( , (24)

atunci

xexxf 33' 341)( , (25)

şi

4)0(' f . (26)


8. Să se determine Rm , 0m astfel încât m

dxe xmx 12

1

ln2

.

a) 2; b) 4; c) - ln2; d) ln2; e) 3; f) 1.

Soluție:

Se face substituţia:

xey ln yx . (27)

Atunci:

I dxe xmx

2

1

ln2

dyyemy 2

1

2 dyedymyem

mymy '

2

1

'2

2

1

232

2

1

m

eem

mm 1

2

1 2 022 mm ee . (28)




Matematică 2010



Notăm:

tem 022 tt . (29)

Se acceptă doar valoarea:

2 met 2lnm . (30)


9. Fie funcţia Rf ),0(: , x

xxf

ln)( . Să se calculeze aria suprafeţei plane

mărginită de graficul funcţiei f , dreptele 2

1

ex , 2ex şi axa Ox.

a) 4; b) 2

2

2

1

e

e ; c)

2

2

2

1

2 e

e ; d)

ee

1 ; e) 0; )f 4 .

Soluție:

Aria cerută este dată de:

I dxx

xe

e

2

2

1

ln dxxx ln){ln ' dx

x

xx

e

e

e

e

2

2

2

2 1

1

2 lnln . (31)

Notând:

dxx

xI

e

e

2

2

1

ln, (32)

rezultă în raport cu relaţia (31)

dxx

xI

e

e

2

2

1

ln2 . (33)




Matematică 2010



Atunci:

I 2

2

1

2ln

2

1 e

e

x 2

1 2222 lnln ee 4. (34)


Pentru rezolvare, s-a realizat integrarea prin părţi în care:

xxf ln)( ; x

xf1

)(' ; '' )(ln)( xxg ; xxg ln)( . (35)




Matematică 2011



1. Determinaţi rădăcina 2x a ecuaţiei 0303 2 mxx , unde Rm , ştiind că

ecuaţia admite rădăcina 21 x .

a) 1; b) 3

1; c) 0; d) 5; e)

3

1 ; f)

3

5.

Soluție:

Fie polinomul:

303)( 2 mxxxf . (1)

Dacă 2x este rădăcină a ecuaţiei din text dată de:

0303 2 mxx , (2)

atunci

0)( 2 xf 0303 2

2

2 mxx 030223 2 m , (3)

rezultă

21m . (4)

Înlocuind valoarea astfel determinată în ecuaţia din text, rezultă:

030213 2 xx 01072 xx , (5)


21 x şi 52 x . (6)


2. Aflaţi suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei exponenţiale: 02252 112 xx .

a) 5; b) 16; c) 4; d) 9; e) 31 ; f) 12.

Soluția nr. 1:


02252 112 xx 022

25

2

22

xx

042522 xx . (7)




Matematică 2011



Se notează:

yx 2 0452 yy . (8)

Discriminantul ecuaţiei admite valoarea:

942 acby (9)

cu soluţiile,

2

35

22,1

a

by

y41 y şi 12 y . (10)

Din:

242 1 xx , (11)

iar din

012 2 xx . (12)

Soluția nr. 2:

Ecuaţia din text, se poate scrie:

02252 112 xx 022522 1)1(2 xx . (13)

Se notează:

yx 12 022522 2 yy , (14)

care se rezolvă ca în cazul soluţiei nr. 1.

În concluzie:

42

2

2

1 xx . (15)


3. Fie S mulţimea soluţiilor ecuaţiei 136

log

xx . Atunci:

a) 0S ; b) 6,6S ; c) 6S ; d)

6

1,6S ; e)

6

1S ; f) 36S .




Matematică 2011



Soluție:

Din condiţiile necesare pentru verificarea domeniului maxim de definiţie,

avem:

0x , 1x ; 036 x , (16)

de unde rezultă

1\),0( x . (17)

Soluția nr. 1:

Rezolvând ecuaţia avem:

136

log

xx 1log36log xxx 236log x 236 x 62,1 x . (18)

Se acceptă doar soluţia:

6x 6S . (19)


Soluția nr. 2:

Utilizând proprietăţile logaritmilor, avem:

136

log

xx 236 x 62,1 x . (20)

Se acceptă doar soluţia:

6x 6S . (21)





Matematică 2011



4. Calculaţi numărul !2

3

4

2

4 ACa

.

a) 9a ; b) 15a ; c) 2

15a ; d) 14a ; e) 1/3; f) 12.

!2

3

4

2

4 ACa

15

2

246

2

!1

!4

!2!2

!4

. (22)


5. Fie numărul complex 2

3

2

1 iz . Calculaţi zzr , unde z este conjugatul

numărului complex z.

a) 2r ; b) 4r ; c) 3r ; d) 1r ; e) 4

1r ; f)

2

1r .

Soluție:

Deoarece:

2

3

2

1 iz , (23)

conjugatul lui z este

2

3

2

1 iz . (24)

Atunci:

zzr

2

3

2

1

2

3

2

1ii

22

2

3

2

1i 1

4

3

4

1 . (25)





Matematică 2011



6. Fie matricea

41

631

21

m

x

A , unde Rxm , . Determinaţi valoarea lui m astfel

încât determinantul matricei A să nu depindă de x.

a) 2m ; b) 1m ; c) 1m ; d) 3m ; e) 0m ; f) 4m .

Soluție:

Din text:

1 2

det. 1 3 6

1 4

x

A

m

)13(2)13(426412 xmxmmxx

)2)(13(2)42)(13( mxmx . (26)

Pentru ca determinantul matricei A să nu depindă de x, este necesar şi

suficient ca:

det. 0A 2m . (27)


7. Fie o primitivă a funcţiei RRf : , 11

2)(

2

x

xxf . Calculaţi valoarea )0("F .

a) 2; b) 11

2; c)

121

2; d)

2

11; e) 0 ; f)

11

4.

Soluție:

Din text:

dx

x

xdx

x

xdxxfxF

11

)11(

11

2)()(

2

'2

2 dxx

'2 )11ln( cx )11ln( 2 . (28)




Matematică 2011




)(11

2)11ln()(

2

'2' xfx

xxxF

, (29)

respectiv

'

2

'"

11

2)()(

x

xxfxF

22

2

)11(

222

x

x. (30)

Atunci:

11

2

121

22)0(" F . (31)


8. Calculaţi aria domeniului plan mărginit de graficul funcţiei xexxf 3)( , axa

Ox, dreapta 0x şi dreapta 1x .

a) 3

12 3 e; b)

9

2 3e; c)

3

3e; d)

9

12 3 e; e)

9

13 e; f)

9

13 3 e.

Soluție:

Integrala care trebuie calculată este:

1

0

3 dxexI x

1

0

'3 )(3

1dxex x =

dxeex xx

1

0

31

0

3

3

1

1

0

33

3

1dxee x

= dxee x

1

0

33

3

1

3

1 )1(

9

1

3

1 33 ee =9

12 3 e. (32)


Pentru rezolvare, s-a utilizat integrarea prin părţi:

xxf )( ; 1)(' xf ; '3' )( xexg ; xexg 3' )( (33)




Matematică 2011



şi

dxeI x

1

0

3

1 dxe x

'1

0

3 )(3

1)1(

3

1 3 e . (34)


0,

0,)(

12

2

xe

xnmxxxf

x. Determinaţi parametrii reali m

şi n astfel încât funcţia f să fie derivabilă pe R.

a) e

m2

, e

n1

; b) e

m2

, e

n2

; c) e

m1

, e

n1

; d) em , e

n1

; e) em 2 , e

n1

;

f) e

m1

, e

n2

.

Soluție:

Studiem continuitatea în punctul 0x .

Limita la stânga acestui punct, este egală cu:

nnmxxxfl

x

x

x

xs

)(lim)(lim 2

0

0

0

0. (35)

Limita la dreapta acestui punct este egală cu:

eexfl x

x

x

x

xd

1lim)(lim 12

0

0

0

0

. (36)

Din condiţia:

ds ll e

n1

. (37)

Studiem derivabilitatea funcţiei din text:

0

)0()(lim)0(

0

0

'

x

fxff

x

xs

0

02

0

0lim

x

mxx

x

x

'

'2

0

0 )(

)(lim

x

mxx

x

x mmx

x

x

)2(lim

0

0. (38)




Matematică 2011



0

)0()(lim)0(

0

0

'

x

fxff

x

xd

'

'112

0

0 )(

)(lim

x

ee x

x

x 12

0

02lim

x

x

xe

e

2. (39)

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia să fie derivabilă în

punctul 0x este dată de:

)0('sf )0('

df e

m2

. (40)





Matematică 2012



1. Fie 1x , 2x rădăcinile ecuaţiei 0)1(2 mxmx . Să se determine toate valorile

parametrului real m astfel încât 102

2

2

1 xx .

a) 3,1m ; b) 3,0m ; c) 1,1m ; d) 2,2m ; e) 2m ; f) 3m .

Soluția nr. 1:

Relaţiile lui Viéte sunt:

121 ma

bxx , (1)

respectiv

ma

cxx 21 . (2)

Atunci:

1012)1(2)( 22

21

2

21

2

2

2

1 mmmxxxxxx 92 m , (3)

de unde rezultă că

3m . (4)

Soluția nr. 2:

Deoarece 1x , 2x sunt rădăcinile ecuaţiei:

0)1(2 mxmx , (5)

rezultă

0)1( 1

2

1 mxmx , (6)

respectiv

0)1( 2

2

2 mxmx . (7)

Adunând membru cu membru ultimele ecuaţii, rezultă:

02)1()( 21

2

2

2

1 mmxxxx 02)1( 22

2

2

1 mmxx , (8)




Matematică 2012



de unde

1012)1( 222

2

2

1 mmmxx 92 m , (9)

astfel că

3m . (10)


2. Calculaţi

3

2

3

2

1

ia .

a) ia ; b) 1a ; c) 1 ia ; d) 2

1a ; e) 31 ia ; f) ia 2 .

Soluția nr. 1:

Din text avem:

3

2

3

2

1

ia

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1iii 1 . (11)


Soluția nr. 2:

Se utilizează relaţia lui Moivre:

nini n sincos)sin(cos , Nn . (12)

Atunci:

101sincos3

sin3

cos2

3

2

133

iiiia

. (13)





Matematică 2012



Soluția nr. 3:

Din text:

3

33

)31(8

131

2

1

2

3

2

1iiia

1)31()31()31(8

1 iii . (14)


3. Să se determine mulţimea soluţiilor ecuaţiei: 013103 342 xx .

a) 3 ; b) 5;1 ; c) 2;2 ; d) 3;1 ; e) 1;0 ; f) 4;0 .

Soluția nr. 1:


013103 342 xx 013

310

3

334

2

xx

08133032 xx . (15)

Se notează:

yx 3 081302 yy . (16)

Soluţiile ecuaţiei sunt:

2

330

22,1

a

by , (17)

de unde rezultă

271 y şi 32 y . (18)

Din:

3273 1 xx , (19)




Matematică 2012



iar din

133 2 xx (20)


Soluția nr. 2:


013103 342 xx 0133

103 2)2(2 xx 0331033 2)2(2 xx . (21)

Se notează:

yx 23 03103 2 yy , (22)

de unde

6

810

22,1

a

by

y, (23)

de unde rezultă

31 y şi 1

2 3y . (24)

Din

333 1

2 xx , (25)

iar din

133 2

12 xx . (26)


4. Găsiţi toate numerele naturale k pentru care 166 kC .

a) 5,3,1 ; b) 6,4,2,0 ; c) 6,5,4,2,1,0 ; d) 3 ; e) 7,2,1 ; f) 6,3,0 .




Matematică 2012



Soluție:

Condiţia necesară este dată de:

k6 , Nk . (27)

Condiţia de suficienţă este dată de verificarea valorilor lui k în inecuaţie.

Din condiţia de necesar:

k6 , Nk , (28)

rezultă

6,5,4,3,2,1,0k . (29)

Pentru realizarea condiţiei de suficienţă se verifică valorile numerice ale lui k

în inecuaţie.

Atunci:

161!6!0

!60 0

66

CCk k ; (30)

166!5!1

!61 1

66

CCk k ; (31)

1615!4!2

!62 2

66

CCk k ; (32)

1620!3!3

!63 3

66

CCk k ; (33)

1615!2!4

!64 4

66

CCk k ; (34)

166!1!5

!65 5

66

CCk k ; (35)

161!6!0

!66 6

66

CCk k . (36)




Matematică 2012



În concluzie, soluţia inecuaţiei din text este:

6,5,4,2,1,0k . (37)


5. Să se determine valorile parametrului real m pentru care sistemul

332

2

1

zyx

zmyx

zymx

este compatibil determinat.

a) 2,1\Rm ; b) 5,0m ; c) 1m ; d) 2m ; e) 1,0\Rm ; f) 2,0\Rm .

Soluție:

Se notează cu A matricea sistemului din text.

Pentru ca sistemul să respecte cerinţa din text, este necesar şi suficient ca:

det. 0A . (38)


1 1

det. 1 1 0

2 1 3

m

A m

. (39)

Rezultă:

0)1( mm , (40)

sau

1,0m 1,0\Rm . (41)





Matematică 2012



6. Fie )(2 RMX soluţia ecuaţiei matriciale:

28

77

12

21X .

Calculaţi determinantul D al matricei X.

a) 14D ; b) 25D ; c) 4D ; d) 7D ; e) 3D ; f) 5D .

Soluție:

Se consideră:

12

21A (42)

şi

28

77B . (43)

Se poate scrie că:

BXA . (44)

Înmulţim ecuaţia anterioară la stânga cu 1A şi rezultă:

BAXAA 11 BAX 1 , (45)

în care

10

012

11 IAAAA , (46)

1A este matricea inversă pe care trebuie să o evaluăm şi 2I este matricea unitate care

reprezintă un element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor în

mulţimea )(2 RM .

Calculăm inversa matricei A.




Matematică 2012



Matricea transpusă este definită prin:

12

21TA . (47)

Se defineşte matricea:

2221

1211*

aa

aaA , (48)

în care

11)1( 11

11 a ; (49)

22)1( 21

12 a ; (50)

22)1( 12

21 a ; (51)

11)1( 22

22 a . (52)

Deci:

12

21*A . (53)

Atunci matricea inversă admite exprimarea:

12

21

3

1

3).(det

**1 A

A

AA . (54)

Atunci:

BAX 1

28

77

12

21

3

1

42

13. (55)

În concluzie:

).(det XD 14)2(1242

13

. (56)





Matematică 2012



7. Fie RRf : , .)1()( 2 xemxxxf Găsiţi toate valorile parametrului real m

pentru care funcţia f admite două puncte de extrem.

a) 1m ; b) 0m ; c) 0m ; d) 2m ; e) 1m ; f) 0m .

Soluție:

Determinarea extremelor funcţiei f pentru care nu se specifică natura lor,

implică analiza şi evaluarea expresiei:

0)(/ xf . (57)

Deci:

0)(/ xf 01)2(2 mxmx . (58)

Pentru a avea două puncte de extrem, este necesar, dar nu şi suficient să existe

1x , 2x pentru care 21 xx .

Studiind semnul funcţiei:

0)(/ xf , (59)

rezultă că între rădăcini avem semnul )( , iar în afara lor semnul )( , astfel că există

două extreme, primul de maxim, al doilea de minim, nefiind astfel nevoie să se mai

calculeze derivata a doua, prin intermediul căreia în general, se determină natura

extremelor.

Condiţia de suficienţă este dată de:

0 x . (60)

Calculând pe x , rezultă:

0)1(14)2(4 222 mmmcabx , (61)

care este adevărată pentru

0m 0\Rm . (62)





Matematică 2012



8. Să se calculeze integrala: dxxxI 2012

1

0

2011 1 .

a) 3018

122 I ; b) 1I ; c)

2

3I ; d)

2012

1I ; e)

1006

122 I ; f) 0I .

Soluția nr. 1:

Se face schimbarea de variabilă:

20121 xt dxxdt 20112012 . (63)

Atunci:

dxxxI 2012

1

0

2011 1

dttx

dttx

2

1

2011

2

1

2011

2012

1

2012

2

1

3

3

2

2012

1t

3018

122 . (64)


Soluția nr. 2:


2012xt dxxdt 20112012 . (65)

Atunci:

dxxxI 2012

1

0

2011 1 .12012

1

20121

1

0

2011

1

0

2011 dttx

dttx

(66)


yt 1 dydt . (67)

Atunci:

dyydttI

2

1

1

02012

11

2012

1

2

1

3

3

2

2012

1y

3018

122 . (68)





Matematică 2012



9. Să se calculeze aria domeniului plan mărginit de graficul funcţiei RRf : ,

3)(

2

x

xxf , axa 0x şi dreptele 1x şi 2x .

a) 7ln1 ; b) 2

1ln ; c) 31 ; d)5 ; e) 2ln ; f)

4

7ln

2

1 .

Soluția nr. 1:

Aria domeniului plan este egal cu:

3

1

)()( dxxFxf

2

1

2 3dx

x

x

dx

x

x2

1

2 3

2

2

1

dx

x

x2

1

2

/2

3

)3(

2

1

dxx

/2

1

2 )3ln(2

1

2

1

2 )3ln(2

1x

4

7ln

2

1 . (69)


Soluția nr. 2:


2xt xdxdt 2 . (70)

Atunci, aria domeniului plan este egal cu:

3

1

)()( dxxFxf

4

13

2

t

dt

4

132

1

t

dt

dt

t

t4

1

/

3

)3(

2

1

dtt

/4

1

)3ln(2

1

4

1)3ln(

2

1t

4

7ln

2

1 . (71)





Matematică 2013



1. Aflaţi mulţimea M a tuturor valorilor parametrului real a pentru care matricea

a

aA

1

1 nu este inversabilă.

a) 2M ; b) 0M ; c) 4,4M ; d) 1,1M ; e) 2M ; f) 3M .

Soluție:

Condiţia necesară şi suficientă este dată de:

det.( ) 0A 01

1

a

a 012 a 1,1a . (1)



0 ,1

0 ,

xx

xbaxxf şi 22 baS . Determinaţi valoarea

lui S, în cazul în care f este derivabilă.

a) 0S ; b) 2S ; c) 2S ; d) 3S ; e) 1S ; f) 1S .

Soluție:

O funcţie derivabilă este întotdeauna o funcţie continuă.

Studiem continuitatea funcţiei f în punctul 0x .

Atunci, limitele la stânga şi la dreapta punctului definit de text sunt:

bbaxxfl

xx

xx

s

)(lim)(lim

00

00

, (2)

şi

1)1(lim)(lim

00

0.0

xxfl

xx

xx

d . (3)

Din condiţia că ds ll , se deduce că funcţia f este continuă în punctul 0x

dacă şi numai dacă 1b .




Matematică 2013



Studiem derivabilitatea funcţiei f în punctul 0x :

0

)0()(lim)0(

0

0

'

x

fxff

x

xs ax

ax

x

x

0

0lim , (4)

şi

0

)0()(lim)0(

0

0

'

x

fxff

x

xd

0

11lim

0

0 x

x

x

x1lim

0

0

x

x

x

x . (5)

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia să fie derivabilă în

punctul 0x este dată de:

)0('sf )0('

df 1a . (6)

În aceste condiţii,

222 baS , (7)


3. Valoarea limitei 1

lim4

2

n

nn

n este:

a) 2

1; b) 1; c) 4 ; d) 2 ; e) 1 ; f) 0 .

Soluție:

Deoarece 0n , rezultă:

1lim

4

2

n

nn

n

4

4

2

11

lim

nn

nn

n

4

2

2

11

11

lim

nn

nn

n

.1

11

11

lim

4

n

nn

(8)





Matematică 2013



4. Determinaţi mulţimea RD a tuturor valorilor parametrului real 1a pentru

care sistemul liniar

11

11

yax

ayx este compatibil determinat.

a) ,1D ; b) ,1D ; c) ,00,1D ; d) ,00,1D ; e) ,1D ;

f) 0,1D .

Soluția nr. 1:

Pentru ca sistemul să fie compatibil determinat este necesar şi suficient să fie

îndeplinită condiţia:

0

11

11

a

a 011 a 11 a 0a . (9)

Din condiţiile:

0a şi 1a , (10)

rezultă

,10\,1aD . (11)

Soluția nr. 2:

Se rezolvă sistemul:

11

11

yax

ayx

(12)

prin eliminarea termenului x din prima ecuaţie a sistemului

11

)1(/11

yax

aayx

11

)1(/111

yax

aayax

.11

1)1(1

yax

aayax

(13)




Matematică 2013



Adunând membru cu membru ecuaţiile din sistem rezultă:

11 aaya

ay

11 . (14)

Din sistemul de ecuaţii:

a

ay

ayx

11

11

(15)

rezultă

a

ax

11 . (16)

În concluzie, rădăcinile sistemului sunt:

a

ax

11 (17)

şi

a

ay

11 . (18)

Pentru ca sistemul să fie compatibil determinat, este necesar şi suficient ca

rădăcinile sale să îndeplinească simultan condiţiile:

0

1

a

a. (19)

În concluzie:

,00,10,1 aD . (20)





Matematică 2013



5. Calculaţi integrala definită

1

0

22 14 dx

x

xI .

a) 4I ; b) 4I ; c) 2I ; d) 2I ; e) 1I ; f) 1I .

Soluția nr. 1:

1

0

2

1

1

22

1

0

22

1

0

22 )1(2

)1(

22

)1(4

14

t

dt

x

xdxdx

x

xdx

x

xI

.11

22

'2

1

2

1

2

dy

yy

dy

(21)

Pentru calcule s-a utilizat substituţia:

2xt ; dacă 00 tx . (22)

Dacă:

11 tx şi xdxdt 2 . (23)

Pentru:

yt 1 cu 10 yt şi 21 yt şi dydt . (24)


Soluția nr. 2:

1

0

2

1

1

22

1

0

22

1

0

22 )1(2

)1(

22

)1(4

14

t

dt

x

xdxdx

x

xdx

x

xI

.11

12

1

12

1

0

'1

t

dtt

(25)


2xt ; dacă 00 tx . (26)




Matematică 2013



Dacă:

11 tx şi xdxdt 2 . (27)


Soluția nr. 3:

.1

12

122

22

)1(4

14

2

1

'3

1

2

1

2

2

1

2

1

0

22

1

0

22

t

dttt

dt

t

xdxdx

x

xdx

x

xI

(28)


12 xt ; dacă 10 tx . (29)

Dacă:

21 tx şi xdxdt 2 . (30)


6. Derivata funcţiei RRf : , xxxf 33 este:

a) 3ln34

2xx

xf ; b) xxxf 33 2 ; c) 3ln32 xxxf ; d) xxxf 3

4

2

;

e) 3ln33 2 xxxf ; f) xxxf 32 .

Soluție:

Din calcul rezultă:

.3ln33)3()(' 2'3 xx xxxf (31)





Matematică 2013



7. Aflaţi mulţimea M a tuturor valorilor parametrului real m pentru care funcţia

Rf ),0(: ,

1,0 ,1

,1 ,ln

xx

xxmxf este continuă.

a) 1M ; b) 0M ; c) 1M ; d) ,0M ; e) RM ; f) 0\RM .

Soluție:

Studiem continuitatea funcţiei f în punctul 1x .

Atunci:

0)1(lim)(lim

11

11

xxfl

xx

xx

s (32)

şi

0lnlim)(lim

11

1.1

mxmxfl

xx

xx

d . (33)

Din condiţia ds ll se deduce că funcţia f este continuă în punctul 1x dacă şi

numai dacă Rm .


8. Fie 16

2lim

42

x

xL

x. Aflaţi valoarea numărului L.

a) 2

1L ; b)

64

1L ; c)

4

1L ; d) L ; e)

16

1L ; f)

32

1L .

Soluția nr. 1:

0

0

42 16

2lim

x

xL

x

)4)(2)(2(

2lim

22 xxx

x

x.

32

1

)4)(2(

1lim

22

xxx (34)




Matematică 2013



Soluția nr. 2:

Utilizăm regula lui L’Hospital:

0

0

42 16

2lim

x

xL

x

'4

'

2 )16(

)2(lim

x

x

x.

32

1

4

1lim

32

xx (35)


9. Mulţimea tuturor soluţiilor inecuaţiei 0211log 1 xxx este:

a) 2,1 ; b) 1 ; c) 2,1 ; d) 2,1 ; e) 2,1 ; f) 2,1 .

Soluție:

Se impun condiţiile care relevă existenţa domeniului maxim de definiţie pentru

toate funcţiile:

- pentru logaritm,

1/,0 x ; (36)

- pentru radicali,

02

01

x

x. (37)

Din condiţiile de mai sus rezultă:

2,

,1

1/,0

x

x

x

2,1x . (38)

Rezolvarea inecuaţiei din text implică:

021 xx (39)

care este adevărată 2,1 x .

În concluzie, răspunsul corect este f).




Matematică 2014



1. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 42 x este:

a) 3,0 ; b) 6,2 ; c) 5,1 ; d) 7,4 ; e) 3,1 ; f) 8,2 .

Soluția nr. 1:

Conform textului avem:

42 x 42 x 61 x , 22 x . (1)

În concluzie:

6;2x . (2)


Soluția nr. 2:

Se explicitează modulul:

2,2

2,22

xx

xxx

2,,2

,2,2

xx

xx. (3)

Cazul nr. 1:

22 xx , pentru ,2x . (4)

Ecuaţia din text devine:

42 x 42 x ,261x , (5)

deci 61 x este soluţie a ecuaţiei din text.

Cazul nr. 2:

xx 22 , pentru 2,x . (6)




Matematică 2014




42 x 42 x 2,22 x , (7)

deci

22 x , (8)

este soluţie a ecuaţiei din text.

În concluzie:

6;2x . (9)


Soluția nr. 3:


42 x 422x 4442 xx . (10)

Ridicând la puterea a doua ultima relaţie, obţinem:

01241644 22 xxxx . (11)

Discriminantul ecuaţiei este:

acbx 42 64121442

. (12)

Rădăcinile ecuaţiei sunt:

2

84

22,1

a

bx

x . (13)

În concluzie:

6;2x . (14)





Matematică 2014



Soluția nr. 4:


42)( xxf , RRf : . (15)

Se verifică din grilă, valorile numerice ale lui x pentru care:

0)( xf . (16)

Se observă că, singurele valori sunt:

2x , 6x . (17)

În concluzie:

6;2x . (18)


Soluția nr. 5:

Se realizează graficul funcţiilor:

2,2

2,22)(

xx

xxxxf

2,,2

,2,2

xx

xx (19)

şi

4)( xg . (20)

Soluţiile ecuaţiei din text sunt date de intersecţia celor două grafice:

)()(6;2 xgxfRx . (21)





Matematică 2014



Soluția nr. 6:


042)( xxf . (22)

2,2

2,642)(

xx

xxxxf

2,,2

,2,2

xx

xx. (23)

Cazul nr. 1:

Pentru:

6)( xxf , ;2x , (24)

ecuaţia din text devine:

;260)( xxf , (25)

deci

61 x , (26)


Cazul nr. 2:

Pentru:

xxf 2)( , 2;x . (27)


;220)( xxf , (28)

deci

22 x , (29)





Matematică 2014



În concluzie:

6;2x . (30)


Soluția nr. 7:

Notăm:

2 xy . (31)


4y 4y 61 y , 22 y . (32)


6;2x . (33)


2. Suma soluţiilor ecuaţiei 024112 xx este:

a) -3; b) 0; c) 1; d) 5; e) -7; f) -11.

Soluția nr. 1:


acbx 42 252414112 . (34)


2

511

22,1

a

bx

x . (35)




Matematică 2014



În concluzie, rădăcinile ecuaţiei sunt:

3;8 x . (36)

Suma soluţiilor ecuaţiei din text este egală cu valoarea 11 .


Soluția nr. 2:

Ecuaţia din text este o ecuaţie de gradul doi.

Conform teoriei, orice ecuaţie de grad doi se poate scrie sub forma:

02 PSxx , (37)

în care

21 xxS , (38)

reprezintă suma rădăcinilor ecuaţiei din text şi

21 xxP , (39)

reprezintă produsul rădăcinilor ecuaţiei.

Rezultă:

11S . (40)


Soluţia nr. 3:


2411)( 2 xxxf , RRf : . (41)

Se verifică din grilă, valorile lui x pentru care:

0)( xf . (42)




Matematică 2014



Singurele valori care se acceptă sunt:

8x , 3x , (43)

astfel că

11S . (44)


3. Fie funcţia RRf : , xexxf 23)( . Atunci:

a) 3)0(' f ; b) 3)0(' f ; c) 0)0(' f ; d) 1)0(' f ; e) 1)0(' f ; f) 2)0(' f .

Soluţie:

Derivata întâi admite expresia:

'2' 3)( xexxf xex 6 . (45)

Atunci

1)0(' f . (46)


4. Fie polinomul baxxxxP 24 2)( ; pentru ce valori ale lui a şi b, polinomul

P este divizibil cu polinomul 12 x ?

a) 2a , 1b ; b) 1a , 2b ; c) 1a , 0b ; d) 2a , 0b ; e) 3a , 2b ;

f) 0a , 1b .

Soluţia nr. 1:

Deoarece, polinomul din text este divizibil cu 12 x , acesta este divizibil în

mod separat cu 1x , respectiv cu 1x , deci:

0)1( P , (47)




Matematică 2014



respectiv

0)1( P . (48)

Atunci:

0)1( P 01ba , (49)

respectiv

0)1( P 01 ab . (50)

Rezolvând sistemul de ecuaţii (49) şi (50) rezultă:

0a , 1b . (51)

Polinomul căutat admite expresia:

2224 112)( xxxxP . (52)


Soluţia nr. 2:

Se fac notaţiile:

deîmpărţit D baxxx 24 2 , (53)

împărţitorÎ 12 x . (54)

Deoarece, polinomul din text este divizibil cu 12 x , atunci:

D C Î R , (55)

în care

câtC 12 x , (56)

şi

rest 01 baxR . (57)




Matematică 2014



Rezolvând ecuaţia (59) rezultă:

0a , 1b . (58)


5. Valoarea determinantului 22

13 este:

a) 6; b) 0; c) 1; d) 2; e) 5; f) 4.

Soluţia nr. 1:

Conform cu noţiunile de teorie care rezidă din algebră, rezultă:

426122322

13 . (59)


Soluţia nr. 2:

Conform cu cerinţa textului, un alt mod de a calcula determinantul este:

426)1(21)1(2322

132111 . (60)


6. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 0452 xx este:

a) 2,0 ; b) 0,3 ; c) 0,1 ; d) 4,1 ; e) 5,2 ; f) 3,1 .

Soluție:


0452 xx . (61)




Matematică 2014




acbx 42 9414)5( 2 . (62)


2

35

22,1

a

bx

x . (63)


41 x , 12 x . (64)

Deoarece, între rădăcini avem semnul minus, rezultă:

4,1x . (65)


7. Aria cuprinsă între graficul funcţiei 1)( 2 xxf , axa Ox şi dreptele verticale

0x şi 3x este:

a) 4; b)10; c) 14; d) 6; e) 5; f) 12.

Soluție:

Aria cerută este egală cu:

dxxA

3

0

2 1

3

0

3

3x

x 120

3

03

3

3 33

. u.a. (66)


8. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 422

xx este:

a)

3

1,

2

1; b) 2,0 ; c) 3,1 ; d) 3,3 ; e)

3

1,

2

1; f) 1,2 .




Matematică 2014



Soluție:

Conform cu textul, rezultă:

422

xx 2222

xx 22 xx 022 xx . (67)


acbx 42 9)2(1412 . (68)


2

31

22,1

a

bx

x . (69)


21 x , 12 x . (70)

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este:

1,2x . (71)


9. Soluţia ecuaţiei 53 xx este:

a) 4x ; b) 0x ; c) 2x ; d) 3x ; e) 2x ; f) 1x .

Soluţia nr. 1:

Se impune stabilirea domeniului maxim de definiţie pentru radical:

03x ,3x . (72)

Rezolvăm ecuaţia din text, astfel:

53 xx xx 53 22

53 xx

210253 xxx 028112 xx . (73)




Matematică 2014




acbx 42 9)28(14)11( 2 . (74)


2

311

22,1

a

bx

x . (75)


71 x , 42 x . (76)

Se verifică soluţiile obţinute în domeniul maxim de definiţie şi apoi în ecuaţia

din text.

Singura soluţie care se acceptă este:

4x . (77)


Soluţia nr. 2:


03x ,3x . (78)

Deoarece:

050303 xxx . (79)

Se rezolvă sistemul:

05

03

x

x

5,

,3

x

x x 5,35,,3 . (80)

Se verifică valorile din intervalul dat de relaţia (78).


4x . (81)





Matematică 2014



Soluţia nr. 3:


03x ,3x . (82)

Se verifică din grila de răspunsuri, valorile care respectă relaţia (82).

Singurele valori care verifică relaţia (82) sunt:

3x , (83)

respectiv

4x . (84)

Se verifică în ecuaţie, valorile date de relaţiile (83) şi (84).


4x . (85)


Soluţia nr. 4:


3 xy . (86)


2 yy , (87)

pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de

,00 yy . (88)

Atunci:

4 322 yyyyy . (89)




Matematică 2014



Rezultă la limită:

14 3 y 1 y 4 x . (90)


Soluţia nr. 5:


3 xy . (91)


2 yy , (92)


,00 yy . (93)

Rezolvăm ecuaţia:

2 yy 02)( 2 yy 022

yy . (94)


yt 022 tt . (95)


acbt 42 9)2(1412 . (96)


2

31

22,1

a

bt

t . (97)


21 t , 12 t . (98)




Matematică 2014



Revenind la substituţie, respectiv la relaţia (97) se acceptă doar:

11 yy . (99)


4x . (100)


Soluţia nr. 6:


3 xy . (101)


2 yy , (102)


,00 yy . (103)

Rezolvăm ecuaţia:

2 yy yy 2 22

2 yy 0452 yy . (104)


acby 429414)5( 2 . (105)


2

35

22,1

a

by

y. (106)

Rădăcinile ecuaţiei (104) sunt:

41 y , 12 y . (107)


4x . (108)





Matematică 2014



Soluţia nr. 7:


3 xy . (109)


2 yy , (110)


,00 yy . (111)

Rezolvăm ecuaţia în mulţimea numerelor naturale, deoarece este permisivă

această situaţie.

2 yy 2)( 2 yy 2)1( yy . (112)

Rezultă:

21

1

y

y, (113)

şi

11

2

y

y. (114)

Din primul sistem de ecuaţii rezultă:

411

1

1

21

1xyy

y

y

y

y, (115)

care verifică cerinţele impuse în text.

Din cel de-al doilea sistem de ecuaţii rezultă:

0

4

0

2

11

2

y

y

y

y

y

y. (116)




Matematică 2014



Din:

14 xy , (117)

care nu verifică cerinţele impuse de text.

Din:

30 xy , (118)


Rezultă că singura soluţie este:

4x . (119)


Soluţia nr. 8:

Conform cu textul:

53 xx xx 53 . (120)

Se face notaţia:

xy 5 . (121)


yy 2 . (122)

Se impune condiţia generată de domeniul maxim de definiţie:

02 y 2, y . (123)

Ecuaţia definită de relaţia (122) devine:

yy 2 22 yy 022 yy . (124)




Matematică 2014




acby 429)2(1412 . (125)


2

31

22,1

a

by

y. (126)


21 y , 12 y . (127)

Rădăcinile ecuaţiei verifică relaţia (124).

Din:

72 xy , (128)


Din:

41 xy , (129)

care verifică cerinţele impuse de text.

Rezultă că singura soluţie este:

4x . (130)


10. Pentru ce valori ale lui Rm , ecuaţia 033 mxx are 3 soluţii reale

distincte?

a) 3,m ; b) ,0m ; c) m ; d) 2,2m ; e) 2,0m ; f) 0,2m .

Soluție:

Aplicăm șirul lui Rolle.




Matematică 2014



Fie atunci:

mxxxf 3)( 3 , RRf : , Rm . (131)

Atunci, derivata întâi a lui f este:

)1(333)(' 22 xxxf . (132)

Ecuaţia:

0)(' xf , (133)

admite rădăcinile

11 x şi 12 x . (134)

Pentru stabilirea semnului funcţiei f, s-au efectuat următoarele calcule:

2)1( mf ; 2)1( mf , (135)

respectiv

)(lim xfx

;

)(lim xfx

. (136)

Pentru respectarea cerinţelor şirului lui Rolle, este necesar şi suficient ca:

02 m ,2m , (137)

simultan cu

02 m 2,m . (138)

În concluzie:

,2m 2,22, . (139)


11. Valoarea integralei dxxx

1

0

3 2 este:

a) 0 ; b) 4

3 ; c) 1; d) 2 ; e) 3 ; f)

2

1.




Matematică 2014



Soluție:

Integrala din text este egală cu:

dxxx

1

0

3 2

1

0

24

22

4

xx

1

0

24

4x

x

2

42

4

04

01

4

1

4

3 . (140)


12. Modulul numărului complex i 43 este:

a) 2; b) 1; c) 5; d) 3; e) 4; f) 6.

Soluție:

Modulul numărului complex:

iz 43 , (141)

este

543 22 z . (142)


13. Se dă matricea

45

13A ; atunci 2A este:

a)

1514

1110; b)

41

31; c)

1110

94; d)

1930

102; e)

2135

714; f)

2035

1220.

Soluție:

Conform cu cerinţa din text avem:

45

13

45

132 AAA

2135

714

44155435

41135133. (143)





Matematică 2014



14. Limita şirului nn

nnan

52

22

2

este:

a) 2

1; b)

3

1; c) 0; d) 3; e) -1; f) -2.

Soluție:

Limita şirului definit în text prin:

nn

nnan

52

22

2

, (144)

este:

2

1

52

211

lim5

2

211

lim53

2limlim

2

2

2

2

2

2

n

nn

nn

nnn

nn

nna

nnnn

n. (145)


15. Soluţia ecuaţiei 732 x este:

a) 2x ; b) 0x ; c) 1x ; d) 5x ; e) 1x ; f) 3x .

Soluţia nr. 1:

Ecuaţia din text se mai scrie:

5102732 xxx . (146)


Soluţia nr. 2:


RRf : , 32)( xxf , (147)




Matematică 2014



şi funcţia

RRg : , 7)( xg . (148)

Atunci, soluţia ecuaţiei din text reprezintă punctele de intersecţie ale celor două

grafice:

5)()( xgfRxxxgxf (149)


16. Abscisele punctelor de extrem local ale funcţiei RRf : , 2

)( xexxf

sunt:

a) 3

3x ; b) 1x ; c) 2x ; d) 3x ; e)

2

2x ; f)

2

1x .

Soluție:

Derivata întâi a lui f este:

//// 222

)( xxx exexexxf 2212

xe x . (150)

Abscisele punctelor de extrem rezultă din condiţia:

0)(/ xf 021 2 x2

22,1 x . (151)


17. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 04log 2

3

1 x este:

a) ,2x ; b) 2,0x ; c) 0,x ; d) ,5x ; e) 5,22,5 x ;

f) 5,0x .




Matematică 2014



Soluție:

Domeniul maxim de definiţie al funcţiei:

4log)( 2

3

1 xxf , (152)

este dat de

042 x ,22,x . (153)

Inecuaţia din text devine:

04log 2

3

1 x 0514 22 xx 5,5x . (154)

Soluţia inecuaţiei este atunci:

5,5,22,x 5,22,5 . (155)


18. Într-o progresie aritmetică nna se cunosc 31 a şi 52 a ; atunci:

a) 75 a ; b) 85 a ; c) 145 a ; d) 45 a ; e) 95 a ; f) 115 a .

Soluție:

Raţia progresiei aritmetice este:

212 aar . (156)

Termenul general al progresiei aritmetice admite expresia:

rnaan 11 . (157)

Termenul cerut de text este cel pentru care 5n , respectiv:

1121535 a . (158)





Matematică 2015



1. Să se rezolve ecuaţia: 0)223(lg x .

a) 4; b) 1; c) 2; d) 2

1; e)

4

1; f) 0.

Soluție:


0)223(lg x 1223 x 323 x 12 x 0 x , (1)

care este soluţie a ecuaţiei deoarece, pentru

0x 0223 x , (2)

astfel că, condiţia de existenţă pentru logaritm este îndeplinită.


2. Soluţia ecuaţiei xx 93 1 este:

a) 0; b) 2; c) 1; d) 4; e) 2

1; f) 3.

Soluție:

Condiţia necesară şi suficientă pentru domeniul maxim de definiţie al

radicalului este:

0x ,0x . (3)

Atunci:

xx 93 1 xx 21 33 xx 21 . (4)

Soluţia nr. 1:

Din:

xx 21 xx 212

0)1( 2 x , (5)




Matematică 2015



de unde rezultă:

01x 12,1 x . (6)


Soluţia nr. 2:

Deoarece:

xx 21 22)2(1 xx 0122 xx 12,1 x . (7)


Soluţia nr. 3:

Notăm:

0 xy 02 yx . (8)

Atunci:

xx 21 yy 212 012 y 12,1 y . (9)

Din:

12,1 y 1x . (10)


3. Soluţia ecuaţiei 7283 xx este:

a) -1; b) 1; c) -3; d) 3; e) 0; f) 2.

Soluție:


7283 xx 8723 xx 155 x 3x . (11)





Matematică 2015



4. Soluţiile ecuaţiei 0132 2 xx sunt:

a)

4;2

1; b)

0;2

1; c)

2

3;1 ; d) 4;2 ; e) 2;1 ; f)

1;2

1.

Soluție:

Discriminantul ecuaţiei din text este:

142 acbx . (12)

Soluţiile ecuaţiei din text sunt:

4

13

4

13

22,1

a

bx . (13)

În concluzie:

1;2

1x . (14)


5. Calculaţi: 8

10

2

10 CC .

a) 30; b) 12; c) 18; d) 0; e) 6; f) 1.

Soluție:


.45

!8!2

109!8

!!8!2

!10

!210!2

!102

10

C (15)

.45

!2!8

109!8

!2!8

!10

!810!8

!108

10

C (16)

Atunci:

.08

10

2

10 CC (17)





Matematică 2015



6. Modulul numărului complex i2

1

2

3 este:

a) 31 ; b) 2; c) 1; d) 1

2; e) 4; f) 13 .

Soluția nr. 1:

Deoarece:

iz 2

1

2

3, (18)

avem

12

1

2

322

z . (19)


Soluția nr. 2:

Numărul complex z se poate scrie şi sub formă trigonometrică:

)sin(cos izz . (20)

Deoarece:

6sin

6cos

2

1

2

3 iiz , (21)

rezultă prin identificare cu relaţia anterioară că,

1z . (22)





Matematică 2015



7. Se cere valoarea parametrului Rm pentru care matricea

2 3 4

1 2

5 - 4 7

A m

are

det. 0A .

a) 2 ; b) 1; c) 2; d) 1 ; e) 3; f) 3 .

Soluţia nr. 1:


det. 0A

2 3 4

det. 1 2 7 7 0

5 4 7

A m m

1 m . (23)


Soluţia nr. 2:

2 3 4

det. 1 2

5 4 7

A m

74

2)1(2 11

m

75

1)1()3( 11

m

45

21)1(4 11

077)104(4)57(3)414(2 mmm 1 m . (24)


8. Fie matricele

22

11A şi

1

1

y

xB . Să se determine x şi y astfel încât

ABBA .

a) 0x , 1y ; b) 1x , 0y ; c) 0x , 0y ; d) 1x , 1y ; e) 1x , 2y ;

f) 2x , 1y .




Matematică 2015



Soluție:

Evaluând, avem:

)1(2)1(2

11

1

1

22

11

xy

xy

y

xBA ; (25)

22

2121

22

11

1

1

yy

xx

y

xAB . (26)

Deoarece:

ABBA

)1(2)1(2

11

xy

xy=

22

2121

yy

xx. (27)

Din:

xy 211 , xx 211 , 2)1(2 yy , 2)1(2 yx , (28)

rezultă

0x , 0y . (29)


9. Să se determine a şi b astfel încât 1x şi 2y este soluţie a

sistemului:

23

62

yax

byx.

a) 3a , 3b ; b) 4a , 2b ; c) 4a , 2b ; d) 2a , 4b ; e) 2a , 4b ;

f) 4a , 2b .

Soluție:

Fie:

62)( byxxf . (30)




Matematică 2015



Atunci:

042622)2;1( bbf 2b . (31)

Fie:

23)( yaxxg . (32)

Atunci:

0426)2;1( aag 4a . (33)


10. Fie polinomul XXXf 23 23 cu rădăcinile 1x , 2x , 3x . Să se calculeze

2

3

2

2

2

1 xxx .

a) 4; b) 1; c) 5; d) 3; e) 2; f) 6.

Soluţia nr. 1:

Deoarece

0)23(23 223 xxxxxxf 01 x , 12 x , 23 x . (34)

Atunci:

52 133221

2

321

2

2

2

2

2

1 xxxxxxxxxxxx . (35)


Soluţia nr. 2:

Utilizăm relaţiile lui Viète:

3321 a

bxxx ; 2133221

a

cxxxxxx ; 0321

a

dxxx . (36)




Matematică 2015



Atunci:

52 133221

2

321

2

2

2

2

2

1 xxxxxxxxxxxx . (37)


11. Să se determine Ra astfel încât numerele 1a , 3, 1a să fie în progresie

aritmetică.

a) 7; b) 2; c) 5; d) 6; e) 4; f) 3.

Soluţia nr. 1:

Numerele:

1a ; 3; 1a , (38)

sunt în progresie aritmetică, dacă:

2

113

aa 3a . (39)


Soluţia nr. 2:

Numerele: 1a şi 3 sunt în progresie aritmetică, atunci:

rbb 12 ra 13 ra 4 . (40)

Numerele: 3 şi 1a sunt în progresie aritmetică, atunci

rbb 12 ra 31 2 ar . (41)

Din:

ra 4 şi 2 ar 3a . (42)





Matematică 2015



12. Să se calculeze restul împărţirii polinomului 232 23 XXXf la 1X .

a) 0; b) 1; c) 2; d) 2015; e) 10; f) -2.

Soluţia nr. 1:

Deoarece:

0)1( f , (43)

rezultă că polinomul din text, are restul 0.


Soluţia nr. 2:

Se realizează împărţirea polinomului f la 1X şi rezultă restul egal cu 0.



12lim

2

2

1

xx

xx

x.

a) ; b) 1; c) 0; d) -2; e) -3; f) 2.

Soluţia nr. 1:

Conform cu regula lui L’Hospital:

0

0

2

2

1 23

12lim

xx

xx

x

/2

/2

1 )23(

)12(lim

xx

xx

x0

1

0

32

22lim

1

x

x

x. (44)





Matematică 2015



Soluţia nr. 2:

Conform cu enunţul din text:

23

12lim

2

2

1 xx

xx

x

)2)(1(

)1)(1(lim

1 xx

xx

x0

1

0

2

1lim

1

x

x

x. (45)


Soluţia nr. 3:

Facem schimbarea de variabilă:

yx 1 . (46)

Atunci când:

1x 0y , (47)

astfel că

23

12lim

2

2

1 xx

xx

x

2)1(3)1(

1)1(2)1(lim

2

2

0 yy

yy

y0

6

0

63lim

2

2

0

yy

y

y. (48)


14. Să se determine Ra , astfel încât funcţia RRf : ,

1,13

1,1)(

2

xx

xaxxxf

să fie continuă pe R.

a) 4; b) 3; c) 1; d) 0; e) 2; f) -2.

Soluție:

Pentru ca funcţia f să fie continuă în punctul 1x , este necesar şi suficient să

fie îndeplinită condiţia:

1s dl l f , (49)




Matematică 2015



pentru care

11

lim

xx

sl )(xf a2 , (50)

şi

11

lim

xx

dl )(xf 4 . (51)


2a . (52)


15. Fie Rf ,0: , .ln2)( xaxxf Să se determine Ra astfel încât 1)1(/ f .

a) 1; b) 0; c) -1; d) e ; e) 2; f) 1e .

Soluție:

Conform cu enunţul din text, rezultă:

12)(/ x

axf . (53)

Atunci:

1)1(/ f 1a . (54)


16. Să se determine numărul soluţiilor reale pentru ecuaţia 01033 xx .

a) una; b) două; c) trei; d) niciuna; e) ecuaţia are două soluţii egale;

f) ecuaţia are toate soluţiile egale.




Matematică 2015



Soluţia nr. 1:

Se realizează tabloul de variaţie determinat de:

x , )(/ xf şi )(xf . (55)

Derivata întâi este:

)1(3)( 2/ xxf , (56)


12,1 x . (57)

De asemenea:

8)1( f , 10)0( f , 12)1( f , (58)

şi

xlim )(xf ,

xlim )(xf . (59)

Din alternanţa valorilor numerice, deci a semnelor )( şi (-) pentru funcţia f,

rezultă că graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un singur punct; în aceste

condiţii, ecuaţia din text definită prin:

0)( xf , (60)

admite o singură rădăcină reală, în intervalul

,1x . (61)


Soluţia nr. 2:

Se trasează graficul funcţiei f.

Graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un singur punct; în aceste condiţii,

ecuaţia din text definită prin:

0)( xf , (62)




Matematică 2015



admite o singură rădăcină reală, în intervalul,

,1x . (63)


17. Să se calculeze integrala

1

0

3 )2( dxxx .

a) -1; b) 4

3; c) 1; d)

4

3 ; e)

4

1; f)

4

1 .

Soluție:

Integrala din text devine:

4

3

22

4)2(

1

0

21

0

41

0

3 xx

dxxx . (64)


18. Fie Rf 6,1: , x

xxf

2

8)( . Să se determine valoarea minimă a lui f .

a) 8

17; b)

8

1; c) 2; d) 1; e)

8

9; f)

8

7.

Soluţia nr. 1:

Evaluăm extremul funcţiei:

Rf 6,1: , x

xxf

2

8)( . (65)

Derivata întâi este egală cu:

2

/ 2

8

1)(

xxf . (66)




Matematică 2015



Punctele de extrem sunt date de:

0)(/ xf 4x . (67)

Deoarece:

Rf 6,1: , (68)

se acceptă doar valoarea

4x . (69)

Stabilim natura extremului funcţiei.

Deoarece:

04

)(3

// x

xf , (70)

funcţia f admite un minim cu valoarea numerică

1)4( f . (71)


Soluţia nr. 2:

Din text:

x

xxfy

2

8)( 01682 yxx . (72)

Atunci, determinantul ecuaţiei este necesar şi suficient să îndeplinească

condiţia:

0 y 012 y ,11,y . (73)

Deoarece:

0x 1.min y , (74)

care este un minim pentru funcţia din text.





Matematică 2015



Soluţia nr. 3:

Se trasează graficul funcţiei din text şi se deduce că aceasta admite două

minime:

1.min1 y , (75)

şi

1.min2 y , (76)

pentru

4x , (77)

respectiv pentru

4x . (78)

Deoarece:

0x 1.min y . (79)


Soluţia nr. 4:

Utilizăm pentru calcul, inegalitatea:

abba 2 , 0, ba . (80)

Atunci:

12

82

2

8)(

x

x

x

xxfy ;1

2

8 x

x, 0 x . (81)

În aceste condiţii, rezultă:

1.min y . (82)




Facultatea de Pompieri 2006 – 2016

Matematică 2016



1. Limita şirului:

123

213

nn

nnan este:

a) 3

2; b) 1; c) ; d)

3

1; e) 0; f) .

Soluție:

Limita şirului definit în text este:

123

21)(lim

2 nn

nnan

n

123

23lim

2

2

nn

nn

n

2

2

2

2

123

231

lim

nnnn

nnn

n

2

2

2

2

123

231

lim

nnnn

nnn

n0

1

123

231

lim

2

2

nnn

nnn

. (1)


2. Fie funcţia RRf : , xexxf )( ; să se calculeze )0(//f .

a) 0; b) 2; c) 1; d) 2 ; e) 2e; f) 1 .

Soluție:


xxxxx exeexexexxf //// )( . (2)

Derivata a doua este egală cu:

xxxx exeexexf 2)()( /// . (3)

Atunci, derivata a doua este egală cu:

2)0(// f . (4)





Matematică 2016



3. Să se determine valoarea parametrului Ra , astfel încât funcţia RRf : ,

definită prin

0,1ln

0,2)(

2

22

xx

xeaxxxf

x

, să fie continuă.

a) 2

1a ; b) 3a ; c) 2lna ; d)

2

3a ; e) 1a ; f) 0a .

Soluție:

Pentru ca funcţia f să fie continuă în punctul 0x , este necesar şi suficient să

fie îndeplinită condiţia:

0 ,s dl l f (5)

pentru care

00

lim

xx

sl )(xf

00

lim

xx

)1ln( 2x 0 , (6)

şi

00

lim

xx

dl )(xf aeaxx x

xx

22

00

)2(lim . (7)


0a . (8)


4. Să se afle ecuaţia asimptotei la pentru graficul funcţiei RRf 1,1\: ,

dată de2

2

1

22)(

x

xxxf

.

a) 1y ; b) 2y ; c) xy ; d) 0y ; e) 2

1y ; f) 1 xy .




Matematică 2016



Soluție:

Asimptota cerută de text este:

2

2

1

22)(lim

x

xxxfy

n

2

2

1

22lim

x

xx

n

11

212

lim

2

2

2

2

xx

xxx

n

11

212

lim

2

2

x

xxn

2 . (9)


5. Valoarea integralei dxx

x

1

0

2 1 este:

a) 2ln ; b) 2ln2

1 ; c) 1; d)

2

1; e) 2ln

2

3 ; f) 2ln2 .

Soluție:

Integrala din text se mai scrie:

1

0

/2

1

0

2

/21

0

2

1

0

2)1ln(2

1

)1(2

1

22

1dxxdx

x

xdx

x

xdx

x

xI

2ln2)1ln(21

0

/2 x . (10)


6. Să se calculeze limita: x

x

x

11lim

2

0

.

a) 1 ; b) 1; c) 2

1; d) ; e) 0 ; f)

2

1 .




Matematică 2016



Soluție:

Limita din text, se mai scrie ca fiind:

0

0

2

0

11lim

x

x

x

11

1111lim

2

22

0 x

x

x

x

x

x

x

02

0

11lim

20

x

x

x. (11)


7. Să se calculeze aria mulţimii plane mărginite de graficul funcţiei RRf : ,

dată prin 23)( xxxf , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 1x şi 3x .

a) 1; b) 3; c) 3

2; d)

3

1; e)

3

10; f)

3

13.

Soluție:

Aria mulţimii plane mărginite de graficul funcţiei RRf : , 23)( xxxf , axa

Ox şi dreptele de ecuaţii 1x şi 3x este egală cu:

dxxxIA f

3

1

2 )3(3

10

323

3

1

32

xx. (12)


8. Fie funcţia RRf : , 23)( 23 xxxf . Să se determine suma valorilor

extreme ale funcţiei f.

a) 4

1; b) 24 ; c) 24 ; d) 0 ; e) 3 ; f) 5 .

Soluție:


06323)( 2/23/ xxxxxf . (13)




Matematică 2016



Din condiţia:

0)(/ xf , (14)

rezultă valorile absciselor care permit generarea prin intermediul funcţiei din

text, a extremelor sale:

01 x şi 22 x . (15)

Suma valorilor extreme ale funcţiei f definită în text, este egală cu:

0)2()0()()( 21 ffxfxf . (16)


9. Să se afle Rm astfel încât ecuaţia 071294 23 mxxx să aibă o singură

rădăcină reală.

a) m ; b)

28

13,4m ; c)

,

28

134,m ; d)

28

13,04,m ;

e) ,4m ; f) 3,m .

Soluție:

Fie funcţiile:

RRf : , (17)

respectiv

RRg : , (18)

definite prin

xxxxf 12947

1)( 23 , (19)

respectiv

mxg )( , Rm . (20)




Matematică 2016



Determinarea parametrului m în condiţiile cerinţei din text implică faptul că

graficele celor două funcţii este necesar şi suficient să se intersecteze o singură dată

în raport cu codomeniile de definiţie ale acestor funcţii.

Atunci, derivata întâi este:

2327

6)( 2/ xxxf , (21)

admite rădăcinile

21 x , 2

11 x . (22)

Tabloul de variaţie corespunzător este:

x 2 0 2

1

)(/ xf - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + 2

1 - - - - - - - - - - - -

)(xf 4 0 28

13

Se trasează graficul lui f şi g.



2016

1

20162 CC .

a) 2014 ; b) 2015 ; c) 2016 ; d) 4032 ; e) 0 ; f) 2013.

Soluție:

Deoarece:

)!(!

!

knk

nC k

n

, kn , Nkn , , (23)




Matematică 2016



rezultă

2016!2015

2016!2015

!2015!1

!20161

2016

C , (24)

şi

2016!2015

2016!2015

!1!2015

!20162015

2016

C . (25)

Atunci:

2016)12(20162016201622 2015

2016

1

2016 CC . (26)


11. Dacă 1)( xxf să se calculeze )1()0()1( fff .

a) 0 ; b) 1; c) 1 ; d) 2 ; e) 2 ; f) 4 .

Soluție:

Deoarece:

2)1( f ; 1)0( f ; 0)1( f , (27)

atunci

00)1()2()1()0()1( fff . (28)


12. Să se calculeze suma soluţiilor ecuaţiei 0232 xx .

a) 3 ; b) 2; c) 0; d) 3; e) 1; f) 4 .

Soluția nr. 1:

Se rezolvă în mod clasic ecuaţia din text:

1214)3(4 22 acbx . (29)




Matematică 2016



Atunci, rădăcinile sale sunt:

2

13

22,1

bx , (30)

de unde rezultă

21 x şi 12 x . (31)

Suma soluţiilor ecuaţiei este egală cu:

321 xx . (32)


Soluţia nr. 2:

Se aplică în mod direct una dintre relaţiile lui Viète:

321 a

bxx . (33)


Soluţia nr. 3:

Se aplică una dintre relaţiile lui Viète dedusă.

Rădăcinile ecuaţiei de gradul doi definită prin:

02 cbxax , Rcbaa ,,,0 , (34)

admite rădăcinile:

22,1

bx . (35)

Atunci:

32

2

2221

a

b

a

b

a

b

a

bxx . (36)





Matematică 2016



Soluţia nr. 4:


0)2)(1()1(2)1(2223 22 xxxxxxxxxx . (37)

Aceasta are rădăcinile:

21 x şi 12 x . (38)

Atunci, suma soluţiilor ecuaţiei este egală cu:

321 xx . (39)


13. Fie matricea

110

101

321

A . Să se calculeze ).(det 2A .

a) 4 ; b) 16; c) 9; d) 1; e) 0; f) 36 .

Soluţia nr. 1:

Evaluăm pe 2A .

Atunci:

211

411

251

110

101

321

110

101

3212 AAA . (40)

În aceste condiţii, avem:

211

411

251

).(det 2A

11

11)1(

21

41)1(

21

41)1( 312111

11

11

21

41

21

410)11()42()42( . (41)





Matematică 2016



Soluţia nr. 2:

Aplicăm regula lui Sarrus.

Evaluăm pe 2A .

Atunci:

211

411

251

110

101

321

110

101

3212 AAA . (42)

În aceste condiţii, avem:

2

1 5 2

det.( ) 1 1 4

1 1 2

A

)1()1(2)1()1()4()1()1(2

411

211

02)1()1()4()1()1(2)1()1( . (43)


14. Se cer restul şi câtul împărţirii polinomului 132 23 XXXf la 1X .

a) XXr 3,1 2 ; b) XXr 3,1 2 ; c) XXr 3,1 2 ; d) XXr 3,1 2 ;

e) XXr 3,1 2 ; f) 1,2 2 Xr .

Soluție:

Se realizează operaţia de împărţire şi se observă că:

3 2 2( 2 3 1) : ( 1) 3 1X X X X X X , (44)

care corespunde schemei

D C Î r . (45)


[

T

y

p

e

a

q

u

o

t

e

f

r

o

m

t

h

e

d

o

c

u

m




Matematică 2016



15. Care este soluţia ecuaţiei: 0624 xx ?

a) 1 ; b) 2 ; c) 1; d) 0 ; e) 2 ; f) 3 .

Soluţia nr. 1:

Deoarece răspunsul este unic, se verifică în parte, fiecare soluţie în ecuaţia din

text şi rezultă 1x .


Soluţia nr. 2:

Ecuaţia se poate rezolva grafic.

Fie:

xxxf 24)( , (46)

şi

6)( xg . (47)

Se reprezintă grafic funcţiile:

RRf : , xxxf 24)( , (48)

şi

RRg : , 6)( xg . (49)

Din intersecţia celor două grafice rezultă soluţia:

1x , (50)

respectiv

1 gf . (51)





Matematică 2016



Soluţia nr. 3:


tx 2 . (52)

Ecuaţia din text, se mai scrie ca fiind:

0606220624 22 ttxxxx . (53)

Discriminantul ecuaţiei (2) admite valoarea:

25)6(1414 22 acbt . (54)

Soluţiile ecuaţiei (53) sunt:

2

51

22,1

a

bt

t , (55)

din care rezultă soluţiile

31 t şi 22 t . (56)

Deoarece:

02 tx , (57)

se acceptă doar soluţia

22 x 1 x . (58)


16. Produsul soluţiilor ecuaţiei 0lnln 2 xx )0( x este:

a) 2e ; b) 1; c) 1e ; d) e ; e) 2 ; f) 2e .

Soluţia nr. 1:


0lnln 2 xx 0)1(lnln xx . (59)




Matematică 2016



Din:

10ln 0

1 exx . (60)

Din:

exxx 21ln01ln . (61)

Produsul soluţiilor ecuaţiei din text este egal cu:

exx 21 . (62)


Soluţia nr. 2:

Notăm:

xy ln . (63)


.0)1(02 yyyy (64)

Ultima ecuaţie admite ca soluţii:

01 y şi 12 y . (65)


11 x şi ex 2 . (66)

Produsul soluţiilor ecuaţiei din text este egal cu:

exx 21 . (67)





Matematică 2016



17. Fie ecuaţia matricială

01

01

11

12X ; care este suma elementelor matricei

?)(2 RMX

a) 2 ; b) 8 ; c) 2 ; d) 6 ; e) 4 ; f) 5 .

Soluție:

Se consideră:

11

12A (68)

şi

01

01B . (69)

Deoarece:

BAX . (70)

Înmulţim ecuaţia (70) la dreapta cu 1A şi rezultă:

11 ABAAX 1 ABX , (71)

în care

10

012

11 IAAAA , (72)

1A este matricea inversă pe care trebuie să o evaluăm în continuare şi 2I este

matricea unitate care reprezintă un element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a

matricelor în mulţimea )(2 RM .

Evaluăm inversa matricei A.

Matricea transpusă este definită prin:

11

12TA . (73)




Matematică 2016



Se defineşte matricea:

2221

1211*

aa

aaA , (74)

în care

11)1( 11

11 a ; (75)

1)1()1( 21

12 a ; (76)

1)1()1( 12

21 a ; (77)

22)1( 22

22 a . (78)

Rezultă că:

21

11*A . (79)

Atunci matricea inversă admite exprimarea:

* *1 *

1 1

1 2det. 1

A AA A

A

. (80)

Atunci:

1 ABX

21

11

01

01

11

11. (81)

Suma elementelor matricei )(2 RMX este egală cu 4.


18. Dacă 321 ,, xxx sunt rădăcinile polinomului 223 23 XXXf , să se calculeze

)( 2

3

2

2

2

1321 xxxxxx .

a) 5 ; b) 8 ; c) 2 ; d) 4 ; e) 4 ; f) 10 .




Matematică 2016



Soluție:

Polinomul are forma:

dcXbXaXf 23 )2(2)3( 23 XXX . (82)

Se aplică în mod direct relaţiile lui Viète:

3321 a

bxxx , (83)

2133221 a

cxxxxxx , (84)

2321 a

dxxx . (85)

Atunci:

)( 2

3

2

2

2

1321 xxxxxx

)(2)( 133221

2

321321 xxxxxxxxxxxx 10)223(2 2 . (86)




Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Matematică

BIBLIOGRAFIE 119


DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

BIBLIOGRAFIE

[1] *** Grile subiecte – Fizică, algebră şi analiză matematică date la admiterea în

Facultatea de Pompieri, www.academiadepolitie.ro.

[2] Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic

superior, Pompierii Români, nr. 4/2006.







[6] Darie, E., Popescu, G., Pincu, M. – Exerciţii pentru admiterea în

învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 8/2006.

[7] Darie, E., Popescu, G., Pincu, M. – Exerciţii pentru admiterea în

învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 9/2006.

[8] Popescu, G., Darie, E. – Probleme de algebră şi analiză matematică propuse

pentru admiterea în învăţământul superior tehnic, Buletinul Pompierilor,

nr. 2/2010, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2010.

[9] Popescu, G., Darie, E., Pavel, D. – Rezolvarea unor probleme de algebră şi

analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia

de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza” în perioada 2004-2010, Buletinul

Pompierilor, nr. 2/2010, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor,

Bucureşti, 2010.

[10] Popescu, G., Darie, E. – Rezolvarea unor probleme de algebră şi analiză

matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie

„Alexandru Ioan Cuza” în perioada 2005-2009, Buletinul Pompierilor,


[11] Darie, E., Popescu, G. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la

concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie

„Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2011, Buletinul Pompierilor,


[12] Popescu, G., Darie, E. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză

matematică date la admiterea la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie

„Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2011, Buletinul Pompierilor,


http://www.academiadepolitie.ro/




BIBLIOGRAFIE 120



[13] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina

fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de

Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2012, Buletinul Pompierilor,


[14] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi


de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2012, Buletinul Pompierilor,





nr. 2/2013, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2013.























Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea august 2016, Buletinul Pompierilor,

nr. 2/2016, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2016, (în curs de

apariţie).




BIBLIOGRAFIE 121





de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea august 2016, Buletinul

Pompierilor nr. 2/2016, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti,

2016, (în curs de apariţie).

ISBN: 978-973-745-167-5

Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Facultatea de ...

Documents

Transcript of Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Facultatea de ...