CALCULUL SEISMIC AL REZERVOARELOR DE BETON ARMAT

CONFORM NORMELOR EUROPENE-EN1998-4 George VLAICU-UTCB Tiberiu PASCU-UTCB

Rezumat

Lucrarea prezint principalele prevederi ale Anexei A ale codului EN 1998-4:2006 "Silozuri, rezervoare i conducte", norm aflat n curs de implementare n Romnia. Trebuie manionat c, multe din rezervoarele construite n trecut n ara noastr au fost proiectate doar la aciunea hidrostatic. De asemenea se face o comparaie ntre prevederile din Eurocode i prevederile similare din norma american ACI 350.3. De asemenea, se prezint rezultatele calculului unui rezervor cilindric de beton, utiliznd prevederile din EN 1998-4.

Abstract

The paper presents the main provisions of Annex A of the EN 1998-4:2006 "Silos, tanks and pipelines" a code in process of implementation in Romania. It is worth to mention, that many tanks constructed in Romania were designed only for hidrostatic pressures. A comparison with the provisions of the similar american code ACI 350.3 is made. The results obtained using the European Code provisions for a cylindrical RC tank are presented.

1. Introducere

Pe lng forele hidrostatice sau din mpingerea pmntului, rezervoarele trebuie calculate la seism i anume att la forele rezultate din ineria masei structurii (perei, radier i capac) ct i la forele hidrodinamice exercitate de lichid.

Cnd un rezervor coninnd un lichid cu suprafaa liber este supus unei micri orizontale a terenului rezultat dintr-un cutremur, pereii rezervorului i lichidul sunt supui la acceleraii orizontale. Lichidul din partea inferioar a rezervorului se comport ca o mas legat rigid de perei. Aceast mas, denumit mas impulsiv, este supus la acceleraii i induce presiuni hidrodinamice impulsive pe pereii rezervorului i pe baza lui.

Lichidul de la partea superioar a rezervorului sufer o micare de vlurire si de plesnire a peretelui denumit n literatura englez sloshing. Aceasta mas este denumit mas convectiv i induce presiuni hidrodinamice convective pe pereii rezervorului i pe baza acestuia. Astfel, masa total a lichidului este mparit n doua pri, care acioneaz diferit (Fig.1).

Fig. 1 Modelul mecanic pentru rezervoare rezemate pe teren

Pentru calculul presiunilor hidrodinamice din rezervoare toate codurile importante utilizeaz modele mecanice. Istoric vorbind, cel mai cunoscut este un model creat de Housner (1963) pentru rezervoare din beton, model n care masa convectiv este legat de perei cu dou resoarte. Acest model, cu modificrile propuse de Wozniak i Mitchell (1978) st la baza mai multor coduri ntre care i ACI 350.3.

Eurocodul EN 1998-4:2006 prezint modul de calcul al presiunilor hidrodinamice pe pereii rezervoarelor n Anexa A, anex care are caracter informativ, nu de baz de calcul. Pentru rezervoarele circulare se propun relaiile date de Veletzos i Yang (1977), n timp ce pentru rezervoarele rectangulare se sugereaz modelul Housner. n anex se dau relaii de calcul att pentru rezervoare din beton (considerate cu perei rigizi), ct i pentru rezervoare din metal (considerate cu perei flexibili). Se trateaza modul n care se combin diferitele efecte.

n toate normele se face diferena ntre cazul n care se ine seam de efectul presiunilor de pe baza rezervorului i ntre cazul n care acest efect este neglijat (de exemplu la rezervoare la care pereii sunt articulai pe fundaie).

n primul caz, masa impulsiv este plasat la nlimea , loc n care se aplic rezultanta presiunii impulsive , iar n al doilea caz masa impulsiv este plasata la nlimea . n mod similar, atunci cnd se ine seama de presiunea de pe fundul rezervorului, masa convectiv este plasat la nlimea , loc n care se aplic rezultanta presiunii convective , iar n cazul n care nu se ine seama de presiunea de pe fundul rezervorului masa convectiv este plasat la nlimea . n figura 2 se d o reprezentare calitativ a presiunilor rezultate din micarea acestor mase.

a) Presiune impulsiv pe perei c) Presiune convectiv pe perei

d) Presiune convectiv pe perei i pe radier

b) Presiune impulsiv pe perei i pe radier

Fig. 2 Distribuia calitativ a presiunilor hidrodinamice

n continuare se prezint, comparativ, prevederile din Eurocodul EN 1998-4:2006 i din norma american ACI 350.3-2001 pentru rezervoare din beton.

2. Calculul presiunilor conform EN 1998-4:2006

Anexa A a codului EN 1998-4:2006 furnizeaz relaii pentru calculul seismic al rezervoarelor:

a) cu form cilindric cu axa vertical i seciune circular sau rectangular

b) cu fundaie rigid sau flexibil

c) ancorate total sau partial de fundaie

Sunt discutate pe scurt problema rezervoarelor plasate la nlime deasupra solului (ex.castele de apa) sau rezervoare cilindrice cu axa orizontal.

2.1 Rezervoare cilindrice cu axa vertical

2.1.1 Aciunea seismic orizontal

Ecuaiile se scriu n coordonate cilindrice r,z, cu originea n centrul fundului rezervorului cu urmatoarele notaii:

nlimea coloanei de lichid, raza fluidului, densitatea, i

a) presiunea rigid impulsiv

* n care

n care

i

este variaia acceleratiei in timp, iar si funcia Bessel modificat de ordinul 1 i derivata ei.

Funcia Bessel de spea 1 este definit de urmtoarea serie Taylor n jurul originii z=0

unde este funcia Gamma a lui Euler, iar =0,1,2 este ordinul funciei.

Rezult, cu i =1 i notnd m cu n ca n Eurocode

Funcia Bessel modificat de speta 1 este definit de urmtoarea serie Taylor

iar funcia Bessel modificat de ordinul 1 este

Derivata acestei funcii poate fi exprimata n termeni de funcia Bessel modificat de ordinul 0 si ordinul 1 dupa cum urmeaza:

Pentru spectrul de inelastic proiectare ,

, la limita peretelui presiunea impulsiv este:

n care T este perioada de vibraie a ansamblului mas impulsiv plus mas perei. n figura 3 se prezint alura presiunilor impulsive pentru patru valori .

* Masa impulsiv, adica masa care se deplaseaz mpreun cu peretele, este dat de expresia:

unde este masa total a fluidului.

Fora tietoare de baz corespunztoare masei impulsive este:

Momentul impulsiv la baz - imediat sub fundul rezervorului - este:

Fig. 3 Variaia presiunilor impulsive

)(tRap gc

Hz=

sau pentru acceleraia maxim, relaie n care

este nlimea apei impulsive msurat de sub fundul rezervorului.

Momentul impulsiv la baz - imediat deasupra fundului rezervorului - este

relaie n care

este nlimea apei impulsive msurat de deasupra fundului rezervorului.

b) presiunea convectiv

* n care

Funcia Bessel de ordinul 1

i

variaia n timp a raspunsului n acceleraii a unui oscilator cu un singur grad de libertate avand o frecven circular:

i amortizarea caracteristic pentru plesnire, de regula 0,5%.

Pentru proiectare, n relaia presiunii este suficient s se considere numai primul mod i freven adic .

Menionm c pentru rezervoare turtite valorile presiunilor convective se menin cu valori mari pn catre fund, n timp ce la rezervoare zvelte efectul de sloshing este limitat doar la zone din vecintatea suprafeei lichidului. Pentru valori =H/R mai mari ca unitatea, frecvena de plesnire devine aproape independent de . n aceste cazuri frecvena circular devine:

cu raza n metri, ceea ce duce la perioade de oscilaie de ordinul secundelor.

* masa convectiva corespunzatoare modului este

Fora tietoare de baz corespunzatoare masei convective este:

Momentul convectiv imediat sub fundul rezervorului este:

unde

Momentul convectiv deasupra fundului rezervorului este:

unde

Componenta convectiv a rspunsului poate fi obtinut din rspunsul unor oscilatori avnd masele mcn ataate de rezervorul rigid prin resoarte avnd rigiditile (cte un oscilator pentru fiecare mod considerat, dar n mod normal se ia doar unul singur, primul). Rezervorul este supus la acceleraia variabil n timp Ag(t), iar masele raspund cu acceleraiile Acn(t). sau este nivelul la care trebuie s fie aplicat oscilatorul pentru a da corect valorile sau . Aa cum s-a menionat, la proiectare este suficient s se considere doar primul mod de vibraie, deci acceleraia Ac1(t).

Valoarea necesar n calcul se obine din spectrul de proiectare

n funcie de perioada , n care este factorul de corecie al

amortizrii, diferit de 1 n cazul n care fraciunea din amortizarea critic este diferit de 5%, n conformitate cu paragraful 3.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2.2.(3) din EN 1998-1.

* nlimea valului convectiv este dat n principal de primul mod de vibraie, expresia pentru valoarea maxim fiind:

unde Se este spectrul elastic de rspuns pentru modul 1 convectiv al fluidului, pentru o valoare a amortizrii corespunztoare rspunsului convectiv, iar este acceleraia gravitaional.

c)efectul ineriei pereilor

Pentru rezervoarele de metal masa pereilor este neglijabil, dar pentru pereii de beton forele de inerie datorit masei pereilor nu pot fi neglijate. Forele de inerie sunt paralele cu aciunea seismic orizontal, inducnd o presiune normal la suprafaa peretelui. Valoarea lor este:

n care este densitatea materialului din care este realizat peretele, iar s este grosimea peretelui (luat aici constant). n calculul forei tietoare de baz i al momentului de rsturnare se va lua i aportul eventualului planeu ce acoper rezervorul.

d) Combinarea efectelor impulsive i convective

Variaia n timp a presiunii totale este suma a dou procese dependente de timp:

-unul impulsiv, determinat de Ag(t) (incluznd ineria pereilor)

-unul convectiv, determinat de Ac1(t) (neglijnd componentele de ordin superior).

Cele dou componente se caracterizeaz prin rapoarte de amortizare diferite i prin mecanisme de disipare histeretic de energie diferite. Rspunsul convectiv nu poate fi asociat cu disipare de energie, n timp ce raspunsul impulsiv poate fi nsoit de o anumit disipare rezultand din pereii rezervorului i din modul n care este acest este aezat sau ancorat de teren. Din acest motiv n calculul forei seismice se vor lua valori diferite pentru q, de exemplu q=1 pentru efectele presiunilor convective i q 1,5 pentru presiunile impulsive.

n cazul obinuit al calculului pe baz de spectre, maximumul celor dou aciuni seismice variabile n timp trebuie calculat cu mult atenie. Deoarece cele dou efecte au perioade proprii complet diferite s-ar putea ca metoda rdcina ptrat a sumei ptratelor utilizat n toate codurile din lume s nu fie acoperitoare. Din acest motiv, Eurocodul propune ca valoare de proiectare, suma valorilor absolute a efectelor maxime.

Valoarea momentului i a forei tietoare de imediat deasupra plcii de fund vor fi folosite pentru calculul eforturilor utilizate la verificarea pereilor i a legturii ntre perete i radier.

Momentele i forele tietoare de imediat sub fundul rezervorului sunt utilizate la verificarea structurii pe care st rezervorul, a sistemului de ancorare sau a fundaiilor.

2.1.2 Componenta vertical a aciunii seismice

Presiunea hidrodinamic pe perei datorit acceleraiei verticale Av(t) a terenului este dat de relaia

Fiind axialsimetric, aceasta presiune hidrodinamic nu produce for tietoare sau moment, la nici un nivel.

Presiunea datorat aciunii verticale se combin cu presiunile datorate aciunii orizontale dup una din regulile din EN 1998-1 4.3.3.5.2.(4) i anume SRSS sau

.

2.2 Rezervoare rectangulare

Presiunea total este dat ca i la rezervoarele circulare de suma unei contribuii impulsive i a uneia convective:

Componenta impulsiv are relaia:

unde L este jumtatea limii rezervorului n direcia aciunii seismice, q0(t) este o funcie ce d variaia presiunii pi pe nlime i este dat sub forma unui grafic. Funcia este constant n direcia ortogonal aciunii seismice. Valorile sale numerice sunt foarte apropiate de cele obinute pentru un rezervor cilindric cu raza R=L

Presiunea convectiv este dat de suma unor termeni modali, cu observaia c, la fel ca i la rezervoarele cilindrice, modul fundamental are o contribuie dominant:

unde este funcia dat n fig.4 preluat dupa EN1998-4 i este funcia rspunsului n acceleraii a unui oscilator cu un grad de libertate cu

frecvena primului mod i o valoare potrivit a amortizrii (de regula 0,5%) atunci cnd este supus la acceleraia Ag(t).

Perioada de oscilaie a primului mod este

Fora tietoare de baz si momentul pe fundaii pot fi evaluate pe baza presiunilor impulsive i convective asemntor modului de calcul pentru rezervoare cilindrice. Valorile maselor mi si mc1 precum i valorile nlimilor corespunzatoare h1 i hc1 calculate pentru rezervoare cilindrice pot fi adoptate pentru calculul rezervoarelor dreptunghiulare nlocuind R cu L.

3. Calculul presiunilor conform ACI 350.3-2001

Expresiile parametrilor modelului de resort din acest standard sunt usor modificate fa de cele date de Housner i au urmtoarea form:

rezervoare circulare

pentru i

Fig. 4 Presiuni convective qc1 pentru rezervoare rectangulare

rezervoare rectangulare

pentru i

Presiunile hidrodinamice pe perei se calculeaz conform lucrrii lui Housner (1963) cu mici modificri. Presiunea impulsiv pentru rezervoare circulare este dat de relaia:

n care:

cu notaiile

= coeficientul seismic pentru aciunea orizontal n modul impulsiv

= densitatea lichidului

= unghiul aciunii seismice

Presiunea convectiv pentru rezervoare circulare este dat de relaia

n care

cu notaia

= coeficientul seismic pentru aciunea orizontal n modul convectiv.

Pentru rezervoare rectangulare presiunea impulsiva se calculeaz cu aceleai relaii ca i pentru rezervoare circulare nlocuind diametrul D cu latura L

Pentru rezervoare rectangulare presiunea convectiv se calculeaz cu relaia

n care

Combinarea presiunilor din aciunea seismic orizontal (impulsive, convective si datorit ineriei peretilor) cu presiunile din aciunea seismic vertical se face dup regula SRSS:

4. Exemplu de calcul - rezervor circular rezemat pe pmnt

4.1. Dimensiuni: Rezervorul are nlimea interioar 6,50m i diametrul interior de 15,00m (fig.5), avnd o capacitate de circa 1000mc. Grosimea pereilor este de 30cm, iar grosimea radierului este de 40cm. Rezervorul este situat ntr-o zon seismic caracterizat prin ag=0,24g i Tc=1,60sec.

4.2. Calculul maselor:

Masa perei: mw=239000 kg

Masa baz: mb=195000 kg

Masa ap: m=1060000 kg

4.3. Parametrii modelului mecanic:

4.3.1. Presiunea impulsiv:

n relaia de mai sus s-a luat , pentru simplitate, cu meniunea c EN1998-4 recomand pentru coeficientul valori chiar mai mari dect cele din EN1998-1.

4.3.2. Presiunea dat de masa inerial a pereilor:

4.3.3. Presiunea convectiv:

Astfel rezult, conform P100-1/2006, .

Fig. 5 Sectiune prin rezervor

4.3.4. Presiunea dat de componenta vertical a aciunii seismice:

4.4. Presiunea hidrodinamic maxim:

sau

Pentru proiectare, se alege valoarea maxim, . De menionat c presiunea hidrostatic la care s-au calculat, de regul, rezervoarele n ara noastr este:

deci, presiunea total de calcul este , cu 57.6% mai mare decat presiunea de calcul a rezervorului.

Bibliografie

ACI 350.3, 2001 Seismic design of liquid containing concrete structures An American Concrete Institute Standard

EN 1998-4, 2006 Design provisions for earthquake resistance of structures, Part 4- Silos, tanks and pipelines European Committee for Standardisation, Brussels

NZS 3106, 1986 Code of practice for concrete structures for the storage of liquids Standards Association of New Zealand, Wellington

Housner, GW Dynamic analysis of fluids in containers subjected to accelerations, Nuclear Reactors and Earthquakes, Report No.TID 7024, US Atomic Energy Commission, Washington DC, 1963

Jaiswal O.R., Durgesh C.R, Sudhir K.J. Review of Code Provisions on Seismic Analysis of Liquid Storage Tanks IITK-GSDMA-EQ04-V1.0- Kanpur 2008

Veletsos, B.S., Dynamics of Structures-Foundation Systems-Structural and Geotechnical Mechanics. Ed W.J. Hall, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New York 1977