REVISTA DE MATEMÁTICA wMU)SEÑAN7A MEDIA · REVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA ... a...
Transcript of REVISTA DE MATEMÁTICA wMU)SEÑAN7A MEDIA · REVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA ... a...
ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA
wMU)SEÑAN7A MEDIA
Año II Julio - Agosto 1964 Número 7
La formación del profesor
Temas de nuestro tiempo: Las estructuras matemáticas y
las estructuras operatorias de la inteligencia.
por Jean PIAGET
La Reunión de Bogotá.Panorama:
El álgebra de Boole (cont).por Florencio D. JAIME
Orientación:
Transformaciones y matrices
por Roberto G. OVEJERO
Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo
;
ELEMENTOS MATEMATICA MODERNAObras indispensables para el educador
REVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIAm$n.450.—450.—
1.220.—
Publicación bimestralClaparcde: Cómo diagnosticar los aptitudes de los escolares...........................Corman: La educación en la confianza .......................................................................Courant y Robbins: ¿Qué es la matemática? .............................................................Cramcr: Elementos de la teoría de probabilidades y algunas de sus apli
caciones ............................................................................................................................Gattcgno y otros: El material para la enseñanza de las matemáticas...........Hillcbrand: Psicología del aprendizaje y de la enseñanza ..................................Lovell: Didáctica de los matemáticas ..........................................................................Mckinsey: Introducción a la teoría matemática de los juegos ........................Morris y Brown: Ecuaciones diferenciales ..................................................................Piagct y otros: La enseñanza de las matemáticas . . . ...........................................Struik: Geometría diferencial .............................................................................................
Solicite suscripción a nuestro boletín de novedades Pregón
Editores: José R&nfi - Alfredo B. Besio
Consultor: José BabiniCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)
Nélida I. Melani (Córdoba)José A. Petroeelli (La Plata)
820.—635.—580.—380.—
1.355.—1.085.—
580.—720.—Sede: Fernández Blanco 2045 BUENOS AIRES (Sucursal 31) ARGENTINA
I
(5) AGVILAR*Av. Córdoba 2100 - Buenos Aires - T. E. 49-1133Suscripción anual: (6 números). Argentina: 300— m$n.
Exterior: 2,50 dólares.Para colaboraciones, suscripciones y avisos, dirigirse directamente a los Editores.Ejemplar suelto: 60— m$n. (Números atrasados: SO —m$n.)(En venta en la sede de la Revista o en la Librería del Colegio, Alsína y
Bolívar, Buenos Aires.)
i Rosario: San Martín 511 * Tel. 62060Córdoba: Deán Funes 501 - Tel. 28764
OBRAS fundamentales para su
BIBLIOGRAFIA MATEMATICAALGEBRA Y CALCULO NUMERICO, por Alberto E. Sagastume Berra y Germán Fernández.□ $ 1.200744 págs....................................................................................................................................................ANALISIS MATEMATICO, por Julio Rey Pastor, Pedro Pi Calleja y César A. Trejo. Vol. I: Análisis algebraico. Teoría de ecuaciones. Cálculo infinitesimal de una variable. 864 págs.Vol. II: Cálculo infinitesimal de varias variables. Aplicaciones. 642 págs................................Vol. III: Análisis funcional y aplicaciones. 736 págs................................................ .....................ESTADISTICA, por Fausto I. Toranzos. 360 págs........................................................................GEOMETRIA ANALITICA, por Julio Rey Pastor, Luis A. Santaló y Manuel Balanzat. 552 págs. „MATEMATICA GENERAL, por César A. Tre¡o.
Elementos de Algebra, de Geometría analítica y de Trigonometría. 288 págs.......... ....Vol. II: Cálculo diferencial e integral. 288 págs........................................................................ ...
y también el EXTRAORDINARIO
□„ 1.300 „ 1.100 „ 1.200
600□I 850□
En el próximo número: □550
Vol. I: 550
Transformaciones y matrices (conclusión).Llis estructuras matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligencia (continuación).La reunión de Bogotá (continuación).El álgebra de Boole (conclusión).
LEXICON KAPELUSZ: MATEMATICA Más de 3.500 artículos con definiciones de conceptos fundamentales. Un millar de biografías de célebres matemáticas. Diccionario únicoen nuestra lengua. 744 págs...................................................... $ 1.650
Volúmenes encuadernados, formato 17 x 24, ¡lustrados.I R X A LEDITO!i
! Siempre dinámicamente identificada con el propósito de difundir la cultura.!
BUENOS AIRESgr Registro Propiedad Intelectual N? 827.169 MORENO 372Tarifa Reducido Concetión N9 7267 Imsu
«oiFranqueo Paoado ,
Concesión N9 609
ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
PUBLICACIONES CIENTIFICAS Y DE TECNOLOGIAAPLICADA
,\ •APOSTOL T. M., Análisis Matemático - 550 págs...............................
BOUVART C. y RATINET A., Nuevas tablas de Logaritmos - división centesimal y sexagesimal - 188 págs.................................
LONGLEY W- R., SM1TH P. F. y WILSON W. A., Geometría Analítica y cálculo infinitesimal - 894 págs......................................
PALMER C. I. y BIBB S. F., Matemáticas Elementales - 4 vols. - 832 páginas. Aritmética, Geometría, Algebra y Trigonometría (para escuelas de orientación técnica) .............................
REES P. K- y SPARKS F. W., Algebra - 500 págs............................
SPARKS F. W- y REES P. K., Trigonometría Flana - 308 págs. . .
$ 1.400.-
$ 260—
Año II Julio - Agosto 1964 Número 7$ 1.780.-
$ 700.-
$ 1.000.-
$ 840.-
.
La Formación del Profesori
Los conocimientos matemáticos del profesor tienen hoy una Impor* tanda primordial. En cada uno de los temas del programa, no solamente deben extenderse mucho más allá de lo que él tiene que enseñar, sino también armonizar con el pensamiento contemporáneo de la disciplina.
Seminarlo de Royaumont (1959)
EN BREVE:
APOSTOL T. M-, Cálculo y Geometría Analítica y Vectorial - 2vols. BELLMAN R., Introducción al Cálculo de Matrices- DIEUDONN'5 J., Fundamentos del Moderno Análisis.DUBREIL P. y DUBREIL-JACOTIN M. L., Lecciones de Algebra Moderna. HOCKING J. y YOUNG G., Topología.WELLMAN B. L, Geometría Descriptiva Técnica.
SU BASE MATEMATICA
La cuestión que abordamos es bastante espinosa, pero es ineludible. No pretendemos agotar su tratamiento sino aportar modestamente una opinión. Otros están sin duda más capacitados para encarar resueltamente su solución y no deben, por cierto, demorar en hacerlo.
El tema se trató en recientes reuniones internacionales y las conclusiones fueron coincidentes: necesidad de una preparación matemática de nivel superior — dicen universitario— para el futuro profesor. Para nosotros esto no es novedoso; bastaría remitimos a los considerandos del decreto de creación del actual Instituto Superior del Profesorado, hace sesenta años.
• En primer lugar, creemos —como se expresó en Bogotá— que “la preparación básica mínima de cualquier aspirante a profesor de matemática en la escuela secundaria debe comprender fundamentalmente aquellos temas que luego tendrá que enseñar; además debe darle una buena comprensión de aquellos conceptos que sus alumnos han de estudiar eventualmente en cursos más adelantados”.
Tal como van las cosas, cada vez se hará más difícil prescindir de los cur- de álgebra que comprendan el estudio de las estructuras algebraicas y del álge
- .1 -
PRESENTAMOS TAMBIEN CON SUMO AGRADO
PHYS1CAL SCIENCE STUDY COMM1TEE. Física: Método volúmenes................................. Piloto - 2
$ 750.-
$ 270.-PHYS'.CAL SCIENCE STUDY COMMITEE, Guía del Laboratprio . . .
PHYSICAL SCIENCE STUDY COMMITEE, Guía del Profesor - 4 vols. (en breve).
SOLICITE FOLLETOS EXPLICATIVOS A
EDITORIAL REVERTE ARGENTINA S.R.L.AVDA. ANGEL GALLARDO 271
BUENOS AIRES (5)
TEMAS MODERNOS EN LIBROS MODERNOSBARCELONA - BUENOS AIRES - MEXICO SOS
bra lineal Y de los de álgebra de conjuntos y de cálculo proposicional, incluyendo álgebra de Boole. Y de los de probabilidad y estadística. Para no citar sino aquellos cuya inclusión se ha hecho inevitable en los últimos tiempos. TEMAS DE NUESTRO TIEMPO—
Las estructuras matemáticas y las
estructuras operatorias de la inteligencia' ’
En segundo lugar, la preparación no debe perder de vista la activididad docente ulterior y hacia ella debe orientarse; pero asimismo tiene que tratar de facilitar la prosecución de los estudios por parte del aspirante, aun con miras a la licenciatura o el doctorado. (En este sentido, es impostergable eliminar la discontinuidad existente entre ambas carreras, la docente y la científica pura, acordando las equivalencias necesarias.) Debe ser, pues, lo suficientemente sólida como para permitir sin dificultades, posteriores extensiones o profundizaciones de la misma.
Coincidimos así —y nos place consignarlo— con lo expresado hace apenas unos meses en un decreto del Poder Ejecutivo, al reconocer la necesidad de “asegurar una preparación docente seria y actualizada en los conocimientos, a la que capacitar para estudiar por sí lo que eventualmente sea necesario en el futuro . En ese futuro en el que debemos pensar sin demora y sin remedio.
JEAN PIAGET(Ginebra, Sii'za)
I de las matemáticas y por el papel fundamental atribuido en estos trabajos a la noción de estructura.
En la base del edificio de las matemáticas se han buscado durante mucho tiempo algunas naturalezas simples, imaginadas en un mundo más o menos atomístico. Eran ios números enteros, que Kronecker atribuía al mismo Dios, por oposición a todas las demás categorías numéricas, debidas al artificio humano. Eran el punto, la línea, etcétera, cuyas combinaciones engendran el espacio. Pero eran siempre seres dados en sí mismos, que el espíritu podía, ya contemplar, ya manipular, según que la reflexión no hubiera tomado aún conciencia del papel de las operaciones o que las superpusiera a las naturalezas simples, como las herramientas de un albañil utiliza para cimentar los materiales dados previamente para la construcción de un muro o de una csaa.
Pero si los fundamentos consisten en estructuras y si la construcción procede, gracias a ellas, a la vez de lo simple a lo complejo y de lo general a lo particular, las perspectivas son muy otras. Una estructura tal como, por ejemplo, un gru- po, es un sistema operatorio: la cuestión estriba en saber si los| elementos de diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamente a ésta,(*) Este artículo constituye el Capítulo I del libro 'la
enseñanza de las matemáticas", que comentamos en nuestro número anterior (p. 15S). Agradecemos a M. AGUILAR su autorización para publicarlo en ELEMENTOS. Es el resumen de la conferencia del Autor en la reunión de la CIEMEM celebrada en La Rochette par Melun (Francia), en abril de 1952, y dedicada a tratar las estructuras matemáticas y las estructuras mentales. (N. de los E.).
vezSi nos situamos en el punto de vista
práctico del pedagogo encargado de enseñar las verdades matemáticas o en el punto de vista teórico del epistemólogo que reflexiona sobre la naturaleza de los seres matemáticos, el problema central parece ser, en ambos casos, saber si las conexiones matemáticas son engendradas por la actividad de la inteligencia o si ésta las descubre como una realidad exterior y completa. Ahora bien: este problema, tan antiguo como la filosofía occidental, puede hoy plantearse en función de la psicología y aun de la psicología infantil; entre otros, el estudio del desarrollo mental puede mostramos si el despliegue de las acciones del sujeto, después de las operaciones del pensamiento, basta para explicar la construcción de los seres matemáticos o si éstos son descubiertos fuera, como lo son los seres físicos con sus propiedades objetivas, y como lo son también estas especies de seres ideales constituidos por los sintagmas del lenguaje impuesto al individuo por el grupo social del que forma parte (y ya se sabe que la comparación entre los seres lógico-matemáticos y las conexiones lingüísticas es sostenida por un gran número de lógicos, sea su preocupación última de naturaleza conven- cionalista o de índole platónica).
Ahora bien: si los métodos de estudio y aproximación a este problema eterno pueden rejuvenecerse recurriendo a la psicología genética, los términos mismos del problema han sido renovados recientemente por las perspectivas abiertas, gracias a los Bourbaki, en la arquitectura
LOS EDITORES
i
ooo
"... la sociedad está hoy en día bajo la obligación ineludible de reexaminar su concepto de la profesión pedagógica, con especial atención a las ramas científica y matemática, y de dictar nuevas disposiciones para entrenar profesores calificados, para regular las condiciones d empleo y para estimularlos a hacer esfuerzos adecuados para su propio mejoramiento. La sociedad necesita más y mejores profesores que los que ahora ocupa en los campos de la ciencia y de la matemática, y sólo mejorando su situación profesional será posible obtener para las escuelas y universidades del futuro el número y la calidad necesitarán”.
e su
que se
MARSHALL H. STONE iReforma en educación matemática” (Bol. N9 29
de la Universidad de Chile, mayo 1962) i- 2 - - 3 -
i
general a lo particular, y combinarlas entre sí, de lo simple a lo complejo: de donde existe una jerarquía que sustituye a los antiguas campos yuxtapuestos por una serie de planos superpuestos según estos dos modos de generación. De aquí se sigue de nuevo un principio de totalidad, que subordina los elementos o las clases de elementos al dinamismo de construcción propiamente dicha.
Observemos también el gran interés que tiene para la psicología del pensamiento matemático el modo de descubrimiento de las estructuras, y esto nos lleva a nuestra alternativa inicial sobre la continuidad entre el trabajo de la inteligencia y la construcción matemática, o sobre la exterioridad de los seres ideales que el espíritu aprehendería como tales. En principio, el examen del camino que siguen los matemáticos para alcanzar las estructuras fundamentales parece hablar en favor de la segunda de estas tesis: lejos de deducirlas de una vez, parte de analogías descubiertas después entre las formas de rozamiento en juego en dominios sin afinidad aparente; luego, en algún modo inductivamente, como se procede er. presencia de hechos experimentales, reconstituye los mecanismos comunes hasta obtener las leyes más generales de la estructura investigada; sólo entonces interviene la axiomatización y después la explotación, es decir, la aplicación de estas leyes generales a las teorías particulares por diferenciación progresiva. Además, el paso de las estructuras madres á las estructuras secundarias se hace mediante combinación de estructuras múltiples; tampoco aquí es una deducción esta combinación, porque hay que hacer intervenir, a propósito de cada nueva estructura, axiomas nuevos para poder integrar en ella nuevos elementos.
Pero esta marcha de algún modo inductiva del descubrimiento de las estructuras es, por el contrario, muy reveladora de las relaciones que sostienen las estructuras con los elementos diversos que ordenan. Si, históricamente, estos elementos parecen dados con anterioridad al descubrimiento de la estductura, y si ésta desempeña así esencialmente el papel de un instrumento reflexivo destinado a descubrir sus caracteres más generales, no
es decir, poseen una significación suficientemente independiente respecto de ella, o si, por el contrario, es la acción de la estructura-acción no explícita al principio, porque el orden de la toma de conciencia invierte el orden de la génesis, la que confiere a los elementos sus propiedades esenciales. Más precisamente: el problema psicológico (y es el único de que vamos a tratar) consiste en establecer si los seres que sirven de elementos a las estructuras son el resultado de operaciones que los engendran o si preexisten a dichas operaciones aplicándose a ellos fuera del tiempo.
Pero las modificaciones que entraña la idea de estructura en el juego de las definiciones y de las demostraciones significativas a este respecto. En vez de definir los elementos aisladamente, por convenio o por construcción, la definición estructural consiste en caracterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre sí, en función del sistema. Y la definición estructural de un elemento. hará las veces de demostración de la necesidad de este elemento, en cuanto está concebido como perteneciente a un sistema cuyas partes son interdepéndientes. Así, un principio de totalidad se da desde el comienzo, y esta totalidad es necesariamente de naturaleza operatoria. Hasta en un sistema de puras relaciones como las estructuras de orden, si el producto de dos relaciones es también una relación, es que las relaciones están coordinadas entre sí por las operaciones de la lógica de las relaciones.
No menos reveladoras son las transformaciones introducidas gracias a la noción de estructura en la arquitectura de las matemáticas, lo que equivale a decir en el orden de construcción o de filiación de las innumerables clases que pueden distinguirse en estos seres abstractos. Cabe decir a este respecto que la introducción de las estructuras representa un progreso análogo al que la Anatomía comparada ha representado en Biología, sustituyendo una clasificación que se contentaba con caracteres exteriores, en sus discontinuidades estáticas, por una clasificación fundada en las conexiones intemas y genéticas. Partiendo de algunas estructuras fundamentales, la marcha seguida consiste en diferenciarlas, de lo
hay que olvidar que, psicológicamente, el orden de la toma de conciencia trastorna el de la génesis: lo que es primero en el orden de la construcción general aparece después en el análisis reflexivo, porque el sujeto toma conciencia de los resultados de la construcción mental antes de alcanzar sus mecanismos íntimos 0).. Lejos de constituir un argumento decisivo en favor de la independencia de las estructuras con relación al trabajo de la inteligencia, su descubrimiento tardío y casi inductivo nos haría, por el contrario, sospechar su carácter primitivo y generador. Pero si lo que es íundamental aparece al término del análisis. la recíproca no es necesariamente cierta, y sigue abierto el problema relativo a esclarecer las conexiones eventuales existentes entre las estructuras madres del edificio matemático y las estructuras operatorias que el estudio del desarrollo mental permite considerar como constitutivas de la construcción lógico-matemática. Es lo que se trata de examinar ahora en el terreno de la psicogénesis.
Las tres estructuras fundamentales sobre las cuales reposa el edificio matemático, según los Bourbaki, (2) serían las estructuras algébricas, cuyo prototipo es el grupo, las estructuras de orden, de las cuales una variedad, corrientemente utilizada hoy (por otra parte, con exceso, en ciertos casos), es la red, y las estructuras topológicas. Este número no es, por otro lado, exhaustivo, y el desarroLo de las matemáticas podría conducir a aumentarlo. Pero en el estado actual de nuestros conocimientos, estas tres estructuras son las únicas irreductibles entre sí y desempeñan por ello el papel de estructuras madres.
Ahora bien: es del mayor interes comprobar que si se quiere analizar hasta sus raíces el desarrollo psicológico^ de las operaciones aritméticas y geométricas espontáneas del niño, y, sobre todo, las operaciones lógicas que constituyen
sus necesarias condiciones previas, se encuentra en todas las etapas, primero, una tendencia fundamental a la organización de totalidades o sistemas, fuera de los cuales los elementos carecen de significado y aun de existencia, y en seguida, una distribución de estos sistemas de conjunto según tres especies de propiedades que corresponden precisamente a las de las estructuras algébricas, las estructuras de orden y las estructuras topológicas. Es lo que intentaremos explicar examinándolas una por una, para deducir seguidamente la elección general que implica esta convergencia.
una
IIson
Conviene, en primer término, recordar la noción de estructura se ha conque
vertido desde hace unas décadas, e independientemente de la evolución reciente de las matemáticas, en una de las rociones corrientes de la psicología de las funciones cognoscitivas (percepción e inteligencia). En los campos más diversos, los psicólogos se han visto obligados a admitir que la marcha natural del espíritu, que consiste en buscar los elementos antes que las totalidades, engendrando éstas mediante la composición de aquéllos, se apoyaba en analogías engañosas con la fabricación material. En el dominio de la percepción, en particular, donde las acciones de campo son fáciles de analizar experimentalmente, se ha llegado a comprobar que los pretendidos elementos son siempre el producto de una disociación o de una segregación en e! interior de una totalidad previa, y que no puede deducirse ninguna relación particular sin proceder a la separación de los caracteres estructurales del conjunto.
En el terreno especial de la inteligencia, el único que nos interesa aquí, este papel de las totalidades es también constante, pero ofrecen una forma distinta que en' el campo perceptivo. La inteligencia aparece esencialmente, en efecto, como una coordinación de las acciones. Estas últimas, en principio, son sólo materiales senso-motrices (es decir, sin intervención de la función simbólica ni de la representación); pero, ya entonces, se organizan en esquemas que comportan ciertas estructuras de totalidad. Después, con
(1) Piénsese, p, ej., en la introducción tardía, con Cantor, de las operaciones de correspondencia unf-
trata de una de las del número ontero en el
voca y recíproca cuando se operaciones generatrices 1 niño y en el primitivo.
(2) Véase ELEMENTOS, año I, pp. 1H/5 y 139/43. (N. de los E.).
- 5 -4 -
¡
La aparición de las primeras operacio- sistemáticas, hacia los 7-8 años, se
ñala, pues, la llegada al estado de equilibrio hacia el que tendía el pensamiento durante la fase incoativa precedente, y es necesario comprender bien esta relación de equilibrio progresivo entre la íase preoperatoria y el primer período operatorio (de 7-8 años a 11-12 años) para no considerar aquélla como especie de comienzo absoluto. Las raciones nacientes, peraparadas así por las coordinaciones senso-motrices y por las regulaciones representativas preoperatoria, ofrecen entonces los siguientes caracteres: son acciones propiamente dichas, que prolongan las acciones materiales anteriores, pero interiorizadas talmente gracias a la función simbólica. Son esencialmente reversibles, es decir, que la operación es una acción que puede desarrollarse en los dos sentidos, y que la comprensión de uno implica ipso facto la comprensión del otro. Y, sobre todo, son desde el principio solidarias de un sistema: no existe operación aislada porque una acción aislada es de sentido único y, por tanto, no es una operación- Una operación es así necesariamente solidaria de otras, y su misma naturaleza depende de esta capacidad de composición móvil y reversible en el interior de un sistema. Hay, por consiguiente, estruc- tu:a operatoria desde que hay operación, y la estructura del conjunto no es
producto que resulte de composiciones entre operaciones previas, ya que la acción sólo
ayuda de la función simboúca, y en par ticular de las imágenes mentales del lenguaje, las acciones se interiorizan progresivamente, y después de una fase más o menos larga de transición entre el acto material y la representación (período que llamaremos del pensamiento preoperatorio, entre los 2 y los 7-8 años) se constituyen en operaciones propiamente dichas y ofrecen entonces bajo una forma típica las estructuras de conjunto características de la inteligencia.
Para comprender la naturaleza de estas estructuras operatorias hay que partir del hecho fundamental de que, contrariamente a los procesos perceptivos, que son irreversibles porque se fundan en un modo de composición probabilista, la inteligencia se orienta desde el principio hacia una reversibilidad que aumenta sin cesar en importancia en el curso dei desarrollo. Sin duda, las acciones motrices iniciales son todavía irreversibles, porque se dirigen en un sentido único hacia el fin práctico que se trata de conseguir. Pero desde que se coordinan los esquemas senso-motrices, la inteligencia es capaz de cierta movilidad, distinguiéndose por rodeos y retornos, y entonces se ve asomar un comienzo de reversibilidad más o menos sistemática que volverá a encontrarse en el plono de las representaciones. En este nuevo plano la reversibilidad no se impone inmediatamente. Durante toda la fase preoperatoria, el sujeto razona más sobre las configuraciones que sobre las transformaciones, y se trata para él de aprender a pensar lo que ha llegado a ejecutar mediante acciones (p. ej, a representarse
sistema de movimientos cuando ya ha aprendido a efectuarlos materialmente). De la misma manera, la representación naciente ofrece todavía, durante toda esta importante fase de la pequeña infancia, una dificultad sistemática para la reversibilidad y, por consiguiente, para la conservación de los invariantes elementales (longitudes, distancias, conjuntos discontinuos, cantidades físicas, etc.). Pero desde esta fase preoperatoria, juego cada vez más denso de regulado nes conduce a una compensación progresiva de los errores debidos a la irreversibilidad del comienzo, y anuncia así la reversibilidad operatoria.
cuatro de las propiedades elementales del grupo: que el producto de dos elementos del grupo da también un elemento del grupo; que toda operación directa corresponde a una y sólo una operación inversa; que existe así una operación idéntica, y que las composiciones sucesivas sean asociativas. Expresadas en lenguaje de acciones inteligentes, estas cuatro propiedades significan: 1) que la coordinación de dos esquemas de acción constituye un nuevo esquema que se añade a los anteriores; 2) que una coordinación puede, a voluntad, realizarse o suprimirse, y, dicho más simplemente, que una acción inteligente (operación) puede desarrollarse en los dos sentidos; 3) que el retorno ol punto de pariida permite volver a encontrar éste sin cambio, y 4) que puede alcanzarse e! mismo punto de llegada por diferentes caminos sin que dicho punto cambie cucIquiera sea el camino elegido. De
manera general, el grupo es, por consiguiente, la traducción simbólica de alguno de estos caracteres fundamentales del acto de inteligencia: la posibilidad de una coordinación de las acciones, la posibilidad de los retornos y la de los giros.
Pero hay más: las transformaciones propias de un grupo son siempre solidarias de algunos invariantes, de donde resulta que la constitución de un grupo está en correspondencia con la construcción de invarianttes que se relacio-
con él. Ahora bien: ocurre exacta-
resumen, equivale a un movimiento nulo. Pero también puede dejar el objeto en B y desplazarse él mismo de A a B, lo que reproducirá una situación inicial, cuando el objeto estaba frente a su propio cuerpo, en este caso, el movimiento del objeto no ha sido anulado, sino simplemente compensado mediante un movimiento recíproco de su propio cuerpo, lo que constituye una transformación distinta. Sin querer poner en fórmulas logísticas las acciones del bebé, advirtamos, sin embargo, que esta diferencia esencial entre la negación o inversión y la reci-
• procidad o compensación constituye así, desde el principio, dos formas esenciales de la reversibilidad, que encontraremos de nuevo juntas a lo largo de todo el desarrollo y qüe sólo llegarán a una sn- tesis en un sistema único cuando, al nivei de las operaciones formales, después de los 11-12 años, se constituya el grupo de las cuatro transformacinoes interproposi- cionales (que, para volver a este ejemplo de los desplazamientos, permitirá d niño, pero solamente entonces, coordinar
mismo todos los desplazamientos según dos sistemas de referencia a la
móvil y otro fijo).Henos aquí en condiciones de precisar
en qué sentido las tres estructuras fundamentes de los Bourbaki corresponden a estructuras elementales de la inteligencia, de las cuales constituyen la pro longación formalizada y no, naturalmente, la expresión directa.
nes
unaope-
men-
senso-
una:
en uno
vez: uno
unnanmente lo mismo en lo que se relaciona con las formas de organización espontáneas que se procura la inteligencia en el curso de su desarrollo: a la irreversibilidad inicial de las acciones corresponde
ausencia de conservación, y a la
se convierte en operatoria y reversible en el interior de una estructura y bajo el efecto de su organziación.
Advirtamos todavía, antes de detallar los tipos de estructura, que la reversibilidad, que constituye sin duda la ley fundamental de las composiciones propias de la inteligencia, se presenta desde el comienzo (por tanto, desde los
senso-motrices) bajo dos formas complementarias e irreducibles: la inversión o negación y la reciprocidad. Cuando un bebé de 10 a 12 meses, que comienza a organizar de manera sistemática los desplazamientos en su espacio próximo, ha desplazado un objeto de A a B, puede anular esta transformación mediante la transformcaión inversa, volviendo a colocar el objeto de B en A, lo que, en
III
Las estructuras algébricas, y principal-___ _ la de grupo, corresponden a losmecanismos operatorios de la inteligencia regidos por la primera de las dos formas de reversiiblidad, que hemos llamado inversión o negación (el producto de una operación por su inversa es, pues, la operación idéntica o transformación nula).
Conviene insistir, a este respecto, en el hecho de que, por tardío que haya sido el descubrimiento de la nación de
matemático (siglo XIX),
unmente
unaconstrucción de estructuras reversibles corresponde la elaboración de nociones de conservación relativas al dominio as» estructurado.
Tales procesos pueden observarse desde el campo senso-motor por una especie de prefiguración práctica (y ligada al espacio próximo) de lo que serán las operaciones en el plano de la representación o del pensamiento. Así ocurre que durante los primeros meses de existencia los desplazamientos todavía no pueden
organizados en grupo porque están
esquemas
i
un
grupo como ser tal estructura expresa, en realidad, al-
de los mecanismos más caracte-gunosrísticos de la inteligencia. Destaquemos, en esta perspectiva, la significación de ser
- 6 - - 7 -
I
sñt' centrados en el propio cuerpo y com- L puestos con arreglo a ciertos errores sis- ••• temáticos en función de ese egocentns-
mo (3); a este nivel tampoco hay todavía ■ objetos permanentes de trayectoria inde
pendiente de la acción propia. Hacia el fin del primera año, por el contrario, se da simultáneamente la constitución de este grupo experimental de los desplazamientos, ya invocado por Henri Poin- caré (pero que él creía innato, siendo así que constituye una forma de equilibrio final de la organización senso-mo- triz), y la elaboración del esquema del objeto permanente (en función de las localizaciones sucesivas, así como de los giros y retomos).
El desarrollo del pensamiento representativo, en el curso de la fase preoperatoria y al nivel de las primeras operaciones concretos (de 7 a 11 años), origina un cuadro análogo. Mientras supone irie- versibilidad del pensamiento, no pueden existir en él nociones de conservación ni siquiera en los campos más simples de la observación (conservación de /unto en caso de modificación en la configuración de los elementos; conservación de la equivalencia entre dos conjuntos correspondientes cuando los elementos, después de haber estado unos frente a otros, no ofrecen ya correspondencia óptica; conservación de la igualdad de longitudes de dos palos cuando encuentra ligeramente desplazado pecto del otro; conservación de la distancia entre dos elementos inmóviles cuando se intercalan nuevos objetos entre ellos, etc.). Por el contrario, la trucción de las primeras estructuras represen etativas reversibles, hacia los 7-8 ños, lleva consigo necesariamente la elaboración de las correspondientes ciones de conservación.
Es inútil reproducir aquí la descripción de las numerosas estructuras reversibles de tipo algébrico que hemos señalado en otro lugar en la elaboración, por el niño de 6-8 años, de las nociones de número entero, de rectas proyecliva o euclidiana, de medida geométrica, de tiempo, etc. Lo importante es recordar que cada de estas construcciones supone una ela
boración lógica previa, participando entre otras de la lógica de clases, y que las primeras operaciones de esta lógica accesibles al niño exigen también, para constituirse, ciertas estructuras de tipo algébrico no idénticas al grupo todavía, pero con alguno de sus caracteres.
Tomemos como ejemplo la inclusión de una clase parcial A en una clase total B. Nada parece de comprensión más cilla que tal encaje, cuando todos los elementos se dan simultáneamente en el mismo campo perceptivo (así, cuando B = una colección visible de
formas del pensamiento científico pertenecen a estructuras de este tipo: p. ej., la clasificación zoológica, en la que se encuentran todos estos caracteres, incluso la contigüidad (no pueden disociarse dos clases cualesquiera, tales como el camello y la lombriz, para formar con ellas una nueva clase, sin pasar por una serie de dislocaciones del tipo: A' -f- C' == = D — B'; etc.).
Veremos, por otra parte, que tales estructuras constituyen igualmente, desde el punto de vista de las estructuras de orden, redes incompletas, ya que todos los límites inferiores entre clases del mismo orden son nulos. Pero con el criterio que nos interesa aquí, que es el de la filiación de las estructuras a partir de los mecanismos del desarrollo espontáneo de la inteligencia, es tanto más precioso encontrar así, antes de llegar a las estructuras de alcance general, algunas formas incoativas de organización que, precisamente porque han escapado a la formulación de lógicos y matemáticos, atestiguan su carácter primitivo.
(2) — A — A' = — B, de donde A' = B — A; etc.
(3) A — A = 0.(4) A f- A ~ A (tautología).(5) Asociatividad limitada a las opera
ciones no tautológicas: (A + A') -f- + B' = A 4- (A' + B') pero A + + (A — A) 4 (A + A) — A.
Se observan en esta estructura algunas transformaciones comunes con él grupo, tales como -j- A, — A y 0. Pero, por una parte, la asociatividad es restringida. Por otra parte, las transformaciones solo se efectúan de manera contigua, es decir, pasando por la complementaridad con la clase inmediata superior. Estas dos limitaciones disminuyen considerablemente, como es natural, la generalidad de esta estructura. Pero, desde el punto de vista genético, no ofrece menos interés, porque atestigua sin duda la necesidad de pasar por una estructura algébrica para llegar a las más sencidas construcciones lógicas.
Advirtamos, por otra parte, que algunas
sen-
cuentas de madera, A = una parte de B formada por 20 cuentas oscuras y A' = otra parte formada por 2 ó 3 cuentas claras). Sin embargo, basta preguntar al niño si el todo B es más o menos numeroso que la parte mayor A (“¿Hay aquí más cuentas de madera o más cuentas oscuras?", etc.) para percibir la complejidad operatoria de este encaje inclusivo. Antes de los 7 años, por término medio, el niño responde que A supera a B, y ello porque tan pronto como el todo B es disociado en partes, ese todo no existe ya como tal, y lo que queda de B no es entonces más que la otra parte A'. (“Hay más cuentas oscuras que cuentas de madera, porque quedan solamente dos claras", dirá el niño sabiendo que las oscuras son también de madera.) Para establecer la relación A < B, el niño debe pasar por la operación reversible A + A' = B, de donde A = B — A' y R = B — A. Sólo cuando se ha adquirido el dominio de esta reversibilidad de la adición y la sustracción lógicas de las clases, el todo B se conserva independientemente de las subdivisiones que puedan introducirse en él. En otros términos, la inclusión de la parte en el todo
un con- (Continuará)
ooo
ALGO SOBRE LA HISTORIA DE LA PROGRAMACION LINEAL
A la programación lineal suele asignársele un progenitor: George B. Dantzig, estadounidense, y una jecha de nacimiento: 1947. Pero un aspecto inesperado de la “guerra ¡ría" ha traído a colación la prioridad de paternidad en la figura del eminente matemático ruso L. V. Kantorovich, y retrotraído la fecha del nacimiento al año 1939. Y en reciente disertación académica, Rey Pastor nos informaba que el primer problema de programación lineal fue presentado en 1776 por Monge, y que Fourier estudió ya en 1823 los sistemas de inecuaciones lineales. Son antecedentes reconocidos los trabajos de F. I. Hitchcock en un “problema de transporte99 (1941) y de G. J. Stigler en un “problema de dieta de costo mínimo” (1945). Después de Fourier, los matemáticos siguieron interesándose por la teoría de las inecuaciones lineales y de los poliedros convexos (íntimamente relacionados con la teoría de la programación lineal) como lo indican los trabajos de J. Farkas (1902), T. S. Motzkin (1933) y H. Weyl (1935).
Estas aclaraciones históricas no modifican el hecho germinal que representa la publicación, en 1951, del artículo “Maximinización de una junción lineal de variables sujetas a inecuaciones lineales”, en que Dantzig presenta un método general de resolución numérica de los problemas de programación lin-eal (el “método sim- plex'). El interés y las aplicaciones, numerosas y diferentes, empezaron inmediatamente. Y aun hoy día puede decirse —después de la participación y las colaboraciones de tantos y tan valiosos autores—que Dantzig es el principal creador de métodosy de nuevos desarrollos en programación lineal.
(De la exposición de E. CANSADO en la reunión de Bogotá, en diciembre de
1961).
uno se res-
cons-
no-supone una estructura algébrica
previa.¿En qué consiste esta estructura? Su
forma más simple, a la cual llamamos estructura de los agrupamientos elementales, puede aclararse mediante el ejemplo de la clasificación o agrupamiento aditivo de las clases. Sus operaciones constitutivas son:(1) A + A' = B; B + B' = C; C + C =
D, etc., donde todas las clases del mismo orden son disjuntas (A X A' = 0;BXB' = 0, etc.).
ii
una
(3) Véase PIAGET: La construction du réel chez l'enfant Caps. I y II.
- 9 -- 8 -
la secundaria parece haberse estancado en el pantano de la geometría de Euáides", agregó. Afortunadamente, en un nivel superior, los geómetras de tipo moderno están evolucionando, al menos en EE.UU. Un desarrollo notorio —que la integra más estrechamente con la totalidad de la matemática— es el del empleo de los vectores como estructura para el estudio del espacio, que en los últimos tiempos ha estado apareciendo con el nombre de "espacio vectorial". (2) Pero "su introducción no ha tenido gran éxito" y "hay fuertes razones para creer que la dificultad se halla en la falta de preparación de los estudiantes para estudiar el espacio en una forma que no sea el desarrollo sintético de la geometría de Eucltdes".
Pasó luego a considerar concretamente la reforma de la enseñanza y expresó:
“En lo que sigue me referiré a la geometría de Euclides como a la presentación sintética de los Elementos de Euclides junto con cualquier refinamiento moderno tal como los hechos por Hilbert, Forder, Birkhoff y otros, y me referiré a la geometría euclidiana como el espacio concebido como un conjunto de elementos llamados puntos, en el que se introduce una estructura y una métrica que da distancias y conserva las relaciones que se encuentran en la geometría de Euclides. Este espacio euclidiano se halla en el corazón de la matemática y sus propiedades nos ofrecen el medio de extender y generalizar muchas de las otras
(la relatividad, la geometría diferencial, los grupos, los espacios métricos y la topología, por ejemplo). La geometría de Euclides, en cambio, no tiene nada que ve: con estos temas; es hoy estéril, se halla fuera del camino principal de los adelantos matemáticos y puede
relegada, sin temor, a los archivos uso de los historiadores del mañana.
PANORAMA to completo de axiomas (basta mencionar únicamente a Hilbert y sus "Fundamentos" o a Huntington y sus 27 postulados de álgebra compleja, como ejemplos de esta interpretación). El tema quedaba entonces completo, con excepción del desarrollo tautológico de los teoremas de la estructura.
"Hoy se parte de un conjunto básico cuyos elementos, o no están definidos o se construyen a partir de conjuntos más fundamentales. En geometría nos referimos al conjunto como a un "espacio" y a sus elementos como "puntos". Introducimos luego una estructura en el conjunto y desarrollamos aquellas propiedades posibles bajo esa estructura —por ejemplo, un espacio vectorial afín. Sobre esta estructura, y en formas muy diversas, podemos introducir una estructura adicional, obteniendo así un nuevo espacio— por ejemplo, al introducir una norma en el espacio vectorial afín se obtiene un espacio vectorial normado. Podemos desarrollar aun más la estructura introduciendo una métrica —una función de la distancia— en nuestro espacio normado y, de acuerdo con la función que defina la distancia, obtendremos diferentes espacios; si se utiliza la función euclidiana, se obtendrá el espacio vectorial euclidiano. Y. según cuál sea la descrio- ción de nuestros "puntos", podremos obtener 1, 2, 3,... o infinitas dimensiones en nuestro espacio.
"Si el método —antes descripto— de emplear un par ordenado (conjunto, estructura) para definir un sistema matemático está de acuerdo con el espíritu de la época, y si la posibilidad de intraducir diferentes estructuras en un conjunto proporciona flexibilidad a dicho sistema, debemos captar algo de ese espíritu en el estudio de la geometría en la escuela secundaria. Necesitamos algunas ideas geométricas nuevas y audaces que nos inviten a separamos de Euclides. Esta fue la tesis de Dieudonné en la conferencia de Royaumont, (3) en donde señaló el rumbo por el que podría conducirse la reforma. Utilizando sus observaciones y las ideas de algunos de los que participaron en el seminario de Du-
La Reunión de Bogotá
H. F. Fehr (EE. UU.) —secretario del comité organizador y observador de la OCDE— se refirió luego a "la reforma de la enseñanza de la geometría'.', dando por sentado que constituye uno de los problemas actualmente más discutidos, el del estudio de esta rama de la matemática, tanto en la escuela secundario como en la universidad. Expuso el desa- nollo histórico de la asignatura, que en la última parte del siglo XIX se caracteriza por dos tendencias: la del arrastre hacia el análisis (geometría diferencial) y la de su organización rigurosa (axiomática), coronada con la obra de Hilbert. En las primeras décadas del siglo actual, la repercusión didáctica de los avances en la axiomatización fue, a su juicio, escasa; esta "situación de inactividad" cambia hacia 1930 con el aporte de G. D. Birkhoff, modificado por E. C. Moise, consistente en un sistema de axiomas apropiado para la escuela secundaria, siguiendo las normas hilber- tianas. (i) Otra tendencia, bastante ge-
• neralizada en Alemania, sigue las huellas del programa de Erlangen, de Klein, y desarrolla la geometría basándose en el grupo de transformaciones característico (rotaciones, reflexiones y traslaciones), precedido por la congruencia de triángulos establecida axiomáticamente.
Según Fehr, "la supervivencia de la geometría de Euclides se debe principalmente a la creencia de que es el único tema disponible y apropiado para iniciar a las mentes jóvenes en la naturaleza de una estructura matemática axiomati- zada , olvidando la existencia de otros desarrollos, aritméticos o algebraicos, que pueden, hacerlo con igual o mayor provecho. El progreso al nivel de la escue
to Los textos de geometría —vol. I y II- del School Mathematics Study Group (SMSG) de la Universidad de Yole (EE.UU.), emplea
La 1? Conferencia Interamericana sobre Educación Matemática se celebró en Bogotá (Colombia) a principios de diciembre de 1961, con los auspicios de la CIEM y la OEA. Representantes de veinte países americanos se reunieron para escuchar disertaciones sobre la matemática moderna y los problemas de su divulgación, y para cambiar ideas que condujeran a un programa de cooperación para su enseñanza adecuada en los niveles secundario y universitario.
Después de los discursos inaugurales del ministro colombiano de educación — Dr. Jaime Posada— y del presidente del comité organizador —Dr. Marshall H. Stone—, la Conferencia comenzó sus tareas con las exposiciones de A. González Domínguez (Argentina) sobre "la matemática y nuestra sociedad tecnológica" y E. Cansado (Chile) —invitado especial— sobre "modernas aplicaciones de la matemática". González Domínguez desarrolló su tesis de que "la matemática está en la base de nuestro desarrollo tecnológico actual" mostrando las aplicaciones a la física cuántica, la automatización, el cómputo electrónico, las disciplinas nómicas. Más específicamente se refirió Cansado a estas últimas aplicaciones tratando, en síntesis apretada y erudita, las programaciones lineal, no-lineal y dinámica y la teoría de juegos, y mencionando, como cierre de su disertación, las teorías de inventarios, de las colas y de la decisión. A través de la discusión ulterior de los temas tratados por Cansado, cuya inclusión urgente en la escuela secundaria sostuvo, pudo advertirse una resistencia por parte de los asistentes a hacerlo así; "Quizás pudieran incluirse en la enseñanza secundaria; Creo, sin embargo, que hay otros más interesantes y que tienen prioridad"- expresó G. Choquet (Francia) invitado especial.
$
ramaseco-
serpara
"La forma de contemplar la geometría o cualquier otra rama matemática es muy diferente hoy de lo que era a comienzos de este sialo. Entonces se partía de un conjunto de objetos cuya existencia se suponía generalmente, pero sin describirlos, y al cual se le imponía una estructura total en la forma de un conjun-
ii
f
(2) Véase ELEMENTOS, año I, pp. 153/7. (3) Véase ELEMENTOS, año 1, p. 61.sistema axiomático.n ese
- 11- 10 -
b) V = k V' implica que V y V' se Junto con el estudio de los conjuntos, las operaciones entre ellos y las "aplicaciones", y el uso de los sistemas de coordenadas, ésta es la mejor preparación geométrica para el estudio del análisis de que podemos disponer actualmente".
Finalmente, Ferh reseñó así los principales movimientos en el desarrollo del pensamiento matemático que deben dicionar la actitud docente ante la enseñanza de la geometría:
1) El descubrimiento de las geometrías no-euclidianas y su repercusión en la axiomatización de todas las ramas del estudio matemático.
2) Las clasificaciones de las geometrías realizadas por Riemann, Klein y otros.
3) La aritmetización de la matemática efectuada, como se sabe, por Dedekind, Weierstrass, Cantor y otros.
4) El desarrollo de la geometría diferencial.
5) El perfeccionamiento de la geometría de Euclides a fines del siglo pasado.
6) El desarrollo de los conceptos de espacios vectorial, métrico y topológico.
7) La tendencia hacia las estructuras matemáticas y la unidad de la disciplina.
"La importancia de todos estos movimientos en el reconocimiento de lo que es posible y deseable en la enseñanza secundaria de la geometría —concluyó Fehr— indica que:
a) El tratamiento actual de la geometría de Euclides debe desaparecer. Contribuye poco a los estudios posteriores y se halla fuera de las corrientes principales de la matemática.
b) El espacio euclidiano es importante y debe hallarse en el centro de la enseñanza de la geometría. Debe desarrollarse como espacio aritmético, con una estructura vectorial y una métrica eucli- diana.
c) Toda la geometría de Euclides —plana y del espacio— debe aprenderse informalmente en los primeros años de la escuela secundaria.
d) En los futuros programas universitarios de análisis, una parte importante se dedicará al estudio d© los espacios vectoriales y el álgebra lineal. La escuela secundaria tiene la responsabilidad de preparar a los estudiantes para ver el
el siguien- encuen-tran sobre rectas paralelas, y recíprocamente.
c) s¡ k V = h V' y V y V' no se hallan sobre rectas paralelas, entonces k = h = 0.
d) Si a V + b W =■- c V + d W, entonces: a = c y b = d.
III. — Introducción de las coordenadas y los vectores centrados; base del siste-
de coordenadas- la proyección
espacio desde este nuevo punto de vista."Para lograr todo esto necesitamos in
vestigar y experimentar con el propósito de concretar un programa para la escuela secundaria que esté en estrecha armonía con el espíritu de la matemática contemporánea y tenga la suficiente flexibilidad para poder adaptarse a los nuevos procedimientos que puedan ir emergiendo en ella. Jamás deberemos permitir que una geometría dada domine los programas escolares y el pensamiento humano en forma tal que impida cualquier cambio, que es exactamente lo que ha hecho la de Euclides en los últimos cien años".
La discusión subsiguiente fue muy ilustrativa. L. A. Santaló (Argentina) expresó su deseo de que, una vez establecida la fundamentación que debe adoptarse —de tipo axiomático, o a la manera propugnada en Royaumont, o del tipo vectorial propuesto por Fehr— se pusiera bien en claro qué material deberá enseñarse. M. H. Stone (EE.UU.) previno sobre el error de insistir demasiado en una orientación dada, que podría contrariar intereses diversos de los alumnos. L. R. Robinson (Indias Occidentales) requirió informes acerca de si lo propuesto se había experimentado y en tal caso qué dificultades se habían presentado. O. Ca- tunda (Brasil) estuvo de acuerdo en la vetustez de la geometría de Euclides, pero no se mostró conforme con su supresión total porque "parece que la geometría sintética crea un hábito de raciocinio que la hace muy importante para la formación del ciudadano. 'A. J. Coleman (Canadá) se pronunció por el mantenimiento de Euclides porque según su experiencia "todo aquél que se ha interesado por la matemática encontró en Euclides su primer incentivo" y porque los problemas que se podrían presentar con un sistema axiomático como el propuesto serían triviales en comparación con los muy notables que se han desarrollado en dos mil años de enseñanza euclidiana". Fehr defendió su propuesta, aun reconociendo que acaso fuera el más entusiasta partidario de la geometría de Euclides entre los concurrentes, pero que no se trataba de insistir en gustos personales. Fue apoyado especialmente por G. Cho-
brovnik, (4) quisiera proponer te programa de enseñanza de la geome tría, a partir de los 11 años y hasta1 e- gar a los estudios universitarios. (El i po sólo me permitirá presentar el esque- ma principal de este programa, aunque es relativamente fácil completar sus detalles). ,
"Antes de ingresar en la escuela secundaria, a la edad de 11 años o poco más, el niño ha adquirido gran cantidad de ideas geométricas, todas de naturaleza física. Aprovechando estos conocimientos y utilizando métodos de laboratorio, tales como los de medir, doblar, dibujar y construir modelos, el alumno puede adquirir y emplear, entre los 12 y los 15 años, toda la información contenida en los Elementos de Euclides sobre geometría plana y del espacio. Durante este lapso, poco a poco, puede abstraer los elementos conceptuales esenciales, tales como punto, figura, recta, plano, espacio, como construcciones puramente mentales, y generalizar las relaciones entre estos elementos hasta el punto de poder establecer cortas cadenas deductivas de teoremas sobre algo menos que una base axiomática.
¡
i
. Paralela y los componentes de un vector. Entonces se podrá establecer la ecuación de una recta en el plano afín y estudiar sus propiedades.
IV — Introducción de la noción de pendicularidad y de producto escalar. Definir: a 1 b si a -f- b = a — b. Entonces podremos desarrollar el teorema de Pitáaoras, el del coseno v toda la geometría plana euclidiana. Además podremos ligar el álgebra con la geometría dando una solución vectorial a un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
"Todo este trabajo es geometría elemental real y preparatoria del uso que se le dará en la física y en la geometría analítica. Puede tomarse como ejemplo de un desarrollo axiomático. Posee es-
ma con-
per-
1*
tructura. Sigue las sugerencias que Dieu- donné y Choquet hicieron en Royaumont y Aarhus, (5) respectivamente y está completamente de acuerdo con los puntos de vista expresados por Henri Cortan en Bolonia al pedir que se llevara al estudiante tan directamente como fuera posible al estudio de la geometría afín y de los espacios vectoriales. Al abogar por este método, no fue su intención que se excluyera ninguno de los pasos pedagógicos necesarios para hacer posible la transición entre la geometría intuitiva y este material; pidió que todos los temas innecesarios, por atractivos que fueran (geometría proyectiva, geometrías finitas, etc.) se postergaran.
"A la edad de 17 y 18 años, esta geometría puede ser desarrollada aun mas con la introducción del espacio euclidiano, primero de una, dos y tres dimensiones y, luego, extendido a n dimensiones.
"Entre los 14 y los 15 años, el alumno encontrará trabajo deductivo adicional en el álgebra, al estudiar nuevos sistemas numéricos y la estructura algebraica; a los 15 y 16 años deberá ser capazde combinar el álgebra con la geometría, en un estudio de la geometría plana afín. A: continuación, y como sugerencia, se esboza lo que podría hacerse:
I. Introducción de las clases de equivalencia de vectores libres; la suma de dos vectores (como una operación diferente de la numérica); el grupo aditivo de los vectores; teoremas y ejercicios.
II. El producto de un vector por un numero -producto por un escalar— v suq propiedades. Estas propiedades permiti
da demostración de todos los teore-»pl““ °fin-L»
a) Dado un punto P y un vector V
SL“m r¡T * “ r»° lo.
*
j
ranmas
son:una
(•') En esta reunión, celebrada a principios de ¡u^ de 1960, en esa ciudad danesa, se trató en t ñanza de la geometría. Sobre las ideas de C o
«La enseñanzaMadrid, año b
(*) ta citada programas de PP. ¡16/120.
reunión es !a que formuló los conocidos 10 0ECE; véo* ELEMENTOS, año |,
acerca del tema puede consultarse de las matemáticas", cap. V (Ed. Aguilar; 1963), obra comentada en ELEMENTOS, p. 158. - 13 -
~ 12 -
>/
ción suiiciente; formación universitaria; perfeccionamiento continuado; provisión de programas completos y de textos apropiados en el nivel del profesor y el del alumno; supresión de materias de "cultura general" en los planes del profesorado.
Al mismo tema se refirió posteriormente O. Catunda (Brasil). En primer término expuso la situación actual de su país en materia de enseñanza secundaria, admitiendo que sería desastrosa la introauc- ción prematura de la enseñanza del álgebra y que en lugar de "¡Abajo Eucli- des!" de Dieudonné, reclamaría para su país un "¡Al menos Euclidesl". Entranao concretamente al tema planteado, señaló que pese a las exigencias legales vigentes, apenas un 20 % del profesorado se' cundario tiene formación superior adecuada a sus funciones. Además, mientras la provisión de cátedras se hace por oposiciones en las escuelas oficiales, no hay exigencia semejante en las escuelas privadas, a pesar del reconocimiento gubernativo de que gozan. Uno de los factores preponderantes del estado lastimoso de la enseñanza resulta ser así el bajo nivel de valorización del profesor; se encuentran algunos profesores convertidos en "verdaderas máquinas de enseñar" a costa de la calidad de sus lecciones, para lograr incrementar sus ingresos. A su entender, para ser realmente eficiente, el docente secundario debería contar con tres horas de trabajo cada hora de clase efectivamente dictada; podría así dedicarse debidamente a tareas de preparación y corrección, a reuniones con padres y colegas y a su propia incesante capacitación. Cuadro tan sombrío no lo hace sentir pesimista con respetco al futuro; vislumbra una reacción a través de reuniones en coloquios y congresos, riéndose al problema de la formación de docentes, expuso la manera en que lo encaran las facultades de ciencias a cargo de esa misión, en especial la de San Pablo. Concluyó su exposición abogando por: la preparación en tres o cuatro años, de nivel universitario; con los dos primeros años comunes a futuros docen- les Y a futuros matemáticos, sin pretener alcanzar conocimientos profundos y
muy abstractos, pero insistiendo sí en las asignaturas básicas además de otras
quet (Francia) y L. Pauli (Suiza), quien adelantándose a su disertación posterior, señaló el "notable éxito" obtenido en Neucháiel siguiendo las lír.eas generales propuestas por Fehr.
La Conferencia se abocó luego al problema de la formación de los profesores de matemática. L. A. Santaló (Argentina) leyó el trabajo sobre el tema preparado en colaboración con A. Valeiras ¡Argentina). Al tratar las consideraciones generales expuso que:
Todo profesor de matemática debe tener conocimientos adecuados sobre:
I. Qué enseñar (Es decir, conocimiento claro y extenso de la matemática); II. Cómo enseñar (Es decir, conocimientos de didáctica); III. A quiénes enseñar (Es decir, conocimiento del sujeto a quien la enseñanza va dirigida: psicología de los alumnos) IV. Por qué y para qué enseñar. (Es decir, conocimientos sobre los problemas generales de la educación como, por ejemplo, los fines y los medios de la educación, la formación moral y de la personalidad, las relaciones entre la escuela y la sociedad, los sistemas de enseñanza en los distintos países y en las distintas épocas). Los cuatro puntos presentan a primera vista importancia similar? pero en épocas como la actual, en que el avance científico se hace impetuoso, la preparación no puede ser estática y definitiva, y el conocimiento matemático actualizado pasa a primer plano entre las exigencias mencionadas". Señaló luego que el tremendo incremento de la educación secundaria ha tropezado con la doble falta de locales adecuados y personal docente capacitado: "la sificación de la enseñanza ha obrado en contra de la evolución de la misma". Al analizar las condiciones actuales del profesorado, admitió que son poco satisfactorias desde el punto de vista económico, lo que redunda en perjuicio de su prestigio social y repercute necesariamente sobre su labor. Criticó el sistema de regulación de los ingresos en función lineal de las horas de cátedra, como asimismo su fundamento en una uniformidad t no estimula el afán de perfeccionamiento ni la contracción a las tareas docentes.
Indicó, finalmente, posibles reformas, a saber: dedicación exclusiva y retribu-
materias que puedan dar una visión de conjunto de la matemática moderna sin gran esfuerzo de preparación; la institución de cursos de revisión de la matemática elemental; la posible inclusión de algún curso de matemática aplicada; el mantenimiento de un contacto constante entre la universidad y los docentes en ejercicio para levantar su nivel de conocimientos; la preparación y difusión de una publicación periódica de carácter elemental.
El problema de la formación docente fue ampliamente debatido. M. Balanzat (Venezuela) reclamó para los institutos de formación de profesores el nivel universitario. B. Alfaro S. (Costa Rica) reconoció que en su país sería imposible cumplir exigencias como las preconizadas; que el propósito de perfeccionar a los docentes en ejercicio se ha frustrado y que corresponde estimular a los concurrentes a los cursos respectivos y apremiar a los indolentes o indiferentes. F. Garriga (Puerto Rico) señaló dificultades surgidas en su país para el perfeccionamiento docente, por falta de estímulo adecuado. O. Catunda (Brasil) aclaró que en su país se reconoce el esfuerzo de quienes asisten a esos cursos y los aprueban. M. Santaló (México) advirtió que el problema mexicano está simplificado en cuanto a la formación y el perfeccionamiento ulterior; exhortó a "que los hombres que más saben de matemática en cada país dediquen parte de su tiempo, de manera regular, a la divulgación de la matemática moderna con artículos en revistas, las cuales deberían tener una publicación periódica. R. Laguardia (Uruguay) expuso aspectos del problema en su país y recomendó el estímulo al docente con iniciativas y con preocupación por su labor; advirtió un inconveniente desequilibrio entre erudi
ción e investigación en todos los niveles docentes. G. Choquet (Francia) achacó a los profesores secundarios debilidad en su cultura matemática y abogó por su mayor rigor. A. Pereira Gómez (Brasil) concordó con su colega Catunda en la falta de aliciente para el profesor como factor del estancamiento educativo en su país. A. Hernández A. (Nicaragua) manifestó que los problemas en Centro- américa son el fruto de la pobreza estatal y que la iniciativa privada que trata de resolverlos tropieza, en el caso particular de su país, con el egoísmo del Consejo Superior Universitario Centroamericano, al que debiera exhortarse a colaborar. E. Sevilla I. (Honduras) pidió recomendaciones generales por parte de la Conferencia, que tendría que decidirse entre el perfeccionamiento de los docentes en ejercicio o su sustitución paulatina por nuevos elementos mejor preparados. A. J. Coleman (Canadá) declaró que la situación en Ontario es "tranquilizadora" y que los profesores, agrupados en sindicatos, han logrado "sensibles mejoras en los últimos diez años", de tal modo que actualmente (1961) "un profesor con diez o doce años de antigüedad percibe un sueldo de hasta 9300 u$s." L. R. Robinson (Indias Occidentales) consideró que "nuestra profesión es tan digna como cualquier otra y merece el mismo trato" y que la Conferencia debía recomendar "que los profesores sean considerados en un nivel más alto y que se les asignen mejores remuneraciones''.
El intercambio de ideas y experiencias sirvió de base para una discusión de "mesa redonda" que fue iniciada por R. Laguardia (Uruguay). La discusión se concretó en la adopción de las resoluciones de la Conferencia que se exponen al final de esta reseña.
ma-
Refi-(Continuará)
ooo
NORMAS PARA UN PROGRAMA DE ENSEÑANZA<*quePera hacer un programa no basta solamente tener en cuenta la estructura del
pensamiento y la de la matemática; también hay que atender al objeto que se persigue con la enseñanza.
CALEB GATTEGNO
- 15 -- 14 -
I1 i/
ORIENTACION Todas estas proposiciones son verdaderas, según lo prueban las correspondientes demostraciones que se hacen en la Lógica Matemática.
Los teoremas del Algebra de Boole se traducen en leyes del cálculo de clases cuya demostración resulta innecesaria porque la de aquellos teoremas tiene validez general para todas las interpretaciones de los entes primitivos que satisfagan los axiomas.
Una aplicación importante del Algebra de Boole, dentro de este primer modelo interpretativo, es la justificación de la validez de los silogismos clásicos, tema que desarrollaremos más adelante.
Segunda interpretación. — Convengamos en atribuir a los entes primitivos los significados siguientes:
K significa el conjunto de los divisores de un número compuesto n cuya descomposición en factores primos no contenga factores repetidos. De modo que n podrá ser uno cualquiera de los números: 6, 10, 14, 15, 22, 26, 30, ... etc.
+, colocado entre dos números de K, significa el máximo común divisor de esos dos números. Por ejemplo:2 + 6 . = . M.C.D. (2,6) = 2. colocado entre dos números de K, significa el mínimo común múltiplo de esos dos números. Por ejemplo: 2.6. = . M.C.M. (2,6) = 6.
Si elegimos n = 6, el conjunto K es:K = -j 1, 2, 3, 6 }■
Como el número de elementos de K es finito, podemos expresar los resultados de todas las operaciones posibles de adición y multiplicación, así interpretadas, en sendas tablas, a saber:+ 112 3 6
1 «1 1 1 1 12 12 123 113 36 12 3 6Estas tablas ponen de manifiesto que: l9) Tanto el Ax.I.l como el Ax.1.2 se ve
rifican, puesto que en ellas no existen casillas en blanco. Todos los casos posibles de adición y sustracción tienen resultado único y perteneciente a K.
2°) El número 6 hace las veces del 0 de Boole, ya que actúa como elemento neutro de la adición. Así lo revela la cuarta fila de la tabla correspondiente. El número 1, a su vez, hace las veces del 1 de Boole, ya que actúa como elemento neutro de la multiplicación. Así lo revela la primrea fila de la tabla respectiva. Luego se verifican el Ax.II.l y el Ax.II.2.
3P) La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas, como lo prueba el hecho de que los resultados que en las respectivas tablas ocupan lugares simétricos, con respecto a la diagonal descendente de izquierda a derecha, son iguales. Luego, se verifican el Ax.III.l v el Ax.III.2.
49) El elemento complementario del 1 es el 6, el del 2 es el 3, el del 3 es el 2 y el del 6 es el 1, puesto que cada uno de estos pares de elementos —que en K ocupan lugares equidistantes de los extremos— satisfacen las condiciones:
a.a' = 0
El Algebra de Bode'*’
FLORENCIO D. JAIME(Instituto Superior del Profesorado - Bs. As.)
dicon concretamente clases. Entre estas ciases figurarán, también, la clase vacía A y la clase universal V, que tienen las propiedades del 0 y del 1 de Boole Para que la precedente interpretación constituya un modelo de Algebra de Boole, habrá que demostrar que ella satisface las condiciones impuestas por los axiomas.
APLICACIONES DEL ALGEBRA DE BOOLE
El Algebra de Boole, desarrollada con método axiomático, como teoría abstracta, tal como lo hemos venido haciendo, ofrece la ventaja, sobre el tartamiento del cálculo específico de clases, de que, además de traducirse en este cálculo mediante una adecuada interpretación de los entes primitivos K, + y tibie, también, de muchas otras aplicaciones correspondientes a los múltiples sistemas de significados que se pueden atribuir a los mencionados entes. Aquí, por razones de espacio, sólo expondremos algunas de esas interpretaciones (')
Piimera interpretación. — Convengamos en atribuir a los entes primitivos los siguientes significados:
K significa conjunto de todas las clases de individuos (-).
+ significa U (unión o adición lógica de clases).
. significa D (integración o multiplicación lógica de clases.
A los elementos de K, que antes designábamos por a, b, c, etc., los representaremos ahora por A, B, C, etc. para recordar que, en esta interpretación, in-
>
iEfectivamente, dadas dos clases cualesquiera A y B, de K, existe siempre una clase C, de K, tal que: A U B = C Dicha clase es
a + a' = 1 impuestas por el Ax.V, cuya traducción en términos de la interpretación que estamos considerando es la siguiente:M.C.D. (a,a') = 1 y M.C.M. (a,a') = 6.
La validez de estas afirmaciones se comprueba observando las diagonales ascendentes de izquierda a derecha en las respectivas tablas. Luego, se verifica el Ax.V.
La verificación del Ax.VI es inmediata, ya que el conjunto K tiene cuatro elementos.
En cuanto a los axiomas IV. 1 y IV.2, en esta interpretación se traducen en las proposiciones siguientes:
Para todo a, todo b y todo c, de K, se verifica que
Yes suscep-• #
C = -jx: x e A V x 8 Blr Existe, también, una clase C, de K, tal
que: A O B = C.Dicha clase es
C = -¡x: x e A A x e Bi- Se verifican, pues el Ax. I 1 y el Ax 1 2 Los restantes axiomas se traducen en
las proposiciones siguientes:Existen un elemento A y un elemento V
de K, tales que, para todo A, de K, se verifica que:
A U A = A y V O A = A Para todo A y todo B, de K, se veri
fica que:
* t
AuB=BuAyAnB=BnA Para todo A, todo B y todo C, de K, se
verifica que:A U (B O C) = (A U B) n (A U C)
M.C.D. [cx,M.C.M. (b,c)] == M.C.M. [M.C.D. (a.b), M.C.D. (a,c) ]
M.C.M. [a, M.C.D. (b.c)] == M.C.D. [M.C.M. (a,b), M.C.M. (a,c)]
proposiciones, éstas, que se pueden demostrar con los recursos de la Aritmética ordinaria. También se pueden comprobar considerando uno a uno los 64 casos particulares que originan cada uno de los 4 valores de a con cada uno de los 16 resultados consignados en la tabla correspondiente. ^
Los teoremas del Algebra de Boole se
12 3 612 3 6 2 2 6 6 3 6 3 6 6 6 6 6
(*} Véase ELEMENTOS W 6, pp. 148-152.
O Quienes se interesen por les aplicaciones técnicas podrán consultar: DENIS PAPIN - KAUFMAN - FAURE, "Cours de Calcul Booléien Apliqué"; Ed. A. Michel, París, 1963.
(2) Bastaría atribuir a K el significado de conjunto de las partes de un conjunto dado cualquiera V, no vacío (llamado conjunto referencial) e interpretar + como U. y . como fl. para obtener un modelo reducido del Algebra de Boolo con todas las propiedades del Cálculo de Clases.
1..2Y *A O (B UC) = A O B) U (A n C).
Para todo A, de K, existe otro elemento A', de K, tal que:
A U A' = V El elemento A' es la clase A' igual a
A' = jx: x 6 V A x no e A| Existen, por lo menos, dos elementos
en K.
3\ 6
■
A U A' = AY
i
- 16 - 17 -
I¡
interrumpir y restablecer la circulación de corriente. A estas llaves las designa- remo por A, B, C, . .. etc. Convendremos, asimismo, en designar con una misma letra a dos o más llaves cuando estén vinculadas por medio de un mecanismo tal que cuando una de ellas esté abierta o cerrada, la otra u otras estén abiertas o cerradas respectivamente. Diremos, además, que dos llaves A y A' son complementarias cuando estén vinculadas por un mecanismo tal que, cuando una de ellas esté abierta o cerrada, la otra esté cerrada o abierta respectivamente.
Todo circuito deberá encontra*se, pues, en uno de los siguientes estados: abierto, en cuyo caso no circula corriente (estado, éste, que indicaremos con 0) o cerrado, en cuyo caso circula corriente (estado, éste, que indicaremos con 1).
Para designar los circuitos utilizaremos las mismas letras de sus llaves.
Convengamos, por último, en atribuir a los entes primitivos del Algebra de Boole bivalente los siguientes significados:
El elemento complementario del A es el V y el de'i V es el A.
Esta interpretación satisface todas las condiciones impuestas por los axiomas, por ser un caso particular del cálculo reducido de clases (véase nota (2)).
Cuarta interpretación. — Sean p, q, r, variables proposicionales, o sea, va
riables susceptibles de recibir como significados proposiciones cualesquiera. Con
i p |, | q |, | r |, ... representaremos sus respectivos valores de verdad, los cuales podrán ser, como se sabe, el verdadero (que indicaremos con v) y el falso (que indicaremos con f).
En esta interpretación:
traducen en propiedades del M.C.D. y el M.C.M. cuya vclidez está asegurada por la de aquellos teoremas, sin necesidad de nuevas demostraciones.
Agebras de Boole bivalentes. En todo modelo interpretativo del Algebra de Boole, el 0 y el 1 de Boole deben figurar entre los elementos del conjunto K y ser distintos entre sí.
En efecto, dado un modelo interpretativo cualquiera y hechas las traducciones correspondientes de los axiomas, deben verificarse las condiciones impuestas por estos últimos. En virtud de los axiomas II. 1 y II 2 deben existir en K los elementos0 y 1. Vamos a probar ahora que 0 j 1.
Supongamos que fuera 0 = 1.En tal caso debería existir en K, por lo
menos un elemento a distinto del 0 y del1 (en virtud del Ax.VI). Pero, por ser 0=1, debería ser también
al del ejemplo anterior, se consignan en las tablas siguientes:
A | B j| A + B A | B || A.B
1 I 1 '! 11 | 0 |i 1o i i l! io I o II o
1 1 II 10 ¡i 011 II oo
o o II oObsérvese la similitud de estas tablas
las de la adición o disyunción y de la multiplicación o conjunción, del Cálculo Proposicional.
Les tablas precedentes ponen de manifiesto que se verifican los axiomas 1.1, 1.2, II. 1, II.2, III. 1 y III.2. Los diagramas anteriores muestran que se verifica el Ax.V, con sólo cambiar B por A':
A J-A'= 1; A . A' — 0 Dos circuitos se consideran equivalen
tes cuando, colocadas les llaves homónimas en igualdad de condiciones, si uno de ellos está abierto o cerrado, el otro está abierto o cerrado respectivamente. Si consideramos como únicas propiedades de los circuitos, las de estar abiertos o cerrados podemos considerar a los circuitos equivalentes como circuitos idénticos, ya que toda propiedad del uno resulta propiedad del otro y recíprocamente.
con
10. 1} = ÍÍP. |q|, |r|, ...yK0 . = . f1 . = . v
|p| -f |q| —. |p V q|Ip! • |q| •=• Ip a q|
Las tablas de la adición y multiplicación son las siguientes:
(por unicidad de a -r 0 = o t 1 ia suma/ Ax.I.l)a — 1
)o seapor T.II 1, T.VI 1 y regla de sustitución. Pero esta conclusión es absurda por oponerse a otra anterior según la cual a ^ 1. Este absurdo proviene de suponer que 0=1; luego, lo cierto será que
0¿1.Como corolario de la proposición pre
cedente se deduce que, cuando el conjunto K consta de dos elementos (lo que es posible en virtud del Ax.VI), esos elementos son el 0 y el 1 de Boole.
Las interpretaciones del Algebra de Boole en las que el conjunto K = *¡0,1 \ se llaman álgebras de Boole bivalentes. Ellas difieren, unas de otras, en los distintos significados atribuidos a 0, 1,
k .=. -¡o, íy0 .=. circuito abierto1 .=. circuito cerradoA + B =. es’ado del circuito que se
obtiene conectando los circuitos dados A y B en paralelo.
A . B . = . estado del circuito que se obtiene conectando los circuitos dados A y B en serie.
ipj 1 [q! li ípI - i- lq! IpI ! Iql II ípI !q|V | V V VV V
fV | f fV Vf I V f fV V
Los diagramas siguientes muestran que se verifican los axiomas IV 1 y IV.2, respectivamente:
* I < f ff
de acuerdo con ias tablas de verdad de las respectivas operaciones del Cálculo Proposicional. (:i)
El elemento complementario del v es el f y el del f es el v, puesto que satisfacen las condiciones del Ax.V, según lo prueba la siguiente tabla:
a I a ii a 4- a' = 1
Por ejemplo;
A + (B.C) = (A + B) . (A + C)Aa. a' = 0y • •
Tercera interpretación (llamada "interpretación del todo o nada").
k .=. <¡o,iy0 . = . A (dase vacía)1 . = . V (clase universal)+ .==. U
. . = . n
A BV | f I! V . f = ff.v = f
V + f = V f -1- V = V JBf I V II
í A BA + BLos axiomas se traducen en proposiciones cuya verificación puede hacerse empleando el conocido método de las tablas de verdad.
Quinta interpretación (aplicable a los circuitos eléctricos).
Consideremos distintos circuitos eléctricos conectados a sus respectivos generadores y provistos de llaves capaces de
A . (B + C) = (A . B) + (A . C)En este caso, en que A = 0 y B = 1, los resultados son:A + B = 0 + 1 = 1 y A.B = 0.1 = 0 como lo revelan los respectivos diagramas.
Trazando los diagramas correspondientes a los restantes casos a que dan lugar los distintas posiciones do las llaves, se obtienen los resultados que, agregados
Con diagramas análogos, correspondientes a los restantes casos, se comprueba que el Ax.IV.l y el Ax.IV.2 se verifican para todo A. todo B y todo C. En Cuanto al Ax.VI, su verificación es obvia, ya que K tiene dos elementos.
Las tablas de la adición y la multiplicación son las siguientes:
+ ¡ A V . | A V
A | Y Vy ! V A7
A I A A V i A V
(Concluirá)(’) Véase ELEMENTOS, año I, p. 74 (N. de los T.).
- 19 -18 -
i
Transformaciones y Matrices pació de una dimensión, un plano lo será de dos, y el espacio ordinario será de tres dimensiones.
Una simplificación notable se obtiene cuando se eligen los ejes perpendiculares entre sí, y los segmentos unidad, sobre cada eje, de igual longitud. En este caso, la distancia entre dos puntos A (cii, a*, a*) y B (bj, b2l b3), queda determinado por la fórmula pitagórica:
donde ai y 02 son números reales llamados componentes del vector. Si elegi- mos ex y e2 en forma tal que sus rectas sostén sean perpendiculares, vectorial- mente este hecho se expresará por la relación
ROBERTO G. OVEJERO(Univ, Nac. tfe Tucumán)
(1) ei e2 — 0donde el punto (.) indica producto lar; en este caso la base se dice oitogo- nal. Si edemás, las longitudes de los segmentos ei y e2 (módulos de los vectores et y e2) son iguales a la unidad, la base se llama ortonormal, y se cumplen que: ei . et = e_. . e2 = 1. Un sistema de coordenadas cartesiano rectangular puede superponerse con una base or- tonormcl, y si el segmento unidad sobre sus ejes se elige de modo tal que su longitud sea igual a los módulos de los vectores ei (i = 1,2), tendremos que los mismos números que expresan las coordenadas de un punto P en ese sistema de coordenadas, serán los que expresan las componentes del vector P = OP, tendido entre el origen y el punto P.
La ventaja de considerar el plano vectorial, estriba en la posibilidad de usar el producto escalar para determinar las componentes de los vectores y las distancias entre los distintos puntos del plano vectorial. En efecto, sobre una base ortonormal, las componentes de un vector x resultan:X| = x . ei =xei eos (x,e,) = x eos (x,e,) x 2 = x . e2 = xe2 eos (x,e2) = x eos (x.e2) y, dados dos puntos A y B, la distancia entre los mismos (puntos del plano vectorial, será:
a puntos tales como el P sobre la semirrecta positiva y el Q sobre la negativa (Fig. 1), corresponderán los números p y q tales que:
En un artículo anterior de esta misma Revista, ('), se han tratado las transformaciones geométricas, particularizando su estudio en aquéllas que transforman el plano en sí mismo. Allí también apa-
el concepto de vector a propósito de las traslaciones. En ese articulo, las transformaciones son tratadas por métodos geométricos, de "regla y compás', los cuales, si bien son los adecuados para introducir al alumno en el concepto de transformación y de estructura algebraica a través de los grupos de transformaciones, carecen de la precisión, potencia y generalidad de los métodos analíticos. Los programas propuestos prevén para tercer año la introducción del análisis en la geometría, y en su parte final retoman las transformaciones, vistas en primer año, desde un punto de vista analítico-vectorial. Este será el en- íoaue del presente artículo.
La comprensión cabal del método analítico, y su posibilidad de generalización a espacios matemáticos de cualquier número de dimensiones, reposa en los supuestos esenciales de la coordinación del conjunto de los puntos de una recta, con el conjunto de los números reales. Veamos cómo se realiza esta cordinación; para ello, se postula la existencia de una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto de puntos de la recta y los del de números reales. Hecho esto, se elige sobre la recta un punto O llamado origen, que divide a la recta en dos semirrectas. A una de ellas se le asigna el sentido positivo, y sobre la misma se determina un punto U. Llamaremos unidad de longitud a la longiiud del segmento OU. Al punto O hacemos corresponder el número cero, al punto U hacemos corresponder el número 1, y
esca-
J (bi-aj)2 + (bo-a2)- -|-d = +OQOPy q =p = Nos restringiremos al estudio de estos
sistemas de coordenadas, que se llaman cartesianas rectangulares.
rece OUOUdonde OP y OQ son las longitudes de los segmentos que tienen por extremos dichos puntos. El conjunto de los núme-
reales asociados con los puntos de la recta en la manera precedentemente expuesta, constituye un sistema de coordenadas en la recta. Los números p
llaman las coordenadas de P y Q,
ESPACIOS VECTORIALES PLANO VECTORIALros
De la misma manera que podemos establecer una coordinación entre los puntos de un espacio y los conjuntos ordenados de números reales, es posible hallar una correspondencia biunívoca entre los puntos de ese espacio y un cierto conjunto de vectores. Dado en ese espacio un sistema de coordenadas de origen O, todo punto P del mismo tendrá por correspondiente al vector constituido por el segmento orientado OP; viceversa, dado un vector, el punto correspondiente será el extremo del segmento orientado paralelo al vector dado y que tiene por origen el punto O. El conjunto de todos los vectores que parten de O, recibe el nombre de espacio vectorial, y sus elementos s e denominan indistintamente vectores o puntos del espacio vectorial. La dimensión del espacio vectorial está dada por el número máximo de vectores linealmente independientes que admite ese espacio. (2)
Cuando un espacio vectorial admite sólo dos vectores linealmente independientes, recibe el nombre de plano vectorial. En un plano vectorial, todo vector x es expresable en función de otros dos, ei Y e2, cuyo conjunto recibe el nombre de base del espacio vectorial, mediante una expresión del tipo:
x = di et + a2 e2
C) Recordemos que n vectores x; son linealmento independientes si la combinación lineal
alxi + a2x,2 + vale si y sólo si: a, = a2
y q se respectivamente.
Los puntos de un plano se coordinan el conjunto de pares ordenados de
números reales tomando sobre el plano
i¡con
dos rectas Xt y x2 que se corten en un punto O que es el origen de coordenadas, mientras que las rectas elegidas
los ejes coordenados. Sobre cada eje se toman puntos U y V que determinan los segmentos unidad OU y OV. Dado un punto P del plano, la paralela a Xo trazada por P corta a Xj en un punto M, que tendrá sobre ese eje una coordenada m, y la paralela por P a Xi cortará a x2 en el punto N, de coordenada n. Hacemos corresponder así a cada punto P un par ordenado (m,n); recíprocamente, a cada par ordenado le corresponde un punto que se obtiene trazando por los puntos ubicados sobre cada eje, de abeisas iguales a los números del par, rectas paralelas al otro eje. El punto buscado está en la intersección de estas rectas. Un procedimiento similar, nos permite coordinar los puntos del espacio, con las ternas de números reales. En general, llamaremos espacio a todo conjunto de puntos, y dimensión de un espacio, al número de números reales necesario para poder establecer la coordinación entre los puntos de ese espacio y los conjuntos de números reales. Así, la recta será un es-
son
dist. (A,B) = ¡B-A| =. + V (B-A) (B-A)
Otra ventaja de considerar espacios vectoriales, estriba en que, al introducir el concepto de distancia como derivado del de producto escalar, permite extender este concepto a "espacios" (matemáticamente hablando) de más de tres dimensiones, en los cuales es necesaria una n-upla ordenada de números reales
(xj, x2, x3, ... x») para definir un punto, y son necesarios n vectores linealmente independientes para poder expresar cualquier otro vector de ese espacio. Estos espacios se dicen de n dimensiones, pu- diendo ser n cualquiera, y es obvio que el concepto intuitivo usual de distancia
1
Figura 1
-f a„x,. = 0 .... = a„ = 0.
O "Elementos" - Año 1, pp. 39/44 - 66/70.
- 20 - - 21:i
i
i
finalmente, expresando el cuadro totalidad.dimensiones. En estos espacios, un vec
tor tendrá n componentes, y la primera componente del vector transformado estará dada por la ecuación: x'i = anXi + auíXo -f- 013X3 —di iX| —f— . . ai„x,„
en suextraído del espacio físico no resulta ya aplicable a estos espacios más generales.
En lo que sigue, consideraremos transformaciones de planos vectoriales en sí mismos, esto es, correspondencias biuní- vocas entre vectores del mismo plano. Recordemos (véase ELEMENTOS, año I, pág. 39), que “transformación es sinóni-
de correspondencia, operación, función, etc." y que de todos estos vocablos, se prefiere el primero en geometría y el último en análisis. El empleo de sistemas de coordenadas introduce el análisis dentro de la geometría, y por tanto, a cada transformación de los vectores del plano, corresponderá una o varias funciones entre sus componentes. Así, en e'1 caso más general, si x es un vector (punto del plano vectorial) será x' su transformado mediante T: x -*• x'
En un determinado sistema de dimensión 2, x tendrá componentes Xi y x2, mientras que las de x' serán x’i y x'2. La relación que existe entre x y x', se traducirá en otra que existirá entre sus componentes, que podrá ser expresada en la siguiente forma:
x'i = F, (xi,x2) x'o = F2 (xi,x2)
donde Fi y F2 serán funciones cualesquiera. Un caso de particular importancia, y al cual limitaremos nuestro estudio es aauél en que las funciones Fj y Fo son polinomios homogéneos de primer grado en las componentes del vector original; así, pues, las fórmulas anteriores se transformarán en
x\ = aux! + ai2Xo
x'o = a2l xi + a22 x2 donde las au son coeficientes numéricos (i,j toman en este caso los valores 1 y 2).
Las transformaciones definidas en un determinado sistema de base por las funciones entre componentes anteriormente consideradas, reciben el nombre de transformaciones lineales homogéneas, o sim- simplemente transformaciones lineales.
Vemos pues, que fijada la base del plano vectorial, es posible encontrar el transformado de cualquier vector una vez que se conozcan los números a¡J# coeficientes de la transformación. Estos conceptos son fácilmente generalizables a espacios de un número n cualquiera de
j!a 0|!E= ¡I
• Qn a„.¡¡a-1 a22 .. aLM ... a2„i
l¡0 a||Definición 5. Matriz unidad es la ma
triz escalar con elementos no nulos iguales a 1. ¡II 011A = ¡MI =
|au a,= ... a,i .I...............................|aml Ctjn2 * * • • • ^mn|
|—nx’i = 2 a,jXj HO 1||
Definición 6. Matriz traspuesta de otra dada es la que se obtiene cambiando filas por columnas. Si M es la matriz dada tal que M = l|au|!, la matriz traspuesta de M se denotará MT y será MT = l|ajil|. Esto es:
lian a12||
o sea:
y en general, la i-ésima componente del vector transformado será
i=nx'i = 2 auxj
1=1Las matrices con m £ n se llaman rec
tangulares, mientras que si m = n, reciben el nombre de matrices cuadradas. Una matriz con una sola fila (m = 1), se llama matriz fila, mientras que la que posee una sola columna (n=l) se llama matriz columna. Utilizaremos las matrices columna para representar vectores referidos a una determinada base. Para ello escribiremos la matriz columna elementos sean las componentes del ior en esa base, correspondiendo la primera fila (que para matrices columna coincide con el primer elemento) al primer vector de base, la segunda al segundo, y osí sucesivamente. Así, un vector x del plano referido a la base et e2, y cuyas componentes son Xt y x2, se expresará
mo
(3)1=1
lian a2i||Es de hacer notar que el vector transformado no tiene necesariamente el mis-
número de componentes que el vector original, sino que estará dado por el nú-
de ecuaciones que se establezcan en la transformación Dicho de otro modo, en la expresión (3) j varía de 1 a n, mientras que i puede tener otro campo de variación, digamos de 1 a m, y m no será necesariamente igual a n. Si m es menor que n, el vector transformado pertenecerá a un espacio de menor número de dimensiones que el vector primitivo. Un ejemplo de este caso se presenta en la operación “nrovección de un vector, sobre el eje Xi", transformación definida por las ecuaciones
x'i = 1 .Xi + 0.x2 = Xi
x'o = O.xi + O.xo = 0 en la cual el vector original x pertenece al clono (espacio de dos dimensiones), mientras que el vector x' pertenece a la recta xx (espacio de una dimensión).
El conjunto de los m.n números au (1 < i m; 1 ^ j < n) que define la transformación lineal en el caso más general, dispuesto en forma de cuadro de m filas y n columnas, da lugar a la introducción de un nuevo ente matemático, que recibe el nombre de “matriz de orden m. n".
M = || 'U* = ||||a2i ao2|j ||aio a22||
Las operaciones entre matrices son las siguientes:
Suma de dos matrices A = |lci|j|| y B = ¡lb|j||, ambas del mismo orden, es otra matriz también de igual orden, cuyos elementos son las sumas de los elementos igualmente dispuestos en las matrices, sumandos, esto es A + B = S si S = l|a,j -f- bi|||. Para matrices cuadradas de orden dos, se tiene:
lian a,o||
mo
merocuyos
vec-!
i
libn bio||II
||boi bo2|[ ai2 + bi2l|
A = || B = ||II X! ||||a2l a22ll
lian + buA + Bll
||a2i + b-ji Producto de una matriz por un número
es otra matriz cuyos elementos son los productos de los elementos correspondientes de la matriz dada por ese nú-
ü!l x2 ||
Entre las matrices se establece una clasificación y un álgebra perfectamente definidas. A continuación daremos las definiciones correspondientes.
a22 + b22||(4)
Definición 1. Una matriz se dice diagonal si sus elementos son nulos, salvo aquellos para los cuales i = j. Esto es:
mero:m A = m ||au|| = ||ma,j||,
|lmau majoll!! 11 ||ma2i ma22||
Producto de una matriz m.n por otra matriz n. p es una nueva matriz de orden m. p, cuyo elemento aik se obtiene como suma de los productos de cada elemento de la i-ésima fila de la primera matriz por la k-ésima columna de la segunda ma-
Si A = ||a„|| (i < m; j «S n) y B = ||bjk|| (j ^ n; k ^ p), entonces:
j=nA.B = C, si C = ||c,k|; cllt = i au.bjk
j=lEn particular, para matrices cuadradas
el producto es siempre posible y el re
lian a12l|lian 0||m ||(2) D = || o sea:
||aai a22||||0 as2||Definición 2,. Matriz simétrica es aque
lla para la cual ajj = ají. Esto es llan a12l!
S = || || donde a 21 = ai2||a2i a22||1
Definición 3. Matriz nula es la que tiene todos sus elementos nu¿os:
MATRICES triz.
Según lo que antecede, se puede definir matriz de orden m.n como un cuadro ordenado de números, con m filas y n columnas.
Designaremos las matrices con letras mayúsculas, o bien encerrando el elemento genérico entre dos barras, o bien
110 0||0 = II II
lio 0||Definición 4. Matriz escalar es la ma
triz diagonal cuyos elementos no nulos son todos iguales.
- 23 -- 22 -
Veamos ahora el empleo de la notación matricial para representar las transformaciones del plano vectorial en sí mismo. Sea X la matriz columna de las componentes del vector x y A la matriz de una transformación lineal en el plano. Si hacemos el producto A. X, su resultado será una matriz columna que, explícitamente, resulta:
||au cti;.
sultado es otra matriz cuadrada del mis- orden. Si éste es dos, se tiene.
bu bis
boi boo
aii.bia + ai2.bo2
moau au
| <321 <*22
j|au.bn -f- ajo.boiElbridge P. VANCE, Algebra y trigonometría
modernas. Addison-Wesley; Reading, Mass.,1964.
Esta prestigiosa editorial estadounidense introduce una interesante y plausible novedad en materia de bibliografía escolar: se trata de una edición bilingüe, española-inglesa, de la conocida obra de Vanee. Sin duda, el sistema será muy provechoso para aquellos estudiantes —y aun para profesores— de habla española que deseen familiarizarse con la terminología matemática inglesa. Podrán hacerlo simultáneamente con el estudio o la revisión de los temas expuestos, ahorrando considerable tiempo.
El texto de Vanee está dirigido —como es sabido— a cursos secundarios avanzados y universitarios preparatorios; su objetivo fundamental es "educar al estudiante en la naturaleza de la matemática como un sistema lógico". Para mejor ubicarse en su contenido, vale la pena reproducir de su prólogo:
"La noción de conjunto se introduce al principio y se utiliza en seguida; se enuncian explícitamente los axiomas de un cuerpo (conmutativo) y, ¡unto con ellos, los axiomas de orden, la propiedad de plenitud y todas las propiedades importantes de los números reales, que se enuncian claramente y se demuestran. También se incluye una presentación bastante detallada de números complejos y se hace una diferencia precisa entre funciones y relaciones, definiéndolas en términos de conjuntos. Basándose en una breve discusión del sistema de coordenadas unidimensional se llega en forma natural al sistema de coordenadas rectangulares corriente. La definición de las funciones circulares en términos de este siste- rna constituyen el vínculo unificador entre la trigonometría y la geometría analítica y hace posible la utilización de métodos más simples y directos. Estas funciones se definen primeramente para un número real cualquiera y posteriormente se aplican al caso en que el número real es considerado como la medida de un ángulo. En trigonometría se ha dado más importarcia al aspecto analítico que al del
cálculo, pero éste no se ha descuidado. Otros rasgos distintivos están constituidos por la importancia asignada a la representación gráfica, la penetración en algunas de las aplicaciones de las funciones circulares a la descripción de fenómenos periódicos, el estudio detallado de los determinantes, el material sobre la función inversa, la introducción y el frecuente uso de la inducción matemática". Agreguemos que se tratan también las operaciones con expresiones algebraicas y con radicales, inecuaciones, el cálcuío de raíces de un polinomio, nociones de combinatoria y el teorema del binomio, las funciones exponencial y logarítmica.
Además, al final de cada sección del libro se proponen ejercicios, de la mitad de los cuales se consigna la respuesta correspondiente, y como apéndice se incluyen tablas numéricas —las de logaritmos y de valores naturales con cuatro decimales—. Todo en la esmerada presentación que caracteriza a los textos de la mencionada editorial. En síntesis, este libro es una buena muestra de presentación moderna del álgebra y la trigonometría elementales, según la tendencia estadounidense.
Z. P. DIENES, La mathématique moderne dansl'enseignement primaire. O.C.D.L.; París,1964.
En el Seminario de Royaumont (Véase ELEMENTOS, año I, p.60/65) se recomendó "no perder de vista el mejoramiento de la enseñanza de la matemática en la escuela primaria", sobre todo en lo que respecta a la aritmética. Esta es ¡a posición adoptada por un nutrido núcleo de educadores de distintas partes del mundo agrupados, a través de sus respectivos centros experimentales, en el ISGML (International Study Group for Mathematics Learning). Al grupo australiano, Adelaide Ma- thematic Project, pertenece Zoltan P. Dienes, del Departamento de Psicología de la Universidad de Adelaida.
Con tal enfoque didáctico se ha compuesto este pequeño volumen en el que se exponen ideas generales y sugestiones prácticas para
Ct2l • hi2 ~i“ <*22-b22[¡<*21. bu + CT22-b2lDe las definiciones que anteceden, sur
gen las siguientes propiedades para las operaciones con matrices:
Xi
X2¡!¡a2i CI22|ctn x, + aI2 x2||Con respecto a la suma:
a) es asociativa;b) la matriz nula 0 es el elemento
neutro de la operación;c) existe un elemento inverso, la ma
triz opuesta — A = ||—au||d) es conmutativa.De aquí se despiende que las matrices
forman grupo abeliano aditivo.Con respecto al producto por un nú
mero:a) es asociativo con respecto a las
matrices;b) es distributivo con respecto a la su
ma de números y de matrices;c) el producto por uno reproduce a la
matriz.Con respecto al producto de matrices:a) no es en general, conmutativo;b) el producto puede ser nulo sin ser
lo ninguno de los factores;c) la matriz unitaria es el elemento
neutro de la operación.En lo que sigue, salvo las excepciones
de matrices fila y matrices columna, consideraremos solamente matriceá cuadradas, y en particular, matrices cuadradas de orden 2, que son las que determinan las transformaciones lineales del plano en sí mismo. (3) Los resultados se extienden sin inconvenientes a matrices de cualquier orden.
(4')
¡<*21 Xj + CÍ22 X2¡¡
Esta matriz columna puede a su vez considerarse como lá matriz de las componentes de un vector, y si comparamos con la (2) vemos que sus elementos son justamente x\ y x’2, transformados, por A, de Xi y x2, respectivamente, y la matriz producto representará al vector x'f transformado de x por la matriz A.
Si a un vector x aplicamos una transformación Ti, definida por una matriz A, que lo convierte en x', y a éste a su vez, le aplicamos una matriz T2, dada por otra matriz B, su resultado será x" = T2.T1 x; y la matriz representativa de x" será X" = B.(A.X). Pero, para matrices cuadradas, el producto resulta asociativo, y, en consecuencia,'X" = (B.A.).X. Esto nos dice que al producto de transformaciones T2.Tj corresponde la matriz producto B.A de las matrices correspondientes a cada transformación. Luego, podemos identificar totalmente a las transformaciones con las matrices que las representan, y operar directamente con estas últimas.(3) Sí son matrices regulares. Sobre este concepto, con
sultar más adelante.(Continuará)
OOO
¿LO PODEMOS DISCULPAR?
Pido excusas por pensar que no me inspira confianza una enseñanza de tipo histórico. Me inclino a creer que nuestra enseñanza es actualmente, en amplia medida, demasiada histórica, y que de hecho la concepción de la matemática que comunica es precisamente la que fue contemporánea de los conocimientos que pretende enseñar. ANDRÉ LICHNEROWICZ
- 24 - - 25 -
caciones científicas y técnicas (a la matemática, la ingeniería, las industrias química y petrolera, las construcciones navales, la estadística, la economía, la filología, etc.); el segundo se refiere más explícitamente al proceso de preparación de programas de labor para las calculadoras digitales (organización general de una computadora, representación de la información, nociones sobre organigramas, programación, subprogramas, autoprograma- ción, el lenguaje universal, etc.).
Cuando pensamos en la fabulosa propagación de este modernísimo instrumento de cálculo, concordemos en la conveniencia de poner al alcance del lector general obritas como éstas, redactadas por especialistas, que hacen accesibles muchos aspectos técnicos y disipan falsas apreciaciones. En especial, e! profesor de matemática podrá explicarse mejor el porqué de la inclusión de ciertos temas nuevos en los programas de su asignatura. Y todos comprenderán que, como estas máquinas "no reemplazan al hombre", su mejor aprovechamiento exige una mejor preparación "de los operadores que las manejen.
Héctor J. MEDICI-Emanuel S. CABRERA, 2.600ejercicios de aritmética y cálculo práctico.Librería del Colegio; Buenos Aires, 1964.
Los conocidos autores prosiguen con su costumbre de incluir temas de matemática moderna en sus colecciones de ejercicios. El esfuerzo es digno de ser destacado: teoría de conjuntos (nociones generales, operaciones, particiones, relaciones de orden y de equivalencia), el número entero (definición por clases de equivalencia, igualdad, operaciones, isomor- fismo con los naturales, relaciones modulares) y el número racional (definición por clases de equivalencia, igualdad, operaciones, isomor- fismo con los enteros). A su redacción ha tribuido, con "inteligente y constructiva crítica", nuestro colaborador, el profesor Florencio D. Jaime. Es encomiable el trabajo que se han tomado los autores para difundir elementalmente estos temas.
iniciar a los niños en la comprensión de los conceptos básicos. Sus distintos capítulos abarcan temas como los conjuntos y las operado-
conjuntos, las operaciones lógicas atributos, mediante diagramas de Venn, el concepto de número, como propiedad de conjunto, las operaciones numéricas, el valor posicional.
Dienes se propone convencer de que la renovación de la enseñanza debe comenzar con la escuela maternal, presentando el pensamiento matemático moderno en la forma adecuada a la edad. El antiguo punto de vista considera como objetivo de la enseñanza el aprendizaje de procesos mecanizados; el nuevo considera a estos procesos como entrelazamiento de estructuras y se propone llevar a los niños a su descubrimiento mediante ilustraciones concretas. Para llegar a esta forma de enseñanza —dice Dienes— el maestro debe cambiar la actitud. La respuesta correcta pasa a segundo plano; la aptitud esencial consiste en saber encontrar su camino a través de situaciones cada vez más complejas,* "es necesario acentuar la actividad dinámica de la búsqueda más bien que el aspecto estático de la respuesta".
La obra que comentamos está dirigida fundamentalmente a los maestros primarios; pero será útil su lectura para todo docente interesado en las nuevas formas didácticas y los nuevos contenidos, especialmente si interviene en la formación de nuevos docentes.
Bruno RENARD, El cálculo electrónico. EUDE-BA; Buenos Aires, 1963.
Jacques POYEN-Jeanne POYEN, El lenguajeelectrónico. EUDEBA; Buenos Aires, 1964.
Se trata de dos de los difundidos Cuadernos de EUDEBA. Su lectura permite a los no iniciados el acceso al mundo de las calculadoras electrónicas. Ambos, en cierto modo, se complementan: el primero ofrece las generalidades del cálculo automático (historia suscinta, clases de computadoras universales, principios fundamentales de la resolución de problemas, métodos de cálculo, por e¡.) y detalla las apli-
ICIdSconnes con
un 1. EUDEBA informa que tiene en preparación el segundo tomo del "Algebra para escuelas secundarias" de Oscar Varsavsky y anuncia su aparición en breve.
2. En la Escuela Provincial de Comercio "Antártida Argentina", de San Luis, se está experimentando el programa de primer año propuesto por la Subcomisión Argentina de la CIEM.
Por su parte, la Universidad Nacional de La Plata ha autorizado el ensayo de dichos programas en todos las divisiones de primer año del Liceo "Víctor Mercante" y el desarrollo de un curso piloto en un segundo oño del mismo Liceo.
3. Dos concurrentes al último curso de perfeccionamiento de San Luis, los profesores Irma Bustos y Héctor Iervasi se han referido recientemente a la reforma de la enseñanza de la matemática. La señorita Bustos ha pronunciado una conferencia sobre el tema en la Escuela Normal de Maestros "luán P. Pringles", de San Luis; el señor Iervasi ha dictado un cursillo sobre matemática moderna en el Instituto Provincial del Profesorado de Santa Rosa (La Pampa) y otro similar en la ciudad de General Pico, de la misma provircia. Por su parte, la Dirección General de Enseñanza Secundaria de la Nación se ha dirigido a los profesores de matemática concurrentes a dicho curso para que informen sobre la labor de extensión realizada o por realizarse en el ámbito docente.
4. La OEA (Organización de los Estados Americanos) anuncia la realización de un Seminario Latinoamericano sobre enseñanza de ciencias, para representantes de los ministerios de educación, que se desarrollará entre el 16 de noviembre y el 10 de diciembre. En los fundamen- ios de la medida se reconoce que la falta de personal técnico capacitado es uno de los mayores obstáculos que se presentan para el desarrollo de los países de América Latina y que la capacitación de este personal significa que hay que proveer mayores oportunidades de adies
tramiento para un número creciente de jóvenes que hoy asisten a las escuelas primarias y secundarias. Se sostiene asimismo que la solución del problema sólo podrá acelerarse si ahora mismo se aumentan las inversiones en el campo educativo, para hacer posible el logro de los objetivos del desarrollo a largo plazo. Pero que estas inversiones no contribuirán a ello si se destinan a mantener sistemas educativos que no están a tono con .’as necesidades actuales, derivadas del progreso científico de las últimas décadas y de su creciente influencia en todos los aspectos del quehacer humano. Y para evitarlo se hace necesario estudiar los actuales sistemas educativos en los países miembros, para considerar luego las posibles maneras de conseguir su mejoramiento.
5 En la Escuela Normal Mixta "EE. UU. del Brasil" de Posadas, se desarrolló un curso de actualización docente para profesores de matemática, auspiciado por el Ministerio de Educación de la provincia. Los profesores F. Toranzos, R. Ponzoñe y Luis A. Santaló dictaron, respectivamente, Algebra moderna, Análisis y Geometría. Actuó como coordinadora la profesora Bertha A. Zarza de Valentino, concurrente al curso de Salta de 1963.
6. En nuestro número anterior nos referimos al examen internacional sobre me temática auspiciado por la UNESCO. Participan en el estudio: Alemania Occidental, Bélgica, Escocia, Estados Unidos, Finlandia, Francia, Holanda, Inglaterra, Israel, Japón y Suecia. El objeto principal de la encuesta es la evaluación de los rendimientos de los alumnos a diferentes niveles escolares en los distintos sistemas educaitvos. Se han previsto prue bas similares para la lengua materna, la literatura y las lenguas extranjeras.
7. El movimiento belga por la renovación de la enseñanza de la matemática sigue siendo uno de los más importantes. En este mes de agosto se ha realizado en Mons (Bélgica), un congreso de matemática moderna organizado por
con-
HEMOS RECIBIDO:Z. P. DIENES, La mathématique moderne dans l'enseignement primaire. O.C.D.L.; París, 1964. Francisco LA MENZA, Sobre los fundamentos do la aritmética. Separata de Mathematicae Notae* Rosario. 1964. 'Luis A. SANTALO, Vectores y tensores, con sus aplicaciones. EUDEBA; Bs. Aires, 1964 (3? edic.). Elbridge P. VANCE, Algebra y trigonometría modernas; Addison-V/esley; Reading, Mass., 1964. Varios autores, Matemática moderna para o ensino secundario. IBECC; Sao Paulo, 1962. '
- 26 - - 27 -
semigrupos y procesos estocásticos, fundamentos de la teoría de probabilidades, gramáticas formales y lenguajes algorítmicos, etc., a cargo de especialistas belgas y extranjeros.
De este congreso participaron los profesores argentinos José Banfi (coeditor de ELEMENTOS) y Cristina Verdaguer de Banfi.
el Ministerio de Educación Nacional de ese país, con la asistencia de profesores secundarios alemanes, holandeses, italianos, luxemburgueses, suizos y belgas. Se dictaron conferencias sobre cuantifi- cadores lógicos, topología algebraica, álgebra topológica, combinatoria, método de los coeficientes característicos, espacios de Galileo, álgebras proyectivas,
En el nivel de la ciencia, el pasaje entre la matemática llamada clásica y la matemática llamada moderna se ha extendido casi siglo y medio, pues creo que es a Cauchy, Gauss, Galois, para no citar más que a ellos, a quienes es legítimo hacer remontar la evolución que ha conducido de lo clásico a lo moderno y que fue mucho más lenta de lo que se imaginan quienes recibieron le revelación de un cambio en la matemática como el estallido de un cielo sereno.
un
un trueno en
"Esta evolución fue con frecuencia muy conscientemente advertida por sus principales artesanos, y algunas veces perdida de vista por matemáticos capaces, sin embargo. No está terminada, pues el ardoroso trabajo de los matemáticos del mundo entero tinúa modificando el rostro de su ciencia; empero ha llegado a etapa de suficiente madurez como para que un matemático policéfalo, Bourbaki, haya podido emprender, en medio del siglo XX, un gigantesco trabajo de puesta a punto y difusión, emparentado con el que hizo la gloria de Euclides en el siglo III, antes de J. C.".
Correo de ELEMENTOScon-
Editores
José Banfi — Alfredo B. Besio
una
Buenos Aires (Argentina)Fernández Blanco 2045
es un párrafo del capítulo II deQuizás nos hayan engañado las voces de estímulo incesante; nos hace falta advertir críticas para corregirnos y no seguir errando. Estamos en una brega de la que no queremos desertar, ni tampoco en ello perdonarnos las fallas
Iniciamos el segundo año de vida de ELE MENTOS ratificando los propósitos expresados en el primer número. Seguimos pensando en "una revista que sea realmente un símbolo de mutua colaboración en pro de una escuela siempre mejorada, espiritual, intelectual y, por qué no, materialmente".
Creemos, como entonces, que, "si en todas las latitudes se clama por una urgente y drástica renovación en los contenidos y métodos de enseñanza, debemos meditar esa exigencia y capacitarnos para enfrentarla". Y continuamos con ese rumbo en esta tarea.
En esta tarea que, en cierto aspecto, resulta ingrata. Nos parece estar cumpliéndola con honestidad y decoro. Por eso no atinamos a explicarnos la falta de apoyo por parte de un núcleo considerable de suscriptores iniciales. Nuestros reclamos, primero individuales y luego generales, no han dado resultado y comenzamos este nuevo año con una merma considerable. No podemos ocultarlo, porque valoriza.aún más la adhesión de los entusiastas que nos acompañan y nos alientan. Muchas gracias: esa adhesión no regateada es la única razón de la subsistencia de ELEMENTOS en el reducido mundo del periodismo escolar argentino. Mucho nos dolería, como editores, su desaparición; pero como docentes nos sentiríamos mucho más afligidos.
'i
MATEMATICA MODERNA
MATEMATICA VIVAAnillo poliedral (Srta. Josefina Torrejón, Trelew). En efecto, esa figura de la pág. 63 de la Guía está incompleta. Las caras del poliedro deben ser polígonos convexos; faltan pues cuatro aristas en cada base. Entonces sí la característica de la superficie resulta ser cero: el anillo poliedral es homomorfo con el toro. Para más detalles es aconsejable la consulta de M. Fréchet y Ky Fan, Introducción a la topología combinatoria (Eudeba).
Matemática moderna, matemática, viva (Sra. Elda Constantini de Alberto, Santiago del Estero, y otros). Inconvenientes diversos están demorando la aparición de esta obra de Ándré Revuz que venimos anunciando desde tiempo atrás. Confiamos en resolverlos satisfactoriamente en poco tiempo. Pedimos disculpas.
Temas de geometría intuitiva (Sr. Ricardo M. Dupleich, Concordia). Recogemos su sugestión y procuraremos abordar esos temas.
Crucinúmero (Sr. Rosario Russo (h), Santiago del Estero). Lo publicaremos pronto; esperamos los otros aportes prometidos.
por ANDRÉ REVUZ
(Profesor de la Facultad de Ciencias de P'oitiers, Francia)
con el siguiente
SUMARIO
I. Desconocimiento de la matemática.
II. La elaboración de la matemática contemporánea.
III. El porvenir.I
en una edición de ELEMENTOS
- 28 -'
-
Lector:iPara que ELEMENTOS
cumpla mejor sus propósitos:
Sugiera BULLColaboreequiposparael tratamiento
de lainformación
Difúndala♦
♦
ELLMENTOS debe continuarapareciendo.
De Usted depende, no lo olvide
• costos• contabilidad• estadísticas• control
de producción• investigación
operativa
!
!
!
IMPORTANTEEL CONSEJO NACIONAL DE INVESTIGACIONES CIENTIFICAS
Y TECNICAS anuncia la organización de un CURSO DE ACTUALIZACION PARA PROFESORES DE MATEMATICA que se realizará en lo provincia de Salta en enero de 1965.
:|!
BULLkraft argentina s.a.
i Reconquista 36S Tel. 49-7295
(