Revisão Total – Matemática – Gabarito Funções: conceitos ... · Reprodução proibida. Art....
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1
Funções: conceitos básicos
1 d
2 e
3 d
O gráfico mostra a função no intervalo [–10, 10].
Como a função tem período 10, temos f (99) = f (9).
Além disso, como f (7,5) = –5 e f (10) = 0, e a fun-
ção é linear no intervalo [7, 5, 10], temos tam-
bém f (9) – f (7,5)9 – 7,5
= f (10) – f (7,5)10 – 7,5
. Logo, f (9) = –5 +
+ [0 – (–5)] . 1,52,5
= –5 + 3 = –2.
Completando o gráfico, temos:
f(x)
x
5
0
–5
–10 –5 5 10
E, portanto, f(99) = −2.
b) Como f(2,5) = 5 e f(5) = 0, temos f(x) = 10 − 2x no in-tervalo [2,5; 5]. Assim, f(3) = 4 e g(f(3)) = g(4) = 4² − – 4 ⋅ 4 = 0. Nesse intervalo, a composição das fun-ções fornece h(x) = (10 − 2x)² − 4(10 − 2x) = 4x² − 32x + 60.
Como f(3) = 4, temos h(3) = 0. De forma geral, h(x) = = 4x² − 32x + 60, no intervalo [2,5; 5].
5 a) (I) e (II) representam funções pares e (IV) e (V) repre-
sentam funções ímpares.
b) f : R R definida por f(x) = cos (x) é par
g : R R definida por g(x) = sen (x) é ímpar
6 a
7 b
8 b
9 b
10 a
11 c
12 a
13 c
14 a
15 e
16 Soma: 01 + 08 + 16 + 32 = 57
17 c
18 a) f(t) = 12
t + 5
peso = 8 kg
b) 10 < t ≤ 34
19 b
20 d
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4 a)
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2
Função afim
1 d
2 e
3 a) 7 anos.
b) 3.011,25 dias.
c) Sendo x o tempo, em dias, que o réu ficará preso,
x = 6P7 .
4 c
5 d
6 e
7 d
8 b
9 c
10 b
11 c
12 d
13 c
14 f
15 e
16 b
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3
Função quadrática
1 c
2 c
3 d
4 e
5 a
6 e
7 b
8 a
9 Alternativas corretas: I; II; III; IV.
10 Se a fábrica demora x dias para entregar a encomen-da, terá 2.000 + 100x, que serão vendidas com um lucro por unidade de 6 − 0,2x; o lucro total será de f(x) = (2.000 + 100x)(6 − 0,2x) = −20x² + 200x + 12.000. Completando quadrados, temos: f(x) = −20(x − 5)² + 12.500. Desta expressão para f(x), concluímos que o valor má-ximo que f(x) pode assumir é 12.500 para a escolha de x = 5.Assim, temos lucro máximo de R$ 12.500,00 e soma igual a 8.
11 a) Seja x0 um ponto fixo da função dada. Então,f(x0) = x2
0 − 4x0 + 6 = x0 ⇒ x20 − 5x0 + 6 = 0.
O conjunto solução da última equação é {2,3}.Portanto, a função f possui dois pontos fixos: 2 e 3.
b) Sejam x₁ e x₂ pontos fixos distintos da função g. Então, g(x₁) = ax₁ + b = x₁ ⇒ (a − 1)x₁ + b = 0 (1), e g(x₂) = ax₂ + b = x₂ ⇒ (a − 1)x₂ + b = 0 (2).Fazendo (2) − (1) obtém-se: (a − 1)(x₂ − x₁) = 0. Como x₁ ≠ x₂, segue da última igualdade que a = 1.Substituindo o valor de a, encontrado acima, em (1) ou (2) encontra-se b = 0.
12 c
13 e
14 b
15 a
16 e
17 c
18 a) f (15) = 3(15)2 − 6 = 3 . 225 − 6 = 675 − 6 = 669
b) 3x2 − 6 = 762 ⇒ x2 = 7683
= 256 ⇒ x = −16 ou
x = 16. Como a função não está definida para valores não negativos de x, a resposta é x = 16.
c) A função no domínio de f é injetiva, pois se x₁ ≠ x₂ então f(x₁) ≠ f(x₂).
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Função exponencial e função logarítmica
1 d
2 b
3 c
4 c
5 d
6 a
7 b
8 a) Aplicando o logaritmo na base 2 aos dois lados da equação y = f(x), obtemos log2 y = log2 8 − log2 42x, ou simplesmente log2 y = 3 − 4x. O gráfico desejado, com a curva representada, é mostrado a seguir.
log2 (y)
–1 1 2 3
4
10
8
6
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
x
FIG.023A-MAT-TOP-04
b) O sistema fornecido é equivalente a .
Aplicando o logaritmo na base 2 aos dois lados das duas equações acima, obtemos
, ou seja,
. Esse sistema equivale a
, cuja solução é dada por
y = 12
e z = 12
.
Resposta: y = 12
e z = 12
.
{8
42z = 4y
8(42y 4z) = 1
log2 8 − log2 42z = log2 4y
log2 8 − log2 42y = log2 4z = log2 1{3 − 4z = 2y
3 − 4y − 2z = 0{2y + 4z = 3
4y + 2z = 3{
9 b
10 c
11 F, F, V, V, F
12 (x, y) = (11, 2)
13 a
14 a
15 d
16 O menor valor possível é n igual a 47.
17 a) 401 ºC e 202 ºC.
b) 4,3h = 4h18min.
18 a
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1 e
2 e
3 a
4 b
5 a
6 c
7 b
8 d
9 d
10 a) No passo 4 temos
12
+
14
+
18
+ 116
= 1516
do
quadrado original preenchido. Isso corresponde a
0,9375 do quadrado original, ou, ainda, 93,75% dele.
Sequências, progressões aritméticas e geométricas
b) Chamaremos de n o número mínimo de passos
para que 99,9% do quadrado original seja preenchi-
do. Então, após n passos, a área coberta será
12
+
14
+ … +
12n
=
12
. 1212
1 –
1 –
n ( ) = 1
–
12n .
Isso se deve ao fato de o primeiro membro da
igualdade ser uma PG de razão
12
. Como 99,9% =
= 0,999, para que 1 –
12n
≥ 0,999 devemos ter
0,001 ≥
12n
, ou ainda 2n ≥ 1.000. Basta então observar
que 29 = 512 e 210 = 1.024.
Portanto, serão necessários, no mínimo, 10 passos
para garantir que 99,9% da área do quadrado ori-
ginal seja coberta.
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Trigonometria no triângulo retângulo
1 a
2 d
3 c
4 a
5 d
6 e
7 c
8 b
9 c
10 b
11 Do enunciado, temos a figura abaixo:
D C
45°
I
I
x y
N
MBA
E
R
H
G
F QP
45° 45°
Onde: PF = x; QF = y; AB = BC = CD = AD = l.
No triângulo EPF:
cos 45° = xEF
⇒ √2 2
= x
6√2 ∴ x = 6 uc
No triângulo FGQ:
sen 45° = FHy
⇒ √2
2 =
6√2 y
∴ y = 12 uc
Logo, os catetos do triângulo AMN medem 18 uc. Como os triângulos AMN e BMC são semelhantes (caso AA), temos:
18 − l
18 = l
18 ⇒ l = 9 uc
Logo, a área do quadrado ABCD é:
SABCD = l2 ⇒ SABCD = 92 ∴ SABCD = 81 ua
12 b
13 d
14 c
15 b
16 Através da relação comprimento do arco = ângulo in-
terno do círculo vezes o raio, temos:
32π3
= α . 8 ⇔ α = 240º.
Portanto, um arco de 32π3
m de comprimento cor-
responde a um ângulo de 240°, para o círculo da roda- -gigante.
Temos, pelo desenho:
8 sen 30° = 4 m
8 m
2 m
30° 240°
Logo, a altura da queda será: 2 m + 8 m + 4 m = 14 m.
17 a
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Ciclo trigonométrico – 1a volta
1 a) Note-se que CA⎯ = CB⎯. Assim, o perímetro do setor circular ACB é igual a 2 + 2 + 1 = 5 cm.
b) Tem-se:
medida de θ em
radianos = medida do arco ABmedida do segmento AC = 1
2 .
A medida de θ em graus é igual a
12
. 180ºπ = ( 90
π )º.
c) A área do setor circular ACB é dada por
θ2π
. π (2)2 = 12
2π . π . (2)2 = 1 cm2.
2 a
3 e
4 c
5 Considere o triângulo OCD, retângulo em D, na figura abaixo.
βα
C
DO
β – π
Note que, nesse triângulo, OC = 1 e o ângulo agudo CÔD = β − π. Escolhendo α = β − π, do triângulo OCD tem-se que:
sen α = sen(β − π) = CDOC
= CD1
= CD ⇒ CD = sen α
cos α = cos(β − π) = ODOC
= OD1
= OD ⇒ OD = cos α
Por outro lado, sen β = −CD e cos β = −OD. Portanto, sen β = −sen α e cos β = −cos α.
6 e
7 a
8 b
9 c
10 c
11 b
12 a
13 c
14 c
15 b
16 d
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Funções trigonométricas
1 c
2 a
3 b
4 b
5 d
6 d
7 e
8 a
9 d
10 b
11 a
12 b
13 a) f(x) = 4,5 + sen(2πx)
1o dia: x = 0 ⇒ f(x) = 4,50
2o dia: x = 14
⇒ f(x) = 5,5
3o dia: x = 12
⇒ f(x) = 4,5
4o dia: x = 34
⇒ f(x) = 3,5
5o dia: x = 1 ⇒ f(x) = 4,5
1 x
y
5,5
4,5
3,5
14
12
34
b) Dia do preço mais alto: 3a feira, 02/04
Dia do preço mais baixo: 5a feira, 04/04
c) Preço mais alto: R$ 5,50
Preço mais baixo: R$ 3,50
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1 a
2 a) Usar o teorema de Pitágoras nos triângulos retân-gulos ABE e ABC para obter os valores AE = 5 cm e AC = 4√–2 cm. Assim o perímetro será:
AE + CE + AC = 5 + 1 + 4√–2 = (6 + 4√–2) cm.
b) Usar a lei do cosseno no triângulo de vértices A, C e E para obter o cosseno de α:
(1)2 = (5)2 + (4√–2)2 – 2 . (5) . (4√–2) . cos α ⇒
⇒ cos α = 5640√–2
= 7√–210
Usar a lei dos senos no triângulo de vértices A, C e
E para obter o seno de α (observando que o ângu-
lo AĈE = 45°), assim:
sen αCE
= sen 45°AE
⇒ sen α1
= √–2/25
⇒ sen α = √–210
3 b
4 e
5 a
6 b
7 a
8 d
9 d
10 a
Trigonometria: complementos e estudo de triângulos quaisquer
11 Da equação dada segue que sen2 x = 1 – cos x e que
1 – cos2 x = 1 – cos x.
Esta última igualdade é equivalente a cos x (cos x –– 1) = 0. cos x = 0 e sen x = 1 têm juntas as soluções x = π
2 +
+ 2kπ, enquanto cos x = 1 e sen x = 0 têm soluções x = 2kπ. Portanto, a equação tem duas soluções em cada in-
tervalo [ 2kπ , (2k + 2) π ), e a equação dada tem 80 soluções no intervalo [ 0,80π ).
12 b
13 d
14 Os quatro triângulos vermelhos são triângulos retângu-los e congruentes. A soma de suas áreas é dada por 2xy, com x = a cos θ e y = a sen θ.
x
θx
y
ya
Como o lado do quadrado mede L, segue da figura que
a cos θ + a + a sen θ = L.
Assim, a = L1 + sen θ + cos θ
. Portanto,
2xy = 2L2 cos θ sen θ(1 + sen θ + cos θ)2
= L2 sen 2θ(1 + sen θ + cos θ)2
15 b
16 e
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10
Determinantes e sistemas lineares
1 d
2 b
3 a
4 x = 20 kg e y = 60 kg.
5 Um deles dá 5 voltas e o outro, 4 voltas.
6 c
7 e
8 Resolvendo o sistema, obtêm-se a0 = 27, a1 = − 4 e a2 = –5.
9 a
10 {(11, 2)}
11 c
12 a
13 a) det P = 16ab + 5ab − 3b2 − 3a2
det P = −3 . (a2 − 7ab + b2)
b) Q = 2 . P ⇒ det Q = det (2 . P)Como a matriz P tem ordem 3, temos:det Q = 23 . det PSubstituindo:det Q = 8 . (− 3) . (a2 − 7ab + b2)det Q = −24 . (a2 − 7ab + b2)E, sendo assim, det Q é divisível por 24 quaisquer que sejam os inteiros a e b.
14 d
15 d
16 b
17 c
18 b
19 • Se k2 + k − 6 ≠ 0, ou seja, k ≠ 2 e k ≠ −3, o sistema é pos-sível e determinado.
Se k2 + k − 6 = 0, ou seja, k = 2 ou k = –3, tem-se duas possibilidades:• Para k = 2, o sistema é possível e indeterminado, uma vez que a última linha de B será toda igual a 0.• Para k = −3 o sistema será impossível, uma vez que a última linha de B corresponde à equação 0 = 5.
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2 e
3 e
4 e
5 e
6 c
7 c
8 d
9 c
Análise combinatória
10 a
11 a
12 e
13 e
14 a
15 a
16 b
17 c
18 c
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12
1 c
2 a) 56%.
b) 6%.
3 b
4 518
5 b
6 c
7 Soma: 01 + 02 + 04 = 7
8 38%.
Probabilidade
9 14
10 e
11 c
12 33,3%.
13 b
14 a
15 b
16 c
17 4,73%.
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Poliedros
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5 b
6 c
7 a
8 b
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10 c
11 c
12 b
13 d
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16 c
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14
1 d
2 d
3 e
4 a
5 b
6 a
7 e
8 a
9 d
10 b
11 b
12 b
13 a
14 b
15 e
16 e
17 a
18 c
19 a
Corpos redondos
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15
Geometria analítica – distâncias
1 b
2 a
3 d
4 b
5 b
6 e
7 b
8 a
9 d
10 d
11 c
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5 b
6 b
7 c
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10 c
11 d
12 e
13 b
14 d
15 d
16 a
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Geometria analítica – circunferência e cônicas
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Números complexos
1 e
2 c
3 c
4 c
5 c
6 d
7 b
8 e
9 d
10 e
11 O valor de | √–3 z1z2
+ z–2 | é 1.
12 Soma: 8
13 c
14 θ = 8π9
15 e
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Rep
rod
ução
pro
ibid
a. A
rt. 1
84 d
o C
ódig
o P
enal
e L
ei 9
.610
de
19 d
e fe
vere
iro d
e 19
98.
18
Polinômios
1 c
2 e
3 a
4 b
5 e
6 c
7 a
8 d
9 d
10 d
11 d
12 a) A resposta é 0.
b) A resposta é ± i.
13 F, V, V, F, V
14 c
15 c
16 b
Revisão Total – Matemática – Gabarito
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Rep
rod
ução
pro
ibid
a. A
rt. 1
84 d
o C
ódig
o P
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e L
ei 9
.610
de
19 d
e fe
vere
iro d
e 19
98.
19
Revisão Total – Portal – Matemática – Gabarito
Razões, proporções e porcentagens
1 c
2 e
3 d
4 a
5 a
6 105
7 Um deles dará 4 voltas e o outro, 5 voltas.
8 d
9 b
10 e
11 d
12 R$ 36,00; R$ 27,00; R$ 18,00.
13 d
14 a
15 R$ 12.000,00 e R$ 18.000,00.
16 e
17 c
18 a
19 Soma: 01 + 02 + 04 = 7
20 b
21 c
22 7,5% ao ano.
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Rep
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pro
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rt. 1
84 d
o C
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o P
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e L
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de
19 d
e fe
vere
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e 19
98.
20
Revisão Total – Portal – Matemática – Gabarito
Conjuntos e números
1 a
2 c
3 c
4 d
5 b
6 d
7 b
8 e
9 d
10 b
11 b
12 b
13 a
14 b
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de
19 d
e fe
vere
iro d
e 19
98.
21
Revisão Total – Portal – Matemática – Gabarito
Matrizes
1 c
2 A arrecadação total foi de R$ 119.380,00.
3 d
4 d
5 a
6 a) 11 caixas.
b) R$ 44,00.
7 e
8
9 c
10 b
11 c
12 c
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e fe
vere
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98.
22
Revisão Total – Portal – Matemática – Gabarito
Estatística
1 d
2 b
3 Soma: 01 + 02 + 16 = 19
4 Soma: 08 + 16 + 32 = 56
5 e
6 Soma: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31
7 d
8 c
9 a
10 d
11 a
12 b
13 b
14 c
15 a) 14.800 acidentes
b) 2.880 acidentes
16 c
17 a) Aproximadamente 22,7%.
b)
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a. A
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o C
ódig
o P
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e L
ei 9
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de
19 d
e fe
vere
iro d
e 19
98.
23
Revisão Total – Portal – Matemática – Gabarito
Geometria plana
1 d
2 e
3 c
4 d
5 c
6 b
7 b
8 e
9 c
10 a
11 d
12 a
13 I, V
14 c
15 b
16 d
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ódig
o P
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19 d
e fe
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98.
24
Revisão Total – Portal – Matemática – Gabarito
Introdução à geometria espacial
1 c
2 a) V
b) F
c) V
d) V
e) F
3 a) V
b) F
c) F
d) V
e) V
4 a) V
b) F
c) V
d) V
e) F
f) V
5 a) V
b) F
c) F
d) V
e) F
f) V
6 d
7 a
8 b
9 a) V
b) V
c) V
d) F
e) V
10 d
11 d
12 a) F
b) V
c) V
d) V
e) F
13 d
14 d
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