Revisao Buckley Leverett

Modelos de

deslocamento

imiscveis

Modelo de deslocamento completo

Modelo de Buckley-Leverett

Modelo de Deslocamento Completo

A eficincia de deslocamento uma medida da reduo da saturao de leo na regio

invadida pelo fluido deslocante.

Eficincia de Deslocamento



Fill-up - quando o banco de

leo atinge a extremidade de

produo.

Breakthrough - quando a

frente de avano da gua

atinge a extremidade de

produo

Aplicao deslocamento de gs ou de leo de alto

grau API pela gua.

Na maior parte dos casos prticos a saturao de gs

na regio invadida pela gua e no banco de leo tende a

ser nula, pois parte da saturao de gs existente no

incio do projeto deslocada pelo leo e parte

redissolvida no leo, devido ao aumento de presso

provocado pela injeo do fluido deslocante.

Em muitos casos prticos a injeo de gua

iniciada a uma presso maior que a de saturao

e, nesse caso, a saturao inicial de gs nula

em todos os pontos do sistema



Soi

Swi Swi

Swi

Sg

So

Sor Sor

Sgr Sgr

1- -S Sgr wi

1- -S Sgr or1- -S Sgr or

a) Original

c) No fill-up d) No breakthrough

b) No incio da injeo

Abaixo da presso de bolha Modelo de Deslocamento Completo


Posio da frente de avano da gua fluxo linear.

)1( wiorgrawinj SSSAXV )1( wiorgr

winja

SSSA

VX



winjV

L

X a

X o

S gr

S g

S o

S wi

S or

1 S or S gr

1 S gr S wi

Posio da frente de avano da gua fluxo radial.

Ra

Ro

Sg

So

Swi

Sor

Sgr

1SorSgr

1SgrSwi

Regio invadida Banco de leo Regio no afetada

Poo de injeo

)1( wiorgr

winja

SSSh

VR



Posio da frente de avano do leo fluxo linear.

O decrscimo de volume de leo na regio invadida pela gua equivale ao

acrscimo de volume do mesmo fluido no banco de leo, ou seja

)1()()( owigraooroa SSSXXASSAX

owigr

oroaao

SSS

SSXXX

1

owigr

oroao

SSS

SSXX

11 ou



O tamanho do banco de leo cresce em proporo direta

com Xa e, portanto, com o volume de gua injetado.

Posio da frente de avano do leo fluxo radial.

owigr

oro

a

ao

SSS

SS

R

RR

12

22

owigr

oroao

SSS

SSRR

11



Volume deslocvel (de leo) e eficincia de deslocamento

)1()( orwiporopDL SSVSSVV

orop

oropD SS

V

SSVE

)(

wi

oro

wip

oropD

S

SS

SV

SSVE

1)1(

)(

A eficincia de deslocamento (ED) pode ser definido de duas maneiras

ou

A eficincia de deslocamento definida como a

relao entre o volume de leo deslocvel e o

volume poroso do reservatrio.

A eficincia de deslocamento definida como a

relao entre o volume de leo deslocvel e o

volume de leo originalmente existente.

ou



No modelo de deslocamento completo o valor de kw deve ser avaliado a uma saturao

de gua Sw = 1 Sor Sgr e o valor de ko a uma saturao de leo So = 1 Sgr Swi



oo

ww

o

w

k

kM

/

/

Eficincia de recuperao ER - o produto entre as eficincias de varrido horizontal,

de varrido vertical e de deslocamento.

Observao 1

Observao 2

DvvAR EEEE DvR EEE )( oroD SSE

A eficincia de recuperao uma medida da eficincia

global de um projeto de injeo imiscvel.

Presso de injeo antes do fill-up fluxo linear

pf

pp

pinj

Xa

Xo

Regio invadida Banco de leo

pSuposies:

gua imvel no banco de leo, isto , a

saturao de gua conata igual

saturao irredutvel de gua.

Saturao residual de gs nula.

Fluidos incompressveis.



aw

finjww

X

ppAkq

)(

)(

)(

aoo

pfoo

XX

ppAkq

injwo qqq segue que

onde pinj a presso de injeo, pf a presso na frente de avano da gua

e pp a presso na extremidade de produo, que se admite a mesma em

toda a regio no afetada. Como os fluidos so incompressveis




Ak

XXq

Ak

Xqppppppp

o

aooinj

w

awinjpinjpffinj

)()()(

)1( M

X

XM

Ak

Xqp

o

a

w

owinj

A relao Xa/Xo constante. Logo para uma vazo de injeo constante, o diferencial de

presso (ou a presso de injeo, j que a presso na regio no afetada pode ser admitida

constante) antes do fill-up cresce linearmente com Xo, ou seja, com o volume de gua injetada. Inversamente, se a presso de injeo for mantida constante, a vazo de injeo

decrescer linearmente com o volume acumulado de gua injetada.

Equao 1




a

o

w

a

w

winj

R

RM

r

R

hk

qp lnln

2

Observao: quando a presso de injeo for constante as

Equaes 1 e 2 serviro para calcular a vazo de injeo antes do

fill-up

Equao 2



Presso de injeo antes do fill-up fluxo radial

pf

pp

pinj

Xa

L

Regio invadida= 0ko

Banco de leo = 0kw

p

)1( M

L

XM

Ak

Lqp a

w

winj

Analogia com a Equao 1



Presso de injeo depois do fill-up fluxo linear

)1( M

L

XM

Ak

Lqp a

w

winj

Observao: quando qinj constante, a queda de presso (e conseqentemente a

presso de injeo):

decresce com o aumento de Xa quando M > 1. cresce com o aumento de Xa quando M < 1.

Analogamente, a vazo de injeo, para p constante:

cresce com o aumento de Xa quando M > 1. decresce com o aumento de Xa quando M < 1.




Xa1

pf1 pf2

Xa2

L

p

12

pinj

p1p2


M > 1



ppp

pf1

pf2

1

2

pinj

p1 p2

Xa1

Xa2

L

M < 1




a

e

w

a

w

winj

R

RM

r

R

hk

qp lnln

2

Do ponto de vista das presses de injeo requeridas, um valor de M < 1 menos desejvel do

que um valor de M > 1, pois neste ltimo caso os diferenciais de presso so menores (para uma

dada vazo). No entanto, essa vantagem do caso em que M > 1 anulada por desvantagens

maiores, j que quanto maior a razo de mobilidades menor a eficincia de varrido horizontal.

Assim, um valor de M < 1 j uma importante indicao de sucesso de um projeto de injeo

Presso de injeo depois do fill-up fluxo radial

Analogia com a Equao 2



Modelo de Buckley-Leverett

Ar patmosfrica

Nvel arbitrriode referncia

guap

zzo

)( 00

zzdp

p

p

Para um fluido esttico, no existe diferena de

potencial entre os vrios pontos desse fluido


dl

dkv

)( 00

zzdp

p

p

dldz

dl

dp

dl

d

1

Lei de Darcy generalizada

dl

dz

dl

dpkv


Modelo de Buckley-Leverett (1942)

x

A

vt

vt

seno

o

o

oo g

x

pkv

senw

w

w

ww g

x

pkv

Fluxo Fracionrio

Meio poroso linear, homogneo e isotrpico, os fluidos so considerados incompressveis.

Obs: Esta teoria pode tambm ser utilizada para o estudo do deslocamento de leo por gs


2

ww

o

o

c

to

o

w

k

k

gx

p

v

k

f

1

sen1

w

w

o

o

c

to

o

w

k

k

x

p

v

k

f

1

1

w

w

o

ow

k

kf

1

1 Flu

xo

fra

cio

n

rio

de

gu

a (

)f w

00 Swi (Sw)

(1Sor)

Saturao de gua 1

1


Fluxo Fracionrio

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110

-1

100

101

102

103

Saturao de gua Sw

Re

la

o d

e P

erm

ea

bili

da

de

s R

ela

tiva

s kro

/krw


Fluxo Fracionrio

wbS

rw

ro aek

k wS

rw

ro ek

k 288,1613682

wbS

o

ww

ae

f

1

1

x x x +

A

dois fluidos homogneos, imiscveis e incompressveis, gua e leo.

Taxa de Avano Frontal


3

xf

A

q

t

S wtw

A injeo de gua vai provocar uma mudana na distribuio das saturaes. Aps algum tempo, diferentes sees apresentaro diferentes valores de saturao.

A saturao nos diversos pontos do meio vai mudando com o tempo.

A saturao de gua ento funo da posio dentro do meio poroso e do tempo de injeo. Por outro lado, o fluxo fracionrio funo apenas da saturao

),( txSS ww )( www Sff



ww Sw

wt

SSd

fd

A

q

td

xd

A equao acima expressa a velocidade de avano de um determinado plano (ou frente)

de saturao de gua Sw



w

w

Sw

wtS

Sd

fd

A

tqx

w

w

Sw

wwinjS

Sd

fd

A

BWx

w

w

Sw

wwinjS

Sd

fd

A

Vx

Onde Winj o volume de gua injetado acumulado, medido em condies-padro



w

w

Sw

wtS

Sd

fd

A

tqx

wbS

w

ow

ae

f

1

1

)()/(1

)/(

1

2

22 ww

wowo

wowo

bS

wo

bS

wo

w

w ffbkk

kkb

ae

bae

S

f

w

w



0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Saturao de gua (Sw)

dfw

/dS

w

cp

cp

ek

k

w

o

S

rw

ro w

68,0

4,3

13682288,16

) (

2

w

w

w

w

f f

b

S f

1Swi

1Sor

0

Satu

rao

de

g

ua

(S

w)

Distncia ( )x

Diagrama de distribuio de saturao versus distncia

Existem posies que apresentam,

segundo o grfico, trs valores de

saturao, o que fisicamente

impossvel.



w

w

Sw

wtS

Sd

fd

A

tqx

Swf

xf

1

Swi

1Sor

0

Sa

tura

o

de

g

ua

(S

w)

Distncia ( )x

regio imaginria



1Swi

1 Sor

0

Distncia ( )x

Frente de avano

Swf

xf

Sa

tura

o d

e

gua

(S

w)

Existe na frente de avano uma variao brusca de saturao entre

a regio j invadida e a regio ainda no invadida.



1Swi

t1 t2 t3

Swf

1 Sor

0

Distncia ( )x

Sa

tura

o d

e

gu

a (

Sw)

Para volumes injetados diferentes tm-se diferentes posies da frente de avano,

entretanto, a saturao da frente sempre a mesma

zona

estabilizada

zona no

estabilizada



Flu

xo

fra

cio

n

rio

de

g

ua

()

f w

00

1

1

Saturao de gua ( )Sw

Swf

fwf

Swi

(1 )Sor

ww Sw

wt

SSd

fd

A

q

td

xd

se os pontos da zona estabilizada tm a

mesma velocidade porque a tangente

curva de fluxo fracionrio no intervalo

constante



Flu

xo

fra

cio

n

rio

de

g

ua

()

f w

00

1

1


Swf

fwf

Swi

(1 )Sor

Smith (1975) - a substituio de parte da curva por uma linha reta equivale a reconduzir

expresso do fluxo fracionrio o termo referente presso capilar. O valor da saturao de

gua no ponto de tangncia da Fig 1 o mesmo encontrado na Fig 2.

Swf

xf

1

Swi

1Sor

0S

atu

rao

de

g

ua

(S

w)

Distncia ( )x

Fig 1 Fig 2



xS

S

p

x

p w

w

cc

A variao da presso capilar com a saturao de gua tem valor negativo. Por outro

lado, sabe-se que o termo Sw/x, apesar de no ser obtido facilmente, tambm

negativo, pois a saturao de gua diminui com a distncia. Conclui-se portanto que

pc/x positivo e o seu efeito aumentar o fluxo fracionrio,

Em regies onde a variao de saturao com a distncia grande, como o caso

da zona estabilizada, esse efeito significativo.



Flu

xo

fra

cio

n

rio

de

g

ua

()

f w

00

1

1


Swf

fwf

Swi

(1 )Sor

Portanto, o termo (ko/ovt)(pc/x) que foi

suprimido na deduo da equao deve

corresponder diferena entre a curva

de fluxo fracionrio calculada e a linha

reta tangente curva e que corresponde

frente de avano

w

w

o

o

c

to

o

w

k

k

x

p

v

k

f

1

1



SwfSwf

1

Swi

1Sor

0

Distncia ( )x

Frente de avano

xf

Satu

ra

o d

e

gua

(S

w) Welge (1952)

f

f

x

x

w

wf

xd

xdS

S

0

0_



4

Flu

xo

fra

cio

n

rio

de

gu

a (

)f w

00

1

1Saturao de gua ( )Sw

Swf S*

Swi

(1Sor)

fwf



'

*1

wf

wf

wfwff

fSSS

Sw1 Swf

Sw1

1

Swi

1Sor

0xf

L

breakthrough - quando a frente de avano

alcana a extremidade do meio poroso ( xf = L ). )( wiwfD SSALV

situao do meio poroso

um certo tempo aps o

breakthrough.



Flu

xo

fra

cio

n

rio

de

gu

a (

)f w

00

1

1Saturao de gua ( )Sw

Sw1 Sw1

Swi

fw1

1

111

1_

w

www

f

fSS

)_

( 1 wiwpD SSVV



Quando a saturao inicial de gua for superior saturao irredutvel

(um valor Swj qualquer) resulta num fluxo fracionrio inicial fwj 0

Flu

xo fra

cio

nrio d

e

gua (

)f w

00

1

1


Swf

Swi

SwjSwf

fwf

fwj

(1 )Sor

fw

fwfwwf

f

fSS

1_

jwfw

jwfwfw

SS

fff



( )Np BT

( )Np BT ( )N + Wp p

tg = 1

Np

Obteno das curvas de fluxo fracionrio a partir de dados de campo

11

1

111

tgB

Bff

o

w

ow

fo tg

w

w

o

w

o

w

f

f

k

k

1


5

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Saturao de gua Sw

krwkro

Perm

eab

ilida

de

Rela

tiva

Caso 1


Prtica 3

Caso 2

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

krwkro

Perm

eab

i lida

de

Rela

tiva

Saturao de gua Sw


Caso 3

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

krwkro

Pe

rmea

bili

da

de R

ela

tiva

Saturao de gua Sw


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Caso 1 Caso 2 Caso 3

55,01 wfS 64,02 wfS 72,03 wfSF

luxo F

racio

nrio d

e

gua -

fw

Saturao de gua - Sw



Eficincia de varrido horizontal - linha direta no instante de breakthrough.

Craig

Revisao Buckley Leverett

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