Reti Correttrici Singolo Bologna

7/24/2019 Reti Correttrici Singolo Bologna

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Controlli Automatici LB

Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taraturaReti Correttrici

Rete di Anticipo

Rete di Ritardo

Rete di Ritardo/Anticipo

Prof. Carlo Rossi

DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020

Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi



Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 2

Indice

! 1. Introduzione alle Reti Correttrici

! 2. Rete di Anticipo

! 3. Rete di Ritardo

! 4. Rete di Ritardo/Anticipo

! 5. Rete correttrici - sommario delle regole di taratura

! 6. Problemi di code di assestamento con le reti correttrici

! 7. Riferimenti Bibliografici




Introduzione alle Reti Correttrici

Risultati dell'analisi di Scenario

! regolatori senza poli nell'origine individuati

" si utilizzano con specifica di errore a regime costante non nullo

R s( )= k 1+!

1" 1 s( ) 1+ "

2 s( )

1+ " 1 s( ) 1+!

2" 2 s( )

Scenario A

Scenario B reti correttrici

Rd s( )=

1+!1" 1 s( ) 1+ "

2 s( )

1+ " 1 s( ) 1+!

2" 2 s( )

regolatore statico

regolatori

dinamici





Sviluppo del progetto

! fase preliminare al progetto di regolatori senza polo

nell'origine" si progetta il regolatore statico Rs(s) = k per imporre la più severa

tra la specifica statica e quella sulla attenuazione di un eventuale

disturbo caratterizzato spettralmente

#

si progetta quindi la rete correttrice (regolatore dinamico ) a

guadagno unitario

$ si progetta sull'impianto già compensato staticamente L* = k G

"

le formule per la compensazione statica e di attenuazione del

disturbo sono già state illustrate nel capitolo sulle Specifiche dei

sistemi di controllo

"

salvo diversa indicazione, in questo capitolo non ci si occuperà

quindi della scelta del guadagno statico k





Sviluppo del progetto! si considerano reti correttrici a guadagno unitario

" si progettano sull'impianto già compensato staticamente L* = k G

rete di ritardo

rete di anticipo

R s( )=1+!

1" 1 s( ) 1+ "

2 s( )

1+ "

1

s

( )1+!

2

"

2

s

( )

rete di ritardo/anticipo




intervallo di frequenze

di utilizzo della rete

Rete di Anticipo

Rete di anticipo a guadagno unitario

Re

Im

due effetti sulla L

zero

polo

anticipo di fase

aumento del guadagno

L'effetto utile è

l'anticipo di fase

tra zero e polo

1/ ! 1/ ! !

10-1 100 101 102

0

10

20

30

40

0

20

40

60

80

#



Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB

Caratteristiche principali

Reti correttrici 7

0

5

10

15

20

10-1 100 101 102 0

10

20

30

40

50

60

# = 1/! # = 1/$!

una decade oltre il polo

la fase residua è < 5°

errore < 10°

! = 0.1

" = 1

max 70-75°

Rete di Anticipo

Re

Im




Rete di Anticipo

Ruolo dei parametri

10-2 10-1 100 101 102

0

5

10

15

20

25

30

0

10

20

30

40

50

60

Re

Im

$ = .1! = 3.3

$ = .1

! = 10

$ = .15

! = 3.3




Formule utili

Reti correttrici 9

guadagno max (in alta frequenza)

pulsazione del massimo anticipo

$ per ottenere un dato %max

Rete di Anticipo

guadagno in corrispondenza di #*

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 $ 15

20

25 30

35

40

45

50

55

60

%max°




Formule utili

Reti correttrici 10

$ per ottenere %max

Rete di Anticipo

guadagno in #*

0

10

20

30

40

50

60

70

%max

°

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 |R(#*)|dB

Se nel progetto si sceglie una frequenza di attraversamento in

cui il guadagno richiesto e l'anticipo di fase sono sulla curva, la

rete progettata avrà minimo guadagno in alta frequenza




Rete di Anticipo

Razionale del progetto! si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto

" già compensato staticamente (kG(s))

! si sceglie la frequenza di attraversamento #c desiderata"

all'interno dell'intervallo di specificaad es. #c = 4 rad/s

100 101

-30

-20

-10

0

10

20

-200

-150

-100

-50

0

50

100specifiche

Mf >70°

2 < #c < 7 rad/skG




Rete di Anticipo

Razionale del progetto

! si valutano sui diagrammi"

il guadagno &R (j#

c) &dB per imporre l'attraversamento in#

c "

l'anticipo di fase Arg(R (j#c)) per imporre il margine di fase

desiderato

100 101

-30

-20

-10

0

10

20

-200

-150

-100

-50

0

50

100specifiche

Mf >70°

2 < #c < 7 rad/s

&R (j4) &dB= +10dB

Arg(R (j4))= +60°

kG

ad es. #c = 4 rad/s




Rete di Anticipo


! si sviluppa il progetto

" nel corso verrà illustrato un metodo analitico

#

basato sull'uso di formule, dette di inversione

100 101

-30

-20

-10

0

10

20

-200

-150

-100

-50

0

50

100specifiche

Mf >70°

2 < #c < 7 rad/s

&R (j4) &dB= +10dB

Arg(R (j4))= +60°

ad es. #c = 4 rad/s

kG

L




Rete di Anticipo

Progetto della rete con le formule di inversione

! Problema

" progettare una rete di anticipo a guadagno statico unitario k= 1

# scegliere cioè e $

"

che in#

=#c garantisca

#

un guadagno &R (j#c) & (in unità lineari) pari a M (M>1)

#

un anticipo di fase Arg(R (j#c)) pari a

%

(0°<%

<90°)

! l'espressione del regolatore in

#

c è

! in termini generali di funzione complessa

! eguagliando le due espressioni si ha




Rete di Anticipo


! dal lucido precedente, evidenziando le variabili #c e $ #c

! sviluppando

! si svolgono le parentesi

! si separano parte reale e parte immaginaria

! si eguagliano a zero parte reale e parte immaginaria

M cos! + jM sin! ( ) 1+ j"#$ c( ) = 1+ j#$

c

1+ j!" c

1+ j#!" c

= M cos$ + jM sin$

M cos! + jM cos! ("#$

c) + jM sin! + j

2 M sin! ("#$

c) = 1+ j(#$

c)

M cos! " M sin! (#$% c )

"1+ j M cos! (#$% c )+ M sin!

"

$% c( ) = 0

Re Im




Rete di Anticipo


! dal lucido precedente

! Im = 0

! Re = 0

! in forma matriciale

M cos! " M sin! (#$%

c)"1+ j M cos! (#$%

c)+ M sin!

"$%

c( ) = 0

Re Im

M cos! ("#$ c )

+ M sin!

%

#$ c =

0




Rete di Anticipo



! risolvendo per #c e $ #c

! invertendo la matrice




Rete di Anticipo



! sviluppando l'equazione matriciale




Rete di Anticipo



! dividendo per il parametro già scelto #c si ottengono le

Formule di inversione

! non tutte le scelte della coppia M e %,

" con M > 1 e 0° <

%

< 90°! garantiscono una soluzione ammissibile

"

0 <$

< 1

"

> 0




Rete di anticipo

Esempio di progetto con le formule di inversione

Step 1 - traccio diagramma di L*=kG

Specifiche dinamiche Margine di fase > 70°

10 ' #c ' 50 rad/s

Impianto

#c ( 12 rad/sM

%

(

40° (insufficiente)

Step 2 - Scelgo una nuova frequenza#c* (superiore a quella propria del

sistema) nell'intervallo di specifica

#c* = 20 rad/s

Step 3 - Calcolo (in#

c* ) il guadagno M e l'anticipo di fase%

necessari adimporre l'attraversamento ed il margine di fase richiesti

10-1 100 101 102

-40

-20

0

20

40

-200

-100

0

100

#c

L*

&L*&dB = -8 dB)

MdB = - &L*&dB )

M = 10(8/20) = 2.5

% = +50°




Rete di anticipo



10 ' #c ' 50 rad/s

Impianto

Step 4 - Calcolo i parametri della rete

Le specifiche sono soddisfatte

#c = 21 rad/s

Mf = 78.5°

-40

-20

0

20

40

-200

-100

0

100

10-1 100 101 102

LR

#c* = 20 rad/s

M = 2.5

% = +50°

L*



Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 22-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -50

-40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

Rete di anticipo

! Verifica

Specifiche

Mf > 70°

10 ' #c ' 50 rad/sec

Impianto

coda di assestamento

residuo piccolo

* ( .83

vera #n ( 40

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

risposta al gradino

undershoot

attesa con

* ( .83

#n ( 40

-40-20

0

20

40

-200

-100

0

100

10-1 100 101 102

* ( .8

L

#c ( 21

dinamica

dominante




Rete di anticipo

Coda di assestamento

! la presenza di una coda di assestamento è fisiologica

quando si usa una rete anticipatrice" la rete contiene uno zero collocato di solito a frequenza inferiore a

quella di attraversamento

# nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo

zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto

"

la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta diquella imposta con la frequenza di attraversamento

"

se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di

assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di

assestamento

"

per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre

# stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quellodel sistema in retroazione senza considerare la coda

" se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda

può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche.




Rete di anticipo


! per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad

un progetto per cancellazione" si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo

dell'impianto

# per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a

frequenza inferiore alla#c prescelta più vicino ad essa

! il progetto per cancellazione non è sempre possibile

"

occorre verificarne la fattibilità

"

lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo

!

poli dell'impianto

#c

Zero




Rete di anticipo

Progetto per cancellazione - formule utili

! lo zero del regolatore è collocato in

corrispondenza di un polo dell'impianto"

c è quindi già fissato per imporre la cancellazione

! resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è

! dalla prima

! dalla seconda

R p dB

= !20log 1+ "# ( )2$

% & '

( )

* R p( ) = !arctg "# ( )




Rete di anticipo



! da cui

"

modulo in funzione della fase

"

fase in funzione del modulo

-90 -80

-70 -60 -50 -40 -30 -20

-10 0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)

F a s e

( g r a d i )

Polo




Rete di anticipo

Esempio di progetto per cancellazione

! impianto

! Specifiche dinamiche

"

Margine di fase > 70°

"

10'

#c ' 50 rad/s

Step 1- diagramma di L*=kG"

#c ( 12 rad/s

"

Mf ( 40°

Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo

dell'impianto

"

di solito quello più vicino (a frequenza inferiore) alla#c scelta

Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero

10-1 100 101 102 103

-100

-50

0

50

-200

-100

0

100

L*

non fisicamente realizzabile !!

L'

#c 12rad/s

40°




Rete di anticipo



" Margine di fase > 70°

" 10 ' #c ' 50 rad/s

Step 4 - rilevo la frequenza

di attraversamento ed il

$+,-./ *- 0$1/ 23/ +-145 $.6

" #c = 20 rad/s

"

Mf = 90°

Step 5 - valuto la fattibilità del progetto per cancellazione

"

la nuova frequenza di attraversamento e la fase sono all'internodei rispettivi intervalli di specifica

#

posso procedere

10-1 100 101 102 103

-100

-50

0

50

-200

-100

0

100

#c

L*

20rad/s (o.k.)

L'

90° (o.k.)




Rete di anticipo




" 10 ' #c ' 50 rad/s

Step 6 - introduco il polo di

fisica realizzabilità in modo

da rispettare le specifiche" non ridurre troppo la

frequenza di attraversamento

" non introdurre sfasamenti che

pregiudichino il margine di fase

! se il polo è collocato una decade dopo #c i suoi effetti

sono nulli sul modulo e trascurabili sulla fase! scelta conservativa

"

il regolatore ha un guadagno in alta frequenza

più alto del necessario

-40

-20

0

20

10 -1

10 0

10 1

10 2

10 3 -180

-90

0

90

polo

zero

L

R

+25dB




Rete di anticipo

Esempio di progetto per cancellazione! Specifiche dinamiche

"


" 10 ' #c ' 50 rad/s

per limitare il guadagno in

alta frequenza conviene

posizionare il polo il più

possibile vicino alla#

c"

attenzione a sfasamento

ed attenuazione introdotti

! la specifica richiede Mf > 70° e lo zero mi ha portato a +90°" posso accettare che il polo introduca uno sfasamento

%

= -20° in#c= 20 rad/s

! la relazione tra la fase e la costante di tempo nel polo è

! da cui

-60

-40

-20

0

20

10 -1

10 0

10 1

10 2

10 3 -180

-135 -90

-45 0

45

polo

zeroR

L'

L

+15dB




-60

-40

-20

0

20

10 -1

10 0

10 1

10 2

10 3 -180

-135 -90 -45 0

45

Rete di anticipo

Esempio di progetto

per cancellazione

! verifica

"

specifiche dinamiche

#


#

10'

#c ' 50 rad/s

#c

= 18

-50 -40 -30 -20 -10 0

-20

-10

0

10

20

50 40 30 20 10

0.985

0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16

0.985

0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16

#n ( 33* ( .84

L

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 s0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

risposta al gradino

Mf = 75° * ( .75

con cancellazione

senza cancellazione

* ( .83

#n ( 40




Rete di ritardo

Rete di ritardo a guadagno unitario

Re

Im

due effetti sulla L

polo

zero

ritardo di fase

attenuazione

1/ ! 1/ ! !

10-1 100 101 102

-40

-30

-20

-10

0

-80

-60

-40

-20

0

#

L'effetto utile èl'attenuazione

oltre lo zero




-20

-15

-10

-5

0

10-1 100 101 102 -60

-50

-40

-30

-20

-10

0

# = 1/! # = 1/$!

una decade

oltre il polo

la fase

residua

è < 5°errore < 10°

Re

Im

$ = 0.1! = 1

Rete di ritardo

Descrizione della rete




-20

-15

-10

-5

0

10-1 100 101 102 -60

-50

-40

-30

-20

-10

0

# = 1/! # = 1/$!

una decade

oltre il polo

la fase

residua

è < 5°errore < 10°

$ = 0.3

! = 1

$ = 0.1! = 1

Rete di ritardo

Ruolo dei parametri

Re

Im




Rete di ritardo

Formule utili

pulsazione del massimo anticipo

attenuazione in corrispondenza di #*

attenuazione max (in alta frequenza)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 $-65

-60

-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15°




Rete di Ritardo


! si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto

" già compensato staticamente (kG(s))

! si sceglie la frequenza di attraversamento #c desiderata"

all'interno dell'intervallo di specifica

! si valutano sui diagrammi"

l'attenuazione &R (j#c) &dB per imporre l'attraversamento in

#c

" il ritardo di fase Arg(R (j

#

c)) per imporre il margine di fasedesiderato

! si sviluppa il progetto

" nel corso verrà illustrato un metodo analitico

#

basato sull'uso di formule, dette di inversione




Rete di Ritardo

Progetto della rete con formule di inversione

! Problema

" Progettare una rete di ritardo a guadagno statico unitario k = 1

# scegliere e $

"

che in#

=#c garantisca

#

una attenuazione (in unità lineari) pari a M (0<M<1)

#

ed un ritardo di fase pari a%

(-90°<%

<0°)

! il procedimento è analogo a quello per le reti di anticipo

R j! c( ) =

1+ j"#! c

1+ j#! c

M cos! + jM sin! ( ) 1+ j"#

c( ) = 1+ j$"# c

svolgendo le parentesi e separando la parte reale e quella immaginaria

= Me j!

= M cos! + jM sin!




Rete di Ritardo

Non tutte le coppie M , #

garantiscono una soluzione con




10-2 10-1 100 101 102

-60

-40

-20

0

20

40

-200

-150

-100

-50

0

Rete di ritardo



4 < #c < 20 rad/s

Impianto

-10°

-14 dB

#c*

Step 1 - traccio diagramma di L*=kG

#c ( 20 rad/s

M%

(

30°Step 2 - Scelgo una nuova frequenza

#c* (inferiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica

dove la fase propria dell'impianto soddisfa le specifiche (scenario A)

#c* = 6 rad/s

Step 3 - Calcolo (in#c* ) l'attenuazione M necessaria ad imporre

l'attraversamento ed il massimo ritardo di fase%

che la rete può

introdurre senza pregiudicare il margine di fase

L*

MdB = 14 dB ) M = .2

%

= -10°




10-2 10-1 100 101 102

-60

-40

-20

0

20

40

-200

-150

-100

-50

0

Rete di ritardo



4 < #c < 20 rad/s

Impianto

Step 4 - Calcolo i parametri della rete

con le formule di inversione


#c = 6 rad/s

Mf = 65°

LRc* = 6 rad/s

M = .2

%

= -10°




0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

risposta al gradino

Rete di ritardo

! Verifica

vera

Specifiche dinamiche Mf > 60°

4 < #c < 20 rad/s

Impianto

10-2 10-1 100 101 102

-60

-40

-20

0

20

40

-200

-150

-100

-50

0

L

#c ( 7

* ( .65

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8 #n ( 9

* ( .6

undershoot

attesa con* ( .6

#n ( 9



residuo piccolo




Rete di ritardo


! la presenza di una coda di assestamento è fisiologica

quando si usa una rete di ritardo" essa contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza

inferiore a quella di attraversamento

# nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo

zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto

"

la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta diquella imposta con la frequenza di attraversamento

"

se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di

assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di

assestamento

"

per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre

# stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quellodel sistema in retroazione senza considerare la coda

" se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda

può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche




Rete di ritardo


! per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad

un progetto per cancellazione" si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo

dell'impianto

# per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a

frequenza inferiore escluso un eventuale polo nell'origine

! il progetto per cancellazione non è sempre possibile

"

occorre verificarne la fattibilità

"

lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo

#

poli dell'impianto

#c

Zero




Rete di ritardo


! lo zero del regolatore è collocato in

corrispondenza di un polo dell'impianto"

c è quindi già fissato per imporre la cancellazione

! resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è

! dalla prima

! dalla seconda

R p dB

= !20log 1+ "# ( )2$

% & '

( )

* R p( ) = !arctg "# ( )




Rete di ritardo



! da cui

"

modulo in funzione della fase

"

fase in funzione del modulo

-90 -80

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)

F a s e

( g r a d i )

Polo





! impianto


"


"

4'

#c ' 20 rad/s

Step 1- diagramma di L*=kG"

#c ( 20 rad/s

"

Mf ( 30°

Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo

dell'impianto

" di solito quello a frequenza inferiore

Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero

-180 -135

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-90 -45 0

Rete di ritardo

L*L'

non fisicamente realizzabile !!




Rete di ritardo




" 4 ' #c ' 20 rad/s

! Step 4 - scelgo la

frequenza di

attraversamento#c

" #c = 7 rad/s

! Step 5 - calcolo l'attenuazione necessaria per imporre #c

" &Rp & = -26dB

e valuto il margine di fase

"

Mf = 148°

il polo di fisica realizzabilità può introdurre un ritardo difase pari a 148° - 60° = 88°

-180 -135

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-90 -45 0

L*

#c

L'

Mf




Rete di ritardo




" 4 ' #c ' 20 rad/s

! Step 6 - verifica di fattibilità

"

calcolo il ritardo di fase

introdotto dal polo che

garantisce una attenuazione&Rp & = -26dB

! dalle formule utili

! il progetto per cancellazione è fattibile (di misura)

-180 -135

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-90 -45 0

#c

L'

-87°

-26dB







" 4 ' #c ' 20 rad/s

! Step 7 - introduco il polo

in modo da imporre in #c= 7

una attenuazione di -26dB

! dalle formule utili

! le specifiche sono soddisfatte (di misura!)

"

si poteva scegliere una#c inferiore, (ad es. 5rad/s) che avrebbe

consentito una soluzione con un margine più ampio

Rete di ritardo

-180 -135

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-90 -45 0

L R

-26dB




Rete di ritardo

Esempio di progetto

per cancellazione

! verifica

"

specifiche dinamiche

#

Margine di fase 6 70°

#

4'

#c ' 20 rad/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

risposta al gradino

con cancellazione

senza cancellazione

#n ( 9 * ( .6

-180

-135

-40

-20

0

20

10 -2 10

-1 10 0 10

1 10 2

-90 -45 0

#c ( 6

* ( .62

-10 -8 -6 -4 -2 0

-5

0

5

10 8 6 4 2

0.97

0.88

0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12

0.97

0.88

0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12

8

-8

* ( .6 #n ( 8.5

L




Regolatori per lo Scenario B

! condizioni di utilizzo

" situazioni dopo la compensazione statica L* = RsG

"

la frequenza di attraversamento della funzione L* = RsG è esterna147/+-6+ /. / 6 ./55$ 7$+ / 147/+-6+/ */558-. /+9$556 *- 17/2-0-2$

7/+ !c

#

la sola rete di anticipo non basta perchè porterebbe la

frequenza di attraversamento fuori dall'intervallo di specifica

#

occorre un regolatore che oltre all'anticipo di fase introduca

anche una attenuazione

$ a frequenza comunque superiore ad!dmax

Rete di ritardo-anticipo

#cmin #cmax

L* L*

R s( )= k 1+!

1" 1 s( ) 1+ "

2 s( )1+ "

1 s( ) 1+!

2" 2 s( )

|R| #dmax #

arg(R)

#c





Rete di Ritardo/Anticipo a guadagno unitario

R s

( )=1+!

1" 1 s( ) 1+ "

2 s( )

1+ " 1 s( ) 1+!

2"

2 s( ) Re

Im

-20

-10

0

10

20

10 -1

10 0

10 1

10 2

10 3 -90

-45

0

45

90

2 effetti utili

1

! 1

<"<1

#1! 1

) attenuazione

1

! 2

<"<1

#2! 2

) anticipo di fase

è la cascata di:

•

una rete di ritardo

•

una rete di anticipo





Scomposizione della rete

! composta dalla cascata di due reti

! Rete di Ritardo

! Rete di Anticipo

R s

( )=

1+!1" 1 s( ) 1+ "

2 s( )

1+ " 1 s( ) 1+!

2" 2 s( ) Re

Im

Rrr s( )=

1+!1" 1 s( )

1+ " 1 s( )

Rra s( )=

1+ ! 2 s( )

1+"2!

2 s( )




Rete di ritardo-anticipo - taratura

Progettazione della rete

! per il progetto della rete procederemo per passi,

progettando le due sottoreti una dopo l'altra utilizzando,per ciascuna, una delle tecniche di taratura già illustrate

" come sempre, il progetto della seconda dovrà tenere conto delleazioni già introdotte dalla prima

! alcune domande lecite

"

quale delle due reti va progettata per prima ?

#

a priori non fa differenza

" c'è qualche vantaggio a scegliere un ordine piuttosto che l'altro ?

# si, in entrambi i casi

! prima di procedere è opportuno analizzare meglio questaproblematica





Ordine di progettazione e gradi di libertà

! il regolatore ha 4 parametri ($1, $2, 1, 2 ) per soddisfare le

due specifiche" frequenza di attraversamento e margine di fase

! i 4 parametri non possono però essere scelti liberamente

"

il progetto presenta comunque almeno 1 grado di libertà

! entrambe le reti componenti possono essere progettate

per fornire, ad una#

c assegnata,"

un effetto utile di entità rilevante (dipende da$

)

#

rete di anticipo)

anticipo di fase

# rete di ritardo ) attenuazione

"

un effetto parassita di lieve entità (dipende da$

e da )

# rete di anticipo

)

guadagno#

rete di ritardo)

ritardo di fase

" ciascuna delle due reti è quindi in grado di compensare l'effetto

parassita introdotto dall'altra

R t di it d ti i t t





Ordine di progettazione e gradi di libertà! rete progettata per prima

"

si utilizza esclusivamente per il suo effetto utile

"

il valore dell'effetto parassita non va imposto perchè potrà esserecompensato dalla seconda rete

#

nel progetto c'è quindi un grado di libertà

! rete progettata per seconda" deve imporre al sistema già compensato con Rra sia il modulo che

la fase in#

c #

non ha quindi gradi di libertà

! ad es."

prima Rra ) poi Rrr

#

si progetta Rra per imporre l'anticipo di fase richiesto in#c

$ quello rilevato dall'analisi di scenario incrementato del ritardo di

fase introdotto successivamente in#c dal Rrr

# si progetta Rrr per imporre l'attraversamento in #c

$ Rrr può introdurre un ritardo di fase aggiuntivo pari a quello giàconsiderato nel progetto di Rra






Possibili utilizzi del grado di libertà

! caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima

" progetto della Rete di anticipo

# si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza

#

fissato l'anticipo%

desiderato in#c si sceglie il guadagno della

rete di anticipo con la formula

$ ricordarsi di aggiungere qualche grado per compensare il ritardo

introdotto poi dalla Rete di Ritardo

#

la rete di anticipo viene poi progettata con le formule diinversione e presenta il massimo anticipo di fase proprio in #c

"

progetto della Rete di ritardo

# dal diagramma della RraL* si valutano in

#

c $ l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento

$ il ritardo di fase massimo ammissibile

#

si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione







! caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima

"

progetto della Rete di anticipo#

si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza

"

metodo alternativo

#

fissati#c e l'anticipo

%

desiderato si progetta la rete utilizzandoalcune formule utili presentate in precedenza

$ da

" progetto della Rete di ritardo

#

dal diagramma della RraL* si valutano in#

c $ l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento

$ il ritardo di fase massimo ammissibile

#

si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione

se si impone #* = #c si ha







! caso B – La rete di ritardo viene progettata per prima

" progetto della rete di ritardo

# si può utilizzare il grado di libertà relativo allo sfasamento

introdotto dalla rete di ritardo in#c per minimizzare le code di

assestamento nella risposta al gradino

$ si progetta la rete di ritardo per cancellazione

"

progetto della rete di anticipo

# dal diagramma della RraL* si valutano in#c

$ l'anticipo di fase necessario

$ il guadagno per imporre l'attraversamento

#

si progetta la rete di anticipo con le formule di inversione






-20

0

20

10 -3

10 -2

10 -1

10 0

10 1 -180

-135 -90 -45

0

Specifiche dinamiche:

.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

L*

Analisi di Scenario

) Scenario B

occorre una rete di anticipo

) la #c andrà oltre l'intervallo dispecifica

scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es

#c = 1.3 rad/s ) occorrono 45° di anticipo di fase

aggiungo 5° per il ritardo di fase parassita della rete di ritardo ) % = +50°

caso A - Progetto per prima la rete di anticipo

non dovendo imporre specifiche sul modulo scelgo la taratura a minimo

guadagno in alta frequenza

devo quindi progettare una rete di ritardo-anticipo

) aggiusterò la #c con una rete di ritardo






-20

0

20

10 -3

10 -2

10 -1

10 0

10 1 -180

-135 -90 -45

0


.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

L*

la rete a minimo guadagno in alta

frequenza che assicura + 50° di anticipo

di fase ha guadagno in centro banda di

+9dB

Per il progetto analitico scelgo#c = 1.3 rad/s

M = 2.8 (9 dB)

% = +50°0 10 20 30 40 50 60 70 %max

° 0

2

4 6

8

10

12

14

16 18

20

|R(#*)|dB

Scelta del guadagno MdB

Caso A – Rete di anticipo prima

Rete di ritardo anticipo taratura




#c = 1.3 rad/s

M = 2.8 (9 dB)% = +50°



.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

Progetto ora la Rete di Anticipo

con le formule di inversione

Dalle formule di inversione per la rete di anticipo

! = 2.16s

$! = .28 s

-60

-40

-20

0

20

10 -3

10 -2

10 -1

10 0

10 1 -180

-90

0

90

L*

L'

Rra

in #c = 1.3 rad/s la funzione L'=RraL*:•

ha la fase corretta

•

ha il modulo troppo alto

) serve la rete di ritardo

come da scelta di progetto la rete di

anticipo ha il massimo sfasamento

proprio in #c = 1.3 rad/s





dal diagramma della L'=RraL*

in #c

= 1.3 rad/s occorre

M = 0.18 (-15 dB)

ammetto uno sfasamento % = -5°

(già considerato nella Rete di anticipo)



.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

Progetto della Rete di Ritardo con

formule di inversione

Dalle formule di inversione

per la rete di ritardo! = 40s

$! = 7.2 s

in #c = 1.3 rad/s la funzione L=Rrr RraL*:

•

ha la fase corretta

•

ha il modulo unitario (0 dB)

-20

0

20

10 -3

10 -2

10 -1

10 0

10 1 -180

-135 -90 -45

0

-15dB

L'LRrr

le specifiche sono soddisfatte






Verifica

-60

-30

0

30

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2 -180

-90

0

90

Rrra

L

-4 -3 -2 -1 0 1 -3

-2

-1

0

1

2

3

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

0.975

0.91

0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14

0.975

0.91

0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14

0 5 10 15 20 s0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

per eliminare la

coda potrei

progettare Rrr per

cancellazione

+3 dB

Ta5 = 8s

atteso 2.3s







.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

caso B - Progetto per prima la

rete di ritardo

scelgo il progetto per cancellazione

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1 -180

-135 -90 -45

0

-22dB

Introduco lo zero in cancellazione del polo più lento $! = 5

Traccio il diagramma della L' = (1+$! s)L*

scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica,

ad es: in #c = 1.3 rad/s

L* L'

occorrono -22dB di attenuazione per imporre l'attraversamento in #c = 1.3 rad/sconsidero altri -6 dB (scelta ragionevole, ma arbitraria) per compensare il

guadagno spurio introdotta dalla rete di anticipo.

in totale occorrono -28dB







.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

caso B - Progetto per prima la

rete di ritardo

scelgo il progetto per cancellazione

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1 -180

-135 -90 -45

0

L*L'=Rrr L*

#c = 1.3 rad/s$! = 5

:Rp: = - 28 dB







.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

caso B - Progetto ora la rete di

anticipo

scelgo il progetto con le formula di

inversione

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1 -180

-135 -90 -45

0

L*L'=Rrr L*

dai diagrammi della L' (in # = 1.3 rad/s) ho

% = +55°

M = 2 (+6 dB)

+55°

+6dB

dalle formule di inversione







.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

-60

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2 -180

-90

0

90 L*


RL







.7 < #c < 20 rad/sMf >90°

-60

-40

-20

0

20

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2 -180

-90

0

90

+15dB

0 1 2 3 4 5 6 s0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 -4

-2

0

2

4

16 14 12 10 8 6 4 2

0.996

0.986 0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35

0.996

0.986 0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35

verifica

RL

Ta5 = 3s

atteso 2.3s

Rete correttrici - sommario delle regole di taratura




Rete correttrici - sommario delle regole di taratura

Regole di taratura analizzate

! rete di anticipo

"

progetto con formule di inversione" progetto per cancellazione

! rete di ritardo

"

progetto con formule di inversione

"

progetto per cancellazione

! rete di ritardo/anticipo (rete a sella)

"

progetto in sequenza delle due reti componenti

#

rete di anticipo progettata per prima

$ progetto della rete di anticipo a minimo guadagno in alta

frequenza

$ progetto della rete di ritardo con formule di inversione

#

rete di ritardo progettata per prima

$ progetto della rete di ritardo per cancellazione

$ progetto della rete di anticipo con formule di inversione

Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura




Step 2 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano:

il guadagno M e lo sfasamento # che la rete deve avere a quella frequenza per

imporre le specifiche

Reti correttrici 71


Progetto analitico mediante formule di inversione

Step 1

Si sceglie una frequenza di attraversamento:

0 10 20 30 40 50 60 70 %max

° 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 |R(#*)|dB

per avere una rete a guadagno

ridotto in alta frequenza.

• interna all'intervallo di specifica

•

maggiore di quella dell'impianto

•

cercando di garantire in #c una

coppia guadagno/sfasamento sulla

curva




1a verifica di fattibilità del progetto

Se all'interno dell'intervallo di specifica per la frequenza di attraversamento nonesiste nessuna frequenza in cui L' rispetta la specifica sul margine di fase, il

progetto per cancellazione non è fattibile (il polo di fisica realizzabilità non può

migliorare la fase).

Rete di anticipo sommario delle regole di taratura

Progetto per cancellazione

Step 1

Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo più vicino, ma a

frequenza inferiore, alla frequenza di attraversamento scelta

Step 2

si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato con il solo zero in

cancellazione (L').

A1) la frequenza di attraversamento

di L' è interna all'intervallo di

specifica

A2) la frequenza di attraversamento

di L' è esterna (superiormente)

all'intervallo di specifica

Se la 1a verifica di fattibilità dà esito positivo ci sono due alternative







A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna

all'intervallo di specifica

Il polo della rete deve essere posizionato il più possibile vicino allo zero per

garantire il minimo valore di guadagno in alta frequenza

L'avvicinamento del polo allo zero introduce uno sfasamento aggiuntivo ed

una attenuazione crescente, che abbassa la frequenza di attraversamento

Le espressioni

consentono di valutare le relazioni trasfasamento ed attenuazione introdotti dal polo.

R p dB

= !20log 1+ tg " ( )2#

$ % &

' (

Come si vede dal diagramma, la funzione mostra una maggiore sensibilità nei

confronti della variazione della fase, che per prima va considerata nel progetto

-90 -80

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)

F a s e

( g r a d i )

Polo

! R p( ) = "arctg ( 10

"

R pdB

10"1)







Step 3

In #c si rileva il massimo sfasamento # p che il polo di fisica realizzabilità può


Step 4

si calcola la costante di tempo " del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni

in modo da introdurre in #c lo sfasamento # p

Verifica

si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la #c non

esca dall'intervallo di specifica.

Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore

A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna

all'intervallo di specifica - continua

Step 5

si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L







A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna

(superiormente) all'intervallo di specifica

Il polo della rete deve introdurre una attenuazione M per imporre una $ c

all'interno dell'intervallo di specifica. Si sceglie come $ c l'estremo superiore

dell'intervallo e si valuta graficamente l'attenuazione da introdurre

2a verifica di fattibilità del progetto per cancellazione

Lo sfasamento introdotto dal polo, aggiunto a quello della L' non deve

compromettere la specifica sul margine di fase.

Se la verifica di fattibilità non dà esito positivoil progetto per cancellazione non è fattibile.

Diversamente si procede con lo step 3 -90 -80 -70

-60 -50 -40 -30 -20 -10

0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)

F a s e

( g r a d i )

Polo







A2) la frequenza di attraversamento è esterna

(superiormente) all'intervallo di specifica

Step 3

In $ c si rileva il massimo sfasamento # p che il polo di fisica realizzabilità può


Step 4

si calcola la costante di tempo " del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni

in modo da introdurre in $ c lo sfasamento # p

Verifica

si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la $ c non

esca dall'intervallo di specifica.

Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore

Step 5

si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L

Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura




Rete di ritardo sommario delle regole di taratura

Progetto analitico mediante formule di inversione

Step 2

Si sceglie una frequenza di attraversamento:

•

interna all'intervallo di specifica

•

minore di quella propria dell'impianto

Step 4

si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione

Step 3

alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano:•

l'attenuazione M che la rete deve avere a quella frequenza per imporre

l'attraversamento

•

il massimo ritardo di fase ammissibile %

Step 1

Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G





g


Step 2

Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo dell'impianto a

frequenza più bassa, escludendo un eventuale polo nell'origine

Step 4

alla frequenza scelta per l'attraversamento

•

si rileva il guadagno dell'impianto e quindi l'attenuazione (&Rp &dB) che il

polo deve introdurre per imporre l'attraversamento

•

si rileva lo sfasamento in #c (lo chiamiamo %(L*(#c)))

Step 3

si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato (L*) e si sceglie lafrequenza di attraversamento #c

Step 1

Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G





g


Step 5

si calcola la costante di tempo ! del polo mediante la relazione

Verifica di fattibilità si verifica la fattibilità del progetto per cancellazione, calcolando il ritardo di

fase complessivo in #c (quello della L* sommato a quello introdotto dal polo)

se %(#c) soddisfa le specifiche il progetto per cancellazione è fattibile.

Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura




dal diagramma della L*=kG

•

si sceglie la frequenza di attraversamento #c

•

si valuta l'anticipo di fase (+%a) necessario per garantire il margine di fase

•

si fissa il valore del ritardo che sarà introdotto in #c dalla rete di ritardo (-;%)

•

si sceglie per la rete % = %a - (-;%)•

si sceglie il guadagno (M) della rete

in #c con le formule

Reti correttrici 81

p g

Rete di anticipo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno

in alta frequenza

Step 1 – progetto della rete di anticipo

0 10 20 30 40 50 60 70 %max

0

2

4 6

8

10

12

14

16

18

20

|R(#*)|dB

•

dati M, % e #c si progetta la Rete di

Anticipo con le formule di inversione





p g

Rete di anticipo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno

in alta frequenza

Step 2 – progetto della rete di ritardo

dal diagramma della L'=RrakG

•

si valuta l'attenuazione (in dB) necessaria per garantire la frequenza di

attraversamento #c

•

si calcola il corrispondente valore M in scala lineare

•

si sceglie per la rete % = -;% già fissato al passo 1•

dati M, % e #c si progetta la Rete di Ritardo con le formule di inversione





p g

Rete di ritardo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di

assestamento

Step 1 – progetto della rete di ritardo

dal diagramma della L*=kG

•

si sceglie la frequenza di attraversamento #c

•

si introduce lo zero in cancellazione (#c)

•

dai diagrammi della L'=(1+#cs)L* si valuta l'attenuazione ArdB (valore

negativo) necessaria per imporre l'attraversamento in #c •

si fissa il guadagno aggiuntivo ;kdB (valore positivo) introdotto

successivamente dalla Rete di Anticipo

•

si calcola AdB = ArdB -;kdB

• si posiziona il polo della rete in modo da garantire l'attenuazione AdB in #c





p g

Rete di ritardo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di

assestamento

Step 2 – progetto della rete di anticipo

dal diagramma della L'=Rrr kG

•

si valuta l'anticipo di fase (%) necessario per imporre l'attraversamento in #c

•

si calcola il guadagno (in dB) delle rete per imporre l'attraversamento in #c

(;kdB) (a meno di errori è il valore già fissato al passo 1)

•

si trasforma il valore del guadagno in scala lineare

•

dati M, % e #c si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione

Rete di ritardo - sistemi con polo nell'origine




Sistemi con polo nell'origine! Polo nell'origine presente nell'impianto

" Si ricorda che la rete di ritardo viene impiegata per ridurre il guadagno

(limitare la frequenza di attraversamento) quando non si può utilizzare unregolatore proporzionale.

" se non ci sono vincoli sull'attenuazione di un disturbo caratterizzatospettralmente

# l'uso della rete di ritardo perde di significato perché la frequenza di

attraversamento scelta si può impostare con un regolatore statico del

tipo R = k

Problemi di code di assestamento con le reti correttrici




Stima del tipo di effetto

! da modulo LA si ricorda l'antitrasformata della risposta al

gradino di un sistema del secondo ordine a polo realidistinti ed uno zero

y t ( ) = µ 1! "

1 ! T

" 1 !"

2

e! t

" 1+

" 2 ! T

" 1 !"

2

e! t

" 2

# $ %

& ' (

seT = 5

!1 = 4

!2 = 1

r 1 è il residuo

associato alla

dinamica !1

r 2 è il residuo

associato alla

dinamica !2

r 2

r 1

la dinamica dominante è quella di !2

la dinamica della coda è quella di !1

r 1 ( 1/3

r 2 < - 4/3

t

1

-1

r 2e-t/!2

y

r 1e-t/!1





Stima del tipo di effetto

! per l'analisi si ricorre al luogo delle radici

! la coda di assestamento si può manifestare come:

"

undershoot

#

se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo vieneprima dello zero

" overshoot

#

se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene dopo

lo zero

! la presenza di uno zero in bassa frequenza garantisce cheun polo del sistema sarà attratto da questo

"

la presenza di una coda di ampiezza significativa non è certa. Se il

guadagno di anello è elevato il polo e lo zero si troveranno molto

vicini, dando luogo (nell'antitrasformata) ad un residuo di modestaentità rispetto a quello relativo alla dinamica principale

#

la valutazione del baricentro del luogo può essere di aiuto





Alcune situazioni tipiche

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

I m a g A x e s

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

La dinamica residua genera un

undershoot con coda di assestamento

di ampiezza modesta


undershoot con coda di

assestamento di ampiezza rilevante

Il polo residuo sarà collocato tra lo zero (-0.25) ed il polo del regolatore (-0.1).

In entrambi i casi la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è

quindi compresa tra 4s (-1/-.25) e 10s (-1/-.1)







overshoot con coda di assestamento

di ampiezza rilevante

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Il polo residuo sarà collocato tra il polo dell'impianto (-2.5) e lo zero (-1).

La costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda)

è quindi compresa tra 0.4s (-1/-2.5) e 1s (-1/-1)







overshoot con coda di assestamento

di ampiezza non eccessivamente

rilevante

il ragionamento per determinare la

costante di tempo del polo residuo è

un po' più complicato

-10 -8 -6 -4 -2 0

-6

-4

-2

0

2

4

6

Il baricentro normalizzato del luogo è in

Il punto di emergenza degli asintoti è in

Ne consegue che il terzo polo sarà

necessariamente a dx del baricentro

normalizzato ed a sx dello zero (-1.5).

B

ovviamente a dx del punto di emergenza

degli asintoti.

la costante di tempo del polo residuo

(e quindi della coda) è compresa tra

0.27s (-1/-3.6) e 0.66s (-1/-1.5)

Riferimenti bibliografici




! Per approfondimenti

"

Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli

Automatici", McGraw-Hill, II edizione

# Capitolo 11

"

Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione,

# Capitolo 6



Controlli Automatici

Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taraturaReti CorrettriciRete di Anticipo

Rete di Ritardo

Rete di Ritardo/Anticipo

FINE

Prof. Carlo Rossi

DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020

Email: [email protected]: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

Reti Correttrici Singolo Bologna

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