UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT

MÉTODO NUMÉRICO APLICADO AO PROJETO MECÂNICO

PROF. OTÁVIO SILVEIRA

RESUMO CAPÍTULO 10 - CONCEPTS AND APPLICATIONS OF FINITE

ELEMENTS ANALYSIS 3ºED.

EQUIPE:

FÁBIO A. COSTA

MATEUS L. ARCEGO

THIAGO R. ROSA

JOINVILLE/SC

DEZ/2012

INTRODUÇÃO

Método de análise para corpos com simetria axial.

A figura 10.1 mostra através de uma revolução de um elemento plano, em torno

de um eixo, que é mais fácil descrevê-lo em coordenadas cilíndricas, r, z e θ.

Figura 10-1 - (a) tensões produzidas por cargas axialmente simétricas, (b) seção

transversal contendo eixo Z.

O problema de 2 dimensões pode ser considerado quando tem-se as seguintes

características :

- geometria com simetria axial

- propriedades do material simétricas

- cargas simétricas axialmente

Se as condições de apoio, geometria, cargas e propriedades do material forem

independentes de θ, além do material ser isotrópico, então os deslocamentos estáticos e

as tensões são independente.

O procedimento de análise para problemas estáticos com simetria axial é muito

parecido com o procedimento visto em sala de aula para problemas estáticos no plano

de tensão.

Se a carga não for simétrica, os deslocamentos e tensões serão tridimensionais.

Para isso, o método de Séries de Fourier pode ser utilizado, e será visto nos tópicos

seguintes.

Com o princípio da superposição, o problema inicial pode ser solucionado

dividindo-se o carregamento e solucionando-os parcialmente, para em seguida serem

somados. Assim, cada componente fica bidimensional. Sendo assim o problema inicial

tridimensional é transformado em bidimensional.

RELAÇÕES DE ELASTICIDADE PARA SIMETRIA AXIAL.

A equação 10-1 apresenta uma relação geral do estado tensão-deformação, em

que o{εo} representa a deformação inicial.

(Equação 10-1)

Da figura 10-1, com β=0, resulta em E14=E24=E34=0.

Para um caso especial, com cargas térmicas e material isotrópico, a equação 10-

1 fica com a forma da equação 10-2.

(Equação 10-2)

Onde α é o coeficiente de expansão térmica.

f e g são mostrados abaixo:

A relação de deformação-deslocamento na forma matricial fica da forma :

(Equação 10-3)

ELEMENTOS FINITOS PARA SIMETRIA AXIAL

Um exemplo de elemento com 8 graus de liberdade, é mostrado na equação 10-

4, na forma {u}=[N].{d}

(Equação 10-4)

Com,

(Equação 10-5)

Em que z, substitui y e (r-rm) = x, com rm = raio médio (( r1+r2+r3+r4)/4).

A matriz de rigidez fica com a forma:

(Equação 10-6)

com, dA=dr.dz e [B]=[𝜕][N].

Mas como 𝜕 𝜕𝑟 = 𝜕 𝜕𝑥 e 𝑟 = 𝑟𝑚 + 𝑥, então temos,

(Equação 10-7)

A equação 10-7 nos mostra que comparado com problemas planos, a matriz [B]

para estruturas com simetria apresentam um acréscimo de ∈0= 𝑢 𝑟 , ou seja, o tamanho

da matriz rigidez é o mesmo, possibilitando o mesmo procedimento de calculo de uma

estrutura simples.

Para elementos isoparamétricos, as funções de corpo são funções de 𝜂 𝑒 𝜉, e

utilizamos a matriz Jacobiana para transformar as coordenadas, de acordo com a

equação 10-8.

(Equação 10-8)

A matriz rigidez de um elemento isoparamétrico é obtida da equação 10-9.

(Equação 10-9)

Onde 𝑟 = Σ 𝑁𝑖𝑟𝑖 ou 𝑟 = 𝑟𝑚 + Σ𝑁𝑖𝑥𝑖

Neste caso, 𝑑∀ = 𝑟𝑑𝜃 𝐽 𝑑𝜉 𝑑𝜁

SÉRIES DE FOURIER

Quando a resposta de um corpo simétrico axial é análisado com relação as

cargas assimétricas, pode-se analisar cada componente separadamente e supepor as suas

soluções. De modo que cada um destes componentes representa a resposta a cada

componente da carga total.

Este método é baseado nas Séries de Fourier, que representam funções

periódicas, como mostrado na equação 10-10

(Equação 10-10)

Em que n, é um número inteiro.

Os termos do seno são ímpares (assimétricos) e os termos do cosseno são pares

(simétricos). A equação 10-11 são utilizadas na série de Fourier:

(Equação 10-11)

Se conhecermos uma função periódica, e for feita uma simplificação utilizando

pn e qn, podemos encontrar pn e qn integrando as equações e resolvendo-as, assim

obtemos as equações 10-12, 10-13 e 10-14.

(Equação 10-12)

(Equação 10-13)

(Equação 10-14)

A figura 10-2 mostra uma onda quadrada, que é representada por séries de

Fourier com diferentes valores para n. Onde a figura 10-2(a) representa a onda

quadrada, a figura 10-2(b) n=1 , figura 10-2 (c) n=1 e 3 e a figura 10-2(d) n =1,3 e 5.

Sendo que para n par, po, pn e qn são iguais a zero.

Figura 10-2 - Representação da onda quadrada em séries de fourier.

APLICAÇÃO EM ANÁLISES DE TENSÃO

A figura 10-3 mostra as características da análise da série que também aparece

em sólidos de revolução, em que V = φ, M=V e E.Iw = M , onde V representa o

cortante, M o momento de flexão e φ a carga distribuída. Para uma área transversal e

uma elasticidade constante, obtém-se E.Iw = φ.

Porém, não é tão simples quanto parece, essa simplicidade é compensada de

forma negativa, por necessitar solucionar essas equações diversas vezes, para cada

componente de carga em corpos de revolução.

Figura 10-3 - Viga simplismente apoiada

CARGAS SEM SIMETRIA AXIAL

Utilizando um programa computacional, é possível em sólidos de revolução com

cargas simétricas axialmente, obter a respostas da estrutura para cada harmônico da

série de Fourier do carregamento de um conjunto de equações simples de comparação,

porém que não referencia como as deformações variam com relação a coordenada θ.

Este conjunto de equações deve ser resolvido diversas vezes, como citado

anteriormente, para cada harmônico do carregamento.

Se forem necessários poucos harmônicos de Fourier para representação das

cargas, o método da superposição é muito mais barato do que uma análise

tridimensional, ainda que muito simples.

Com θ como a direção principal do material, a equação 10-15 apresenta uma

relação geral da tensão-deformação {σ}=[E].{ε}.

(Equação 10-15)

Se r e z forem as direções principais, E14=E24=E34=E56=0 e se o material for

isotrópico E44=E55=E66=G, em que G representa o módulo do cisalhamento,

representado pela equação 10-16.

G = 1

2.

𝐸

(1+𝑣) (Equação 10-16)

Para um problema tridimensional é necessário 3 deslocamentos, u,v e w,

representados pela equação 10-17.

(Equação 10-17)

Onde u é o deslocamento radial, v é o deslocamento angular e w é o

deslocamento axial.

A relação entre deformação e deslocamento em coordenadas cilíndricas é

{ε}=[𝜕].{u}, representado pela equação 10-18.

(Equação 10-18)

Estas relações são independentes das propriedades do material.

Considerando um simples harmônico de deslocamento, tem-se a equação 10-19.

(Equação 10-19)

Se as equações 10-19 e 10-20, forem substituídas na equação 10-21, encontra-se

a equação 10-22, em que estas são funções de r,z e n, mas não são funções de θ.

(Equação 10-20)

(Equação 10-21)

(Equação 10-22)

A equação 10-23 gera a solução dos graus de liberdade nodal, em que [kn]

depende apenas de n.

(Equação 10-23)

Uma malha simples é utilizada para soluções separadas. Na maioria dos

problemas apenas alguns harmônicos de carregamento precisam ser analisados e não

todos.

Observação: O procedimento é adequado apenas para deslocamento e

carregamento onde há simetria no plano 𝜃 = 0, mas também pode ser utilizado para

modelos de anti-simetria. A equação é mostrada na equação 10-24.

(Equação 10-24)

𝐿 𝑐𝑛 𝑒 𝐿 𝑠𝑛 : amplitude da carga simétrica.

𝐿 𝑐𝑛 𝑒 𝐿 𝑠𝑛 : amplitude da carga anti-simétrica.

O campo de deslocamento simétrico:

(Equação 10-25)

Os problemas onde a simetria é axial utilizam-se 𝑛 = 0.

Para valores de 𝑛 impares, os carregamentos e deslocamentos apresentam

simetria em 𝜃 = 0. Para valores de 𝑛 pares, os carregamentos e deslocamentos

apresentam simetria em 𝜃 = 0 𝑒 𝜃 = 𝜋 2 .

Quando 𝑛 = 0, para cada nó, o grau de liberdade associado a 𝑢 𝑛𝑖 , 𝑣 𝑛𝑖 𝑒 𝑤 𝑛𝑖

apresenta nenhuma rigidez, ou seja, estes graus de liberdade devem ser suprimidos de

modo a não obter uma matriz de rigidez singular.

CARGA SEM SIMETRIA AXIAL: MATRIZ DO ELEMENTO

Dentro do elemento, as amplitudes 𝑢 𝑛 ,𝑣 𝑛 𝑒 𝑤 𝑛 podem ser relacionadas com as

amplitudes nodais daquele elemento 𝑢 𝑖𝑛 , 𝑣 𝑖𝑛 𝑒 𝑤 𝑖𝑛 de modo a obter a matriz de rigidez

da estrutura.

(Equação 10-26)

𝑑 𝑛 : amplitude do deslocamento nodal harmônica

(Equação 10-27)

Para um elemento retangular de quatro nós, as funções de campo 𝑁𝑖 são

descritas na equação 10-24. Os elementos que há mais nós apresentaram mais funções

de corpo relacionadas às amplitudes nodais.

A partir de series de Fourier, o campo de deslocamento do elemento pode ser

descrito pela equação 10-17, ou pode ser escrito matricialmente através da equação 10-

26, de modo a obter a equação 10-28.

Eq 10-28

(Equação 10-29)

Para todos os harmônicos, a amplitude do deslocamento nodal fica,

(Equação 10-30)

Aplicando a matriz derivada no campo de deslocamento, obtém a relação tensão-

deformação.

(Equação 10-31)

Determinando a contribuição harmônica para a matriz tensão, obtêm a equação

10-32.

(Equação 10-32)

A matriz de rigidez do elemento é determinada pela equação 10-9, e [B] é

função de 𝑟, 𝑧, 𝑛 𝑒 𝜃, logo o processamento de calculo computacional é demorado se

houver muitos elementos na estrutura.

Para a matriz de rigidez global, temos,

(Equação 10-33)

Os carregamentos do elemento da equação 10-20 agora são atribuídos através de

forma que obtemos a equação 10-21.

(Equação 10-34)

(Equação 10-35)

Onde [N] e [B] são obtidos pela equação 10-29 e pela equação 10-31

respectivamente.

As forças de campo já estudadas pela equação 10-24 nos diz que,

(Equação 10-36)

Realizando a integração da equação 10-35, de acordo com a equação 10-11, nos

mostra que {𝑟 }0 contem apenas cargas harmônicas grau 0 e {𝑟 }1 contem apenas o

primeiro harmônico das cargas.

As tensões em cada elemento podem ser determinadas por

𝜎 = 𝐸 . ( 𝐵 . 𝑑 − 𝜖0 ), para cada harmônico, e a superposição dos harmônicos

possibilita obter uma valor mais completo.

PROBLEMAS

O tratamento a partir das series de Fourier é também conhecida como o método

da separação de variáveis. Este método pode ser aplicado para estruturas como placas,

sólidos, cascas de revolução, mas também para sólidos prismáticos.

Para estrutura de sólidos prismáticos, os coeficientes da series de Fourier são

inúmeros e o trabalho computacional é complexo.

Para simplificar os cálculos, outro método é utilizado. O método consiste em

representar o solido prismático através de um sólido toroidal com o eixo de rotação

deslocado para a esquerda, de acordo com a figura 10-4.

Figura 10-4 - (a) vista frontal túnel coberto por terra. (b) vista lateral do túnel.

Além disso, há também o problema da viga curva flexionada por um

carregamento 𝑀0 que possui simetria axial em relação à geometria e a propriedade do

material. Neste caso, o método consiste em adicionar uma carga pontual para simular a

tensão fletora.