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Matemáticas Pitágoras 4.º ESO / Opción B / Resumen Unidad 1

1. Números reales

Un número racional es el que puede escribirse como cociente de dos números enteros a y b, , con .b≠ 0ab

■ Los números racionales (Q) y su desarrollo decimal

1 Números reales

Aproximar un número es sustituirlo por otro menor (aproximación por defecto) o mayor (aproximación porexceso) cercano a él.

El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor de la aproximacióny el valor exacto.

El orden de una aproximación señala el máximo error absoluto que se comete al efectuarla y también cuáles su última cifra decimal.

El redondeo de un número es la aproximación decimal de menor error absoluto a un orden dado, ya sea pordefecto o por exceso.

El error relativo de una aproximación es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Para redondear un número a un orden dado, se observa la primera cifra eliminada: si es menor que 5, elredondeo coincide con la mejor aproximación por defecto a ese orden, y si es mayor o igual que 5, el redondeocoincide con la aproximación por exceso a ese orden.

■ Los números irracionales (I)

Los números que no provienen de una fracción, es decir, que no tienenun desarrollo decimal ni finito ni periódico, se llaman irracionales.

Los números racionales y los irracionales forman el conjunto de losnúmeros reales, que se designa con la letra R.

2. Aproximaciones de números reales

El conjunto de todas las fracciones equivalentesentre sí define un único número racional.

Ten en cuenta!

La representación decimal de los números racionales puede ser entera, decimal exacta o finita y decimalperiódica, pura o mixta.

Si el denominador de una fracción irreducible tiene solo como factores doses y cincos, su desarrollo decimales finito. En otro caso será periódico.

Reales R

Irrac

iona

les

I

Racionales Q

Enteros Z

Naturales N

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■ Representación de números racionales

Un número racional se representa en la recta real con el compás y la escuadra y cartabón no graduados, yaplicando el teorema de Tales.

■ Representación de números irracionales

Para representar algunos números irracionales como ciertas raíces cuadradas, también se pueden aplicarmétodos geométricos.

Si se sabe representar el número a, se puede representar tomando BD = a

y DA = 1.

Para representar otros irracionales se utilizan sus aproximaciones.

a

Los números reales se representan como puntos de la recta real.

A cada número real le corresponde un único punto de la recta real, y a cada punto de la recta, un único nú-mero real.

3. La recta real

4. Valor absoluto. Intervalos y semirrectas

El valor absoluto de un número real a, , es la distancia que hay desde a hasta 0 en la recta real. Es siem-pre un número no negativo.

Una definición equivalente es:

De esto se deduce que la distancia entre dos números reales, a y b, es igual al valor absoluto de su dife-rencia: d a b d b a b a( , ) ( , )= = −

aa aa a

=≥

− <

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

sisi

00

a

■ Intervalos y semirrectas

Se utilizan para describir algunos conjuntos de números en la recta real.

Los intervalos abiertos y cerrados se llaman entornos de centro el punto medio del intervalo, a, y radio la dis-tancia del centro a los extremos, r. Según el intervalo, el entorno es abierto, E(a, r), o cerrado, E[a, r].

1B Da

a

A

C

Semirrectas

Cerrada por la derecha Abierta por la derecha Cerrada por la izquierda Abierta por la izquierda

a a a a

(−∞, a] (−∞, a) [a, +∞) (a, +∞)

x ≤ a x < a x ≥ a x > a

Intervalos

Cerrado Abierto Semiabierto o semicerrado

a b a b a b a b

[a, b] (a, b) (a, b] [a, b)

a ≤ x ≤ b a < x < b a < x ≤ b a ≤ x < b

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• • • • • a b a bn nn

: :=( )a b a bn nn

⋅ = ⋅( )a anm

n m( ) = ⋅a a an m n m: = −a a an m n m⋅ = +

■ Notación científica

Un número x está escrito en notación científica si está en la forma x = a ·10p, donde a es un número real talque 1≤|a|<10, y p es un entero que se llama orden de magnitud de x.

Si a es cualquier número distinto de cero, y , siendo n cualquier número natural.aa

nn

− =1

a0 1=

5. Potencias de exponente entero. Notación científica

6. Radicales

Un radical es la raíz indicada de un número.

Si a> 0, indica el único número positivo cuya potencia n-ésima es a.an

7. Potencias de exponente fraccionario

Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario:

a amnmn=

■ Propiedad fundamental de los radicales

Si , (m ≠ 0, n ≠ 0)

Dos radicales son equivalentes si representan el mismo número real.

a an mn m= ⋅a ≥ 0

⇔ b an =a bn =

Expresión radical

Índice

Radicando Raíz de orden n

Radicando Índice Número deraíces reales

Expresionesradicales Ejemplo

a > 0Par Dos opuestas

+ a an no 25 5=

− an − = −25 5

Impar Una positiva an 243 35 =

a < 0Par Sin raíz real no es realan no es real−1

Impar Una negativa a an n= − − = − = −8 8 23 3

a = 0 Cualquiera Una igual a 0 0 0n = 0 04 =

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■ Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si, una vez simplificados, se escriben con la misma parte radical (iguales ín-dice y radicando).

Si b es un número positivo y distinto de 1, el logaritmo en base b de un número N es el exponente al quehay que elevar la base b para obtener N. Se representa por .

Si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe omitiendo la base:

log10 N = log N

logbcN c b N= ⇔ =

logbN

8. Operaciones con radicales

9. Racionalización

10. Logaritmo de un número real

Racionalizar una expresión fraccionaria con radicales es encontrar otra equivalente en la que no aparez-can radicales en el denominador.

El logaritmo de la base es siempre igual a 1. logb b=1

El logaritmo en cualquier base de 1 es igual a 0. logb 1=0

Los números N≤ 0 no tienen logaritmo real. logbN no es real si N≤0.

Operación Expresión Ejemplo

Producto y cocientede radicales del mismoíndice a b a bn n n: :=

a b abn n n⋅ =

− = − = −81 3 81 3 33 3 3: :

4 9 4 9 363 3 3 3⋅ = ⋅ =

Producto y cocientede radicales de distintoíndice

Se reducen a índicecomún y se aplica

lo anterior

3 2 3 2

3 2 108

3 36 26

3 26 6

⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

Potencia de un radical a anm

mn( ) = 3 3 273

3( ) = =

Raíz de un radical a amn n m= ⋅ 5 5 543 3 4 12= =⋅

log b N c=

Base

Argumento

Logaritmo

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■ Expresiones logarítmicas y algebraicas

Si existe, el logaritmo de un número es único. Por tanto, se puede asegurar que se cumple la siguiente equi-valencia.

log logb bM N M N= ⇔ =

■ Cambio de base

La relación entre los logaritmos de un mismo número A en distintas bases viene dada por:

loglog

logba

a

AA

b=

Logaritmo de un producto:

Logaritmo de un cociente:

Logaritmo de una potencia: log logbr

bM r M= ⋅

log log logb b b

MN

M N= −

log log logb b bM N M N( )⋅ = +

11. Propiedades de los logaritmos

12. Interés compuesto

Un capital se deposita a interés compuesto cuando se acumulan al mismo los intereses al final de cadaperíodo de liquidación (año, mes, trimestre, día…). De esta forma, los intereses acumulados pasan a producirtambién réditos al final del siguiente período de liquidación.

El capital final en que se convierte un capital inicial C colocado a un interés compuesto del R % anual du-rante t años viene dado por la expresión:

, donde rR

=100

C C rft= +( )1