RESUMEN PSU MATEMÁTICA Por Ignacio Osorio G.

Estudiante Ing. Comercial UC

ignacio.osorio@live.com

CONJUNTOS

Naturales o Enteros positivos:

Cardinales o Enteros no negativos:

Enteros Negativos:

Enteros no positivos:

Enteros:

Racionales:

Irracionales:

Reales:

No son números reales las expresiones de la forma , con a y n par.

Ej:

NÚMEROS EN POTENCIA DE 10 (NOTACIÓN DECIMAL POCISIONAL)

Todo número puede ser expresado en potencia de diez.

abc,de

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

En la expresión en que a, b y c son enteros, a es múltiplo de b y de c o bien

b y c son divisores o factores de a.

El 0 no es divisor de número alguno, pues la división por 0 no existe.

El 1 es divisor o factor de todos los números reales

REGLAS DE DIVISIBILIDAD

POR CUANDO

2 Termina en cifra par

3 La suma de sus cifras es múltiplo de 3 4 Las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4

5 Termina en 5 o en 0 6 Es divisible por 2 y por 3 a la vez

8 Las tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9

10 Termina en 0

LENGUAJE ALGEBRÁICO

Neutro aditivo: 0

Neutro multiplicativo o la unidad: 1

Inverso aditivo u opuesto de x = -x

Inverso multiplicativo o recíproco de y =

El “entre” excluye los extremos

Semi-suma de dos números:

Semi-diferencia de dos números:

Sucesor de n=n+1

Antecesor de n=n-1

Número par: 2k

Número impar: 2k-1

El exceso de p sobre q es n unidades: p – q = n

P excede a q en n unidades: p = q + n

P es a unidades mayor que q: p = q +a

P es a unidades menor que q: p = q – a

Múltiplos consecutivos de n: nx, nx+n, nx+2n, nx+3n…

NÚMEROS PRIMOS

Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros

números primos son: 2, 3, 5, 7, 11,13…

NÚMEROS COMPUESTOS

Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Todo número

compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores primos.

Los primeros primos son: 4, 6, 8, 9, 10…

El 1 no es ni primo ni compuesto

El único par primo existente es el 2

VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un número y el 0.

•|n|=

•

FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA

1. Si

2. Si

NÚMERO MIXTO

Toda fracción impropia se puede escribir como un número mixto:

=

RELACIÓN DE ORDEN EN Q

Para comparar números racionales, se pueden usar los siguientes procedimientos:

Igualar numeradores

Igualar denominadores

Convertir a número decimal

Comparar los productos cruzados

ORDEN DECRECIENTE: de más a menos

ORDEN CRECIENTE: de menos a más

FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN

Corresponde al producto entre ellas.

Ej: Un tercio de la mitad de un cuarto de x es:

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓN

Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal, y en el

denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tenga dicho número.

abc,de

DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN

DECIMAL SEMIPERIÓDICO A FRACCIÓN

ESTIMAR es redondear cada valor durante toda la operación

APROXIMAR es redondear cierto valor. Si la cifra a la cual se aproxima es

menor que 5, se deja como 0, pero si es mayor o igual a 5, se aumenta una unidad a

la cifra mayor siguiente.

TRUNCAR es reemplazar las valores de las cifras estimadas por ceros sin importar

su valor.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Se escribe de la forma en que 1 k y n Z

Ej: 4,25

NOTCIÓN ABREVIADA

Se escribe de la forma

Ej: 425

POTENCIAS EN

, con a

RAÍCES EN

Las raíces están definidas para en .

RAZÓN

Es una comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el

cuociente entre ellas. Se escribe a:b o

, que se lee “a es a b”; donde a se denomina

antecedente y b consecuente.

El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades:

=K

Serie de razones: Es la igualdad de dos o más razones. La serie de razones

, que también se escribe como x : y : z = a : b : c, tienea la propiedad

fundamental de que:

PROPORCIÓN

Es una igualdad entre dos razones:

y se lee “a es a b como c es a

d”, donde a y d son los extremos, b y c los medios.

Dada la proporción :

, existe una constante k, denominada constante de

proporcionalidad, tal que: .

Proporcionalidad directa: dos variables x e y son directamente

proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es

constante.

En una proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta (disminuye)

n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si

al representar los pares de valores, los puntos se

sitúan en una recta que pasa por el origen.

Proporcionalidad Inversa: Dos variables x e y son inversamente

proporcionales cuando el producto entre las cantidades correspondientes se

mantiene constante.

El gráfico de la proporcionalidad inversa corresponde

a una hipérbola equilátera en el 1er cuadrante.

n n veces

n m n m

n factores

Proporcionalidad compuesta: Es la combinación de

Proporcionalidades directas, inversas o ambas.

Ej: a2 es inversamente proporcional a y directamente proporcional a c, se

escribe:

PORCENTAJES

El p% de q es igual a

El a% del b% de c =

a% de c b% de c = (a c)% de c a es el b% de c: a=

Variación porcentual

AUMENTO: Al aumentar una cantidad C en su P porciento se obtiene una

cantidad final C´:

DISMINUCIÓN: Al disminuir una cantidad C en su P porciento se obtiene una

cantidad final C´:

INTERÉS SIMPLE

Una cantidad C crece a una taza de interés simple del i% por unidad de tiempo en un

periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en

cada unidad de tiempo es fijo. La ganancia o utilidad G, y la cantidad Cf después de

cumplido el periodo n está dada por:

Modelo Lineal

INTERÉS COMPUESTO

Una cantidad C crece a una taza del i% por unidad de tiempo en un periodo de n

unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad

de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.

La ganancia o utilidad G, y la fórmula para calcular la cantidad Cf después de

cumplido el periodo n es:

Modelo Exponencial

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la

incógnita es 1. Toda ecuación de 1er grado en una variable puede expresarse de la

forma:

ax + b = 0

Análisis de las soluciones de una ecuación de primer grado

El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se

pueden dar tres casos:

1. Si , la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA

2. Si la ecuación tiene INFINITAS SOUCIONES

3. Si la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN

PROBLEMAS DE TRABAJOS

Si un trabajador o máquina puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un

tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo t que demoran ambos en

realizar conjuntamente el mismo trabajo es:

Si además existe cierto impedimento c que disminuye el tiempo del trabajo, a la

ecuación anterior se resta

. (Ej. Un desagüe que funciona conjuntamente con llaves

que llenan una tina)

PROBLEMAS DE EDADES

En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras

diferentes indicando en una tabla sus edades pasadas,presentes y/o futuras, según

corresponda.

Edad pasada (hace b años)

Edad actual Edad futura (dentro de c años)

x-b x x+c y-b y y+c

TRAZOS

1. Segmento: Trazo limitado por dos puntos en sus extremos.

2. Rayo: Trazo limitado en un extremo por un punto, y por el otro se extiende

indefinidamente.

3. Recta: Trazo infinito hacia ambos extremos. Se extiende indefinidamente.

ÁNGULOS

Clasificación de acuerdo a su medida

Ángulo nulo : Mide 0°

Ángulo Agudo : Mide más de 0° y menos de 90° (

Ángulo Recto : Mide 90°

Ángulo Obtuso : Mide más de 90° y menos de 180° (

Ángulo Extendido : Mide 180°

Ángulo Completo : Mide 360°

Clasificación de los ángulos según su pocisión

Ángulos consecutivos: tienen un vértice y un lado en común

Ángulos adyacentes o par lineal: tienen el vértice y un lado en común y los

otros dos lados yacen sobre una misma recta. Son consecutivos y

suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice: tienen el vértice en común y los lados de uno

de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

Ángulos contiguos: Son aquellos que no comparten vértice, sinó que

comparten un lado en común en el interior de un polígono.

Clasificación de los ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas

Ángulos Complementarios: Suman 90°. Si son ángulos complementarios,

es el complemento de y es el complemento de El complemento de un

ángulo x es 90 - x.

Ángulos Suplementarios: Suman 180°. Si son ángulos suplementarios,

es el suplemento de y es el suplemento de El complemento de un ángulo

x es 180 - x.

TRIÁNGULOS

Clasificación de los triángulos:

Según sus lados Según sus ángulos Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida Isóseles: Tiene dos lados de igual medida. Al lado distinto se le llama base, y los ángulos que yacen sobre la base son equivalentes. Equilátero: Tiene sus trés lados y ángulos de igual medida.

Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos Rectángulo: Tiene un ángulo recto Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso

Observaciones:

1) En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

2) Cada lado de un triángulo por obligacion es mayor que la diferencia de los

otros dos lados, y menor que su suma.

3) Para efecto de la PSU, se considera que el triángulo equilátero es un caso

especial de los triángulos isóseles.

SEMEJANZA: Es la “igual forma” que tienen dos o más polígonos, independiente

del distinto o igual tamaño y superficie que tengan entre si. En el triángulo, para que

se cumpla la semejanza basta con que dos de sus ángulos interiores sean iguales. En

el resto de los polígonos deben coincidir no sólo los ángulos, sinó que además los

lados respectivos deben estár en la misma proporción.

EQUIVALENCIA: ( Es la “igual superficie” o “área” entre dos omás polígonos,

independiente de la forma que tengan.

CONGRUENCIA Se cumple cuando dos o más polígonos cumplen con la

equivalencia (igual superficie) y la semejanza (igual forma) a la vez.

Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus

vértices, de mnodo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean

congruentes.

Postulados de congruencia de triángulos:

1. ALA : Si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos

adyacentes a ese lado.

2. LAL : Cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

respectivamente iguales.

3. LLL : Si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

4. LLA>: Cuando tiene dos lados y al ángulo opuesto al mayor de esos

lados respectivamente iguales.

Elementos secundarios del triángulo

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Ortocentro (H): punto de

intersección de las alturas.

BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Incentro (I): punto de

intersección de las bisectrices. Equidista de los lados del triángulo.

TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro o centro de

Gravedad (G): Punto de intersección de las transversales de gravedad.

Observación: Si entonces

Trazar transversales de gravedad divide al en triángulos equivalentes.

SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto de cada lado del triángulo. Circuncentro (O): punto de

intersección de las simetrales. Equidista de los vértices del triángulo.

MEDIANA: Es el segmento de recta que unelos puntos medios de los lados del triángulo. Mide la mitad que el lado al cual es paralelo, y dividen el en 4 triángulos congruentes. Observación:

C

n

C0

C

n

C0

A

B

E

C

H

D

F

A

B

E

C

D

F

G

A

B

C

A

á

á

á

á

B

C

E

D

F

DATOS

En todo triángulo isóseles coinciden los elementos secundarios

correspondientes al lado distinto.

En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios

correspondientes a cualquier lado. Además coinciden los puntos singulares

(de intersección)

POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se

intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).

1. Cóncavos: 2. Convexos:

No son polígonos: Pues tienen lados que se intersectan (cruzan).

NOMBRE DE POLÍGONOS

TRIÁNGULOS 3 LADOS CUADRILÁTERO 4 LADOS PENTÁGONO 5 LADOS HEXÁGONO 6 LADOS HEPTÁGONO 7 LADOS OCTÓGONO 8 LADOS

PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:

Suma de los ángulos interiores = 180 (n-2)

Suma de los ángulos exteriores = 360

Diagonales trazables desde un vértice = n-3

Total de diagonales trazables en el polígono =

Número de triángulos que se pueden formar desde un vértice con diagonales =

n-2

POLÍGONO REGULAR

Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En caso

contrario se dice que es irregular.

Medida de cada ángulo interior =

Medida de cada ángulo exterior =

El hexágono regular es un polígono regular especial formado por la conformación de

seis triángulos equiláteros.

Cuadrilátero: Es cualquier polígono de 4 lados. Se clasifican el paralelogramos

(lados opuestos paralelos), trapecios (un par de lados paralelos), y trapezoides (sin

lados paralelos). Tanto la suma de sus ángulos interiores como exteriores es 360 .

Siempre que se trazen uniones entre los puntos medios en cualquier cuadrilátero se

forma un paralelógramo.

1) Paralelógramos: Es aquel que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

Siempre sus lados y ángulos opuestos son congruentes, y los ángulos contiguos

son suplementarios.

i. Cuadrado: El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 cada uno. Se caracteriza porque sus diagonales son conruentes, se dimidian, intersectan en ángulos rectos y son bisectrices. Además las diagonales trazan cuatro triángulos congruentes.

Área =

Perímetro =

ii. Rombo: El rombo es un cuadrilátero paralelogramo cuyos

cuatro lados son de igual longitud y sus ángulos interiores opuestos son iguales. Sus diagonales son perpendiculares entre si y cada una divide a la otra en partes iguales. Las diagonales son bisectrices.

Área =

Perímetro = 4

iii. Rectángulo: Es un polígono que tiene los lados opuestos congruentes y sus cuatro ángulos interiores son rectos. Sus diagonales son congruentes y se dimidian. Los triángulos interiores generados por las diagonales que son opuestos por el vértice, son isósceles congruentes.

Área = Perímetro =

iv. Romboide: Es un paralelogramo que tiene los lados y ángulos iguales dos a dos. Sus diagonales se dimidian.

Área = Perímetro =

2) Trapecio: Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos,

llamados bases. En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre

las bases ( ) suman 180°.

El trapecio isósceles en específico, se

caracteriza porque sus diagonales son

congruentes, y sus ángulos opuestos

son suplementarios.

La mediana es un segmento que va

desde el punto medio de un lado no

paralelo hasta el punto medio del otro, y su medida es el promedio de las bases.

3) Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. Se

clasifican en simétricos (deltoides) y asimétricos.

Trapezoide asimétrico:

Trapezoide simétrico o Deltoides: Sus diagonales

son perpendiculares, una diagonal es bisectriz, y

esta es a su vez simetral de la otra diagonal.

PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de binomio

Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.

Suma por su diferencia

Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.

Binomios con término común

FACTORIZACIÓN

Es el proceso de escribir un polinomio como el producto de sus factores.

Factor común

Diferencia de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma

CIRCUNFERENCIA

Es una figura plana, cerrada, formada por una infinita cantidad de puntos ubicados a

una misma distancia de un punto central. Dado un punto

O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y

de radio r al conjunto de todos los puntos que están a la

distancia r del punto O.

Área = Perímetro =

En un sector circular

Área =

Perímetro =

Elementos secundarios de la circunferencia

Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de

esta

Cuerda: Trazo cutos extremos son dos puntos de la circunferencia

Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia. Es la cuerda de

mayor longitud, equivalente a dos radios (d=2r)

Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia

Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (llamado

punto de tangencia).

Arco: Es una parte de la circunferencia determinada por dod puntos de ella.

Posee longitud y medida angular.

Ángulo inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y

parte de sus rayos son cuerdas de esta.

Ángulo de centro: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la

circunferencia.

Teoremas de la circunferencia

a) La medida angular de un arco es igual a la medida del

ángulo del centro que subtiende al arco.

b) Todo ángulo inscrito en una circunferencia, tiene como

medida la mitad del ángulo de centro, que subtiende el

mismo arco.

c) Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que

subtienden un mismo arco tienen igual medida.

d) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

e) En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los

ángulos opuestos son suplementarios

f) La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al

radio en el punto de tangencia.

g) La medida del ángulo interior de la circunferencia

corresponde a la semi-suma de los arcos que subtiende.

h) La medida del ángulo exterior de la circunferencia

corresponde a la semi-diferencia de los arcos que subtiende.

i) La medida del ángulo semi inscrito corresponde a la del

ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de

los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

TRÍOS PITAGÓRICOS

a b c

3 4 5

5 12 13

7 24 25

8 15 17

a a a

a

a 3a a

a n

TRIÁNGULOS NOTABLES

TEOREMA DE LAS BISECTRICES

En el triángulo rectángulo, al trazar una bisectriz

desde el ángulo recto, se cumple que:

ECUACIÓN DE LA RECTA

El sistema ortogonal (canónico o perpendicular): Usado

para determinar la posición de puntos en un plano por

medio de coordenadas cartesianas rectangulares.

Posee cuatro cuadrantes.

Distancia entre dos puntos A y B

Coordenadas del punto medio de un segmento

Pendiente de una recta

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta

con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

Una recta que es paralela al eje X tiene pendiente igual a 0

Una recta que es paralela al eje y tiene pendiente indeterminada en IR

Ecuación principal de la recta

Donde m es la pendiente y n es el coeficiente de pocisión (punto de intersección con

el eje Y)

Ecuación general de la recta

ax+by+c=0

Donde la pendiente es

y el coeficiente de pocisión es

Ecuación de la recta dados dos puntos

Dados dos puntos y de la recta:

Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente

CASO PARTICULAR

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.

Siendo (a,0) el punto de intersección de la recta con el eje X, y (0,b) el punto de

intersección de la recta con el eje Y.

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas solamente si tienen pendientes

iguales.

si y sólo si

Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el

producto de sus pendientes es -1.

si y sólo si

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones lineales (de 1er grado) constituyen un sistema de ecuaciones si

tienen las mismas dos incógnitas (x,y).

La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:

Solución del sistema: Es todo par (x,y) que satisfaga simultáneamente ambas

ecuaciones.

Para comprobar que un par dado (a,b) es solución de un sistema, se deben

reemplazar los valores.

Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una recta en un sistema de

ejes coordenados, y se llamma solución del sistemaal punto(s) de intersección de

estas.

o SOLUCIÓN ÚNICA: Si

, lo cual implica que las rectas se intersectan en

un únicopunto (a, b), siendo este la solución del sistema.

o INFINITAS SOLUCIONES: Si

, lo cual implica que las infinitas dos

rectas coinciden, dandoinfinitas soluciones al sistema.

o NO TIENE SOLUCIÓN: Si

, lo cual implica que las dos rectas son

paralelas (no se intersectan), por lo que no hay solución.

Resolución algebraica

o Método de sustitución: Se debe despejar una de las variables en una de las

ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación,generándose así una

ecuación con una incógnita.

o Método de igualación: Se debe despejar la misma variable en ambas

ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación

con una incógnita.

o Método de reducción: Se deben igualar los coeficientes de una de las

incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros

convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se

suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una

incógnita.

INECUACIONES

Llamamos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, .

Propiedades:

I. Si a los dos miembros de la desigualdad se le suma o resta un mismo

número, la desigualdad no cambia.

II. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo

número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia.

III. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo

número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

IV. Si a los miembros de una desigualdad, ambos del mismo signo, se

toman sus inversos multiplicativos (recíprocos), el sentido de la

desigualdad cambia.

V. Si a los miembros de una desigualdad, cada uno de distinto signo, se

toman sus inversos multiplicativos, el sentido de la desigualdad no

cambia.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

Son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama

conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar por medio

de:

o Notación de conjuntos: Se toma un conjunto de referencia IR, y se limita

el intervalo para el cual x da verdadera la inecuación.

Ej: {x / x > 2}

o Gráfica: Sobre una recta numérica IR, se dibuja el o los sectores que

hacen la inecuación verdadera. Punto pintado (•) toma al valor

( ), y punto sin pintar (ο) no toma el valor

( ).

Ej: se representa

o Intervalos: Representan el sector en el cual los valores que puede tomar

x cumplen la inecuación. Para representar intervalos cerrados (en los

cuales se toma el valor numérico), se utilizan [ y ], correspondientes a

. Para representar intervalos abiertos (en los cuales no se toma el

valor numérico), se utilizan ] y [, correspondientes a .

Ej: se representa ]-2,5]

Un intervalo abierto también se puede representar con paréntesis ) (

Unión ( ): Consiste en agregar los intervalos de dos o más inecuaciones para

generar un mayor conjunto solución de resultados posibles de x.

Si al aplicar unión, se cubren todos los valores de la recta numérica, ]- , + , se dice

que el conjunto solución es

Intersección ( ): Consiste en ver los intervalos en com´´un que tienen dos o más

inecuaciones.

Eje X Eje Y

Eje de las Abscisas Eje de las Ordenadas

Eje Horizontal Eje Vertical

Dominio Recorrido

X Y

Variable Independiente Variable Dependiente

Dato de Entrada Dato de Salida

Preimágen Imágen

Argumento de la función Valor de la función

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

La solución del sistema es la INTERSECCIÓN de los conjuntos de cada

inecuación, que representa los intervalos de valores que ambas inecuaciones tienen

en común.

Si dos inecuaciones no tienen valores en común dentro de sus intervalos, se dice que

la intersección es vacía ( )

FUNCIONES

Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación

que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento del conjunto B.

Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función

y se denota Dom f. Para conocer el dominio se debe despejar y, y ver las limitancias

que se imponen a x.

Ej: Siendo

, el Dom f = , pues para , la función se

indefine.

Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y),

y se denota Rec f. Para conocer el recorrido se debe despejar x, y ver las limitancias

que se imponen a y.

Ej: Siendo

, se observa que al despejar y resulta

, por lo que

Rec f = ,pues para x=0 la función se indefine.

Evaluación de una función:

CRECIENTE: Al aumentar la variable independiente, también aumenta la

variable dependiente.

DECRECIENTE: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la

variable dependiente disminuye.

CONSTANTE: Es aquella que para todos los valores de la variable

independiente, la variable dependiente toma un único valor.

Se puede evaluar una función tanto en su generalidad como en un intervalo

específico.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real x, denotado |x|,

es siempre un valor real no negativo.

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera le

asigna el mayor entero que es menor o igual a x. Su

representación gráfica es llamada función

escalonada.

El Rec f =

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es la función definida como

Con y .

El gráfico de la función puede ser de dos maneras,

dependiendo del valor de a:

i. (Gráfica creciente)

ii. (Gráfica decreciente)

La gráfica no corta las abscisas

FUNCIÓN RAÍZ

Si x es un número real no negativo, se define la función

raíz cuadrada de x por

La función raíz es creciente, pero considerada como un

modelo de crecimiento lento.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Es una función

Con . El gráfico de la función

puede ser de dos maneras, dependiendo del valor de

a:

i. (Gráfica creciente)

ii. (Gráfica decreciente)

LOGARITMOS

Definición: El logairmo de un número real positivo b en base a, positiva y distinta

de 1, es el número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número.

Con . La expresión se lee “el logaritmo de b en base a

es m”. El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.

Propiedades:

, y se lee “Logaritmo natural de euler es igual a 1 “

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que se puede reducir

a la forma: , donde , .

El cálculo de las soluciones o raíces de esta ecuación, se realiza aplicando la

siguiente fórmula:

Si son las soluciones de la ecuación, esta se puede escribir como:

Si son las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado

, entonces siempre se cumple que

FUNCIÓN CUADRÁTICA

A la función de segundo grado , siendo

a,b y c reales y se le denomina función cuadrática.

La representación gráfica de la función es una parábola,

simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las

ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.

Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola.

Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia arriba.

Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo.

Intersección con el eje y: La parábola siempre intersecta al eje de las ordenadas en

y=c, determinado por el punto (0,c)

Ceros de la función: Los ceros o raíces son los valores para los cuales y = 0.

Discriminante : La expresión se denomina discriminante, pues

determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática.

: Dos soluciones distintas. Intersecta al eje x en dos puntos,

por lo que el eje de las abscisas es secante a la parábola.

: Sus soluciones son idénticas (una sola raíz real), por lo

que la recta es tangente al eje x.

: La parábola no intersecta al eje x, no tiene solución real,

sinó dos raíces complejas conjugadas.

Vértice de la parábola: Es el punto de menor o mayor valor en la parábola, y es

donde intersectan el eje de simetría y la parábola.

Eje de simetría: Es una recta que divide a la parábola en dos “ramas” congruentes.

Observaciones:

Si b=0, l parábola tiene como eje de simetría al eje Y.

Si a y b tienen igual signo, la parábola está a la izquierda del eje Y

Si a y b tienen distinto signo, la parábola está a la derecha del eje Y

Dadas las coordenadas del vértice (h,k), la función toma la forma

f(x)=

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

o AA: Teorema fundamental de la semejanza en triángulos. Basta con que

los ángulos respectivos coincidan.

o LAL: Basta que tengaun un ángulo congruente comprendido entre lados

proporcionales.

o LLL: Basta que sus lados sean proporcionales

o LLA>: Basta que tengan dos de sus lados respectivamente

proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados,

congruentes.

Observaciones:

1. Los simbolos de semejanza, congruencia y equivalencia ( )

tienen implícito un orden respectivo, que permite determinar qué

lados tienen la correspondencia entre si.

Ej: Si ,

2. Entre triángulos semejantes se produce una proporcion directa entre

sus lados. Siendo .

3. Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo

semejante al primero.

TEOREMAS REFERENTE A TRIÁNGULOS SEMEJANTES

o Em triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón

que dos trazos homólogos cualesquiera y también en la misma razón

que sus perímetros.

o Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al

cuadrado de la razón que se encuentran dos trazos homólogos

cualesquiera.

Estos teoremas también se cumplen en polígonos semejantes y en el círculo.

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una

de ellas son, respectivamente, proporcionales a los

segmentos determinados en la otra.

El la figura, L1 y L2 son rectas y .

Entonces:

TEOREMA DE EUCLIDES

El triángulo de la figura es rectángulo en C y es altura. a y b son catetos, c

hipotenusa, p y q son proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa.

Los triángulos ACB, ACD y CDB son semejantes.

Referente a la altura: En todo triángulo

rectángulo, la altura correspondiente a la

hipotenusa es media proporcional

geométrica entre las proyecciones de los

catetos sobre la hipotenusa.

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media

proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto

sobre la hipotenusa.

TEOREMA DE LAS CUERDAS

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de

ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas

es igual al producto de segmentos determinados en la otra.

TEOREMA DE LAS SECANTES

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan

dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento

exterior es igual al producto de la otra secante por su

segmento exterior.

TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una

tangente y una secante, la tangente es media proporcional

geométrica entre la secante y su segmento exterior.

DIVISIÓN DE TRAZOS

I. División Interna: Un punto P perteneciente a un trazo lo divide en

la razón m : n, si .

II. División Áurea o Divina: Dividir un trazo en sección áurea o divina,

consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el

trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento

mayor y menor. ( ).

La razón

se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO.

TRIGONOMETRÍA

Razones trigonométricas: En el triángulo rectángulo, se definen las siguientes

razones con respecto a un ángulo acutángulo .

Razones Notables: Necen de la regularidad que se produce en el triángulo

rectángulo isósceles ( , 90 ), y en el que corresponde a la mitad de un

equilátero (30 ).

30 45 60

Sen

Cos

Tg

1

Identidades trigonométricas

α α tg α α tg α =

cos α α sen2 α 2 α cotg α =

Problema del tipo trigonométrico

Ángulos de elevación y de depresión son

aquellos formados por la horizontal,

considerada a nivel del ojo del observador y

la línea de mira, según que el objeto

observado esté pot sobre o bajo la última.

Con respecto a un observador, los ángulos

de elevación y de depresión constituyen

ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.

ESTADÍSTICA

Es una rama de la matemática que comprende mátodosy técnicas que se emplean en

la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de

conjuntos de datos.

o Población: Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna

característica en común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de

animales, de objetos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o

de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitaso infinitas.

o Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser

representativa y aleatoria.

o Variable Cualitativa: Son aquellas que cuando las observaciones

realizadas se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo:

sexo, nacionalidad, profesión, etc.

o Variable cuantitativa: Son aquellas en que cada observación tiene un

valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura,

salario, etc. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:

1. Discretas: Son numerables. Suelen tomar valores enteros. Ej:

número de hijos, número de departamentos en un edificio, notas

en un colegio, etc.

2. Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el

peso, la estatura, etc.

Tabulación de datos

o Frecuencia (f): También denominada frecuencia absoluta. Es el número

de veces que se repite un dato.

o Frecuencia Acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando

ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última

pocisión.

o Frecuencia Relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de

uno de los valores de la variable y el total de datos, expresada en

porciento.

o Frecuencia Relativa Acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando

ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última

pocisión.

o Marca de clase: Se define como el promedio de los lados extremos de un

intervalo

Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son indicadores que representan valores

numéricos en torno a los cuales tienden a agruparselos valores de una variable

estadística. Los principales son la media aritmética, la mediana y la moda.

o Media Aritmética o Promedio ( ): Es el cuociente entre la suma de

todos los datos y el número de datos. Si se tienen n datos;

su media aritmética es:

o Media aritmética para datos organizados en una tabla de

frecuencias: Si los datos son; , y las frecuencias son

, entonces la media aritmética es:

o Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el

que más se repite. Si no hay un dato que tenga la mayor frecuencia que

otro se dice que la distribución de frecuencias es amodal. Si existe un

solo dato que tenga mayor frecuencia la distribución de frecuencia es

unimodal. De existir dos (o más) datos que tienen la misma frecuencia,

siendo esta la mayor, se dice que la muestra es bimodal (o polimodal).

o Mediana (Me): Es el dato que ocupa la pocisión central de la muestra

cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o

decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es

la media aritmética de los dos términos centrales.

Medidas de pocisión

o Cuartiles: Son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de

datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores

correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente.

Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) se procede de la

siguiente manera:

1º Se ordenan los datos de menor a mayor

2º Se determina la pocisión que ocupa cada cuartil mediante la fórmula

pQk =

En donde K = {1, 2, 3} y N es el número de datos. En caso de ser un

decimal, se aproxima al entero más cercano superior.

Observación: Q2 coincide con la mediana

o Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de

datos en 100 partes iguales. El Percentil de orden K se denota Pk, y en el

caso discreto es la observación cuya frecuencia absoluta acumulada

alcanza el valor igual al k% de las observaciones.

Para calcular los percentiles se procede de la siguiente manera:

1º Se ordenan los datos de menor a mayor.

2º Se calcula la pocisión que ocupa el percentil,con la fórmula

pPk

En donde K = {1, 2, 3, …, 99} y N es el número de datos. Si es decimal se

aproxima al entero más cercano superior.

Observación: P50 coincide con la mediana

Medidas de dispersión

o Rango: En un conjunto de datos, corresponde a la diferencia entre el

mayor y el menor de los datos.

o Desviación Estandar: Es una medida de dispersión que indica cuánto

tienden a alejárselos datos de la media aritmética de éstos. La

desviación estándar (σ) se calcula mediante la siguiente fórmula:

Observación: Si la Desviación Estandar de un dato, es igual a 0, quiere

decir que el dato corresponde al promedio del conjunto de datos.

PROBABILIDADES

Nociones elementales:

o Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las

mismas condiciones,un número indefinido de veces.

o Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no sse puede

predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles (espacio

muestral).

o Evento o suceso: Es un resultadoparticular del espacio muestral.

1. Evento cierto: Es elpropio espacio muestral

2. Evemto imposible: Es aquel que no tiene elementos, es

decir, el subconjunto vacío del espacio muestral.

o Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la

ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. No tienen

ningún posible resultado en común dentro del espacio muestral.

o Eventos complementarios: Son aquellos que no tienen elementos

comunes, perojuntos completan el espacio muestral.

Técnicas de conteo

Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso ocurre en k etapas

diferentes, en donde la primera etapa puede ocurrir de n1 maneras diferentes

y así sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre

elsuceso está dado por:

n1 n2 n3 nk

Principio aditivo: Si dado un determinado suceso que tiene alternativas de

llevarse a cabo, donde la primera de estas alternativaspuede realizarse de n1

maneras, la segunda alternativa puede llevarse a cabo de n2 maneras,y así

sucesivamente, hasta la última alternativa que puede realizarse de nk maneras,

entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es:

n1 + n2 + n3 + … + nk

PROBABILIDAD CLÁSICA

La probabilidad de que ocurra un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos

favorables al evento A por el número total de casos posibles.

Observaciones:

La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la

probabilidad de que no ocurra. Es decir, que siendo A´= (A no ocurre):

P(A) = 1 – P(A´)

, siendo la probabilidad de un

evento imposible igual a 0,y la de un evento cierto igual a 1.

TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de pascal se utiliza en experimentos aleatorios

que tengan dos sucesos equiprobables de

ocurrencia,comopor ejemplo: lanzar una moneda, elsexode

unapersona, respuestas del tipo V o F, Si o No, etc.

Ej: En el caso del lanzamiento de una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la

vez) se obtienen 24 resultados, que al determinarlos por medio del triángulo de

pascal son:

Esta situación se grafica de la siguiente

manera:

En que significa que hay cuatrocasos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.

PROBABILIDADES DE EVENTOS

Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo

tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

Si A y B son dos sucesos excluyentes (nopueden ocurrir ambos a la vez), la

probabilidad de que ocurra A o B está dadapor:

Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no

ocurrencia de uno no influye sobre laprobabilidad de ocurrencia ono

ocurrencia del otro.

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad

condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo

lacondición de que el suceso B a ocurrido.

TRASLACIONES

Son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del

plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección, sentido

y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector

de traslación”.

Observaciones:

Con una traslación, una figura jamás rota, es decir,el ángulo que forma con la

horizontal no varía.

Con una traslación una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como

angulares.

No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas

en una única.

VECTORES

Un vector es una herramienta geométrica utilizada para

representar una magnitud del cual depende únicamente

un módulo (o longitud), un sentido y una dirección

(u orientación) para quedar definido.

La imagen representa un vector desde A hasta B.

o Suma de vectores: Para sumar dos vectores

libres y se escogen como representantes

dos vectores tales que el extremo de uno

coincida con el origen del otro vector. Otra

manera de sumar vectores es por medio de la

Regla del paralelogramo, en la que s e toman

como representantes dos vectores con

el origen en común, se trazan rectas

paralelas a los vectores obteniéndose

un paralelogramo cuya diagonal coincide

con la suma de los vectores.

o Resta de vectores: Para restar dos vectores

l ibres y se suma con el opuesto de .

ROTACIONES

Son aquellas isometrías que permiten girar todos los

puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que

tiene un centro y un ángulo bien determinados,por lo

que toda rotación queda definida por su centro de

rotación y por su ángulo de giro. Si la rotación se efectúa

en sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o

antihoraria; en caso contrario,se dice que la rotación es negativa u horaria.

Una rotación de centro P y ángulo de giro α, se representa por R (P, α). Si la rotación

es negativa,se representa por R (P, -α).

SIMETRÍAS

Son aquellas transoformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del

plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (Simetría central) o respecto

de una recta (simetría axial).

Simetría Central

Dado un punto fijo del plano, se llama simetría

(reflexión) con respecto a O a aquella isometría que

lleva cada punto (A, B y C) del plano a una pocisión

A´, B´ y C´, de modo que cada nuevo punto esté al lado contrario del inicial, y que:

.

El punto O se denomina centro de simetría, y los pares A A´, B B´ y C C´ son puntos

correspondientes u homólogos de la simetría.

Simetría Axial

Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axialcon

respecto a L o reflexión con respecto a L, a aquella isometría

tal que, si A y A´ son puntos homólogos con respecto a ella,

L y, además, el punto medio de está en L.

Eje de simetría

Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con

respecto a la recta. Existen figuras que no tienen, tienen sólo uno, o tienen más de un

eje de simetría. La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.

En geometría, un centro de simetría es un punto de una figura u objeto tal que

cualquier recta que por él pasa ha de encontrar a ambos lados y a la misma

distancia, puntos correspondientes. Dentro de los polígonos regulares, sólo tienen

centro de simetría aquellos con número par de lados. Además, tienen centro de

simetría el rombo y el rectángulo.

TESELACIÓN DELPLANO

Es la entera división delplano mediante la repetición de

una o más figuras que encajan perfectamente unas con

otras, sin superponerse ni dejando espacios vacíos entre

ellas. Esta partición delplano suele llamarse también

mosaico o embaldosado.

Todos los triángulos y todos los cuadriláteros teselan por si mismos el plano.

Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo equilátero,

el cuadrado y el hexágono regular, pues sus ángulos interiores son divisores de

360°.

Si queremos teselar el plano utilizando dos omás polígonos, es necesario que en

cada vértice la suma de todos los ángulos sea 360°

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

Un plano queda determinado por:

i. Dos rectas que se intersectan en un punto

ii. Tres puntos nocolineales

iii. Una recta y un punto no pertenenciente a ella

iv. Dos rectas paralelas no coincidentes.

DETERMINACIÓN DE UNA RECTA

Una recta queda determinada por:

i. Dos puntos distintos

ii. La intersección de dos planos no paralelos

POLIEDRO

Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina

cara,sus lados aristas y la inetrseccion de las aristas se llaman vértices.

PRISMA

Poliedro limitado por paralelógramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos

congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).

ÁNGULO DIEDRO

Es el ángulo formado por dos

semplanos, que tienen una arista

en común y su medida es el ángulo

rectilíneo formado por dos rectas

perpendiculares a la arista en un mismo punto.

CUERPOS GENERADOS POR LA REVOLUCIÓN DE FIGURAS PLANAS

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor

de un eje.

CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS

Se generan por traslación de una superficie plana:

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

PUNTOS EN EL ESPACIO

En el espacio tridimensional encontramos tres ejes X, Y, Z mutuamente

perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ y el YZ.

El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el

punto K está en el plano YZ, el punto L, en

elplano XZ y el punto M en elplano

XY,peroel punto A está suspendido en el

espacio, encerradopor los tres planos. Este

punto A tienen las cordenadas (a, b, c).

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Con a > 0 se cumple que:

1)

2)

IMPORTANTE:

ESTE RESUMEN ES SÓLO PARA USO PERSONAL CON FINES DE ESTUDIO Y

APRENDIZAJE. LOS DERECHOS DE AUTOR DE LAS RESPECTIVAS FUENTES

ESTÁN RESERVADOS. QUEDA ESTRICTAMENTE PROHIBIDO COMERCIALIZAR

ESTE RESUMEN.

FUENTES:

GUÍAS DE ESTUDIO PREUNIVERSITARIO PEDRO DE VALDIVIA

MANUAL DE PREPARACIÓN PSU MATEMÁTICA UC

VERSIÓN 2011

¡MUCHO ÉXITO!