Resumen Paper problemas mal condicionados
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8/19/2019 Resumen Paper problemas mal condicionados
http://slidepdf.com/reader/full/resumen-paper-problemas-mal-condicionados 1/4
Presentaci´on Analisis de Sistema Electricos de Potencia 3Metodo desacoplado para ujos de potencia bien y mal condicionados.
1. Introducci´ on
El tema escogido tiene por tıtulo Decoupled Power Flow solution Method for well-conditioned and ill-conditioned power systems del autor M.M.M. El-Arini, publicado en el a˜ no 1993. El siguiente resumen, secentra en el tema de los probelas llamados “ ill − conditioned ” (que en espa nol se puede traducir como “malcondicionado”), mientras que los probelmas “bien condicionados”quedan bien resueltos por el mismo metodo y ,segun el autor, requiere menos recursos de almacenamiento en un computador y converge en menor cantidad depasos. Para ello se plante un modelo reduciendo al m´ aximo las aproxiamciones y presentando un modelo de barrasde generaci on y consumo desacopladas, adicionando factores de aceleraci´ on en el proceso iterativo.
2. Problema Mal Condicionado.
Matematicamente se dene como el cambio que puede sufrir una funci´ on cuando ocurre un peque˜ no cambio de suargumento. En sistemas lineales del estilo [A][x]=[b], se puede establcer que la condici´ on entrega informaci´on deque tan inexacta ser´ a la solucion [x] tras una aproximaci´ on.Por lo tanto un sistema lineal mal condicionado ser´ a aquel que al introducir un peque˜ no cambio en la matriz [A],provocar a un gran cambio en la soluci´on [x].
Para observar lo mencionado de forma numerica, considerese el siguiente ejemplo de una matriz de 3 x3 que podrıarepresentar una matriz de de jacobianos, para el metodo Newton-Raphson:
2 4 5
6 9 8
4,1 5 3
·
x1
x2
x3
=
220
490
274
El resultado de la matriz X corresponde a40
10
20
Si ahora, en la matriz anterior, se cambia el valor de 4 ,1 por 4,09 el resultado cambia a
44,44
5,21
22,05
Se observa claramente que un peque˜ no cambio en la matriz, provoca una gran cambio en el resultado. Por lo tantocuando un problema est´ a mal condicioando, peque˜nos errores de aproximaci´on inuir an en gran medida en larespuesta, motivo de esto es que no se pueden ocupar aproximaciones convencionales para dichos probelmas, comometodos desacoplados y resolver el problema sin aproximaciones resulta una tarea m´ as complicada en terminosde almacenamiento y tiempo de c´ alculo para un computador y se complejiza a´ un m as si el sistema es de granextensi on. Mas adelante se mencionar´ an las caracterısticas de los SEP mal condiconados.
3. Soluci´ on propuesta.
El an alisis que hace el autor es a partir de las ecuaciones de Potencia usando la matriz de admitancia de barra:
P p =n
q=1{e p(eq Gqp + f q B pq ) + f q (f q G pq − eq B pq )} (1)
Pablo Brice no
8/19/2019 Resumen Paper problemas mal condicionados
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Presentaci´on Analisis de Sistema Electricos de Potencia 3Metodo desacoplado para ujos de potencia bien y mal condicionados.
Q p =n
q=1{f p (eq Gqp + f q B pq ) + e p (f q G pq − eq B pq )} (2)
El siguiente paso, tambien visto en clases, consiste en aproximar mediante series de Taylor. El autor sugiere que
debe considerarse el termino cuadr´ atico de la serie de Taylor para dismnuir el error, por lo que el sistema, seg´ unel metodo de Newton-Raphson , podr a ser escrito de la siguiente forma:
∆ P
∆ Q =
∂P ∂f i
∂P ∂e i
∂Q∂f i
∂Q∂e i
·∆ f
∆ e+
HP
HQ (3)
Donde los terminos H P y HQ corresponden al termino de segundo orden, seg´ un la Serie de Taylor. Para poderhacer m as compacto el an´alisis, el autor sugiere desacoplar la potencia generada de la potencia en la carga, por loque la ecuaci on 3, se puede reescribir separando la potencia activa generada de las barras P G , la potencia activa yrecativa de las cargas P L y QL . La potencia reactiva de las barras de los generadores son omitidas y la ecuaci´ ones reemplazada por la expresi´ on de e2
Gi = v2i − f 2Gi para todas las barras generadoras, mientras que los terminos
∆ eGi son sustituidos por − − f Gi · ∆ f Gi
e Gi.
∆ P G
∆ P L
∆ QL
=
J 1 J 2 J 3
J 4 J 5 J 6
J 7 J 8 J 9
∆ f G
∆ f L
∆ eL
+
HP G
HP L
HQ L
(4)
e2Gi = v2
i − f 2Gi
En base a al debil acoplamiento que existe entre P y e, y entre Q y f , es posible reescribir las ecuaciones anterioresde una forma desacoplada, pero sin aproximaci´ on:
∆ P G − HP G − J 3 · ∆ eL
∆ P L − HP L − J 6 · ∆ eL
=∆ P ′
G
∆ P ′
L
=J 1 J 2
J 3 J 4
∆ f G
∆ f L (5)
J 5 ∆ eL = ∆ QL − H Q L − J 7∆ f G − J 8 ∆ f L = ∆ Q ′
L (6)
e2Gi = v2
i − f 2Gi (7)
Las ecuaciones 4 y 5 pueden ser reescritas en forma de descomposici´ on LU (Apendice 7.1), ya que esta forma sereduce el tiempo de invertir una matriz.Por lo tanto, las ecuaciones a analizar son las siguientes:
∆ P ′
L
∆ P ′
G
= LP X fG
X fL (8)
X fL =
U P
∆ f L
∆ f G (9)
∆ QL = LQ X e (10)
X e = U Q ∆ eL (11)
Pablo Brice no
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Presentaci´on Analisis de Sistema Electricos de Potencia 3Metodo desacoplado para ujos de potencia bien y mal condicionados.
4. Determinaci´ on del factor de aceleraci´ on.
Para mejorar la convergencia del metodo iterativo se sugiere multiplicar a los factores ∆ e y ∆ f por un valoroptimo α ∗
q y α ∗
p , el cual debe ser determiando mediante el siguiente proceso a partir de las ecuaciones 4 y 6:
∆ P G
∆ P L = J 1 J 2
J 4 J 5
∆ f G
∆ f L+ J 3 ∆ eL
J 6 ∆ eL
+ HP Gee + HP Gef + HP Gff
HP Lee + HP Lef + HP Lff
Donde los terminos HP Gee y HP Lee poseen terminos ∆ ej al cuadrado, HP Gef y HP Lef depende del productode de ∆ ej y ∆ f j y los terminos HP Gff y HP Lff poseen terminos ∆ f j al cuadrado. Si a dichos valores de ∆ f (subındice G y L) se reemplazan por α ∗
p · ∆ f se puede reescribir el sistema como:
a + bα∗
p + α∗
p2c = 0 (12)
El cual puede ser resulto mediante aproximaciones del “Metodo de Mınimos Cuadrados”, recordando que loscoecientes a, b y c corresponden a par´ametros del sistema y a valores de la iteraci´ on, por lo que para cada puntose deber a resolver dicho sistema. Por otro parte, queda encontrar el valor de α∗
q de la misma forma que para elotro coeciente, pero esta vez de se debe usar la potencia recativa de la carga, dando como resultado el siguiente
sistema:
y + zα ∗
q + α∗
q2h = 0 (13)
Y al igual que para el coeciente α ∗
p , este debe ser resuelto para cada punto.
5. Algoritmo para el metodo.
Una vez que se plantean todas las ecuaciones a resolver, se dise˜ na un diagrama de ujo cuyos pasos se pasa adetallar:
Paso 1: Denir K=0 y las tolerancias ( ǫP y εQ ).
Paso 2: Formar las matrices de jacobianos y la descomposic on LU de las ecuaciones 8, 9, 10 y 11. Denir k=k+1.Paso 3: Proceder a calcular ∆ P G y ∆ P L y vericar si max { ∆ P G , ∆ P L } < ε P es menor a la tolerancia denida. En
caso de ser verdadero avanzar al Paso 5, caso contrario, avanzar al paso 4.
Paso 4: Resolver las ecuaciones 8 y 9 para hallar los valores de ∆ f ( k) y resolver ecuaci on 12 para hallar α ∗
p y denirf (k +1) = f (k ) + α∗
p ∆ f (k ) . Con dichos valores hallar eG usando la ecuaci on 7.
Paso 5: Proceder a calcular ∆ QL . Si se cumple que max {∆ P G , ∆ P L } < ε P y max { ∆ QG } ≤ εQ ir al paso 7. Casocontrario, ir al paso 6.
Paso 6: Resolver las ecuaciones 10 y 11 para obtener ∆ e( k) y resolver la ecuaci on 13 para obtener α∗
q y denire(k +1) = e(k ) + α∗
q ∆ e(k ) . Si K ≤ K max ir al paso 2, caso contrario, ir al paso 7.
Paso 7: Imprimir resultados y detener resultados.
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Presentaci´on Analisis de Sistema Electricos de Potencia 3Metodo desacoplado para ujos de potencia bien y mal condicionados.
6. Resultados del autor.
Segun el autor, en base a un sistema de 43 barras, el metodo permite hallar una soluci on ahorrando un 30 % detiempo. Adem´as, el metodo se implementa para un sistema bien condicionado, entregando la misma respuesa quepara el metodo desacoplado y en la mitad de las iteraciones, haciendo la salvedad de que no recurri´ o a factores deaceleraci on.Se advierte que, para el sistema de 43 barras, dejar los factores de aceleraci´ on iguales a 1, podrıa hacer que elsistema no converja a pesar de que una gran cantidad de iteraciones, debido a un problema en la capacidad deprecisi on de los computadores.
7. Apendice
7.1. Descomposic´ on LU
L(Ux) = b
Ly = bUx = y
l1,1 0 0 . . . 0
l2,1 l2,2 0 . . . 0
l3,1 l3,2 l3,3 . . . 0...
......
. . . ...
lm, 1 lm, 2 lm, 3 . . . lm,n
y1
y2
y3
yn
=
b1
b2
b3
bn
A =
a1 ,1 a1,2 a1,3 . . . a1 ,n
a2 ,1 a2,2 a2,3 . . . a2 ,n
a3 ,1 a3,2 a3,3 . . . a3 ,n
......
... . . .
...
am, 1 am, 2 am, 3 . . . am,n
L2,1 = a2,1/a 1 ,1
a2,2 = a2,2 − L2,1a1 ,2
a2,3 = a2,3 − L2,1a1 ,3
a2,n = a2 ,n − L2,1a1,n
L3 ,1 = a3,1/a 2, 2etc..
Pablo Brice no