Resumen Matematica Bachillerato Costa Rica 11mo

7/24/2019 Resumen Matematica Bachillerato Costa Rica 11mo

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1

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIACOLEGIO NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA

COORDINACIN ACADMICA

Matemtica

Undcimo Ao

Nuevos Programas

2015

MSc Jorge Daz Porras


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2

Informacin administrativa

El CONED agradece a Jorge Daz por la eleccin ypresentacin de los temas del presente material, as

como el aporte a la educacin secundaria a distancia. Las

denominaciones empleadas en esta publicacin la forma

en que aparecen presentados los datos, no implican de

parte del CONED y la UNED juicio alguno sobre la

condicin jurdica de personas o pases, territorios,

ciudades o de autoridades

MATERIAL SIN FINES COMERCIALES PARA USOEXCLUSIVO DE ESTUDIANTES DEL COLEGIO

NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA

Direccin: Clara Vila Santo Domingo

Coordinacin Acadmica: Olman Bolaos Ortiz

www.coned.ac.cr / tel 22212995/22237221
http://www.coned.ac.cr/http://www.coned.ac.cr/


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Tabla de contenido

Capitulo 1Relaciones y Algebra(nivel 11)

Objetivos generales 4Lista de conceptos claves 4Introduccin 5Tema 1Funcin Inversa 6Ejercicios 11Tema 2Funcin Raz Cuadrada 15Ejercicios 29Tema 3Funcin Exponencial 30Ejercicios 35,46Tema 4Funcin Logartmica 52Ejercicios 59,72Tema 5Modelo de Funciones 83Ejercicios 99

Captulo 2 Estadstica y Probabilidad (nivel 11)

Objetivos Generales 104Lista de Conceptos Claves 104Introduccin 105Tema 1Diagramas de Cajas 106Ejercicios 122Tema 2Medidas de Variabilidad 126Ejercicios 140

Tema 3Medidas Relativas 142

Captulo 3 Geometra (nivel 11)

Objetivos Generales 148Lista de Conceptos Claves 148Introduccin 149Tema 1Geometra Analtica (Simetra Axial ) 150Ejercicios 160Tema 2Trasformaciones en el plano 167Ejercicios 194Tema 3Visualizacin espacial 214Bibliografa 233


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Captulo IRelaciones y

Algebra

Recuerde los conceptos bsicos que debe manejar del tema, vaya

subrayando y resumiendo los mismos en el proceso de estudio

Conceptos clave

1.Funcin Inversa

2.Funcin Raz

3.Preimageness

4.Imagenes

5.Ecuacines

6.Exponenciales

7.Logaritmica

8. ConjuntoSolucin

9.Modelizacion

Habilidades especficas

Al finalizar el captulo el estudiante deber estar en capacidad de:

Aplicar el concepto de funcin en diversas situaciones.

Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y

trascendentes.

Plantear y resolver problemas a partir de una situacin dada.

Determinar el modelo matemtico que se adapta mejor a una

situacin dada.


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Situacin Problema

Actividad 1

La criptologa estudia cmo hacer y revelar cdigos secretos que sonutilizados para enviar mensajes. En la prctica se utilizan funcionesinyectivas complicadas y su inversa para codificar y decodificar mensajes.Inicialmente asignaremos un nmero de dos dgitos a cada una de las 27letras del alfabeto espaol, y a un espacio en blanco, conforme la tabla que

sigue:

El 37 fue asignado a un espacio en blanco. Luis enva a Miguel porInternet el siguiente mensaje codificado:

37 31 59 31 29 39 23 77 27 23 47 55 31 53 49

Como el mensaje es secreto, Luis llama por telfono a Miguel y le diceque la funcin codificadora que l utiliz para el mensaje es ( ) 2 3f x x .Esto significa que el mensaje anterior fue codificado con la funcin f (x)dada. Para que Miguel entienda el mensaje, tiene que decodificarloutilizando 1f x la inversa de la funcin f (x), es decir, tiene que calcular

Tema 1 Funcin Inversa


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1 1 1(37), (31), (59)f f f y as sucesivamente. Cul fue el mensaje secretoque Miguel decodific?

Anlisis de la Actividad 1

Este tipo de actividad es como un juego que, por lo general, despierta lacuriosidad y sirve de motivacin para el estudio de las funcionesinversas. La tarea fue simplificada debido a que el emisor utiliza otrocanal (el telfono) para dar la funcin codificadora. Lo ideal sera que elemisor enviara alguna clave indirecta para que el receptor pudieradecidir cul fue la funcin codificadora, y de esta forma no correr elriesgo de que algn espa escuchara la llamada telefnica o lainterceptara de alguna forma.

En la situacin planteada hay que determinar la inversa de la funcincuyo criterio es. ( ) 2 3f x x .Empezando con 2 3y x ,se intercambia xcon y para obtener la ecuacin 2 3x y Se despeja el valor de y como

funcin de x:3

2

xy

para obtener 1

3( )

2

xf x

Esta es la funcin que

Miguel tendr que utilizar paradecodificar el mensaje. Sea 1( )g x f x

Basta buscar en la tabla 1 las letras correspondientes a los nmeros dela segunda fila en la tabla 2 para descifrar el mensaje enviado por Luis.

Construya su propio mensaje codificado, con otra funcin lineal y solicitea un amigo o amiga que lo decodifique con la inversa de la funcinutilizada.


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La Clave

Sea :f A B tal que ( )y f x una funcin biyectiva. La

funcin :g B A es tambin una funcin biyectiva. Tal funcin sellama inversa de y se denota por 1f

Propiedades:

Sea :f A B una funcin biyectiva. Luego la inversa existe ycumple que:

a. si solo si .

b. biyectiva es biyectiva.c. es creciente (decreciente) es creciente (decreciente).d. y se reflejan respecto de la grfica .

Ejemplos

1. Sea tal que . Determine y .

Solucin

Luego y

2. Determine la funcin inversa de la funcin si

.


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9

Solucin

As tal que

3. Grafique la funcin y su inversa. Cite tres propiedades de

y su inversa.

Solucin

Luego .

Propiedades: y se reflejan respecto de la grfica , biyectivaes biyectiva, es creciente es creciente


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4. Determine la validez o no de las siguientes proposiciones.

a. es creciente es decreciente.

b. es decreciente es decreciente.

c. y se reflejan respecto de la grfica .d. biyectiva es inyectiva.

Solucin

a. Falsa, es creciente es creciente.

b. Verdadera.c. Falsa, y se reflejan respecto de la grfica .

Verdadera.

5. Sea una funcin biyectiva. Comente la validez o no de la

siguiente proposicin. Si entonces

Solucin

Verdadero pues

6. Sea una funcin lineal tal que y . Cul es lainversa de ?

Solucin

Los puntos y pertenecen a . Luego

7. Sea tal que . Determine .


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Solucin

8. Determine la funcin inversa de la funcin si

.

Solucin

As tal que

Ejercicios Marque con una X

1. Sea una funcin lineal. Si

y , entonces elcriterio de la inversa de es

(A)

(B)

(C)

(D)

4. Para la funcin dada por

, el criterio de la funcininversa de es

(A)

(B)

(C)

(D)


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12

2. Para la funcin

con

, un elemento del

grfico de la inversa de es

(A)

(B)

(C)

(D)

3. Considere la grfica de la funcinlineal .

De acuerdo con los datos de lagrfica, con certeza se cumple que

(A)

(B)

(C)

(D)

5. Si la grfica de la funcin lineal

contiene los puntos y

, entonces un punto quepertenece a la grfica de la funcininversa es

(A)

(B)

(C)

(D)

6. Sea con

. Si , entonceses pertenece al intervalo

(A)

(B)

(C)

(D)


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7. Si el dominio de la funcin

dada por es ,entonces cul debe ser elcodominio para que tengainversa?

(A)

(B)

(C)

(D)

8. Sea una funcin linealestrictamente creciente ybiyectiva cuyo dominio es

y cuyo codominio es

, entonces, esigual a

(A) 2

(B) 3

(C)-2

(D)-3

10. Considere la grfica de la funcin .

De acuerdo con los datos de la grfica, sientonces el criterio de la

funcin inversa de es

(A)

(B)

(C)

(D)

11.Sea conentonces corresponde a

(A) 4

(B) 18

(C)

(D)


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14

9. Si el dominio de la funcinbiyectiva dada por es

, entonces la inversa de es talque

(A) con

(B) con

(C) con

(D) con

12. Si y pertenecen algrfico de una funcin lineal ,entonces, cul es el criterio de ?

(A)

(B)

(C)

(D)

13. Para la funcin

dada por , el criterio de

su inversa corresponde a

(A)

(B)

(C)

(D)

14. Sea la funcin dada por

entonces el criterio de la

funcin inversa de es

(A)

(B)

(C)

(D)

15. Sea con ,

biyectiva y su inversa. Cul es elmbito de ?

(A)

(B)

(C)

(D)


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Situacin Problema

Actividad 2

El Pndulo

Los Matemticos y Fsicos han estudiado con gran detalle el movimientode un pndulo, porque este movimiento explica el comportamiento demuchos fenmenos que encontramos en la naturaleza. Este tipo

de movimiento es llamado movimiento armnico simple, elcual es muy importante porque describe todo aquello que se repiteperidicamente. Galileo fue la primera persona que estudi elmovimiento de un pndulo alrededor del ao 1600. l descubrique el tiempo que le toma a un pndulo completar una oscilacin(es decir, un viaje de ida y vuelta al punto de inicio de laoscilacin), no depende de su masa o de su ngulo de oscilacin,siempre y cuando dicho ngulo sea pequeo. Ms bien depende dela longitud del pndulo.

El tiempo que le toma a un pndulo realizar unaoscilacin completa (es decir, un viaje de ida yvuelta al punto de inicio de la oscilacin) sedenomina el perododel pndulo.

Galileo determin que el perodo de un pnduloes proporcional a la raz cuadrada de su longitud

. La constante de proporcionalidad depende de la

aceleracin de la gravedad . As, al nivel del mar,en nuestro planeta Tierra, la aceleracin de la gravedades (metros por segundo al cuadrado). Siutilizamos este valor de aceleracin de la gravedad,encontraremos que , y sus unidades

son (segundos divididos por la raz cuadrada de

Tema 2 Funcin Raz Cuadrada


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metros). Un dato interesante es que hasta mediados del siglo 20,todos los relojes utilizaban el pndulo como componente central delmecanismo que los mantena funcionando.

Graficar el perodo de un pndulo de un reloj que oscila en una casaubicada en nuestro planeta, al nivel del mar, a medida que se cambia elvalor de la longitud de dicho pndulo. Cul debera ser la longitud deeste pndulo para que su perodo de oscilacin fuese de un segundo?


La funcin que corresponde al perodo de un pndulo que se encuentraal nivel del mar es: .

Haremos, pues, una grfica donde el eje horizontal represente lalongitud del pndulo, mientras que el eje vertical represente el perododel mismo. Debes observar que el dominio est constituido por valoresde tales que .

Comenzaremos elaborando una tabla de valores.

0

1

2

3

4

5


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Ahora grafiquemos la funcin.

La Clave

Ahora realizars el estudio de la funcin raz cuadradala misma

se identifica a travs de la ecuacin , y solo tiene sentido

para los valores dexque cumplan con la condicin , ya que

en el conjunto de los nmeros reales las races de ndice par conradicando negativo no estn definidas. El conjunto de pares

ordenadosde la funcin tienen la forma .


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Propiedades de las funciones raz cuadradaAnlogamente a las funciones ya estudiadas, tenemos como

propiedades generales de la funcin las siguientes:

Propiedades Interpretacin

DominioLa proyeccin de su grfica cubre elsemieje positivo de lasx.

ImagenLa proyeccin de su grfica cubre elsemieje positivo de las y.

Cero En este valor la grfica corta al eje x.

Monotona Creciente paratodo su dominio.

A medida que aumentanlos valores deldominio, los valores de las imgenestambin aumentan.

Valor mnimo: 0 Menor valor de las y.

Paridad: No tieneNo se cumple ninguna regularidad paralas imgenes de valores opuestos deldominio.

La funcin raz cuadrada tambin puede ser expresada a travs de

una ecuacin de la forma .

Entonces la funcin se trasladada -dunidades en direccindel eje de las abscisas y eunidades en direccin al eje de lasordenadas.

En particular la existencia del cero de la funcin depende del valorde e

Si entonces la funcin tiene un ceropor lo que su grficaintersecta al eje de las abscisas.

Si la funcin tiene un cero, grficamente la grfica corta aleje de lasxen un punto.


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Si la funcin no tiene ceros , la interpretacin grfica seencuentra por encima del ejex.

De esta forma ya conoces cmo influyen los parmetros dy een las

propiedades de la funcin.


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Ejemplos

1.La grfica de una funcin raz cuadradacorresponde a la mitad deuna parbola como las que conocemos de lafuncin cuadrtica,pero en este caso el eje de simetra de la media parbola eshorizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El grfico de la funcin raz cuadrada ( )f x x es:

A este grfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia laderecha si hacemos x 1, y hacia de izquierda si hacemosx + 1.Por ejemplo, el grfico de ( ) 1f x x muestra que ( )f x x se hatrasladado una unidad hacia la derecha:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html


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Veamos otro ejemplo: Traslado tres unidades hacia la izquierda( ) 3f x x


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Ejemplo 2

Graficar la funcin ( )f x x .

Solucin

Antes de hacer una tabla de valores, necesitamos determinar el dominiode esta funcin raz cuadrada. Podemos encontrar el dominio fcilmentesi nos damos cuenta que la funcin est definida nicamente para todosaquellos valores de que hacen que la expresin dentro de la razcuadrada sea mayor o igual que cero. As, encontramos que el dominioest constituido por todos aquellos valores de tales que .

Esto significa que cuando elaboremos nuestra tabla de valores,nicamente debemos seleccionar aquellos valores de que seanmayores o iguales que cero. Es muy til incluir el valor de cero como elprimer valor de la tabla, y luego incluir muchos valores mayores quecero. Esto nos ayudar a determinar cmo ser la forma de la curva agraficar.

He aqu cmo luce la grfica de esta tabla.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


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Las grficas de funciones raz cuadrada son siempre lneas curvas. Lacurva de arriba luce como la mitad de una parbola acostada de lado. Enefecto, la funcin raz cuadrada que hemos graficado arriba viene de la

expresinEsta expresin est en la forma de la ecuacin de una parbola, perocon las variables x e y intercambiadas. Tambin debemos tenerpresente que cuando resolvemos esta expresin para y obtenemos dossoluciones: y x y y x . La grfica de arriba muestra nicamente la

raz cuadrada positiva de sta respuesta.

Ejemplo 3

Graficar la funcin y x

Solucin

Una vez ms debemos considerar primero el dominio de la funcin antesde graficarla. Podemos observar que la funcin est definida solamentepara . Hagamos, pues, una tabla de valores y calculemos algunosvalores de dicha funcin.

He aqu la grfica elaborada a partir de latabla.0

1

2

3

4

5

67

8

9


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Observa que si graficamos las dos funciones anteriores en el mismo sistema

de ejes coordenados, el grfico resultante luce como una parbola completaacostada de lado (parbola horizontal).

Ahora, comparemos las funciones razcuadrada que son mltiplos una de otra.

Ejemplo 4Graficar las funciones en la mismagrfica.

Solucin

A continuacin presentamos la grfica. Se ha omitido la tabla de valores.

Si multiplicamos la funcin por una constante

mayor que uno, la funcin se incrementa ms

rpidamente mientras mayor sea dicha

constante.


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Ejemplo 5

Graficar las funciones en la misma

grfica.Solucin

Observa que al multiplicar por unaconstante la expresin que seencuentra dentro de la raz cuadrada,se obtiene el mismo efecto que en elejemplo anterior, pero la funcin se

incremente a con una rapidez menor. Esto se debe al hecho de que lafuncin se multiplica efectivamente por la raz cuadrada de la constante.Tambin observa que la grfica de es la misma que la de .Este resultado tiene sentido, algebraicamente hablando, dadoque .

Ejemplo 6

Graficar las funciones en la mismagrfica.


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Solucin

Si la funcin por una constante cuyo valor se encuentre entre 0 y 1,entonces la funcin se incrementa con una rapidez menor para

constantes ms pequeas.

Ejemplo 7Graficar las funciones en la misma grfica.

Solucin

Si multiplicamos la funcin por unaconstante negativa, la funcin razcuadrada se refleja con respecto al eje .

Ejemplo 8Graficar las funciones en la misma grfica.

Solucin

Observa que, para la funcin , eldominio est constituido por valores de .Mientras que, para la funcin , eldominio est constituido por valores de .Cuando multiplicamos el argumento de la

funcin por una constante negativa, la funcinse ve reflejada con respecto al eje .


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Desplazamiento de Grficas de Funciones Raz cuadrada

Ahora, veamos lo que le ocurre a la funcin raz cuadrada cuandosumamos constantes positivas y negativas a la funcin.Ejemplo 9

Graficar las funciones .

Solucin

Vemos que la grfica mantiene suforma original, pero se desplaza haciaarriba para constantes positivas,mientras que se desplaza hacia abajo

para constantes negativas.

Ejemplo 10

Graficar las funciones .

Solucin

Cuando sumamos constantes alargumento de la funcin, la funcinse desplaza hacia la izquierda paraconstes positivas, mientras que sedesplaza hacia la derecha paraconstantes negativas. Esto se debe

a que el dominio tambin sedesplaza y no puede existir unnmero negativo dentro de la razcuadrada.

Ahora grafiquemos algunosejemplos adicionales de funciones raz cuadrada.


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Ejercicios

Graficar las siguientes funciones en el mismo sistema de ejescoordenados.

1. , and

2. , and

3. , and

4. , and

Graficar las siguientes funciones.

5.

6.

7.

8.

9.10.

11.

12.

13.


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Situacin Problema

Actividad 3

En el inters compuesto los intereses producidos por un capital, C0 sevan acumulando a ste, de tiempo en tiempo, para producir nuevosintereses.Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulanal capital, se llaman periodos de capitalizacin o de acumulacin. Si sont aos, r es el rdito anual (inters anual en %) el capital final obtenidoviene dado por la frmula:

0 (1 )100

t

f

rC C

Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 si meses, n=4 sitrimestres, n=365 si das,...) la frmula anterior queda:

0 (1 )

100

nt

f

rC C

n

Se colocan 5000 al 6% anual. En cunto se convertirn al cabo de 5aos?

Tema 3 Funcin Exponencial


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31


Si los intereses se acumulan anualmente 25000 (1,6) 6691,13fC

Si los intereses se acumulan mensualmente

6012,565000 (1 ) 5000 1, 005 6744, 25100

fC

Si los intereses se acumulan trimestralmente

204,56

5000 (1 ) 5000 1, 015 6734, 27400

fC

La Clave

La funcin exponencial tiene el criterio :f

, con x

axf , a esun nmero positivo, diferente de cero y uno

Caractersticas:

1)Dominio: .2)Codominio: 0,

3) Interseccin con el eje x: es asinttica al eje x, no lo interseca.4) Interseccin con el eje Y: 1,0 .5)Es biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto tiene

inversa: la funcin logartmica.

xaxf , a 1

Es estrictamente creciente

xaxf , 0 a 1

Es estrictamente decreciente

0, 1

x

y

0, 1

x

y


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Ejemplos

1 La funcin es decreciente en sentido estricto?

Solucin

S.

2. La funcin es creciente en sentido estricto?

Solucin

No, la cual es decreciente en sentido estricto.

3. Sea la grfica tal que . Escriba (F) si la opcin esfalsa y (V) si la opcin es verdadera.

a. no interseca al eje .b. interseca al eje en el punto .c. El dominio de esd. no es una funcin biyectiva.

Solucin

a. Verdadero.b. Falso. interseca al eje en el punto .c. Verdadero.


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4. Considere las siguientes proposiciones para una funcin exponencial

dada por .

I. es estrictamente creciente.

II. .

De ellas, cules son verdaderas?

(A)Ambas

(B)Ninguna

(C)Solo la I

(D) Solo la II

Solucin:

Como , entonces es decreciente y la opcin I es falsa.

Adems, por lo

que II es falsa. Por lo tanto, la opcin correcta es la B).

5. Considere las siguientes proposiciones para una funcin exponencialdada por , con .

I. .II. .


(A)Ambas(B)Ninguna(C)Solo la I(D) Solo la II


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Solucin

Dado , entonces es creciente, pero como entonces, por lo que la opcin I es falsa. Por otra parte,, y como entonces , y as la opcin II es

verdadera. Por lo tanto, la opcin correcta es la D).

6. Sea la funcin dada por . Si el domino de es ,

entonces el mbito de es

(A)

(B)

(C)

(D)

Solucin

De la definicin de la funcin se desprende que el conjunto de imgenes

es . Luego, la opcin correcta es la A).

7. Para una funcin exponencial dada por , si, entonces se cumple que

(A)

(B)

(C)

(D)


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Solucin:

Como , entonces y la funcin escreciente. Adems, como entonces, por la forma de la grfica sededuce que . Por lo tanto, la opcin correcta es la C).

Ejercicios

1. En cada uno de los siguientes ejemplos indique la base dela funcin exponencial genrica xaxf

xxf 5 xxk 10 x

xg

4

3

x

xh

3

5

base ____ base ____ base ____ base ____

xxf 7 x

xt

2

1

x

xm

9

8 xxv 02.0

base ____ base ____ base ____ base ____

2. En cada uno de los siguientes ejemplos indique cules funciones

exponenciales son crecientes y cules son decrecientes.

xxf 5 xxk 10 x

xg

4

3

x

xh

3

5

__________ ____________ _____________ ______________

xxf 7 x

xt

2

1

x

xm

9

8 xxv 02.0

__________ ____________ _____________ ______________


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36

3. LA FUNCIN EXPONENCIAL NATURAL

Es una de las funciones ms tiles en matemticas avanzadas y en lasaplicaciones. La base de esta funcin exponencial es el nmero

irracional, 711828,2

e el cual aparece en muchos estudios fenmenosfsicos. Una vez que ya conocemos el nmero e , podemos definir lafuncin exponencial natural

La funcin exponencial natural IRIRf : es xexf

Las calculadoras cientficas tienen la teclaxe que permite aproximar los

valores de la funcin exponencial natural. Complete la siguiente tablaaproximando a 2 decimales y construya la grfica.

x -3 -2 -1 0 1 2

y

y


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4. Seleccin nica

1. Las siguientes proposiciones se refieren a la funcin exponencialdada por con .

I. .II. .


(A)Ambas

(B)Ninguna

(C)Solo la I

(D) Solo la II

2. El dominio de la funcin dada por es

(A)

(B)

(C)

(D)


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3. Considere las siguientes proposiciones respecto de la funcin

logartmica tal que .

I. .

II. La preimagen de es .


(A)Ambas

(B)Ninguna

(C)Solo la I

(D) Solo la II

4. Sea una funcin dada por , con . Si , entonces secumple que

(A)

(B)

(C)

(D)

5. Para una funcin dada por con , se cumple que

(A)

(B)

(C)

(D)


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6. Las siguientes proposiciones se refieren a la funcin dada por

.

I. es inyectiva.II. es estrictamente decreciente.


(A)Ambas

(B)Ninguna

(C)Solo la I(D) Solo la II

7. Para las funciones y con y , se cumple que

(A) y son crecientes.(B) y son decrecientes.(C) es decreciente y es creciente.(D) es creciente y es decreciente

8. Para las funciones y con y , se cumple

que

(D) y son crecientes.(E) y son decrecientes.(F) es decreciente y es creciente.

(G) es creciente y es decreciente


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9. Para una funcin exponencial dada por considere lassiguientes proposiciones:

I. La grfica de interseca al eje enII. Si son elementos del dominio de tales que y

entonces .


(A) Ambas

(B) Ninguna

(C) Solo la I

(D) Solo la II

10. Para la funcin dada por , con , considere lassiguientes proposiciones:

I.

II.


(A)Ambas.(B)Ninguna.

(C)Solo la I.

(D)Solo la II.

11. Para la funcin dada por , se cumple con certeza que(A)

(B)(C)

(D)


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En este apartado, se resuelven ecuaciones exponenciales del tipo I.

Ecuaciones exponenciales del tipo I

Para resolver una ecuacin exponencial del tipo I, se aplica la siguientepropiedad: Sea , tal que . Luego:

Adems, es til recordar las siguientes propiedades de las potencias:

Sean tales que todas las siguientes expresiones tienen sentidoen . Luego:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Ecuaciones Exponenciales


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Ejemplos

1. La solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

Solucin:

As, la opcin correcta es la D).


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2. El conjunto solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

Solucin:


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3. La solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

Solucin:

As, la opcin correcta es la C).


45/234

45

4. La solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

Solucin:


46/234

46

Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.

152 77)1 xx 285 93)2 xx

53

1

8

12)3

x

x 12)4 32 x

1)521

2

x

x

e

e

e

eee

xx

22)6

5

13

3

2

2

3)7

x

36335)8 xx


47/234

47

II Parte Seleccin nica

1. El conjunto solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

2. La solucin de es

(A) 1

(B) 5

(C) -4

(D) -7

3. La solucin de es

(A) 0

(B)

(C)

(D)


48/234

48

4. La solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

5. La solucin de es

(A)1

(B)5

(C)-4

(D)-7

6. La solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)


49/234

49

7. La solucin de es

(A) 3

(B) 5

(C)

(D)

8. La solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

9. La solucin de es

(A) -1

(B) -3

(C)

(D)


50/234

50

10. Una solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

11. Una solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)

12. La solucin de es

(A)

(B)

(C)

(D)


51/234

51


(A)

(B)

(C)

(D)


(A)

(B)

(C)

(D)


(A)

(B)

(C)

(D)


52/234

52

Situacin Problema

Actividad 4

Supongamos que realizamos un depsito de 1000 u.m. en una cuentade ahorro al 8% anual y queremos saber cunto tiempo tardar entriplicarse la cantidad inicial, para ello deberemos resolver la ecuacinsiguiente: 1000 (1 + 0.08)t= 3000


En dicha ecuacin la incgnita es el exponente, t : (1.08)t= 3 buscamosun nmero tal que 1.08 elevado a t nos d como resultado 3. Ha esenmero t lo denominaremos logaritmo en base 1.08 de 3

La Clave

La funcin logartmica y la funcin exponencial son funciones que tienenmucha relacin; de hecho la funcin logartmica es la INVERSAde lafuncin exponencial. El logaritmo en base a ( a > 0 ) de un nmero y( y > 0 ) es el exponente x al que se debe elevar la base a paraobtener ese nmero positivo y. Simblicamente se escribe:

yaxy xa log

En la notacin anterior ""a es la base; ""y es el argumento y

""x es el logaritmo

Tema 4 Funcin Logartmica


53/234

53

En sntesis encontrar un logaritmo resulta ser una simple operacinmatemtica

Ejemplo

29log3 porque 932 01log10 porque 110

0

16log6 porque 661 25log

5 porque 55

2

2

12log 4 porque 24 2

1

21

log2

e

e porque 22 1

ee

17

1log7 porque

7

17 1 3001,0log10 porque

001,010

110

3

3

NOTA IMPORTANTE

Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos decimales y la

base no se escribe. es decir:

xx loglog10 As por ejemplo 31000log1000log10

Los logaritmos de base e se llaman logaritmos naturales o

neperianos y este tipo de logaritmos tienen su notacin especial

xxe lnlog As por ejemplo 1ln e

NO EXISTE el logaritmo en ninguna base de base 0 ni en

ninguna base negativa


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54

Por ejemplo 9log3 NO existe 0log2 NO existe

La definicin de logaritmo es fundamental en ciertos clculos; ya que

por medio de esta definicin se pueden calcular bases, argumentos o

resultados de logaritmos.

Para realizar algunos de estos clculos lo ms recomendable es convertir

de notacin logartmica a notacin exponencial y luego efectuar las

operaciones indicadas.

DEFINICIN DE FUNCIN LOGARTMICA

Como la funcin exponencial es biyectiva sabemos que tiene funcin

inversa. Esa funcin inversa es la funcin logartmica. Es decir

Sea xaxf :f tal que xaxf y 1a ; Calculemos

la inversaxay Ahora intercambiamos variables

yax Despejamos la y pasando de notacin exponencial a

notacin logartmica; obteniendo

yxa log en donde

:log 11 fxxf a

Observe que esta funcin asocia a cada nmero real con el logaritmo en

base a de esenmero real positivo.

Una funcin :1f ; se llama logartmica si es de la forma

xxf alog con 0a y 1a


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55

GRAFICA DE UNA FUNCIN LOGARTMICA

Como ya se ha comprobado la grfica de una funcin logartmica de la

forma xxf

alog

siempre es asinttica al eje y , einterseca al ejex en el punto ( 1, 0 ). Puede ser una funcin creciente decreciente

(depende de la base ), de la siguiente manera

xxf alog , a 1

Es estrictamente creciente

xxf alog , 0 a 1

Es estrictamente decreciente

1,0

x

y

1,0

x

y

CARACTERSTICAS DE UNA FUNCIN LOGARTMICA

Se tiene la funcin exponencial IRIRf : tal que xxf alog , con0a y 1a ; entonces las siguientes son sus principales

caractersticas

1)El dominio de la funcin es y el mbito de la funcin es .

2)Es una funcin inyectivafes una funcin BIYECTIVA


56/234

56

3)Es una funcin sobreyectiva

4) Interseca al eje x en el punto ( 1, 0 )

5)Es asinttica al eje y ( no corta al eje y)

10 a entonces fes estrictamente decreciente

1a entonces fes estrictamente creciente

Ejemplos

1. Sea la grfica tal que . Escriba (F) si la

opcin es falsa y (V) si la opcin es verdadera.

a. no interseca al eje .

b. interseca al eje en el punto .

c. El mbito de es

d. es una funcin biyectiva.

Solucin

a. Verdadero.

b. Verdadero.

c. Verdadero.

d. Verdadero.

6) Si


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57

2. Grafique la funcin .

Solucin

3.Grafique la funcin .

Solucin

4. Se define la funcin logaritmo natural de cmo. Indique si la funcin es creciente o decreciente y

determine la interseccin con el eje

SolucinLa interseccin con el eje es y la funcin es creciente.

5. Sea . Si , entonces determine a que

intervalo pertenece .Solucin

.


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58

6. Considere las siguientes proposiciones para una funcin dada por

.

I. , si .

II. , si


(A)Ambas

(B)Ninguna

(C)Solo la I

(D) Solo la II

Solucin

La funcin es estrictamente creciente. Si entoncespor lo que la opcin I es falsa. Por la forma de la grfica, la opcin II esverdadera. Como , es creciente. As, la opcin correcta es la D)

7. Sea una funcin tal que . Si , entonces secumple que

(A) y

(B) y

(C) y

(D) y

Solucin

Por la forma de la grfica, solo la opcin y cumple lopedido. Luego, la opcin correcta es la C).


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59

8. Sea una funcin tal que . Si , entonces secumple que

(A) y

(B) y

(C) y

(D) y

Solucin

Por la forma de la grfica, solo la opcin y cumple lo

pedido. Luego, la opcin correcta es la C).

Ejercicios

1. Pasar a exponencial los siguientes logaritmos

3125

1log)1 b

3ln)5 x

x81log)2 27 210log)6 x

3

2log)3 8

N 12log1)7 3 xx

4) 5,1log5 N 1loglog)8 24 x


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60

2. Determine la interseccin con el eje x de las siguientes funciones

logartmicas.

xxfa 6log)

26log) 3

xxhc

2log) xxfb xxfd ln)

3. Clasifique las siguientes funciones logartmicas en crecientes o

decrecientes segn corresponda.

)2(log) 3 xxfa 75log)9

7 xxgd

1log) 2,0 xxhb xxme log)

25log)2

3 xxkc xxnf3

5log2)


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61

Propiedades Logartmicas

1,0, bbRIBA

1. xbyx yb log

2.

B

ABA bbb logloglog

3. BABA bbb logloglog

4. AnA bn

b loglog

5. An

mA b

n mb loglog

6.b

A

b

A

b

AA

x

xb

log

log

ln

ln

log

loglog

7. 01log b

8. 1log bb

9. Ab Ab log

10.y

xxyy eex lnln

NOTA:1. LogBABA log)(log

Identidades Logartmicas


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62

Ejemplos

Ejemplo 1: Determine el valor numrico aproximado de5

18log sin

utilizar calculadora

Solucin:

Aplicando algunas de las propiedades de los logaritmos tenemos:

Solucin: de igual manera procedemos aplicando propiedades de

logaritmos

5log2log3log2

1

5log23log2

1

5log23log

5log29log

5log18log5

18log

2

2

2

12

071,05

18log

071,0

69,015,0477,0

5log2log213log

5log2log3log22

1

Ejemplo 2:

Exprese como un solo logaritmo la expresin

xyxx loglog4

1log

2

3)1(log

2

1 2


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63

y

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

x

x

x

yxxx

x

xyxxx

xyxx

xyxx

xyxx

1

log

log

1

log

log

1

log

loglog1

log

logloglog1log

logloglog1log

logloglog)1log(

loglog4

1log

2

3)1(log

2

1

3

4

122

3

2

1

2


64/234

64

y

x

x

x

y

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

x

11log

1

log

1

log

1

log

Ejemplo 3: Exprese como un solo logaritmo la expresinbba log5loglog3

2


65/234

65

Solucin:

aba

ba

ba

bb

a

bb

a

bbabba

log

log

log

log

loglog

loglogloglog5loglog3

3

2

1

2

3

2

5

2

2

3

5

2

1

2

3

2

1

5232


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66

Identidades Logartmicas

Para comprobar una identidad se puede trabajar con la expresin ya sea

del lado derecho o izquierdo, a las cuales les aplicaremos algunas de las

propiedades de los logaritmos.

Ejemplo 1: Compruebe la identidad

aaa

a log2

3log

1loglog

2

Solucin:Trabajemos con la expresin del lado izquierdo, as tenemos

a

a

aa

a

aa

aaa

a

log23

log

1log

log1

logloglog1

loglog

2

3

2

1

2

2

1

22

As podemos verificar la identidad.

Ejemplo 2:

13

49log13loglog37log2

3x

x


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67

Solucin: Se procede de manera anloga al ejemplo anterior

13

49log

13log49log

13loglog7log13loglog37log2

3

3

32

x

x

xx

As se comprueba la identidad.

Ejemplo 3: Verifique la identidad 2lnln 2 xx ee

Solucin: Para verificar esta identidad se puede proceder de varias

maneras, es decir existen diferentes mtodos para obtener un nico

resultado.

2

2

lnln2lnln 2

xx

exexee xx

De esta manera se verifica la igualdad

Otra forma

2

2

lnlnln2

2

xx

e

eee

x

xxx

Podemos ver como utilizando uno u otro mtodo se concluye lo mismo


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68

Dado que la funcin logartmica es biyectiva, podemos pasar de la

notacin logartmica a la notacin exponencial y de esta manera resolver

las ecuaciones. Para ello debemos aplicar las diferentes propiedades de

los logaritmos vistos antes.

ES NECESARIO PROBAR LAS SOLUCIONES ENCONTRADAS

Ejemplos

Ejemplo 1: Resuelva la ecuacin xxx 333 log2)2(log)1(log y

determine el conjunto solucin.

Solucin: Primeramente es necesario encontrar el/los intervalos a los

cuales debe pertenecer la variable x de esta manera tenemos

1. ,1101 xxx

2. 2,2202 xxxx

3. ,00 xx

Ecuaciones Logartmicas

1 0 2


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69

As podemos observar como 2,0x

Ahora se procede a resolver la ecuacinxxx 333 log2)2(log)1(log as

02log

0log)22(log

log)2)(1(log

log2)2(log)1(log

2

2

3

23

23

233

333

xxx

xxxx

xxx

xxx

022

23

23

2

220

2

20

xx

xxx

x

xx

Ahora se deben hallar los ceros de la ecuacin .022 2 xx As los

ceros son ,4

1711

x o

4

1712

x

De esta manera podemos observar como 2x no pertenece al

intervalo antes determinado, de esa forma el conjunto solucin de

ecuacin es

4

171S


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70

Ejemplo 2:

Resuelva la ecuacin 5log132log13log xx y determine el

conjunto solucin.

Solucin:

Procedemos de manera anloga al ejemplo anterior.

1.

,

3

1

3

113013 xxxx

2.

,

2

3

2

332032 xxxx

As podemos observar como

,2

3

x

3

1

2

3


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71

Ahora se procede a resolver la ecuacin

5log132log13log xx as

7

0355

51530205133210

x

x

xxxx

Dado que 7 pertenece al conjunto determinado antes el conjunto

solucin es 7S

Ejemplo 3:

Resuelva la ecuacin 4][loglog 32 x y determine el conjunto solucin.

Sugerencia realice algn tipo de sustitucin como xz alog

Solucin:

De manera anloga debemos encontrar el conjunto al que debe

pertenecer la variable x esto es 0x

5133210

32

51310

132

513log

15log32log13log5log132log13log

1

xx

x

x

x

x

xxxx


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72

Ahora sustituyamos zx3log as tenemos

z

z

z

16

2

4log

4

2

Ahora volvemos a sustituir xz 3log

1616

3

3

3

16log

F

x

x

Ejercicios

1. Amplifique las siguientes expresiones logartmicas. (Hacer la

expresin ms grande) (Debe asumir que todas las expresiones estn

bien definidas).

hk

6

2 4log)1 4

32

log)2c

ba


73/234

73

445

1log)3

ba

3

42

log)4p

nma

2. Simplifique las siguientes expresiones logartmicas (Hacer la

expresin ms pequea) (Escribir en un solo logaritmo).

myx log4log2log3)1 2) xxx 24262 log23loglog

3) yxyx aaa log2log1log31 2

4) 1log1log2 2xx aa


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74

Prctica sobre funciones logartmicas (teora)

1. La grfica de la funcin xxf 5log)( interseca al eje X en el

puntoa) (0,5) b) (1,0) c) (0,1) d) (5,0)

2. La grfica de la funcin xxf3

1log)( interseca el eje X en el

punto

a) (1,0) b) (0,1) c) (0,3

1) d) (

3

1,0)

3. La grfica de la funcin xxf 7log)( interseca el eje X en elpuntoa) (0,7) b) (0,1) c) (1,0) d) (7,0)

4. La grfica de la funcin xxf 4log)( interseca al eje Y cuando yvale

a) 0 b) 1 c) 4 d) nunca sucede

5. La grfica de la funcin )72log()( xxf interseca al eje X en el punto

a) (2,0) b) (4,0) c) (1,0) d) (16,0)


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75

6. La grfica de la funcin )1340log()( xxf interseca al eje X en el punto

a) (8,0) b) (8

1,0) c) (

3

1,0) d) (3,0)

7. El dominio mximo de la funcin f(x)= x3log corresponde a

a) R b) R+ c) [ 0, + [ d) ] 0, 1 [

8. Si h(x) = xalog es una funcin estrictamente creciente, entonces

podemos afirmar que a pertenece a

a) ] 0, 1 [ b) ] 1 , + [ c) ] - , 0 [ d) ] -1, 0 [

9. La grfica de la funcin f(x) = x5log interseca al eje X en

a) (0, 1) b) (5,0) c) (1,0) d) ( 5 ,0)

10. Si la funcin f(x) = xalog tiene una grfica asinttica al eje Y positivo,

entonces podemos afirmar con certeza que

a) la funcin es estrictamente creciente

b) la funcin es estrictamente decreciente

c) a > 1

d) su mbito es R+


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76

11. Para la funcin f(x) = x4log considere las siguientes

proposiciones:

I. f est definida para x= -2 II. f es sobreyectiva

III. f corta el eje X en (1,0) IV. El dominio de f es R

Cules de ellas son FALSAS?

a) Ninguna b) I y III c) slo III d) I y

IV

12. La grfica de la funcin f(x) = )1(log 2 x interseca el eje X en

a) (0,1) b) (0,2)

c) (1,0) d) (2,0)

13. Para la grfica de cualquier funcin logartmica se cumple que

a) interseca el eje Y b) es creciente

c) pasa por (0,0) d) interseca el eje X

14. El mbito de la funcin f(x) = x4

3log corresponde a

a) [ 0, 43

] b)[ 43

,+

[

c) R+ d) R


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77

15. Una funcin estrictamente creciente corresponde a

a) f(x) =x

5

2 b) f(x) = x

5

2log

c) f(x) =1

6

5

d) f(x) = x7,0log

16. Una funcin estrictamente decreciente corresponde a

a) f(x)=3x b) f(x)= x2log

c)f(x)=x

8

1 d) f(x) = x3

2log

4. Prctica sobre ecuaciones exponenciales y logartmicas

1. Cul es el valor de x en la expresin 43x= 2x+1

a)2

1 b)

4

1 c)

5

1 d)

7

1

2. Cul es el valor de x en la ecuacin 22-x= 81-2x

a) -7 b)7

1 c)

5

1 d) 5

3. El valor de x en la ecuacin (3x-1)2= 81

a) 2 b) 3 c) 5 d)2

5


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78

4. El valor de x que es solucin de la ecuacin 9x= 3 27xcorresponde a

a) -1 b) 0 c) 2 d)2

1

5. La solucin de la ecuacin9

13

3 x corresponde a

a)3

2 b)

2

3 c)

3

2 d) -2

6. El valor de x en la ecuacin278

23

x

x

corresponde a

a) -3 b)3

2 c)

3

2 d) 3

7. La solucin de la ecuacinx

x

5

15 57 corresponde a

a)7

6 b)

6

5 c)

8

5 d)

6

5

8. La solucin de23

2125,0 x corresponde a

a)3

5 b)

3

5

c)3

1 d)

3

1


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79

9. El valor de x en la ecuacin

xx

3

7

7

3 12

corresponde a

a) -1 b) 31

c)3

1 d) 1

10. El conjunto solucin de27

8

9

4 1

x

es

a)

2

1 b)

4

1

c)

2

5 d)

4

1

11. El conjunto solucin de la ecuacin

x

x

4

12

2

corresponde

aa) { 0 } b) { 0, -2 }

c) { -2 } d) { 0, 2 }

Para convertir de notacin exponencial a notacin logartmica se utiliza

la siguiente definicin: xayx ya

log El logaritmo existe si la

base elevada al resultado es igual al argumento


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80

5. Ecuaciones logartmicas: Determine el valor desconocido en cada

caso

32

8log x 2log2

5 x 43

16log x

32

125log x 3log x 45

81log x

x25log125 x27log81 x6log216

x64log128 x10000log x81log 243


81/234

81

664log x 435log x 216log x

23

52log x 3125,0log x 225,2log x

6. Resuelva las siguientes ecuaciones logartmicas

2log2log 33 xx 1)14(log xx 5)1(log)1(log2 2

22 xx

)2(log1)3(log 22 xx 4)2(log)4(log 22 xx 2log)6(log 44 xx


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82

Resuelva las siguientes ecuaciones logartmicas

9log)4(log 33 x 8log2log3 33 x 5log3log2 33 x

1)3log(log xx 2)13(log5 x 25log)2log( x


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83

Situacin Problema

Actividad 5

La cicatrizacin normal de heridas puede obtenerse pormedio de una funcin exponencial. Si A0 representa el reaoriginal de la herida y A es igual el rea de la herida

despus de n das, entonces la cicatrizacin normal de heridas puede sermodelada por

0,350 nA n A e La mano de Ana Paola fue herida un domingo 26 de mayo a las 8 a.m.cuando jugaba en el parque cerca de su casa. Si el proceso decicatrizacin de la herida de Ana Paola es normal, qu da yaproximadamente a qu hora tendr el 90% de su herida cicatrizada?


Esta actividad permite ver la aplicabilidad de los modelos matemticos asituaciones de un contexto real para el estudiante, particularmenteaquellos modelos que utilizan las funciones estudiadas en el Tercer cicloy en el Ciclo Diversificado. En este programa, un modelo matemtico esun conjunto de elementos matemticos conectados que representan unarealidad especfica, que permite explicar, describir y hacer predicciones.La modelizacin siempre aparecer integrada a los cinco procesoscentrales del programa: Plantear y resolver problemas, Razonar yargumentar, Conectar, Representar y Comunicar.

El modelo para esta actividad tiene conexiones con reas de la salud y abreespacios para distintas representaciones matemticas: simblica oalgebraica, grfica y tabular.

Tema 5 Modelos con Funciones


84/234

84

Inicialmente se puede leer o distribuir a cada subgrupo de estudiantes unahoja impresa acerca del proceso de cicatrizacin de una herida, como el quesigue:

La cicatrizacin es un proceso natural que posee el cuerpo para regenerar lostejidos de la dermis y epidermis que han sufrido una herida. Cuando unapersona posee una herida en el proceso de recuperacin se llevan a cabo unaserie de complejos fenmenos bioqumicosque se suceden para reparar el dao. Estosfenmenos ocurren con cierto solapamientotemporal y pueden ser divididos para suestudio en las siguientes fases:inflamatoria, proliferativa, y deremodelacin.

En la fase inflamatoria se eliminan lasbacterias y suciedad, y se liberan factoresque producen la migracin y divisin de las clulas que toman parte en lafase proliferativa.

La fase proliferativa se caracteriza por la formacin de tejido granular, y la

contraccin de la herida.

Las clulas epiteliales se desplazan sobre la herida cubrindola y losmiofibroblastosayudan a reducir el tamao la herida.

En la fase de maduracin y remodelado, el colgeno es remodelado yrealineado a lo largo de las lneas de tensin y las clulas que ya no sonnecesarias, son eliminadas.

Sin embargo, este proceso no solo es complejo sino que es frgil, ysusceptible de ser interrumpido o fallar, lo que conduce a la formacin deheridas crnicas con problemas de cicatrizacin. Algunos factores quepueden contribuir a este problema son la diabetes, enfermedades de lasvenas o arterias, edad avanzada e infecciones.


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Solucin de la situacin presentada

En la situacin presentada, se espera que los estudiantes calculen el

nmero de das n para queA(n)=10% A0, pues se pretende que el 90%de la herida haya sido cicatrizada.

Utilizando el modelo para la cicatrizacin normal de heridas se tiene

0,350 00,1nA n A e A , es decir

0,35 0,1ne

Representando tubularmente la cantidad0,35 0,1ne ,en una hoja de

Excel, se observa que existe un cambio de signo en la relacin0,35 0,1ne ,entre los das 6 y 7, lo que lleva a conjeturar que el 90%

de la cicatrizacin ocurrir entre los das mencionados

Graficando la funcin discreta 0,35nf n e y la funcin discretaconstante g(n) = 0,1, tambin se observa que f(n) coincide con g(n)entre los das 6 y 7.


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Finalmente, aplicando logaritmo y utilizando una calculadora o bien una

hoja de clculo tipo Excel, se obtiene

0,35 (0,1) 2,3025851n In Por lo tanto2,3025851

0,35n

das,

es decir, aproximadamente 6 das y 14 horas.El sbado 01 de junio a las 8 a.m. se completan los 6 das, y este mismo

sbado a las 10 p.m. se completa el tiempo para que el 90% de su

herida haya sido cicatrizada

El modelo utilizado es emprico y bastante sencillo. Un posible error al

utilizarlo consistira en escribir A(n)=90% A0 creyendo ser la

interpretacin correspondiente al 90% de la herida cicatrizada.


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Situacin Problema

Actividad 6

Ileana deposit 500 000,00 en una cuenta de ahorros de un bancoque paga una tasa de inters anual del 8% compuesto. Si ella no retiradinero de su cuenta, determine cunto tendr depositado al finalizarcinco aos de ahorro, si el banco capitaliza los intereses

a) Trimestralmente.

b) Mensualmente.c) Diariamente.d) Continuamente.


Esta actividad tiene que ver con algo que es muy importante para todociudadano o ciudadana: el ahorro y la bsqueda de una mejor

rentabilidad para el dinero ahorrado. Los conceptos importantesrelacionados con el ahorro son el inters, el principal y el valor presente.

Inters es la cantidad que se paga por el uso de dinero. El inters essimple si es un porcentaje fijo, por periodo de tiempo, de la cantidad dedinero invertido.

La cantidad inicial de dinero invertido se conoce como principal o valorpresente. Si el principal es de P colones y la tasa de inters simple es de

r% (expresada en forma decimal) por ao, entonces al finalizar t aosse gana de inters I = Prt, y el valor futuro (principal ms intereses)despus de los t aos es (1 )A P I P rPt P rt


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En algunas transacciones el inters es agregado al principal en intervalosregulares de tiempo, de tal forma que se paga inters sobre inters y sobreelprincipal. Este tipo de inters se conoce como inters compuesto

Si la tasa de inters r anual es capitalizada n veces al ao (compuesta en nperodos de tiempo al ao) entonces la tasa de inters por cada periodo es

ri

n y el nmero de perodos despus de t aos es igual a nt . Al finalizar el

primer periodo el valor futuro correspondiente al principal P es

1 (1 )r r

A P P P

n n

Para el segundo periodo elA1se convierte en valor presente. El valorfuturo

2 1 1 1 1 1

r r rA A A A P

n n n

, y as sucesivamente. Por lo tanto,

al finalizar los nt periodos de capitalizacin, el valor futuro ser:

1

ntr

A Pn

Decimos que el inters es compuesto continuamente cuando el nmerode periodos de capitalizacin por ao crece indefinidamente.

Si remplazamosr

n por

1

kentonces n = kr y el valor futuro se puede

escribir como1 1

(1 ) 1

rtk

krtA P P

k k

La expresin

11

k

k

se acerca al

nmero e cuando k crece indefinidamente (y por lo tanto cuando elnmero de perodos de capitalizacin crece indefinidamente). En este

caso, el valor futuro obedece al siguiente modelo matemtico:rtA Pe


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La Clave

Frmula de inters compuesto

Si un valor presente (principal) P se invierte a una tasa de inters anualr (expresada en forma decimal) que es compuesta n veces al ao,durante t aos, entonces su valor futuro es

1

ntr

A Pn

Frmula de inters compuesto continuamente

Si un valor presente (principal) P se invierte a una tasa de inters anual

r (expresada en forma decimal) que es compuesta continuamente,durante t aos, entonces su valor futuro es

rtA Pe

Para la situacin presentada tenemos r = 0,08 (8%), t = 5 aos,P = 500 000,00.

a) n = 4 pues el ao tiene cuatro trimestres.

4 50,08

500000 1 742973,704A

Colones

b) Se utiliza n = 12 pues existen 12 meses en un ao

12 50,08

500000 1 744922,904

A

Colones

c) Como existen 365 das en un ao, se utiliza n=365 (algunasinstituciones financieras utilizan n=360)

365 5

0,08500000 1 745912,304

A

Colones

d) En este caso se tiene

0,08 5500000 745912,30A e Colones


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Se puede observar que entre las instituciones que pagan una tasa deinters anual r, vale la pena ahorrar en aquella que tenga un mayornmero de periodos de capitalizacin, y la mejor de todas es la queutiliza inters compuesto continuo. Si dos instituciones tienen tasas deinters anual y capitalizacin de intereses distintas entonces hay quehacer los clculos para ver cul de ellas ofrece mayores ventajas .En latabla que sigue se hacen algunas comparaciones, utilizando 500000,00 como principal y t = 5 aos. Institucin Tasa de inters anual


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Situacin Problema

Actividad 7

Un temblor con una intensidad I tiene magnitud Richter0

log I

MI

en

donde I0 es la intensidad de un temblor de nivel cero (la intensidad msbaja que puede ser detectada por un sismgrafo cerca del epicentro deltemblor). El 22 de abril de 1991 un fuerte terremoto sacudi la zona deLimn en Costa Rica y Bocas del Toro en Panam, con una intensidad de7,6 en la escala de Richter, y una profundidad de 10 kilmetros.

El 4 de mayo de 1910 un terremoto destruy Cartago. Su magnitud fuede 6,4 en la escala de Richter y se convirti en el desastre natural msmortfero en la historia de Costa Rica.

El 8 de enero de 2009 un temblor de 6,2 destruy gran parte de laCinchona en Costa Rica. La falla Vara Blanca-ngel fue la que origin elterremoto considerado como el de mayor magnitud en los ltimos 157aos en esa zona.

Utilice el modelo de Richter para comparar la intensidad del terremotode Limn de 1991con el de Cartago de 1910, y con el de la Cinchona de2009.


Esta actividad permite valorar la importancia de los modelos

matemticos en situaciones que se relacionan directamente con elentorno de los estudiantes.

En Costa Rica son normales los temblores. Los acontecimientos msdifciles registrados fueron el terremoto del 10 de mayo de 1910, de 6,4grados en la escala de Richter, que provoc bastantes daos y muerteen la ciudad de Cartago. El terremoto del 22 de abril de 1991, de 7,7


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grados Richter que afect enormemente la provincia de Limn. El 8 deenero de 2009 la zona cercana al Volcn Pos sufri muchos daosdebido a un terremoto de magnitud 6,2.

El modelo matemtico desarrollado por Richter es til para compararintensidades ssmicas entre eventos independientes.

Un poco de historia

La escala Richter fue creada por el sismlogo Charles F. Richter en1935. Un temblor con una intensidad I tiene magnitud Richter

0

log I

MI

en donde I0es la intensidad de un temblor de nivel cero, la

intensidad ms baja que puede ser detectada por un sismgrafo que seencuentra cerca del epicentro del temblor. El sismgrafo (sismmetro)es un instrumento que detecta las ondas ssmicas que los terremotos oexplosiones generan en la tierra. Por lo general los sismlogosdeterminan la magnitud en la escala Richter del temblor al examinar unsismgrafo.

La magnitud de un temblor no puede ser determinada por la amplitud

que aparece en un sismgrafo debido a que tal amplitud disminuye conla distancia entre el epicentro del temblor y la estacin de observacin.Para medir esta distancia los sismlogos examinan las ondas p(primaria) de muy baja amplitud pero ms rpidas y las ondas s(secundaria) de mayor amplitud que las p y ms lentas. De esta formala magnitud M en la escala Richter es funcin de la amplitud A de lasondas s, y de la diferencia en el tiempo entre la ocurrencia de ondas s yde ondasp.

En la dcada de 1950 Charles Richter desarroll el siguiente modelopara determinar la magnitud de un temblor, utilizando los datos de unsismgrafo:


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log( ) 3log(8 ) 2,92M A t donde la amplitud A de las ondas s semide en milmetros, directamente sobre el sismgrafo, y t es ladiferencia en el tiempo, en segundos, entre la ocurrencia de las ondas sy las ondasp.

Por ejemplo, para la figura que sigue se supone que la distanciatemporal entre la llegada de las ondas p y la de las ondas s es de 28segundos mientras que la amplitud de las ondas ses de 35 mm, ambosdatos tomados directamente del sismgrafo.

Sismograma: Red Sismolgica Nacional (RSN) de Costa Rica, 22/07/2012, http://www.rsn.ucr.ac.cr/index.php/en/http://163.178.105.93/gifs/BUS_SHZ_TC_--.2012072200.gif

En este caso la magnitud es de log(35) 3log(8 28) 2,92 5,7M Por lo

tanto el temblor tiene una magnitud de aproximadamente 5,7 en laescala Richter.

En la figura anterior se observan las ondas de superficie que son las queprovocan ms destruccin que las ondas p y s. Las ondas de superficieson conocidas como ondas L y R (Rayleigh), se propagan desde el

epicentro del sismo y son ms lentas que las ondas p y s.

Las ondas R (Rayleigh), llamadas as en honor a John William Strutt(1842-1919), tercer barn Rayleigh son ondas superficiales queprovocan un movimiento elptico retrgrado del suelo (similar al de lasolas).


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Las ondas L (Love), en honor al cientfico Augustus Edward Hough Love(1863-1940) que estudi sus propiedades, tambin son superficiales yprovocan cortes horizontales en la tierra. Lo importante es que elmodelo para calcular la magnitud del sismo no contempla las amplitudesde las ondas L y R.

Las comparaciones de intensidades para los terremotos de Limn(1991), Cartago (1910) y Cinchona (2009) se obtienen utilizando elmodelo de Richter. Sean I1 la intensidad del terremoto de Limn, I2 laintensidad del terremoto de Cartago, I3 la intensidad del terremoto deCinchona.

Entonces,1 2

0 0

log 7,6;log 6,2I I

I I

Utilizando la representacin en forma de

potencia tenemos 7,6 6,4 6,21 2 30 0 0

10 ; 10 ; 10I I I

I I I Despejando la intensidad

tenemos 7,6 6,4 6,21 0 2 0 3 010 ; 10 ; 10I I I I I I Entonces7,6 7,6

1 1

6,4 6,2

2 3

10 1016; 25

10 10

I I

I I Por lo tanto el

terremoto de Limn de 1991 tuvo unaintensidad que fue aproximadamente 16 vecesla intensidad del terremoto de Cartago de1910, y fue aproximadamente 25 veces laintensidad del terremoto de Cinchona del2009.

Uno de los peores terremotos ocurri en Chile en 1960 y su magnitudRichter fue de 9,5, considerado el mayor registrado en la historia de la

humanidad. Si comparamos el gran terremotode Chile de 1960 con el de Limn de 1991,

9,5

7,6

1079,4

10

Chile

Limon

I

I

Terremoto de Limn, 1991http://www.nacion.com/2011-04-17/

Fuente: Terremoto de Cinchona, 2009 Recuperado: http://www.aldia.cr/galerias/TerremotoVaraBlanca
http://www.nacion.com/2011-04-17/ElPais/NotaPrincipal/ElPais2748253.aspxhttp://www.nacion.com/2011-04-17/ElPais/NotaPrincipal/ElPais2748253.aspx


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El gran terremoto de Chile de 1960 fue aproximadamente 79 veces msintenso que el de Limn de 1991, y unas 1995 veces ms intenso que elde Cinchona de 2009.

Un modelo con relacin

Situacin Problema

Actividad 8

El EstadioNacional de Costa Rica es un recinto para usos deportivos yadministrativos mltiples, siendo el principal para la prctica del ftbolde la Seleccin Nacional del pas y para las competencias de atletismo.

Algunas fotos del Estadio Nacional muestran un arco en forma de unacnica, que puede ser modelado por una relacin entre las variables x(eje horizontal) y eje vertical del arco.

Foto del Estadio Nacional de Costa Rica

Fuente: Tomada por Edison De Faria

Determinar una relacin entre las variables x, y que modela el arco en

forma de cnica del Estadio Nacional de Costa Rica.


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En esta actividad se busca encontrar un modelo algebraico para unacurva relacionada con una situacin del contexto real. Cada estudiante

debe buscar su propia estrategia para resolver el problema .La situacintiene que ver con el Estadio Nacional de Costa Rica, ubicado en elparque metropolitano La Sabana, en San Jos, Costa Rica.

El Estadio Nacional de Costa Rica es el ms moderno y con mayortecnologa de Centroamrica y del Caribe. Tiene oficinas para 32federaciones deportivas, dos pantallas gigantes de televisin de HD, unmuseo deportivo, pista de atletismo y salas para otros deportes como

tenis de mesa, esgrima y ajedrez. Tiene una capacidad de 35 175lugares y es el tercero en tamao de la regin. El estadio Cuscatln deEl Salvador ocupa el primer lugar en capacidad (53 400 lugares)mientras que el Estadio Olmpico Metropolitano de Honduras ocupa elsegundo lugar (37 325 lugares).

En mayo de 2008 se demoli el antiguo Estadio Nacional, y desde marzode 2009 hasta diciembre de 2010 se edific este moderno recintodeportivo en el mismo lugar. Su inauguracin fue el 10 de enero de

2001 con la presencia de diplomticos de la Embajada de China enCosta Rica y autoridades del gobierno de Costa Rica.

Una estrategia para resolver el problema consiste en investigar lasdimensiones de la base del arco y su altura. Al imprimir la foto delEstadio Nacional sobre un papel cuadriculado facilita la ubicacin devarios puntos sobre el arco de la cnica, y al remplazar las coordenadasde los puntos en la ecuacin general de una cnica:

2 2 0ax bxy cy dx ey h

y, de esta forma, calcular los coeficientes a, b, c, d, e, h para obtener laecuacin de la cnica (posiblemente una parbola o un arco dehiprbola).Otra estrategia consiste en utilizar un software de geometra dinmicacomo el Geogebra o el Cabri (entre otros).


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Aqu se utilizar el Cabri, y una foto del Estadio Nacional como imagen defondo, ubicando los ejes de coordenadas lo ms simtrico posible respecto alarco de la cnica.

Posteriormente colocamos puntos sobre el arco y construimos la cnica quepasa por ellos.

Finalmente se pide a Cabri que despliegue la ecuacin de la cnica construida


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En este caso la ecuacin de la cnica es una relacin entre las variablesx, y.0,57x20,08xy 0,97y2+ 0,31x + 8,42y 10 = 0. La presencia deltrmino xy sugiere que la cnica est girada (rotacin) en el sistema decoordenadas rectangulares dado.

El programa tambin dice que la cnica es una hiprbola (una de las dosramas), y no una parbola como podramos sospechar desde un inicio.Es claro que la foto no est bien de frente, lo que dificulta la ubicacinde los ejes de coordenadas y, como consecuencia, cambia la relacinentre las dos variables. Lo ideal ser conseguir una foto en que el arcoquede completamente de frente. En este caso la cnica podra seraproximada por una parbola.

Finalmente, es importante investigar las dimensiones de inters para elproblema: la base y la altura del arco de la cnica, para que loscoeficientes de la relacin tengan que ver con las dimensiones reales delarco.Este es un trabajo extra clase que puede interesar al estudiantado y queimplica la bsqueda de informacin en Internet o bien directamente conel personal que administra el Estadio Nacional.

La actividad puede ser modificada. Por ejemplo se puede pedir el

modelo para la cnica que aparece en las puertas del Palacio Gellconstruido entre 1886 y 1890. El Palacio fue diseado por el arquitectocataln Antoni Gaud, a encargo del industrial, poltico, cientfico yescritor de Catalua Eusebi Gell, quin financi varias de las obras msconocidas de Gaud.Fuente: Recuperado: (verhttp://es.barcelona.com/guia_ciudad/gaudi/palacio_gueell/)


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Ejercicios

Realice los ejercicios con algunos modelos

1. El costo en colones por alquilar semanas una casa de verano

est dado por . Si se alquila esa casa por dos

semanas, entonces determine el costo del alquiler.

2. La temperatura en grados Celsius, para una altitud en metros

sobre la superficie terrestre, est dada por . Cul es la

altitud, en metros, sobre la superficie terrestre, cuando se registra unatemperatura de ?

3. Las siguientes proposiciones corresponden al costo total , en

colones, de producir artculos a la semana, el cual est dado por

.

a. Si la fbrica no produce ningn artculo durante la semana,entonces el costo total es cero.

b.Si la produccin aumenta en unidades, entonces el costototal aumente en .

Explique cul de ellas es verdadera?

4. El precio inicial de un auto es de dlares y su valor en los

aos siguientes se aproxima mediante la frmula ,

donde es la cantidad de aos transcurridos , desde su

adquisicin, y el precio. Cuntos aos deben transcurrir para que el

valor del automvil sea dlares?


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5. La devaluacin en dlares a travs de cantidad de aos

despus del lanzamiento (sale del mercado por primera vez) de untelfono celular est dada por si el precio inicial del

telfono celular es de dlares, entonces, cuntos aos deben

transcurrir para que el telfono celular cueste dlares, menos delprecio inicial?

6. El salario mensual en colones de un comerciante por vender

cantidad de unidades de un producto, est dado por .

Si en el mes de octubre el salario del comerciante fue de y en el

mes de noviembre fue de , entonces, cuntas unidades vendi

ms en noviembre que en octubre?

7. Se tiene de alambre para hacer una cerca de una sola vuelta

de un jardn rectangular sin que sobre alambre. Si la cerca se debecolocar nicamente en tres lados porque el otro lado limita con unapared, entonces cul es el rea mxima que se puede cercar?

8. La efectividad de un comercial de televisin visto veces por

los televidentes est dada por . Cuntas veces debe

verlo un televidente para obtener la efectividad mxima

9. La ganancia en colones obtenida por la venta de borradores

est dada por donde es el precio en colones de cada

borrador. Si no se obtienen ganancias, entonces, cul es un posibleprecio de cada borrador vendido?


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10. La funcin se usa para determinar la cantidad de

de cierto medicamento en el flujo sanguneo del paciente horas

despus de su administracin. Si a un paciente se le inyecta dichomedicamento a las entonces, qu cantidad en de ese

medicamento tendr aproximadamente a las ?

11. Si una poblacin de bacterias comenz con y se duplica cada

tres horas, la cantidad de ejemplares despus de horas es

. Cundo habr ejemplares?

12. La escala de Richter que se usa para cuantificar la severidad de un

terremoto se define como

Donde es la intensidad de un terremoto, es una intensidad

estndar. Si un terremoto tiene veces la intensidad del terremoto

estndar, entonces, cul es la magnitud en la escala de Richter?

13. El nmero de clulas de cierto organismo se determina por

, donde es el nmero de gametos de dicha especie. Si el

organismo posee gametos, entonces, cuntas clulas posee?

14. El porcentaje de viviendas de Costa Rica que cuenta connicamente un servicio telefnico celular (aunque pueden tener telfonofijo) es dado en la tabla que sigue.


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Si t = 1 corresponde al ao 2003, algunos modelos matemticos para elporcentaje de viviendas de Costa Rica con slo un servicio de telfonocelular son:

1. Modelo Lineal

2. Modelo Cuadrtico

3. Modelo Cbico


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4. Modelo Logartmico

5. Modelo Potencia

Cul de los cinco modelos anteriores se ajusta mejor a los datos de la

tabla? Aproximadamente cuntas viviendas tendrn acceso a un nico

telfono celular en el ao 2015?


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Captulo 2Estadstica y

Probabilidad

Recuerde los conceptos bsicos que debe manejar del tema, vayasubrayando y resumiendo los mismos en el proceso de estudio

Conceptos clave

1. Recorrido

2. Recorridointercuartlico

3. Variancia

4. Desviacinestndar

5.Diagramas de

Cajas

6.Posicin Relativa

7.Variabilidadrelativa

8. Coeficiente

9.Variacin

Habilidades especficas

Al finalizar el captulo el estudiante deber estar en capacidad de:

Analizar la importancia del uso de medidas relativas de tendencia central y

variabilidad dentro delos anlisis comparativos de informacin.

Utilizar diferentes representaciones para analizar la posicin y variabilidad

de un conjunto de datos.

Utilizar diagramas de cajas.

Aplicar estandarizacin y el coeficiente de variacin para comparar la

posicin y variabilidad de dos o ms grupos de datos.


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Introduccin

Se espera que cada estudiante llegue a este ciclo con destrezas

elementales vinculadas con los procesos de recoleccin

y presentacin de datos, as como para el manejo de

situaciones aleatorias simples. Pero adems debe ser

capaz de reflexionar ms all de los datos, es decir,

comprender el trasfondo de la informacin que se comunica por medio

de los diferentes instrumentos de tratamiento de informacin que hasta

ahora se han estudiado.

En el presente ciclo se profundiza la utilizacin de medidas estadsticas

tanto de posicin como de variabilidad y se consideran problemas

relacionados con estas propiedades.

Se espera que las habilidades alcanzadas durante el proceso educativo

permitan generar una cultura estocstica que favorezca la capacidad de

anlisis sobre los datos que se generan en el entorno, y que le permitan

a cada estudiante adquirir la capacidad de respaldar sus decisiones

futuras con informacin slida que le ofrezca una mayor posibilidad de

xito.


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Situacin Problema

Actividad 1

Responda la siguiente pregunta relacionada con la actividad 5 (pgina263 antologa de 10)

Recordadatorio Actividad 5 pg. 263 antologa 10

Lea el siguiente reportaje.

EL CONSUMO DE AGUA POR PERSONA EN LOS PASES DESARROLLADOS

ALCANZA LOS 300 LITROS FRENTE LOS 80 QUE RECOMIENDA LA OMS

El consumo de agua por persona en los pasesdesarrollados puede alcanzar los 300 litros diarios, antelos 25 que se consumen en zonas subdesarrolladas y los80 litros que recomienda la Organizacin Mundial de laSalud (OMS) para las necesidades vitales e higienepersonal. No obstante, el consumo medio mundial delitros de agua por persona es de 1 800 litros diarios si sesuman las actividades en las que se utiliza el agua para laagricultura y ganadera un 75 por ciento, e industria un 8por ciento.Para concienciar a los ciudadanos de la necesidad deadoptar una serie de hbitos de ahorro de agua, el grupoEroski y la organizacin mundial de conservacinWWF/Adena han puesto en marcha la campaa El agua,

un recurso escaso, natural e imprescindible.

Eroski pretende sensibilizar a la poblacin hacia una

Tema 1 Diagramas de Cajas


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cultura respetuosa con el agua, posibilitando un ahorroefectivo de un recurso tan escaso a travs de acciones desensibilizacin para prevenir el derroche del agua ymostrando medidas que optimicen su aprovechamiento,con el propsito de que la poblacin tambin se implique

en el proyecto.

AHORRO DEL AGUA

Los estudios revelan que los seres humanos pueden llegara desperdiciar una ingente cantidad de agua sinconsumirla. Uno de los casos ms sangrantes es el de lasprdidas, un grifo que permita fugas de 10 gotas porminuto provoca un desperdicio de 2 000 litros de agua alao.

El uso diario de la ducha1, en vez del bao2, contribuyetambin de sobremanera a cimentar el ahorro de agua,pues pueden ahorrarse hasta 7300 litros de agua porpersona al ao. Adems, si la ducha cuenta coneconomizadores de agua, la cifra de litros ahorradosasciende hasta los 14 600. Otro de los casos en los quese pueden ofrecer datos es en el captulo de las cisternas,pues la instalacin de dispositivos de ahorro puedenlograr a que no se tiren 7 600 litros de agua por persona.

En la actualidad, 26 pases sufren la escasez de agua, perola previsin es que para el 2025 sean 41 los pases quepresenten un dficit crnico de agua, afectando a 2 800millones de personas, 35 por ciento de los 8 000 que paraentonces habitarn el planeta.

El agua es un recurso escaso, cada dos minutos muere unser humano por falta de agua potable, algo difcil decomprender desde el mundo civilizado, que obtiene ellquido elemento slo con abrir el grifo. Adems, 20 por

ciento de las especies de agua dulce corren peligro deextincin, vctimas de la contaminacin o de ladisminucin de reservas.

La sequa que afecta a Espaa no slo se debe a una

1Se entiende por uso de la ducha a tomar un bao con la regadera normal.

.


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desigual distribucin de precipitaciones entre la zonaatlntica y la mediterrnea, sino tambin al consumodesequilibrado que se realiza. Espaa es el tercer pas delmundo con mayor consumo por habitante, aunque en losltimos 75 aos se ha producido una reduccin del 30 por

ciento del caudal circulante en los ros, slo 5 por cientoes atribuible a causas naturales.

HBITOS DE CONSUMO RESPONSABLE

La representante de WWF/Adena, Luca De Stefano,seal que muchas veces no somos conscientes delimpacto medioambiental que tienen nuestras accionesdiarias. Por ello, se hace una serie de recomendaciones

que segn De Stefano deben convertirse en hbitos

diarios e interiorizarlos.Entre ellos destacan evitar verter productos de limpiezapor el desage, ya que dificultan la posterior depuracinde las aguas; en el jardn regar al amanecer o alanochecer, ya que es cuando el agua tarda ms enevaporarse, y escoger plantas autctonas que consumenmenos agua; cerrar el grifo al lavarse los dientes o losplatos; tirar de la cadena del inodoro slo cuando seanecesario y no utilizarlo como papelera; reparar los grifosque gotean con urgencia; ducharse en vez de baarse;lavar la fruta y la verdura en un cuenco; o utilizar el

lavavajillas y la lavadora slo a plena carga.Luca De Stefano indic que el agua tenemos que

utilizarla bien y slo si la necesitamos, e incidi en la

importancia de no abusar de jabones y detergentes, yaque estos contaminan el agua, y aunque pase por ladepuradora nunca la devuelve a los ros en las mismas

condiciones en que salieron de ellos.

De Stefano concluy recordando que el agua viene de

ros y vuelve a ellos, son arterias de vida en las que viven

muchos organismos que participan en una cadena de vidaque tenemos que conservar y transmitir a generacionesfuturas.

Fuente: http://www.edusalud.org.mx/descargas/unidad04/tema2/ahorrar_agua/


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En relacin al texto anterior: Cmo interpreta usted la diferencia entre el mximo y el

mnimo?

Cmo interpreta usted la diferencia entre el tercer y el

primer cuartil?


En realidad esta actividad es una continuacin de la actividad 5 (pgina263 antologa de Dcimo Ao) que permite analizar algunos aspectos

vinculados con la relacin entre algunas medidas estadsticas.1) Al analizar la diferencia entre el mximo y el mnimo de lasmediciones en el consumo de agua de las 26 observadas, se tienenumricamente que el valor sera 5,01 0,69 = 4,3

Este valor de 4,32 hectolitros representa la mayor diferencia en elconsumo de agua diario entre dos personas cualesquiera de las 26 queparticiparon en el estudio. Tambin se puede interpretar sealando quelas diferencias en el consumo diario de agua entre las 26 personas queparticiparon en el estudio se dispensaron en un rango de 4,32

hectolitros.

2) Por otro lado, el valor numrico de la diferencia entre el tercer y elprimer cuartil viene dada por: 3,280 1,015 = 2,265

El valor de 2,265 hectolitros representa la diferencia mxima en 50% delos valores centrales en el consumo de agua. Tambin se puede indicarque 50% de las mediciones centrales en el consumo de agua de las 26personas que participaron en el estudio se dispersan en un rango de2,265 hectolitros.


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La Clave

Relacin entre los valores: mximo, mnimo y cuartiles:el diagrama de cajas

La actividad 1 muestra importantes interpretaciones vinculadas con losvalores que toman estas medidas, por esta razn se ha diseado undiagrama que permite representar estas relaciones grficamente y almismo tiempo visualizar el comportamiento de la distribucin de losdatos. Este diagrama se denomina diagrama de cajasy se esquematizaa continuacin:

Observe que por medio de este diagrama se pueden identificar muybien las caractersticas de la distribucin de los datos en cuanto aposicin se refiere; pero adems, permite evidenciar el patrn devariabilidad de los datos y la forma de la distribucin, por ejemplo:el diagrama anterior corresponde a una distribucin simtrica.

Seguidamente se plantea el diagrama de cajas para la distribucindel consumo de agua cuyos datos se han venido utilizandopreviamente.


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Observe que muchos anlisis que se han efectuado previamente puedenrealizarse a partir de este diagrama. Por ejemplo, la poca distancia entreel mnimo y la mediana, aproximadamente de un hectolitro, indicaclaramente que la distribucin presenta una asimetra positiva (tienesesgo hacia la derecha). Del mismo modo, podran realizarse otrasinterpretaciones que se han venido discutiendo previame

Resumen Matematica Bachillerato Costa Rica 11mo

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