Resumen Lógica

PARTICULAR UNIVERSIDAD

Lgica

Proposicin

Es toda oracin respecto de la cual se puede decir si es verdadero o falso.

Denicin 1 (Proposicin).

Para indicar si una proposicin p es verdadera o falsa lo indicamos de la siguiente manera.v(p) = V o bien v(p) = F u otra forma es p es V o p es F

Conectivos Lgicos

Nombre Conectivo Smbolo

Negacin ,Conjuncin Disyuncin Implicacin Equivalencia o Doble Implicacin

Tablas de Verdad

Conjuncin

p q p qV V V

V F F

F V F

F F F

Disyuncin

p q p qV V V

V F V

F V V

F F F

Negacin

p pV F

F V

Implicacin

p q p qV V V

V F F

F V V

F F V

Equivalencia

p q p qV V V

V F F

F V F

F F V

Diremos que una proposicin es una tautologa, si independientemente de los valores de

verdad que posean las proposiciones intervinientes, la proposicin siempre es verdadera.

Denicin 2 (Tautologa).

Diremos que una proposicin es una contradiccin, si independientemente de los valores

de verdad que posean las proposiciones intervinientes, la proposicin siempre es falsa.

Denicin 3 (Contradiccin).

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Aquellas proposiciones compuestas cuya tabla de valores de verdad dan verdaderos y

falsos se denominan contingencias

Denicin 4 (Contingencia).

La Implicacin

p qSe lee p implica q , donde, p es el antecendente y q el consecuente. Son equivalentes las siguientesformas de escribir una implicacin

1. Si p entonces q

2. p es condicin suciente para q

3. p slo si q

4. q si p

5. q es condicin necesaria para p

Implicaciones asociadas

Directa p q Contrarrecproca q pRecproca q p Contraria q p+

Se dice que las proposiciones p y q son lgicamente equivalentes si p q es unatautologa. La notacin p q denota que p y q son lgicamente equivalente.

Denicin 5 (Proposiciones equivalentes).

Nota : El smbolo no es un conectivo lgico, puesto que p q no es una frmula, sino laarmacin de que p q es una tautologa. El smbolo se usa en ocasiones en lugar de para denotar la equivalencia lgica.

Aclaraciones y deniciones importantes

1. Existe al menos un x: Asegura la existencia de un x, puede haber ms (2 , 3, etc).

2. A lo sumo 1 x: Quiere decir que puede no tener ningn x o tener un x, pero no ms deuno.

P (x) es una funcin proposicional en la variable x, si y slo si, existe al menos unasustitucin de x, por una constante que la transforma en proposicin, es decir, se puedeestablecer su valor de verdad en esas constantes.

Denicin 6 (Funcin proposicional).

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TABLAS DE EQUIVALENCIAS LGICAS

Equivalencia Nombre

p V pLeyes de identidad

p F pp V VLeyes de dominacin

p F Fp p pLeyes idempotentes

p p p ( p) p Ley de la doble negacinp q q pLeyes conmutativas

p q q p(p q) r p (q r)Leyes asociativas

(p q) r p (q r)p (q r) (p q) (p r)Leyes distributivas

p (q r) (p q) (p r) (p q) p qLeyes de De Morgan (p q) p q

p (p q) pLeyes de absorcin

p (p q) pp p VLeyes de negacin

p p FEquivalencias lgicas relacionadas con la implicacin

p q p qequivalencia de la implicacin

p q q pp q p q

p q (p q)

(p q) p q

(p q) (p r) p (q r)

(p r) (q r) (p q) r

(p q) (p r) p (q r)

(p r) (q r) (p q) r

(p q) (p q) (q p)

(p q) ( p q)

(p q) (p q) ( p q)

(p q) (p q)

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MTODOS DE DEMOSTRACIN

Mtodo Directo: H T Mtodos Indirectos:Reduccin al Absurdo: T H AbsContrarrecproca: T H

Tcnicas para demostrar

Tcnica de de-

mostracin

Cundo usarla?

Qu

suponer?

Qu

concluir?

Cmo demostrar?

Directo

Como primer in-tento

Cuando en H setiene ms informa-

cin que en T

H TTrabaje progresiva-

mente partiendo de H

tratando de obtener T

Contrarrecproco

Cuando T contienela palabra NO

Cuando en T setiene ms informa-

cin que en H

T HTrabaje progresiva-

mente partiendo de

T tratando deobtener H

Absurdo

Cuando T contienela palabra NO

Cuando en T setiene ms informa-

cin que en H

H T

Un ab-

surdo o

una con-

tradic-

cin

Partiendo de H Tse obtiene un absurdo

o una contradiccin.

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Cuanticadores

Cuanticador Smbolo

Se lee

Universal x : P (x)Para todo x se verica la propiedad P (x)

Existencial x : P (x)Existe al menos un x en el dominio de inter-

pretacin tal que verique P (x)

Valor de verdad para las proposiciones con cuanticador universal

1. x : P (x) ser verdadera, cuando la propiedad P (x) se verica para todos los x que estnen el dominio de interpretacin.

2. x : P (x) ser falsa, si existe al menos un elemento x en el dominio de interpretacin queno verica la propiedad.

Valor de verdad para las proposiciones con cuanticador existencial

1. x : P (x) ser verdadera, cuando existe al menos un elemento x en el dominio deinterpretacin tal que verique P (x)

2. x : P (x) ser falsa, cuando ninguno de los elementos x del dominio de interpretacinverique la propiedad.

Negacin de los cuanticadores

Cuanticador

Negacin

x : P (x) [x : P (x)] x : P (x)

x : P (x) [x : P (x)] x : P (x)

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