Resumen FINAL Matematica II ARQ

FINAL MATEMTICA CATEDRA DOPAZO

FINAL MATEMATICA CATEDRA DOPAZO MATEO / GAZZO

GEOMETRA DE LAS FORMAS

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas

Para ordenar un espacio determinado se deber establecer donde se encuentra cada uno de los puntos de ese espacio. Por esto se crearon los ejes de coordenadas donde puntos, ejes y planos son elementos fijos y a los cuales referimos el resto del espacio.

Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares donde el origen es el punto de interseccin entre ellas.

Las proyecciones determinan las distancias al origen y constituyen un par ordenado

(x ; y).

Coordenadas polares

En el espacio bidimensional tomamos un eje polar fijando en l un origen, un sentido positivo y una escala. Cualquier punto se lo puede determinar por su distancia al origen y el ngulo que se forma con el eje polar.

Vectores

Un vector es un segmento orientado, dentro del segmento consideramos a uno de los puntos como origen y al otro como extremo, es decir, hay un orden entre ellos. Un vector se define por tres elementos:

Direccin: Dada por la recta que lo contiene.

Sentido: Fija el orden en que hayamos elegido los puntos extremos.

Modulo: longitud del segmento.

Los vectores representan fuerzas, velocidades o aceleraciones; se las llama magnitudes vectoriales.

Los vectores pueden ser:

Iguales: Cuando tiene mismo sentido, direccin y mismo mdulo.

Opuestos: Tienen igual mdulo y direccin, pero sentido contrario.

Componentes del vector:

Proyecciones del vector sobre los ejes. (x ; y ; z). Es equivalente representar un punto por sus coordenadas o por su vector posicin.

Diferencia de vectores: AB = OB OA = (xb ; yb) (xa ; ya) = (xb xa ; yb - ya)

Sumatoria de vectores: A = (ax ; ay ; az) y B = (bx ; by ; bz)

A + B = (ax + bx ; ay + by ; az + bz)

Multiplicar por un numero real: k. A = (kax ; kay ; kaz)

Ecuaciones de una recta en un planoEcuacin de la recta que pasa por dos puntos (aX ; aY) y (bX ; bY) la ecuacin es:

1 y aY = bY aY x aX bX aX

Si en 1 hacemos multiplicacin cruzada, se obtiene otra equivalente, si la igualamos a t que es un parmetro obtenemos:

2 y aY = x aX = t

bY aY bX aX Ecuacin simtrica aX bX ; aY bY ; aZ bZY de la ecuacin 2 se obtiene:

3 x aX = t (bX aX)

y aY = t (bY aY)

Ecuacin paramtrica

Si se toman esas diferencias como parte de un vector:

(x aX ; y aY) = (t (bX aX) ; t (bY ; aY))

Que es lo mismo que:

(x ; y) (aX ; aY) = (t (bX ; bY) (aX ; aY))

----- -------- --------- ---------

r a b a

Entonces queda:

_ _ _ _ _ _ _ _

r a = t (b - a) o r = a + t (b - a)

Ecuacin vectorial

Espacio tridimensionalDistancia entre dos puntos A = (aX ; aY ; aZ) y B = (bX ; bY ; bZ):

D (AB)= | (bX aX)2 + (bY aY)2 + (bZ aZ)2 |

Nmeros directores de la recta AB a cualquier terna (m,n,p) que cumple con:

m = n = p

bX aX bY aY bZ aZVectores tridimensionalesTeniendo un vector a = (aX ; aY ; aZ) definimos:

1. Igualdad entre vectores (aX ; aY ; aZ) = (bX ; bY ; bZ)

aX = bX ; aY = bY ; aZ = bZ2. Suma de vectores a + b = (aX + bX ; aY + bY ; aZ + bZ)

3. Producto de un vector por un escalar k (aX ; aY ; aZ) = (kaX ; kaY ; kaZ)

Versor: es un vector de modulo uno (i ; j ; k) i = (1;0;0) j = (0;1;0) k = (0;0;1)

Ej.: Vector r = (x;y;z) = r = xi + yj + zk (Ecuacin cannica)

Modulo del vector |a| = aX2 + aY2 + aZ2 El modulo de valor positivo determina la longitud del segmento.

Ecuacin de la recta en el espacio

En el espacio tridimensional la ecuacin vectorial de una recta r que pasa por un punto a, representada por su vector posicin a = (ax ; ay ; az) y tiene direccin c es:

r = a + t.c (Ecuacin vectorial)

r = (x ; y ; z) a = (aX ; aY ; aZ) c = (bX aX ; bY aY ; bZ aZ)

Por lo tanto obtenemos la ecuacin parametrica:

x = aX + t . cXy = aY + t . cYz = aZ + t . cZPor eliminacin del parmetro t se obtiene la ecuacin simtrica.

x aX y aY z aZ cX cY cZSi llegara a faltar cX; cY o cZ eso indica que el plano esta contenido en los ejes restantes.

Dado un vector a = (aX ; aY ; aZ) sus cosenos directores resultan:

cos = aX cos = aY cos = aZ |a| |a| |a|

cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas:

Condicin de paralelismo: v = k . w donde k es un numero real cualquiera, es decir que los vectores asociados tiene componentes proporcionales.

Condicin de Perpendicularidad: exige que los vectores asociados tengan productor escalar 0.

v . w = 0

Alabeadas: Dos rectas son alabeadas cuando no son ni perpendiculares ni paralelas, no tiene ningn punto en comn.

Producto EscalarSean los vectores a = (aX ; aY ; aZ) y b = (bX ; bY ; bZ) se define el productor escalar a.b como a . b = |a| . |b| . cos donde es el ngulo formado por los vectores.

El resultado del producto escalar es un numero que se interpreta como el producto de la longitud de uno de los vectores por la proyeccin del otro sobre el.

El producto escalar cumple las siguientes propiedades:

1. Propiedad conmutativa: a . b = b . a

2. Propiedad distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c

3. k ( a . b) = (ka.b)

4. a . a = |a|25. a. b = |a| . |b| . cos

Ejemplo:

u = 2i j k v = 3i + 2j + 8k w = -4y +2j 2k

(u + v) . w

Ecuacin del plano

Sea un plano que pase por el punto P y sea normal a OP = p. Sea Q un punto genrico de y OQ = r, siendo r = (x ; y ; z). Como Q pertenece a , entonces PQ = (r - p) pertenece a , entonces p | (r - p) condicin que nos permite escribir -1- (r - p) . p = 0

Si a 1 se le hace distributiva se llega a la ecuacin vectorial del plano:

r . uP = |p|

donde uP = p = cos i + cos j + cos k es el versor de la direccin normal p al |p| plano y son sus ngulos directores.

Entonces como r . uP queda expresada por r . uP = x cos + y cos + z cos se llega a la ecuacin general del plano-2- A (x - x0) + B (y y0) + C (z z0) (Ecuacin cartesiana del plano)

Si a 2 lo resolvemos llagamos a:

Ax + By + Cz + D = 0 (Ecuacin general del plano)Ejemplo: Dado el plano de ecuacin: x + 2y + 2z -6 = 0. Hacer un grafico aproximado que muestre su posicin en el espacio.

x + 2y + 2z -6 = 0

x + 2y + 2z = 6

x + 2y + 2z = 66 6 6 6

x + y + z = 1

6 3 3

Interseccin de planosSea el plano Ax + By + Cz + D = 0. Sus intersecciones con cada uno de los planos coordenados son las llamadas trazas del plano. Sus ecuacin esta dadas por la solucin de los sistemas formados por las ecuacin del plano y las ecuacin de cada plano coordenado.

Traza sobre plano (x ; y) = Ax + By + D = 0 ; z = 0 Traza sobre plano (x ; z) = Ax + Cz + D = 0 ; y = 0 Traza sobre plano (y ; z) = By + Cz + D = 0 ; x = 0La interseccin de dos planos, si existe, es una recta cuyas ecuaciones se obtienen eliminando sucesivamente x e y, para obtener en cada caso las funciones lineales que son las ecuaciones de los planos proyectantes de la interseccin.

(En el primer plano se despeja x y se introduce su resultado en el otro plano. Luego de obtenido y en funcin de z se introduce en x para obtener x en funcin de z. Quedando as la recta x = bla y = bla z = z)Paralelismo y perpendicularidad entre planos:

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.

1 // 2 si: A1 = B1 = C1 A2 B2 C2Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es igual a cero.

1 | 2 si: A1 . A2 + B1. B2 + C1 . C2 = 0

Ax + By + Cz + D = 0Donde A, B, C son las coordenadas del vector normal.

Posiciones relativas de rectas y planos

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

Condicin de paralelismo: Se utiliza la recta y la normal al plano (recta). Se usa as la condicin v . w = 0 (producto escalar).

Condicin de perpendicularidad: La recta ser perpendicular al plano si es paralela a la normal (plano). Se utiliza v = k . w.

Trabajo

Para fuerzas constantes y que tengan la misma direccin. Se utilizan vectores si se dan. Sino como esta.

T = f . d

T = f . d . cos

CURVAS CONICAS

Las curvas cnicas pueden definirse como lugar geomtrico de un conjunto de puntos tales que la distancia de cada punto del conjunto a un cierto punto fijo (foco) esta en relacin constante con su distancia a una recta fija (directriz).

La relacin de las distancias se denomina excentricidad.

Todas las curvas cnicas nacen del doble cono generado por una recta (generatriz) alrededor de un eje, describiendo una circunferencia (directriz) y mantenindose siempre pasante por un punto del eje (vrtice del cono).

Utilizando planos de corte se obtiene distintas curvas cnicas: elipse, parbola, hiprbola, circunferencia (caso especial de la elipse).

Ejemplos en el diseo industrial: elipse (bandeja; chapas de casas) ; circunferencias (ruedas de bicicletas) ; parbola (reja arcada) ; hiprbola

Excentricidad:La excentricidad de una cnica es la relacin entre las distancias de un punto P al foco y de P a la directriz.

Parbola: e = 1

Elipse: 1 > e > 0 (cuanto mas prxima esta la e a 0, mas redondeada es la elipse)

Circunferencia: e = 0

Hiprbola: e > 1 (cuanto menor sea la e, mas cerradas sern las dos ramas de la hiprbola)

ElipseEs el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es constante. Son curvas cerradas, el plano corta a todas las generatrices.

C es la distancia entre el foco y el centro. Los dos focos estn ubicados en el dimetro mayor. | a | son las coordenadas en x del vrtice y | b | las coordenadas en y.

Esta curva es simtrica respecto de ambos ejes. Si se mantiene el valor de a fijo y se varia la distancia focal c, las elipses cambian de forma. A medida que c crece las elipses se van achatando. Se llama excentricidad al cociente entre el valor c y el de a.

e = c a 1 > e > 0

Deduccin de la ecuacin:

Siendo los F1 = (-c;0) y F2 = (c;0) y siendo 2a la suma de las distancias PF1 Y PF2, las coordenadas del punto P = (x;y) de la elipse satisfacen la ecuacin:

(x + c)2 + y2 + (x - c)2 + y2 = 2a

Desarrollando esta expresin resulta la ecuacin de la elipse:

x2 + y2 = 1 donde b2 = a2 c2 a2 b2Ecuacin de la elipse:

(x - h)2 + (y - k)2 = 1 centro (h ; k)

a2 b2En ambos casos la suma de las distancias de cualquier punto P de la elipse a cada uno de los focos es igual al dimetro mayor. Pf1 + Pf2 = 2 . (dimetro mayor, a o b segn corresponda).

El centro de la elipse son las coordenadas (h ; k) siendo h en x y k en y.

Existen dos tipos de elipses:

Elipse horizontalUna de sus caractersticas es que a > b.

Ecuacin de los focos: c2 = a2 b2

Coordenadas de los focos: f1 = (h c ; k) f2 = (h + c ; k)

Elipse vertical

Una de sus caractersticas es que a < b

Ecuacin de los focos: c2 = b2 a2

Coordenada de los focos: f1 = (h ; k - c) f2 = (h; k + c)

Circunferencia

Es un caso especial de la elipse donde a = b y su excentricidad es 0.

Ecuacin: (x - h)2 (y - k)2 = r2Parbola

Es el conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de una recta (directriz). La parbola es una curva abierta de una sola rama, el plano es paralelo a una generatriz.

La parbola tendr sus ramas en el eje que no esta al cuadrado.

Las coordenadas de vrtice son : (h ; k).

P es la distancia del foco a la directriz.

Deduccin de la ecuacin:

Siendo el F = (P/2;0) y la recta directriz x = -P/2, entonces DR = PF; por lo tanto, las coordenadas del punto P = (x;y) de la parbola satisfacen la ecuacin:

x + P/2 = (P/2 - x)2 + y2Desarrollando esta expresin resulta la ecuacin de la parbola:

y2 = 2p x Existen dos tipos:

Si la parbola se desarrolla en el eje x la ecuacin es:

(y k)2 = 2p (x h)

Ecuaciones de los focos:

yF = k

xF = h + p 2

Ecuacin de la directriz:

x = h p 2

Si p es + la parbola es C.

Si p es la parbola es D.

Si la parbola se desarrolla en el eje y la ecuacin es:

(x h)2 = 2p (y k)

Ecuaciones de los focos:

xF = h

yF = k + p 2

Ecuacin de la directriz:

y = k p 2

Si p es + la parbola es U

Si p es la parbola es Hiprbola

Es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancia a los focos es constante. Es una curva abierta de dos ramas, el plano es paralelo a dos generatrices.

La curva es simtrica respecto de ambos ejes y no toca al eje que esta restando.

El eje que corta la hiprbola es el eje real.

El centro de la hiprbola son las coordenadas (h ; k) siendo h en x y k en y.

C es la distancia entre el foco y el centro. A es la coordenada en x del vrtice y b la coordenada en y.

Asntotas:

y = - b . x y = b . x

a a

En ambos casos se verifica que:

c2 = a2 + b2Deduccin de la ecuacin:

Siendo los F1 = (-c;0) y F2 = (c;0), debe ser PF2 - PF1 = 2a. Dado el punto P perteneciente a la hiprbola, sus coordenadas satisfacen la ecuacin:

(x + c)2 + y2 - (x - c)2 + y2 = 2a

Desarrollando esta expresin resulta la ecuacin de la hiprbola:

x2 - y2 = 1 donde b2 = c2 a2 a2 b2Puede ser de dos tipos:

Hiprbola que corta el eje xEcuacin general:

(x - h)2 - (y - k)2 = 1

a2 b2Ecuacin de los vrtices:

v1 = (h a ; k) v2 = (h + a ; k)

Coordenadas de los focos:

f1 = (h c ; k) f2 = (h + c ; k)

Excentricidad: e > 1

e = c a

Hiprbola que corta el eje yEcuacin general:

(y - k)2 - (x - h)2 = 1

b2 a2Ecuacin de los vrtices:

v1 = (h ; k - b) v2 = (h ; k + b)

Coordenadas de los focos:

f1 = (h; k - c) f2 = (h ; k + c)

Excentricidad: e > 1

e = c b

CUADRICAS

Definicin: Son superficies en el espacio, generadas por curvas cnicas. Pueden ser regladas o de revolucin.

Superficies cilndricas y de revolucin:

Se llama superficie cilndrica, a la superficie formada por el conjunto de todas las rectas que cortan una curva plana y son paralelas a una recta fija que no esta en el plano de la curva. La curva se llama directriz y las rectas generatrices.

Se llama superficie reglada a la superficie que cumple con la condicin de que por cada una de sus puntos pasa al menos una recta, llamada generatriz rectilnea, que tiene en comn con la superficie un segmento que contiene dicho punto. Ejemplo: superficies cilndricas y cnicas.

Se llama superficie de revolucin a la superficie que se obtiene rotando una curva plana en torno a un eje. Se dice que la curva genera la superficie.

Teniendo una curva generatriz (C) definida sobre el plano (y , z) y siendo z el eje de revolucin, un punto cualquiera PO describir una circunferencia de centro M y de radio MPO = MP (siendo P un punto de la superficie de revolucin).

Teniendo la ecuacin de la curva F(y,z) = 0 entonces tenemos que

y = x2 + y2La variable de revolucin queda igual y la otra variable presente la reemplazo por la ecuacin, entonces se incluye la variable no presente hasta ahora.

Ejemplo:

x2 + 4z2 = 16 gira en el eje x

Entonces:

z = z2 + y2Reemplazando esta ecuacin en la original tengo:

x2 + 4( z2 + y2)2 = 16

x2 + 4y2 + 4z2 = 16

Superficie esfrica

La superficie esfrica es generada por la rotacin de una circunferencia alrededor de uno de sus dimetros. Como lugar geomtrico, la esfera es el conjunto de puntos que equidistan de su centro (C= (x;y;z)).

Para cualquiera de estos puntos se deber satisfacer la ecuacin:

(x xO)2 + (y yO)2 + (z zO)2 = r2

Si se desarrolla esta ecuacin:

x2 +y2 +z2+ Dx + Ey + Fz + G = 0

Cuando el centro coincide con el origen de coordenadas: C = (0,0,0) entonces xO= yO= zO = 0 y en consecuencia la ecuacin es:

x2 +y2 +z2 = r2

La traza sobre el plano (xy)

Plano de ecuacin z=0

Es una circunferencia: (x xO)2 + (y yO)2 = r2La traza sobre el plano (xz)

Plano de ecuacin y=0

Es una circunferencia: (x xO)2 + (z zO)2 = r2La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuacin x=0

Es una circunferencia: (y yO)2 + (z zO)2 = r2Interseccin con los ejes coordenados

Interseccin eje x: y = 0 z = 0 (+x;0;0)

Interseccin eje y: x = 0 z = 0 (0;+y;0)

Interseccin eje z: x = 0 y = 0 (0;0;+z)

Ecuaciones de las cudricas

Se trata de polinomios de segundo grado y su diferencia con las cnicas es que estas son funciones de dos variables (x;y) mientras que las cudricas son funciones de tres variables (x;y;z).

Elipsoides

Siendo a, b, c positivos; la longitud de los semiejes del elipsoide en la direccin de los ejes x,y,z respectivamente se define:

x2 + y2 + z2 = 1 (ecuacin cannica)

a2 b2 c2Los elipsoides pueden ser considerados como generados por una elipse variable que se traslada paralela al plano (x,y) [Reglada]



Es una elipse: x2 + y2 = 1

a2 b2

La traza sobre el plano (xz)


Es una elipse: x2 + z2 = 1

a2 c2La traza sobre el plano (yz)


Es una elipse: y2 + z2 = 1

b2 c2Interseccin con los ejes coordenados

Interseccin eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0)

Interseccin eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0)

Interseccin eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)

Para que exista interseccin la distancia entre elipse y elipse debe ser mayor o igual que cero.

Como caso particular los elipsoides pueden ser de revolucin. Si lo fueran alrededor del eje y, los semiejes a y c serian iguales, ya que la traza con el plano (xz) seria una circunferencia.

La ecuacin:


a2 b2 c2 a = c

Si tuviera los tres semiejes iguales (a=b=c), la ecuacin seria:


a2 b2 c2 a = c = b

Osea: x2 + y2 + z2 = a2 entonces seria una esfera de r = a

Hiperboloides

Hiperboloide de una hoja: Siendo a, b, c positivos se define:

x2 + y2 - z2 = 1 (ecuacin cannica)

a2 b2 c2



Es un elipse (las dos variables son positivas): x2 + y2 = 1

a2 b2



Es una hiprbola (variable de distinto signo): x2 - z2 = 1

a2 c2

La traza sobre el plano (yz)

Plano de ecuacin x = 0

Es una hiprbolas (variables de distinto signos): y2 - z2 = 1

b2 c2

Interseccin con los ejes coordenados



Interseccin eje z: No hay interseccin.

El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada pero cuando a = b, el hiperboloide ser de revolucin alrededor del eje z y su ecuacin ser:

x2 + y2 - z2 = 1 (ecuacin cannica)

a2 b2 c2 a = b

Hiperboloide de dos hojas: Siendo a, b, c positivos se define:

- x2 - y2 + z2 = 1 (ecuacin cannica)

a2 b2 c2



No existe esta traza. - x2 - y2 = 1 (algo negativo menos algo no puede dar +)

a2 b2



Es una hiprbola: - x2 + z2 = 1

a2 c2



Es una hiprbolas: - y2 + z2 = 1

b2 c2


Interseccin eje x: No existe

Interseccin eje y: No existe


En el caso en que a = b el hiperboloide es de revolucin alrededor del eje z

- x2 - y2 + z2 = 1 (ecuacin cannica)

a2 b2 c2 a = b



Son elipses: - x2 - y2 = 1

a2 b2



Son hiprbolas: - x2 + z2 = 1

a2 c2



Son hiprbolas: - y2 + z2 = 1

b2 c2


Interseccin eje x: No existe



Paraboloides

Paraboloide elptico: Siendo a, b, c positivos se define:

x2 + y2 = c.z (ecuacin cannica)

a2 b2 siendo c>0



Es un punto (origen): x2 + y2 = 0

a2 b2 La traza sobre el plano (xz)


Es una parbola: x2 = c.z

a2



Es una parbola: y2 = c.z

b2





En el caso en que a = b, el paraboloide ser de revolucin alrededor del eje z:

x2 + y2 = z (ecuacin cannica)

a2 b2 c a = bParaboloide hiperblico: Siendo a, b, c positivos se define:

- x2 + y2 = c.z (ecuacin cannica)

a2 b2 siendo c>0



Son dos rectas (asintotas): -x2 + y2 = 0 (se distribuye)

a2 b2



Es una parbola de eje z: -x2 = c.z

a2



Es una parbola de eje z: y2 = c.z

b2


Interseccin eje x: y = 0 z = 0

Interseccin eje y: x = 0 z = 0

Interseccin eje z: x = 0 y = 0

El paraboloide hiperblico no puede ser de revolucin, ya que ninguna de sus secciones planas es elptica, pero es una superficie reglada, pues por cada uno de sus puntos para un generatriz que es asntota del sistema de hiprbolas.

Cono cudrico: Siendo a, b, c positivos se define:

x2 + y2 = z2 (ecuacin cannica)

a2 b2 c2



Es un punto (centro 0,0,0) x2 + y2 = 0

a2 b2



Son dos rectas: x2 = z2 (de distribuye y entonces (x + z). (x - z) = 0)

a2 c2 a c a c



Son dos rectas: y2 = z2 (de distribuye y entonces (y + z). (y - z) = 0)

b2 c2 b c b c




Interseccin eje z: x = 0 y = 0

Cilindros cudricos

Se llama superficie cilndrica, a la superficie formada por el conjunto de todas las rectas que cortan una curva plana y son paralelas a una recta fija que no esta en el plano de la curva. La curva se llama directriz y las rectas generatrices.

La superficie engendrada por una elipse, hiprbola o parbola que se mueve paralelamente a si misma, manteniendo centro o vrtice sobre una recta perpendicular a su plano es un cilindro.

Si son de generatrices paralelas al eje z, perpendiculares al plano (x;y) tiene ecuaciones para cualquier valor de z.

Cilindro elptico: x2 + y2 = 1

a2 b2



Es una elipse: x2 + y2 = 1

a2 b2



Son dos rectas: x2 = 1

a2



Son dos rectas: y2 = 1

b2




Interseccin eje z: No existe

Cilindro parablico: x2 = 2pz o y2 = 2px



Es el eje y (apoyan todas las parbolas)



Es una parbola



Es el eje y.


Interseccin eje x: x = 0

Interseccin eje y: y = 0

Interseccin eje z: z = 0

Cilindro hiperblico: x2 - y2 = 1

a2 b2



Es una hiprbola: x2 - y2 = 1

a2 b2



Es un punto. x2 = 1

a2



No existe




Interseccin eje z: No existe

HELICE Y HELICOIDE

Hlice cilndrica circular:

La hlice circular, es la curva trazada por un punto P, que se mueve con movimiento circular uniforme. Este consiste en una rotacin alrededor del eje del cilindro y una traslacin en la direccin z.

Un punto sobre la circunferencia (centro O y radio R) gira alrededor del centro con una velocidad angular

= = cte

t

A la vez, el centro se desplaza por el eje z a una velocidad de traslacin constante.

Si R es el radio del cilindro sostn entonces:

x = R. cos

y = R. sen

z = k . t

P es el paso de la hlice y es la distancia entre dos intersecciones consecutivas de la hlice.

P = k . 2

Helicoide recto

Un helicoide recto es el lugar geomtrico de las rectas paralelas al plano de la base de una hlice circular, cortan con un eje.

Si la hlice circular es:

x = R. cos

y = R. sen

z = k . t

Una recta paralela al plano es una generatriz del helicoide si corta al eje z y a la hlice.

La ecuacin del helicoide es:

Z = k arc tg y donde y = tg t z = k . t

x x

GRAFOS

Definicin de grafo

Se llama grafo a una terna G = (V , A , ) donde V y A son conjuntos finitos y es una aplicacin que hace corresponder a cada elemento de A un par de elementos de V.

Los elementos de V son los vrtices de G, y los elementos de A son las aristas de G, y es la aplicacin de incidencia que asocia a cada arista sus dos vrtices.

La representacin grafica de un grafo se efecta asociando a cada vrtice un punto del plano de dibujo y a cada arista una lnea que une los puntos asociados con los vrtices.

El grado de un vrtice es el numero de aristas que en el inciden. Un vrtice se dice aislado si su grado es nulo y pendiente si su grado es 1.

Dos o mas aristas se llaman mltiples si tienen por extremos los mismos vrtices.

Un lazo es una arista cuyos dos extremos coinciden en un vrtice.

Un vrtice y una arista son incidentes si el vrtice es extremo de la arista.

Dos vrtices son adyacentes si son extremos de la misma arista.

Dos aristas son adyacentes si tienen un vrtice en comn.

Dos grafos P y P son isomorfos si tienen la misma cantidad de vrtices y aristas y se mantiene las relaciones de adyacencia e incidencia entre ambos.

Conceptos no orientados Arista: Existe una arista entre dos vrtices x e y distintos del grafo si existe un arco que va de x a y o de y a x.

Cadena: Sucesin de aristas adyacentes.

Ciclo: Cadena finita en la que el vrtice inicial coincide con el final.

Tipos de grafos

Grafo vaco: Es todo grafo que no posee aristas, aunque pueda contener vrtices.

Grafo sencillo: Es todo grafo que no tiene ni lazos ni aristas mltiples.

Grafo k regular: Es en el que todos los vrtices tiene igual grado k.

Grafo completo de n vrtices: Es todo grafo sencillo en el que todo par de vrtices determina una arista. Todos sus vrtices tienen grado n 1 y el numero de aristas es n n-1

2

Grafo complemento de G (CG): Es el que tiene los mismo vrtices que G y cuyas aristas no pertenecen a G.

Subgrafo: Es cuando los vrtices y las aristas estn incluidos en los vrtices y las aristas de G. Pueden tomarse respecto de un vrtice (se anula el vrtice y todas las aristas que en el inciden) o bien respecto de una arista (se anula la arista).

Grafo euleriano: Es cuando todas sus aristas pueden recorrerse en un solo trazo sin pasar dos veces por alguna de ellas y volver al punto inicial. Para que un grafo sea euleriano, solo puede tener como mximo dos vrtices a los que concurra un nmero impar de aristas. En todos los dems vrtices debe incidir un nmero par de aristas.

Grafo euleriano restringido: es cuando se pueden recorrer todos los vrtices sin repetir ninguno y no vuelvo al vrtice inicial.

Grafo hamiltoniano: Es cuando existe un recorrido que pasa por todos los vrtices una sola vez, sin necesidad de recorrer todas las aristas.

Grafo p coloreado: Son grafos de V vrtices y p subconjuntos de pares no ordenados de elementos de V, determinados por otras tantas aplicaciones . Un grafo p coloreado posee aristas de p clases distintas que se colorean en forma diferente.

Grafo rotulado: Es el que tiene sus vrtices individualizados por nmeros o letras.

Especificacin y representacin de grafos.

Enumerando sus vrtices y sus aristas, agregando un listado de las relaciones entre esas partes.

Mediante matrices. Las matrices son arreglos rectangulares de nmeros cuya dimensin esta dada por el numero de filas multiplicado por el numero de columnas.

La matriz de incidencia tiene n filas y k columnas, donde cada fila corresponde a un vrtice y cada columna a una arista. En el lugar de cruce se escribe un 1 si el vrtice y la arista son incidentes y un 0 si no lo son.

La matriz de adyacencia de vrtices es cuadrada y tiene n filas por n columnas. En el lugar de cruce se escribe un 1 si el vrtice si los vrtices son adyacentes o un 0 si no lo son.

La matriz de adyacencia de aristas es cuadrada y tiene k filas por k columnas. En el cruce se escribe un 1 si las aristas son adyacentes y un 0 si no lo son.

Mediante rejillas: En ellas los vrtices y las aristas se representan en una grilla ortogonal, colocando un punto en las intersecciones cuando se cumple la relacin de incidencia (o de adyacencia).

Diagrama de punto entrelazados: es en los que los vrtices y/o las aristas se representan mediante dos columnas de puntos enfrentados, uniendo los puntos cuando se cumple la relacin.

Representacin poligonal: es en la que los vrtices se ubican formando un polgono regular, y las aristas aparecen como lados. En algunos casos, se trata de convertir esta representacin en otra con mnimos cruces.

Grafos dirigidos o dgrafos

Un dgrafo es un grafo cuyas aristas tienen un sentido u orientacin determinado. En este caso, las aristas se denominen arcos. El arco (ab) esta dado por un par ordenado: a es el vrtice inicial y b es el vrtice final.

Un grafo se dice fuertemente conexo si entre dos vrtices cualquiera existe un camino de cualquier longitud que va de uno a otro.

Un grafo es conexo si entre dos vrtices cualquiera existe una cadena.

Es no conexo cuando tiene partes separadas.

Una componente fuertemente conexa es una parte del dgrafo que sea fuertemente conexa.

Conceptos Orientados Vrtices: Puntos que representan los elementos del conjunto V.

Arcos: Lneas orientadas que unen pares de vrtices y representan los elementos del conjunto A.

Extremos inicial y extremos final de un arco: Vrtice del que parte un arco y vrtice al que llega.

Camino: Sucesin de arcos adyacentes tales que el extremo final de uno coincide con el extremo inicial del siguiente.

Longitud: Numero de arcos del camino.

Circuito: Camino en el que el vrtice inicial coincide con el final.

Lazo: Circuito de longitud 1.

Grafos Planos

Un grafo es plano si existe un grafo isomorfo que puede dibujarse en el plano de modo que las aristas solo se crucen en los vrtices.

Un grafo es no plano cuando no existe un isomorfo que pueda dibujarse sin que sus aristas se crucen.

Teorema de Kuratowski

La condicin necesaria para que un grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipo K3,3 ni del tipo K5. Siendo estos los grafos no planos que definen toda una familia de subgrafos no planos. Solo vrtices de grado mayor o igual que 4 son candidatos para el K5, y solo vrtices de grado mayor o igual que 3 son candidatos para el K3,3.

Grafos poligonales

Llamaremos grafo poligonal a un grafo plano conexo que es reunin de ciclos, tal que existe un ciclo mnimo y otro mximo. En todo grafo poligonal se cuenta no solamente el numero de vrtices V y el de aristas A, si no tambin el de caras C, incluida la cara del infinito.

Si se consideran los 5 poliedros regulares (tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro) se puede comprobar que, entre el numero C de caras y el numero V de vrtices y el numero A de aristas, vale la formula de Euler: C + V = A + 2

La formula de Euler es tambin valida en cualquier grafo poligonal. Un grafo poligonal es regular si el grado de cada vrtice es el mismo.

Un grafo es completamente regular si es regular y adems cada cara tiene el mismo nmero de aristas limitantes. Los grafos completamente regulares no triviales son los asociados con los 5 poliedros regulares.

Grafos dualesSea G un grafo plano y conexo, si se construye un grafo G

A cada cara de G le corresponder un vrtice de G

A cada vrtice de G le corresponder una cara de G

A cada arista de G le corresponder una arista de G

Dos vrtices de G estn unidos por una arista si las caras correspondientes de G tienen una arista en comn. Entonces G es el grafo dual de G

Dado un grafo plano y conexo G, si se construye su grafo dual G y luego el dual G de G , G Y G son isomorfos.

Mosaicos regulares

Es un tipo especial de recubrimiento del plano. Los diferentes tipos de mosaicos se obtienen siguiendo un principio general de repeticin de un modulo en dos direcciones, con condiciones restrictivas de acoplamiento y regularidad.

No puede haber huecos ni superposiciones. La arista de un modulo tiene que ser coincidente con la arista del otro. La sumatoria de los ngulos que concurren de los vrtices tiene que ser 360. Cada ngulo interno mide:

(n - 2) . 180n

En cada vrtice tendremos entonces el siguiente numero de polgonos:

360 = 2 n

(n - 2). 180 n -2

n

Como este numero debe ser entero, para n > 2, n tiene que ser igual a 3 , 4 o 6. Esto significa que plano puede recubrirse totalmente con mosaicos triangulares, cuadrados y hexagonales.

SIMETRA

La definicin geomtrica habla de la correspondencia exacta en la disposicin regular de las partes, puntos de un cuerpo o figura con relacin a un centro, un eje o un plano.

Se dice que una configuracin espacial es simtrica respecto de un plano E si puede superponerse sobre si misma por reflexin en dicho plano.

Simetra traslatoria, rotatoria y afn

Simetra: Es un conjunto de las transformaciones del plano que dejan invariantes las figuras. La simetra de una figura cualquiera del espacio que descripta por un subgrupo de dicho grupo. Estos subgrupos son:

Traslacin: Queda definida por un vector que indica en que direccin se traslada y cuanto se traslada.

Axial o reflexiva: Dos puntos P y P son simtricos respecto a una recta r llamada eje de simetra. Si se encuentran sobre un mismo plano perpendicular a dicha recta y equidistan de la misma.

Giro centro o y ngulo de giro : Es la transformacin que a todo punto P le hace corresponder otro punto P, tal que OP = OP y el angulo POP =

Rotaciones = antihorario positivo

Simetra axial = espejo

Simetra central equivale a una rotacin 180

La simetra axial (composicin) es conmutativa.

NUMERO DE ORO

El numero de oro corresponde matemticamente a la divisin de un segmento en media y extrema razn. En efecto sea el segmento AB que se quiere dividir mediante un punto C en dos partes de manera que:

AB = ACAC CB

Llamando AC = a; CB = b se tiene la relacin 1+ b = a a b

Esta igualdad se puede escribir, indicando con x = a como:

b

1+1= x

x

De donde resulta:

x2 = 1+x

Esta ecuacin de segundo grado en x, tiene como solucin positiva el siguiente valor que no es mas que el numero de oro .

x = 1 + 5 = 1,618...

2

= 1,618...

Se puede obtener tambin el nmero de oro, como el cociente de las longitudes de una diagonal y un lado de un pentgono regular.

Seccin ureaUn rectngulo es ureo, si sus lados estn en la relacin 1: (nmero de oro).

Obtencin de un rectngulo ureo:

A partir de un cuadrado de lados = b; marcamos el punto medio de un lado. Unimos ese punto con un vrtice opuesto. Tomamos la medida de ese segmento y la trasladamos hacia el lado donde marcamos el punto medio.

El rectngulo ureo tiene base a y altura b y se cumple:

a =

b

DERIVADAS

Definicin de derivadaLa derivada de un funcin f (x) en un punto xo, indicada por f(x), es un numero real que mide la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la funcin.

Funciones crecientes y decrecientes

F(x) es creciente en un intervalo (a , b) si f (x1) < f (x2) y su derivada resulta f(x) > 0

F(x) es decreciente en un intervalo (a , b) si f (x1) > f (x2) y su derivada resulta f(x)0, hay un mnimo local en xo Si f(xo)

Resumen FINAL Matematica II ARQ

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