resumen ecuaciones diferenciales denniz zill

I.T.P.N.

M.I. Juan A. Montero Rodríguez

1

INDICEUnidad I Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden........................................................................4

1.1 Definiciones (Ecuaciones diferencial, orden, grado, linealidad)...............................................4

1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales..............................................................................6

1.3 Problema del valor inicial.........................................................................................................8

1.4 Teorema de existencia y unicidad..........................................................................................10

1.5 Variables Separables y reducibles..........................................................................................11

1.6 Ecuaciones exactas y no exactas, factor integrante...............................................................23

1.7 Ecuaciones Lineales................................................................................................................30

1.8 Ecuaciones de Bernoulli.........................................................................................................39

1.9 Sustituciones Diversas............................................................................................................40

1.10 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden............................................43

Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior......................................................45

2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n.......................................................................45

2.2 Problema del valor inicial.......................................................................................................45

2.3 Teorema de existencia y unicidad..........................................................................................46

2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas....................................................................49

2.4.1. Principio de superposición.............................................................................................50

2.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano................................................................52

2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas................................59

2.6.1 Reducción de Orden de una Ecuación Diferencial Lineal de Orden dos a una de Primer orden. (Construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida)..........................61

2.6.2 Ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes.......................................67

I.T.P.N.


2

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.............................................................71

2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.................................................................74

2.8.1 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.....................76

2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (coeficientes indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador)......................77

2.8.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de variación de parámetros..........................................................................................................88

2.8.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos................................97

Unidad 3 Transformadas de Laplace..............................................................................................102

3.1 Definición de la trasformada de Laplace..............................................................................102

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace................................104

3.3 Trasformada de Laplace de funciones básicas......................................................................106

3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos................................................112

3.5 Función escalón unitaria.......................................................................................................113

3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitaria.................................................115

3.6 Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación).................115

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t...................................121

3.8 Trasformada de derivadas....................................................................................................123

3.9 Trasformada de integrales....................................................................................................124

3.10 Teorema de la convolución................................................................................................124

3.11 Transformada de una Función Periódica............................................................................126

3.12 Función Delta Dirac............................................................................................................129

3.13 Transformada de Laplace de la función Delta Dirac...........................................................130

3.14 Transformada Inversa.........................................................................................................132

3.15 Algunas Transformadas Inversas........................................................................................132

I.T.P.N.


3

3.16 Propiedades de la Transformada Inversa...........................................................................134

3.16.1 Determinación de la Transformada Inversa Mediante el Uso de Fracciones Parciales136

3.16.2 Determinación de la Transformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside........140

Unidad IV. Ecuaciones diferenciales lineales y sistema de ecuaciones diferenciales lineales........143

4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iníciales por medio de la transformada de Laplace............................................................................................................143

4.2 Solución de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales con condiciones Iníciales por medio de la Transformada de Laplace.......................................................................................153

4.3 Problemas de Aplicaciones...................................................................................................155

Unidad 5 Series de Fourier............................................................................................................162

5.1 Funciones Ortogonales.........................................................................................................162

5.2 Conjuntos Ortogonales y Conjuntos Ortonormales..............................................................163

5.3 Definición de Serie de Fourier..............................................................................................165

5.3.1. Series de Fourier...........................................................................................................167

5.4 Convergencia de Serie de Fourier.........................................................................................171

5.5 Series de Fourier Función Periodo Arbitrario.......................................................................172

5.6 Serie de Fourier de Funciones Pares e Impares (Desarrollo Conseinoidal o Senoidal).......174

5.7 Serie de Fourier en medio intervalo.....................................................................................180

5.8 Formas Complejas de la Serie de Fourier.............................................................................185

Unidad 6 Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales.....................................................188

6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad)............................................188

6.2 Forma general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden..................................188

6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de 2 orden (elípticas, parabólicas e hiperbólicas)...............................................................................................................................189

I.T.P.N.


4

6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales (directos, equiparables con las ordinarias y separación de variables).........................................................................................189

6.5 Aplicaciones..........................................................................................................................196

Unidad I Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1.1 Definiciones (Ecuaciones diferencial, orden, grado, linealidad)

Ecuación diferencial

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Se clasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes.

Clasificación según el tipo

Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo,

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo,

I.T.P.N.


5

.

Clasificación según el orden

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por ejemplo,

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Puesto que la ecuación

diferencial =0 puede llevarse a la forma

dividiendo entre , es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden. La ecuación

es una ecuación diferencial de cuarto orden.

Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se representa a menudo mediante el símbolo

.

Clasificación según la linealidad o no linealidad

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma

I.T.P.N.


6

.

Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:

a) la variable dependiente junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de cada término en es 1.

b) cada coeficiente depende sólo de la variable independiente .

Una ecuación que no es lineal se dice no lineal. Las ecuaciones

(EDO lineal de primer orden)

(EDO lineal de segundo orden)

(EDO lineal de tercer orden)

son ejemplos de ecuaciones lineales.

1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales

Se dice que una función cualquiera, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad.

En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial es una función

que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación. Es decir,

para todo del intervalo I.

Ejemplo

La función es una solución de la ecuación no lineal

I.T.P.N.


7

En . Puesto que

vemos que

para todo número real.

Ejemplo

La función es una solución de la ecuación no lineal en

. Para comprender esto se evalúan

y

Obsérvese que

para todo número real.

Nótese que en los ejemplos anteriores la función constante y = 0, , satisface asimismo la ecuación diferencial dada. A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un intervalo I, se le denomina a menudo solución trivial.

Tipos de soluciones

Solución n-paramétrica. Si la solución contiene n parámetros se le llama solución n-paramétrica o familia n-paramétrica de soluciones. De hecho al resolver una ecuación de n-ésimo orden se espera obtener una solución con n parámetros.

Solución particular. Es una solución que se obtiene a partir de una solución n-paramétrica dándole valores a los parámetros.

I.T.P.N.


8

Solución singular. Es una solución que no se puede obtener a partir de una solución n-paramétrica.

Solución general. Si la única solución de una ecuación diferencial es una familia n-paramétrica de soluciones, es decir no existe solución singular para tal ecuación, entonces se dice que tal solución es la solución general de la ecuación diferencial.

Solución explícita. Si la incógnita y viene despejada en función de la variable independiente x.

Solución implícita. Si la solución no es explícita se dice que es una solución implícita.

Ejemplo

Sol. explícita

Sol. explícita

Sol. Sol. n-paramétrica (n=1)

Sol. Sol. particular Sol. y = 0 Sol. singular

Sol. Sol. implícita

1.3 Problema del valor inicial

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden

sujeta a la condición adicional , donde es número en un intervalo I y

es un número real arbitrario. El problema

I.T.P.N.


9

se le llama problema de valor inicial. A la condición adicional se le conoce como condición inicial.

EjemploPara

sabemos que es una familia uniparamétrica de soluciones. Por lo tanto si x = 0, y = 3,

y entonces la solución particular es .

Si se tuviera entonces

y la solución sería

.

Ejemplo

Para

I.T.P.N.


10

se debe saber que es solución de esta ecuación diferencial ordinaria. Entonces

, c = 0

y es una solución particular.

Si se tiene como condición inicial , entonces

siendo la solución particular .

1.4 Teorema de existencia y unicidad

Teorema 1.1

Sea R una región rectangular en el plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que

contiene al punto en su interior. Si son continuas en R,

entonces existe un intervalo I con centro en y una única función y (x) definida en I que satisface el problema del valor inicial.

I.T.P.N.


11

Figura 1.1

El teorema anterior es uno de los teoremas de existencia y unicidad más populares para ecuaciones diferenciales de primer orden porque los criterios de

continuidad de son relativamente fáciles de verificar. En general, no siempre es posible encontrar un intervalo específico I en el cual se define una solución sin, de hecho, resolver la ecuación diferencial.

Ejemplo. Sean

Figura 1.2

Dos soluciones del mismo PVI (Problema de valor inicial) son cada una de las

funciones y ya que satisfacen la ecuación diferencial

y la condición inicial . En la figura 1.2 se ilustran las gráficas de ambas funciones que pasan por el mismo punto (0, 0).

I.T.P.N.


12

Haciendo referencia al Teorema de Existencia y Unicidad se tiene que

son continuas en el semiplano superior definido por y > 0. Por consiguiente el teorema permite concluir que para cualquier punto (x0, y0), y0 > 0 en el semiplano superior hay algún intervalo en torno a x0 en el que la ecuación diferencial que se proporciona tiene una solución única.

1.5 Variables Separables y reducibles

Se empieza el estudio de los métodos para resolver ecuaciones de primer orden con la ecuación diferencial más simple de todas.

Si g (x) es una función continua dada, entonces la ecuación de primer oden

se puede resolver por integración. La solucion sería: Nota. Al resolver una ecuación diferencial, a menudo se tendrá que utilizar, por ejemplo, integración por partes, fracciones parciales, o posiblemente sustitución.

Ejemplos Soluciones

Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma es separable o que tiene variables separables.

I.T.P.N.


13

Observe que una ecuación separable puede escribirse como de inmediato se observa que cuando h(y) = 1 la ecuación anterior se reduce a

.

Método de solución

La ecuación indica el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales separables. Integrando ambos miembros de

se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones, la cual queda expresa implícitamente.

Nota. En una ecuación separable no hay necesidad de usar dos constantes de integración ya que

donde c es completamente arbitraria.

Ejemplo. Resuelva las ecuaciones diferenciales ordinarias por separación de variables.

.

Diviviendo entre (1 + x)y es posible escribir

I.T.P.N.


14

.

Llamando c a resulta entonces

.

.

Se tiene

.

.

Se tiene

I.T.P.N.


15

.

.

Se tiene

.

I.T.P.N.


16

, .

Separando

y usando fracciones parciales

y entonces

I.T.P.N.


17

.

El 2 y el -2 se eliminaron como soluciones al inicio al dividir entre . Se tiene que -2 es solución y contiene al punto (0, -2).

.

Realizando cambio de variable

I.T.P.N.


18

.

Problemas Propuestos

Variables separables

Resuelva la EDO por separación de variables.

1)

I.T.P.N.


19

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ecuaciones Homogéneas

Si una ecuación en la forma diferencial

tiene la propiedad que

y

se dice que tiene coeficientes homogéneos o que es una ecuación homogénea. El punto importante en la discusión posterior es que una ecuación diferencial homogénea siempre puede reducirse a una ecuación separable por medio de una sustitución algebráica adecuada. El grado de los coeficientes homogéneos n tiene que ser igual.

Se dice que f(x, y) es una función homogénea de grado n, si para algún número

real n, .

Ejemplo

I.T.P.N.


20

.

La función homogénea es de grado uno.

Ejemplo

.

La función es homogénea de grado .

Ejemplo

ya que

.

La función no es homogénea.

Ejemplo

.

I.T.P.N.


21

La función es homogénea de grado cero.

Sumar una constante a una función destruye la homogeneidad a menos que la función sea homogénea de grado cero. Además, en muchos casos podemos reconocer si una función es homogénea examinando el grado de cada término.

Ejemplo

La función es homogénea de grado 4.

Ejemplo. Resolver la ecuación homogénea con condición inicial

.

En este caso se sustituye

I.T.P.N.


22

.

Si

.

Ejemplo

.

Se prueba en este caso

I.T.P.N.


23

.


Ecuaciones homogéneas

Resuelva la ecuación homogénea.

1)

2)

I.T.P.N.


24

3)

4)

1.6 Ecuaciones exactas y no exactas, factor integrante

Observemos que la ecuación simple

es separable y homogénea; también debe notarse que además es equivalente a la diferencial del producto de x y y. Esto es

Integrando se obtiene de inmediato la solución implícita xy = c.

Recuérdese que si z = f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano xy, entonces su diferencial total es

. (1)

Ahora bien, si f(x,y) = c, de (1) se deduce que

. (2)

En otras palabras, dada una familia de curvas f(x,y) = c, es posible generar una ecuación diferencial de primer orden calculando la diferencial total.

Ejemplo

Si , entonces de (2) resulta que

I.T.P.N.


25

o bien .

Es más importante para los fines de este curso invertir el problema, esto es, dada una ecuación como

(3)

¿Puede identificarse la ecuación como equivalente a

Nótese que la ecuación (3) no es ni separable ni homogénea.

Ecuaciones Exactas

Definición

Una expresión diferencial

es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y). Una ecuación

se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta.

Ejemplo

La ecuación es exacta puesto que se ve que

.

El siguiente teorema es un criterio para determinar si una diferencial es exacta.

I.T.P.N.


26

Teorema 1.2

Sean M(x,y) y N(x,y) continuas y con derivadas parciales de de primer orden continuas en una región R del plano xy. Entonces una condición necesaria y suficiente para que

sea una diferencial exacta es que

(4)

Demostración de la condición necesaria: Para simplificar, supóngase que M(x,y) y N(x,y) tienen derivadas parciales de primer orden continuas para todos (x,y). Ahora bien, si la expresión M(x,y)dx +N(x,y)dy es exacta, existe alguna función f para la cual

para todo (x,y) en R. Por lo tanto,

,

y

La igualdad de las derivadas parciales mixtas es consecuencia de la continuidad de las derivadas parciales de primer orden de M(x,y) y N(x,y).

La demostración de la suficiencia de la condición en el Teorema 1.2 consiste en probar que existe una función f para la cual

cada vez que la condición (4) se cumple. La construcción de la función f se refleja de hecho un procedimiento básico para resolver ecuaciones exactas.

Método de Solución

I.T.P.N.


27

Dada la ecuación

(5)

primero demuestre que

Suponga luego que

así es posible encontrar f integrando M(x,y) con respecto a x mientras se mantiene y constante. Se escribe

(6)

en donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Derive ahora

(6) con respecto a y y suponga que

.

De esto resulta

. (7)

Finalmente, integre (7) con respecto a y y sustituye el resultado en (6). La solución

de la ecuación es .

Ejemplo

Resolver

Solución. Con M(x,y)= 2xy y N=(x,y) = tenemos

I.T.P.N.


28

Así que la ecuación es exacta y entonces, por el Teorema 1.2 existe una función f(x,y) para la que

y

De la primera de estas ecuaciones se obtiene

Derivando parcialmente la última expresión con respecto a y e igualando el resultado a N(x,y) resulta

.

Se deduce que

g´(y) = -1 y g(y) = -y .

No es necesario incluir la constante de integración en el renglón precedente ya

que la solución es f(x,y) = c. Algunas curvas de la familia se dan en la Figura 1.3.

Figura 1.3

I.T.P.N.


29

Ejemplo

Resolver

Solución. La ecuación no es ni separable ni homogénea pero si es exacta, puesto que

Por lo tanto, existe una función f(x,y) para la que

Y

Para variar, supondremos que

O sea,

Recuerde que la razón por la cual x puede salir fuera del símbolo que en la integración con respecto a y se trata a x como una constante ordinaria. Se tiene que

de modo que

y

Por consiguiente, una familia uniparamétrica de soluciones está dada por

I.T.P.N.


30

Ejemplo

Resolver sujeta a y(0) = 2.

Solución. La ecuación es exacta puesto que

Ahora bien,

La última ecuación implica que

Así que

o bien

La condición inicial y=2 cuando x=0 exige que o bien que c=3. Una solución es

I.T.P.N.


31


Ecuaciones exactas y no exactas

Resuelva la ecuación exacta

1)

2)

3) ,

4) ,

1.7 Ecuaciones Lineales

Se define la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n como

La linealidad significa que todos los coeficientes son solamente funciones de x y que y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Ahora bien, cuando n=1, se obtiene la ecuación lineal de primer orden

Dividiendo entre resulta la forma más útil

(1)

Se busca la solución de (1) en un intervalo I en el cual P(x) y f(x) son continuas. En la discusión que sigue se supone tácitamente que (1) tiene solución.

I.T.P.N.


32

Un factor integrante

Supóngase que la ecuación (1) se escribe en la forma diferencial

. (2)

Las ecuaciones lineales tienen la conveniente propiedad de que siempre es posible encontrar una función µ(x) tal que el múltiplo de (2)

(3)

es una ecuación diferencial exacta. Por el Teorema 1.2 se sabe que el miembro primero de la ecuación (3) será una diferencial exacta si

(4)

o bien .

Esta es una ecuación separable a partir de la cual puede determinarse µ(x). Se tiene

(5)

de modo que . (6)

A la función µ(x) definida en (6) se la llama factor integrante de la ecuación lineal. Nótese que no es necesario usar una constante de integración en (5) ya que (3) no es afectada si se multiplica por una constante. Además, µ(x) ≠0 para todo x de I y es continua y diferenciable.

Es interesante observar que la ecuación (3) sigue siendo una ecuación diferencial exacta incluso cuando f(x) = 0. De hecho, f(x) no desempeña ningún papel en la

determinación de µ(x) puesto que por (4) vemos que µ(x) f(x) = 0. Así,

I.T.P.N.


33

y

son, ambas, diferenciales exactas. Ahora se escribe (3) en la forma

y se advierte que la ecuación puede escribirse como

Integrando la última ecuación resulta

o bien

. (7)

En otras palabras, si (1) tiene solución, esta debe ser de la forma (7). Recíprocamente, se puede verificar que (7) constituye una familia uniparametrica de soluciones de la ecuación (1). Sin embargo, no se debe tratar de memorizar la formula (7). El procedimiento que debe seguirse cada vez, por eso es conveniente resumir los resultados.

Método de solución

Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, primero escríbala en la forma (1); o sea, haga el coeficiente de y´ igual a la unidad. Multiplique después

toda la ecuación por el factor integrante . El primer miembro de

es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente:

I.T.P.N.


34

Escriba la ecuación en la forma

y por último, integre ambos miembros.

Ejemplo

Resolver

Solución. Escriba la ecuación como

(8)

y determine el factor integrante

Aquí se usa la identidad básica . Ahora multiplique la ecuación (8) por este término

(9)

y obtenga (10)

Por integración por partes queda

o bien .

Ejemplo

Resolver .

I.T.P.N.


35

Solución. La ecuación ya está en la forma (1). Por consiguiente, el factor integrante es

.

En consecuencia

y por lo tanto .

Solución general

Si se supone que P(x) y f(x) son continuas en un intervalo I y que es un punto cualquiera del intervalo, entonces el teorema 1.1 asegura la existencia de una sola solución del problema de valor inicial

(11)

Por lo contrario, se vio anteriormente que (1) tiene una familia de soluciones y que toda solución de la ecuación en el intervalo I es de la forma (7).

Por lo tanto, obtener la solución de (11) es simplemente encontrar un valor apropiado de c en (7). Como consecuencia, se justifica llamar a (7) la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo

Encuentre la solución general de

I.T.P.N.


36

Solución. Se escribe

La función P(x) = es continua en -∞‹x‹∞. Ahora bien, el factor integrante de la ecuación es

de modo que

Por lo tanto, la solución general es

Ejemplo

Resolver sujeta a y(0) = -3.

Solución. Las funciones P(x) = 2x y f(x) = x son continuas en -∞‹x‹∞. El factor integrante es

de modo que

I.T.P.N.


37

Por consiguiente, la solución general de la ecuación diferencial es

.

La condición y(0) = -3 da por ello la solución del problema de valor inicial en el intervalo es

Ejemplo

Resolver sujeta a y(1) = 0.

Solución. Escriba la ecuación dada como

y observe que es continua en cualquier intervalo que no contiene al origen. En vista de la condición inicial, se resuelve el problema en el intervalo 0‹x‹∞.

El factor integrante es

y por consiguiente da lugar a

La solución general de la ecuación es

I.T.P.N.


38

(12)

Pero y(1) = 0 implica c = -1. Por lo tanto se obtiene

. (13)

La gráfica de (12), considera como una familia uniparamétrica de curvas, se presenta en la figura 1.4. La solución (13) del problema de valor inicial está indicada por la porción en color de la gráfica.

Figura 1.4

Ejemplo

Resolver . sujeta a y(-2) = 0.

Solución. La ecuación diferencial dada no es separable, ni homogénea, ni exacta, ni lineal en la variable y. Sin embargo, si se toma la reciproca, entonces

o bien .

Esta última ecuación es lineal en x, así que el factor integrante correspondiente es

. En consecuencia, se tiene que para ,

I.T.P.N.


39

.

Cuando x = -2, y = 0, se encuentra que c = 0 y por consiguiente

Ejemplo

Hallar una solución continua que satisfaga

en donde

y la condición inicial y(0) = 0.

Solución. f es discontinua en x = 1. Por consiguiente, resolvemos el problema en dos partes. Para 0≤x≤1 se tiene que

.

Como y(0) =0, debemos tener y por lo tanto

, 0≤x≤1.

Para x>1 tenemos

Lo cual lleva a .

Por consiguiente, podemos escribir

I.T.P.N.


40

.

Ahora bien, para que y sea una función continua necesitamos que

. Este último requisito es equivalente a o bien

. La función

es continua pero no diferenciable en x = 1.

Observación: La fórmula (7), que representa la solución general de (1), consta en realidad de la suma de dos soluciones. Se define

(14)

en donde

y


Ecuaciones lineales

Halle la solución general

1) ,

2) ,

3) ,

I.T.P.N.


41

4) ,

5) , ,

1.8 Ecuaciones de Bernoulli

A la ecuación diferencial

(1)

en donde n es un número real cualquiera, se le llama ecuación Bernoulli en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Para n≠0 y n≠1, la sustitución

lleva a la ecuación lineal

(2)

Ejemplo

Resolver

Solución. En (1) se identifica , y n = 2. Así la sustitución

da

El factor integrante de esta ecuación lineal en, por ejemplo, es

Consecuentemente, .

Integrando esta última forma resulta

I.T.P.N.


42

o bien

Como , se obtiene y también


Ecuación de Bernoulli

1)

2)

1.9 Sustituciones Diversas

Una ecuación puede tener un aspecto diferente a cualquiera de las que ya se han estudiado pero, por medio de un cambio de variables inteligente, un problema aparentemente difícil puede tal vez resolverse con facilidad. Aunque no pueden darse reglas fijas sobre que sustituciones usar, si es que hay alguna sustitución posible.

Ejemplo

La ecuación diferencial

No es separable, ni homogénea, ni exacta, ni lineal, ni de Bernoulli. Sin embargo, el mirarla con atención durante un tiempo podría inducir a intentar la sustitución

o bien .

Como

I.T.P.N.


43

después de simplificar, la ecuación se transforma en

.

Se observa que la última ecuación es separable; luego de

se obtiene

en donde se reemplazó por

Ejemplo

Resolver .

Solución. La presencia del término induce a intentar puesto que

.

Ahora bien

tiene la forma lineal

de modo que multiplicando por el factor integrante resulta

I.T.P.N.


44

o bien .

Ejemplo

Resolver .

Solución. Sea . Por lo tanto, la ecuación diferencial se transforma en

Integrando por partes resulta

Problemas PropuestosSustituciones diversasResuelva usando una sustitución apropiada.

1)

2)

1.10 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

I.T.P.N.


45

Circuitos en serie. Para un circuito en serie que contiene sólo un resistor y un inductor, la segunda ley de kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje

en el inductor y la caída de voltaje en el resistor (iR) es la misma que el voltaje de alimentación (E(t)) en el circuito. Véase la figura 1.5.

Figura 1.5 Circuito LR en serie

Así, se obtiene la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t).

(1)

Donde L y R son constantes que se conocen como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se conoce también como la respuesta del sistema.

La caída de voltaje en un capacitor con capacitancia C está dada por q(t)/C, donde q es la carga en el capacitor. Por consiguiente, para el circuito en serie que se ilustra en la figura 1.6 la ley de kirchhoff da

Figura 1.6 Circuito RC en serie

(2)

Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante , así que (2) se convierte en la ecuación diferencial lineal

. (3)

Ejemplo

I.T.P.N.


46

Circuito en serie

Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que la inductancia es ½ Henry y la resistencia es 10 ohm. Determine la corriente i si la corriente inicial es cero.

Solución. De (1) se observa que es necesario resolver

sujeta a i(0) = 0. Primero, se multiplica por 2 la ecuación diferencial y se ve que le

factor de integración es Se obtiene entonces

Al integrar cada lado de la ultima ecuación y resolviendo para i, se obtiene

Ahora, i(0) = 0 implica que o .

Por tanto, la respuesta es , la cual se puede obtener de

(4)

Cuando es una constante, la ecuación se transforma en

(5)

Observe que cuando , el segundo termino de la ecuación (5) tiende a cero. Este término por lo común se llama término transitorio; los demás términos se

conocen como la parte de estado estable de la solución. En este caso también se llama corriente de estado estable; para valores grandes del tiempo, al parecer la corriente del circuito se rige simplemente por la ley de Ohm (E = iR).

I.T.P.N.


47

Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n

Del mismo modo en que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden como podemos definir una ecuación diferencial de orden n como

donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.

2.2 Problema del valor inicial

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial de orden n es

Resolver:

Sujeta a: (1)

En donde son constantes arbitrarias. Se busca una solución en

algún intervalo I que contenga al punto

En el caso de una ecuación lineal de segundo orden, una solución de

I.T.P.N.


48

es una función definida en I cuya gráfica pasa por y tal que la pendiente

de la curva en el punto es el número .

2.3 Teorema de existencia y unicidad

Teorema 2.1

Sean continuas en un intervalo I y sea

para todo en este intervalo. Si es cualquier punto de este

intervalo, entonces existe una solución del problema de valor inicial (1) en el intervalo y esa solución es única.

Ejemplo

Verificar que es una solución del problema de valor inicial

La ecuación diferencial es lineal, los coeficientes, así como son funciones continuas en cualquier intervalo que contiene x=0. Por el teorema de existencia y unicidad (2.1) se deduce que la función dada es la única solución.

Ejemplo

El problema de valor inicial

I.T.P.N.


49

tiene una solución trivial y=0. Puesto que la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, se infiere que todas las condiciones del teorema (2.1) se

cumplen. Por lo tanto, es la única solución en cualquier intervalo que

contenga a .

Ejemplo

La función es una solución del problema de valor inicial

.

Por el teorema 2.1 se desprende que la solución es única en cualquier intervalo

que le contenga a .

En el teorema de existencia y unicidad (2.1), se requiere que siendo

sea continua y que , para todo de I. Ambos requisitos son

importantes. Específicamente, si para cualquier del intervalo, entonces la solución de un problema lineal de valor inicial puede no ser única y hasta puede no existir.

Ejemplo

Verificar que la función es una solución del problema de valor inicial

,

en el intervalo para cualquier valor del parámetro

Solución. Como se tiene que

I.T.P.N.


50

.

Además

y

Si bien la ecuación diferencial del ejemplo precedente es lineal y los coeficientes y

son continuos para todo la dificultad obvia es que es cero

en .

Problema de valores en la frontera

Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial de orden dos o de orden mayor que dos en la cual la variable dependiente y (o sus derivadas) se especifica en dos puntos diferentes. Un problema como

Resolver:

Sujeta a:

se llama un problema de valores de frontera de dos puntos o, simplemente, un problema de valores en la frontera.

Ejemplo

En el caso del problema de valor de frontera

Se busca una función definida en un intervalo que contenga que satisfaga la ecuación diferencial y cuya gráfica pase por los dos puntos (1,0) y (2,3).

I.T.P.N.


51

Los ejemplos siguientes muestran que aun cuando las condiciones del Teorema (2.1) se cumplen, un problema de valor de frontera puede tener (a) varias soluciones, (b) una solución única o (c) ninguna solución.

Ejemplo

es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial

.

Supóngase que ahora se quiere determinar aquella solución de la ecuación que además satisface las condiciones de frontera

.

Observemos que la primera condición

implica de modo que Pero cuando se tiene

.

Como , esta última condición se satisface para cualquier valor de , así que, la solución del problema

es la familia uniparamétrica

.

I.T.P.N.


52

Hay un número infinito de funciones que satisfacen la ecuación diferencial y cuyas

gráficas pasan por los dos puntos (0,0) y .

Si las condiciones de frontera fueran , entonces

necesariamente y serian ambas iguales a 0. En consecuencia, sería una solución de este nuevo problema de valor de frontera. De hecho, esta es la única solución.

2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

A una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma

(2)

se la llama homogénea, en tanto que a

(3)

en donde no es idénticamente nula, recibe el nombre de no homogénea.

En este contexto, la palabra “homogénea” no se refiere a que los coeficientes son funciones homogéneas.

Ejemplo

(a) La ecuación

es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea.

I.T.P.N.


53

(b) La ecuación

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden, no homogénea.

Nota: Cuando se den definiciones y se demuestren teoremas acerca de las ecuaciones lineales (2) y (3), con el objeto de evitar repeticiones innecesarias, las siguientes hipótesis importantes serán implícitas. En algún intervalo I

(I) los coeficientes son continuos;

(II) el miembro derecho es continuo;

(III) para todo del intervalo.

2.4.1. Principio de superposición

El teorema siguiente se cono como principio de superposición.

Teorema 2.2

Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n (2) en un intervalo I. entonces la combinación lineal

(4)

en donde los son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

COLARIOS

(a) Si es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea,

entonces un múltiplo constante de ella, también es una solución.

I.T.P.N.


54

(b) Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre tiene la solución trivial

El principio de superposición definido y el caso particular dado en (a) son propiedades que las ecuaciones diferenciales no lineales generalmente no tienen.

Ejemplo

Las funciones

son soluciones de la ecuación homogénea de tercer orden

en el intervalo . Por el principio de superposición, la combinación lineal

también es una solución de la ecuación en el intervalo.

Ejemplo

Las funciones satisfacen la ecuación homogénea

en . Por el teorema, la otra solución es

Ejemplo

I.T.P.N.


55

La función es una solución de la ecuación lineal homogénea

en . Por lo tanto, también es una solución. Se ve que para

diversos valores de son, todas, soluciones de la ecuación en el intervalo.

2.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano

Definición

Se dice que es un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si no es linealmente dependiente en el intervalo.

En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las cuales

para toda x en un intervalo, son .

Es fácil entender estas definiciones en el caso de dos funciones . Si las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen

constantes , no siendo ambas nulas, tales que para todo x del intervalo

.

Por lo tanto, si se supone que , se infiere que

.

Esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es simplemente un múltiplo constante de otra. Recíprocamente si para alguna

constante se tiene que entonces.

I.T.P.N.


56

para todo x de un intervalo. Por lo tanto, las funciones son linealmente

dependientes puesto que al menos una de las constantes (a saber, ) no es nula se concluye que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es ningún múltiplo constante de la otra en un intervalo.

Ejemplo

Las funciones y son linealmente dependientes

en el intervalo puesto que

se satisface para todo x real si elegimos .

(Recuérdese la identidad trigonométrica ).

Ejemplo

Las funciones y son linealmente dependientes en el intervalo

Un examen cuidadoso de la figura 2.1 debería convencer al lector de que ninguna de las dos funciones es un múltiplo constante de la otra. Para tener

para todo x real, debemos elegir

I.T.P.N.


57

Figura 2.1

El intervalo en el cual las funciones están definidas es importante en las consideraciones sobre dependencia e independencia lineal. Las funciones

en el ejemplo anterior son linealmente dependientes en el

intervalo ya que

se satisface para cualquier valor no nulo de tal que

I.T.P.N.


58

Ejemplo

Las funciones , son

linealmente dependientes en el intervalo ya que

cuando

.

Se hace notar que y que .

Un conjunto de funciones es linealmente dependientes en un intervalo si al menos una función puede expresarse como combinación lineal no trivial de las restantes funciones.

Ejemplo

Las funciones son

linealmente dependientes en el intervalo ya que

para todo x en el intervalo.

El wronskiano

El siguiente teorema proporciona una condición suficiente para la independencia lineal de n funciones en un intervalo. Cada función se supone diferenciable por lo

menos veces.

Teorema 2.3

I.T.P.N.


59

Supóngase que tiene al menos derivadas. Si el determinante

no es cero por lo menos en un punto de intervalo I, entonces las funciones

son linealmente independientes en el intervalo.

El determinante que aparece en el teorema 2.3 se designa por

y se llama wronskiano de las funciones.

Colorario

Si tienen por lo menos derivadas y son linealmente

dependientes en , entonces

para todo del intervalo.

Ejemplo

Las funciones son linealmente dependientes

en . (¿Por que?) Por el colorario precedente, se observa que

=2

I.T.P.N.


60

Ejemplo

Para

para todo valor real de . Por lo tanto son linealmente independientes en

cualquier intervalo del eje .

Ejemplo

Si son números reales, entonces son

linealmente independientes en cualquier intervalo del eje puesto que

.

Nótese que haciendo se ve que , son también

linealmente independientes en cualquier intervalo del eje .

Ejemplo

Las funciones son linealmente independientes en cualquier intervalo del eje x puesto que

I.T.P.N.


61

no es cero para ningún valor real de

Ejemplo

son linealmente independientes en ; sin

embargo, no es posible calcular el wronskiano ya que no es derivable en .

Soluciones linealmente independientes

Interesa determinar cuándo soluciones , de la ecuación diferencial homogénea (2) son linealmente independientes. Una condición necesaria y suficiente para la independencia lineal es, de forma sorpresiva, que el wronskiano

de un conjunto de de tales soluciones no se anule en un intervalo I.

Teorema 2.4

Sean soluciones de la ecuación lineal homogénea de orden (2) en un intervalo I. Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si el wronskiano

Para todo del intervalo.

Definición

I.T.P.N.


62

Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier

conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación

diferencial lineal homogénea de orden (2) en el intervalo I.

Teorema 2.5

Sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial

lineal homogénea de orden en un intervalo I. Si es cualquier solución de la

ecuación en I entonces es posible encontrar constantes , tales que

.

Teorema 2.6

Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación (2) diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I.

2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Definición

Sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial

lineal homogénea de orden (2) en un intervalo I. Se define como solución general de la ecuación en el intervalo a

en donde los siendo son constantes arbitrarias.

Recuérdese que la solución general, también se la llama solución completa de la ecuación diferencial.

Ejemplo

I.T.P.N.


63

La ecuación de segundo orden tiene dos soluciones

para todo valor de , entonces forman un conjunto fundamental de

soluciones en . La solución general de la ecuación diferencial en el intervalo es

.

Ejemplo

El lector debe verificar que también satisface la ecuación

diferencial del ejemplo anterior. Eligiendo en la solución general

se obtienen

.

Ejemplo

Las funciones satisfacen la ecuación de tercer orden

puesto que

I.T.P.N.


64

para todo valor real de , entonces forman un conjunto fundamental de

soluciones en .

Se concluye que

es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo.

2.6.1 Reducción de Orden de una Ecuación Diferencial Lineal de Orden dos a una de Primer orden. (Construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida).

Reducción de órdenes

Uno de los hechos más interesantes y también más importantes en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que es posible formar

una segunda solución a partir de una solución ya conocida. Supóngase que es una solución distinta de cero de la ecuación

. (5)

El proceso que se utilizará para encontrar una segunda solución consiste en reducir el orden de la ecuación (5), transformándola en una ecuación de primer

orden. Por ejemplo, se verifica fácilmente que satisface la ecuación

diferencial . Si intentamos determinar una solución de la forma

entonces

y’’=

I.T.P.N.


65

y por tanto .

Puesto que esta última ecuación requiere que .

Si se hace se ve que la última ecuación es una ecuación lineal de primer

orden . Usando el factor integrante puede escribirse

o sea .

De esta manera

y entonces

.

Eligiendo y se obtiene la segunda solución . Puesto que

para todo , las ecuaciones son linealmente independientes en

y en consecuencia la expresión para y es efectivamente la solución general de la ecuación dada.

Ejemplo

Dado que es una solución de = , emplear una reducción de

orden para encontrar una segunda solución en el intervalo

Solución. Se define

de modo que

I.T.P.N.


66

+

=

siempre que sea una solución de

o bien .

Si , obtenemos la ecuación lineal de primer orden

la cual tiene el factor integrante . Ahora bien de,

resulta que .

Consecuentemente,

.

Eligiendo resulta la segunda solución .

Caso General

Supóngase que se divide entre para llevar la ecuación (5) a la forma

I.T.P.N.


67

(6)

en donde son continuas en algún intervalo . Supóngase además que

es una solución conocida de (6) en y que para toda del intervalo. Si definimos

se tiene

.

cero

Esto implica que debe tener

o bien

(7)

en donde . Obsérvese que la ecuación (7) es lineal y también separable. Aplicando esta última técnica resulta

I.T.P.N.


68

e integrando de nuevo

.

Por lo tanto

.

Eligiendo se encuentra que una segunda solución se la ecuación (6) es

. (8)

Un buen ejercicio para repasar las técnicas de derivación es partir de la fórmula (8) y verificar que efectivamente satisface la ecuación (6).

Ahora bien son linealmente independientes puesto que

no es cero en cualquier intervalo en el cual no es cero.

I.T.P.N.


69

Ejemplo

La función es una solución de . Hallar la solución

general en el intervalo .

Solución. Puesto que la ecuación tiene la forma alternativa

de (8) resulta

.

La solución general en está dada por , es decir

.

Ejemplo

Es posible verificar que es una solución de

en Obtener una segunda solución.

Solución. Primero se lleva la ecuación a la forma

.

Por la formula (8)

I.T.P.N.


70

.

Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, es posible descartar el signo

negativo y tomar a como la segunda solución.

Obsérvese que en el ejemplo anterior, son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial dada en el intervalo más grande

.


Segunda solución a partir de una conocida

Encuentre una segunda solución a partir de .

Soluciones

1)

2)

3)

I.T.P.N.


71

2.6.2 Ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes

Se ha visto que la solución lineal de primer orden en donde a es una

constante, tiene la solución exponencial en . Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales,

en de ecuaciones de orden superior como

(1)

en donde los son constantes. Lo sorprendente es que todas las soluciones son funciones exponenciales de (1) o se construyen a partir de la función exponencial.

2.6.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos

Se empezara considerando el caso a partir de la ecuación de segundo orden

. (2)

Ecuación auxiliar

Si se ensaya una solución de la forma entonces

de modo que la ecuación (2) se transforme en

o bien .

Como nunca se anula para valores reales de , es evidente que la única manera de que esta función exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial

es eligiendo de modo que sea una raíz de la ecuación cuadrática

. (3)

I.T.P.N.


72

Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial (2). Se consideran tres casos, según la ecuación auxiliar tenga raíces reales, distintas, raíces reales iguales o raíces complejas conjugadas.

2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas).

Caso I. Suponiendo que la ecuación auxiliar (3) tiene dos raíces reales distintas

, se hallan dos soluciones

y

ya hemos visto que estas funciones son linealmente independientes en

y por lo tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general en este intervalo es

(4)

Caso II. Cuando necesariamente se obtiene sólo una solución exponencial

Sin embargo se deduce a una segunda solución

. (5)

Pero por la forma cuadrática se tiene que ya que la única manera de

obtener es que . En vista de que (5) se transforma en

.

La solución general de

I.T.P.N.


73

es entonces

. (6)

Caso lll. Si son complejas, entonces puede escribirse

y

en donde son reales e Formalmente no hay diferencia entre este caso y el caso I y por tanto

. (7)

Sin embargo, en la práctica es preferible trabajar con funciones reales en vez de exponenciales complejas. Ahora bien es posible escribir (7) en una forma más práctica usando la formula de Euler

en donde es cualquier número real. A partir de este resultado puede escribirse

Y

en donde se ha usado y En consecuencia, (7) se transforma en

.

Como forman un conjunto fundamental de soluciones de

la ecuación diferencial dada en, se puede usar el principio de superposición para escribir la solución general

I.T.P.N.


74

(8)

Ejemplo

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

Solución

.

.

I.T.P.N.


75

.

Ejemplo

Resolver

sujeta a

.

Solución. Las raíces de las ecuación auxiliar son y

de modo que

La solución implica

por lo cual podemos escribir

.

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

En general, para resolver una ecuación diferencial lineal de orden n

I.T.P.N.


76

en donde los siendo i=0,1,…., n son constantes reales, se debe resolver una ecuación polinomial de grado n

.

Si todas las raíces son reales y distintas, entonces la solución general es

.

Cuando es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de grado n, entonces puede demostrarse que las soluciones linealmente independientes son:

y que la solución general debe contener la combinación lineal

.

Por último, debe recordarse que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de una ecuación auxiliar siempre aparecerán en pares conjugados. Por ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener a lo más 2 raíces complejas.

Ejemplo

Resolver .

Solución. Un examen cuidadoso de permite encontrar la raíz

. Ahora bien, si se divide entre (m-1) se encuentra que

siendo por lo tanto las otras raíces en consecuencia, la solución general es

I.T.P.N.


77

.Ejemplo

Resolver .

Solución. Se verifica que es una raíz de

y dividiendo entre se encuentra que

siendo y que , y la solución general

.

Ejemplo

Resolver .

Solución. La solución auxiliar es tiene raíces

.

De esta manera por el caso II la solución es

.

I.T.P.N.


78

Mediante la fórmula de Euler. La parte

puede reescribirse como

después de designar nuevamente las constantes, análogamente,

puede expresarse como . Por lo tanto, la solución general es

.

Cuando es la raíz compleja de orden de multiplicidad k de una

ecuación auxiliar con coeficientes reales, su conjugada, es también raíz de orden de multiplicidad k. En este caso, la solución general de la ecuación diferencial correspondiente debe contener una combinación lineal de soluciones linealmente independientes:

.

En el ejemplo anterior identificamos k=2

.


Resolver las siguientes ecuaciones lineales homogéneas.

Soluciones

1)

2)

3)

4)

5)

I.T.P.N.


79

2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Se definirá ahora la solución general de una ecuación lineal no homogénea.

Cualquier función que no contiene parámetros arbitrarios y que satisface a la ecuación diferencial lineal no homogénea, se llama solución particular de la ecuación (a veces también recibe el nombre de integral particular).

Ejemplo

(a) Una solución particular de

es

ya que .

(b) es una solución particular de

puesto que ,

.

Teorema 2.7

Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden

en un intervalo I y sea cualquier solución de la ecuación no homogénea en el mismo intervalo. Entonces

I.T.P.N.


80

es también una solución de la ecuación no homogénea en el intervalo para

constantes cualesquiera .

Ahora es posible demostrar, para ecuaciones diferenciales no homogéneas, el siguiente teorema análogo.

Teorema 2.8

Sea una solución dada de la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden

en un intervalo I y sea , un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada en el intervalo. Entonces para cualquier solución

de la ecuación en I es posible encontrar constantes de modo que

.

2.8.1 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Definición

Sea una solución dada de la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden

en un intervalo I y sea

la solución general de la ecuación homogénea asociada en el intervalo. La solución general de la no homogénea en el intervalo se define como

.

A la combinación lineal

I.T.P.N.


81

la cual es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea asociada, se le llama función complementaria de la ecuación. En otras palabras, la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es

y=función complementaria+cualquier solución particular.

Ejemplo

Se puede demostrar que la función es una solución particular de la ecuación no homogénea

.

Para formular la solución general de la ecuación anterior, se tiene también que resolver la ecuación homogénea asociada

.

Pero la solución general de esta última ecuación en el intervalo es

y por lo tanto, la solución general de la ecuación en el intervalo es

.

2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (coeficientes indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador).

I.T.P.N.


82

Operadores diferenciales

El símbolo se usa frecuentemente en cálculo para designar la derivada enésima de una función

.

Por lo tanto, una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

puede escribirse como

.

La expresión

se llama operador diferencial lineal de orden n. Puesto que el anterior es un polinomio en el símbolo D, a menudo se abrevia como P(D).

Puede demostrarse que cuando los son constantes,

I) P(D) pueden ser posiblemente, factorizado en operadores diferenciales de orden menor, esto se consigue tratando a P(D) como si fuera un polinomio ordinario.

II) Los factores de P(D) pueden conmutarse.

Ejemplos

a) Los operadores y se factoriza como

Y

respectivamente.

b) El operador +1 no es factorizable usando sólo números reales.

I.T.P.N.


83

c) El operador +5D+6 puede escribirse como o bien

Ejemplo

Si tiene derivada segunda, entonces

.

Para demostrar esto, sea

.

Análogamente, si se hace entonces

.

Ejemplo

El operador puede escribirse como o bien .

I.T.P.N.


84

Operador anulador

Sea una función que tiene al menos n derivadas, si

entonces se dice que el operador diferencial

anula a . Si por ejemplo

entonces . También, , etc.

El operador diferencial D anula a cada una de las funciones

.

Una consecuencia inmediata de esto, junto con la posibilidad de derivar término a

término es que un polinomio puede ser anulado encontrando un operador que anule a la mayor potencia de x.

Ejemplo

Hallar un operador que anule a .

Solución. Se sabe que y por lo tanto se tiene que .

El operador diferencial anula a cada una de las funciones

.

Para verificar esto, nótese que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea

es . Puesto que es una raíz de multiplicidad n. La solución general es

.

I.T.P.N.


85

Ejemplo

Hallar un operador anulador para .

Solución

a) Eligiendo y se obtiene que .

b) Eligiendo y se obtiene que .

Ejemplo

Obtener un operador diferencial que anule a .

Se tiene que

.

El producto de los 2 operadores (D+3) (D-1)2 anulará la combinación lineal dada.

Si son números reales., la ecuación tiene raíces

complejas y , ambas de orden de multiplicidad n. Entonces se tiene

como conclusión que el operador diferencial anula a cada una de las funciones

.

I.T.P.N.


86

Ejemplo

Eligiendo se obtiene

y .

Ejemplo

Si se elige el operador diferencial anulará , , , . Además anulará cualquier combinación lineal de esas

funciones.

Si se hace , se obtiene el resultado particular

.

Ejemplo

Obtener un operador diferencial que anule a

.

Solución. Se tiene, respectivamente

.

Por lo tanto, el operador anulará a la combinación lineal dada.

I.T.P.N.


87

Para obtener la solución general de una ecuación diferencial no homogénea con coeficiente constante deben hacerse 2 cosas: Hallar la función complementaria

y luego obtener cualquier solución particular de la ecuación no homogénea.

Recuérdese que una solución particular es cualquier función sin constantes arbitrarias que satisface la ecuación idénticamente. La solución general de la

ecuación no homogénea es la suma .

Método de los coeficientes indeterminados

Ahora bien si representa el operador diferencial, entonces una ecuación diferencial lineal, no homogénea con coeficientes constantes pueden escribirse simplemente como

.Cuando es

I) Una constante ,II) Un polinomio en ,III) Una función exponencial ,

IV) , o

consiste en sumas finitas y productos de estas funciones, siempre es posible

encontrar otro operador diferencial que anule a . Aplicando resulta

.

Resolviendo la ecuación homogénea es posible descubrir la forma de una

solución particular de la ecuación no homogénea.

I.T.P.N.


88

Los ejemplos que vienen a continuación ilustran el llamado método de los

coeficientes indeterminados para encontrar . La solución general de cada ecuación se define en el intervalo .

Ejemplo

Resolver .

Solución. Paso 1. Se resuelve primero la ecuación homogénea

.

De la ecuación auxiliar se obtiene de la función

complementaria .

Paso 2. Tenemos que puede ser transformada en homogénea derivando 3 veces cada miembro de la ecuación. En otras palabras

ya que . La ecuación auxiliar es

o bien

y por lo tanto la solución general debe ser

donde y entonces

.

I.T.P.N.


89

En donde se han reemplazado por A, B y C, respectivamente. Se

sustituye en la ecuación original resultando

.

Igualando coeficientes en la última identidad, se obtiene el sistema de ecuaciones

.

Resolviendo resulta En consecuencia

Paso 3. La solución general es o sea

Ejemplo

Resolver

.

Solución. Paso 1. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea es (m–3) =0 y así

.

Paso 2. Ahora bien, puesto que y ( y se aplica el operador diferencial a ambos miembros:

.

La ecuación auxiliar es

( o bien .

I.T.P.N.


90

En consecuencia

.

Se llega entonces a

.

Sustituyendo en la ecuación original y simplificando resulta

.

Igualando coeficientes resulta

.

Encontramos C y por consiguiente,

.

Paso 3. La solución general es entonces

.

Ejemplo

Resolver

.

Sabemos que y que respectivamente. Por lo tanto

aplicamos . Se ve que

luego

I.T.P.N.


91

.

Sustituyendo en la EDO

.

Esto implica de modo que la solución general es

.

Ejemplo Resolver

.

Se sabe que tanto como son anulados por el operador . En

consecuencia o bien

Siendo raíces complejas con orden de multiplicidad 3 de la ecuación auxiliar, de la última ecuación diferencial se deduce que

.

Sustituyendo

.

.

Igualando coeficientes resultan las ecuaciones

de donde se obtiene Por lo tanto, la solución general es

I.T.P.N.


92

.Ejemplo

Determinar la forma de una solución particular de

.

Solución. Eligiendo 2, β se tiene

.

Aplicando el operador resulta

.

Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar son , entonces

.

Por lo tanto se puede encontrar una solución particular que tiene la forma

.

Ejemplo

Determinar la forma de una solución particular de

.

Solución. Observe que

.

Por consiguiente, aplicando a la ecuación resulta

I.T.P.N.


93

o sea .

Consecuentemente

Puesto que es posible considerar la combinación lineal como la función complementaria, vemos que la solución particular de la ecuación diferencial:

.

Problemas PropuestosCoeficientes indeterminados

Resolver Soluciones

1)

2)

3)

4)

5)

2.8.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de variación de parámetros.

I.T.P.N.


94

Anteriormente se vio que la solución general de le ecuación diferencial lineal de primer orden

(1)

en donde son continuas en un intervalo es

. (2)

Ahora bien (2) tienen la forma

en donde

es una solución de

(3) y

(4)

es una solución particular de (1). Para motivar un método adicional para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de orden superior se volverá a deducir la ecuación (4) mediante un procedimiento conocido como método de variación de parámetro.

Supóngase que es una solución conocida de la ecuación (3), esto es,

.

Ya sea demostrado que es una solución, y puesto que la ecuación

diferencial es lineal, su solución general es . El método de variación de

parámetros consiste en encontrar una función tal que

sea una solución particular de (1). En otras palabras, se reemplaza el parámetro

por una variable .

I.T.P.N.


95

Sustituyendo en (1) resulta

de modo que

.

Separando variables resulta

de lo cual se deduce que

.

Ecuaciones de segundo orden

Para adaptar el procedimiento anterior a una ecuación diferencial de segundo orden

, (5)

escribimos (5) en la forma estándar

(6)

dividiendo entre toda la ecuación. Suponemos que son

continuas en un intervalo . La ecuación (6) es análoga de (1). Como ya se sabe,

I.T.P.N.


96

cuando son constantes no hay problema alguno para escribir explícitamente.

Supóngase que forman un conjunto fundamental de soluciones de la

ecuación homogénea asociada a (6), en el intervalo . Esto es,

.

Se pregunta ahora: ¿Es posible encontrar dos funciones de modo que

sea una solución particular de (1)?. Adviértase que esto es equivalente a suponer

que , pero que se han remplazado por “parámetros

variables” . Empleando la regla del producto para derivar resulta

. (7)

Si además se exige que sean funciones para las cuales

(8)

entonces (7) se transforma en

Continuando, se encuentra que

y por lo tanto

.

En otras palabras, deben ser funciones que además satisfagan la condición

I.T.P.N.


97

. (9)

Las ecuaciones (8) y (9) constituyen un sistema lineal de ecuaciones para

determinar las derivadas . Por la regla de Cramer, la solución de

se puede expresar por medio de determinantes:

(10)

en donde

(11)

y

.

El determinante se identifica como wronskiano de . Por la

independencia lineal de en sabemos que para todo en el intervalo.

Resumen del método

En general, no es recomendable memorizar formulas en lugar de tratar de comprender un procedimiento. Sin embargo, el método anterior es demasiado largo y complicado para usarlo cada vez que se desee resolver una ecuación diferencial. En este caso es más eficiente usar simplemente las formulas en (10).

En consecuencia, para resolver primero se encuentra la

función complementaria y luego se evalúa el wronskiano

.

Dividiendo entre se lleva la ecuación a la forma para

determinar obténgase integrando

I.T.P.N.


98

. (12)

Finalmente, fórmese la solución particular

Ejemplo

Resolver .

Solución. Puesto que la ecuación auxiliar es se tiene que

.

Identificando se evalúa el wronskiano

.Como la ecuación diferencial dada ya está en la forma (6) (es decir, el coeficiente

de es 1) se identifica . De (12) obtenemos

y

.Se deduce que

y por consiguiente

.

En consecuencia,

.

I.T.P.N.


99

Ejemplo

Resolver .

Solución. Primero escribimos la ecuación en la forma estándar (6), dividiendo entre 4:

.

Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar son se tiene que

y

.

Consecuentemente,

de lo cual se obtiene

y

.

En consecuencia,

. (13)

La ecuación (13) representa la solución general de la ecuación diferencial en un intervalo, por ejemplo, en 0 < x < π/6.

I.T.P.N.


100

Constantes de integración

Al evaluar las integrales indefinidas de no se necesita introducir constantes. Esto es así porque

.

Ejemplo

Resolver .

Solución

.

Es bien sabido que las integrales que definen no pueden ser expresadas en términos de funciones elementales. De modo que se escribe

y, por consiguiente,

.

I.T.P.N.


101

En este ejemplo, es posible integrar en cualquier intervalo que no contenga al origen.

Ecuaciones de orden n

El método que acabamos de examinar para ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas, puede generalizarse para las ecuaciones lineales de orden

que se hayan puesto en la forma

(14)

Si es la función complementaria de (14), entonces resulta sencillo, aunque tedioso, demostrar que la sustitución de

en la ecuación diferencial, conduce a un sistema de ecuaciones lineales

para determinar las En este caso, la regla de Cramer da

en donde es el wronskiano de es el determinante que se

obtiene sustituyendo la -ésima columna del wronskiano por la columna

Cuando obtenemos (10) y (11).

I.T.P.N.


102

Observaciones

El método de variación de parámetros tiene una clara ventaja sobre el método de los coeficientes indeterminados, la cual consiste en que siempre proporciona una

solución particular a condición de que la ecuación homogénea correspondiente se pueda resolver. Además, el método de variación de parámetros, a diferencia del de los coeficientes indeterminados, es aplicable a ecuaciones diferenciales con coeficientes variables.

En los problemas que se presentan a continuación, el lector no debe dudar en

simplificar la expresión de Dependiendo de cómo se hallen las anti derivadas

de podría ser que no se obtuviera la misma que se da en la ecuación de respuestas.

Problemas PropuestosVariación de parámetros Soluciones

1)

2)

3)

2.8.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos

Movimiento armónico simple

Para el caso descrito en la figura 2.2 de una masa atada a un resorte de

constante es , y presenta un movimiento vibratorio. La ecuación que describe su movimiento es

I.T.P.N.


103

con condiciones iniciales

, y su solución está dada por

en donde

= frecuencia angular en

= periodo

= frecuencia en .

Figura 2.2

Movimiento vibratorio amortiguado

El movimiento armónico simple es un tanto irreal. A menos que la masa esté inmersa en un vacio perfecto, por lo menos habrá una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo, como se muestra en la figura 2.3, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación.

I.T.P.N.


104

Figura 2.3

La ecuación que describe este movimiento es

o bien

en donde

, .

Las raíces de la ecuación auxiliar correspondiente son

, .

Aquí se pueden tener 3 casos de acuerdo al valor de las raíces.

Caso I. . Sistema sobreamortiguado. La solución es

o bien

I.T.P.N.


105

.

Caso II. . Sistema críticamente amortiguado. La solución está dada por

o bien

.

Caso III. . El sistema se dice está subamortiguado. La solución es

.

Movimiento vibratorio forzado

Con amortiguación. Supongamos que ahora consideramos además una fuerza

exterior que actúa sobre una masa oscilante sujeta a un resorte. Por ejemplo,

podría representar una fuerza impulsora que causa un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte, como se describe en la figura 2.4. La ecuación que describe este movimiento es

o bien

en donde

, , .

I.T.P.N.


106

Figura 2.4

Para resolver la última ecuación no homogénea se puede usar indistintamente el método de variación de parámetros o el de coeficientes indeterminados. La solución es de la forma

término transitorio + término estacionario.

En donde el término transitorio es una onda sinusoidal que tiende a anularse con el tiempo, en tanto que el término estacionario es una onda sinusoidal que permanece indefinidamente.

Sin amortiguación. En ausencia de una fuerza de amortiguación, no habrá término transitorio en la solución de un problema. Además veremos que la aplicación de una fuerza periódica de frecuencia cercana, o igual, a la frecuencia de las oscilaciones libres no amortiguadas puede causar un problema serio en cualquier sistema mecánico oscilatorio.

Sistemas análogos

Desplazamiento de un péndulo. La ecuación que define este movimiento es

.

En donde es la longitud del brazo del péndulo. Para desplazamientos pequeños

se reemplaza por , y la ecuación diferencial resultante es

que indica que el péndulo exhibe un movimiento armónico simple.

I.T.P.N.


107

Circuito serie LCR. La figura 2.5 muestra un circuito serie con una resistencia, una capacitancia y una inductancia. La ecuación que describe el comportamiento de este es

.

En donde

= el valor de la inductancia en Henry (H)= el valor de la resistencia en ohm ( )

= el valor de la capacitancia en farad (F) = es la carga en el capacitor en coulomb (C)

= voltaje aplicado al circuito en volt (V)

Figura 2.5

I.T.P.N.


108

Unidad 3 Transformadas de Laplace

3.1 Definición de la trasformada de Laplace

En cálculo elemental se estudiaron las operaciones de derivación e integración; recuérdese que

donde α y β son constantes reales cualesquiera. Si una operación tiene la propiedad mencionada anteriormente se dice que es una operación lineal. Por supuesto, la integral definida de una suma puede expresarse como la suma de integrales,

siempre que cada integral exista. Por lo tanto, la integración definida es también una operación lineal.

La transformada de Laplace

Las anteriores operaciones lineales de derivación e integración transforman esencialmente una función en otra expresión. Por ejemplo,

.

Específicamente se estará interesado en una integral impropia que transforma una

función en una función de parámetro

I.T.P.N.


109

Definición

Sea una función definida para ; entonces la integral

se llama transformada de Laplace de , siempre que el límite exista.

Simbólicamente, la transformada de Laplace de se denota por , y puesto

que el resultado depende de escribimos:

.

Ejemplo

Calcular

Solución

siempre que .

El uso del símbolo de límite se vuelve algo tedioso, por eso se adoptará la

notación para indicar .

Por ejemplo

I.T.P.N.


110

donde se da por entendido que en el límite superior, cuando para

.

es una operación lineal

Para una suma de funciones podemos escribir

cuando ambas integrales convergen. Por lo tanto, se tiene que

Problemas PropuestosTransformada de Laplace

Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

Soluciones

1).-

2).-

3).-

I.T.P.N.


111

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace

La integral que define la transformada de Laplace no converge necesariamente.

Por ejemplo ni ni existen. Las condiciones suficientes que garantizan

la existencia de son que sea continua parte por parte para y que

sea de orden exponencial para . Del Cálculo se recuerda que una función

es continua parte por parte para sí en cualquier intervalo ,

existe a lo sumo un número finito de puntos , siendo en

los que tiene discontinuidades finitas y es continua en cada intervalo abierto

. Véase Figura 3.1. Se dice que la función es de orden exponencial

si existen números c, , tales que . Si por ejemplo

f es una función creciente, entonces la condición ,

simplemente expresa la gráfica de f en el intervalo no crece más rápido que

la gráfica , donde c es una constante positiva. Véase Figura 3.2.

Figura 3.1 Función continua por partes Figura 3.2 f es de orden exponencial c

Por ejemplo, y son todas de orden exponencial

para puesto que en este intervalo tenemos respectivamente, ,

, En la figura 3.3 se muestra una comparación de las gráficas.

I.T.P.N.


112

Figura 3.3 Tres funciones de orden exponencial c = 1.

Una función como no es de orden exponencial ya que, como se muestra es la figura 3.4, su gráfica crece más rápido que cualquier potencia lineal

y positiva de para .

Figura 3.4

Una potencial entera y positiva de es siempre de orden exponencial puesto que

para

O bien para

Es equivalente a demostrar que es finito para El resultado se deduce aplicando n veces la regla de L’Hôpital.

3.3 Trasformada de Laplace de funciones básicas

Teorema 3.1

I.T.P.N.


113

Sea continua parte por parte para entonces existe para .

Demostración

.

Ahora bien, existe ya que puede escribirse como una suma de integrales sobre

intervalos en los cuales es continua. existe ya que

para .

Ejemplo

Determinar .

Solución

.

Integrando por partes y usando el hecho de que para , obtenemos

I.T.P.N.


114

.

Ejemplo

Evaluar .

Solución

.

El último resultado se deduce del hecho que para o

.

Ejemplo

Evaluar .

Solución

I.T.P.N.


115

e integrando por partes

.

Ahora despejamos

.

Ejemplo

Determinar .

Solución

.

I.T.P.N.


116

Ejemplo

Determinar .

Solución

e integrando por partes

.

Ejemplo

Determinar .

Solución. De acuerdo a la definición e integrando por partes

I.T.P.N.


117

.

Teorema 3.2

La parte (b) del teorema 3.2 puede justificarse de la siguiente manera. Integrando por partes resulta

I.T.P.N.


118

Ahora luego por iteración se obtiene que

.

En general, parece razonable escribir que

. Ejemplo

Calcular .

Solución. Con una identidad trigonométrica y las partes (a) y (e) del teorema 3.2 obtenemos

.

Problemas PropuestosTrasformada de Laplace de funciones básicas

Encuentre la transformada de Laplace de las funciones usando el Teorema 3.2.

Soluciones

I.T.P.N.


119

1).-

2).-

3).-

3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Ejemplo

Determinar .

.

Solución

.

3.5 Función escalón unitaria

I.T.P.N.


120

En ingeniería se encuentran a menudo funciones que puede “conectarse” o “desconectarse”. Por ejemplo, una fuerza exterior que actúa sobre un sistema mecánico o un voltaje suministrado a un circuito pueden ser desconectados después de un cierto periodo. Es por lo tanto, convenientemente definir una función especial llamada función escalón unitaria.

La función escalón unitaria se define como:

.

Nótese que se define solamente en el eje no negativo ya que esto basta

para estudiar la transformada de Laplace. En un sentido más amplio,

para .

Ejemplo

Trace las gráficas de (a) y (b) .

Solución

a)

b) .

I.T.P.N.


121

Figura 3.5

La función escalón unitaria, al ser combinada con otras funciones definidas para

“trunca” una parte de sus gráficas. Por ejemplo en la figura 3.6, en la que se

ilustra la gráfica de donde

Figura 3.6

3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitaria

I.T.P.N.


122

Si , entonces

.

Ejemplo

.

3.6 Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

Evaluar transformadas como es directo siempre que se

conozca (y de hecho es así) . En general si se conoce la

transformada de Laplace de una función , , es posible calcular la

transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de , es decir sin un esfuerzo adicional que no sea trasladar, o desplazar la transformada

Este resultado se conoce como el primer teorema de traslación o primer teorema de desplazamiento.

Primer teorema de traslación

Teorema 3.3

Si a es un número real cualquiera, entonces

en donde .

Demostración

I.T.P.N.


123

.

Por consiguiente, si ya conocemos podemos calcular sin

otro esfuerzo adicional que el trasladar o cambiar por . Para mayor énfasis, a veces también es útil emplear el simbolismo

.

Ejemplo

Calcular .

Solución

.

Calcular .

Solución

.

En forma reciproca se tiene para el primer teorema de traslación

I.T.P.N.


124

donde

.

Ejemplo

Calcular

.

Solución

.

Ejemplo

Determinar

.

Solución

I.T.P.N.


125

.

Segundo teorema de la traslación

Teorema 3.4

Si , entonces

.

Demostración

.

Ahora bien sea ; entonces

I.T.P.N.


126

.

Ejemplo

Evaluar .

Solución. Con la identificación , se concluye que

.

Ejemplo

Evaluar .

Solución. Haciendo y se tiene

.

Ejemplo

Determinar .

I.T.P.N.


127

Solución. Con , y tomando en cuenta que tiene periodo

.

La forma recíproca es del segundo teorema de traslación es

en donde y .

Ejemplo

Calcular

.

Solución. Identificamos y .Por consiguiente

.


Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

I.T.P.N.


128

Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

Soluciones

1).-

2).-

3).-

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t

Multiplicación de una función por La transformada de Laplace del producto de

una función con se puede encontrar mediante diferenciación de la

transformada de Laplace de . Para motivar este resultado, se supone que

existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces

.

Es decir,

.

Se puede usar el resultado para hallar la transformada de Laplace de

I.T.P.N.


129

Teorema 3.5

Para

en donde .

Ejemplo

Calcular .

.

Calcular .

.

Calcular .

I.T.P.N.


130

.

Calcular .

.

3.8 Trasformada de derivadas

Teorema 3.6

Si son continuas para y de orden exponencial, y si

es continua parte por parte para , entonces

en donde .

I.T.P.N.


131

Ejemplo

Calcular. .

.

3.9 Trasformada de integrales

Sea f una función de orden exponencial y continua parte por parte en entonces se tiene que

3.10 Teorema de la convolución

Si las funciones f y g son continuas parte por parte en entonces un

producto especial, denotado por , se define mediante la integral

y se llama convolución de f y g. La convolución es una función de . Por ejemplo,

.

Se puede demostrar que

I.T.P.N.


132

es decir, Esto significa que la convolución de dos funciones es conmutativa.

Teorema de convolución

Teorema 3.7

Si son funciones continúas parte por parte en y de orden exponencial, entonces

.

Demostración

Sea

y

Si se procede de manera formal, se tiene

.

Manteniendo T fija, se permite que de modo que

.

I.T.P.N.


133

En el plano se realiza la integración en la región sombreada en la figura 3.7.

Puesto que f y g son continuas por partes en y de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integración:

Figura 3.7 Ejemplo

.

En virtud del teorema 3.7 se tiene reciprocamente

.

Ejemplo

Determinar

I.T.P.N.


134

.

Solución

.

3.11 Transformada de una Función Periódica

Si una función periódica tiene periodo , siendo , entonces La transformada de Laplace de una función periódica puede obtenerse integrando sobre un periodo.

Teorema 3.8

Sea continua parte por parte para y de orden exponencial. Si es

periódica de periodo , entonces

Ejemplo

Hallar la transformada de Laplace de la función periódica mostrada en la fig. 3.8.

I.T.P.N.


135

Figura 3.8

Solución. En el intervalo la función puede definirse por

y fuera del intervalo por . Identificado , por el teorema 3.8 e integración por partes

Problemas PropuestosTransformada de una Función Periódica

En los siguientes problemas, use el Teorema 3.8 para encontrar la transformada de Laplace de la función periódica que se indica.

1).-

I.T.P.N.


136

Figura 3.9 Función Serpentina

2).-

Figura 3.10 Función Sierra3).-

Figura 3.11 Rectificación completa de la onda de

Soluciones

1).- 2).- 3).-

3.12 Función Delta Dirac

Función impulso unitario

A menudo, los sistemas mecánicos están sometidos a una fuerza exterior (o a una tensión aplicada en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga

I.T.P.N.


137

eléctrica podría caer sobre el ala ya vibrante de un avión o a un peso sujeto a un resorte podría dársele un golpe seco con un martillo, o bien una pelota de golf inicialmente en reposo podría ser enviada velozmente a los aires al ser golpeada con violenta por un bastón o palo de golf. La función

puede servir de modelo matemático para tal fuerza. Para valores de es esencialmente una función constante de gran amplitud que está “conectada” o

“activada” sólo por un corto intervalo de tiempo en torno a (figura 3.12 (a)). A la

función se le llama impulso unitario ya que tiene la propiedad de integración

Figura 3.12

Función Delta Dirac

En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso unitario, que es una

“función” que se aproxima a y está definida por el límite

I.T.P.N.


138

El comportamiento de cuando se ilustra en la figura 3.12 (b) y es llamada función Delta Dirac. Esta última, la cual en realidad no es una función, se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes

3.13 Transformada de Laplace de la función Delta Dirac

La transformada de Laplace de la función Delta Dirac es

Ejemplo

Resolver

Sujeta a (a) , ; (b) , .

Estos dos problemas de valores iníciales podían servir como modelos para describir el movimiento de una masa sujeta a un resorte que tiene lugar en un

medio en el cual la amortiguación es insignificante. En segundos la masa recibe un golpe seco. En (a) la masa se suelta desde el reposo, en un punto que esta 1 unidad abajo de la posición de equilibrio. En (b) la masa esta en reposo en la posición de equilibrio.

Solución. (a) Con la ayuda del teorema 3.6 la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es

o bien

I.T.P.N.


139

Usando el segundo teorema de traslación,

Puesto que , la solución precedente se puede escribir

(b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente

y por lo tanto

En la figura 3.13 (a) vemos, a partir de la gráfica de la respuesta en el caso (a),

que la masa experimenta un movimiento armónico simple hasta el instante en que es golpeada. La influencia del impulso unitario consiste en un argumento

de la amplitud de vibración a , para . La gráfica de la respuesta para el caso (b) se muestra en la figura 3.14 (b), como sería de esperar a partir de las condiciones iníciales (b), que la masa no experimenta movimiento alguno hasta

que es golpeada en .

Figura 3.13

I.T.P.N.


140


Función Delta Dirac

1).- , ,

2).- , , ,

3).- , , ,

Soluciones

1).- 2).-

3).-

3.14 Transformada Inversa

Usando la definición integral de la transformada de Laplace de una función

determinamos otra función , estos es, una función del parámetro de la

transformada. Simbólicamente, denotamos esto por .

Ahora invertimos el problema, es decir, dada queremos encontrar la función

que corresponde a esta transformada. Decimos que es la transformada

inversa de Laplace de y escribimos

.

3.15 Algunas Transformadas Inversas

Teorema 3.9

a)

I.T.P.N.


141

b)

c) .

d)

e)

f)

g) También es una Operación Lineal

Supondremos que la transformada de Laplace inversa es una transformada lineal,

esto es, para constantes y cualesquiera, se tiene

donde F y G son las transformadas de ciertas funciones f y g.

Debe hacerse notar que la transformada inversa de Laplace de una función F(s)

puede no ser única. Sin embargo, si y son continuas para y

, entonces necesariamente .

Ejemplo

Calcular

I.T.P.N.


142

Solución. Multiplicamos y dividimos por 4! Y luego usamos la parte (b) del teorema 3.9. Se tiene que

Ejemplo

Evaluar

Solución. Se utiliza la división término a término y la linealidad de la transformada inversa. De las partes (e) y (d) del teorema 3.9 tenemos

Problemas PropuestosTransformada Inversa

Determinar la transformada inversa

Soluciones

1).-

2).-

3).-

3.16 Propiedades de la Transformada Inversa.

Primer teorema de traslación

La forma reciproca del Teorema 3.3 puede escribirse

I.T.P.N.


143

donde .

Ejemplo

Calcular .

Solución

Ejemplo

Calcular

Solución

I.T.P.N.


144

Segundo teorema de traslación

La forma reciproca del teorema 3.4 es

en donde y .

Ejemplo

Calcular .

Solución. Identificando y . Por consiguiente

.

I.T.P.N.


145

3.16.1 Determinación de la Transformada Inversa Mediante el Uso de Fracciones Parciales

El uso de las fracciones parciales es muy importante en la búsqueda de transformadas inversas de Laplace. Repasamos aquí tres casos básicos de dicha teoría. Por ejemplo, los denominadores de

I).-

II).-

III).-

contienen, respectivamente, solamente factores lineales distintos, factores lineales repetidos y un factor cuadrático irreducible.

Ejemplo

Calcular

Solución. Existen constantes A, B y C tales que

Puesto que los denominadores son idénticos se tiene

Comparando los coeficientes de las potencias de s en ambos miembros de la igualdad concluimos que esta última ecuación es equivalente a un sistema de tres

I.T.P.N.


146

ecuaciones con tres incógnitas A, B y C. Sin embargo, recuérdese que hay una

manera más corta para determinar estas incógnitas. Si se considera que ,

, [los ceros del denominador común ], obtenemos, respectivamente,

,

,

, .

Por lo tanto podemos escribir

y entonces de la parte (c) del teorema 3.9,

.

Ejemplo

Calcular .

Solución. Supongamos que

y así

I.T.P.N.


147

Haciendo y resulta , , respectivamente. Igualando

los coeficientes de , y obtenemos

de donde , , . Por lo tanto, de las partes (a), (b) y (c) del teorema 3.9

.

Aquí también se uso la igualdad .

Ejemplo

Determinar .

Solución. Supóngase que

de modo que

I.T.P.N.


148

Haciendo resulta inmediatamente . Ahora bien, los coeficientes de

, , y son

de donde , , , . Por consiguiente, de las partes (a), (b), (c) y (d) del teorema 3.9

3.16.2 Determinación de la Transformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside

La función escalón unitario o función de Heaviside se define como

.

Observación: la función de heaviside se definió sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general

para .

I.T.P.N.


149

Ejemplo

Trazar la gráfica de la función

Solución. La función se muestra en la figura 3.14, y esta está dada por

.

Figura 3.14

Cuando la función de Heaviside se multiplica por una función ,

definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.

Ejemplo

Trazar la gráfica de la función .

Solución. La función se muestra en la figura 3.15, y está dada por

I.T.P.N.


150

Figura 3.15

La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo Use la función de Heaviside para reescribir la función

.

Solución. Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaviside

.

Observación. La función

I.T.P.N.


151

se escribe usando la función de Heaviside como

.

Transformada de la función Heaviside

La transformada de la función de Heaviside es

.

Demostración. Usando la definición de transformada

Unidad IV. Ecuaciones diferenciales lineales y sistema de ecuaciones diferenciales lineales

I.T.P.N.


152

4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iníciales por medio de la transformada de Laplace

Puesto que depende de y sus derivadas calculadas en

la transformada de Laplace es especialmente adecuada para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Esta clase de ecuaciones diferenciales puede ser reducida a una

ecuación algebráica en la función transformada Para ver esto considere el problema de valor inicial

en donde son constantes. Por la linealidad de la transformada de Laplace podemos escribir

.

Usando el teorema 3.6 la expresión se transforma en

o bien

[

I.T.P.N.


153

en donde y . Despejando en esta ecuación

encontramos calculando la transformada inversa

El procedimiento se resume en la figura 4.1.

Ejemplo

Resolver sujeta a .

Figura 4.1

I.T.P.N.


154

Solución. Primero aplicamos la transformada a cada miembro de la ecuación diferencial dada,

.

Luego usamos y Por lo tanto,

o bien

.

Mediante fracciones parciales:

lo cual da

.

Haciendo y en la última ecuación, obtenemos y , respectivamente. En consecuencia,

resultando que

.

Ejemplo

Resolver

I.T.P.N.


155

Solución

.

Usando las condiciones iníciales y simplificando resulta

y por lo tanto,

Del primer teorema de traslación, recuerde que

.

Por consiguiente,

.

Ejemplo

Resolver

I.T.P.N.


156

.

Solución

Mediante fracciones parciales:

lo cual implica

Haciendo y resulta y , respectivamente. Igualando

los coeficientes de y resulta

y por lo tanto se tiene que y Por consiguiente,

.

I.T.P.N.


157

Por tanto obtenemos

.

Ejemplo

Resolver

.

Solución. Recuérdese que este problema de valor inicial podría describir el movimiento forzado, no amortiguado y resonante de una masa sujeta a un resorte. La masa parte en dirección hacia abajo desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1 pies/s. Ahora bien, se podría resolver este problema fácilmente mediante variación de parámetros, pero el uso de la transformada de Laplace ahorra la determinación de las constantes que naturalmente aparecerían

en la solución general

Aplicando la transformada de Laplace en la ecuación diferencial resulta

.

1

-1

t

I.T.P.N.


158

Ejemplo

Resolver

en donde

y , .

Solución. La función puede ser interpretada como una fuerza exterior que actúa sobre el sistema mecánico solamente por un periodo corto y que después es suprimida. (Véase la figura4.2.) Aunque en este problema podría resolverse mediante métodos convencionales, estos procedimientos no son del todo

convenientes cuando está definida parte por parte. Usando la periodicidad del coseno podemos escribir

Con la ayuda del segundo teorema de translación se deduce que

.

1

-1

t

I.T.P.N.


159

Figura 4.2

Por tanto

Esta última solución equivale a

.

De la gráfica de en la figura 4.3 obsérvese que las amplitudes de oscilación se hacen estacionarias en cuanto se suprime la fuerza exterior.

Figura 4.3

I.T.P.N.


160

Ejemplo

Resolver

en donde

y

Solución. Por el segundo teorema de traslación y luego de simplificar, la transformada de la ecuación diferencial es

o bien

.

Con el método de las fracciones parciales, la ultima ecuación se convierte en

.

Utilizando nuevamente la forma inversa del segundo teorema de translación queda

Una ecuación integral

I.T.P.N.


161

El teorema de la convolución es útil para resolver otros tipos de ecuaciones en las que aparece una función incógnita bajo un signo de integral. En el ejemplo

siguiente obtenemos resolviendo una ecuación integral de la forma

donde las funciones y son conocidas.

Ejemplo

Obtener de

.

Solución. Del teorema de convolución se deduce que

.

Por lo tanto,

I.T.P.N.


162

Ejercicios Propuestos

Solución de ecuaciones diferenciales usando la Transformada de Laplace

Resolver

4.2 Solución de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales con condiciones Iníciales por medio de la Transformada de Laplace.

Cuando de especifican condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes a un conjunto de ecuaciones algebráicas simultaneas en las funciones transformadas.

Ejemplo

Resolver

I.T.P.N.


163

Solución. Si , después de transformar cada ecuación obtenemos

o bien

.

Multiplicando la segunda ecuación de por 2 y restándosela a la primera resulta

.

Ahora bien, mediante fracciones parciales

de modo que

.

Haciendo en el último renglón resulta

respectivamente; en tanto que igualando los coeficientes de en cada miembro de la igualdad resulta

.

Se tiene que Por consiguiente

I.T.P.N.


164

y por tanto

.

Por la segunda ecuación


.

Por consiguiente, concluimos que la solución del sistema dado es

.

4.3 Problemas de Aplicaciones

Veamos ahora algunas aplicaciones elementales que involucran sistemas de ecuaciones diferenciales. Las soluciones de los problemas que consideraremos pueden ser obtenidas usando el método de la transformada de Laplace.

Resortes acoplados.

I.T.P.N.


165

Supongamos que dos masas están sujetas a dos resortes , de

masa insignificante, cuyas constantes son , respectivamente. A su vez, los dos resortes están conectados como se muestra en la figura 4.4. Sean

los desplazamientos verticales de las masas con respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema se encuentra en movimiento, el resorte

está sujeto tanto a un alargamiento como a un acortamiento, por consiguiente,

su alargamiento neto es . De este modo, por la ley de Hooke resulta que los

resortes ejercen sobre , respectivamente, las fuerzas

.

Si no se aplica ninguna fuerza externa al sistema y no hay fuerzas de

amortiguación, entonces la fuerza neta sobre es

Figura 4.4

por la segunda ley de Newton podemos escribir

I.T.P.N.


166

.

De igual modo, la fuerza neta ejercida sobre la masa se debe solamente al

alargamiento neto de es decir,

.

De esta manera

.

En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado queda descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden simultaneas:

.

En el próximo ejemplo resolveremos el sistema de ecuaciones anterior suponiendo que

y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias de dirección opuesta.

Ejemplo

sujeto a

Solución. La transformada de Laplace de cada ecuación es

I.T.P.N.


167

en donde El sistema anterior es equivalente al sistema

.

Eliminando resulta

.

Usando facciones parciales podemos escribir

.

Comparando los coeficientes de en cada miembro de la igualdad resulta

de modo que . Por lo tanto,

I.T.P.N.


168

.

De la primera ecuación se deduce que

Siguiendo el proceso anterior, mediante facciones parciales obtenemos

.

Finalmente, la solución del sistema dado es

.

Redes Eléctricas

Un sistema eléctrico (red) con más de un circuito simple (o lazo) también da origen a ecuaciones diferenciales simultáneas. Tal como se muestra en la figura 4.5, la

corriente (t) se divide según las direcciones indicadas en el punto , llamado punto de ramificación de la red. Por la primera ley de Kirchhoff podemos escribir

.

I.T.P.N.


169

Figura 4.5

Además también podemos aplicar la segunda ley de kirchhoff a cada circuito. En

el caso del circuito , sumando las caídas de voltaje a través de cada parte del circuito resulta

.

Análogamente, para el circuito obtenemos

.

Resultan dos ecuaciones de primer orden

.

Una vez dadas las condiciones iníciales naturales , el sistema está listo para ser resuelto mediante la transformada de Laplace.

I.T.P.N.


170

Demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las corrientes

e en la red de la figura 4.6 que contiene un resistor, un inductor y un capacitor es

Figura 4.6

Ejemplo

Resolver el sistema de ecuaciones anterior con las condiciones

y donde son inicialmente iguales a cero.

Solución. Debemos resolver

sujeto a .

Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema y simplificando resulta

I.T.P.N.


171

donde . Resolviendo el sistema para e resulta

.

Mediante fracciones parciales podemos escribir


.

Nótese que las dos corrientes del ejemplo precedente tienden al valor

cuando . Además, como la corriente a través del capacitor es

observamos que cuando

I.T.P.N.


172

Unidad 5 Series de Fourier

5.1 Funciones Ortogonales

DEFINICION

Dos funciones se dicen ortogonales en un intervalo si

.

I.T.P.N.


173

Ejemplo

y son ortogonales en ya que

.

A diferencia del análisis vectorial, donde el concepto “ortogonal” es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término “ortogonal” y la condición correspondiente carecen de significado geométrico.

5.2 Conjuntos Ortogonales y Conjuntos Ortonormales

DEFINICION

Un conjunto de funciones de valores reales,

se dice ortogonal en un intervalo si

.

Al número

se llama norma cuadrada y

I.T.P.N.


174

es la norma de la función . Si es un conjunto ortogonal en

y tiene la propiedad de que para entonces se dice que

es un conjunto ortonormal en el intervalo.

Ejemplo

Demostrar que el conjunto es ortogonal en el intervalo

.

Solución. Si hacemos la identificación y entonces hay

que demostrar que , y que , . En el primer caso tenemos

,

y en el segundo

I.T.P.N.


175

.

Ejemplo

Hallar la norma de cada una de las funciones pertenecientes al conjunto ortogonal dado en el ejemplo anterior.

Solución. Para , obtenemos

de modo que . Para , se tiene

.

Así, para , .

DEFINICION

Un conjunto de funciones , con se dice ortogonal con

respecto a una función de peso en un intervalo si

, .

Ejemplo

El conjunto , es ortogonal con respecto a la función de peso

constante en el intervalo .

I.T.P.N.


176

5.3 Definición de Serie de Fourier

Supongamos que es un conjunto ortogonal infinito de funciones en un

intervalo . Nos preguntamos: si es una función definida en el

intervalo ¿Es posible determinar un conjunto de coeficientes , siendo

para los cuales

Multiplicando la ecuación por e integrando sobre el intervalo resulta

Por ortogonalidad, cada término en el segundo miembro de la última ecuación es

cero excepto cuando . En este caso tenemos

.

Se deduce que los coeficientes requeridos son

En otras palabras, si

entonces

I.T.P.N.


177

.

Si es ortogonal con respecto a una función de peso en ,

entonces multiplicando la ecuación inicial por e integrando, resulta

en donde

La serie con coeficientes dados por las ecuaciones anteriores se llama Serie de Fourier generalizada.

Hacemos notar que el procedimiento descrito para determinar los fue formal, esto es, se ignoraron cuestiones básicas acerca de si un desarrollo en serie tal como el descrito es realmente posible.

5.3.1. Series de Fourier

El conjunto de funciones

(1)

es ortogonal en el intervalo Supongamos que es una función

definida en el intervalo que puede ser desarrollada en la serie trigonométrica,

. (2)

I.T.P.N.


178

Entonces los coeficientes pueden ser determinados como sigue.

Integrando ambos miembros de la ecuación (2) entre resulta

. (3)

Puesto que cada una de las funciones es ortogonal a 1 en el intervalo, el segundo de esta ecuación se reduce a un sólo término, y en consecuencia,

.

Despejando resulta

. (4)

Ahora bien, multiplicando (2) por e integrando resulta:

. (5)

Ahora bien,

I.T.P.N.


179

,

,

y

de modo que (5) se reduce a

.

Por lo tanto,

. (6)

Finalmente, si multiplicamos (2) por integramos, y hacemos uso de los resultados

,

obtenemos que

I.T.P.N.


180

. (7)

A la serie trigonométrica (2), con coeficientes definidos por (4), (6) y (7),

respectivamente, se le llama serie de Fourier de la función Los coeficientes

obtenidos de (4), (6) y (7) se conocen como coeficientes de Fourier de .

Tal como en la presentación de la serie de Fourier generalizada en la sección

precedente, la suposición básica de que podía ser representada mediante una serie tal como (2) y la posterior determinación de los coeficientes correspondientes

a esta suposición fueron, ambas, estrictamente formales. Suposiciones que era intangible en el intervalo y que tanto (2) como las series obtenidas multiplicando

(2) por convergían de manera tal que se podía integrar

termino a término. Mientras no se demuestre que, para una función dada , (2) converge, el signo de igualdad no debe tomarse en sentido literal estricto. Resumimos los resultados anteriores en lo siguiente:

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo está dada por

en donde

.

Ejemplo

I.T.P.N.


181

Desarrollar

en serie de Fourier.

Solución. La gráfica de se da en la Figura 5.1.

Con , tenemos que

Figura 5.1

I.T.P.N.


182

.

En forma análoga, obtenemos que

.

Por lo tanto

.

5.4 Convergencia de Serie de Fourier

El siguiente teorema da condiciones suficientes para la convergencia de una serie

de Fourier a

Teorema 5.1

Sean y continuas parte por parte en ; esto es, sean y continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo en los cuales tienen solamente discontinuidades finitas. Entonces, en un punto de continuidad,

la serie de Fourier de en el intervalo converge a . En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier convergerá al promedio

en donde denotan el límite de en , por la derecha y por la izquierda, respectivamente.

I.T.P.N.


183

Ejemplo

La función dada en el ejemplo precedente satisface las condiciones del Teorema

5.1. Por consiguiente, para todo en , excepto en , la serie

convergerá a . En x=0 la función es discontinua y por lo tanto la serie convergerá a

.

5.5 Series de Fourier Función Periodo Arbitrario

Obsérvese que las funciones pertenecientes al conjunto básico (1) tienen un

periodo común . Por lo tanto el segundo miembro de (2) es periódico. Concluimos que una serie de Fourier no solamente representa a la función en el

intervalo , si no también da una extensión periódica de fuera de este

intervalo. Ahora podemos aplicar el teorema anterior a la extensión periódica de ,

o suponer en principio que la función dada es periódica con periodo (esto es,

. Cuando es continua parte por parte y las derivadas por la

derecha y por la izquierda existen en , respectivamente, entonces

la serie (8) convergerá al promedio en estos puntos

extremos, y a este valor extendido periódicamente a , etcétera.

Ejemplo

La serie de Fourier del ejemplo anterior converge en la extensión periódica de la función en todo el eje x. Los puntos, dados en la figura 5.2 representa el valor

I.T.P.N.


184

en En , la serie convergerá al valor

.

Ejercicios Propuestos

Series de Fourier

Encuentre la serie de Fourier

1).-

2).-

Figura 5.2

I.T.P.N.


185

3).-

4).-

5.6 Serie de Fourier de Funciones Pares e Impares (Desarrollo Conseinoidal o Senoidal)

El lector recordará que una función es par si

y si

entonces la función es impar.

Ejemplo

a).- es par puesto que

.

I.T.P.N.


186

(Véase la figura 5.3.)

b).- es impar puesto que

(Véase la figura 5.4.)

Como se ilustra en las figuras 5.3 y 5.4, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y, y la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Figura 5.3

Figura 5.4

I.T.P.N.


187

Ejemplo

Puesto que y , el coseno es una función par y el seno es una función impar, respectivamente.

Propiedades de las funciones pares e impares

Las demostraciones de las propiedades siguientes se dejan como ejercicio.

I).- El producto de dos funciones pares es par.II).- El producto de dos funciones impares es par.III).- El producto de una función par y una impar es impar.

IV).- Si es par, entonces

V).- Si es impar, entonces

Series de cosenos y series de senos

Si f es una función par en , entonces, considerando las propiedades precedentes, se tiene que los coeficientes se transforman en

par

I.T.P.N.


188

De manera similar, cuando es impar en el intervalo

,

Ejemplo

Desarrollar , en una serie de Fourier.

Solución. Desarrollamos en serie de senos, puesto que un examen de la figura

5.5 muestra que la función es impar en el intervalo .

Figura 5.5

Con la identificación entonces

Entonces, integrando por partes resulta

impar

2 4 6 8 10-10 -8 -6 -4 -2

I.T.P.N.


189

.

Por lo tanto,

Ejemplo

La función del ejemplo precedente satisface las condiciones del Teorema 5.1 Por

lo tanto la serie (6) converge a la función en y a la extensión periódica (de periodo 4) dada en la figura 5.6.

Figura 5.6

Ejemplo

La función mostrada en la figura 5.7 es impar en el

intervalo Con , resulta

1

-1

x

I.T.P.N.


190

y entonces

Sucesión de sumas parciales

Es interesante ver como la sucesión de sumas parciales de una serie de Fourier

se aproxima a la función. En la figura 5.8 se compara la gráfica de la función del ejemplo anterior con las gráficas de las tres primeras sumas parciales de la serie.

Figura 5.7

y

-L L

y

-L L

y

-L L

I.T.P.N.


191

5.7 Serie de Fourier en medio intervalo

En la discusión procedente se considero que la función estaba definida en un

intervalo cuyo punto medio era el origen, esto es . Sin embargo, en muchos casos interesa representar, mediante una serie trigonométrica, una

función que sólo está definida en Esto puede hacerse de muchas

maneras dando una definición arbitraria de la función para el intervalo Para ser breves consideramos los tres casos más importantes.

Si está definida en

I).- Refleje la gráfica de la función respecto al eje , para . Ahora la

función es par en . Véase la figura 5.9. O bien,

II).- Refleje la gráfica de la función respecto al origen, para . Ahora bien

la función es impar en . Véase la figura 5.10. O bien,

III).- Defina f en mediante Véase la figura 5.11.

(a) (b)

Figura 5.8

2 ,0y x x L

Figura 5.12

I.T.P.N.


192

Ejemplo

Desarrollar

a) En serie de cosenos, b) En serie de cosenos, c) En serie de Fourier.

Solución. La gráfica de la función está dada en la figura 5.12.

a) Tenemos

e integrando por partes,

Figura 5.9

I.T.P.N.


193

Por consiguiente,

b) En este caso

Después de integrar por partes obtenemos

Por tanto,

I.T.P.N.


194

c) Con , tenemos

Por lo tanto,

Las series obtenidas convergen a la extensión para periódica de , a la

extensión impar periódica de f y a la extensión periódica de respectivamente. En la figura 5.13 Se muestra las gráficas de dichas extensiones periódicas.

I.T.P.N.


195

Figura 5.13

Ejercicios Propuestos:

Serie de Fourier de funciones pares e impares

Desarrolle la función dada en la serie de cosenos o senos apropiada.

1).-

2) ,

3) ,

I.T.P.N.


196

4) ,

5)

5.8 Formas Complejas de la Serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una función periódica con periodo

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

donde .

Sustituyendo se tiene

y usando el hecho de que se llega a

f ( t )= 1

2a0+∑

n=1

∞

[ an1

2(ejnω0 t+e

− jn ω0 t )+bn12 j

(ejn ω0 t−e

− jn ω0 t ) ]

I.T.P.N.


197

Definiendo

la serie se puede escribir como

o bien,

Es decir,

.

A la expresión obtenida, se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus

coeficientes pueden obtenerse a partir de los coeficientes como ya se dijo, o bien

Para

Los coeficientes son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar

.

Obviamente,

I.T.P.N.


198

donde

,

para todo

Para , es un número real

Unidad 6 Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales

6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad)

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.Se debe recordar que el orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial determina el orden de la ecuación. Así mismo se entiende que una ecuación diferencial lineal tiene dos propiedades que la definen como tal, esto es, sus coeficientes dependen sólo de la o las variables independientes, y tanto la variable dependiente como sus derivadas son de primer orden.

c−n=cn¿=|cn|e

− jφn

φn=arctan(−bnan

)|cn|=1

2 √an2+bn2

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)

http://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_de_fluidos

http://es.wikipedia.org/wiki/Electrodin%C3%A1mica

http://es.wikipedia.org/wiki/Electrost%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Calor

http://es.wikipedia.org/wiki/Sonido

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

I.T.P.N.


199

6.2 Forma general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden

En éste breve introducción a las ecuaciones diferenciales en derivada parciales, nos interesaremos en ecuaciones lineales de 2 variables:

en donde A, B, C,….G son funciones de x y y. Cuando =0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea.

6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de 2 orden (elípticas, parabólicas e hiperbólicas)

Sea

entonces se tiene que:

a) La ecuación EDP lineal es elíptica si el determinante de Z es mayor a 0.

b) La ecuación en cuestión es parabólica si el determinante de Z es cero.

c) La ecuación es hiperbólica si el determinante de Z es menor que cero.

6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales (directos, equiparables con las ordinarias y separación de variables)

Solución por integración

De los cursos de cálculo recuérdese que cuando se integra por derivada parcial aparece una función arbitraria de una constante de integración. Por ejemplo, la

solución de es donde es una función diferenciable.

Ejemplo

I.T.P.N.


200

La ecuación de segundo orden

puede ser resuelta integrando 2 veces con respecto a :

donde y son funciones arbitrarias.

Ejemplo

Resolver

Solución. Si hacemos la ecuación se transforma en

Tratando esta última ecuación como lo haríamos con una ecuación ordinaria lineal

de primer orden, se ve que el factor integrante es por lo tanto, da

en donde F es arbitraria. Usando la sustitución original e integrando con respecto

a resulta

I.T.P.N.


201

Aquí se escribió

Ejemplo

Resolver

Solución. Resolvemos la ecuación como lo haríamos para una ecuación diferencial ordinaria no homogénea lineal de segundo orden, esto es, primero resolvemos

Tratando a y como constante, se desprende que

Para encontrar una solución particular usamos coeficientes indeterminados y suponemos que

Sustituyendo esta última función en la ecuación dada resulta

y por lo tanto Luego una solución de la ecuación es

Separación de variables

I.T.P.N.


202

A veces, para una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal homogénea es posible obtener soluciones particulares en forma de producto

El uso del producto anterior llamado método de separación de variables, permite reducir la ecuación diferencial en derivadas parciales a varias ecuaciones diferenciales ordinarias.

Con este propósito, hacemos notar que

y

en donde las primas indican diferenciales ordinarias.

Ejemplo

Hallar soluciones en forma de producto de la ecuación

.

Solución. Si entonces la ecuación se transforma en

.

Después de dividir ambos miembros entre 4 , se logra separar las variables

.

Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es independiente de y es idéntico

al lado derecho, el cual es independiente de , concluimos que ambos miembros

I.T.P.N.


203

deben ser iguales a una constante. En la práctica es conveniente escribir esta

constante real como , o bien como - . Distinguimos los casos siguientes.

Caso I . Usando las igualdades

conduce a .

Estas últimas ecuaciones tienen las soluciones

respectivamente. Así, una solución particular es

en donde .

Recuérdese que x puede ser escrita en la forma alternativa

Caso II. Usando las igualdades

dan .Puesto que las soluciones de estas ecuaciones son

respectivamente, otra solución es

I.T.P.N.


204

en donde .

Caso III. Si se tiene que

.

En este caso

de modo que

en donde .

Ejemplo

Hallar una solución en forma de producto de

que satisfaga las condiciones .

Solución

Si podemos escribir la ecuación dada como

lo que conduce a

y

respectivamente. Ahora bien, puesto que

I.T.P.N.


205

debemos tener y . Estas son condiciones de frontera para la ecuación diferencial ordinaria. Aplicando la primera de tales condiciones, resulta

de inmediato . Por lo tanto.

.

La segunda condición de frontera implica ahora que

.

Si entonces de modo que . Para obtener una solución no trivial

, debemos tener y entonces la última ecuación se satisface cuando

.

Esto implica que siendo

Por consiguiente

)

satisface la ecuación dada y ambas condiciones adicionales. El coeficiente se

reescribe como para recalcar que se obtiene una solución diferente para cada

. El lector debe verificar que si se usa , no se llega a una solución que

satisfaga .

Principio de superposición

Teorema 6.1. Principio de superposición

Si son soluciones de una ecuación diferencial particular lineal homogénea, entonces la combinación lineal

I.T.P.N.


206

donde los , son constantes, también es una solución.

En la próxima sección supondremos formalmente que cada vez que tengamos un conjunto infinito

….. de soluciones de una ecuación lineal homogénea, aún podemos obtener otra

solución formando la serie infinita

Ejemplo

En virtud del principio de superposición, la función definida mediante la serie

debe satisfacer también, aunque sea formalmente, la ecuación de ejemplo

anterior. Obsérvese también que satisface las condiciones

6.5 Aplicaciones

Problemas de condición de frontera

Ecuaciones especiales. Las siguientes ecuaciones diferenciales parciales lineales

, , (1)

, (2)

I.T.P.N.


207

(3)

desempeñan un papel importante en muchas áreas de física e ingeniería. Las ecuaciones (1) y (2) son conocidas como ecuación del calor en una dimensión y ecuación de donde en una dimensión respectivamente, “una dimensión” se refiere al hecho de que denota una dimensión espacial, en tanto que generalmente representa tiempo la ecuación (3) se llama ecuación de Laplace.

Concluimos esta unidad usando el método de separación de variables para resolver varios problemas aplicados, cada uno de los cuales es descrito por una de las ecuaciones anteriores además de ciertas condiciones adicionales. Estas condiciones adicionales consisten en:

I) Condiciones de frontera: o especificada para =constante; o

especificada para =constante, y

II) Condiciones iniciales: en =0 para la ecuación (1), o bien, y en =0 para la ecuación (2).

La descripción matemática colectiva de un problema de esta naturaleza es conocida como problema de condición en la frontera.

La ecuación (1) aparece en la teoría del flujo de calor (esto es, calor transmitido

por conducción) en una varilla o en un alambre delgado. La función es la

temperatura de la varilla. Los problemas de vibraciones mecánicas a menudo conducen a la ecuación de onda (2). En nuestro caso la solución de (2) representar los pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante idealizada. Por

último la solución de la ecuación de Laplace (3) puede ser interpretada como la distribución estacionaria (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa plana y delgada. Para ver como se deduce la ecuación del flujo de calor y la ecuación de onda, el lector puede recurrir a la edición alternativa de este libro.

I.T.P.N.


208

Aunque nos concentremos en la resolución de los problemas recién descritos, hacemos notar que el análisis de una amplia variedad de diversos fenómenos lleva a las ecuaciones (1) (2) (3), o a sus generalizaciones para un mayor número de variables espaciales. Por ejemplo, a (1) a veces se le llama ecuación de difusión, puesto que la difusión de substancias disueltas en solución análoga al flujo de calor en un sólido.

La función que satisface la ecuación diferencial parcial representa, en este caso, la concentración de líquido. De manera similar, la ecuación (1) surge en el estudio del flujo de electricidad en un cable largo o en una línea de transmisión. En este contexto (1) es conocida como ecuación de la transmisión (telegráfica). Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones, la corriente y el voltaje de una línea son funciones que satisfacen 2 ecuaciones de idéntica forma que la ecuación (1). La ecuación de onda (2) también aparece en la teoría de las líneas de transmisión de alta frecuencia, mecánica de fluidos, acústica y elasticidad. La ecuación de Laplace (3) aparece en problemas de ingeniería relacionados con desplazamientos estáticos de membranas y más a menudo en problemas que tratan de potenciales, como potencial electroestático, potencial gravitacional y potencial de velocidad en la mecánica de fluidos.

La ecuación de flujo de calor

Consideremos una barra delgada o varilla de largo L con una distribución

longitudinal de temperatura y cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante (figura 6.1). Si

1- el flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje ,

2- no se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla, 3- no se genera calor en la varilla,4- la varilla es homogénea, esto es su densidad por unidad de longitud es

constante, 5- su calor especifico y su conductividad térmica son constantes,

Figura 6.1

I.T.P.N.


209

entonces la temperatura de la varilla está dada por la solución del problema de condición de frontera

, (4)

, (5)

. (6)

La constante es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad térmica.

Solución. Usando el producto como constante de separación, se llega a

, (7)

. (8)

Ya hemos obtenido resolviendo (7) la solución de la ecuación (4) sujeta a las condiciones de frontera (5). Se vio que (7) tenía una solución no trivial sólo si el

parámetro adoptaba los valores

(9)

Las correspondientes soluciones eran entonces

(10)

I.T.P.N.


210

Valores propios y funciones propias

Los valores (9) para los cuales (7) tiene una solución no trivial son conocidos como valores característicos o como valores propios. Las soluciones (10) se denominan funciones características o funciones propias. Hacemos notar que para

un valor de distinto de los dados en (9), la única solución de (7) es la función

cero . A su vez esto implicaría que una función que satisface (4) y (5) es

. Sin embargo, no es una solución del problema original de condición en

la frontera cuando . Naturalmente suponemos que se cumple esta última condición.

Puesto que la solución de (8) es

los productos

(11)

satisfacen la ecuación diferencial parcial (4) y las condiciones de frontera (5) para cada valor de entero positivo . Por conveniencia hemos reemplazado la

constante por . Para que las funciones dadas en (11) satisfagan la

condición inicial (6) tendríamos que elegir coeficientes constantes de modo que

. (12)

En general, la condición (12) no se satisface para cualquier . Por lo tanto, nos vemos obligados a admitir que (11) no es una solución del problema dado. Sin embargo, por el principio de superposición, la función

(13)

también satisface (4) y (5). Sustituyendo en (13) se obtiene

I.T.P.N.


211

Vemos que esta última expresión es el desarrollo de en serie de senos en medio

intervalo. Por consiguiente, si hacemos la identificación

Concluimos que la solución del problema de condición de frontera descrito en (4), (5) y (6) está dada por la serie infinita

Fronteras aisladas

En el problema recién descrito, los extremos o fronteras de la varilla podrían estar aislados, en una frontera aislada la derivada normal de la temperatura es cero. Este hecho se deduce de una ley empírica que establece que la densidad de flujo de calor a través de una superficie (el flujo por unidad de área y por unidad de tiempo) es proporcional al valor de la derivada direccional de la temperatura en dirección normal (perpendicular) a la superficie.

Ejemplo

Formular el problema de condición en la frontera para la temperatura u en una

varilla horizontal de largo L si sus extremos están aislados y si su temperatura

inicial longitudinal está dada por f ( x ) , si 0<x<L .

Solución. Los extremos de la varilla son superficies perpendiculares al eje , por

lo tanto en ambos extremos. Por consiguiente, la temperatura de la varilla está dada por la solución de

I.T.P.N.


212

, , t>0 .

∂u∂ x

|x=0=0 ,

∂u∂ x

|x=L=0 , t>0 .

u( x ,0)=f ( x ) , .

La ecuación de onda

En el próximo ejemplo consideramos las vibraciones trasversales de una cuerda

extendida entre dos puntos, por ejemplo, x=0 y x=L . Tal como se muestra en

la figura 6.2, el movimiento se produce en el plano xy de manera tal que cada

punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al eje x . Si u( x , t )denota

el desplazamiento de la cuerda para t>0medidos desde el eje x , entonces u

satisface la ecuación (2) en la cual se asume que.

La cuerda es perfectamente flexible. La cuerda es homogénea, esto es, su masa por unidad de longitud es

constante. Los desplazamientos u son pequeños comparados con el largo de la

cuerda. La tensión de la cuerda es constante. La tensión es grande en comparación con la fuerza de gravedad. No actúan otras fuerzas sobre la cuerda.

Por consiguiente, un problema típico de condición en la frontera es

, , , (14)

, , , (15)

, , . (16)

I.T.P.N.


213

Las condiciones de frontera (15) simplemente dicen que los extremos de la cuerda

permanecen fijos en todo instante. En t=0 las funciones f y g dadas

especifican la configuración inicial y la velocidad inicial de cada punto de la

cuerda, respectivamente. En el contexto está implícito que f es continua y que

f (0)=0 , f (L )=0

Figura 6.2

Solución. Separando variables en (14) resulta

X ´´X

= T ´´a2T

=−λ2

de modo que

X ´´+ λ2 X=0T ´´+λ2a2T=0

y por lo tanto,

Igual que antes, las condiciones de frontera (15) se traducen en X ( 0)=0 y

X (L )=0 . A su vez, obtenemos

c1=0 y

Esta última ecuación de los valores propios λ=nπ /L ,n=1,2,3 , . .. las correspondientes funciones propias son

I.T.P.N.


214

X=c2sennπLx ,

n=1,2,3 ,. . .

Por consiguiente, la solución de la ecuación (14) que satisface las condiciones de frontera (15) son

un=(AncosnπaLt+Bn sen

nπaLt )sen nπ

Lx ,

y

u( x , t )=∑n=1

∞( Ancos

nπaLt+Bn sen

nπaLt )sen nπ

Lx .

(17)

Haciendo t=0 en (17) resulta

u( x ,0)=f ( x )=∑n=1

∞An sen

nπLx

el cual es un desarrollo de f en serie de senos en medio intervalo. Como para la

ecuación del flujo de calor, podemos escribir An=bn

An=2L∫0

L f ( x )sen nπLxdx .

(18)

Para determinar Bn ,derivamos (17) con respecto a t y luego hacemos t=0 :

¿∞¿∂u∂ t

|t=0=g ( x )=∑n=1

∞(Bn

nπaL

)sen nπLx .

Para que esta última serie sea un desarrollo de g en serie de senos en medio

intervalo en el intervalo dado, el coeficiente total, o Bnnπa /L está dado por

I.T.P.N.


215

de lo cual obtenemos

(19)

La solución formal del problema consiste en la serie (17) con, An y Bn definidos

por (18) y (19) respectivamente.

Hacemos notar que cuando la cuerda se suelta a partir del reposo, entonces

g( x )=0 para todo x en 0 ¿ x≤Ly en consecuencia

ECUACION DE LAPLACE

Supongamos que se quiere obtener la temperatura correspondiente al estado permanente en una placa rectangular; las condiciones de frontera se indican en la figura 6.3. Cuando no se pierde calor a través de las caras laterales de la placa, el problema es

, ,

, ,

, ,

Solucionando se llega a

donde

I.T.P.N.


216

y

Figura 6.3

resumen ecuaciones diferenciales denniz zill

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