Resumen de Análisis matemático II
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Resumen de
matemático II
Autores: Juan Pablo Martí
U.T.N. F.R.M.Ingeniería Electrónica
Resumen de Análisis
matemático II
U.T.N. F.R.M. Ingeniería Electrónica
Resumen de Análisis
matemático II
Autores: Juan Pablo Martí
PRIMERA PARTE
UNIDAD I: FUNCIONES VECTORIALES
Definición:
:)( Atr ⊂
Vector Posición:
tr )(
Límite:
ltrlímtt
=∃→
)(0
si ε >∀ 0
Continuidad:
)(tr
Derivadas:
zjtyitxdt
rdtr ˆ).(ˆ).()( +′+′==′
Reglas de Derivación:
o [ ] baba +′=′
+
o [ ] baba ×′=′
×
o ).(
)(
)( tr
t
tr αα
′=
′
Vector Velocidad:
)(trv ′= . Siempre es tangente a la curva en el punto
Vector Aceleración:
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Teorema:
Si a es tal que
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Página 1 Resumen de Análisis matemático II
RIMERA PARTE: CÁLCULO MULTIVARIABLE
UNCIONES VECTORIALES DE UN PARÁMETRO REAL
2IRBIR ⊂→⊂ ó 3:)( IRBIRAtr ⊂→⊂
ktzjtyitx ˆ)(ˆ)(ˆ)() ++= ó
=
)(
)(
)(
)(
tz
ty
tx
tr
εεδ <−>∃⇒ ltr )(/0)(0 con tal de hacer
es continua en 0t si el )()( 00
trtrlímtt
=→
t
trttrlím
dt
rdtr
t ∆−∆+
==′→∆
)()()(
0
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dxkt ˆˆˆˆ).( ++=′
as de Derivación:
′
ba ′×+ y [ ] bababa ′•+•′=′
•
)(
)().()(2
t
ttrt
ααα ′−
con )(tα =función escalar
. Siempre es tangente a la curva en el punto
)()( trtva ′′=′=
°′+°′′= NkrTra ..
2
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
a es constante, entonces aa ⊥′
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Resumen de Análisis matemático II
ÁLCULO MULTIVARIABLE
DE UN PARÁMETRO REAL
con tal de hacer δ<− 0tt
Autores: Juan Pablo Martí
Terna Intrínseca:
Tangente Unitario:
(
(
r
rT
′′
=°
Normal Principal:
r
rN
′′
=°(
Binormal:
×°=° TB
Fórmulas de Frenèt:
o ds
Tdk
°=
o ds
Bda
°=
o Comp =
Triedro Intrínseco:
Plano Osculador:
Es el plano que contiene a los vectores
( )[ ˆ.0− ixx
Plano Rectificante:
Es el plano que contiene a los vectores
( )[ ˆ.0− ixx
Plano Normal:
Es el plano que contiene a los vectores
( )[ ˆ.0− ixx
Longitud de Arco:
Como dsdtrrd =′= .
UNIDAD II:
Definición:
,...,,,()( 321 xxxfxfz ==
BIRAxf n ⊂→⊂:)(
Página 2 Resumen de Análisis matemático II
)(
)(
t
t (Versor de la Velocidad)
rr
rr
′⋅′′×
′×′′×′ )
°× N
3r
rr
′
′′×′=
° (Primera Curvatura o Flexión)
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
2rr
rrr
′′×′
′′′•′′×′−=
° (Segunda Curvatura o Torsión
22ka
ds
Nd+=
° (Curvatura Compuesta)
Es el plano que contiene a los vectores °T y °N :
( ) ( ) ] 0ˆ.ˆ.ˆ00 =°•−+−+ Bkzzjyyi
Es el plano que contiene a los vectores °T y °B :
( ) ( ) ] 0ˆ.ˆ.ˆ00 =°•−+−+ Nkzzjyyi
Es el plano que contiene a los vectores °B y °N :
( ) ( ) ] 0ˆ.ˆ.ˆ00 =°•−+−+ Tkzzjyyi
ds :
dtrdsSb
a
b
a.∫∫ ′==
UNIDAD II: FUNCIONES REALES DE VECTOR
),..., nx
IR
Resumen de Análisis matemático II
Torsión)
ECTOR
Autores: Juan Pablo Martí
Gráficos en tres dimensiones (
Curvas de Nivel:
Se iguala la función a varias constantes, lo que determina varias ecuaciones de curvas planas, que serán las curvas de nivel. Siempre se dibuja en el plano
Trazas:
Igualamos a ecuaciones de curvas planas, que son las intersecciones de la gráfica con los planos coordenados.
Intervalo Rectangular:
Sea ),( yxfz = :
≤≤
≤≤=
dyc
bxaI
Entornos:
Entorno:
),( Eyx ∈
Entorno Reducido:
),( Eyx ∈
este tipo de entornos no incluye a las rectas
Entorno Circular:
),( Ecyx ∈
Entorno Circular Reducido:
),( Ecyx ∈
Página 3 Resumen de Análisis matemático II
Gráficos en tres dimensiones ( ),( yxf ):
guala la función a varias constantes, lo que determina varias ecuaciones de curvas planas, que serán las curvas de nivel. Siempre se dibuja en el plano xy
Igualamos a 0 cada variable por separado, lo que nos determina tres ecuaciones de curvas planas, que son las intersecciones de la gráfica con los planos coordenados.
),( baE si
∀<−
<−δε
δε
,;by
ax arbitrariamente pequeños.
),( baE ′ si
∀<−<
<−<δε
δε
,;0
0
by
ax arbitrariamente pequeños. Pero
este tipo de entornos no incluye a las rectas ax = e
),( baEc si ( ) ( ) δ<−+− 22byax
Entorno Circular Reducido:
),( baEc si ( ) ( ) δ<−+−< 220 byax
b
a
c d
x
y
z
y
x
b
a
δδδδ
Resumen de Análisis matemático II
guala la función a varias constantes, lo que determina varias ecuaciones de curvas planas, que serán las curvas de nivel. Siempre se
os determina tres ecuaciones de curvas planas, que son las intersecciones de la gráfica con
arbitrariamente pequeños.
arbitrariamente pequeños. Pero
by = .
Autores: Juan Pablo Martí
Límite Múltiple o Simultáneo:
⇔=∃→
lyxflímbayx
),(),(),(
l es único para (),( yx →Si l no es único, entonces no existe el límite.
Límites Reiterados:
( )( )),(
),(
2
1
yxflímlíml
yxflímlíml
byax
axby
→→
→→
=
=. Si ≠1l
Límites Direccionales:
).()( axmby −=− , ecuación de la recta de pendiente m que pasa por
Entonces tomo valores arbitrarios de la recta. Tomo el límite, y si al cambiar el valor de existe límite. Pero si el resultado no cambia, no se pu
Teorema Fundamental del Límite:
),(),(),(
yxflímlbayx →
= , entonces, si
sabemos que yx =),(ϕ
Toda funció
Continuidad:
),( yxf es continua en
1. yxflím
by
ax∃
→
→),(
2. ),( baf∃
3. lbaf =),(
Derivadas Parciales:
Derivada Parcial respecto de
fbaf x
∂=′
),(
Derivada Parcial respecto de
fbaf y
∂=′
),(
Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut:
El orden de derivación no altera el resultado, si la función es derivable n veces res
Página 4 Resumen de Análisis matemático II
Límite Múltiple o Simultáneo:
εεδε <−⇒>∃>∀⇔ lyxf ),(0)(,0 con tal de hacer
( ) ( ) δ<−+−< 220 byax
),( ba superficial y simultáneamente (cualquier trayectoria).
no es único, entonces no existe el límite.
∃/⇒≠ 2l límite único. Pero si ⇒= 21 ll nada se puede decir.
, ecuación de la recta de pendiente m que pasa por
Entonces tomo valores arbitrarios de m , y reemplazo a x por su valor en la fórmula de la recta. Tomo el límite, y si al cambiar el valor de m cambia el resultado, entonces no existe límite. Pero si el resultado no cambia, no se puede afirmar nada.
Teorema Fundamental del Límite:
, entonces, si 0),(),(),(
=⇒∃→
yxlímlbayx
ϕ (infinitésimo en
lyxf −),( , entonces podemos decir que:
),(),( yxlyxf ϕ+=
Toda función es igual a su límite más un infinitésimo
es continua en ),( ba , sí y sólo sí:
l=
Derivada Parcial respecto de x :
x
bafbxaflím
x
zlím
x
baf
x
x
x ∆−∆+
=∆
∆=
∂∂
→∆→∆
,(),(),(
00
Derivada Parcial respecto de y :
y
bafybaflím
y
zlím
y
baf
y
y
y ∆−∆+
=∆
∆=
∂∂
→∆→∆
,(),(),(
00
Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut:
El orden de derivación no altera el resultado, si la función es derivable n veces restodas las variables.
Resumen de Análisis matemático II
con tal de hacer
superficial y simultáneamente (cualquier trayectoria).
nada se puede decir.
, ecuación de la recta de pendiente m que pasa por ),( ba .
por su valor en la fórmula de cambia el resultado, entonces no ede afirmar nada.
(infinitésimo en ),( ba . Y
b)
b)
El orden de derivación no altera el resultado, si la función es derivable n veces respecto de
Autores: Juan Pablo Martí
Plano Tangente y Recta Normal:
,(
∂∂
x
baz
Ecuación del Plano Tangente a la Superficie
Ecuación Simétrica de la Recta Normal a la
Diferenciabilidad:
Siempre que z∆ pueda expresarse de la siguiente manera,
),( ba :
fz x=∆
x
bazz
∂∂
=∆),(
Los dos primeros términos de la expresión anterior representan el diferencial total de
(lineal) y los dos últimos términos (
superior. Entonces:
x
bazdz
,(
∂∂
=
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Interpretación Geométrica del Diferencial Total:
El Diferencial Total es el incremento de ordenada referido sobre el plano tangente.
Página 5 Resumen de Análisis matemático II
Plano Tangente y Recta Normal:
0)()(),(
)()
=−−−⋅∂
∂+−⋅ czby
y
bazax
b
Ecuación del Plano Tangente a la Superficie ),( yxf en el punto
)1(),(
)(
),(
)(
−−
=
∂∂
−=
∂∂
− cz
y
baz
by
x
baz
ax
Ecuación Simétrica de la Recta Normal a la Superficie ),( yxf en el punto
pueda expresarse de la siguiente manera, ),( yxf es diferenciable en
kkhkhkbafhba y ).().,().,().,( 21 εε ++′+′
yxyxyy
bazx ∆∆+∆∆∆+∆⋅
∂∂
+∆⋅ ).().,(),()
21 εε
Los dos primeros términos de la expresión anterior representan el diferencial total de
(lineal) y los dos últimos términos ( 21 εε + ) representan un infinitésimo de orden
kbafhbafyy
bazx
byx ).,().,(
),() ′+′=∆⋅∂
∂+∆⋅
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Interpretación Geométrica del Diferencial Total:
El Diferencial Total es el incremento de ordenada referido sobre el plano tangente.
Resumen de Análisis matemático II
en el punto ),,( cba
en el punto ),,( cba
es diferenciable en
y∆
Los dos primeros términos de la expresión anterior representan el diferencial total de z
) representan un infinitésimo de orden
k
El Diferencial Total es el incremento de ordenada referido sobre el plano tangente.
Autores: Juan Pablo Martí
Derivada Direccional:
Si p es el vector posición y
entonces )( hpfz +=∆
derivada de la función en la dirección de
Ahora bien, si definimos el ángulo
sabemos que x
azz
(
∂∂
=∆
direccional se nos convierte en:
∆⋅
∂∂
=′→
cos
0
),(
h
x
x
bazlímfh
h
α
fh
Vector Gradiente:
Existe un operador NABLA, que nos define a éste vector, y éste es:
Al conocer este nuevo vector, podemos redefin
Donde u°
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Existe una propiedad del vector gradiente que nos dice que siempre, la máxiderivada direccional estará dada en la dirección del vector gradiente y valdrá la norma de éste vector:
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Otra propiedad nos define que cuando la derivada direccional es igual a 0, la función es constante, entonces nos queda definida una CURVA DE NIVEL.
Regla de la cadena:
Supongamos que fz =
compuesta )( ftFz ==
Página 6 Resumen de Análisis matemático II
osición y h , un vector que nos define una dirección en el dominio,
)() pf− , y si hacemos tender 0→h , entonces tenemos una
derivada de la función en la dirección de h , que será: pf
límfh
h
(
0
=′→
Ahora bien, si definimos el ángulo α como el que forma el vector h
hhyy
bazx
x
ba).(
),(),ε+∆⋅
∂∂
+∆⋅ , entonces la derivada
os convierte en:
+∆
⋅∂
∂+
434210
).(),(
h
hh
h
y
y
baz
sen
ε
αα
, entonces:
αα sin),(
cos),(
⋅∂
∂+⋅
∂∂
=′y
baz
x
bazf
h
)(ˆˆ zgradjy
zi
x
zz =
∂∂
+∂∂
=∇
Existe un operador NABLA, que nos define a éste vector, y éste es: ∇
Al conocer este nuevo vector, podemos redefinir la derivada direccional como:
°•∇=′upzpf
h)()(
h
h= es el vector unitario de la dirección h
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Existe una propiedad del vector gradiente que nos dice que siempre, la máxiderivada direccional estará dada en la dirección del vector gradiente y valdrá la norma
zmáxfh
∇=′)(
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Otra propiedad nos define que cuando la derivada direccional es igual a 0, la función es tante, entonces nos queda definida una CURVA DE NIVEL.
),( yxf y que además
=
=
)(
)(
tyy
txx. Obtenemos así una función
( ))(),( tytxf . Podemos definir una derivada de
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅∂∂
=∂∂
Resumen de Análisis matemático II
, un vector que nos define una dirección en el dominio,
, entonces tenemos una
h
pfhp )() −+
h con el eje xr
y
, entonces la derivada
jy
ix
ˆˆ∂∂
+∂∂
=∇
ir la derivada direccional como:
Existe una propiedad del vector gradiente que nos dice que siempre, la máxima derivada direccional estará dada en la dirección del vector gradiente y valdrá la norma
Otra propiedad nos define que cuando la derivada direccional es igual a 0, la función es
. Obtenemos así una función
. Podemos definir una derivada de z respecto de t :
Autores: Juan Pablo Martí
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN (partiendo de definir
En casos más generales podemos tener más de una variable de las que depevariable independiente de esas variables. Así, podemos generalizar el concepto:
()( fxfz ==
∂
∂⋅
∂∂
+∂
∂⋅
∂∂
=∂∂
jjj u
x
x
z
u
x
x
z
u
z 2
2
1
1
Derivadas de Funciones Implícitas:
Definimos una función implícita
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
En un caso más general:
De esto podemos obtener una nueva fórmula para calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la función en el punto:
(
x
az
∂∂
()( y
zf
yf
ax
zf
xf
⋅
∂∂
∂∂
−+−⋅
∂∂
∂∂
−
∂∂
x
f
Extremos Relativos Libres:
Partimos de la condición de que
dominio. Para un punto
o Existe un mínimo local
o Existe un Máximo local
Pero como esto es muy difícil de aplmétodos, poniendo como
Página 7 Resumen de Análisis matemático II
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN (partiendo de definir z∆ con los
En casos más generales podemos tener más de una variable de las que depevariable independiente de z . Entonces podremos derivar a z respecto de cada una de esas variables. Así, podemos generalizar el concepto:
),...,,...,,( 21 ni xxxx y ,...,,...,,( 21 jii uuuugx =
∑= ∂
∂⋅
∂∂
=∂
∂⋅
∂∂
+∂
∂⋅
∂∂
+n
i j
i
ij
n
nj
i
i u
x
x
z
u
x
x
z
u
x
x
z
1´
...... (Hay
Derivadas de Funciones Implícitas:
Definimos una función implícita 0),( =yxf , diferenciamos y despejamos y nos queda
yf
xf
x
y
∂∂
∂∂
−=∂∂
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
al: 0)( =xf
n
i
i
n
xf
xf
x
x
∂∂
∂∂
−=∂
∂ con ni ≠
De esto podemos obtener una nueva fórmula para calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la función en el punto:
Ecuación del Plano Tangente
)()(),(
)(),
czbyy
bazax
x
ba−=−⋅
∂∂
+−⋅
.().()() byy
fax
xf
czby −∂∂+−∂
∂⇒−=−
0)()()( =−∂∂
+−∂∂
+− czz
fby
y
fax
x
f
Ecuación de la Recta Normal
zf
cz
yf
by
xf
ax
∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
− )()()(
Extremos Relativos Libres:
Partimos de la condición de que ),( yxfz = sea diferenciable en una región
dominio. Para un punto ),( ba podemos decir que:
mínimo local en ),( ba si ,(,0),(),( xbafyxf ∀>−Máximo local en ),( ba si (,0),(),( xbafyxf ∀<−
Pero como esto es muy difícil de aplicar en forma práctica, podemos establecer otros métodos, poniendo como CONDICIONES NECESARIAS:
Resumen de Análisis matemático II
con los ε )/*
En casos más generales podemos tener más de una variable de las que dependa cada respecto de cada una de
)mu
(Hay m derivadas)
, diferenciamos y despejamos y nos queda
De esto podemos obtener una nueva fórmula para calcular las ecuaciones del plano
).() czz
f −∂∂−=
sea diferenciable en una región S de su
),(), baEy ′∈
),(), baEy ′∈
icar en forma práctica, podemos establecer otros
Autores: Juan Pablo Martí
Al resolver el sistema obtenemos los
existencia o no de extremo local y determinante llamado Hessiano
2
2
2
yx
f
x
f
H
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂
=
GENERALIZANDO… )(xfz =
valorH =
Si ⇒> 0H
Extremo Local
Si ⇒< 0H
Punto Silla
Si ⇒= 0H
CUASIEXTREMO
Página 8 Resumen de Análisis matemático II
=∂∂
=∂∂
0
0
y
zx
z
Al resolver el sistema obtenemos los Puntos Críticos ),( yx . Para poder evaluar la
existencia o no de extremo local y la condición de máximo o mínimo, planteamos un Hessiano:
2
2
2
y
f
yx
f
∂
∂∂∂
∂
(Evalúo éste determinante en cada Punto Crítico)
∃⇒ xtremo Local
∃⇒ Punto Silla
∃⇒ CUASIEXTREMO
Si ∃⇒>∂
∂0
2
2
x
f
mínimo local
Si ∃⇒<∂
∂0
2
2
x
f
Máximo local
Resumen de Análisis matemático II
. Para poder evaluar la
la condición de máximo o mínimo, planteamos un
(Evalúo éste determinante en cada Punto Crítico)
Autores: Juan Pablo Martí
2
1
2
2
13
2
2
12
2
2
2
1
2
n
fxx
f
fxx
f
fxx
f
f
x
f
H
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂
∂
=
M
←←←
∆←←
↑∆←
↑↑∆
=H3
2
1
L
MMMM
L
L
L
Extremos Ligados o Condicionados:
En éste caso vamos a tener una función
extremar; y también vamos a tener una función de condición
forma implícita que nos va a definir una curva vamos a obtener los extremos.
Método del Multiplicador de Lagrange:
Para obtener los Puntos críticos, resolvemos la siguiente igualdad: .),( gyxf ∇=∇ λ
Para resolverlo planteamos el sistema:
=
′=′
′=′
0),(
.
.
yxg
gf
gf
yy
xx
λ
λ
y obtenemos los Puntos Críticos con sus respectivos valores de de Lagrange). Luego, para saber si
signo de z∆ , que va a ser el mismo
(),,( xfyxF λ =
(las derivadas evaluadas en los
Para resolver ésta ecuación, determinamos el diferenciando la expresión
reemplazamos los diferenciales, sacam
[ ] 2.dxvalor , de donde el signo de ese
nos determina la condición de máximo o mínimo:
Página 9 Resumen de Análisis matemático II
2
3
2
2
3
2
2
3
2
23
2
2
32
2
2
2
1
2
31
2
21
nn x
fxx
fxx
f
xf
x
fxx
f
xf
xxf
x
f
xf
xxf
xxf
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
L
MMMM
L
L
L
∃⇒
⇒<∆>∆<∆
>∆>∆>∆>∆
⇒
∆
↑
↑
↑
PuntodemásloTodo
Si
Si n
n
__
,...)0,0,0(
,...,0,0,0(
321
321
L
MM
L
L
L
gados o Condicionados:
En éste caso vamos a tener una función ),( yxfz = diferenciable, la cual vamos a
extremar; y también vamos a tener una función de condición ,( yxg
forma implícita que nos va a definir una curva inscripta en la superficie, sobre la cual vamos a obtener los extremos.
Método del Multiplicador de Lagrange:
Para obtener los Puntos críticos, resolvemos la siguiente igualdad: ),( yx donde vamos a obtener valores de x ,
Para resolverlo planteamos el sistema:
y obtenemos los Puntos Críticos con sus respectivos valores de ). Luego, para saber si es un máximo o un mínimo, evaluamos el
, que va a ser el mismo signo que Fd2 , donde
),(.), yxgyx λ+ . El valor de Fd2 es:
2
22
2
2
2
2.2 dy
y
Fdydx
yx
Fdx
x
FFd ⋅
∂
∂+
∂∂∂
⋅+⋅∂
∂=
(las derivadas evaluadas en los puntos ,( cc yx
Para resolver ésta ecuación, determinamos el vínculo de los diferencialesdiferenciando la expresión 0),( =yxg y despejando dx . Evaluamos los puntos,
reemplazamos los diferenciales, sacamos 2dx como factor común y obtenemos
, de donde el signo de ese valor es igual al signo de
nos determina la condición de máximo o mínimo:
Si
∃⇒<∆
∃⇒>∆
Máximoz
mínimoz
0
0
Resumen de Análisis matemático II
2
n
n
n
n
x
x
x
x
∂
∂
∂
∃⇒
∃⇒>
SillaPunto
Máximo
mínimo
_
)0
diferenciable, la cual vamos a
0) =y , dada en
inscripta en la superficie, sobre la cual
Para obtener los Puntos críticos, resolvemos la siguiente igualdad: , y y λ .
y obtenemos los Puntos Críticos con sus respectivos valores de λ (multiplicador es un máximo o un mínimo, evaluamos el
2dy
), cλ )
vínculo de los diferenciales, . Evaluamos los puntos,
como factor común y obtenemos
es igual al signo de z∆ , por lo tanto
Autores: Juan Pablo Martí
GENERALIZANDO…
Si tengo
=
)(
)(
(
2
1
xg
xg
fz
UNIDAD III:
Integrales Dobles
Integral doble en una región
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Integrales Reiteradas:
∫∫R yxf ),(
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Integración sobre regiones no rectangulares:
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
y
x
S c
d
x=h2(y) x=h1(y)
y
x
S
a b
y=g2(x)
y=g1(x)
Página 10 Resumen de Análisis matemático II
GENERALIZANDO…
=
=
0
0
)(x
, las ecuaciones a resolver serán:
=
=
′+′=′
′+′=′
′+′=′
0),(
0),(
..
..
..
2
1
2211
2211
2211
222
111
yxg
yxg
ggf
ggf
ggf
nnn xxx
xxx
xxx
λλ
λλ
λλ
M
UNIDAD III: INTEGRALES MÚLTIPLES
dydxyxfdAyxfRR
..),(.),( ∫∫∫∫ =
Integral doble en una región R de ),( yxf .
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
∫ ∫∫ ∫ ==b
a
d
c
d
c
b
adxdyyxfdydxyxfdA ..),(..),(.)
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Integración sobre regiones no rectangulares:
dxdydxyxfdAyxfd
c
d
c
yh
yhS.),(.),(
)(
)(
2
1∫∫ ∫∫∫ =
=
dxdxdyyxfdAyxfb
a
b
a
xg
xgS.),(.),(
)(
)(
2
1∫∫ ∫∫∫ =
=
Resumen de Análisis matemático II
dyyxfdxyh
yh.),(
)(
)(
2
1∫
dyyxfdxxg
xg.),(
)(
)(
2
1∫
Autores: Juan Pablo Martí
Cambio de variables:
fIR∫∫=
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Parto de definir un vector
Cambio de variables rectangulares a polares:
=
=
θ
θ
sin.
cos.
ry
rx
I ∫∫=
Integrales Triples:
R∫∫∫Integral triple en una región
*/ ESTUDIAR LA D
Integrales Reiteradas:
dVzyxfR
.),,(∫∫∫ =
Integración sobre regiones no rectangulares:
xfR
,(∫∫∫Cambio de variables:
IV∫∫∫=
y
x
S
a b
y=g2(x)
y=g1(x)
Página 11 Resumen de Análisis matemático II
( ) ( )( ) dvduJvuyvuxfdydxyxf ...,;,..),( ∫∫Ω=
Jacobiano
vy
vx
uy
ux
J =
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
( ) ( ) ( ) jvuyivuxvu ˆ,ˆ,, +=Φ , y dos vectores m
)(Ráreanm =×
Cambio de variables rectangulares a polares:
( ) θθθ ddrrrrfdydxyxfR
...sin;cos...),( ∫∫∫∫ Ω=
( ) ( ) dzdydxzyxfdVzyxfRR
...,,.,, ∫∫∫=
Integral triple en una región R de ),,( zyxf .
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
xfdydxdxdydzzyxfh
e
d
c
b
a
b
a
d
c
h
e,(...),,( ∫∫∫∫ ∫ ∫ ==
Integración sobre regiones no rectangulares:
dzzyxfdydxdVzyyxg
yxg
xh
xh
b
a.),,(.),,
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1∫∫∫=
( ) ( ) dwdvduJwvuFdVzyxfV
....,,.,, ∫∫∫Ω=
wz
wy
wx
vz
vy
vx
uz
uy
ux
J
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
dxdxdyyxfdAyxfb
a
b
a
xg
xgS.),(.),(
)(
)(
2
1∫∫ ∫∫∫ =
=
Resumen de Análisis matemático II
m y n , tales que
θ
dzzy .),,
dyyxfdxxg
xg.),(
)(
)(
2
1∫
Autores: Juan Pablo Martí
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
Aplicaciones de Integrales Múltiples:
Áreas de superficies alabeadas:
Volúmenes entre un plano coordenado y una función:
Áreas de superficies planas:
Volúmenes en general:
θ
ρ φ
rθ
Página 12 Resumen de Análisis matemático II
Aplicaciones de Integrales Múltiples:
Áreas de superficies alabeadas:
dydxy
fx
fSA
R..1)(
22
∫∫ +
∂∂+
∂∂=
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Volúmenes entre un plano coordenado y una función:
dydxyxfVR
..),(∫∫=
de superficies planas:
∫∫=R
dydxRA .)(
Volúmenes en general:
dzzyxfdydxVyxg
yxg
xh
xh
b
a.),,(
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1∫∫∫=
P
=
=
=
φρ
θφρ
θφρ
cos.
sin.sin.
cos.sin.
z
y
x
φρ 2sin.=J
πφ
πθ
<<
<≤
0
20
z
P
=
=
=
zz
ry
rx
θ
θ
sin.
cos.
rJ =
Resumen de Análisis matemático II
π
Autores: Juan Pablo Martí
Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples:
Integrales Dobles:
Masa:
Donde ρ
Momentos estáticos (1º orden):
Momentos de Inercia (2º orden):
Centro de masa (Centroide):
Integrales Triples:
Masa:
Momentos de primer orden (respecto a los planos):
Centro de masa (Centroide):
Página 13 Resumen de Análisis matemático II
Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples:
dydxyxml
..),(∫∫= ρ
),( yxρ es una función que determina la densidad superficial de
la lámina
Momentos estáticos (1º orden):
dydxyxyMl
x ..),(.∫∫= ρ
dydxyxxMl
y ..),(.∫∫= ρ
Momentos de Inercia (2º orden):
dydxyxyIl
x ..),(.2
∫∫= ρ
dydxyxxIl
y ..),(.2
∫∫= ρ
( ) yl
z IdydxyxyxI +=+= ∫∫ ..),(.22 ρ
Centro de masa (Centroide):
=
=
m
My
m
Mx
yxP
x
y
:),( (Coordenadas)
dzdydxzyxmV
...),,(∫∫∫= ρ
Momentos de primer orden (respecto a los planos):
dzdydxzyxzMV
xy ...),,(.∫∫∫= ρ
dzdydxzyxyMV
xz ...),,(.∫∫∫= ρ
dzdydxzyxxMV
yz ...),,(.∫∫∫= ρ
Centro de masa (Centroide):
==== z
m
My
m
MxPzyxP xzyz
;;),,(
Resumen de Análisis matemático II
nsidad superficial de
xI+
(Coordenadas)
m
M xy
Autores: Juan Pablo Martí
UNIDAD IV: CAMPOS VECTORIALES
Campo vectorial o Función vectorial de vector:
Gradiente:
Dada una función escalar de posición
Propiedades: 1. Indica la dirección de máximo crecimiento de
2. =∇u valor de la máxima derivada direccional
3. rdudu •∇=
4. °•∇=∂∂
ρρ
uu
donde
5. ⊥∇u curva de nivel (para
Rotor:
Dada una función vectorial (xu
rot
Propiedad:
Los gradientes son IRROTACIONALES
Divergencia:
Dada una función vectorial (xu
u a:
Interpretación Física: Variación del Flujo respecto del Volumen
r
P
x
z
Página 14 Resumen de Análisis matemático II
AMPOS VECTORIALES. INTEGRALES DE L
Campo vectorial o Función vectorial de vector:
Dada una función escalar de posición ( )zyxu ,, , diferenciable, definimos gradiente de
kz
uj
y
ui
x
uu ˆˆˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Indica la dirección de máximo crecimiento de u
valor de la máxima derivada direccional
donde =ρ vector de dirección
curva de nivel (para 2=n ) o ⊥∇u superficie de nivel (para
) kujuiuzyx zyxˆˆˆ,, ++= , diferenciable, definimos rotor de
zyx uuu
zyx
kji
uurot ∂∂
∂∂
∂∂=×∇=
ˆˆˆ
)(
Los gradientes son IRROTACIONALES 0=∇×∇ u
) kujuiuzyx zyxˆˆˆ,, ++= , diferenciable, definimos divergencia de
z
u
y
u
x
uuudiv zyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=•∇=)(
Variación del Flujo respecto del Volumen
( )rF
y
3,2: BIRAF ⊂→⊂
Resumen de Análisis matemático II
NTEGRALES DE LÍNEA
, definimos gradiente de u a:
superficie de nivel (para 3=n )
, definimos rotor de u a:
, definimos divergencia de
3,2IR
Autores: Juan Pablo Martí
Propiedad:
Integrales de línea:
Formas Paramétricas:
CASO I: FUNCIÓN ESCALAR
Sea ),,( zyxf definida y acot
vector de posición es
sobre C :
fC∫
CASO II: FUNCIÓN VECTORIAL
Sea ),,( zyxF definida y acotada sobre una curva
vector de posición es
sobre C :
FC∫
Interpretación física:
Forma diferencial:
Sea yxMzyxF ,,(),,( =entonces:
∫C zyxF ,,(
Teorema de Green:
HIPÓTESIS: Sean ),( yxP y ),( yxQ funciones diferenciables en una cierta región plana
(curva plana)
TEOREMA:
∫∫
∂S
DEMOSTRACIÓN:
Página 15 Resumen de Análisis matemático II
Los rotores NO DIVERGEN 0)( =×∇•∇ u
Formas Paramétricas:
CASO I: FUNCIÓN ESCALAR
definida y acotada sobre una curva
=
=
=
zz
yy
xx
C
(
(
:
vector de posición es kzjyixtr ˆˆˆ)( ++= , se define a la Integral de línea de
rtrfdttrtrfdlzyxfb
aC.))((.)(.))((.),,( =′= ∫∫
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
CIÓN VECTORIAL
definida y acotada sobre una curva
=
=
=
zz
yy
xx
C
(
:
vector de posición es kzjyixtr ˆˆˆ)( ++= , se define a la Integral de línea de
trFdttrtrFdlzyxb
aC))(().())((.),,( •=′•= ∫∫
*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Interpretación física: Trabajo
kzyxPjzyxNiz ˆ).,,(ˆ).,,(ˆ)., ++ y idxdl ˆ. +=
∫ ++=C
yxPdyzyxNdxzyxMdlz ,().,,().,,(.)
funciones diferenciables en una cierta región plana
∫ +=
∂∂
−∂∂
CdyyxQdxyxPdydx
y
P
x
Q).,().,(..
Resumen de Análisis matemático II
≤≤ bta
t
t
t
;
)(
)(
)(
, cuyo
, se define a la Integral de línea de f
dttr .)(′
≤≤ bta
t
ty
t
;
)(
)(
)(
, cuyo
, se define a la Integral de línea de f
dttr ).(′•
kdzjdy ˆ.ˆ. +
dzzy ).,
funciones diferenciables en una cierta región plana S con borde C
Autores: Juan Pablo Martí
( ) (xPdxxgxP
Pdxdxdy
y
P
b
a
b
a
xg
xg
b
aS
,.)(,
..
2
)(
)(
2
1
∫∫
∫∫∫∫
−−
∂=
∂∂
( ) ( yhQdyyyhQ
Qdydydx
x
Q
d
c
d
c
yh
yh
d
cS
(.),(
..
12
)(
)(
2
1
∫∫
∫∫∫∫
+
∂=
∂∂
Entonces - ⇒ ∫∫
−
∂∂
S x
Q
Consecuencias del teorema de Green:
Teorema del área:
Supongo yxQ ),(
. Despejando obtenemos que:
Independencia con la trayectoria:
Si se cumple la condición de simetría
que es el Principio de Conservación de la Energía
QiyxPF ˆ).,( +=línea en una curva cerrada, siempre es cero.DEMOSTRACIÓN:
+⇒= ∫∫∫ −1
0C
Página 16 Resumen de Análisis matemático II
( ) ( )[ ]
) dxyxPdxxg
dxxgxPxgxPdyy
yx
C
b
a
.),(.)(
.)(,)(,.),(
1
12
∫
∫
−=
=−=∂
( ) ( )[ ]
) dyyxQdyyy
dyyyhQyyhQdxx
yxQ
C
d
c
.),(.),
.),(),(.),(
12
∫
∫
=
=−=∂
∫ +=
∂∂
−C
dyyxQdxyxPdydxy
P).,().,(..
Consecuencias del teorema de Green:
x=) y yyxP −=),( , entonces ( )∫∫ +S
dydx..11
. Despejando obtenemos que:
∫∫∫ −==CS
dxydyxdydxSArea ..2
1.)(
Independencia con la trayectoria:
Si se cumple la condición de simetría y
P
x
Q
∂∂
=∂∂
, entonces ∫CPrincipio de Conservación de la Energía, lo que nos dice que
jyxQ ˆ).,( es un Campo Conservativo, en los cuales la Integral de
línea en una curva cerrada, siempre es cero. DEMOSTRACIÓN:
⇒−=⇒= ∫∫ − 212
0CCC
∫∫ =21 CC
y
x
S
a b
y=g2(x)
y=g1(x)c
d
x=h2(y)x=h1(y) C
A
B
C1
C2
Resumen de Análisis matemático II
∫ +−=C
dyxdxydy .).(
0.. =+ dyQdxP ,
, lo que nos dice que
onservativo, en los cuales la Integral de
Autores: Juan Pablo Martí
Siempre que F =armando el gradiente de conservando a la cruzadas, que son iguales.
Teorema Fundamental de las In
HIPÓTESIS: Sea C una curva suave dada por la función vectorial
derivable de dos o tres variables, cuyo vector gradiente
TEOREMA:
Podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo (gradiente de la función potencial f ) simplemente conociendo el v
DEMOSTRACIÓN:
( ) dttrtrfrdfb
aC.)()(∫∫ ′•∇=•∇
dt
dy
y
f
dt
dx
x
fb
a∫
∂∂
+∂∂
=
( )dttrfdt
db
a.)(∫= (por la Regla de la cadena)
( ) ( ))()( arfbrfrdfC
−=•∇∫
Integral de superficie:
FIS∫=
(no confundir con área de Superficies)*/ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Teorema de Stokes (o teorema del Rotor):
HIPÓTESIS:
=
=∆
ds
s
Página 17 Resumen de Análisis matemático II
u∇= , se cumple la condición de simetría. Estoarmando el gradiente de u y derivando sus componentes nuevamente, conservando a la u como función a derivar. Obtenemos las segundas derivadas cruzadas, que son iguales.
Teorema Fundamental de las Integrales de Línea:
una curva suave dada por la función vectorial )(tr , bta ≤≤ y sea f
derivable de dos o tres variables, cuyo vector gradiente f∇ es continuo sobre
( ) ( ))()( arfbrfrdfC
−=•∇∫
Podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo (gradiente de la ) simplemente conociendo el valor de f en los extremos de
dt
dtdt
dz
z
f.
∂∂
+
(por la Regla de la cadena)
dydxFy
fF
x
fFdsF
Dzyx ....∫∫
+
∂∂
−∂∂
−=•
Flujo de F a través de S
(no confundir con área de Superficies) */ ESTUDIAR LA DEMOSTRACIÓN /*
Teorema de Stokes (o teorema del Rotor):
D
°n
°=
°∆=
nds
ns
.
.
Resumen de Análisis matemático II
, se cumple la condición de simetría. Esto se demuestra y derivando sus componentes nuevamente,
como función a derivar. Obtenemos las segundas derivadas
f una función
es continuo sobre C .
Podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo (gradiente de la en los extremos de C .
Autores: Juan Pablo Martí
Sea S una superficie orientada, suave a segmentos y derivable, que está acotada por una
curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea campo vectorial, definido y derivable sobre TEOREMA:
Versión vectorial del Teorema de Green
Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):
HIPÓTESIS: Sea S una superficie cerrada orientable (con orientación hacia fuera), frontera de una región
simple sólida V . Sea F un campo vectorial definido y diferenciable en TEOREMA:
Página 18 Resumen de Análisis matemático II
una superficie orientada, suave a segmentos y derivable, que está acotada por una
suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea erivable sobre S y C .
( ) dSFrotdlFSC
•=• ∫∫∫
Versión vectorial del Teorema de Green
Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):
una superficie cerrada orientable (con orientación hacia fuera), frontera de una región
un campo vectorial definido y diferenciable en S y en su interior.
( )dVFdivdSFVS
.∫∫∫∫∫ =•
V
°n),,( zyxF
S°n
°n
SC
C’
),,( zyxF
Resumen de Análisis matemático II
una superficie orientada, suave a segmentos y derivable, que está acotada por una
suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un
una superficie cerrada orientable (con orientación hacia fuera), frontera de una región
y en su interior.
Autores: Juan Pablo Martí
Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales:
SEGUNDA PARTE
Conceptos:
Ecuación Diferencial: Es toda ecuación que contiene derivadas de una función imás variables independientes. Ecuación Diferencial Ordinaria:Cuando hay una sola variable independiente la ecuación se llama ordinaria. Ecuación Diferencial a Derivadas Parciales:Se presenta cuando hay dos o más variables ind Solución de una Ecuación Diferencial:Es cualquier función que satisface o resuelve la ecuación diferencial. Es decir que sustituyendo la incógnita por dicha solución se llega a una identidad, Constantes Arbitrarias Esenciales:Figuran en una solución sin poder agruparse con otras constantes ni pueden reducirse por ningún procedimiento algebraico. Orden: El orden de una ecuación diferencial está dado por la mayor derivada presente. Grado: Es el exponente al que está elevada la mayor derivad Solución General: Es aquella solución que tiene tantas constantes arbitrarias esenciales como orden la ecuación diferencial. Geométricamente hablando, la solución general está representada por una familia de infinitas curvas del mismo tipo.
Teorema fundamental de las Integrales de
Línea
Teorema de Green
C
)(br
)(ar
Página 19 Resumen de Análisis matemático II
Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales:
EGUNDA PARTE: ECUACIONES DIFERENCIALES
Es toda ecuación que contiene derivadas de una función incógnita respecto de una o más variables independientes.
Ecuación Diferencial Ordinaria: Cuando hay una sola variable independiente la ecuación se llama ordinaria.
Ecuación Diferencial a Derivadas Parciales: Se presenta cuando hay dos o más variables independientes.
Solución de una Ecuación Diferencial: Es cualquier función que satisface o resuelve la ecuación diferencial. Es decir que sustituyendo la incógnita por dicha solución se llega a una identidad,
Constantes Arbitrarias Esenciales: a solución sin poder agruparse con otras constantes ni pueden reducirse
por ningún procedimiento algebraico.
El orden de una ecuación diferencial está dado por la mayor derivada presente.
Es el exponente al que está elevada la mayor derivada.
Es aquella solución que tiene tantas constantes arbitrarias esenciales como orden la ecuación diferencial. Geométricamente hablando, la solución general está representada por una familia de infinitas curvas del mismo tipo.
Teoremas Integrales
Teorema de Green
Teorema de Stokes
Teorema de la Divergencia
SD
CC
°n
°n
S
Resumen de Análisis matemático II
LES
ncógnita respecto de una o
Cuando hay una sola variable independiente la ecuación se llama ordinaria.
Es cualquier función que satisface o resuelve la ecuación diferencial. Es decir que sustituyendo la incógnita por dicha solución se llega a una identidad,
a solución sin poder agruparse con otras constantes ni pueden reducirse
El orden de una ecuación diferencial está dado por la mayor derivada presente.
Es aquella solución que tiene tantas constantes arbitrarias esenciales como orden la ecuación diferencial. Geométricamente hablando, la solución general está representada
Teorema de la Divergencia
V
°n
Autores: Juan Pablo Martí
Solución Particular: Es cuando las constantes arbitrarias esenciales toman valores particulares (numéricos). Geométricamente hablando es una de las curvas de la familia. Solución Singular: No siempre se presenta. Cuando lo hace, es una envolvente de las soluciones particulares.
UNIDAD V: E
Tipos de E. D. Ordinarias:
E. D. de Variables Separables:
⇒=⇒=′ QyQ
xP
dx
dy
yQ
xPy (
)(
)(
)(
)(
y si se puede y sino la dejo implícita.
⇒=⇒=′()(
)(
)(
)(
Q
dy
xP
yQ
dx
dy
xP
yQy
puede y sino la dejo implícita.
Trayectorias Ortogonales:
Si ),( yxfy =′ , obtengo una familia de curvas. Si ahora propongo otra func
),(
1
yxfy −=′ , obtengo otra familia de curvas que son ortogonales en todas las intersecciones
con las primeras.
E. D. Homogéneas (de 1º orden):
Función homogénea de grado m:
grado m si λ∀ arbitrario
Si 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM y
grado, entonces tenemos una E. D. Homogénea Resolución:
),(),(
),(yxf
yxN
yxMy =−=′ Función homogénea de grado 0
.),(),(0 fyxfyxfy λλλ ===′
Variables Separables
Homogénea
Reducible a Homogénea
Página 20 Resumen de Análisis matemático II
Es cuando las constantes arbitrarias esenciales toman valores particulares (numéricos). Geométricamente hablando es una de las curvas de la familia.
No siempre se presenta. Cuando lo hace, es una envolvente de las soluciones
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
E. D. de Variables Separables:
⇒= dxxPdyy ).().( Integro =⇒ ∫∫ dyyQ .)(
dejo implícita.
⇒=)()( xP
dx
y
dy Integro ⇒=⇒ ∫∫ )()( xP
dx
yQ
dy
Trayectorias Ortogonales:
, obtengo una familia de curvas. Si ahora propongo otra func
, obtengo otra familia de curvas que son ortogonales en todas las intersecciones
E. D. Homogéneas (de 1º orden):
Función homogénea de grado m: Dada ),...,,,,( wvuyxf se dice que es homogénea de
arbitrario ,...,,,,(.),...,,,,( vuyxfwvuyxf mλλλλλλ =
y ),( yxM y ),( yxN son funciones homogéneas del mismo
E. D. Homogénea.
Función homogénea de grado 0
),( yxf Ahora elijo x
1=λ
Variables Separables
Homogénea
Reducible a Homogénea
Exacta
Lineal (Reducible a Exacta)
Bernoulli (Reducible a Lineal)
Resumen de Análisis matemático II
Es cuando las constantes arbitrarias esenciales toman valores particulares (numéricos).
No siempre se presenta. Cuando lo hace, es una envolvente de las soluciones
LES ORDINARIAS
⇒dxxP .)( Despejo
⇒ Despejo y si se
, obtengo una familia de curvas. Si ahora propongo otra función en la cual
, obtengo otra familia de curvas que son ortogonales en todas las intersecciones
se dice que es homogénea de
),..., w
son funciones homogéneas del mismo
(Reducible a Exacta)
Bernoulli (Reducible a Lineal)
Autores: Juan Pablo Martí
),1(),1( ufx
yfy ==′ de donde
uufxdx
du−= ),1( Entonces nos queda
E. D. Exactas:
Si 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM y
que NMu ;=∇ . Entonces encontrando
función y que satisface la ecuación diferencial.
E. D. Lineal:
Definición: Es aquella en la que la función incógnita y todas las derivadas presentes están elevadas a la primera potencia y sus coeficientes son constantes o en todolas variables independientes.
Forma general:
Si no tiene ésta forma, la llevo a ella
Método del Factor Integrante:
Factor Integrante: xP
e(∫
Qeey
Qeey
xPeye
dxxPdxxP
dxxPdxxP
dxxPdxxP
∫=∫
∫=′
∫
∫+′∫
∫ (..
..
(..
.)(.)(
.)(.)(
.)(.)(
E. D. Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli):
Forma general:
Multiplico todo por ny −
).(.).(. 11 yxQyyxPyy nnn =+′ −−
Tomo nyz −= 1 , lo derivo: z =′
)().(1
111 xQzxPz
n=+′
− Multiplico todo por
Cuando obtenga
Página 21 Resumen de Análisis matemático II
de donde ),1(.. ufuxuyxuyx
yu =+′=′⇒=⇒=
Entonces nos queda x
dx
uuf
du=
−),1( E. D. de Var. Sep.
y x
N
y
M
∂∂
=∂
∂, entonces existe una función potencial
. Entonces encontrando ),( yxu obtenemos dentro de ella implícitament
que satisface la ecuación diferencial.
Es aquella en la que la función incógnita y todas las derivadas presentes están elevadas a la primera potencia y sus coeficientes son constantes o en todo
Forma general: )().( xQyxPy =+′
Si no tiene ésta forma, la llevo a ella
Método del Factor Integrante: dxx .)
Cdxx
INTEGROxQ
xQeyxdxxP
+
⇒
∫=
.)(
)(
)(.)..)(
+∫∫= ∫−
CdxxQeeydxxPdxxP
.)(...)(.)(
Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli):
Forma general: nyxQyxPy ).().( 11 =+′
Con 0≠n y 1≠n
).().(.. 1
1
1 xQyxPyyy nnnn =+′⇒ −−−
( ) yyn n ′− −..1 y obtengo z
nyy
n ′−
=′−.
1
1. . Entonces
Multiplico todo por ( )n−1 y tengo
( ) ( )4342143421)(
1
)(
1 )(.1.)(.1
xQxP
xQnzxPnz −=−+′
)().( xQzxPz =+′
Y ahora resuelvo como lineal.
Cuando obtenga z , reemplazo ( )nzy −= 1
1
Resumen de Análisis matemático II
, entonces existe una función potencial ),( yxu tal
obtenemos dentro de ella implícitamente la
Es aquella en la que la función incógnita y todas las derivadas presentes están caso funciones de
. Entonces
Autores: Juan Pablo Martí
Familia de Curvas Isoclinas:
Para obtener una curva que corte perpendicularmente a todas las curvas de una familia, hago yxfy =′ ,(
UNIDAD VI: ECUACIONES DIFERENCIA
E. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes:)(
yn
E. D. Lineal Homogénea: (
y
Ecuación Característica:
Resolviendo obtengo
Las
1º Caso: Raíces Reales y Distintas:
¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.
2º Caso: Raíces Reales Repetidas:
Si hay una raíz
Si fuera de mayor multiplicidad, aumenta el grado de la
Si fueran más raíces además de la repetida, se suman los términos simples con
3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas:
E. D. Lineal Completa o Inhomogénea:)(
yn
La solución general está compuesta por la solución de
)(xf ), que es la que contiene las constantes arbitrarias esenciales, y una solución particular
que satisface a la ecuación completa.
Una vez que conocemos la hy , para obtener la
Página 22 Resumen de Análisis matemático II
Familia de Curvas Isoclinas:
Para obtener una curva que corte perpendicularmente a todas las curvas de una ky =) , donde k va a ser la pendiente deseada en el corte.
CUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDE
E. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes:
)(...... 1
)1(
1
)xfyayaya nn
n =+′+++ −−
0...... 1
)1(
1
)( =+′+++ −−
yayaya nn
nn
0..... 1
1
1 =++++ −−
nn
nnararar
Resolviendo obtengo las raíces ir .
Las n soluciones particulares serán: xr
iiey =
1º Caso: Raíces Reales y Distintas:
La solución general será: ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.
2º Caso: Raíces Reales Repetidas:
Si hay una raíz repetida dos veces la solución general será:xrxr
G exCeCy 11 ... 21 +=
Si fuera de mayor multiplicidad, aumenta el grado de la x que multiplica cada término.
Si fueran más raíces además de la repetida, se suman los términos simples con los de las raíces repetidas.
3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas:
iri βα ±=
La solución general será:
( ) ( )[ ]xsenBxAeyx
G ββα.cos.. +=
E. D. Lineal Completa o Inhomogénea:
)(...... 1
)1(
1
)xfyayaya nn
n =+′+++ −−
La solución general está compuesta por la solución de la ecuación homogénea asociada (sin ), que es la que contiene las constantes arbitrarias esenciales, y una solución particular
que satisface a la ecuación completa.
phG yyy +=
, para obtener la py tenemos dos métodos:
Resumen de Análisis matemático II
Para obtener una curva que corte perpendicularmente a todas las curvas de una va a ser la pendiente deseada en el corte.
LES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.
repetida dos veces la solución general será:
que multiplica cada
Si fueran más raíces además de la repetida, se suman los términos simples con
la ecuación homogénea asociada (sin ), que es la que contiene las constantes arbitrarias esenciales, y una solución particular
Autores: Juan Pablo Martí
Método de los coeficientes indeterminados:
Se aplica siempre y cuando
Entonces la solución propuesta será:
py
donde a , b y k son los coeficientes anteriormente mencionados en
cantidad de coincidencias entre
Los coeficientes indeterminados son los coeficientes de los términos de los polinomios de grado k de la solución. Se determinan reemplazando la solución particular en la ecuación diferencial.
Método de Variación de P
SÓLO APLICAR SI EL MÉTODO ANTERIOR NO FUNCIONA
Mi ecuación será py +′′
Propongo 11. utuy p +=
de la ecuación homogénea (sin las constantes), y
Derivo: 1111 .. tutuy p′+′=′
Impongo una condición:
Entonces 211. utuy p′+′=′
Vuelvo a derivar: uy p =′′
Reemplazo en la ecuación y obtengo
De (1) y (2) obtengo el sistema
y 2t ′ resolviendo por determinant
Las integro sin sumarle constantes de integración y las reemplazo en
solución particular.
UNIDAD VII: SISTEMAS DE ECUACIONES DI
Reducción a orden 1:
xIV
Ecuación de orden superior en donde la función incógnita es
Tomo
IVxx
xxx
xxxx
xxx
xx
=′
′′′=′=
′′=′′=′=
′=′=
=
4
34
123
12
1
Entonces: 4x′
De allí obtengo el sistema con las derivadas despejadas:
Página 23 Resumen de Análisis matemático II
Método de los coeficientes indeterminados:
Se aplica siempre y cuando ( )( )xb
xbexPxf
xa
k.sin
.cos.).()(
.= .
Entonces la solución propuesta será:
( ) ( )[ ] m
kk
xa
p xxbxQxbxQe ..sin).(.cos).(. 21
. +=
son los coeficientes anteriormente mencionados en
cantidad de coincidencias entre biaS += y las ir de la hy .
Los coeficientes indeterminados son los coeficientes de los términos de los polinomios de la solución. Se determinan reemplazando la solución particular en la
Método de Variación de Parámetros (Lagrange):
¡¡¡OJO!!! SÓLO APLICAR SI EL MÉTODO ANTERIOR NO FUNCIONA
)(.. xfyqyp =+′
22 .tu , siendo 1u y 2u las soluciones linealmente independientes
la ecuación homogénea (sin las constantes), y 1t y 2t funciones a determinar.
22221 .. tutu ′+′+′
Impongo una condición: 0.. 2211 =′+′ tutu (1)
22 .t′
22221111 .... tutututu ′′+′′+′′+′′
Reemplazo en la ecuación y obtengo )(.. 2211 xftutu =′′+′′ (2)
De (1) y (2) obtengo el sistema
=′′+′′
=′+′
)(..
0..
2211
2211
xftutu
tutu, del cual van a salir las soluciones
resolviendo por determinantes.
Las integro sin sumarle constantes de integración y las reemplazo en
MAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
ORDEN
)(.... 4321 tfxaxaxaxaIV =+′+′′+′′′+
de orden superior en donde la función incógnita es
)(.... 142332414 tfxaxaxaxa =++++′
De allí obtengo el sistema con las derivadas despejadas:
Resumen de Análisis matemático II
son los coeficientes anteriormente mencionados en )(xf , y m es la
Los coeficientes indeterminados son los coeficientes de los términos de los polinomios de la solución. Se determinan reemplazando la solución particular en la
SÓLO APLICAR SI EL MÉTODO ANTERIOR NO FUNCIONA
las soluciones linealmente independientes
funciones a determinar.
, del cual van a salir las soluciones 1t ′
Las integro sin sumarle constantes de integración y las reemplazo en py y obtengo mi
LINEALES DE 1º
de orden superior en donde la función incógnita es )(tx
Autores: Juan Pablo Martí
′
′
′
′
4
3
2
1
x
x
x
x
Sistema Lineal Normal Homogéneo:
Es un sistema en el que las derivadas de las incógnitas están despejadas, una en cada ecuación.
Método de Autovalores y Autovectores:
Propongo una solución: KX =La derivo: t
eKX.
.λλ=′
Reemplazo en la ecuación (1):
En (2), las soluciones no triviales se dan cuando:
De ésta ecuación saco los Autovalores
Entonces las Soluciones Particulares
Y la Solución General es:
GX
X
1º Caso: Autovalores R
Página 24 Resumen de Análisis matemático II
−−−−=′
=′
=′
=′
142332414
43
32
21
....)( xaxaxaxatf
x
x
x
Sistema Lineal Normal Homogéneo:
n sistema en el que las derivadas de las incógnitas están despejadas, una en cada ecuación.
+++=′
+++=′
+++=′
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
...
...
...
2211
22221212
12121111
L
M
L
L
XAX .=′ (1)
⋅
=
′
′
′
nnnnn
n
n
n x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
M
L
MLMM
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
Método de Autovalores y Autovectores: t
eK.
.λ
tteKAeK
.....
λλλ = ⇒ [ ] 0.. =− KIA λ (2)
En (2), las soluciones no triviales se dan cuando: 0. =− IA λ (Ecuación Característica
Autovalores ( iλ ) y los Autovectores ( iK ).
Soluciones Particulares son:
tn
n
t
t
neKX
eKX
eKX
.
.2
2
.1
1
.
.
.
2
1
λ
λ
λ
=
=
=
M
nn XCXCXCXC .... 332211 ++++= L
⋅
=
t
n
t
t
nnnn
n
n
G
neC
eC
eC
kkk
kkk
kkk
X
.
.
2
.
1
21
22221
11211
.
.
.
2
1
λ
λ
λ
M
L
MLMM
L
L
1º Caso: Autovalores Reales y Distintos:
Soluciones Particulares
Resumen de Análisis matemático II
n sistema en el que las derivadas de las incógnitas están despejadas, una en cada ecuación.
Ecuación Característica)
Autores: Juan Pablo Martí
2º Caso: Autovalores Reales Repetidos:
2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:
DE LA MISMA MANERA QUE EN EL 1º CASO, PERO REPITIENDO LOS
2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:
Soluciones Particulares de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1
De donde, para averiguar
[ ]1.IA − λ
Cuando hay más autovectores aumenta el grado del polinomio de las
Solución General de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1
3º Caso: Autovalores Complej
βαλ
βαλ
i
i
−=
+=
2
1 ⇒
eCX G .1=
Página 25 Resumen de Análisis matemático II
tn
n
t
t
neKX
eKX
eKX
.
.2
2
.1
1
.
.
.
2
1
λ
λ
λ
=
=
=
M
2º Caso: Autovalores Reales Repetidos:
2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:
DE LA MISMA MANERA QUE EN EL 1º CASO, PERO REPITIENDO LOS AUTOVALORES
2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:
Soluciones Particulares de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1 autovector:
( ) t
t
eKtKX
eKX
.21
2
.1
1
1
1
..
.
λ
λ
+=
=
De donde, para averiguar 2K lo pongo en la ecuación
] 12. KK =
Cuando hay más autovectores aumenta el grado del polinomio de las
Solución General de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1 autovector:
( )t
G eKtKCeKCX21
2
.1
11 .....
λλ ++=
3º Caso: Autovalores Complejos Conjugados:
[ ] 0.. =− KIA λ ⇒ biaK ±=
Soluciones Particulares:
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tatbeX
tbtaeX
t
t
.sin..cos..
.sin..cos..
.
2
.
1
ββ
ββα
α
−=
−=
Solución General:
( ) ( )[ ] ([ tbeCtbtaett
.cos....sin..cos...
2
. βββ αα +−
Resumen de Análisis matemático II
2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente
DE LA MISMA MANERA QUE EN EL 1º CASO, PERO REPITIENDO LOS
2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente
Soluciones Particulares de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1
la ecuación
Cuando hay más autovectores aumenta el grado del polinomio de las iK
Solución General de 1 autovalor repetido con multiplicidad 2 y 1
t.1λ
) ( )]tat .sin.. β−
Autores: Juan Pablo Martí
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Primera parte: Cálculo multivariableUNIDAD I: Funciones vectoriales de un parámetro real
Definición: ................................................................Vector Posición: ................................Límite: ................................................................Continuidad: ................................Derivadas: ................................................................
Reglas de Derivación: ................................Vector Velocidad:................................Vector Aceleración:................................
Teorema: ................................Terna Intrínseca: ................................
Tangente Unitario: ................................Normal Principal: ................................Binormal: ................................Fórmulas de Frenèt: ................................
Triedro Intrínseco: ................................Plano Osculador: ................................Plano Rectificante: ................................Plano Normal: ................................
Longitud de Arco: ................................
UNIDAD II: Funciones reales de vectorDefinición: ................................................................
Gráficos en tres dimensiones ( f
Curvas de Nivel: ................................Trazas: ................................................................
Intervalo Rectangular: ................................Entornos: ................................................................
Entorno: ................................Entorno Reducido: ................................Entorno Circular: ................................Entorno Circular Reducido: ................................
Límite Múltiple o Simultáneo: ................................Límites Reiterados: ................................Límites Direccionales: ................................Teorema Fundamental del Límite:Continuidad: ................................Derivadas Parciales: ................................
Derivada Parcial respecto de
Derivada Parcial respecto de
Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut:Plano Tangente y Recta Normal:Diferenciabilidad: ................................Interpretación Geométrica del Diferencial Total:Derivada Direccional: ................................Vector Gradiente: ................................Regla de la cadena: ................................Derivadas de Funciones ImplícitExtremos Relativos Libres: ................................
Página 26 Resumen de Análisis matemático II
BIBLIOGRAFÍA No hay ninguna fuente en el documento actual.
ÍNDICE Primera parte: Cálculo multivariable ................................................................UNIDAD I: Funciones vectoriales de un parámetro real ................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
UNIDAD II: Funciones reales de vector ................................................................................................................................................................
),( yxf ): ................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
Teorema Fundamental del Límite: ................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Derivada Parcial respecto de x :................................................................................................
e y : ................................................................................................
Teorema de Schwartz o Teorema de Clairaut: ................................................................Plano Tangente y Recta Normal: ................................................................................................
................................................................................................................................Interpretación Geométrica del Diferencial Total: ................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Derivadas de Funciones Implícitas: ................................................................................................
................................................................................................
Resumen de Análisis matemático II
..................................................... 1
......................................................... 1 ........................................................... 1
.................................................. 1 ................................................................. 1
....................................................... 1 ........................................................... 1
..................................................................... 1 ................................................ 1
............................................. 1 ........................................................ 1
................................................. 2 ......................................... 2
........................................... 2 ........................................................ 2
....................................... 2 .............................................. 2
............................................ 2 ......................................... 2
................................................ 2
................................................ 2
.................................................. 2 ........................................................... 2
.......................................... 3
............................................. 3 ............................................................ 3
........................................ 3 ............................................................ 3
......................................................... 3 ......................................... 3
............................................ 3 ............................................................ 3 ............................................................ 4
............................................. 4 ......................................... 4
...................................................... 4 ....................................................... 4
............................................ 4 .................................................... 4 ................................................... 4
................................................................... 4 ........................................................ 5
................................................ 5 ............................................................... 5
.......................................... 6 ............................................... 6
............................................. 6 ..................................................... 7
.................................................................. 7
Autores: Juan Pablo Martí
Extremos Ligados o Condicionados:Método del Multiplicador de Lagrange:
UNIDAD III: Integrales múltiplesIntegrales Dobles ................................Integrales Reiteradas: ................................
Integración sobre regiones no rectangulares:Cambio de variables: ................................Cambio de variables rectangulares a polares:Integrales Triples: ................................Integrales Reiteradas: ................................Integración sobre regiones no rectangulares:Cambio de variables: ................................Coordenadas cilíndricas: ................................Coordenadas esféricas: ................................Aplicaciones de Integrales Múltiples:
Áreas de superficies alabeadas:Volúmenes entre un plano coordenado y una función:Áreas de superficies planas: ................................Volúmenes en general: ................................
Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples:Integrales Dobles: ................................
Masa: ................................Momentos estáticos (1º orden):Momentos de Inercia (2º orden):Centro de masa (Centroide):
Integrales Triples: ................................Masa: ................................Momentos de primer orden (respecto a los planos):Centro de masa (Centroide):
UNIDAD IV: Campos vectoriales. Integrales de líneaCampo vectorial o Función vectorial de vector:Gradiente: ................................................................Rotor: ................................................................Divergencia: ................................Integrales de línea: ................................
Formas Paramétricas: ................................Forma diferencial: ................................Teorema de Green: ................................Consecuencias del teorema de Green:
Teorema del área: ................................Independencia con la trayectoria:
Teorema Fundamental de las Integrales de Línea:Integral de superficie: ................................Teorema de Stokes (o teorema del Rotor):Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales:
Segunda parte: Ecuaciones diferencialesConceptos: ................................
UNIDAD V: Ecuaciones diferenciales ordinariasTipos de E. D. Ordinarias: ................................E. D. de Variables Separables:................................Trayectorias Ortogonales: ................................E. D. Homogéneas (de 1º orden):E. D. Exactas: ................................E. D. Lineal: ................................Método del Factor Integrante: ................................
Página 27 Resumen de Análisis matemático II
Extremos Ligados o Condicionados: ................................................................................................Método del Multiplicador de Lagrange: ................................................................................................
UNIDAD III: Integrales múltiples................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Integración sobre regiones no rectangulares: ................................................................
................................................................................................................................Cambio de variables rectangulares a polares: ................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
Integración sobre regiones no rectangulares: ................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
Aplicaciones de Integrales Múltiples: ................................................................................................Áreas de superficies alabeadas: ................................................................................................Volúmenes entre un plano coordenado y una función: ................................................................
................................................................................................................................................................................................
Aplicaciones físicas de las Integrales múltiples: ................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Momentos estáticos (1º orden): ................................................................................................Momentos de Inercia (2º orden): ................................................................................................Centro de masa (Centroide): ................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
Momentos de primer orden (respecto a los planos): ................................................................Centro de masa (Centroide): ................................................................................................
UNIDAD IV: Campos vectoriales. Integrales de línea ............................................................Campo vectorial o Función vectorial de vector: ................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Consecuencias del teorema de Green: ................................................................................................
................................................................................................................................Independencia con la trayectoria: ................................................................................................
Teorema Fundamental de las Integrales de Línea: ................................................................................................................................................................................................
Teorema de Stokes (o teorema del Rotor): ................................................................................................Teorema de Gauss (o teorema de la Divergencia):................................................................Mapa Conceptual de los Teoremas Integrales: ................................................................
Segunda parte: Ecuaciones diferenciales ................................................................................................................................................................................................
UNIDAD V: Ecuaciones diferenciales ordinarias ................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
E. D. Homogéneas (de 1º orden): ................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
Resumen de Análisis matemático II
................................................... 9 ............................................. 9
.......................................................... 10 .............................................. 10
....................................... 10 ............................................................. 10
........................................ 11 .................................................................. 11
............................................. 11 ....................................... 11
.................................................................. 11 ........................................ 11
................................................................... 12 ..................................... 12
............................................... 12 ................................................... 12
.............................................. 12 ......................................................... 12
................................................................ 12 ............................................................... 13
........................................ 13 ....................................................... 13
............................................. 13 ............................................ 13
................................................... 13 ......................................... 13
....................................................... 13 ............................................. 13
................................................... 13
............................ 14 ............................................................... 14
......................................................... 14 ................................................................ 14
...................................................... 14 ........................................... 15
.................................................................. 15 ............................................. 15
........................................... 15 ............................................. 16
........................................ 16 ............................................... 16
........................................................... 17 ....................................... 17 ...................................... 17
........................................................... 18 ................................................................ 19
............................................. 19 ........................................................ 19
................................... 20 .................................................................. 20
........................................................... 20 ................................................................ 20
..................................................... 20
..................................................... 21 ....................................................... 21
......................................................... 21
Autores: Juan Pablo Martí
E. D. Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli):Familia de Curvas Isoclinas: ................................
UNIDAD VI: Ecuaciones diferenciales lineales de orden superiorE. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes:E. D. Lineal Homogénea: ................................Ecuación Característica: ................................
1º Caso: Raíces Reales y Distintas:2º Caso: Raíces Reales Repetidas:3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas:
E. D. Lineal Completa o Inhomogénea:Método de los coeficientes indeterminados:Método de Variación de Parámetros (Lagrange):
UNIDAD VII: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 1º ordenReducción a orden 1: ................................Sistema Lineal Normal Homogéneo:Método de Autovalores y Autovectores:
1º Caso: Autovalores Reales y Distintos:2º Caso: Autovalores Reales Repetidos:
2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:
3º Caso: Autovalores Complejos Conjugados:
Bibliografía ................................ÍNDICE ................................................................
Página 28 Resumen de Análisis matemático II
E. D. Reducible a Lineal (E. D. de Bernoulli): ................................................................................................................................................................................................
s diferenciales lineales de orden superior ................................E. D. Lineales de Orden Superior con Coeficientes Constantes: ................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
1º Caso: Raíces Reales y Distintas: ................................................................................................2º Caso: Raíces Reales Repetidas: ................................................................................................3º Caso: Raíces Complejas Conjugadas: ................................................................................................
E. D. Lineal Completa o Inhomogénea: ................................................................................................Método de los coeficientes indeterminados: ................................................................Método de Variación de Parámetros (Lagrange):................................................................
UNIDAD VII: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 1º orden ...............................................................................................................................................................
Sistema Lineal Normal Homogéneo: ................................................................................................Método de Autovalores y Autovectores: ................................................................................................
1º Caso: Autovalores Reales y Distintos:................................................................................................2º Caso: Autovalores Reales Repetidos: ................................................................................................
2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes:2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes:
3º Caso: Autovalores Complejos Conjugados: ................................................................
................................................................................................................................................................................................
FECHA DE ÚLTIMA EDICIÓN: 13 de agosto de 2010
Resumen de Análisis matemático II
..................................... 21 .............................................................. 22
......................................... 22 ....................................... 22
................................................................... 22 .................................... 22
............................................... 22 ................................................ 22
....................................... 22 ............................................. 22
................................................................... 23 ............................................................. 23
............................... 23 ........................................ 23
................................................ 24 .......................................... 24
...................................... 24
...................................... 25 2.a) Multiplicidad igual a la cantidad de autovectores linealmente independientes: ............................ 25 2.b) Multiplicidad mayor a la cantidad de autovectores linealmente independientes: ......................... 25
............................................................. 25
......................................................... 26
................................ 26
13 de agosto de 2010