Respuesta temporal feb08

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1. 1 Anlisis de la Respuesta TemporalEl estudio de la respuesta temporal de un sistema es de vital importancia para el posterior anlisis desu comportamiento y el posible diseo de un sistema de control. En este captulo se realizar el estudiodetallado de la respuesta temporal de un sistema, el cual se fundamentar en el conocimiento previoque se tiene del mismo, o lo que es lo mismo en el modelo del sistema.En principio, se dene la respuesta temporal de un sistema como el comportamiento en el tiempo quetiene el mismo ante alguna variacin en sus entradas. En la Fig. ?? se puede apreciar la respuestatemporal de un sistema, compuesta por una respuesta transitoria y una permanente, la cual tambinpuede ser expresada segn la Ec. ??, donde yt(t) y yss(t) son la respuesta transitoria y la permanente,respectivamente.Figura 1.1: Respuesta Temporaly (t) = yt (t) + yss (t) (1.1)El anlisis de la respuesta temporal de un sistema se realizar, para diferentes tipos de sistemas ydiferentes tipos de entrada, separando la respuesta en transitoria y permanente. Es por ello que a1 2. 1 Anlisis de la Respuesta Temporalcontinuacin se describen una serie de funciones que sern utilizadas para representar seales deentradas tpicas.1.1. Seales de EntradasEn el anlisis de un sistema de control es necesario conocer su comportamiento ante diferentes tiposde perturbaciones, por lo que se estudiarn, en esta seccin, una serie de seales de entradas quecomnmente ocurren en la vida real, el impulso, el escaln, la rampa y la parbola.El impulso es una entrada cuya duracin en el tiempo es instantnea; el escaln es aquella entradacuya magnitud es aplicada en forma constante a lo largo del tiempo; la rampa es una entrada cuyaamplitud vara linealmente a lo largo de todo el tiempo y la parbola es aquella cuya amplitud varacuadrticamente a lo largo del tiempo. En la Tabla ?? se muestra la expresin matemtica de cadauna de ellas y su Transformada de Laplace, en tanto que en la Figura ?? se muestra su representacingrca.Impulso r (t) = A (t) R(s) = AEscaln r (t) = Mt R(s) = MsRampa r (t) = Mt R(s) = Ms2Parbola r (t) = Mt22R(s) = Ms3Cuadro 1.1: Diferentes Entradas(a) Impulso (b) Escaln (c) Rampa (d) ParbolaFigura 1.2: Diferentes Tipos de Entradas1.2. Clasicacin de los SistemasLos sistemas pueden ser clasicados segn su orden, el cual coincide con el nmero mnimo de va-2 3. 1.3 Sistemas de Primer Ordenriables de estado que se necesitan para describirlo y con el grado del denominador de su funcin detransferencia.Adems, se realiza una clasicacin adicional para los sistemas segn su tipo, el cual coincide con elnmero de soluciones en el origen que presenta el denominador de su funcin de transferencia, o loque ser llamada en adelante la ecuacin caracterstica del sistema.En forma general una funcin de transferencia puede escribirse tal como se muestra en la Ec. ??,donde las soluciones del numerador se conocern como los ceros del sistema y las soluciones deldenominador como los polos o races de la ecuacin caracterstica, tal como se mencion con anterio-ridad. A partir de all, sNrepresenta un polo de multiplicidad N en el origen, el cual coincide con eltipo del sistema.G (s) =k (as + 1) (bs + 1) . . . (ms + 1)sN (1s + 1) (2s + 1) . . . (ps + 1)(1.2)A continuacin se muestra el estudio detallado de la respuesta transitoria para sistemas de primero ysegundo orden, en tanto que, para sistemas de orden superior, la respuesta transitoria se aproximar ala respuesta de sistemas de ordenes inferiores segn criterios a establecerse.1.3. Sistemas de Primer OrdenConsidere que un sistema de primer orden tipo 0 puede ser representado, en forma general, utilizandouna funcin de transferencia como la que se muestra en la Ec. ??, en la cual K es la ganancia del sis-tema y la constante de tiempo del sistema. Dichos parmetros caracterizan la respuesta del sistema,tanto temporal como permanente, tal como quedar demostrado a continuacin.C(s)R(s)=Ks + 1(1.3)Ante una entrada de tipo escaln de magnitud M la salida C(s) quedar expresada como sigue,C (s) =MsKs + 1(1.4)La respuesta exacta en el tiempo para la salida, c(t), se encontrar separando en fracciones simples yantitransformando trmino a trmino, obtenindose nalmente c(t) tal como se expresa en la Ec. ??.C (s) = MK1ss + 1(1.5)c (t) = MK 1 e t (1.6)3 4. 1 Anlisis de la Respuesta TemporalPartiendo de dicha expresin es posible realizar un esbozo de la respuesta evaluando la misma paraciertos valores de t.c (0) = MK 1 e0= 0 (1.7)c () = MK 1 e1= 0, 632MK (1.8)c () = MK (1 e) = MK (1.9)A partir de la Ec. ?? se dene la constante de tiempo, , como el tiempo que tarda el sistema enalcanzar el 63,2 % de su valor nal. En la Fig. ?? se aprecia dicha respuesta, en la cual se puedeobservar la inuencia de sobre la respuesta transitoria y la de K sobre el valor del establecimiento.Figura 1.3: Respuesta al Escaln de un Sistema de Primer OrdenCabe destacar que, el clculo del valor del establecimiento de una variable a partir de la Transformadade Laplace de la misma, puede realizarse utilizando el Teorema del Valor Final, gracias al cual se puedeconocer el valor de dicha variable cuando el tiempo tiende a innito, tal como se muestra en la Ec. ??.Aplicando este teorema a la variable en estudio se obtendra en la Ec. ?? el valor del establecimientopara la salida c(t), el cual coincide con el mostrado previamente.r() = lms0sR(s) (1.10)c() = lms0sC(s) = lms0sMsKs + 1= MK (1.11)4 5. 1.3 Sistemas de Primer OrdenEn la Fig. ?? (a) se muestra la variacin de la respuesta para modicaciones en la constante de tiempoy en la Fig. ?? (b) se muestra la variacin de la respuesta para modicaciones de la ganancia, enellas se aprecia el efecto que tienen sobre la respuesta los parmetros caractersticos de la funcin detransferencia, K y . A mayor constante de tiempo se tiene menor rapidez de la respuesta y a mayorganancia mayor ser el valor del establecimiento.(a) Diferentes Constantes de Tiempo (b) Diferentes GananciasFigura 1.4: Respuesta al escaln para variaciones de K y El tiempo que tarda en establecerse la respuesta, conocido como tiempo de establecimiento puedeexpresarse en funcin de la constante de tiempo y est denido utilizando dos criterios conocidoscomo, el Criterio del 5 % y el Criterio del 2 %, segn los cuales el sistema estar establecido cuandola respuesta permanece dentro del 5 % o el 2 % de su valor nal, respectivamente. A partir de la Ec.?? se obtienen las expresiones del tiempo de establecimiento que se muestran a continuacin.ts(5 %) = 3 (1.12)ts(2 %) = 4 (1.13)La respuesta que se obtendra si la entrada R(s) fuese una rampa unitaria se puede apreciar en laFig. ??, en la cual se observa que la salida no sigue a la rampa, pues su pendiente nunca tiende a lapendiente de la entrada. De igual forma puede calcularse numricamente el valor nal de c(t), como5 6. 1 Anlisis de la Respuesta Temporalse muestra en la Ec. ??, en donde se aprecia que la salida tiende a innito. De all que puede concluirseque este tipo de sistemas no presenta una salida aceptable ante una variacin tipo rampa en su entrada.c() = lms0sC(s) = lms0sMs2Ks + 1= (1.14)Figura 1.5: Respuesta Sistema Primer Orden Tipo 0 ante una Entrada RampaAdems del anlisis a lazo abierto, se realiza un anlisis semejante de la respuesta transitoria a lazocerrado, para lo cual se parte del sistema mostrado en la Fig. ?? y se obtiene la funcin de transferenciaa lazo cerrado, Ec. ??, en donde la ganancia y la constante de tiempo para dicho sistema se muestranen las Ecs. ?? y ??, respectivamente.Figura 1.6: Sistema de Primer Orden a Lazo CerradoC (s)R (s)=KLALAs+11 + KLALAs+1=KLALAs + (1 + KLA)=KLA1+KLALA1+KLAs + 1(1.15)6 7. 1.3 Sistemas de Primer OrdenKLC =KLA1 + KLA(1.16)LC =LA1 + LA(1.17)Tal como puede observarse la funcin de transferencia a lazo cerrado es semejante a la mostrada en laEc. ??, por lo que la forma de la respuesta al escaln tambin lo ser, es decir, ser de tipo exponencialy estar caracterizada por la constante de tiempo y la ganancia a lazo cerrado. En la Fig. ?? se muestrala comparacin entre respuesta al escaln a lazo abierto y a lazo cerrado para un sistema particular,en la cual se puede observar que el sistema a lazo cerrado resulta ms rpido pues tiene una menorconstante de tiempo, en tanto que su valor de establecimiento se acerca ms al valor de la entradadebido a que la ganancia a lazo cerrado se acerca a la unidad.Figura 1.7: Comparacin Lazo Abierto Lazo CerradoEjemplo. 3. 1Ante una entrada escaln unitario, compare las respuestas a lazo abierto y a lazo cerrado de dos sistemas cu-yas funciones de transferencia son las que se muestran en las Ecs. ?? y ??. Considere que la retroalimentacines unitaria e indique en cada caso el tiempo de establecimiento y el valor del establecimiento.G1(s) =210s + 1(1.18)G2(s) =3025s + 5(1.19)7 8. 1 Anlisis de la Respuesta TemporalSolucinLa respuesta de un sistema de primer orden depende de su ganancia y de su constante de tiempo, tanto a lazoa bierto como a lazo cerrado, es por ello que lo primero que debe hacerse es determinar, para cada sistema,el valor de dichos parmetros.Para G1(s)KLA = 2 LA = 10 ts(2 %) = 40 c() = 2KLC = 0, 66 LC = 3, 33 ts(2 %) = 13, 33 c() = 0, 66Para G2(s)KLA = 6 LA = 5 ts(2 %) = 20 c() = 6KLC = 0, 86 LC = 0, 71 ts(2 %) = 2, 85 c() = 0, 86El estudio de la respuesta transitoria tambin se realiza para sistemas de primer orden de tipo I, alazo abierto y a lazo cerrado, como los que se muestran en las Figs. ?? (a) y (b). Ante una entradade tipo escaln, la respuesta del sistema a lazo abierto crece indenidamente, tal como sucede con larespuesta del sistema de tipo 0 ante entrada rampa. Es por ello que se estudiar solamente la respuestaa lazo cerrado, la cual si tiene un comportamiento aceptable.(a) Lazo Abierto (b) Lazo CerradoFigura 1.8: Sistema de Primer Orden Tipo UnoAl igual que para el caso anterior se obtendr la funcin de transferencia a lazo cerrado en funcin delos parmetros de lazo abierto, la cual se muestra a continuac