1

Respuesta en frecuencia• Función periódica es aquella que

cumple que x(t+T)=x(t) (fo=1/T)• Cualquier función periódica puede

expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo

Respuesta en frecuencia• Cualquier función periódica puede

expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo

x(t)=∑n [ansin(nωt)+bncos(nωt)]

2

F(t)=a0sin(wt)+b0cos(wt)+a1sin(2wt)+b1cos(2wt)+a3sin(3wt)+b3cos(3wt)+a4sin(4wt)+b4cos(4wt)+..

-1,27 0

0

0

00 0

-0,424

F(t)=-1,27sin(wt)-0,424sin(3wt)-0,254sin(5wt)-0,1819sin(7wt)-0,1414sin(9wt)-0,11sin(11wt) …

3

Transformada de Fourier

Frecuencia

an

Coeficientes bn=0

Función de transferenciaUn circuito lineal estará definido por unafunción de transferencia dependiente de lafrecuencia de la señal de entrada H(s=jω)

4

Función de transferencia

PROPIEDAD vIN H(jw) vOUT

Amplitud A |H(!)| A•|H(w)|Fase ø ß(!) ø+ßFrecuencia ! !

Ejemplo: Circuito RC

!

VOUT =VIN

" j1

C#

R " j1

C#

=VIN

1+ jRC#=V$ø

1

1+ R2C2# 2$"arctan RC#( )

vOUT (t) =Vo1

1+ R2C2# 2cos #t + ø " arctan RC#( )[ ]

5

Ejemplo: Circuito RC

!

H( j") =VOUT

VIN

= H#ß

=1

1+ R2C

2" 2#$arctan RC"( )

VOUT =VoH#ø+ ß

vOUT (t) =VoH cos "t + ø + ß[ ]

vOUT (t) =Vo1

1+ R2C

2" 2cos "t + ø $ arctan RC"( )[ ]

!

H( j") =1

1+ jRC"

Circuito RL

!

H( j") =VOUT

IIN= R + jL" = H

#ß= R

2 + L2" 2# arctan L" /R( )

VOUT = IoH#ø+ ß

vOUT (t) = IoH cos "t + ø + ß[ ]

vOUT (t) = Io R2 + L2" 2

cos "t + ø + arctan(L" /R)[ ]

6

Variación en frecuencia

• En función de la frecuencia deexcitación ω:– Varían las impedancias capacitativas e

inductivas del circuito (jωL i -j/(Cω) )– Varia por tanto H(jω)

• Varia el módulo |H| y por tanto la amplitud dela señal de salida

• Varia la fase β de H y por tanto la fase de laseñal de salida

Representación de H(jω)

• H(jω)=|H|<ß|H| representa la atenuación/amplificación de la

señalß representa el desfase de la salida

Representación completa con frecuencias:|H(ω)|ß(ω)

7

Representación logarítmicade H(jω)

Octava: Multiplicación por dosDécada: Multiplicación por 10

Posibles funciones |H(jω)|

8

Ejemplo de aplicación

Circuito RC

!

H(s) =VOUT

VIN

=1

1+ sRC" H(s = j#) =

1

1+ j# /# p

# p =1

RC

H =1

1+# 2 #0

2 $ = %arctan # #

0( )

H(s) presenta un polo p=-1/RC. Definiemos la frecuencia depolo ωp como ωp=-p=1/RC

9

Circuito RC: Módulo

Aproximación de Bode: A partir del polo, la funcióndecae a razón de una década de |H| (ó 20 dB) por cadadécada de frecuenciaMayor divergencia: En el polo |H| decae a |H(0)|/√2(baja 3dB)

Circuito RC: Desfase

Aproximación de Bode: Inicialmente el desfase es cero (fase para ω=0),a partir de una década anterior al polo 0.1ωp el desfase empieza adecrecer a razón de -45˙ por década. Una vez bajados 90˙ (una décadaposterior al polo 10ωp) la función se hace constante

10

Filtropasa-bajos

!

T(s) =VOUT

VIN

=K

s+"

T(s = j#) =K

" + j#

T =K /"

1+# 2 " 2=

T(0)

1+# 2 " 2

$ =%K & arctan # "( )

Problema propuesto 4.7Dibujar el diagrama de Bode deun circuito LR (módulo y fase)

11

Representación de la funciónde transferencia

!

H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pm( )

m Polos#" p1, " p2

, " p3,...," pm

n Ceros#"z1, "z2, "z3

,...,"zn

POLO CERO

|H|A partir del Polo !p

-1 Década/década

A partir del cero !z

+1 Década/década

ßDesciende 90˙

durante dos décadas alrededor del polo

Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero

Representación de la funciónde transferencia

POLO CERO

|H|A partir del Polo !p

-20 dB/década

A partir del cero !z

+20 dB/década

Div. Función cae 3dB Función sube 3dB

ßDesciende 90˙

durante dos décadas alrededor del polo

Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero

!

H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pm( )

m Polos#" p1, " p2

, " p3,...," pm

n Ceros#"z1, "z2, "z3

,...,"zn

12

Circuito CR

!

V2

= V1

R

R+1

Cs

H (s) =R

R+1

Cs

=RCs

1+ RCs

H (s = j" ) =j"RC

1+ j"RC

Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RC

Circuito CR

!

H(s) =s

s+1

RC

"j#

j# +1

RC

Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RCPara ω=0 tenemos que |H|=0Para ω=∞ tenemos que |H|=1

13

Filtropasa-alta

!

T(s) =VOUT

VIN

= Ks

s+"

T(s = j#) = Kj#

" + j#

T = K#

" 2 +# 2= T($)

#

" 2 +# 2

% =&K + ' 2 ( arctan # "( )

Filtropasa-banda

14

Ancho de banda:BW=wp2-wp1

Factor calidadQ=f/BW

Filtropasa-banda

!

Si R = RL

= RC

H(s) =VOUT

VIN

=R

L

s

s2

+ sR

L+

1

RC

"

# $

%

& ' +

2

LC

15

Filtropasa-banda

!

RC = RL = R = 50" C = 20nF L = 0.1H

H(s) =VOUT

VIN

=500s

s2

+106s+10

9

# p1 =103

# p2 =106

!

RC = RL = R = 50" C = 20nF L = 0.1H

Dibujar el diagrama de Bode de H*(s)

H*(s) =

VOUT +VL

VIN

Problemapropuesto 4.8

16

!

H( j") =VOUT

VIN

=

=500 j"

#" 2+10

6j" +10

9

G(0) = (H( j") j"lim"$0

) * j" p = 5•10#4

" p1 =103

" p2 =106

Corta-banda

!

H(s) = K1

s+" p1

+s

s+" p2

#

$ %

&

' (

H(s) = K"0

s

"0

)

* +

,

- .

2

+ 2/

"0

s+1

s+" p1( ) s+" p2( )

K =R

2

R1

" p1=1 R

2C

2 " p2

=1 R1C

1

"0

=1 R1C

1R

2C

2