Resonansi paralel sederhana (rangkaian “tank”)

Kondisi resonansi akan terjadi pada suatu rangkaian “tank” (tank circuit) (gambar 1) ketika reaktansi dari kapasitor dan induktor bernilai sama. Karena rekatansi induktif bertambah besar apabila frekuensi membesar dan reaktansi kapasitif berkurang apabila frekuensi membesar, maka akan hanya ada satu nilai frekuensi dimana nilai reaktansi dari keduanya akan sama besar.

Gambar 1 Rangkaian resonansi paralel sederhana (rangkaian “tank”)

Pada rangkaian di atas, kita memiliki sebuah kapasitor 10 µF dan induktor 100 mH. Karena kita tahu persamaan untuk menghitung reaktansi pada frekuensi tertentu, dan kita ingin mengetahui pada titik berapa reaktansi dari kapasitor dan induktor akan sama besar, maka kita hitung reaktansi dari keduanya secara aljabar sebagai berikut :

Berikut ini rumus untuk menghitung reaktansi kapasitif dan raktansi induktif

pada saat resonansi, reaktansi kapasitif sama dengan reaktansi induktif

Kalikan sisi sebalah kanan dan kiri persamaan dengan variabel f untuk menghilangkan variabel f di ruas kanan

kedua sisi dibagi dengan 2πf sehingga menyisakan variabel f sendirian di ruas kiri persamaan

Akarkan kedua sisi persamaan

lalu sederhanakan

Jadi kita dapatkan rumus untuk menghitung frekuensi resonansi pada rangkaian “tank” tersebut, dimana nilai induktansi (L) dalam Henry dan kapasitansi (C) dalam Farad. Dengan memasukkan nilai L dan C pada rangkaian di atas, kita akan mendapatkan frekuensi resonansi sebesar 159.155 Hz.

Apa yang terjadi pada kondisi resonansi adalah suatu hal yang menarik. Dengan reaktansi induktif dan kapasitif yang sama antara satu sama lain, impedansi totalnya akan naik hingga nilainya tak berhingga, yang berarti rangkaian “tank” tersebut sama sekali tidak mengambil arus dari sumber AC tersebut. Kita dapat menghitung impedansi masing-masing dari kapsitor 100 µF dan induktor 100 mH dan memparalelkan keduanya :

XL = 2 π f L

XL = (2) (π) (159.155 Hz) (100 mH)

XL = 100 Ω

XC = 1/2πfC

XC = 1/ (2)(π)(159.155 Hz) (10 μF)

XC = 100 Ω

Lalu kita paralelkan kedua reaktansi ini, menghasilkan nilai impedansi yang tidak kita duga

Kita tidak dapat membagi suatu bilangan dengan angka nol, tetapi kita dapat katakan bahwa nilai hasil perhitungannya adalah tak berhingga. Nilai impedansinya mendekati tak berhingga apabila reaktansi dari keduanya saling mendekati satu sama lain. Apa artinya impedansi yang tak berhingga tersebut? Artinya pada rangkaian “tank” itu (kombinasi LC), rangkaian tersebut sama sekali tidak dialiri arus listrik oleh sumber AC yang terpasang (sama seperti rangkaian terbuka open circuit). Bila kita mensimulasikan rangkaian tersbut menggunakan simulator, maka akan diperoleh grafik seperti ini :

Gambar 2 Rangkaian resonansi disimulasikan

dengan SPICE Gambar 3 Grafik hubungan antara arus dengan frekuensi pada rangkaian resonansi paralel

Secara tidak sengaja, grafik output yang dihasilkan oleh simulator tersebut dikenal dengan nama grafik Bode (Bode plot). Grafik seperti ini menampilkan amplitudo atau beda fasa pada salah satu sumbu dan nilai frekuensi di sumbu lainnya. Pada grafik di atas, kenaikan nilai frekuensinya menunjukkan karakteristik tanggapan frekuensi (frekuensi respon) dari rangkaian “tank” di atas. Tanggapan frekuensi adalah seberapa sensitif amplitudo atau beda fasa akan berubah apabila frekuensinya berubah.

Pada pembahasan di awal, kita menggunakan rangkaian LC murni dan ideal. Sekarang perhatikan rangkaian LC “tank” pada gambar 4. Rangkaiannya terdiri dari sebuah kapasitor yang diparalel dengan sebuah induktor yang tidak ideal karena resistansi dari kawat induktor dipertimbangkan. Resistansi dari kawat ini diberi nama Rkawat seperti ditunjukkan pada gambar 4. Tetapi rangkaian pada gambar 4 ini bukan benar-benar rangkaian paralel karena ada kombinasi seri antara induktor dan resistor. Untuk dapat menghitung frekuensi pada saat rangkaian bersifat resistif murni, maka rangkaian seri resistor induktor ini harus ditransformasi ke dalam bentuk paralel ekivalennya. Sehingga rangkaiannya menjadi rangkaian paralel seperti pada gambar 5.

Gambar 4 Rangkaian LC dengan rugi-rugi resistansi pada

induktor Gambar 5 Rangkaian paralel RLC

Pada saat resonansi, reaktansi kapasitif dan induktif pada rangkaian gambar 5 bernilai sama. Jadi, apabila ada reaktansi kapasitif dan reaktansi induktif yang bernilai sama dan dihubungkan paralel, maka impedansi totalnya adalah :

Z = (jXL)(-jXC) ÷ (jXL – jXC)

karena pada saat resonansi, reaktansi kapasitif dan induktif sama XL = XC = X, maka nilai impedansi penggantinya adalah

Z = (jXL)(-jXC) ÷ 0 = ∞ Ω (impedansinya tinggi sekali)

Jadi, pada saat terjadi resonansi, reaktansi kapasitif dan induktif akan saling menghilangkan sehingga rangkaian penggantinya adalah open circuit (rangkaian terbuka) dan yang tersisa hanyalah resistansi saja. Jadi impedansi total dari rangkaian paralel RLC ini saat terjadi resonansi adalah murni resistif, ZT = Rp. Kita dapat menurunkan persamaan untuk menghitung frekuensi resonansi rangkaian tank paralel RLC ini dengan cara membuat persamaan antara reaktansi kapasitif dengan reaktansi induktif:

XC = XLP

Pertama, ingat rumus untuk mentransformasikan dari rangkaian seri ke rangkaian paralel dari rangkaian RL

kita sederhanakan lagi menjadi

Dengan memfaktorkan bagian √(LC) pada bagian penyebutnya, frekuensi resonansi paralel dihitung dengan persamaan

Perhatikan bahwa apabila Rkawat2 << L/C, maka nilai hasil dari

bagian akarnya mendekati 1. Konsekuensinya, apabila L/C ≥ 100Rkawat, frekuensi resonansi paralelnya disederhanakan menjadi

Ingat bagaimana cara menghitung faktor kualitas, Q, dari suatu rangkaian yaitu rasio atau perbandingan antara daya reaktif dengan daya rata-rata pada rangkaian saat resonansi. Mari kita obeservasi lebih lanjut untuk menghitung faktor kualitas (Q) dari rangkaian resonansi paralel RLC pada gambar 6.

Gambar 6 Rangkaian resonansi paralel RLC

Pada saat resonansi, reaktansi kapasitor dan induktornya akan saling menghilangkan, sehingga rangkaiannya hanya menyisakan sumber arus dengan resistor saja. Kita dapat dengan mudah menggunakan hukum Ohm pada rangkaian tersebut

V = IR = IR ∠0o

Respon frekuensi dari impedansi paralel RLC tersebut dapat dilihat pada gambar 7. Gambar kiri menunjukkan hubungan antara magnitudo impedansi dengan frekuensi angular. Grafik sebelah kanan menunjukkan hubungan antara sudut fasa impedansi dengan frekuensi angular

Gambar 7 Grafik hubungan antara magnitudo dan sudut fasa dari impedansi dengan frekuensi angular untuk rangkaian resonansi paralel

Perhatikan bahwa impedansi total dari rangkaian tersebut mencapai nilai maksimum saat terjadi resonansi dan nilainya minimum saat ω = 0 rad/s dan ω → ∞ rad/s. Hasil ini berkebalikan dengan rangkaian resonansi seri, dimana pada rangkaian resonansi seri, nilai impedansinya justru bernilai minimum saat terjadi resonansi, dan impedansinya maksimum saat ω = 0 rad/s dan ω → ∞ rad/s. Selain itu, untuk rangkaian paralel ini, impedansi totalnya akan bersifat induktif saat frekuensinya kurang dari frekuensi resonansi (ωp). Bagitu juga sebaliknya, impedansinya bersifat kapasitif saat frekuensinya lebih besar dari frekuensi resonansi (ωp).

Faktor kualitas, Q, dari rangkaian paralel RLC ini dapat dihitung

Hasil yang kita dapatkan ini persis sama dengan hasil yang kita peroleh saat kita mengkonversi suatu rangkaian RL seri menjadi rangkaian ekivalen paralelnya (baca di sini untuk lebih lengkapnya). Apabila resistansi dari kawat merupakan satu-satunya resistansi yang ada di dalam rangkaian, maka faktor kualitas (Q) dari rangkaian sama dengan faktor kualitas dari kumparan. Namun, apabila rangkaiannya memiliki resistansi lagi selain resistansi dari kawat, maka resistansi tambahan ini akan mereduksi atau mengurangi faktor kualitas (Q) dari rangkaian.

Untuk rangkaian resonansi paralel RLC, arus yang mengalir pada tiap-tiap komponen dapat dihitung dengan mudah menggunakan hukum Ohm :

Saat resonansi, arus yang melewati induktor dan kapasitor memiliki magnitudo yang sama tetapi beda fasanya adalah 180o sehingga arus yang mengalir pada kedua komponen ini akan saling menghilangkan. Perhatikan magnitudo dari arus yang mengalir pada komponen reaktif (kapasitor dan induktor) pada saat resonansi, memiliki nilai sebesar Q × sumber arus. Karena nilai faktor kualitas (Q) pada rangkaian paralel biasanya sangat besar, maka kita harus bisa memilih komponen yang “kuat” dan “tahan” saat dialiri arus listrik yang besar saat terjadi resonansi.

Sama seperti saat kita menganalisa untuk menghitung bandwith (lebar pita frekuensi) pada rangkaian resonansi seri, bandwith adalah lebar pita diantara dua batas frekuensi. Dua frekuensi pembatas ini adalah frekuensi yang membuat rangkaian hanya menyerap setengah dari daya total yang disuplai dari sumber. Kedua batas frekuensi tersebut (ω1 dan ω2) dapat dihitung dengan persamaan

Jadi, bandwith nya dapat dihitung

Apabila nilai Q ≥ 10, maka kurva selektivitasnya akan semakin ramping (mendekati bentuk kotak ideal) yang melingkupi frekuensi ωp, dimana batas frekuensi atas dan bawah nilainya adalah ωp ± BW/2. Persamaan menghitung bandwidth (BW) diatas dapat dijabarkan lagi, yaitu mengalikannya dengan ωp/ωp :

Perhatikan bahwa persamaan menghitung BW yang ini sama persis dengan menghitung BW dari rangkaian resonansi seri RLC.

Contoh Soal 1

Untuk rangkaian RLC paralel pada gambar 8,

Gambar 8 Rangkaian paralel RLC untuk contoh soal 1

a. Hitunglah frekuensi resonansi, ωr (rad/s) dan fr (Hz) dari rangkaian “tank” tersebut

b. Hitung faktor kualitas Q dari rangkaian saat resonansi

c. Hitung tegangan rangkaian tersebut saat resonansi

d. Hitung nilai arus yang mengalir pada induktor dan resistor saat resonansi.

e. Hitung bandwith dari rangkaian tersebut, nyatakan dalam satuan radian per sekon dan juga dalam Hz.

f. Gambar respon frekuensi untuk tegangan rangkaian tersebut, tunjukkan nilai tegangan rangkaian saat daya yang ditransfer ke rangkaian hanya terserap setengahnya.

g. gambarkan kurva selektivitas dari rangkaian yang menunjukkan hubungan antara daya P (watt) dengan ω (rad/s)

a. Nilai frekuensi resonansi adalah

b. Faktor kualitas saat terjadi resonansi

c. Pada saat resonansi, VC = VL = VR, sehingga

V = IR = (3.6 mA ∠0o) (500 Ω ∠0o) = 1.8 V 0o

d. Arus yang mengalir pada induktor dan resistor saat resonansi adalah

e. Bandwith dalam satuan rad/s dan Hz :

f. Frekuensi yang membuat rangkaian hanya menyerap setengah dari daya yang ditransfer oleh sumber (batas frekuensi atas dan baawah dari bandwith)

Berikut ini grafik respon frekuensi dari tegangan rangkaian (atau hubungan antara tegangan dengan frekuensi)

Gambar 9 Respon frekuensi dari tegangan

g. Daya yang diserap rangkaian saat resonansi sebesar

Dengan begitu kurva selektivitasnya dapat digambarkan sebagai berikut (grafik yang menghubungkan daya yang diserap rangkaian dengan frekuensi)

Gambar 10 Respon frekuensi dari daya yang diserap rangkaian. Saat resonansi, daya yang diserap rangkaian maksimal.

Bandwidth Rangkaian Resonansi Paralel

Nilai Q yang rendah akibat resistansi kawat induktor yang tinggi menghasilkan nilai maksimum pada kurva selektivitasnya menjadi lebih rendah dan bandwidthnya lebih lebar pada rangkaian resonansi paralel. (Gambar 11) Bagitu pula sebaliknya, nilai Q yang tinggi akibat resistansi kawat induktor yang rendah membuat nilai maksimum pada kurva selektivitasnya lebih tinggi dan bandwidthnya lebih sempit. Nilai Q yang tinggi dapat diperoleh dengan menggunakan kawat dengan diameter yang lebar saat membentuk sebuah induktor sehingga resistansi kawat induktor tersebut menjadi lebih rendah.

Gambar 11 Pengaruh faktor kualitas, Q, terhadap respon rangkaian resonansi paralel

Bandwidth dari rangkaian resonansi paralel dapat diukur diantara dua frekuensi yang membuat daya yang diserap rangkaian menjadi separuhnya (frekuensi cutoff atas dan bawah). Apabila ditinjau dari segi tegangan/arus, frekuensi cutoff atas dan bawah adalah frekuensi yang menyebabkan tegangan/arus output menjadi 0.707 dari tegangan maksimum. Karena P ~ E2 = (0.707)2 = 0.5P. Karena tegangan juga proporsional dengan impedansi (P = E2/R), maka kita bisa menentukan frekuensi cutoff atas dan bawah serta bandwidth dari rangkaian resonansi paralel ini dengan mengguakan kurva impedansi – frekuensi seperti pada gambar 12.

Gambar 12 Bandwidth, atau Δf, diukur dari 70.7% dari nilai maksimum dari impedansi.

Pada gambar 12, impedansi maksimumnya bernilai 500 Ω. Dan 0.707 dari impedansi maksimum tersebut adalah (0.707) (500 Ω) = 354 Ω. Jadi frekuensi cutoff atas dan bawah adalah frekuensi yang membuat impedansi rangkaian menjadi bernilai 354 Ω dan frekuensi tersebut adalah 281 Hz untuk f1 dan 343 Hz untuk f2. Sehingga bandwidth nya adalah f2-f1 = 62 Hz.

BW = Δf = fh – fl = 343 – 281 = 62 Hz

fl = fc – Δf/2 = 312 – 31 = 281 Hz

fh = fc + Δf/2 = 312 + 31 = 343 Hz

Q = fc/BW = (312 Hz) / (62 Hz) = 5

Dimana :

fc : frekuensi resonansi

fl : frekuensi cutoff bawah

fh : frekuensi cutoff atas