Resolver equações: como e para quê? (reflexões e … · 2017-07-24 · Resolver equa¸co˜es...

Resolver equacoes: como e para que?(reflexoes e reminiscencias)

Marcelo Viana

Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada

Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)

Resolver equacoes para que?

No mundo real:

Para resolver problemas concretos.

Para descobrir nova matematica.



No mundo real:



Na sala de aula:

Para que mesmo?



No mundo real:



Na sala de aula:

Para que mesmo?

Objetivo de formacao: capacitacao do aluno para abordarproblemas concretos.

Oportunidade didatica: caminho para a aprendizagem deconceitos matematicos.

Reminiscencia: Na escola, resolver equacoes era a maior diversao!


Resolver equacoes como?

Por meio de formulas.

Por meio de algoritmos (numericos).





No mundo real: Praticamente todas as equacoes resultantes deproblemas concretos sao resolvidas por metodos numericos.






Na sala de aula: Formulas sao priorizadas. Metodos numericosestao praticamente ausentes.






Na sala de aula: Formulas sao priorizadas. Metodos numericosestao praticamente ausentes.

Analise crıtica:

Formulas sao mais exatas (pelo menos, e o que dizem).

Formulas sao mais faceis de usar (sem precisar pensar).

Algoritmos obrigam, em certa medida, a entender o assunto.

Algoritmos obrigam a entender outras coisas.


Sistemas de equacoes lineares

Como se resolve um sistema de equacoes deste tipo?

a1x + b1y + c2z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3



Como se resolve um sistema de equacoes deste tipo?

a1x + b1y + c2z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3

Na sala de aula: pela Regra de Cramer!

x =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

d1 b1 c1d2 b2 c2d3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

y = · · · z = · · ·



Analise crıtica:

A Regra de Cramer e a pior maneira que existe para resolverum sistema de equacoes lineares (custo computacional).

Ela e importante do ponto de vista conceitual (teorico) comoum “aplicacao” do conceito de determinante.

Mas as razoes disso estao, geralmente, fora do escopo dadisciplina, mesmo na licenciatura.

Assim, o uso da Regra de Cramer em sala de aula tende a sermuito pobre do ponto de vista didatico.


Equacao de grau 2

Como se resolve uma equacao deste tipo?

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0


Equacao de grau 2

Como se resolve uma equacao deste tipo?

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0

Na sala de aula: usando a Formula Resolvente!

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Equacao de grau 2

Analise crıtica:

A resposta esta certa: essa e a melhor maneira de resolveresta equacao.

A Formula Resolvente tem enorme importancia conceitual.

Ela pode ser bem explorada em sala de aula, por exemplo, naanalise do grafico da funcao f (x) = ax2 + bx + c .

Mas, na pratica, o seu uso em sala de aula tende a ser muitopobre.

Alem disso, ela e muito limitadora, uma vez que este tipo deabordagem so pode ser usado em situacoes muito particulares(equacoes polinomiais de graus 2, 3 ou 4).

Reminiscencia: No Ensino Medio, fiquei achando as equacoespolinomiais de grau 5 objetos extremamente misteriosos.


Metodos alternativas

Para a maioria das equacoes (nao polinomiais), por exemplo,

cos x = x

nao e razoavel esperar que exista algo semelhante a FormulaResolvente da equacao de grau 2.

No entanto, tais equacoes podem ser muito faceis de resolver.


A equacao cos x = x

cos

0.000000000

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

1.000000000

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.540302305

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.857553215

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.654289790

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.793480358

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.701368773

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.763959682

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.722102425

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.750417761

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.731404042

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.744237354

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.735604740

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.741425086

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.737506890

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.740147335

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.738369204

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

cos

0.739567202

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


Resolvendo cos x = x


Entendendo o metodo iterativo

Para desenvolver: Claro que nao basta verificar que este metodofunciona em alguns exemplos. E necessario compreender por quefunciona ou, melhor, em que condicoes funciona.




Teorema

Suponha que |f ′(ponto fixo)| < 1 (ou seja, que a inclinacao dografico de f e menor que 45o , para cima ou para baixo). Dizemosque se trata de um ponto fixo atrator. Entao a sequencia dositerados converge para o ponto fixo, desde que o valor inicial estejasuficientemente proximo.




Teorema

Suponha que |f ′(ponto fixo)| < 1 (ou seja, que a inclinacao dografico de f e menor que 45o , para cima ou para baixo). Dizemosque se trata de um ponto fixo atrator. Entao a sequencia dositerados converge para o ponto fixo, desde que o valor inicial estejasuficientemente proximo.

Este enunciado pode ser ”descoberto” experimentalmente(Geogebra etc)

O aluno pode ser conduzido a demonstrar o enunciado,usando fatos conhecidos sobre sequencias.


Metodo iterativo de Newton

O metodo de Newton permite reduzir uma equacao geral

φ(x) = 0

a uma equacao de ponto fixo: consideramos a funcao

f (x) = x − φ(x)

φ′(x)



O metodo de Newton permite reduzir uma equacao geral

φ(x) = 0

a uma equacao de ponto fixo: consideramos a funcao

f (x) = x − φ(x)

φ′(x)

Exemplo: No caso da equacao cos x − x = 0 encontramos a funcao

f (x) = x +cos x − x

sen x + 1

Podemos (re)encontrar a solucao da equacao φ(x) = 0 iterando atransformacao f .


A equacao cos x = x

f

0.000000000

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

f

1.000000000

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

f

0.290666173

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

f

0.809391429

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

f

0.740098198

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

f

0.739085359

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=


A equacao cos x = x

f

0.739085133

0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. ±

÷

×

−

+

=



Para desenvolver: Porque o metodo de Newton funciona taorapidamente?

Teorema

Qualquer solucao da equacao φ(x) = 0 e um ponto fixo superatrator da transformacao f (x).

Neste caso f ′(ponto fixo) = 0, ou seja o grafico de f e horizontalno ponto fixo. Isto tem a grande vantagem de fazer com que aconvergencia seja muito rapida.


Metodo para resolver qualquer equacao polinomial

Ideia: a partir de um polinomiop0(x) = xn + a1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 com raızes x1, . . . , xnconstruımos outro polinomiop1(y) = yn+ b1y

n−1+ · · ·+ bn−1y + bn cujas raızes sao x21 , . . . , x2n .



Ideia: a partir de um polinomiop0(x) = xn + a1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 com raızes x1, . . . , xnconstruımos outro polinomiop1(y) = yn+ b1y

n−1+ · · ·+ bn−1y + bn cujas raızes sao x21 , . . . , x2n .

Tal polinomio esta dado por

p1(x2) = (−1)np0(x)p0(−x)

ou, em termos dos coeficientes,

bk = (−1)ka2k + 2

k−1∑

j=0

(−1)jaja2kj .



Iterando este procedimento, obtemos

p0(x) com raızes x1, . . . , xn

p1(x) com raızes x21 , . . . , x2n


· · · · · ·pm(x) com raızes x2

m

1 , . . . , x2m

n

· · · · · ·








m

1 , . . . , x2m

n

· · · · · ·

Suponha que as raızes sao reais e distintas: x1 > · · · > xn. Entao,escrevendo pm(x) = xn + am,1x

n−1 + · · ·+ am,n−1x + am,n,

am,1 = x2m

1 + · · ·+ x2m

n ≈ x2m

1 .








m

1 , . . . , x2m

n

· · · · · ·

Suponha que as raızes sao reais e distintas: x1 > · · · > xn. Entao,escrevendo pm(x) = xn + am,1x

n−1 + · · ·+ am,n−1x + am,n,

am,1 = x2m

1 + · · ·+ x2m

n ≈ x2m

1 .

Desta forma podemos obter aproximacoes tao boas quanto sequeira da maior raız de p0(x).



E possıvel estender esta ideia para calcular todas as raızes etambem para tratar os casos em que existem raızes multiplas e/ouraızes complexas.



E possıvel estender esta ideia para calcular todas as raızes etambem para tratar os casos em que existem raızes multiplas e/ouraızes complexas.

Reminiscencia: Tomei conhecimento deste metodo (chamado deDandelin-Graeffe) nos textos do Prof. Jose Sebastiao e Silva parao Ensino Medio (Portugal). Ele me fez sentir muito poderoso!


Obrigado!

Boa viagem, ate o proximo Simposio!


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