Résolution symbolico-numérique dun système déquations algébro-différentielles modélisant la...
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Résolution symbolico-numérique d’un système d’équations algébro-
différentielles modélisant la distillation de Rayleigh
Dr. Karim Alloula (ingénieur informatique scientifique)
Dr. Jean-Pierre Belaud (Maître de conférences ENSIACET)
Pr. Jean-Marc Le Lann (directeur ENSIACET)
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 2
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Plan de l’exposé
– Contexte scientifique
– Objectif:Intégration symbolico-numérique d’équations différentielles algébriques
– Un système de calcul symbolico-numérique: eXMSL
– Un modèle algébro-différentiel de référence: la distillation de Rayleigh
– Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL
– Conclusions, Attentes, Perspectives
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 3
Département Procédés et Systèmes Industriels
Un département attaché:
– à la qualité des modèles métiers• Simulation moléculaire (Hadj Kali 2004)• Modèle d’affectation des ressources (Edi 2007) • …
– à la structuration des modèles• Simulation suivant une approche modulaire simultanée (Joulia 1987)• Modèle orienté objet de procédés dynamiques (Jourda 1996, Moyse 2000)• Modèle orienté composants pour la simulation (Belaud 2002)• Réseaux de Petri différentiels à objets (Perret 2003)• …
– à la qualité des méthodes de résolution• Homotopie continuation pour la résolution des systèmes non linéaires (Letourneau
1992)• Méthodes de type prédicteur-correcteur pour la résolution d’équations différentielles
algébriques (Le Lann HDR 1999)• Algorithmes génétiques multi-critères pour l’optimisation d’ateliers flexibles (Aguilar
Lasserre 2006)• …
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 4
2 projets de recherche caractéristiques de notre activitéAD-CAPE:
Applications de la différentiation automatique en simulation séquentielle modulaire de procédés
– Automatic Differentiation for Computer Aided Process Engineering
– Projet Esprit 24023 – Décembre 1997 – Août 1999 – Simulog, ProSim, INPT, elf, BP
Amoco
(GLOBAL) CAPE-OPEN (Support):
Interopérabilité de composants logiciels pour la simulation de procédés
– “Delivering the power of component software and open standard interfaces in computer aided process engineering”
– 3 Projets CEE-IMS– 1997 - 2003– ASPEN Tech., BASF AG, Bayer, BP
International Limited, DTU Lyngby, TOTAL, Hyprotech S.L., ICI, IFP, Imperial College-CPSE, INPT-LGC, Norsk Hydro,...
Augmenter la qualité des modèles et la fiabilité de la simulation de procédés
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 5
Quelques leçons retenues de ces projets
AD-CAPE:– Intérêt de disposer automatiquement des dérivées « exactes » d’un
modèle– Imbrication forte des modèles et des procédures de résolution
associées: difficultés à dériver des fonctions implicites
(Global) CAPE-OPEN:– Un cadre standardisé et opérationnel pour l’interopérabilité entre
composants logiciels– Une séparation claire des rôles, une spécification précise des
interfaces
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 6
Plus d’expressions exactes… en cours de simulation!
Obtenir automatiquement les dérivées exactes d’un modèle
(AD-CAPE)(Alloula, Belaud, Joulia 2000)
Obtenir automatiquement les expressions exactes utiles à la
résolution d’un modèle
Faire coopérer des composants logiciels standardisés lors d’une
simulation de procédés
(CAPE-OPEN)(Belaud, Braunschweig 2002)
Faire coopérercalcul formel* et calcul numérique lors d’une simulation numérique
(*) Calcul formel (« computer algebra ») est le nom donné en France à la manipulation sur ordinateur de formules et, plus généralement, d’objets mathématiques (Bulletin INRIA 1991)
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 7
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Axe de recherche
Simulation numérique alternant en cours de calcul étapes d’évaluation numérique et étapes de transformation formelle d’expressions mathématiques
Objectifs visés par la simulation symbolico-numérique:– Fiabilité– Performance– Prise en compte automatique de spécifications de problèmes dans une
syntaxe mathématique…
Faisabilité démontrée.
Etendre l’expérience acquise à:– d’autres classes de problèmes– d’autres méthodes de résolution
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 8
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
La simulation numérique implique déjà plusieurs systèmes de calcul interagissant:
– Le calcul formel fait usage des outils et des méthodes du calcul numérique (Maple et Nag - Trefethen 2000) (Mathematica – « Symbolically enhanced numerical computing »)
– Le calcul formel synthétise des codes de calcul numérique dans des langages compilés (Mathematica - Alfradique 2005)
Eléments scientifiques (1)
Proposition 1: Formaliser et généraliserla notion de système de calcul et
l’interaction entre systèmes de calcul
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 9
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Eléments scientifiques (2)
« Spécification du problème » et « spécification de la solution » sont souvent entremêlées!
Ces spécifications interdépendantes sont « des types de description différentes », qui devraient « être construites explicitement et séparément. » (Zualkernan 1988; Houstis 2000)
Des efforts de représentation des modèles indépendante des langages de modélisation existent (Chernukhin 2005; Pop 2005)
Proposition 2: Produire par « transformation symbolique d’équations » des spécifications variées à partir d’une spécification
commune du problème
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 10
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Eléments scientifiques (3)
Un besoin accru de précision:– Nombre d’opérations considérable sur les modèles (Revol 2007)
– Qualité des dérivées exigées par les méthodes d’ordre 1 ou supérieur
Des réponses actuelles:– Calcul à précision multiple (iRRAM, MPFR)
– Arithmétique stochastique et contrôle de l’exactitude (Cestac-CADNA)
– Arithmétique à intervalles (intpakX, MPFI)
– Arithmétique réelle exacte (Ménissier-Morain 2005)
– Représentation des nombres algébriques (Rioboo 2003)
– Transformations formelles préalables, puis évaluations numériques• différentiation automatique, calcul formel
Proposition 3: Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 11
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
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Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Eléments scientifiques (4)
Les méthodes numériques « récentes » décrivent des étapes de transformations formelles au milieu d’étapes d’évaluation numérique:– Majoration de l’index d’un système algébro-différentiel (Campbell 1996)
– Construction d’un système triangulaire par regroupement de variables et d’équations (Pryce 2001)
– Calcul de séries majorantes pour les fonctions analytiques…
Proposition 4: Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes »
de résolution d’équations différentielles algébriques
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 12
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Propositions
Proposition 1: Formaliser et généraliser la notion de système de calcul et l’interaction entre systèmes de calcul
Proposition 2: Produire par « transformation symbolique d’équations » des spécifications variées à partir d’une spécification
commune du problème
Proposition 3: Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul
Proposition 4 (PEPS LEDA):Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes » de résolution d’équations différentielles algébriques
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 13
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Cadre de l’étude
Simulation d’un système physico-chimique décrit par un système d’équations algébro-différentielles: la distillation de Rayleigh
Environnements commerciaux de résolution de problèmes:– MATLAB
– Maple
– Mathematica
– IMSL
Bibliothèque mathématique propriétaire de calcul symbolico-numérique– eXMSL
Outils et techniques du calcul formel et du calcul numérique
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AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Transformations formelles déjà mises en oeuvre (1/2)
Classe de modèlesTransformation
formelleExpression initiale Résultat
Equations non linéairesEquations différentielles
algébriques
Calcul de fonction résidu
Transformation d’inéquations en
équations
Equations non linéaires saturées, sur ou sous
déterminées
Formulation généralisée du schéma de Newton
(Dedieu 2006)
Formulation différentielle du schéma de Newton
généralisé
(Hirsch 1979)
Equations différentielles algébriques
Détermination de conditions initiales
cohérentes
Système EDA 1er ordre,index 1
Valeurs initialesdes variables dépendantes
et de leurs dérivées
8
)ln(
321
21321
xxx
xxxxx
8
)ln()(
321
21321
xxx
xxxxxxF
8
)ln(
321
21321
xxx
xxxxx
8
)ln(
3212
21321
xxx
xxxxx
8
)ln(
321
21321
xxx
xxxxx
)()(1 kkkk xFxFxx
)()()()(1
1
kT
kkk
kk
xFxFxFxF
xx
))(())(()( txFtxFtx
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 15
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Transformations formelles déjà mises en oeuvre (2/2)
Classe de modèles Transformation formelle Expression initiale Résultat
Equations non linéairesEquations différentielles
algébriques
Optimisation sous contraintes non linéaires
Définition d’une fonction implicite
Fonction explicite
Calcul d’une matrice Jacobienne
Calcul d’une dérivée directionnelle
Fonction implicite
Calcul d’une matrice Jacobienne
Calcul d’une dérivée directionnelle
8
)ln(
321
21321
xxx
xxxxx
8
)ln(
),(:
321
21321
312
xxx
xxxxxquetel
xxxf
dxF )(')(xF
)(' xF)(xF
0),(: yxFquetelyxf
0),(: yxFquetelyxf
0)(),(),(
)(
21
xfyxFDyxFD
quetelxf
0).(),().,(
)(
21
dxfyxFDdyxFD
queteldxf
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 16
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Cas d’utilisation de la bibliothèque mathématique eXMSL
basic user
model builder
model developer
eXMSL FORTRAN 90 Library<<bibliothèque>>
modélise son problème
+programme le modèle()
crée un programme F90 dédié
+compile()+génére un exécutable()
exécute le programme
eXMSL on the Web<<composants>>
model editor
se connecte au système
+entre l'URL()
gère un modèle math.
+charge()+modifie()+enregistre()
évalue un modèle math.
modélise son problème
+construit le modèle()
(Alloula 2004)
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 17
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
eXMSL FORTRAN 90 Library
Définition du facteur de compressibilité comme une fonction implicite
Dérivation formelle par rapport à la température
Intégration formelle par rapport à la température
Calcul de propriétés thermodynamiques par applicationde l’équation d’état SRK
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 18
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Architecture d’eXMSL on the Web
Standards: MathML, DOM, Service Web (SOAP, TCP/IP), CAPE-OPEN
Plates-formes: FORTRAN 90, Java, MS COM, .NET
Outils: WebEQ Design Science Inc., IMSL FORTRAN 90 Library
(Belaud 2001)
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 19
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
eXMSL Model Editor
Edition du problème d’optimisation
))()1((min 222
),( 2xykx
yx
Demande d’évaluation de l’expression saisie
Résultat du problème d’optimisation spécifié
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AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Distillation de Rayleigh - Présentation
Un modèle continu par morceaux…
vu comme un modèle unique sous contrainte
)()()(;,...,1
)()()()()(
)()()()(;,...,1
)()(
txtKtyNi
thUtHtVtQ
txUtytVNi
tUtV
iii
l
ili
l
))(),(),(),(()(;,...,1
))(),(),(()(
))(),(),(()(
tytxtPtTmKtKNi
tytPtTmHtH
txtPtTmhth
ii
N
iiinerte
N
ii tytytx
11
)()()(
0)()( tytV inerte
)(tV
)(tQ )( )( )( txtUtT l
y(t)tP )(
)(tV
)(tQ )( )( )( txtUtT l
y(t)tP )(
0)( tyinerte
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 21
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 1000 2000 3000 4000
Temps (s)
Fra
ctio
n m
ola
ire
Fraction molaire de gazinerte
Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 22
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL
Modélisation
Formulation dans une syntaxe voisine du texte mathématique (conditions initiales, contrainte)
Compétence métier :– (normalisation des modèles d’enthalpie)– Initialisation des fractions molaires vapeur
Pas de formalisme supplémentaire pour la gestion du changement d’état
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 23
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL
Résolution
Algorithme numérique: Petzold-Gear BDF (IMSL)
Etapes de transformations formelles:– Détermination d’un jeu d’équations suffisant pour obtenir des conditions
initiales cohérentes – Calcul formel des résidus– Calcul formel de la matrice Jacobienne– …
Gestion de l’événement d’état:– Arrêt de l’intégration du modèle en phase liquide: pas minimal de la variable
indépendante ou Jacobien du système singulier– Reprise de l’intégration du modèle en phase di-phasique avec calcul de
nouvelles conditions initiales cohérentes– Intervention dans le processus de résolution!?
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 24
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL
Résultats obtenus
Résultats très cohérents: comparaison avec le point de bulle du système ternaire obtenu par ailleurs
Temps de calcul trop importants, à comparer avec ceux obtenus dans un environnement de calcul interprété (MATLAB, Maple, …)
Degré de généralité de la méthode insuffisant:– Que faire pour des systèmes d’index supérieur à 1?– Le changement d’état est correctement traité ici… par hasard!– Quelles connaissances métier doit-on apporter pour le calcul de CIC?
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 25
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Conclusions
Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé
– Automatiquement par un système de calcul symbolico-numérique
– Très précisément
– Dans un temps inférieur à celui obtenu avec un environnement de calcul interprété et une méthode similaire
Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé
– Après des efforts de modélisation (degrés de liberté, formulation unique, …)
– Très correctement lors d’un changement d’état bien particulier
– Dans un temps très supérieur à celui obtenu avec un code de calcul compilé et une méthode similaire
Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 26
AttentesAttentes
ConclusionsConclusions
ApplicationApplication
Distillationde Rayleigh
Distillationde RayleighCalcul symbolico-
numérique
Calcul symbolico-numériqueObjectif
ObjectifContexte scientifique
Contexte scientifique
Attentes par rapport au projet LEDA
Par ordre d’importance décroissante
1. Calcul fiable de conditions initiales cohérentes (théorèmes quantitatifs liés à la méthode de Newton)
2. Traitement systématique de certaines singularités
3. Système « minimal » caractérisant les conditions initiales cohérentes
4. Possibilité de passage à l’échelle (cf. complexité de la méthode de Pryce)