Resolução Prova Matemática

Resolução Prova Matemática

ITA 2020

Professor Victor So

Professor Victor So Aula 00: Escola Naval 2021

Aula 00 – Teoria Elementar dos Conjuntos www.estrategiamilitar.com.br

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Prova de Matemática ITA 2020

1. (ITA/2020)

Seja 𝜆 a circunferência que passa pelos pontos 𝑃 = (1, 1), 𝑄 = (13, 1) e 𝑅 = (7, 9). Determine:

a) A equação de 𝜆.

b) Os vértices do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 circunscrito a 𝜆, sabendo que 𝑅 é o ponto médio de 𝐴𝐵.

2. (ITA/2020)

Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar.

3. (ITA/2020)

Dizemos que um número natural 𝑛 é um cubo perfeito se existe um número natural 𝑎 tal que 𝑛 = 𝑎3. Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.

4. (ITA/2020)

Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais 𝑘 para os quais a reta 𝑦 = 𝑘𝑥 intersecta a parábola 𝑦 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é igual a (−∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números 𝑎 e 𝑏.

5. (ITA/2020)

Considere a função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 10𝑥4 − 4𝑥3 + 25𝑥2 + 20𝑥 + 28.

a) Determine dois números reais 𝛼 e 𝛽 de modo que 𝑓 possa ser reescrita como 𝑓(𝑥) =(𝑥3 − 5𝑥 + 𝛼)2 + 𝛽.

b) Determine o valor mínimo de 𝑓.

c) Determine o(s) ponto(s) 𝑥 ∈ ℝ onde 𝑓 assume seu valor mínimo.

6. (ITA/2020)

Seja 𝑧 ∈ ℂ uma raiz da equação 4𝑧2 − 4𝑧 sen 𝛼 + 1 = 0, para 𝛼 ∈ [𝜋

2,𝜋

2]. Determine, em

função de 𝛼, todos os possíveis valores para:



3

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a) 2𝑧 +1

2𝑧.

b) (2𝑧)15 +1

(2𝑧)15.

7. (ITA/2020)

Seja 𝐻 o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) =

(𝑥 − √3)6+ 64. Determine 𝑧 ∈ ℂ sabendo que o conjunto 𝑀 = {𝑧𝑥 ∈ ℂ ∶ 𝑥 ∈ 𝐻} é o

hexágono que possui 𝑣1 = −1 + √3𝑖, 𝑣2 = 1 − √3𝑖 e 𝑣3 = 5 − √3𝑖 como três vértices consecutivos.

8. (ITA/2020)

Considera a circunferência 𝜆 de centro 𝑂 passando por um ponto 𝐴. Sejam 𝐵 um ponto tal que

𝐴 é o ponto médio de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑀 um ponto de 𝜆 tal que 𝐴Ô𝑀 = 100°. Seja 𝑟 a reta tangente à 𝜆

passando por 𝑀. Seja 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ a projeção ortogonal do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ sobre a reta 𝑟. Determine, em

graus, a medida do ângulo 𝐴�̂�𝐵.

9. (ITA/2020)

Determine todos os números inteiros 𝑘 entre 0 e 200 para os quais o polinômio 𝑝𝑘(𝑥) = 𝑥3 −

𝑥2 − 𝑘 possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de 𝑘, determine a raiz inteira correspondente.

10. (ITA/2020)

Considere uma pirâmide reta 𝑃 cuja base é um hexágono regular de lado 𝑙. As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75° com a base da própria pirâmide. Sabendo que 𝑃 está inscrita em uma esfera, determine o raio dessa esfera.

Gabarito

1. 𝐚) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 −𝟏𝟏

𝟒)𝟐

=𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝐛) 𝑨 (

𝟑

𝟒, 𝟗) 𝑩 (

𝟓𝟑

𝟒, 𝟗) 𝑪 (

𝟓𝟑

𝟒,−𝟕

𝟐) 𝑫 (

𝟑

𝟒,−𝟕

𝟐)

2. 𝟕/𝟐𝟓 3. 𝑺 = {𝟐} 4. 𝒂 = 𝟒 e 𝒃 = 𝟏

5. 𝐚) 𝜶 = −𝟐 𝐞 𝜷 = 𝟐𝟒 𝐛) 𝒇𝒎í𝒏(𝒙) = 𝟐𝟒 𝐜) − 𝟐; 𝟏 + √𝟐; 𝟏 − √𝟐 6. 𝐚) 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 𝐛) − 𝟐𝐬𝐞𝐧(𝟏𝟓𝜶)

7. 𝒛 = √𝟑 + 𝒊



4

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8. 𝟒𝟎° 9. 𝑺 = {𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔}

10. 𝑹 = 𝒍 ⋅ (𝟏𝟒√𝟑−𝟑

𝟏𝟐)

Prova Resolvida e Comentada

1. (ITA/2020)

Seja 𝜆 a circunferência que passa pelos pontos 𝑃 = (1, 1), 𝑄 = (13, 1) e 𝑅 = (7, 9). Determine:

a) A equação de 𝜆.

b) Os vértices do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 circunscrito a 𝜆, sabendo que 𝑅 é o ponto médio de 𝐴𝐵.

Comentários

a) Equação da circunferência de raio 𝑟 centrada no ponto 𝑂(𝑎, 𝑏):

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

Substituindo os pontos dados:

𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1 → 𝑃(1,1): (1 − 𝑎)2 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 2 → 𝑄(13,1): (13 − 𝑎)2 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑅(7,9): (7 − 𝑎)2 + (9 − 𝑏)2 = 𝑟2

De eq. 1 e eq. 2:

(1 − 𝑎)2 = (13 − 𝑎)2

1 − 2𝑎 + 𝑎2 = 169 − 26𝑎 + 𝑎2

24𝑎 = 168

𝑎 = 7

Substituindo o valor de 𝑎 na eq. 1:

(1 − 7)2 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 4 → 36 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2

Substituindo o valor de 𝑎 na eq. 3:

(7 − 7)2 + (9 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 5 → 𝑟2 = (9 − 𝑏)2

Das eq. 4 e 5:

36 + (1 − 𝑏)2 = (9 − 𝑏)2 ∴ 36 + 1– 2𝑏 + 𝑏2 = 81– 18𝑏 + 𝑏2 ∴ 16𝑏 = 44 ∴ 𝑏 =11

4



5

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Substituindo o valor de 𝑏 na eq. 5:

𝑟2 = (9 −11

4)2

∴ 𝑟 =25

4

Portanto, a equação da circunferência será:

(𝑥 − 7)2 + (𝑦 −11

4)2

=625

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b) Percebendo que o centro da circunferência está na mesma abscissa que o ponto R, o lado AB do quadrado é tangente à circunferência em R e paralelo ao eixo x. Assim:

Logo:

𝐴 = (7 −25

4,11

4+25

4) = (

3

4, 9)

𝐵 = (7 +25

4,11

4+25

4) = (

53

4, 9)

𝐶 = (7 +25

4,11

4−25

4) = (

53

4,−7

2)

𝐷 = (7 −25

4,11

4−25

4) = (

3

4,−7

2)

Gabarito: a) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 −𝟏𝟏

𝟒)𝟐

=𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟔 b) 𝑨(

𝟑

𝟒, 𝟗) 𝑩 (

𝟓𝟑

𝟒, 𝟗) 𝑪 (

𝟓𝟑

𝟒,−𝟕

𝟐) 𝑫 (

𝟑

𝟒,−𝟕

𝟐)



6

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2. (ITA/2020)

Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar.

Comentários

Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} os números rolados nos três dados. Queremos a probabilidade condicional de 𝑎, 𝑏, 𝑐 serem ímpares, sabendo que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9.

Em geral,

Pr(𝐴|𝐵) =𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)

Pr(𝐵)

Logo,

Pr (𝑎, 𝑏, 𝑐 í𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 | 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9) =Pr(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares ∧ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)

Pr(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)

Como o conjunto universo é o mesmo, podemos trocar Pr(𝑋) por 𝑛(𝑋).

I) 𝑛(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9) = ?

Vamos listar as possibilidades para a soma dar 9, que são poucas:

{

1 + 2 + 61 + 3 + 5

⋮1 + 6 + 2

5 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠

{

2 + 1 + 62 + 2 + 5

⋮2 + 6 + 1


{

3 + 1 + 53 + 2 + 4

⋮3 + 5 + 1


{

4 + 1 + 44 + 2 + 3

⋮4 + 4 + 1


{

5 + 1 + 35 + 2 + 25 + 3 + 1


{6 + 1 + 26 + 2 + 1


Total = 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 25 maneiras de somar 9

II) 𝑛(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9) = ?

Quantas das somas acima contém apenas números ímpares?

1 + 3 + 5

1 + 5 + 3

3 + 1 + 5

3 + 3 + 3



7

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3 + 5 + 1

5 + 1 + 3

5 + 3 + 1

Há 7 triplas ordenadas de soma 9 com números contidos em {1,3,5}.

Logo,

Pr(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)

Pr(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)= n(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)

n(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)=7

25

Gabarito: 𝟕/𝟐𝟓

3. (ITA/2020)

Dizemos que um número natural 𝑛 é um cubo perfeito se existe um número natural 𝑎 tal que 𝑛 = 𝑎3. Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.

Comentários

Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ tais que 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑝, com 𝑝 primo. Assim, temos:

𝑝 = 𝑎3 + 𝑏3⏟ ∈ ℕ

= (𝑎 + 𝑏)⏟ ∈ ℕ

(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)⏟ ∈ ℕ

Como 𝑝 é primo, temos duas possibilidades para os fatores:

I) 𝑎 + 𝑏 = 1 e 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑝

Como 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, temos de 𝑎 + 𝑏 = 1 que as soluções são:

𝑎 = 1 e 𝑏 = 0 ou 𝑎 = 0 e 𝑏 = 1

Substituindo 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0 na equação 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑝:

12 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 1

Como 1 não é primo, temos que esses valores de 𝑎 e 𝑏 não convém, analogamente para 𝑎 =0 e 𝑏 = 1. Assim, devemos analisar o segundo caso.

II) 𝑎 + 𝑏 = 𝑝 e 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 1

Fazendo 𝑎 = 𝑝 − 𝑏, temos:

(𝑝 − 𝑏)2 − (𝑝 − 𝑏)𝑏 + 𝑏2 = 1

𝑝2 − 2𝑝𝑏 + 𝑏2 − 𝑝𝑏 + 𝑏2 + 𝑏2 = 1

𝑝2 − 3𝑏𝑝 + 3𝑏2 − 1 = 0

Analisando o discriminante:



8

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Δ = (3𝑏)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (3𝑏2 − 1) = 4 − 3𝑏2

Como 𝑝 é a soma de dois naturais, temos que 𝑝 também é natural, logo devemos ter Δ ≥ 0:

4 − 3𝑏2 ≥ 0 ⇒ 𝑏2 ≤4

3

Como 𝑏 ∈ ℕ, a única possibilidade é 𝑏 = 1.

Encontrando as raízes para 𝑝:

𝑝 =3𝑏 ± √4 − 3𝑏2

2=3 ± 1

2= 2 𝑜𝑢 1

Como 1 não é primo, temos 𝑝 = 2.

Para esse valor de 𝑝:

𝑎 + 𝑏 = 𝑝 ⇒ 𝑎 + 1 = 2 ∴ 𝑎 = 1

Portanto, o subconjunto dos números primos que satisfazem ao problema é 𝑆 = {2}.

Gabarito: 𝑺 = {𝟐}.

4. (ITA/2020)

Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais 𝑘 para os quais a reta 𝑦 = 𝑘𝑥 intersecta a parábola 𝑦 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é igual a (−∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números 𝑎 e 𝑏.

Comentários

Devemos ter que:

𝑘𝑥 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥2 + (𝑎 − 𝑘)𝑥 + 𝑏 = 0

Δ = (𝑎 − 𝑘)2 − 4𝑏 ≥ 0 (pois existe intersecção)

𝑎2 − 2𝑎𝑘 + 𝑘2 − 4𝑏 ≥ 0

𝑘2 − 2𝑎𝑘 + 𝑎2 − 4𝑏 ≥ 0 (𝐼)

Δ′ = (−2𝑎)2 − 4 ∙ 1 ∙ (𝑎2 − 4𝑏) = 4𝑎2 − 4𝑎2 + 16𝑏

⇒ Δ′ = 16𝑏

Encontrando as raízes em 𝑘:

{

𝑘1 =

2𝑎 + √16𝑏

2= 𝑎 + 2√𝑏

𝑘2 =2𝑎 − √16𝑏

2= 𝑎 − 2√𝑏

O intervalo que satisfaz a inequação (𝐼) é:

𝑘 ∈ (−∞, 𝑎 − 2√𝑏] ∪ [𝑎 + 2√𝑏, +∞)



9

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Comparando com o intervalo dado no enunciado:

𝑘 ∈ (−∞, 2] ∪ [6, +∞)

Temos que:

{𝑎 + 2√𝑏 = 6

𝑎 − 2√𝑏 = 2⇒ (𝑎, 𝑏) = (4,1)

Gabarito: 𝒂 = 𝟒 e 𝒃 = 𝟏

5. (ITA/2020)

Considere a função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 10𝑥4 − 4𝑥3 + 25𝑥2 + 20𝑥 + 28.

a) Determine dois números reais 𝛼 e 𝛽 de modo que 𝑓 possa ser reescrita como 𝑓(𝑥) =(𝑥3 − 5𝑥 + 𝛼)2 + 𝛽.

b) Determine o valor mínimo de 𝑓.

c) Determine o(s) ponto(s) 𝑥 ∈ ℝ onde 𝑓 assume seu valor mínimo.

Comentários

a) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 5𝑥 + 𝛼)2 + 𝛽

𝑓(𝑥) = 𝑥6 + 25𝑥2 + 𝛼2 + 2𝛼𝑥3 − 10𝛼𝑥 − 10𝑥4 + 𝛽

𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 10𝑥4 + 2𝛼𝑥3 + 25𝑥2 − 10𝛼𝑥 + 𝛼2 + 𝛽

Comparando a equação encontrada com a equação da função dada:

2𝛼𝑥3 = − 4𝑥3 ∴ 𝛼 = −2 ou −10𝛼𝑥 = 20𝑥 ∴ 𝛼 = −2

&

𝛼2 + 𝛽 = 28 ∴ 4 + 𝛽 = 28 ∴ 𝛽 = 24

b) Substituindo os valores encontrados:

𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 5𝑥 − 2 )2 + 24

𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 24

Como 𝑞(𝑥) ≥ 0 , 𝑓(𝑥)𝑚í𝑛 = 24

c) 𝑞(𝑥) = (𝑥3 − 5𝑥 − 2 )2 = 0

Por verificação, percebe-se que −2 é raiz.

Então: 𝑞(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 1)

Resolvendo a equação de segundo grau: as raízes obtidas são: 1 + √2 e 1 − √2

Logo, as raízes de 𝑞(𝑥) são −2, (1 + √2 ) e (1 − √2 ).

Gabarito: a) 𝜶 = −𝟐 e 𝜷 = 𝟐𝟒 b) 𝒇𝒎í𝒏(𝒙) = 𝟐𝟒 c) −𝟐; 𝟏 + √𝟐; 𝟏 − √𝟐

6. (ITA/2020)



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Seja 𝑧 ∈ ℂ uma raiz da equação 4𝑧2 − 4𝑧 sen 𝛼 + 1 = 0, para 𝛼 ∈ [𝜋

2,𝜋

2]. Determine, em

função de 𝛼, todos os possíveis valores para:

a) 2𝑧 +1

2𝑧.

b) (2𝑧)15 +1

(2𝑧)15.

Comentários

Como 𝑧 é raiz da equação, por teste, temos que 𝑧 ≠ 0.

Assim, vamos dividir a equação 4𝑧2 − 4𝑧𝑠𝑒𝑛𝛼 + 1 = 0 por 2𝑧.

2𝑧 − 2𝑠𝑒𝑛𝛼 +1

2𝑧= 0

⇒ 2𝑧 +1

2𝑧= 2𝑠𝑒𝑛𝛼

a) 2𝑧 +1

2𝑧= 2𝑠𝑒𝑛𝛼

b) Seja 𝑤 = 2𝑧 = |𝑤|𝑐𝑖𝑠𝜃, vamos encontrar |𝑤| a partir do |𝑧|. Para isso, vamos resolver a equação dada no enunciado:

4𝑧2 − 4𝑧𝑠𝑒𝑛𝛼 + 1 = 0

∆ = (−4𝑠𝑒𝑛𝛼)2 − 4 ∙ 4 ∙ 1 = −16𝑐𝑜𝑠2𝛼

Como 𝛼 ∈ [−𝜋

2,𝜋

2], podemos escrever que:

𝑧 =4𝑠𝑒𝑛𝛼 ± 4𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑖

2 ∙ 4

𝑧 =1

2(𝑠𝑒𝑛𝛼 ± 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼)

|𝑧| =1

2

Dessa forma, podemos concluir que |𝑤| = 1.

𝑤 +1

𝑤= 2𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑖𝑠𝜃 +1

𝑐𝑖𝑠𝜃= 2𝑠𝑒𝑛𝛼

(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) + (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼

2 cos 𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 ⇒ 𝜃 =𝜋

2− 𝛼

Dessa forma,



11

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(2𝑧)15 +1

(2𝑧)15= 𝑤15 +

1

𝑤15= 𝑐𝑖𝑠15𝜃 +

1

𝑐𝑖𝑠15𝜃= 2 cos(15𝜃) = 2 cos (

15𝜋

2− 15𝛼) =

2 cos (15𝜋

2) cos (15𝛼) + 2𝑠𝑒𝑛 (

15𝜋

2) sen(15𝛼) = −2sen(15𝛼)

∴ (2𝑧)15 +1

(2𝑧)15= −2sen(15𝛼)

Gabarito: a) 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 b) −𝟐𝐬𝐞𝐧(𝟏𝟓𝜶)

7. (ITA/2020)

Seja 𝐻 o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) =

(𝑥 − √3)6+ 64. Determine 𝑧 ∈ ℂ sabendo que o conjunto 𝑀 = {𝑧𝑥 ∈ ℂ ∶ 𝑥 ∈ 𝐻} é o

hexágono que possui 𝑣1 = −1 + √3𝑖, 𝑣2 = 1 − √3𝑖 e 𝑣3 = 5 − √3𝑖 como três vértices consecutivos.

Comentários

Vamos encontrar os vértices do hexágono 𝐻:

𝑝(𝑥) = (𝑥 − √3)6+ 64 = 0

(𝑥 − √3)6= −64 = −26 = 26 ⋅ 𝑐𝑖𝑠(𝜋 + 2𝑘𝜋)

𝑥𝑘 − √3 = 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+𝑘𝜋

3)

⇒ 𝑥𝑘 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+𝑘𝜋

3)

Os vértices são dados por:

𝑥1 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+ 0 ⋅

𝜋

3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (

𝜋

6) = √3 + 2(

√3

2+𝑖

2) = 2√3 + 𝑖

𝑥2 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+ 1 ⋅

𝜋

3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (

𝜋

2) = √3 + 2𝑖

𝑥3 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+ 2 ⋅

𝜋

3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (

5𝜋

6) = √3 + 2(−

√3

2+𝑖

2) = 𝑖

𝑥4 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+ 3 ⋅

𝜋

3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (

7𝜋

6) = √3 + 2(−

√3

2−𝑖

2) = −𝑖

𝑥5 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+ 4 ⋅

𝜋

3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (

3𝜋

2) = √3 − 2𝑖

𝑥6 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋

6+ 5 ⋅

𝜋

3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (

11𝜋

6) = √3 + 2(

√3

2−𝑖

2) = 2√3 − 𝑖

Esboçando os pontos no plano de Argand-Gauss:



12

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Note que o centro do hexágono 𝐻 é o ponto 𝑥0 = √3 e ele possui lado de medida 2 (basta ver a distância do vértice 𝑖 ao vértice −𝑖).

Sabendo que o hexágono 𝑀 é formado pelos vértices consecutivos 𝑣1 = −1 + √3𝑖, 𝑣2 = 1 −

√3𝑖 e 𝑣3 = 5 − √3𝑖, temos o seguinte esboço:



13

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Estamos interessados em saber qual o número complexo 𝑧 que transforma o hexágono 𝐻 no hexágono 𝑀. O bizu aqui é analisar os centros dos hexágonos e usar a forma polar do complexo 𝑧:

𝑧 = |𝑧| ⋅ 𝑐𝑖𝑠 𝜃

O centro do hexágono 𝐻 é o ponto:

𝑥0 = √3

Observando-se a figura, podemos ver que o lado do hexágono 𝑀 mede 4 (distância de 𝑣2 até 𝑣3). Além disso, o centro do hexágono 𝑀 é:

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 → 𝑅𝑒(𝑣2) +4

2= 1 + 2 = 3

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 → √3𝑖

Assim, o centro de 𝑀 é 𝑣0 = 3 + √3𝑖.

Como 𝑀 é formado pelo hexágono 𝐻 pela multiplicação de 𝑧, e os lados dos hexágonos 𝐻 e 𝑀 medem, respectivamente, 2 e 4, temos que o módulo de 𝑧 é:

|𝑧| =4

2= 2

Como o argumento do centro do hexágono 𝐻 é 0°, temos que o argumento de 𝑧 será igual ao argumento do centro de 𝑀, logo:

arg(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝐼𝑚(𝑣0)

𝑅𝑒(𝑣0)) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

√3

3) = 30°

Portanto, o complexo 𝑧 é:

𝑧 = |𝑧|𝑐𝑖𝑠𝜃 = 2𝑐𝑖𝑠(30°) = 2(√3

2+𝑖

2) = √3 + 𝑖

∴ 𝑧 = √3 + 𝑖

Gabarito: 𝒛 = √𝟑 + 𝒊

8. (ITA/2020)

Considera a circunferência 𝜆 de centro 𝑂 passando por um ponto 𝐴. Sejam 𝐵 um ponto tal que

𝐴 é o ponto médio de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑀 um ponto de 𝜆 tal que 𝐴Ô𝑀 = 100°. Seja 𝑟 a reta tangente à 𝜆

passando por 𝑀. Seja 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ a projeção ortogonal do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ sobre a reta 𝑟. Determine, em

graus, a medida do ângulo 𝐴�̂�𝐵.

Comentários

Solução 1)

De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura:



14

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Como 𝑂𝑀 = 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 (raio da circunferência), temos que Δ𝑀𝑂𝐴 é isósceles. Além disso, 𝑂𝑀//𝐴𝐷//𝐵𝐸, logo 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 implica 𝑀𝐷 = 𝐷𝐸, ou seja, 𝐴𝐷 é mediatriz do Δ𝐴𝑀𝐸. Portanto, Δ𝐴𝑀𝐸 é isósceles com 𝐴𝑀 = 𝐴𝐸.

Sendo 𝐴�̂�𝐵 = 𝛼 e 𝐴𝐷//𝐵𝐸, temos 𝐷�̂�𝐸 = 𝛼, logo:

Pela figura, podemos ver do Δ𝑀𝑂𝐴:

100° + 2𝛽 = 180° ⇒ 𝛽 = 40°

Como 𝑂𝑀//𝐴𝐷, concluímos que 𝛼 = 𝛽 = 40°.

Solução 2)



15

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Percebe-se que AD é base média do trapézio MOBE. Sendo 𝐵𝐸 = 𝑎, e 𝑀𝑂 = 𝐴𝑂 = 𝐴𝐵 = 𝑏,

tem-se 𝐴𝐷 = 𝑎+𝑏

2.

Traçando-se uma paralela a ME por O, tem-se o ponto A’ na interseção entre a reta traçada e AD e o ponto B’ na interseção da linha traçada e BE.

𝐴𝐴’ = 𝑎 + 𝑏

2− 𝑏 =

𝑎 − 𝑏

2

𝐵𝐵’ = 𝑎 − 𝑏

Seja 𝐴Ê𝐵 = 𝛼.

Lei dos senos ∆𝐴𝐴′𝑂:

𝑎 + 𝑏2

𝑠𝑒𝑛 𝐵′𝑂𝐵=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝑂𝐴′𝐴 ∴ 𝑎 = 𝑏(2 𝑠𝑒𝑛 𝐵’𝑂𝐵 + 1)



16

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Como MÔA = 100°, B’OB = 10°: 𝑎 = 𝑏(2 𝑠𝑒𝑛 10° + 1)

Lei dos senos ∆𝐴𝐵𝐸:

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

𝑎

𝑠𝑒𝑛 (𝐵Â𝐸 − 𝛼)

∴ 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (𝐵Â𝐸 − 𝛼)

Substituindo o valor de 𝑎:

𝑏(2 𝑠𝑒𝑛 10° + 1)𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (𝐵Â𝐸 − 𝛼)

(2 𝑠𝑒𝑛 10° + 1)𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵Â𝐸 . cos 𝛼 − cos 𝐵Â𝐸 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼

Sendo BÂE = 100° e 𝑠𝑒𝑛 10° = −𝑐𝑜𝑠 100°:

(−2 𝑐𝑜𝑠 100° + 1)𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 100° . cos 𝛼 − cos 100° . 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 100° . cos 𝛼 + cos 100° . 𝑠𝑒𝑛 𝛼

]𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 (100° + 𝛼)

1ª 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒: 100° + 𝛼 = 𝛼 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)

2ª 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒: 𝛼 + 100° + 𝛼 = 180° ∴ 𝑥 = 40°

Gabarito: 𝟒𝟎°

9. (ITA/2020)

Determine todos os números inteiros 𝑘 entre 0 e 200 para os quais o polinômio 𝑝𝑘(𝑥) = 𝑥3 −

𝑥2 − 𝑘 possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de 𝑘, determine a raiz inteira correspondente.

Comentários

Suponha que 𝛼 ∈ ℤ seja a raiz inteira do polinômio. Aplicando-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:

𝛼 1 −1 0 − 𝑘 1 𝛼 − 1 𝛼2 − 𝛼 𝛼3 − 𝛼2 − 𝑘

Assim, podemos escrever:

𝑝𝑘(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)[𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼]

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝛼3 − 𝛼2 − 𝑘 = 0

Do resto, temos:

𝛼3 − 𝛼2 − 𝑘 = 0 ⇒ 𝛼2(𝛼 − 1) = 𝑘

Como 𝑘 ∈ [0, 200] e 𝛼 ∈ ℤ, temos que 𝛼2 ≥ 0, logo 𝛼 − 1 ≥ 0, ou seja, 𝛼 ≥ 1. Sendo 𝑘 um número natural, temos que 𝛼2(𝛼 − 1) também deve ser um número natural. Para isso, devemos ter 𝛼 ∈ ℕ. Testando as possibilidades:

𝛼 = 1 ⇒ 12(1 − 1) = 0 = 𝑘



17

19

𝛼 = 2 ⇒ 22(2 − 1) = 4 = 𝑘

𝛼 = 3 ⇒ 32(3 − 1) = 18 = 𝑘

𝛼 = 4 ⇒ 42(4 − 1) = 48 = 𝑘

𝛼 = 5 ⇒ 52(5 − 1) = 100 = 𝑘

𝛼 = 6 ⇒ 62(6 − 1) = 180 = 𝑘

𝛼 = 7 ⇒ 72(7 − 1) = 294 > 200

Portanto, as possíveis raízes inteiras são: 𝛼 ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Devemos provar que essas raízes são as únicas inteiras.

Vamos analisar o polinômio quadrático e verificar se há outra raiz inteira.

𝑝𝑘(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)[𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼]

𝑞(𝑥) = 𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼

Analisando o discriminante:

Δ = (𝛼 − 1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (𝛼2 − 𝛼) = 𝛼2 − 2𝛼 + 1 − 4𝛼2 + 4𝛼

Δ = −3𝛼2 + 2𝛼 + 1

Encontrando as raízes, temos:

𝛼 =−2 ± √4 − 4 ⋅ (−3) ⋅ 1

−6=−2 ± √16

−6= 1 𝑜𝑢 −

1

3

Fazendo o estudo do sinal para Δ:

Note que para 𝛼 > 1, o discriminante sempre será negativo e isso implica que as outras raízes são complexas. Vamos analisar a raiz 𝛼 = 1:

𝑝𝑘(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)[𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼] ⇒ 𝑝0(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑥

2

Nesse caso, temos uma raiz 0 com multiplicidade 2 e uma raiz 1 e isso não satisfaz a condição do enunciado. Portanto, as únicas raízes são:

𝑆 = {2; 3; 4; 5; 6}

Gabarito: 𝑺 = {𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔}

10. (ITA/2020)

Considere uma pirâmide reta 𝑃 cuja base é um hexágono regular de lado 𝑙. As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75° com a base da própria pirâmide. Sabendo que 𝑃 está inscrita em uma esfera, determine o raio dessa esfera.



18

19

Comentários

Espacialmente, temos os seguinte problema:

De acordo com a figura, pela tangente de 75° no triângulo 𝐴𝑂1𝑃, vem:

𝑡𝑔(75°) =𝑂1𝑃

𝐴𝑂1

Em que:

𝐴𝑂1 = 𝑂1𝐵1 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(60°)

𝐴𝑂1 = 𝑙 ⋅√3

2

Logo:

𝑡𝑔(75°) =𝐻

𝑙 ⋅√32

𝑡𝑔(45° + 30) =𝐻

𝑙 ⋅√32

𝑡𝑔45° + 𝑡𝑔30°

1 − 𝑡𝑔30° ⋅ 𝑡𝑔45°=

𝐻

𝑙 ⋅√32



19

19

1 +√33

1 − 1 ⋅√33

=𝐻

𝑙 ⋅√32

3 + √3

3 − √3=

𝐻

𝑙 ⋅√32

𝐻 = 𝑙 ⋅√3

2⋅ (3 + √3

3 − √3)

𝐻 = 𝑙 ⋅√3

2⋅(3 + √3)

2

6

𝐻 = 𝑙 ⋅√3(12 + 2 ⋅ 3 ⋅ √3)

12

𝐻 = 𝑙 ⋅ (√3 +3

2)

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 𝐵1𝑂1𝑂2, vem:

𝑅2 = (𝑙)2 + (𝐻 − 𝑅)2

𝑅2 = 𝑙2 + 𝐻2 − 2 ⋅ 𝐻 ⋅ 𝑅 + 𝑅2

0 = 𝑙2 + 𝑙2 ⋅ (√3 +3

2)2

− 2 ⋅ 𝑙 ⋅ (√3 +3

2) ⋅ 𝑅

𝑅 = 𝑙 ⋅ (1 + (√3 +

32)2

2√3 + 3)

𝑅 = 𝑙 ⋅ (1 + 3 + 3 ⋅ √3 +

94

2√3 + 3)

𝑅 =𝑙

4⋅ (25 + 12√3

2√3 + 3)

𝑅 =𝑙

4⋅ (25 + 12√3

2√3 + 3) ⋅(2√3 − 3)

(2√3 − 3)

𝑅 = 𝑙 ⋅ (14√3− 312

)

Gabarito: 𝑹 = 𝒍 ⋅ (𝟏𝟒√𝟑−𝟑

𝟏𝟐)

Resolução Prova Matemática

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