1

CCáálculo Numlculo Numééricorico

Resolução Numérica deSistemas Lineares – Parte

II

Prof. Jorge Cavalcanti – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br

MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/

2

� É bastante comum encontrar sistemas lineares que envolvem uma grande porcentagem de coeficientes nulos.

� Esses sistemas são chamados de sistemas esparsos.

� Para esses tipos de sistemas, o método de Eliminação de Gauss não é o mais apropriado, pois ele não preserva essa esparsidade, que pode ser útil por facilitar a resolução do sistema.

� Maneira mais apropriado para esse tipo de sistema ⇒métodos iterativos

Sistemas Lineares – Métodos Iterativos

3

� Consistem em encontrar uma seqüência de estimativas xik(dada uma estimativa inicial xi0) que após um número suficientemente grande de iterações convirja para a solução do sistema de equações.

Métodos Iterativos

nnnn x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

210

424

14

04

323

13

03

222

12

02

121

11

01

MMMM

→→→

4

� Outra vantagem destes métodos ⇒ não são tão suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento como o método de Eliminação de Gauss.

� É importante lembrar que:

� Como todo processo iterativo, estes métodos sempre apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas.

� Além disso, também é preciso ter cuidado com a convergência desses métodos.

Métodos Iterativos

5

� Transforma o sistema linear Ax=b em x=Cx+g� A: matriz dos coeficientes, n x m� x: vetor das variáveis, n x 1;� b: vetor dos termos constantes, n x 1.

� Métodos utilizados:�Gauss-Jacobi�Gauss-Seidel

� C: matriz n x n

� g: vetor n x 1

Métodos Iterativos

6

Método de Gauss-Jacobi� Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se consecutivamente os vetores:

etc. o),aproximaçã (segunda gCxx

o)aproximaçã (primeira gCxx

,

,)1()2(

)0()1(

+=+=

� De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada pela fórmula:

x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ...

� São geradas novas aproximações até que um dos critérios de parada seja satisfeito:

• Máx xi(k+1) - xi(k) ≤ εεεε (Tolerância), com 1 ≤i ≤n, ou:• k > M, com M=Número máximo de iterações

7

Método de Gauss-Jacobi

� Da primeira equação do sistema

a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n x2 = b1

obtém-se x1 = b1 - ( a12 x2 + a13 x3 ... +a1n xn)

a11

analogamente x2 = b2 – (a21 x1 + a23 x3 + ... + a2n xn)

a22

Ou: xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - an,n-1 xn-1 )

8

Método de Gauss-Jacobi

� Desta forma para x = C x + g

0 - a12 /a11 ... - a1n /a11- a21 /a22 0 ... - a2n /a22

. . .

- an1 /ann - an2 /ann 0

C =

g = (b1 /a11 b2 /a22 . . . bn /ann ) T

xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - an,n-1 xn-1 )

9

Método de Gauss-Jacobi

� Então como x = C x + g

g = (b1 /a11 b2 /a22 . . . bn /ann ) T

- a21 /a22 0 ... - a2n /a22. . .

- an1 /ann - an2 /ann 0

C = 0 - a12 /a11 ... - a1n /a11

x1(k+1) = (1/a11)(b1 - a12 x2(k) - ... -a1nxn(k))

x2(k+1) = (1/a22)(b2 - a21 x1(k) - ... -a2n xn(k))

...xn(k+1) = (1/ann)(bn - an1 x1(k) - .. - an,n-1 xn-1(k))

x =

10

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 1

� Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

C =

0 - 2/10 - 1/10

-1/5 0 - 1/5

-1/5 – 3/10 0g =

7/10

-8/5

6/10

- a21 /a22 0 ... - a2n /a22. . .

- an1 /ann - an2 /ann 0

C = 0 - a12 /a11 ... - a1n /a11

e εεεε = 0,05

11

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 1

x1(k+1) = (1/a11)(b1 - a12 x2(k) - ... -a1nxn(k))

x2(k+1) = (1/a22)(b2 - a21 x1(k) - ... -a2n xn(k))

...xn(k+1) = (1/ann)(bn - an1 x1(k) - .. - an,n-1 xn-1(k))

x1(k+1) = (1/10)(7 - 2x2(k) –x3(k)) =(0x1(k) – 0.2x2(k) –0.1x3(k) +0,7)

x2(k+1) = (1/5)(-8 - x1(k) –x3(k)) =(-0.2x1(k) – 0x2(k) –0.2x3(k) – 1.6)

x3(k+1) = (1/10)(6 - 2x1(k) -3x2(k) =(-0.2x1(k) – 0.3x2(k) –0x3(k)+ 0.6)

� O Processo iterativo é:

Equações de Iteração

12

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 1

Com x0 = 0,7

-1,6

0,6

x1(k+1) = 0x1(k) – 0.2x2(k) –0.1x3(k) +0,7 = -0.2(-1.6)-0.1(0.6)+0,7=0.96

x2(k+1) = -0.2x1(k) – 0x2(k) –0.2x3(k) – 1.6 = -0.2(0.7)-0.2(0.6)-1.6=-1.86

x3(k+1) =-0.2x1(k) – 0.3x2(k) –0x3(k) – 0.6=-0.2(0.7)-0.3(-1.6)+0.6=0.94

Para k=0:

Obs: X0 estimado por (bn/ann), muito embora possa ser adotado qualquer valor inicial, como por exemplo x0 = [0 0 0]T

Obtemos então: x(1) = Cx(0) + g =

0,96

-1,86

0,94

13

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 1

Avaliando o critério de parada para εεεε = 0,05 :

|x1(1) – x1(0)| = 0,26|x2(1) – x2(0)| = 0,26

|x3(1) – x3(0)| = 0,34

Máx xi(k+1) - xi(k) = 0,34 > εεεε

• Máx xi(k+1) - xi(k) ≤ εεεε (Tolerância), com 1 ≤i ≤n, ou:

x1(2) = 0x1(1) – 0.2x2(1) –0.1x3(1) +0,7 = -0.2(-1.86)-0.1(0.94)+0,7=0.978

x2(2) = -0.2x1(1) – 0x2(1) –0.2x3(1) – 1.6 = -0.2(0.96)-0.2(0.94)-1.6=-1.98

x3(2) =-0.2x1(1) – 0.3x2(1) –0x3(1) – 0.6=-0.2(0.96)-0.3(-1.86)+0.6=0.966

Prosseguindo com as iterações, para k=1:

x(1) = Cx(0) + g = 0,96

-1,86

0,94

14

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 1

x(2) =

0,978

-1,98

0,966

x(3) =

0,9997

-1,9888

0,984

|x1(2) – x1(1)| = 0,018|x2(2) – x2(1)| = 0,12

|x3(2) – x3(1)| = 0,026

Máx xi(k+1) - xi(k) = 0,12 > εεεε

|x1(3) – x1(2)| = 0,0021|x2(3) – x2(3)| = 0,008

|x3(3) – x3(2)| = 0,018

Máx xi(k+1) - xi(k) = 0,018 < εεεε

Para k=2:

x* =

0,9997

-1,9888

0,984

15

Método de Gauss-Jacobi – Resumindo:1. Escolhe-se a aproximação inicial x(0):

• x(0) = [x1(0), x2(0), ..., xn(0)]T

2. Calculam-se as aproximações sucessivas x(k), a partir da iteração:

• x(k+1) = Cx(k) + g

3. Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios de parada seja satisfeito:

• Máx xi(k+1) - xi(k) ≤ εεεε (Tolerância), com 1 ≤i ≤n, ou:

• K > M, com M=Número máximo de iterações

• Observar que os elementos do sistema original aii ≠≠≠≠ 0, ∀∀∀∀i. Caso isso não ocorra, deve-se reorganizar as equações para que se consiga essa condição.

• É importante também que na diagonal principal estejam os maiores valores absolutos, para acelerar o processo de convergência e dar mais precisão ao resultado final.

16

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 2

� Resolver o sistema abaixo, com εεεε ≤ 10-2 ou k >10:

2x1 - x2 = 1

x1 + 2x2 = 3

� Encontrando as equações de iteração:

� 2x1 = 1+x2 ⇒ x1 = ½(1+x2)

� 2x2 = 3-x1 ⇒ x2 = ½(3 - x1)

� Então:

� x1(k+1) = ½(1+x2(k))

� x2(k+1) = ½(3-x1(k)), k= 0, 1, 2, ….n

17

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 2

� Fazendo x(0) = [ 0 0 ]T como solução inicial:

� Então, para k=0:

� x1(k+1) = ½(1+x2(k))

x1(1) = ½(1+x2(0)) = ½(1 + 0) = 0,5

� x2(k+1) = ½(3-x1(k))

x2(1) = ½(3-x1(0)) = ½(3 - 0) = 1,5

� Para k=1:

� x1(2) = ½(1+x2(1)) = ½(1 + 1,5) = 1,25

� x2(2) = ½(3-x1(1)) = ½(3 – 0,5) = 1,25

ε = Máx xi(k+1) - xi(k) ≤ εεεε = |1,25 – 0,5| = 0,75 > 10-2

18

Método de Gauss-Jacobi – EXEMPLO 2

� Para k=2:

� x1(3) = ½(1+x2(2))

x1(3) = ½(1 + 1,25) = 1,125

� x2(3) = ½(3-x1(2))

x2(3) = ½(3-x1(2)) = ½(3 – 1,25) = 0,875

ε = | 0,875 - 1,25 | = 0,375 > 10-2

19

Método de Gauss-Jacobi - EXEMPLO

0,0061,0020,9989

0,0120,9960,9968

0,0230,9921,0087

0,0471,0161,0166

0,0941,0310,9695

0,1880,9380,9384

0,3750,8751,1253

0,7501,2501,2502

1,5001,5000,5001

-000

εX2(k)x1(k)k

� Prosseguindo com as iterações para k=3, 4…:

0,06 ≤ 10-2

Ou k > 10?

Então pare!

x1 = 0,998

x2 = 1,002

x = 0,998

1,002

20

Método de Gauss-Seidel

� Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se x1, x2, ...xk.

� Ao se calcular usa-se todos os valores

que já foram calculados e os

valores restantes.

1+kjx

11

11

+−

+ kj

k xx ,...,kn

kj xx ,...,1+

Sistemas de Equações Lineares

21

Descrição do Método

� Seja o seguinte sistema de equações:

nnnnnnnnnn

nnnn

nnnn

nnnn

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

. . ... . . .

. . ... . . .

. . ... . . .

. . ... . . .

=+++++

=+++++

=+++++

=+++++

−−

−−−

−−−

−−−

11321

313113333232131

212112323222121

111111313212111

1321

M

Métodos Iterativos – Gauss Seidel

22

� Isolando xi a partir da linha i, tem-se:

( )

( )

( )

( )1121

3113232231333

3

2112323121222

2

1111313212111

1

21

1

1

1

1

−−

−−

−−

−−

−−−−=

−−−−=

−−−−=

−−−−=

nnnnnnnn

n

nnnn

nnnn

nnnn

xaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

......

....

....

....

,

,

,

,

M

Métodos Iterativos – Gauss Seidel

23

� O processo iterativo é obtido a partir das equações, fazendo:

( )

( )

( )

( )111,

122

111

1

311,31

2321

131333

13

211,23231

121222

12

111,1313212111

11

......1

.......1

.......1

.......1

+−−

+++

−−+++

−−++

−−+

−−−−=

−−−−−=

−−−−−=

−−−−−=

knnn

kn

knn

nn

kn

knn

knn

kkk

knn

knn

kkk

knn

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

Métodos Iterativos – Gauss Seidel

24

Critério de Parada

�Diferença relativa entre duas iterações consecutivas.

�Define-se por diferença relativa a expressão:

�Fim do processo iterativo - valor de dRk+1pequeno o bastante para a precisão desejada.

)(

|)(|

|,|

RelativaDiferençaki

Xmáx

kd1k

Máxk

r

ki

1ki

d

ni1xxd

====++++

==== ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−++++

Métodos Iterativos – Gauss Seidel

25

Ex.: Resolva:

.. 2kR 105 D com

0z6y3x3

6zy4x3

5zyx5

−−−−≤≤≤≤

====++++++++====++++++++

====++++++++

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))yx2

1zy3x3

6

1z

zx364

1y

zy55

1x

++++−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

Solução:

Métodos Iterativos – Gauss Seidel

26

kx kxD

ky kyD

kz kzD

kRD

-1 - 0 - 1 - -

0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379

1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293

1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066

1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,0013

x = 1,002 y = 0,998 z = -1

Verificação (substituição no sistema):

5.(1,002) + (0,998) + (-1) = 5,008 ≅ 5 ok3.(1,002) + 4.(0,998) + (-1) = 5,998 ≅ 6 ok3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 ok

Métodos Iterativos – Gauss Seidel

27

Método de Gauss-SeidelCritérios de Convergência

� Processo iterativo ⇒ a convergência para a solução exata não é garantida para qualquer sistema.

� Existem certas condições que devem ser satisfeitas por um sistema de equações lineares para se garantir a convergência do método.

� As condições podem ser determinadas por dois critérios:�Critério de Sassenfeld�Critério das Linhas.

28

Critério de Sassenfeld

� Sejam as quantidades βi dadas por:

para i = 2, 3, ..., n.

∑=

⋅=n

jja

a 21

111

1β

+⋅⋅= ∑∑

+=

−

=

n

ijij

i

jjij

iii aa

a 1

1

1

1 ββe

n - ordem do sistema linear que se deseja resolveraij - são os coeficientes das equações que compõem o sistema.

� Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirápara um dado sistema linear se a quantidade M, definida por:

ini

M βmax1 ≤≤

= for menor que 1 (M<1).

29

� Exemplo: Seja A, a matriz dos coeficientes e bo vetor dos termos constantes dados por:

444434241

334333231

224232221

114131211

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

( )

( )

( )

( )34324214144

4

3423213133

3

242312122

2

14131211

1

1

1

1

1

ββββ

βββ

ββ

β

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

++⋅=

++⋅=

++⋅=

++⋅=

Critério de Sassenfeld

30

Exemplo: Mostre se a solução do sistema linear dado pelas equações:

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

....

....

....

...

−=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅++⋅−⋅−

−=⋅−⋅−⋅+⋅=⋅+⋅−+⋅

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

convergirá pelo método de Gauss-Seidel.

Critério de Sassenfeld

31

� Solução: critério de Sassenfeld� Calcular os valores das quantidades βi.

( )

( )

( )

( ) 2736.0358.08.044.02.17.04.04

1

358.02.044.02.07.01.01

1

44.03.06.07.06.03

1

7.02.02.012

1

4

3

2

1

=⋅+⋅+⋅⋅=

=+⋅+⋅⋅=

=++⋅⋅=

=++⋅=

β

β

β

β

7.0max41

==≤≤

ii

M βM é menor que 1 ⇒ a solução desse sistema irá convergir usando o método de Gauss-Seidel.

10.0- 4.0 0.8 1.2 0.4

1.0 0.2 1.0 0.2- 0.1-

7.8- 0.3- 0.6- 3.0 0.6

0.4 0.2 0.2- 1.0 2.0

A B

Critério de Sassenfeld

32

Critério das Linhas

� Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ijj

ij aa <∑≠=1

, para i=1, 2, 3, ..., n.

33

Exemplo: O sistema do exemplo anterior satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que:

4.28.02.14.04

5.02.02.01.01

5.13.06.06.03

4.12.02.012

43424144

34323133

24232122

14131211

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

....

....

....

...

−=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅++⋅−⋅−

−=⋅−⋅−⋅+⋅=⋅+⋅−+⋅

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

ii

n

ijj

ij aa <∑≠=1

para i=1, 2, 3, 4.

Critério das Linhas

34

É importante saber que:

� A convergência de um sistema INDEPENDE dos valores iniciais estimados.

� Os Critérios são condições suficientes, porém não necessárias, para a convergência do método de Gauss-Seidel para um dado sistema linear ⇒ Isso significa que um sistema pode não satisfazer esses critérios e ainda convergir.

� Um sistema pode não satisfazer o critério das linhas e satisfazer o critério de Sassenfeld, o que garantirásua convergência.

Considerações Finais

35

Exemplo: Seja o sistema:

18x2x6

23xx10

21

21

====++++====++++

Note que esse sistema não satisfaz o critério das linhas, pois:

62 2122 =<= aa

porém, ele satisfaz o critério de Sassenfeld:

( ) 3.01.062

1

1.0110

1

2

1

=⋅⋅=

=⋅=

β

β 13.0max41

<==≤≤

ii

M β

⇒ Convergência garantida.

Considerações Finais

36

Outra observação importante

�A ordem com que as equações aparecem no sistema pode ser alterada para se avaliar a convergência.

�Apesar da ordem das equações não alterar a solução do sistema, ela pode alterar a convergência do mesmo pelo método da Gauss-Seidel.

Considerações Finais

37

Exemplo: Seja o sistema:

15x3x5

19x10x4

21

21

====++++====++++−−−−

� Na forma como o sistema está representado, ele não satisfaz o critério das linhas (verifique isso), portanto sua convergência não é garantida.

� Porém, trocando-se a ordem das duas equações, o sistema satisfaz esse critério, e sua convergência pelo método de Gauss-Seidel é garantida (verifique isso também).

Considerações Finais