Resolucion Taller No 2 Estadistica

Ministerio de Educación y JusticiaUniversidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional San Rafael

Cátedra: Probabilidad y Estadística Profesor: Lic. Oscar Raúl Zapata JTP: Lic. Andrea Roldán

ATP: Ing. Valeria Cordero

Taller N º 2 Estadísticos: Medidas de posición y tendencia central

Ciclo Lectivo: 2014

Ejercicio Nº 1 a. Los datos siguientes corresponden a los tiempos de reacción de una muestra de 33 sujetos, medidos en centésimas de segundo:55, 51, 60, 56, 64, 56, 63, 63, 61, 57, 62, 50, 49, 70, 72, 54, 48, 53, 58, 66, 68, 45, 74,65, 58, 61, 62, 59, 64, 57, 63, 52, 67.

1. Calcule la media, mediana, el primer y el tercer cuartil, directamente a partir de los datos.

Media

X= ∑n1+n2+n3+…+nn

n=¿ 45+48+49+50+….+72+74 = 59,484 cent de seg.

33

Mediana= Calculamos el orden para datos no agrupados = OM= (n+1)/2 = (33+1)/2= 17El orden de la mediana es 17, por lo cual, cuento 17 valores ordenados de la menor a mayor y observo:

Me= 60 cent de seg.Q1= Calculamos el orden para datos no agrupados: OQ1= (2+n)/4= (2+33)/4= 8,75El orden del Q1 es 8,75, por lo cual cuento los valores de la variable. El Q1 está ubicado entre 54 y 55

cent de seg.

Rango= 55-54= 1 (al rango entre ambos lo multiplico por el exceso del orden= 0,75 y lo sumo al

mínimo) 54+0,75→Q 1=54,75cent de seg.

Q3= Calculamos el orden para datos no agrupados: OQ3= (2+3n)/4= (2+3.33)/4= 25,25El orden del Q3 es 25,25, por lo cual, cuento los valores de la variable. El Q3 está ubicado entre 64 y

64 cent de seg.

Rango= 64-64= 0(al rango entre ambos lo multiplico por el exceso del orden= 0,25 y lo sumo al

mínimo) 64+ (0∗0,25 )→Q 3=64 cent. de seg.2. Construya una tabla estadística de estos datos, agrupados en 5 intervalos de igual amplitud, calcule la media, y la mediana, compare estos resultados con los obtenidos en el punto 1.

Rango = 29 cent de seg.Nº Sturges: No se calcula 5 intervalosMódulo= 5,8 cent de seg. media= 59,5 cent de seg.mediana= Orden= n/2 = 16,5 Mediana = 59,79 cent de

1


Facultad Regional San Rafaelseg. Comparación de media y

mediana: Encontramos

que ambos resultados

difieren en algunas

décimas o centésimas,

esto ocurre porque al

agrupar los valores de variable, en intervalos, se produce error de agrupamiento. Pero ambos

resultados son válidos. La diferencia es mínima.

b. A continuación se presentan los pesos en gramos y las frecuencias de una muestra de tornillos,

3. Calcular la media aritmética

Li Ls Xm f Fa10,5 11,4 10,95 3 311,5 12,4 11,95 6 912,5 13,4 12,95 12 2113,5 14,4 13,95 9 30

n= 30

Media= ∑ (10,95∗3 )+(11.5∗6 )+ (12.95∗12 )+(13.95∗9)30

=12.85 gr .

4. Calcular la mediana

Mediana= Orden= n/2 = 15 Mediana= 12.45+(15−9)

12∗1=¿ 12.95 gr.

5. Calcular la moda o modo

Moda= Intervalo modal=3º

Moda=Fi+(∆1)

(∆1+∆2)∗c=¿ 12.45+

(12−6)(12−6 )+(12−9)

∗1=13.116̂ gr .

6. Graficar

2

Fi Fs Xm f Fa45 50,8 47,9 4 4

50,8 56,6 53,7 7 1156,6 62,4 59,5 10 2162,4 68,2 65,3 9 3068,2 74 71,1 3 33

n= 33

Peso en gr. fi10.5 -11.4 311.5 -12.4 612.5 -13.4 1213.5 -14.4 9



7. Graficar las medidas de tendencia central. Determinar conclusiones que podemos obtener respecto de cada una de ellas.

Conclusiones:

El peso medio de los tornillos es de 12.85 gr.

El 50% de los tornillos con menor peso, varía entre 10.5 y 12.95 gr.

El 50% de los tornillos con mayor peso, supera los 12.95 gr.

El peso de los tornillos que se presenta con mayor frecuencia es 13.116 gr.

8. Calcular el cuartil 3 de esta muestra, graficar e interpretar conclusiones.

Q3= Calculamos el orden para datos agrupados: OQ3= (3n)/4= 3.30)/4= 22,5El orden del Q3 es 22,5, por lo cual observo la Fa de la variable. El Q3 está ubicado en el 4º intervalo.

Q3= Fi+(( 3n

4 )−Fa−1

f )∗c=¿ 13.45+( (22.5−21 )

9 )∗1=13.61 6̂ gr .

Conclusiones:

El 25% de los tornillos con mayor peso, supera los 13.616 gr.

En la muestra de tornillos, el 75% más liviano, tiene un peso que varía entre 10.5 y 13.616 gr.

9. El 5% de los tornillos tiene un peso demasiado bajo. ¿Cuáles pesos se consideran “demasiado bajos”?

El 5%, nos indica que necesitamos calcular el percentil 5: OP5= (5n)/100= (5*30)/100= 1,5

3



P5=Fi+(( 5n

100 )−Fa−1

f )∗c=¿ 10,45+¿ )*1= 10,95gr.

Se consideran demasiado bajos los pesos de tornillos menores a 10,95gr.

10. ¿Qué peso es superado sólo por el 25% de los tornillos?

El valor de variable superado únicamente por el 25% de los tornillos, es el que corresponde al cuartil

3 (Q3), es decir que sólo el 25% de los tornillos tiene un peso superior a 13,616gr.

11. ¿Entre qué valores se encuentra el 50% central de los tornillos?

Entre el Q3 y el Q1, encontramos el 50% de los valores centrales de los pesos, de esta muestra de tornillos. Es decir:

Q3= 13,616 gr.Q1=

Fi+(( n4 )−Fa−1

f )∗c= 11,45+¿ 12,2gr.Q3-Q1= 13,616 gr. – 12,2 gr. = 1,416̂gr.Esto indica que el rango de variación del 50% central de los pesos de los tornillos, es de 1,416gr. Es

decir entre 12,2gr. Y 13,616 gr.

c. Responder a cada afirmación o pregunta.

1. El colesterol se distribuye simétricamente en la población, si se consideran patológicos los

valores extremos y el 90% de los individuos tienen niveles normales

a. ¿Entre qué percentiles se encuentran los individuos con valores normales?

Entre el percentil 5 y el percentil 95, se encuentran los individuos con valores normales de colesterol.

b. ¿Entre qué cuartiles se encuentra la mitad de los individuos con valores de colesterol más normal

de una población?

Entre el Cuartil 3 y el Cuartil 1, encontramos la mitad de los individuos con valores de colesterol más

normal.

c. Qué decil representa los valores de colesterol, del 20% de la población que tiene menores niveles?

El 20% de la población que tiene menores niveles de colesterol, está representado por el decil 2.

4



Ejercicio Nº 2

Se seleccionaron aleatoriamente, de un proceso de fabricación, 20 baterías y se llevó a cabo una prueba para determinar la duración de éstas. Los siguientes datos muestran el tiempo de duración en horas, para las 20 baterías.

Fi Fs Xm f f.Xm48,8 52,2 50,5 2 10152,2 55,6 53,9 4 215,655,6 59 57,3 6 343,859 62,4 60,7 4 242,8

62,4 65,8 64,1 4 256,41159,6

n= 20

Podemos también calcular sin agrupar los datos, porque la consigna no lo especifica.

En este caso están calculados de ambas formas:

1. Calcula la media.

X ≅ 58.00hs .

2. Determina la mediana y la moda.

Med ≅ 58.8 6̂hs . Sin agrupar:Med ≅ 58.8hs

Mod ≅ 57.3hs . Sin agrupar: Mod ≅ 58.9hs .

Hay diferencias en los resultados por el error de agrupamiento.

Ejercicio Nº 3

En la siguiente tabla se presentan datos de las libras de presión por pulgada que puede resistir el concreto, obtenidos de una muestra de 40 bloques de concreto que se utilizarán para construir un puente. Se desea conocer:

5

52.5 62.7 58.9 65.7 49.358.9 57.3 60.4 59.6 58.162.3 64.4 52.7 54.9 48.856.8 53.1 58.7 61.6 63.3

2500.2 2497.8 2496.9 2500.8 2491.6 2503.7 2501.3 2500.0

2500.8 2502.5 2503.2 2496.9 2495.3 2497.1 2499.7 2505.0

2490.5 2504.1 2508.2 2500.8 2502.2 2508.1 2493.8 2497.8

2499.2 2498.3 2496.7 2490.4 2493.4 2500.7 2502.0 2502.5

2506.4 2499.9 2508.4 2502.3 2491.3 2509.5 2498.4 2498.1



1. La media, la mediana y la moda.

X ≅ 2499.895 lb / pulg.

Sin agrupar:Med ≅ 2500,1 lb / pulg .

Sin agrupar: Mod ≅ 2500,8 lb / pulg .

2. Los cuartiles.

Q1= OQ1=(n+2)/ 4=10,25 Q 1=¿ 2497,05 lb/pulg.Q2= Med= 2500 ,1lb / pulg

Q3= OQ3=30 Q 3=2502,5 lb / pulg.

3. Los Percentiles 10 y 90.

OP10=4,1 P10=¿2493, 22 lb/pulg.OP 90=36,9 P90=¿ 2506, 57 lb/pulg.4. Agrupa la información en una distribución de frecuencias adecuada.

Fi Fs Xm f Xm*f2490,3 2493,5 2491,9 5 12459,52493,5 2496,7 2495,1 3 7485,32496,7 2499,9 2498,3 11 27481,32499,9 2503,1 2501,5 12 300182503,1 2506,3 2504,7 4 10018,82506,3 2509,5 2507,9 5 12539,5

n= 40 100002,4

5. Calcula la media para los datos agrupados.

X ≅ 2500,06 lb / pulg.

6. Calcula la mediana y la moda para los datos agrupados.

Med ≅ 2500,1 6̂ lb / pulg .

Mod ≅ 2500,2 5̂ lb/ pulg.

7. Compara los valores de media, mediana y moda obtenidos para los datos sin agrupar y

agrupados y saca conclusiones.

Hay diferencias en los resultados por el error de agrupamiento.

6



Ejercicio Nº 4

X ≅ 12,595 %

Med ≅ 13,35 %

Mod ≅ Bimodal :14,2 %−15,8 %

a. El porcentaje medio de población mayor de 65 años, para este grupo de países es de 12,595%.

Los 11 países con menor proporción de población mayor de 65 años de edad, no supera el 13,35%

en su composición.

Grecia y Australia, presentan una proporción de 14,2% de población mayor de 65 años,

respectivamente. Asimismo, tanto Suiza como Hungría, del 15,8%

b. La medida más representativa para este conjunto de datos, es la mediana, porque no es afectada

por los valores extremos, como sucede con la media aritmética. Y en este caso, la distribución es

bimodal, por lo cual tampoco es representativa la moda.

Ejercicio Nº 5

La siguiente distribución de frecuencias muestra la cantidad de veces que un anuncio fue visto por un grupo de encuestados:

7

En la tabla que figura a continuación, se presentan los porcentajes de población mayor de 65 años, de cada país. Calculando Media, Mediana y Moda, a. Interpretar cada resultado obtenido, en términos de la variable.b. ¿Qué medida de tendencia central es la más representativa para este conjunto de datos? Fundamente la respuesta.

País % Pob.Canadá 4.8Holanda 6.1Alemania 4.8Turquía 11.3Bélgica 11.4Suecia 11.5Polonia 11.6Islandia 12.1Nueva Zelanda 12.2EE.UU 12.8España 13.3Noruega 13.4Grecia 14.2Australia 14.2Dinamarca 14.4Rep. Checa 14.5Italia 14.8México 14.9Suiza 15.8Hungría 15.8Corea 15.9Reino Unido 17.3



Nº de veces que se vio el anuncio

0 1 2 3 4 5 6

Frecuencias 897 1082 1325 814 307 253 198

1. Cuál es la variable?

La variables es “Nº de veces que se vio el anuncio” Es una variable cuantitativa discreta. Las

frecuencias representan la cantidad de personas encuestadas, podemos decir por ejemplo que 1082

personas encuestadas, vieron el anuncio 1 vez.

2. Graficar adecuadamente

3. ¿Cuál es el número promedio de veces que un encuestado vio el anuncio? Interpretar estadísticamente el resultado obtenido.

X ≅ 2 veces

De las 4876 personas encuestadas, 897 vieron el anuncio 0 veces. En promedio, el anuncio fue visto

2 veces por cada encuestado.

Ejercicio Nº 6

Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificaciones finales de los estudiantes. El promedio de los trabajos prácticos tendrá un valor del 10%, las evaluaciones parciales del 50%, los controles de avance el 25%, los trabajos especiales del 15%. A partir de los datos siguientes calcule el promedio final para 3 de los estudiantes.

Estudiante Trab. Prácticos Parciales Controles Trab. Especiales1 85 89 94 902 78 84 88 913 94 88 93 92

Para resolver este ejercicio, utilizamos la media ponderada. Vamos a calcular una media para cada

estudiante, sabiendo que la nota final corresponde al 100% del puntaje.

Trab. Prácticos 10%

Parciales 50%

8


Facultad Regional San RafaelControles 25%

Trab. Especiales 15%

Total 100%

Podemos relacionar entonces cada valor asignado por el profesor, a una frecuencia relativa y cada

nota obtenida por el alumno, como el valor de variable, así calculamos:

Estudiante Nº1=(85∗10 )+ (89∗50 )+(94∗25 )+( 90∗15 )

100=¿

¿ (85∗0,10 )+(89∗0,50 )+ (94∗0,25 )+(90∗0,15 )=¿ 90puntosEl estudiante Nº 1 tendrá de promedio final, 90 puntos.

El mismo proceso lo realizamos para calcular los promedios de los demás estudiantes, sabiendo que

en este caso, los valores o frecuencias asignados por el profesor son los que se mantienen

constantes, mientras que varían las puntuaciones en cada alumno::

Estudiante Nº 2=(78∗0,10 )+(84∗0,50 )+(88∗0,25 )+(91∗0,15 )=¿ 85,45 puntosEstudiante Nº 2 =85,45 puntosEstudiante Nº 3 =90,45 puntosEjercicio Nº 7

Hallar la media geométrica y la media aritmética del conjunto 2, 4, 8, 16, 32.

X ≅ 12,4

Mg≅ n√π xi

Mg≅ 5√2∗4∗8∗16∗32=5√32768=8

Ejercicio Nº 8

Se estima que la zona metropolitana de Buenos Aires, (Capital Federal) mostrará el mayor aumento en el número de empleos entre los años 1993 y 2014. Es de esperar que el número de empleos aumente de 5164900 hasta 6286800. ¿Cuál es la tasa de incremento anual esperada?

Años Empleos1993 51649002014 6266800

Hablamos de un incremento porcentual (tasa), por lo cual no podemos utilizar media aritmética.

Aplicamos fórmula de interés compuesto (caso especial de Media geométrica).

Calculamos primero el período de tiempo transcurrido:

n=2014-1993= 21años

9


Facultad Regional San RafaelSe ha estimado el número inicial y final de empleos para este período de tiempo, ahora debemos

averiguar el incremento porcentual medio anual, como no hay otro dato, suponemos que este

incremento es estable.

Sabemos que:

A=P (1+r )n (Donde: r es el interés medio anual, n el tiempo, A el valor final y P el valor inicial)

entonces, despejamos r y lo multiplicamos por cien para transformar en porcentaje)

r=( n√ AP−1)∗100

r=21√ 6266800 e5164900e

−1= (0.0092511063533 )∗100≅ 0.92511063533 %

Ejercicio Nº 9

Una fábrica de telas ha elevado el costo de la gabardina en un período que abarca los últimos cinco años en los siguientes porcentajes:

2001 2002 2003 2004 20055% 10.5% 9.0% 6.0% 7.5%

¿Cuál es el aumento porcentual promedio de la gabardina en los últimos cinco años?

Mg≅ n√π xi

Mg≅ 5√5%∗10 ,5 %∗9%∗6 %∗7 ,5%=5√21262 ,5%=4 ,629489 %

Ejercicio Nº 10

Una empresa tiene registros del costo de procesamiento de una determinada orden de compra. Durante los últimos 5 años este costo fue de $55.00, $58.00, $61.00, $65.00 y $66.00, respectivamente. 1. ¿Cuál es el crecimiento porcentual promedio del costo durante este lapso?

Calculamos para cada período de tiempo, el costo porcentual promedio:

r=( n√ AP−1)∗100

r 1= 1√ $58,00$55,00

−1=(0.0545454545455 )∗100≅ 5.45 %

r 2= 1√ $61,00$58,00

−1∗100≅ 5.17 %

r 3= 1√ $ 65,00$ 61,00

−1∗100≅ 6,55 %

10



r 1= 1√ $66,00$65,00

−1∗100≅ 1,54 %

Ahora podemos calcular

Mg≅ n√π xi

Mg≅ 4√5 ,45 %∗5 ,17 %∗6 ,55 %∗1 ,54 %=4√284 ,2%=4 ,1059 %

El crecimiento porcentual promedio del costo para ese período de cuatro años, es de 4,1059 %

2. Si esta tasa promedio se mantiene estable 3 años más ¿cuánto le costará a la empresa procesar una orden de compra al final del período?

A=P (1+r )n

A=$ 66,00∗(1+0,041 )3=$74,45 Si esta tasa promedio, se mantiene estable, transcurridos 3 años más, a la empresa le costará $74,45

procesar una orden de compra.

Ejercicio Nº 11

El precio de un artículo se triplica en período de 4 años. ¿Cuál es el porcentaje medio de crecimiento anual?

Sabemos cómo calcular el porcentaje medio de crecimiento anual:

r=( n√ AP−1)∗100

Los únicos datos que nos brinda el enunciado del problema, son:

n=4

A= 3P

Para resolverlo, vamos a considerar hipotéticamente, que: P= $1000 (puede ser cualquier valor)

Ahora reemplazamos.

r=( 4√ 3($1000)$1000

−1)∗100 = (0,316074) *100 ≅ 31,60%El porcentaje medio de crecimiento anual es de 31,60%.

Ejercicio Nº 12

a. Hallar la media armónica de los números 3, 5, 6, 7, 10 y 12.

X a=

N

∑i

n1x i

11



X a= 6

13+

15+

16+

17+

110

+1

12

=

6431420

≅ 5 ,647

b. Las ciudades A, B y C están equidistantes entre sí. Un motociclista viaja desde A hasta B a 25 Km/h, desde B hasta C a 35 Km/h y desde C hasta A a 55 Km/h. Determinar su velocidad media en el viaje completo.

X a=

N

∑i

n1x i

V a=

31

25Km /h.+

135Km /h .

+1

55Km/h .

= 30 ,086Km /h .

≅ 34,58Km /h .

Ejercicio Nº 13

El siguiente esquema representa el desplazamiento de un tren. Determinar la velocidad promedio del mismo.

90 Km/h 70 Km/h 60 Km/h

70Km/h

X a=

N

∑i

n1x i

V a=

41

90Km /h .+

170Km/h .

+1

60Km /h.+

170Km /h .

= 40 ,0563492063492Km/h .

≅ 70.986Km /h .

La velocidad promedio del mismo es 70,986Km/h.

a. Si el esquema de desplazamiento del mismo tren, fuese el siguiente, cuál sería la velocidad promedio?

Dist. 1: 200 Km. Vel: 90 Km/h

Dist. 2: 100 Km. Vel: 60 Km/h

Dist. 3: 150 Km. Vel: 70Km/h

12



En este caso no puedo calcular la media armónica simple, porque las distancias recorridas, no son

iguales, debo calcular la media armónica ponderada.

d1+d2+d3

V= d1

v1

+d2

v2

+d3

v3 →

1v=

d1

v1

+d2

v2

+d3

v3

d1+d2+d3

→v=d1+d2+d3

d1

v1

+d2

v2

+d3

v3

Distancia total= 200+100+150= 450 Km.200Km/90Km/h= 2, 22 h100Km/60Km/h= 1.66h h150Km/70Km/h= 2,143 hV= D/t=

450Km2,22h+1,66h+2,143h

= 450Km6.031746031746h

≅ 74.605Km /h .

La velocidad promedio del tren, para este caso sería 74,605 Km/h.

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